HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τρίτη, 02/05/2017 Θεωρία πιθανοτήτων Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 04-May-17 1 1 04-May-17 2 2 Γιατί πιθανότητες; Γιατί πιθανότητες; Στον προτασιακό και κατηγορηματικό λογισμό μιλήσαμε για προτάσεις που είναι αληθείς ή ψευδείς. Στον πραγματικό κόσμο, συχνά δεν γνωρίζουμε κατά πόσον μία πρόταση είναι αληθής ή ψευδής. Η θεωρία πιθανοτήτων μας δίνει ένα τρόπο να σκεφτόμαστε για προτάσεις τον οποίων η αλήθεια είναι αβέβαιη. Είναι χρήσιμη στο να εκτιμούμε στοιχεία, να κάνουμε διάγνωση προβλημάτων, και να αναλύουμε καταστάσεις οι λεπτομέρειες των οποίων είναι άγνωστες. 04-May-17 3 3 Η θεωρία πιθανοτήτων παίζει τεράστιο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων την ακριβή συμπεριφορά των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε (κίνηση σωματιδίων, μακροοικονομικά μοντέλα, κλπ) Στην πληροφορική οι πιθανότητες έχουν πλήθος εφαρμογών, πχ, Στη μοντελοποίηση των παραπάνω συστημάτων στη μελέτη της δομής του διαδικτύου στην ανάλυση πιθανοτικών αλγορίθμων κλπ. 04-May-17 4 4 1
Τυχαίες μεταβλητές Μία τυχαία μεταβλητή V είναι κάθε μεταβλητή η τιμή της οποίας είναι άγνωστη, και η τιμή της οποίας εξαρτάται από τις συγκεκριμένες συνθήκες που επικρατούν κατά την εκτέλεση ενός πειράματος. Π.χ., ο αριθμός των φοιτητών στην τάξη σήμερα Π.χ., το κατά πόσον θα βρέξει το βράδυ Το πεδίο της V, dom[v] {v 1,,v n }, είναι το σύνολο όλων των δυνατών τιμών που η V μπορεί να πάρει. Η τυχαία μεταβλητή V είναι διακριτή αν το πεδίο της είναι πεπερασμένο ή αριθμήσιμο Μπορούμε επίσης να χειριστούμε άπειρα πεδία εάν χρειάζεται. Η πρόταση V=v i μπορεί να έχει μία αβέβαιη τιμή αληθείας, και θέλουμε να συσχετίσουμε με αυτή μία πιθανότητα. Πειράματα & δειγματικοί χώροι Μπορούμε να θεωρήσουμε ένα πείραμα ως μία διαδικασία κατά την οποία σε μία δοσμένη τυχαία μεταβλητή V εκχωρείται μία συγκεκριμένη τιμή, όπου αυτή η τιμή δεν είναι εκ των προτέρων γνωστή. Ονομάζουμε αυτή την τιμή πραγματική τιμή της μεταβλητής, όπως αυτή καθορίστηκε από το συγκεκριμένο πείραμα. Ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος είναι το πεδίο της τυχαίας μεταβλητής, Ω = dom[v] (όπως είπαμε, το σύνολο όλων των δυνατών ενδεχομένων τιμών της). Η συγκεκριμένη τιμή v i που εκχωρείται στην τυχαία μεταβλητή αποτελεί το αποτέλεσμα του πειράματος. 04-May-17 5 5 04-May-17 6 6 Πειράματα & δειγματικοί χώροι Έχουμε ήδη δει πειράματα στην συνδυαστική, πχ., έστω το πείραμα της ρίψης ενός ζαριού. Ο δειγματικός χώρος του πειράματος αυτού είναι το σύνολο Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Έστω μία τυχαία μεταβλητή V που ορίζεται ως «η ζαριά που θα φέρει κανείς όταν ρίξει ένα ζάρι». Το πεδίο της τυχαίας μεταβλητής dom[v] είναι ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. Η εκτέλεση του πειράματος, εκχωρεί στην τυχαία μεταβλητή V μία συγκεκριμένη τιμή από το Ω (έστω v i = 5) Το «5» είναι η πραγματική τιμή της μεταβλητής, όπως αυτή καθορίστηκε από το συγκεκριμένο πείραμα. Επίσης, στη συνδυαστική, μιλήσαμε για τον πληθικό αριθμό των δειγματικών χώρων για αρκετές κατηγορίες πειραμάτων Ενδεχόμενα Ένα ενδεχόμενο Γ είναι ένα υποσύνολο του δειγματικού χώρου Ω Δηλαδή, Γ Ω = dom[v]. Π.χ., το ενδεχόμενο λιγότεροι από 50 φοιτητές θα εμφανιστούν στο επόμενο μάθημα αναπαριστάται σαν το σύνολο {0, 1, 2,, 49} τιμών της μεταβλητής V = ο αριθμός των φοιτητών στο επόμενο μάθημα. Λέμε ότι το ενδεχόμενο Γ συμβαίνει όταν η πραγματική τιμή της V (μετά την εκτέλεση του πειράματος) ανήκει στο Γ, το οποίο το γράφουμε και ως V Γ. Το V Γ συμβολίζει την πρόταση (αβέβαιης αληθείας) που λέει ότι το πραγματικό αποτέλεσμα (τιμή της V) θα είναι ένα από τα στοιχεία του Γ. 04-May-17 7 7 04-May-17 8 8 2
