Δυναμική Μηχανών I 8 2 Προσέγγιση Galerkin Χειμερινό Εξάμηνο 214 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών, ΕΜΠ Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D.
215 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια
Περιεχόμενα Γενική Ιδέα Προσεγγιστικών Λύσεων ΜΔΕ Προσέγγιση Galerkin Παράδειγμα
Γενική Ιδέα Προσεγγιστικών Λύσεων ΜΔΕ
Επανάληψη: Αναλυτική Επίλυση ΜΔΕ Σε 1D προβλήματα, η απόκριση q x, t είναι επαλληλία των ιδιομορφών n Χ(x) μέσω των συντελεστών συνεισφοράς η n (t): q x, t = n=1 n Χ(x) η n (t) H απόκριση υπολογίζεται λύνοντας μια σειρά από ΣΔΕ 2 ης τάξης, κάθε μια από τις οποίες παρέχει την απόκριση η n (t) Επιπλέον, συνήθως, η απόκριση q x, t κυριαρχείται από λίγες ιδιομορφές που αντιστοιχούν στις πιο αργές ιδιοσυχνότητες q x, t N r n=1 n Χ(x) η n (t)
Ανάγκη Για Αριθμητικές Λύσεις Δυστυχώς, οι ιδιομορφές n Χ(r) μπορούν να υπολογιστούν αναλυτικά μόνο για πολύ απλά μοντέλα (1D, 2D) Χρειαζόμαστε αριθμητικές λύσεις! Η βασική ιδέα των προσεγγιστικών μεθόδων (Galerkin) θα περιγραφεί σε 1D μοντέλα Η μέθοδος Galerkin θα επεκταθεί στην μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (finete element method) Πιο γενική και χρήσιμη μέθοδος, εφαρμόζεται σε συστήματα 1D, 2D, 3D πολύπλοκης γεωμετρίας και ιδιοτήτων υλικών
Λύση ΜΔΕ σε απλές γεωμετρίες Προσέγγιση Galerkin
Μέθοδος Galerkin σε 1D Προβλήματα Βασική ιδέα: η απόκριση q x, t της ΜΔΕ προσεγγίζονται χρησιμοποιώντας συναρτήσεις προσέγγισης n Χ(x) ως: q x, t Ν n=1 n Χ(x) η n (t) Ισοδύναμα, σε μητρωϊκή μορφή: q x, t X(x) T η(t) X x = 1 Χ(x) N Χ(x), η t = η 1 (t) η N (t) Διάνυσμα συναρτήσεων προσέγγισης Διάνυσμα απόκρισης ιδιομορφών Το διάνυσμα η t είναι οι Β.Ε. ενός νέου μοντέλου διακριτών Β.Ε. που προσεγγίζει το σύστημα συνεχούς μέσου
Μέθοδος Galerkin σε 1D Προβλήματα Συναρτήσεις Προσέγγισης n Χ(x): Πρέπει να ικανοποιούν τις οριακές συνθήκες του προβλήματος Πρέπει να είναι πλήρεις και ανεξάρτητες μεταξύ τους Πολυωνυμικές Συναρτήσεις (τρίγωνο Pascal) Συναρτήσεις egendre Αρμονικές Συναρτήσεις Ιδεατά, προσεγγίζουν τις ιδιομορφές n Χ(x)
Μέθοδος Galerkin: Κινητική Ενέργεια Η κινητική ενέργεια Τ του συστήματος υπολογίζεται ως προς τους Β.Ε. η t Σε 1D μοντέλα (2 ης ή 4 ης τάξης) Τ = dt(x)dx = 1 = 1 2 ηt (t) 2 μ(x) y x, t 2 dx = 1 2 μ(x) X x X(x) T dx Το αντίστοιχο μητρώο αδράνειας είναι: Μ = μ(x) ( X(x) T μ(x) X x X(x) T dx Το στοιχείο M i,j του μητρώου αδράνειας Μ είναι: M i,j = μ(x) i Χ(x) η (t)) T X(x) T η(t) = 1 2 ηt (t) Μ j Χ(x)dx η(t) η(t)dx =
Μέθοδος Galerkin: Δυναμική Ενέργεια Σε 1D προβλήματα 2 ης τάξης, για τον υπολογισμό της δυναμικής ενέργειας χρειάζεται η παράγωγος q x, t, η οποία εκφράζεται ως: q x, t Ν n=1 n Χ(x) η n (t) q x, t Ν n=1 q x, t b(x) T η(t) d dx ( n Χ(x)) η n (t) Οπότε τα στοιχεία του b x είναι οι παράγωγοι των στοιχείων του X x b x = d dx ( 1 Χ x ) d dx ( N Χ x )
Μέθοδος Galerkin: Δυναμική Ενέργεια Η δυναμική ενέργεια U του συστήματος μπορεί να υπολογιστεί ως μια τετραγωνική μορφή του η t Σε 1D μοντέλα 2 ης τάξης U = dv(x)dx = 1 = 1 2 ηt (t) 2 κ(x)y x, t 2 dx = 1 2 Το αντίστοιχο μητρώο ελαστικότητας Κ είναι: κ(x) ( b(x) T η(t)) T b(x) T η(t)dx = κ(x) b x b(x) T dx η(t) = 1 2 ηt (t) Κ η(t) Κ = κ(x) b x b(x) T dx Το στοιχείο Κ i,j του μητρώου ελαστικότητας Κ είναι: Κ i,j = κ(x) i Χ x j Χ x dx
