Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 1

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΙΚΟΥΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΤΕΥΧΟΣ 3ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ 201-300 Αφιερωμένο σε κάθε μαθητή που ασχολείται ή πρόκειται να ασχοληθεί με Μαθηματικούς διαγωνισμούς Τσιφάκης Χρήστος : xr.tsif Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 2

ΘΕΜΑ 201 Αν x,y,z 0 να δείξετε ότι ΘΕΜΑ 202 x y y z z x x y z. y 2 z 2 x 2 Αν οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c είναι τέτοιοι ώστε βρείτε την τιμή της παράστασης 2 9 2011 P a b c. 2 2 2 3 3 3 a b c a b c 1, να (Από τα παραπάνω παραδείγματα, έχει γίνει φανερό το τι προσπαθούμε να πετύχουμε για να λύνουμε τέτοιου είδους ασκήσεις) ΘΕΜΑ 203 a) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν άπειρες τριάδες θετικών ακεραίων m,,k έτσι, ώστε να ισχύει ότι: 2 4m m k 1 b) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν θετικοί ακέραιοι m,,k έτσι, ώστε να ισχύει ότι: 2 4m m k. www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?p=88420#p88420. ΘΕΜΑ 204 Να βρείτε τους πρώτους p,q,r έτσι ώστε οι αριθμοί pq qr rp και 3 3 3 p q r 2pqr να διαιρούνται με τον p q r. ΘΕΜΑ 205 Πόσοι τετραψήφιοι αριθμοί abcd είναι τέτοιοι ώστε a b c d και 2 2 2 2 a b c d ; Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 3

ΘΕΜΑ 206 2010 Να αναλυθεί ο αριθμός 2 1 σε γινόμενο δύο παραγόντων, έτσι ώστε ο καθένας 1004 να είναι μεγαλύτερος του 2. ΘΕΜΑ 207 (Cretama ) Να δείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 5 ζευγάρια από διαδοχικούς θετικούς ακεραίους που είναι τέτοιοι ώστε το άθροισμα των τετραγώνων των αριθμών σε κάθε 2006 ζευγάρι να διαιρεί τον αριθμό 2 1. Βασικό λήμμα: Αν a,b φυσικοί αριθμοί με bπεριττό, τότε το ab 2 1. a 2 1διαιρεί το Απόδειξη: a a 2a 3a (b 1)a a 2a 3a (b 1)a (1 2 )(1 2 2 2 2 ) (1 2 2 2 2 ) a 2a 3a 4a ba ab (2 2 2 2 2 ) 2 1. [Η υπόθεση b περιττός χρειάζεται για να έχουμε πλην στον συντελεστή του στο αριστερό μέλος.] (b 1)a 2 ΘΕΜΑ 208 Οι θετικοί ακέραιοι a,b, είναι τέτοιοι ώστε ο αριθμός τετράγωνο ακεραίου. Να δείξετε ότι ο αριθμός a τέλειων τετραγώνων. 2 2 a 2b να είναι τέλειο 2 2 b γράφεται ως άθροισμα δύο ΘΕΜΑ 209 Αν S() το άθροισμα των ψηφίων του φυσικού να δείξετε ότι ο αριθμός 2 S(2 3) δεν είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. ΘΕΜΑ 210 Να βρείτε τους πρώτους p,q,r ώστε οι αριθμοί 2 2 2 pq r,pq r,qr p,qr p,rp q,rp q να είναι επίσης πρώτοι. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 4

ΘΕΜΑ 211 Να δείξετε ότι a(a 1) b(b 1) c(c 1) (a b c 4)(a b c 5) 4, αν a,b,c 2. ΘΕΜΑ 212 Θεωρούμε σκακιέρα 50x50. Αρχικά όλα τα τετράγωνα 1x1έχουν μαύρο χρώμα. Μια κίνηση συνίσταται στο να αλλάξουμε το χρώμα όλων των τετραγώνων μιας στήλης ή μιας γραμμής (αν είναι μαύρο γίνεται άσπρο και αν είναι άσπρο γίνεται μαύρο.) α) Δείξτε ότι δεν είναι δυνατόν, μετά από ένα αριθμό κινήσεων, να έχουμε ακριβώς 2011 άσπρα τετράγωνα στη σκακιέρα. β) Μπορεί να προκύψει σκακιέρα με ακριβώς 2010 άσπρα τετράγωνα; ΘΕΜΑ 213 Έστω A ένα υποσύνολο του συνόλου {1,2,...,2009} με 1005 στοιχεία, τέτοιο ώστε το άθροισμα δύο οποιονδήποτε στοιχείων του να μην ισούται με 2009, ούτε με 2010. Πόσα τέτοια σύνολα A υπάρχουν; ΘΕΜΑ 214 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ ) Υπολογίστε τετραψήφιο αριθμό xyzw του δεκαδικού συστήματος που να είναι τέλειο τετράγωνο όταν επιπλέον ισχύουν οι σχέσεις: xy 3zw 1 και w y 1. ΘΕΜΑ 215 Να αποδειχθεί ότι η παράσταση: τετράγωνο. (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ ) 2 2 2 1 1 1, είναι τέλειο b c c a a b Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 5

ΘΕΜΑ 216 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ ) Σε τρίγωνο ABC δίνονται: AB 5, AC 7 και το ύψος AD 4. Υπολογίστε την BC, το εμβαδόν του και την ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου του κύκλου. ΘΕΜΑ 217 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ ) Δίνεται τρίγωνο ABC και σημείο Ρ στο εσωτερικό του. Θεωρούμε D το σημείο τομής της CP με την AB.( Συμβολικά D CP AB και E BP AC (σχήμα 1)) 1) Αιτιολογείστε γιατί οι περιγεγραμμένοι κύκλοι στα τρίγωνα PDB, PCE δεν είναι δυνατόν να εφάπτονται. 2) Αν οι κύκλοι αυτοί είναι ίσοι τότε αποδείξτε ότι ισχύει η σχέση AE AD AC AB και αντίστροφα. Υπόδειξη για το (1) (σχήμα 2) Η εγγεγραμμένη γωνία KML είναι ίση με την γωνία LK P (γιατί;) (*) Μεθοδολογία: Όταν έχεις τεμνόμενους κύκλους θεώρησε την κοινή τους χορδή, μπορεί να χρειαστεί. Επίσης όταν έχεις εφαπτόμενους κύκλους θεώρησε την κοινή τους εφαπτομένη στο σημείο επαφής τους, μπορεί να χρειαστεί. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 6

ΘΕΜΑ 218 Βρείτε όλους τους διψήφιους αριθμούς AB τέτοιους ώστε AB / A0B. ΘΕΜΑ 219 Αν οι θετικοί αριθμοί x,y,z είναι τέτοιοι ώστε 1 1 1 1 2 2 2 x 1 y 1 z 1 2 ΘΕΜΑ 220 να δείξετε ότι 1 1 1 1. 3 3 3 x 2 y 2 z 2 3 Αν οι πραγματικοί αριθμοί a,b,c είναι τέτοιοι ώστε οι αριθμοί ab,bc,ca να είναι ρητοί, να δείξετε ότι υπάρχουν ακέραιοι x,y,z όχι όλοι μηδέν, τέτοιοι ώστε ax by cz 0. ΘΕΜΑ 221 Σε ένα διαγωνισμό συμμετέχουν 90 μαθητές. Κάθε μαθητής γνώρισε τουλάχιστον 60 άλλους συμμετέχοντες μαθητές. Να αποδείξετε ότι τέσσερις τουλάχιστον μαθητές έχουν τον ίδιο αριθμό γνωριμιών. (Η γνωριμία είναι συμμετρική. Αν ο A γνωρίζει τον B, τότε και ο B γνωρίζει τον A.) Λύση: Για κάθε 60 89 ας γράψουμε A για το σύνολο των μαθητών που γνώρισαν ακριβώς άλλους μαθητές. Στόχος μας είναι να δείξουμε ότι κάποιο από τα περιέχει τουλάχιστον τέσσερις μαθητές. Ας υποθέσουμε πως αυτό δεν ισχύει. Άρα A 3 για κάθε 60 89. Επειδή όμως συνολικά έχουμε 90 μαθητές, τότε 90 A A 3 3 90 και άρα, για να ισχύει η ισότητα πρέπει 60 89 A 3 για κάθε 60 89. Δηλαδή ακριβώς 3 μαθητές γνώρισαν άλλους 60, ακριβώς 3 γνώρισαν άλλους 61,..., ακριβώς 3 γνώρισαν άλλους 89. A Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 7

3(60 61 89) Ας μετρήσουμε τώρα όλες τις γνωριμίες. Έχουμε συνολικά 2 γνωριμίες αφού στο άθροισμα 3(60 61 89) μετράμε κάθε γνωριμία διπλά, από μία για κάθε ένα από τα δυο άτομα που γνωρίστηκαν μεταξύ τους. Όμως 3(60 61 89) 3 149 30 ο οποίος δεν είναι ακέραιος. Αυτό είναι αδύνατον 2 4 και άρα το ζητούμενο αποδείχθηκε. Θα μπορούσαμε να γράψουμε την πιο πάνω λύση χρησιμοποιώντας την ορολογία της θεωρίας γραφημάτων. Δείτε π.χ. «Ο Γιώργος ισχυρίζεται ότι χθες βρισκόταν σε μια συνάντηση με άλλα εννιά άτομα οι οποίοι (συμπεριλαμβανομένου του Γιώργου) έκαναν 3,4,4,4,5,5,6,6,7,7 χειραψίες αντίστοιχα. Ο Ανδρέας είναι σίγουρος πως ο Γιώργος έχει κάνει λάθος στο μέτρημα. Πως το ξέρει;» Λύση Οι χειραψίες γίνονται σε "ζευγάρια",(αν ο x κάνει χειραψία με τον y τότε αυτόματα έχει κάνει και ο y με τον ) x, άρα συνολικά ζητάμε άρτιο αριθμό χειραψιών, κάτι που δεν ισχύει στην δική μας περίπτωση. Ωραία. Να αναφέρω σχετικά με τον τίτλο ότι μπορούμε να παραστήσουμε αυτήν την κατάσταση με ένα "γράφημα" το οποίο αποτελείται από 10 σημεία τα οποία ονομάζουμε κορυφές (μια κορυφή για κάθε άτομο) και στο οποίο ενώνουμε δυο κορυφές μεταξύ τους με μια γραμμή την οποία ονομάζουμε ακμή αν και μόνο αν τα αντίστοιχα άτομα έχουν κάνει χειραψία μεταξύ τους. Για κάθε κορυφή v ενός γραφήματος G συμβολίζουμε με d(v) τον αριθμό των ακμών που περνάνε από αυτήν την κορυφή. (Στην περίπτωσή μας αυτό ισούται με τον αριθμό των χειραψιών που έκανε το αντίστοιχο άτομο.) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 8