Μέθοδος Galerkin: Δυναμική Ενέργεια Αντίστοιχα, σε 1D προβλήματα 4 ης τάξης, για τον υπολογισμό της δυναμικής ενέργειας χρειάζεται η παράγωγος q x, t, η οποία εκφράζεται ως: q x, t b(x) T η(t) d 2 dx b x = 2 ( 1 Χ x ) d 2 dx 2 ( N Χ x ) Το αντίστοιχο μητρώο ελαστικότητας είναι πάλι Κ = κ(x) b x b(x) T dx Τώρα όμως το διάνυσμα b x περιέχει τις δεύτερες παραγώγους των n Χ x
Μέθοδος Galerkin: Δυνατό Έργο Οι γενικευμένες δυνάμεις ξ που αντιστοιχούν στους Β.Ε. η(t) υπολογίζονται από το δυνατό έργο λόγω των εξωτερικών διεγέρσεων f x, t, το οποίο υπολογίζεται ως Οπότε δw = δq(x, t) f x, t dx = δw = δη(t) T ξ = δη(t) T X x f x, t dx X x f x, t dx = δη(t) T ξ X x f x, t dx
Μέθοδος Galerkin: Αρχικές Συνθήκες Οι αρχικές συνθήκες η() δεν μπορούν να προκύψουν απλά από την y x, X(x) T η() Δεν είναι δυνατών να βρεθούν Ν στοιχεία η() που να ικανοποιούν την σχέση αυτή για κάθε x Τα η() υπολογίζονται με βάση αρχικές συνθήκες σε Ν σημεία: Παρόμοια, τα X(x 1 ) T X(x Ν ) T η = q x 1, q x Ν, η() υπολογίζονται από τα ίδια σημεία: X(x 1 ) T X(x Ν ) T η() = q x 1, q x Ν,
Μέθοδος Galerkin Συμπερασματικά, η δυναμική του συστήματος 2 ης τάξης μ 2 q t 2 x q κ x = f x, t Προσεγγίζεται μέσω της μεθόδου Galerkin ως q x, t Ν n=1 n Χ x η n t = X(x) T η(t) Όπου η απόκριση των Ν Β.Ε. η t υπολογίζεται από ένα σύστημα Ν ΣΔΕ: Μ η t + Κ η t = ξ Τα μητρώα Μ, Κ, οι γενικευμένες δυνάμεις ξ και οι αρχικές συνθήκες η, η υπολογίστηκαν στα προηγούμενα slides
Μέθοδος Galerkin: Ειδική Περίπτωση Η q x, t εκφράζεται μέσω των μετατοπίσεων n q t = q x n, t σε Ν επιλεγμένα σημεία x n μέσω συναρτήσεων προσέγγισης που ονομάζονται συναρτήσεις μορφής n Ν x q x, t Ν n=1 n x = n Ν x q x n, t 1 Ν x Ν Ν x Ν n=1 n Ν x n q t = n(x) T q(t), q t = n q(t) N q(t) Ιδιότητες συναρτήσεων μορφής: n Ν x 1 n Ν x m =, n m 1, n = m
Προσέγγιση Galerkin Συμπερασματικά, η δυναμική απόκριση q x, t ενός 1D ελαστικού συστήματος συνεχούς μέσου προσεγγίζεται ως q x, t n(x) T q(t) όπου q t είναι η απόκριση της κατασκευής σε Ν επιλεγμένα σημεία, η οποία υπολογίζεται από την απόκριση ενός συστήματος Ν ΣΔΕ: Μ q t + Κ q t = ξ Η μέθοδος εφαρμόζεται πρακτικά μόνο σε 1D προβλήματα. Σε πολύπλοκες 3D κατασκευές είναι δύσκολο να βρεθούν κατάλληλες συναρτήσεις μορφής n(x) για όλη την κατασκευή επόμενο βήμα: μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων
Παράδειγμα Θέμα Νοεμβρίου 213
Λύση: Προσέγγιση Galerkin Η εγάρσια μετατόπιση w(x, t) κάθε σημείου στην δοκό εκφράζεται ως συνάρτηση της μετατόπισης w t = w, t στην άκρη της δοκού w x, t = Ν x w, t = Ν x w t μέσω της συνάρτησης μορφής Ν x = 1 cos( π 2 x) Οι χρονικές και χωρικές παράγωγοι υπολογίζονται ως: w x, t = Ν x w t w x, t = N x w t = π 2 sin( π 2 x) w t w x, t = N x w t = ( π 2 )2 cos( π 2 x) w t
Λύση: Κινητική Ενέργεια Τ = Τ Μ + Τ δοκος = 1 2 M w 2 + = 1 2 M w 2 + 1 2 ρα(ν x 1 2 ρα w(x, t)2 dx = w t ) 2 dx = = 1 2 M + ρα Ν x 2 dx w 2 = 1 M +.227ρΑ 2 Επομένως το μητρώο αδράνειας του συστήματος ως προς τον Β.Ε. w t είναι: m = M +.227ρΑ w 2
Σχόλιο Λύση: Κινητική Ενέργεια Ενώ η συνολική μάζα της δοκού είναι ρα, η αδράνεια της δοκού ως προς την εγκάρσια κίνηση w t είναι μόλις.227ρα. Ο λόγος είναι ότι η εγκάρσια ταχύτητα της δοκού κοντά στην πάκτωση είναι πάντα μικρότερη από την ταχύτητα w t κοντά στο ελεύθερο άκρο.