Αυτό που έχει αποδείξει ο Μάριος είναι ότι για κάθε γράφημα G αν αθροίσουμε όλα τα d(v)θα πάρουμε ένα άρτιο αριθμό. Πιο συγκεκριμένα αυτός ο αριθμός θα ισούται με 2e(G) όπου με e(g) συμβολίζουμε τον αριθμό των ακμών του γραφήματος. ΘΕΜΑ 222 Ένας επταψήφιος αριθμός αποτελείται από διαφορετικά μεταξύ τους ψηφία και είναι πολλαπλάσιο καθενός από αυτά(τα ψηφία). Να βρεθεί από ποια ψηφία αποτελείται ο αριθμός. ΘΕΜΑ 223 Στο επίπεδο δίνονται 51 σημεία με ακέραιες συντεταγμένες και τέτοια ώστε η απόσταση μεταξύ δύο οποιονδήποτε από αυτά να είναι φυσικός αριθμός. Να δείξετε ότι τουλάχιστον το 49% αυτών των αποστάσεων είναι άρτιοι αριθμοί. ΘΕΜΑ 224 Έστω τρίγωνο ABC με (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ ) 1 2 1 1 1 AB 3 2 3,BC 2 2 2, AC 2 2 2. 1) Προσδιορίστε τις γωνίες του τριγώνου, 2) Υπολογίστε το στην περίπτωση που η περίμετρος του τριγώνου είναι: 24 3( 3 1). Άλλες λύσεις εδώ :http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=69&t=12119 ΘΕΜΑ 225 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ ) Δίνεται κύκλος (O,R). Να βρεθεί τρόπος να χωριστεί η επιφάνεια του σε τρία ισοδύναμα μέρη (δηλαδή μέρη του ίδιου εμβαδού) που για το κάθε ένα από αυτά τα μέρη να ισχύει: υπάρχει το πολύ ένα τμήμα της γραμμής, από την οποία περιορίζεται, που να ορίζει ημικύκλιο με την διάμετρο του, εντός του μέρους. (*) Απλά αναφέρουμε ότι το πρόβλημα γενικεύεται και για χωρισμό σε ισοδύναμα μέρη με βάση την ίδια δέσμευση. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 9

Λύση: Δεν είμαι τόσο βέβαιος ότι καταλαβαίνω τι ακριβώς θα πει «... με την διάμετρο του εντός του μέρους», αλλά κάνω μία προσπάθεια: Η διάμετρος του μεγάλου κύκλου έχει χωριστεί σε τρία ίσα μέρη. Εύκολα βλέπουμε ότι τα χρωματισμένα εμβαδά είναι ίσα μεταξύ τους. Όμως έβαλα την προϋπόθεση με την διάμετρο (...που για το κάθε ένα από αυτά τα μέρη να ισχύει: υπάρχει το πολύ ένα τμήμα της γραμμής, από την οποία περιορίζεται, που να ορίζει ημικύκλιο με την διάμετρο του εντός του μέρους), ώστε να αποκλειστούν άλλες περιπτώσεις, όπως εκείνη (για παράδειγμα) του σχήματος που ακολουθεί και όπου ο μικρός μέσα κύκλος (με Εμβαδό το ένα τρίτο ( 1 3 ) του Μεγάλου κύκλου), αποτελείται από δύο τουλάχιστον ημικύκλια μου η διάμετρός τους να βρίσκεται εντός του (άρα απαγορευμένη αυτή η περίπτωση). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 10

Επομένως αν αντικαθιστούσα την αντίστοιχη έκφραση της εκφώνησης από την:.που για τουλάχιστον ένα από αυτά τα μέρη να υπάρχουν τουλάχιστον δύο τμήματα της γραμμής από την οποία περιορίζεται που να αποκόπτουν από αυτήν ημικύκλια με την διάμετρο τους να βρίσκεται εντός του μέρους, τότε θα αποκλείαμε την περίπτωση «γιν γιάν» που ανέφερες και θα δεχόμασταν εκείνη του σχήματος που ακολουθεί (κάτω). Αυτές ήταν οι σκέψεις μου που με οδήγησαν στην συγκεκριμένη εκφώνηση. (*) Η ακτίνα του μικρού κύκλου είναι: μεγάλου κύκλου. AE R 3 r, όπου R είναι η ακτίνα του 3 3 (**) Θα παρακαλούσα τους μικρούς (μόνο σε ηλικία) συναδέλφους να ασχοληθούν με την απόδειξη της ισότητας των τριών αυτών εμβαδών τόσο στο σχήμα του Μιχάλη, όσο και σε αυτό που ακολουθεί για την Γεωμετρική τους προπονησούλα. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 11

ΘΕΜΑ 226 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ ) Δίνεται τρίγωνο ABC και σημείο P στο εσωτερικό του. Θεωρούμε D το σημείο τομής της CP με την AB ( Συμβολικά D CP AB και E BP AC. Αποδείξτε μία ειδική περίπτωση (βασικότατη) του θεωρήματος Miquel : Αν το τετράπλευρο ADPE είναι εγγράψιμο σε κύκλο τότε το άλλο σημείο τομής T των δύο κύκλων θα είναι σημείο της BC. Μπορείτε να διατυπώσετε το αντίστροφο τού παραπάνω προβλήματος και να το επιλύσετε; ΘΕΜΑ 227 Μπορεί η διαφορά δύο τριψήφιων αριθμών A,B οι οποίοι έχουν τα ίδια ψηφία αλλά με αντίθετη διάταξη, να είναι τετράγωνο κάποιου φυσικού αριθμού (διάφορου από το μηδέν); ΘΕΜΑ 228 Βρείτε όλους τους φυσικούς για τους οποίους ο αριθμός 1! 4! 7!... (3 1)! είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 12

ΘΕΜΑ 229 (DEMETRES ) Δίνεται ένα θετικός ακέραιος αριθμός. Αναδιατάσσουμε τα ψηφία του για να πάρουμε ένα άλλο ακέραιο αριθμό m. Να εξεταστεί αν το άθροισμά τους μπορεί να ισούται με 99...9 όπου εμφανίζονται ακριβώς 2011 εννιάρια. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Μια σπουδαία μέθοδος για την απόδειξη μιας συνεπαγωγής είναι η μέθοδος της αντιθετοαντιστροφής. Ας πούμε πρώτα τι ονομάζουμε λογική πρόταση. Λογική πρόταση, ονομάζουμε κάθε έκφραση που έχει νόημα και δέχεται έναν και μόνο από τους χαρακτηρισμούς αληθής (Α) ή ψευδής (Ψ). ΑΝΤΙΘΕΤΟΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ Έστω ότι έχουμε δύο λογικές προτάσεις p και q και ας συμβολίσουμε με p,q τις αρνήσεις των προτάσεων αυτών. Τότε η παρακάτω ισοδυναμία είναι πάντα αληθής: (p q) (q p). Συνεπώς, όταν θέλουμε να αποδείξουμε μια συνεπαγωγή p q, αρκεί να αποδείχνουμε (αν αυτό είναι ευκολότερο) την συνεπαγωγή: q p (δηλαδή ότι η άρνηση της qσυνεπάγεται την άρνηση της p. ΘΕΜΑ 230 Δίνονται οι ακέραιοι x,y. Αν η παράσταση x y δεν διαιρείται με το 3, να 2 2 αποδείξετε ότι ακριβώς ένα από τα x,y διαιρείται με το 3. ΘΕΜΑ 231 Να βρεθούν οι φυσικοί αριθμοί για τους οποίους οι αριθμοί είναι πρώτοι. 1και 2 (2) 1 Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 13

Θα χρησιμοποιήσουμε το εξής Λήμμα : "Αν 1 και a 2 είναι ακέραιοι τέτοιοι ώστε ο a 1 είναι πρώτος, τότε (ο a είναι r άρτιος, και) 2 για κάποιο θετικό ακέραιο r." ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΛΗΜΜΑΤΟΣ Το ότι o a είναι άρτιος είναι προφανές, αφού κάθε πρώτος αριθμός είναι η δύναμη ενός πολλαπλάσιου του δύο αυξημένη κατά την μονάδα. Δηλαδή εάν p είναι πρώτος, τότε ισχύει ότι j p (2k) 1 όπου j,k Z. Αυτό που μένει προς απόδειξη είναι το ότι m j 2. Είναι επίσης προφανές αφού εάν είχαμε έναν περιττό αριθμό π.χ. j 3 τότε θα είχαμε p 9 (για k 1, ή για άλλη τιμή του k κάποιον άλλο σύνθετο αριθμό) που δεν είναι πρώτος. Άρα θέλουμε να ισχύει ότι είναι άρτιος, δηλαδή παίρνει τη μορφή 2m. j p (2k) 1 όπου j,k Z και ο j ΘΕΜΑ 232 Αν οι θετικοί ακέραιοι a,b,c,d * είναι τέτοιοι ώστε ότι ο αριθμός 2 2 2 2 a b c d είναι σύνθετος. 2 2 ad b bc c, να δείξετε ΘΕΜΑ 233 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ ) Θεωρούμε ευθεία (ε) και σημεία της Α,B,C ώστε AB BC.Έστω ότι δύο άνισοι κύκλοι με κέντρα τα σημεία A,C τέμνουν ένα κύκλο με κέντρο το σημείο B στα σημεία D,E. Να συγκριθούν οι χορδές οι αποκοπτόμενες από τις περιφέρειες με κέντρα τα σημεία A,B από την ευθεία DE. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 14

ΘΕΜΑ 234 (ΣΩΤΗΡΗΣ ΛΟΥΡΙΔΑΣ ) Α) Αν a,b και ab 0, να αποδειχθεί ότι: 2 2 2 (a b) a b, επίσης αν a,b,c και a b c 0, να αποδειχθεί ότι: 3 3 3 a b c 3abc. Β) Έστω m, και 0 t 2 * 3 3. Αποδείξτε ότι: mt 2 m 3 3 1. 2 t Μια υπενθύμιση (Ταυτότητα Euler): 3 3 3 2 2 2 a b c 3abc a b c a b c ab bc ca ή 3 3 3 1 2 2 2 a b c 3abc a b c a b b c c a. 2 ΘΕΜΑ 235 Να αποδείξετε ότι ανάμεσα από 79 διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς, μπορούμε να βρούμε έναν, που το άθροισμα των ψηφίων του να είναι διαιρετό με 13. Ισχύει η πρόταση για 78 διαδοχικούς φυσικούς; ΘΕΜΑ 236 Έστω a,a,...,a δοσμένα ευθύγραμμα τμήματα με 1 a a... a 10. 1 2 7 1 2 7 Να αποδείξετε ότι 3 τουλάχιστον από αυτά είναι πλευρές τριγώνου. ΘΕΜΑ 237 Να δείξετε ότι κάθε τέλειος κύβος γράφεται ως διαφορά τετραγώνων ακεραίων. ΘΕΜΑ 238 Να βρεθεί ο μέγιστος αριθμός διαδοχικών ακεραίων που μπορούν να γραφούν στη 2 2 μορφή 2m, m,. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 15