Λύση: Δυναμική Ενέργεια Το ελατήριο σταθεράς k στην θέση x = /2 ονομάζεται k 1 Τα τρία ελατήρια στην θέση x = (δύο ελατήρια σταθεράς k στην σειρά, το ισοδύναμο των οποίων είναι παράλληλα με ένα ελατήριο σταθεράς k) αντικαθιστώνται από το ισοδύναμο k 23 = k +.5k = 1.5k Δυναμική ενέργεια: U = U k1 + U k23 + U δοκος = 1 2 k 1(w( 2, t))2 + 1 2 k 23(w(, t)) 2 1 2 EI(w (x, t)) 2 dx
Λύση: Δυναμική Ενέργεια U = 1 2 k(n( 2 )w t ) 2 + 1 2 3k 2 (w t ) 2 + 1 2 EI(N (x)w t ) 2 dx = = 1 2 k(.293w t ) 2 + 1 2 1.5kw t 2 + 1 2 EI N (x) 2 dx w t 2 = = 1 EIπ4.858k + 1.5k + 2 32 3 w t 2 = 1 EI 1.586k + 3.4 2 3 w t 2 Επομένως το μητρώο ελαστικότητας του συστήματος ως προς τον Β.Ε. w t είναι: k = 1.586k + 3.4 EI 3
Σχόλια Λύση: Δυναμική Ενέργεια Το ελατήριο k 1 συνεισφέρει πολύ λιγότερο στην δυναμική ενέργεια συγκριτικά με τα k 23 λόγω του πολύ μικρότερου εύρους κίνησης του (μόλις το N =.293) συγκρητικά με την w 2 t Από την μηχανική του παραμορφώσιμου στερεού, η παραμόρφωση στο ελεύθερο άκρο ενός πακτωμένου δοκού (, E, I) στο οποίο ασκείται δύναμη F (στο ελεύθερο άκρο) είναι δ = 3 3EI F. Αυτό αντιστοιχεί σε ένα καμπτικό ελατήριο σταθεράς k = 3ΕΙ 3. Παρατηρούμε ότι αυτό είναι πολύ κοντά στην σταθερά ελατηρίου που υπολογίστηκε παραπάνω (3.4 EI 3)
Λύση: Δυναμικές Εξισώσεις Επειδή δεν υπάρχουν εξωτερικές διεγέρσεις ή δυνάμεις απόσβεσης, το γενικευμένο έργο είναι μηδέν ξ = Μέσω της μεθόδου agrange, η δυναμική εξίσωση του συστήματος ως προς τον Β.Ε. w (t) είναι: t w + U t = ξ m w (t) + k w (t) = H δυναμική εξίσωση του συστήματος είναι μια ΣΔΕ 2 ης ταξης H φυσική κυκλική συχνότητα του συστήματος είναι: ω = k m = 1.586k + 3.4 EI 3 M +.227ρΑ
Επέκταση: Εξωτερική Διέγερση Έστω ότι στην δοκό ασκείται εξωτερική διέγερση f 1 (t) στην θέση x =.75, και f 2 (t) στην θέση x =. Να υπολογιστεί η επακόλουθη γενικευμένη δύναμη ως προς τον Β.Ε. w Λύση Η εγκάρσια κίνηση στα σημεία όπου ασκούνται οι δυνάμεις f 1 (t) και f 2 (t) είναι: w x f1, t = Ν.75 w t =.62 w t w x f2, t = Ν w t = w t Το αντίστοιχο γενικευμένο έργο είναι: δw =.62 δw t f 1 t + δw t f 2 t = = δw t (.62 f 1 t + f 2 t )
Επέκταση: Εξωτερική Διέγερση Οι αντίστοιχες γενικευμένες δυνάμεις είναι: ξ =.62 f 1 t +f 2 t Και οι δυναμικές εξισώσεις του συστήματος ως προς τον Β.Ε. w (t) είναι: m w (t) + k w (t) =.62 f 1 t +f 2 t