ΘΕΜΑ 239 Να βρείτε όλες τις τριάδες θετικών ακεραίων (a,b,c)τέτοιες ώστε [a,b,c] a b c όπου [a,b,c] το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των a,b,c. ΘΕΜΑ 240 Να δείξετε ότι ο ΘΕΜΑ 241 20k 4 10k 2 a a 1 (Atemlos ) είναι σύνθετος για * a N,a 1,k N. Έστω 1 a Z, a R 0. Να αποδείξετε ότι a a 1 Z, για κάθε N. a ΘΕΜΑ 242 Να βρείτε τα έξι τελευταία ψηφία του αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης. 109 5, όταν ο αριθμός αυτός γραφτεί Χρειάζεται να γνωρίζουμε το http://e.wikipedia.org/wiki/biomial_theorem (διωνυμικό θεώρημα). ΘΕΜΑ 243 Αν οι θετικοί ακέραιοι x,y,z,t,a,b είναι τέτοιοι ώστε xt yz 1 και x a z να y b t δείξετε ότι ab (x z)(y t). ΘΕΜΑ 244 Αν x και y είναι ακέραιοι, τότε ο αριθμός x yείναι επίσης ακέραιος. Η πράξη ικανοποιεί τα ακόλουθα: x (y z) (x y) z, για όλους τους ακέραιους x,y,z. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 16

(y z) x (y x) 2z, για όλους τους ακέραιους x,y,z. 1 1 1. Να υπολογίσετε τον αριθμό 25 10. Bous: Δείξτε ότι: a b 2a b. ΘΕΜΑ 245 Σε ένα διαγωνισμό τοξοβολίας συμμετέχουν 30 αθλητές. Ο στόχος χωρίζεται σε δύο ζώνες, τις A και B. Αν το βέλος χτυπήσει στη ζώνη A, ο αθλητής κερδίζει 10 βαθμούς ενώ αν χτυπήσει στη ζώνη B, κερδίζει 5 βαθμούς. Δεν δίνονται βαθμοί για τα βέλη που δεν βρίσκουν το στόχο. Κάθε αθλητής ρίχνει 16 βέλη. Στο τέλος του διαγωνισμού, παρατηρήθηκε ότι πάνω από το 50% των βελών χτύπησαν στη ζώνη B, ενώ ο αριθμός των βελών που χτύπησαν στη ζώνη A είναι ίσος με τον αριθμό αυτών που δεν βρήκαν το στόχο. Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο αθλητές με την ίδια βαθμολογία. ΘΕΜΑ 246 Να λυθεί η εξίσωση: (x 4)(x 5)(x 6)(x 7) 1680. ΘΕΜΑ 247 Χρωματίζουμε όλα τα σημεία του επιπέδου με 2 χρώματα. Να δείξετε ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία του επιπέδου που έχουν το ίδιο χρώμα και απέχουν μεταξύ τους απόσταση 1. ΘΕΜΑ 248 Χρωματίζουμε όλα τα σημεία του επιπέδου με τρία χρώματα. Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον σημεία του επιπέδου που έχουν το ίδιο χρώμα και απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με 1. Υπάρχει και εδώ (με επιπλέον ερώτημα). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 17

ΘΕΜΑ 249 25 Να αποδείξετε ότι η παράσταση A ( 2 2 3) είναι τέλειο τετράγωνο 2 ακεραίου, αν γνωρίζουμε ότι η A είναι ακέραιος αριθμός ( N) ΘΕΜΑ 250 Αν x,y και αν ισχύει ότι: αριθμητική τιμή της παράστασης: 2 2 2 2 x y 3x y 8(x y 2xy) 43, να βρείτε την 4 4 A x y. ΘΕΜΑ 251 Σε ένα ενυδρείο υπάρχουν ψάρια και των δύο φύλων. Επιλέγουμε στη τύχη δύο ψάρια. Αν η πιθανότητα να είναι και τα δύο του ιδίου φύλου είναι 1 2, να δείξετε ότι ο αριθμός των ψαριών στο ενυδρείο είναι τέλειο τετράγωνο ακεραίου. ΘΕΜΑ 252 Αν x και y είναι μη αρνητικοί ακέραιοι, τότε ο αριθμός x yείναι επίσης μη αρνητικός ακέραιος. Η πράξη ικανοποιεί τη συνθήκη: (x y)(y z) x z (1). Αν 23 47 0 να υπολογίσετε τον αριθμό 61 89. ΘΕΜΑ 253 Ένας αριθμός ατόμων παίζουν το παρακάτω παιχνίδι: Κάθε παίκτης έχει αρχικά 300. Στην αρχή κάθε γύρου, ο κάθε παίκτης δίνει 10 στη "μάνα". Τα χρήματα αυτά δεν επιστρέφουν ξανά στο παιχνίδι. Στο τέλος κάθε γύρου, κάποιος παίκτης (π.χ. ο χαμένος ) μοιράζει τα χρήματά του στους υπόλοιπους παίκτες σε ίσα ποσά και αποχωρεί από το παιχνίδι. Το παιχνίδι τελειώνει όταν μείνει μόνο ένας παίκτης, ο οποίος είναι και ο νικητής. Αν ο νικητής έχει, στο τέλος του παιχνιδιού, τόσα χρήματα όσα ξεκίνησε, δηλαδή 300, να βρείτε τον αρχικό αριθμό των παικτών. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 18

ΘΕΜΑ 254 Να αποδείξετε ότι αν p πρώτος, με p 3, τότε ο αριθμός 2 p 1 διαιρείται με το 24. ΘΕΜΑ 255 Στο επίπεδο θεωρούμε ένα 2011 γωνο. Να εξετάσετε αν είναι δυνατόν να φέρουμε μια ευθεία πάνω σε αυτό το επίπεδο που να τέμνει όλες τις πλευρές του. ΘΕΜΑ 256 Αν για τους πραγματικούς αριθμούς a,b,c ισχύει: 2 2 ab ac b ac c ab και οι ρίζες της εξίσωσης 2 ax bx c 0 είναι πραγματικές, τότε να αποδείξετε μόνο η μία ρίζα της εξίσωσης θα περιέχεται μεταξύ 0 και 2 (δηλαδή μόνο μια ρίζα της θα ανήκει στο διάστημα (0,2). ΘΕΜΑ 257 (Cretama ) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός 2 1δεν διαιρείται από το 25. ΘΕΜΑ 258 Θεωρούμε ένα κυρτό 100 γωνο A A...A. Φέρνουμε την διαγώνιο A A που το 1 2 100 42 81 χωρίζει σε δύο κυρτά πολύγωνα A,B. Πόσες κορυφές και πόσες διαγώνιες έχει καθένα από τα δύο αυτά πολύγωνα; ΘΕΜΑ 259 Να λυθεί η εξίσωση: x x 2 3 27 27 1 3cos x. (ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Με το σύμβολοcosx συμβολίζουμε το συνx ). ΘΕΜΑ 260 Αν πολλαπλασιάσουμε δύο οποιουσδήποτε αριθμούς του συνόλου S {2,5,13} Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 19

και ύστερα αφαιρέσουμε τον αριθμό 1, τότε ο νέος αριθμός που θα προκύψει θα είναι τέλειο τετράγωνο. Να αποδείξετε ότι το σύνολο S δεν μπορεί να επεκταθεί με την προσθήκη ενός άλλου ακεραίου χωρίς να παραβιασθεί η παραπάνω συνθήκη. Για την ιστορία, είναι το πρόβλημα 1 της διεθνούς ολυμπιάδας το 1986! ΘΕΜΑ 261 Σε ένα μαγικό τετράγωνο 4x4 το άθροισμα των αριθμών κάθε στήλης, γραμμής και διαγωνίου είναι το ίδιο και έστω ίσο με s. Να δείξετε ότι το άθροισμα των αριθμών στα τετράγωνα των τεσσάρων κορυφών του τετραγώνου είναι επίσης ίσο με s. ΘΕΜΑ 262 Να βρείτε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 11 x 2x 1 3y 4y 1 2. 5 ΘΕΜΑ 263 Αν m, N {0,1} τέτοιοι ώστε m 6 0, να δείξετε ότι m 1 6 2m. ΘΕΜΑ 264 Το υποσύνολο A των πραγματικών αριθμών, έχει τις ιδιότητες: Z A 2 3 A Αν a,b A a b A, ab A. Να αποδείξετε ότι (όπου Z είναι το σύνολο των ακεραίων). 1 2 3 A. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 20

ΘΕΜΑ 265 Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ABC θεωρούμε ένα σημείο D στην βάση BC και ένα σημείο E στην πλευρά AC έτσι ώστε να είναι γωνία B A D 2 CDE. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ADE είναι ισοσκελές. (Για την Γ Γυμνασίου) ΘΕΜΑ 266 Θεωρούμε τα πολυώνυμα 2 R(x) x 5x a. 4 3 2 P(x) x 3x x 3,Q(x) x 2x 3 και α) Να ορίσετε το a έτσι ώστε το πολυώνυμο R(x) να διαιρείται από το x 2. β) Να αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων τα πολυώνυμα R(x),P(x),Q(x). γ) Να αποδείξετε ότι η παράσταση 2 P(x) x x 15 είναι τέλειο τετράγωνο. Q(x) (Για την Γ Γυμνασίου) (ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η διαίρεση πολυωνύμου διά πολυώνυμο δεν είναι μέσα στην διδακτέα ύλη, νομίζω όμως ότι όποιος λαβαίνει μέρος σε τέτοιου είδους διαγωνισμούς, πρέπει να την μελετήσει.) ΘΕΜΑ 267 α) Αν 2 2 2 b c a,b c να υπολογίσετε την παράσταση: b c b c b c b c 3 3 3 3. β) Αν 1 a k,a 0, να βρεθεί η παράσταση: a a 4 1 σαν έκφραση του k. 4 a (Για την Γ Γυμνασίου) Σημείωση: χρησιμοποιήστε τις ταυτότητες: 3 3 2 2 a b (a b)(a ab b ) και 3 3 2 2 a b (a b)(a ab b ). Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 21

ΘΕΜΑ 268 Σε τρίγωνο ABC τα μήκη των πλευρών του, είναι διαδοχικοί ακέραιοι και ισχύει AB BC CA. Αν η διχοτόμος AD είναι κάθετη στην διάμεσο BE, να βρεθούν τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. (Για την Β Γυμνασίου) ΘΕΜΑ 269 Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x,x,x,x για τους οποίους ισχύουν 1 2 3 4 ταυτόχρονα οι σχέσεις x x x x 1 και x x x x 1. 2 2 2 2 1 2 3 4 4 4 4 4 1 2 3 4 (Για την Γ Γυμνασίου) ΘΕΜΑ 270 x x a a Αν y,a 0,a 1,x 0 x x a a συνάρτηση του y. και αν z a a 4x 4x 4x a, να εκφράσετε το z σαν 4x a (Για την Γ Γυμνασίου) ΘΕΜΑ 271 Ποιο είναι το τελευταίο ψηφίο του αριθμού: A 99999 999999999. ΘΕΜΑ 272 Να εξετάσετε αν ο αριθμός ΘΕΜΑ 273 A (Για την Β και την Γ Γυμνασίου) 1968 78 7 1968 3 68 2011 2001 είναι ακέραιος. (Για την Β και την Γ Γυμνασίου) Ισόπλευρο τρίγωνο και τετράγωνο έχουν την ίδια περίμετρο. Μπορεί να έχουν και το ίδιο εμβαδόν; (Για την Β Γυμνασίου) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 22

ΘΕΜΑ 274 1 1 1 1 Αν a b c k, τότε ένας τουλάχιστον από τους a,b,c θα είναι a b c k ίσος με k, (όπου οι αριθμοί a,b,c,k 0 ). (Για την Γ Γυμνασίου) ΘΕΜΑ 275 Να βρείτε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή της παράστασης: A 6x 8y αν γνωρίζουμε ότι 2 2 x y 1, x,y R. (Για την Γ Γυμνασίου) ΘΕΜΑ 276 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός φυσικό αριθμό. 156 12 13 1 διαιρείται με το 132 για κάθε (Για την Γ Γυμνασίου) ΘΕΜΑ 277 Αν ο ακέραιος a γράφεται ως άθροισμα τετραγώνων δύο ακεραίων, τότε και ο αριθμός 10a γράφεται επίσης ως άθροισμα τετραγώνων δύο ακεραίων. (Για την Γ Γυμνασίου) ΘΕΜΑ 278 Αν οι πραγματικοί αριθμοί x,y είναι καθένας τους άθροισμα δύο τετραγώνων, τότε και ο xy είναι επίσης άθροισμα δύο τετραγώνων. (Για την Γ Γυμνασίου) ΘΕΜΑ 279 Να αποδείξετε ότι η παράσταση κάθε θετικό ακέραιο. ΘΕΜΑ 280 2 2 A 3 2 3 2 διαιρείται με το 10 για (Για την Β Γυμνασίου) Μπορεί το άθροισμα πέντε διαδοχικών φυσικών αριθμών να είναι πρώτος; Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 23

Το ίδιο να εξετάσετε και για το άθροισμα των τετραγώνων πέντε διαδοχικών φυσικών αριθμών. (Για την Γ Γυμνασίου) ΘΕΜΑ 281 Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν ακέραιοι a,b,c,d τέτοιοι ώστε να ικανοποιούν όλες τις παρακάτω ισότητες: abcd a 111...1 (το πλήθος των άσων είναι 2011) abcd b 111...1 (το πλήθος των άσων είναι 2011) abcd c 111...1 (το πλήθος των άσων είναι 2011) abcd d 111...1 (το πλήθος των άσων είναι 2011) (Για την Β και την Γ Γυμνασίου) ΘΕΜΑ 282 Αν a,a,...,a είναι θετικοί αριθμοί και έχουν γινόμενο ίσο με μονάδα, να 1 2 αποδείξετε ότι (1 a )(1 a )...(1 a ) 2. (Για την Γ Γυμνασίου) 1 2 (Από την ανισότητα x y 2 xy ) ΘΕΜΑ 283 Οι εξωτερικές γωνίες ενός τριγώνου ABC είναι ανάλογες προς τους αριθμούς 2,3,4. Να υπολογισθούν οι εσωτερικές γωνίες του. (Για την Β και Γ Γυμνασίου) ΘΕΜΑ 284 Να βρεθούν τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού 70 2. (Για την Β και Γ Γυμνασίου) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 24

ΘΕΜΑ 285 Θεωρούμε τρίγωνο ABC με AB AC. Πάνω στην ημιευθεία AC παίρνουμε σημείο T τέτοιο ώστε AT AB και πάνω στην ημιευθεία AB παίρνουμε σημείο P ώστε AC AP. Έστω I το σημείο τομής των ευθειών BC,TP. Να αποδείξετε ότι η AI είναι διχοτόμος της γωνίας A. ΘΕΜΑ 286 (Για την Γ Γυμνασίου) Η αρχή του Περιστερώνα, είναι πολύ χρήσιμη σε αρκετές ασκήσεις. Έστω 99 ακέραιοι αριθμοί a,a,...,a. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακέραιοι k,m 1 2 99 με 0 k m 99, ώστε το άθροισμα a a... a πολ99. k 1 k 2 λ ΘΕΜΑ 287 Αν a,b θετικοί αριθμοί και m ακέραιος, να αποδείξετε ότι: m a b 1 1 2 b a m m 1. εδώ ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Χρησιμοποιήστε την γνωστή ανισότητα: a b 2 για κάθε a,b 0. b a ΘΕΜΑ 288 (socratis lyras ) Δίνονται οι θετικοί αριθμοί a,b,c με abc 1. Να αποδείξετε ότι: 8 729 a b c 6 a b b c c a. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 25

ΘΕΜΑ 289 (socratis lyras ) Αν a,b,c θετικοί πραγματικοί αριθμοί με a b c 1 να αποδείξετε ότι: 2 2 2 1 a b c 2 3abc. ΘΕΜΑ 290 Να αποδείξετε ότι ο αριθμός ΘΕΜΑ 291 2222 1111 9589 6051 διαιρείται ακριβώς με το 17. Να αποδειχθεί ότι για κάθε x N, ο αριθμός 2 3x 1991 είναι άρρητος. ΘΕΜΑ 292 Αν x Rκαι a,a,a,a είναι διαδοχικοί ακέραιοι αριθμοί και αν 1 2 3 4 (x a )(x a )(x a )(x a ) k, να αποδείξετε ότι k 1. 1 2 3 4 (Την άσκηση αυτή, είχε προτείνει το 1989 ο Αχιλλέας Συννεφακόπουλος, μαθητής τότε της Β Λυκείου, στο περιοδικό "ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β", μαζί με άλλες αξιόλογες ασκήσεις) ΘΕΜΑ 293 (Socrates ) Έστω A μη κενό υποσύνολο του έτσι ώστε: αν x,y και x y A τότε xy A. Να αποδείξετε ότι A. ΘΕΜΑ 294 (Socrates ) Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους τέτοιους ώστε: d, d / d 1 / 1. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 26

ΘΕΜΑ 295 (Socrates ) Να δείξετε ότι υπάρχει N τέτοιος ώστε 1 1 1 1... 2011 1 2 3 2. ΘΕΜΑ 296 (Socrates ) Θεωρούμε ένα πλήθος 1 ατόμων. Κάθε δύο άτομα συνδέονται με αμοιβαία φιλία ή αμοιβαία έχθρα. Κάθε φίλος φίλου και κάθε εχθρός εχθρού είναι φίλος. Αν τα άτομα A και B είναι φίλοι εχθροί τότε αυτό το μετράμε ως 1 φιλία έχθρα. Αν μεταξύ των ατόμων αυτών υπάρχει ίσος αριθμός από φιλίες και έχθρες,να βρείτε όλες τις δυνατές τιμές του. ΘΕΜΑ 297 Μια συλλογή διηγημάτων του Α. Παπαδιαμάντη περιέχει 70 διηγήματα, ένα μιας σελίδας, ένα δύο σελίδων,..., ένα 70 σελίδων και όχι αναγκαστικά με αυτή την σειρά. Κάθε διήγημα αρχίζει από καινούρια σελίδα και η αρίθμηση των σελίδων του βιβλίου αρχίζει από την πρώτη σελίδα. Ποιος είναι ο μέγιστος αριθμός διηγημάτων που αρχίζουν από σελίδα με περιττό αριθμό; ΕΜΕ Α Λυκείου ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Με αφορμή την άσκηση 284, όπου δόθηκαν λύσεις και χωρίς την χρήση των mod είναι χρήσιμα μερικά θεωρητικά στοιχεία, που παραθέτω: Έστω a,b φυσικοί αριθμοί (1) από την ταυτότητα παράγοντα το a έχουμε: (a b) α α b... αb b 1 1 βγάζοντας κοινό (a b) a(a a b... b ) b (a b) πολa b 1 2 1. (2) Για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει ότι 1 2 3 2 1 a b (a b)(a a b a b... b ) Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 27

Άρα έχουμε ότι για κάθε θετικό ακέραιο : a b πολ( a b). (3) Για κάθε περιττό θετικό ακέραιο ισχύει ότι 1 2 3 2 1 a b (a b)(a a b a b... b ) πoλ(a b). (4) Για κάθε άρτιο και θετικό ακέραιο ισχύει ότι 1 2 3 2 1 a b (a b)(a a b a b... b ) πoλ(a b). Ας δούμε μερικά παραδείγματα: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1: Να βρεθούν τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού ΛΥΣΗ A 4 (300 26) 4 (πoλ300 26 ) 4 πoλ300 4 26 A 4 (326). πoλ1200 4 (25 1) πoλ100 4(πoλ25 1 ) πoλ100 πoλ100 4 πoλ100 4. Άρα ο δοσμένος αριθμός λήγει σε 04. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2: Να βρεθούν τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού B 2 1 524. ΛΥΣΗ 2 1 2 1 2 1 B (500 24) πoλ500 24 πoλ100 24 24 24 2 πoλ100 24(24 1) 24 πoλ100 24(πoλ(24 1)) 24 πoλ100 24 πoλ25 24 πoλ100 6 4 πoλ25 24 πoλ100 πoλ100 24 πoλ100 24. Άρα ο δοσμένος αριθμός λήγει σε 24. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3: Να βρεθούν τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού 100 C 902. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 28

ΛΥΣΗ 100 100 10 10 C (900 2) πoλ900 2 πoλ100 (2 ) 10 10 πoλ100 1024 πoλ100 (1000 24) 10 10 πoλ100 πoλ1000 24 πoλ100 πoλ100 24 24 24 9 πoλ100 24(24 1) 24 πoλ100 6 4 πoλ(24 1) 24 πoλ100 πoλ100 24 πoλ100 24 Άρα ο δοσμένος αριθμός λήγει σε 76. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4: Να βρεθούν τα δύο τελευταία ψηφία του αριθμού ΛΥΣΗ 1689 D 6. 1689 3 663 663 663 663 D 6 (6 ) 216 (200 16) πολ 200 16 4 663 2652 2 2650 10 265 πολ100 (2 ) πολ100 2 πολ100 2 2 πολ100 4 (2 ) 265 265 πολ100 4 1024 πολ100 4 (1000 24) 265 265 2 2 πολ100 4 (πολ1000 24 ) πολ100 4 πολ1000 4 (24 24 24 ) 2 263 2 πολ100 πολ100 4 [24 (24 1) 24 ] 2 2 πολ100 4 [24 24 πολ(24 1) 24 ] πολ100 πολ100 4 24 πολ100 2304. Άρα ο δοσμένος αριθμός λήγει σε 96. ΘΕΜΑ 298 Σε μια μαθητική κατασκήνωση παρατηρήθηκε ότι: α) Κάθε μαθητής γνώριζε έναν τουλάχιστον άλλο μαθητή. (Θεωρούμε ότι αν ο μαθητής A γνωρίζει τον B, τότε και ο B γνωρίζει τον A.) β) Αν δύο μαθητές έχουν τον ίδιο αριθμό γνωστών, τότε δεν έχουν κοινό γνωστό μαθητή. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 29

Να δείξετε ότι ένας τουλάχιστον από τους μαθητές έχει μόνο ένα γνωστό. ΘΕΜΑ 299 Μπορούμε να τοποθετήσουμε στα τετράγωνα μιας σκακιέρας 6x6 αριθμούς από το σύνολο { 1,0,1} έτσι ώστε σε κάθε γραμμή, στήλη και διαγώνιο το άθροισμα των αριθμών να είναι διαφορετικό; ΘΕΜΑ 300 Οι θετικοί ακέραιοι a,a,...,a,... ικανοποιούν τη σχέση a a a 1 για κάθε 1 2 2 1 θετικό ακέραιο. Να δείξετε ότι αν 5 τότε ο αριθμός a 7 είναι σύνθετος. Επιμέλεια: xr.tsif Σελίδα 30