Πειράματα & δειγματικοί χώροι Πείραμα: Ρίψη νομίσματος Ω = {Κ, Γ} Πείραμα: Ρίψη δύο νομισμάτων το ένα μετά το άλλο Ω = {ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Πείραμα: Πυροβολώ μέχρι να πετύχω το στόχο (ε=επιτυχία, α=αποτυχία) Ω={ε, αε, ααε, αααε, } Ο δειγματικός χώρος Ω μπορεί να έχει άπειρα στοιχεία : Μπάλες Υποθέστε ότι ένα δοχείο περιέχει 4 μπλε μπάλες και 5 κόκκινες μπάλες. πειράματος: Επιλέγουμε τυχαία μία μπάλα από το δοχείο. τυχαίας μεταβλητής V: Η ταυτότητα της επιλεγμένης μπάλας. Ο δειγματικός χώρος Ω: Το σύνολο όλων των διαφορετικών τιμών της V: Σε αυτή την περίπτωση, Ω = {b 1,,b 9 } Ένα ενδεχόμενο Γ: Η επιλεγμένη μπάλα είναι μπλε : Γ = {b 2, b 4, b 8, b 9 } Ποιά είναι η πιθανότητα του Γ; b 1 b2 b 3 b4 b 5 b 6 b 7 b 8 b 9 04-May-17 9 9 04-May-17 10 10 Πιθανότητα, διαισθητικά Η πιθανότητα p = p(γ) [0,1] ενός ενδεχομένου Γ είναι ένας πραγματικός αριθμός που αναπαριστά τη βεβαιότητά μας ότι το Γ θα συμβεί. Εάν p(γ) = 1, τότε είμαστε απόλυτα βέβαιοι ότι το Γ θα συμβεί, Και επομένως θεωρούμε την πρόταση V Γ ως αληθή Εάν p(γ) = 0, τότε είμαστε απόλυτα βέβαιοι ότι το Γ δεν θα συμβεί, Και επομένως θεωρούμε την πρόταση V Γ ως ψευδή Εάν p(γ) = ½, τότε έχουμε τη μέγιστη αβεβαιότητα σχετικά με το κατά πόσον το Γ θα συμβεί, δηλαδή, το V Γ και το V Γ θεωρούνται ισοπίθανα... Πως ερμηνεύουμε τις άλλες τιμές της p; Ορισμοί της πιθανότητας Εναλλακτικοί ορισμοί της πιθανότητας: Με βάση τη συχνότητα εμφάνισης Αξιωματικός 04-May-17 11 11 04-May-17 12 12 3
Πιθανότητα: Ορισμός με βάση τη συχνότητα εμφάνισης Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Γ είναι το όριο, καθώς το n, του ποσοστού κατά το οποίο διαπιστώνουμε ότι V Γ κάνοντας n ανεξάρτητες επαναλήψεις του ίδιου πειράματος. n p( ) : lim V n n Μερικά προβλήματα αυτού του ορισμού: Είναι καλά ορισμένος για πειράματα που μπορούν να επαναληφθούν ανεξάρτητα, άπειρες φορές! Δεν μπορεί να μετρηθεί με ακρίβεια σε πεπερασμένο χρόνο! Πλεονέκτημα: Είναι ένας αντικειμενικός, μαθηματικός ορισμός. 04-May-17 13 13 Πιθανότητα: Αξιωματικός ορισμός Έστω p μία συνάρτηση p:ω [0,1] τέτοια ώστε s Ω p(s) = 1, και 0 p(s) 1, s Ω Τότε, η πιθανότητα κάθε ενδεχομένου Γ Ω είναι: p( ) : p( s) s 04-May-17 14 14 Απλά/σύνθετα ενδεχόμενα Απλό ενδεχόμενο Γ: Γ = 1 Π.χ., μια ζαριά να καταλήξει σε 6: Γ={6} Σύνθετο ενδεχόμενο Γ: Γ > 1 Π.χ., μια ζαριά να καταλήξει σε περιττό αριθμό: Π={1, 3, 5} 04-May-17 15 15 Έστω ότι ρίχνουμε δύο νομίσματα. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε δύο φορές κορώνα; Ω={ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ} Άρα το ΚΚ είναι απλό ενδεχόμενο. Έστω ότι όλα τα αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, δηλαδή p(kk)=p(κγ)=p(γκ)=p(γγ) Ξέρουμε ότι p(kk)+p(κγ)+p(γκ)+p(γγ)=1=4x=> x=1/4. Άρα p(kk)=1/4. 04-May-17 16 16 4
Έστω ότι πυροβολούμε ένα στόχο μέχρι να τον πετύχουμε. Ποια είναι η πιθανότητα να τον πετύχουμε την 10 η φορά; (υποθέστε ότι σε κάθε βολή υπάρχει ίση πιθανότητα ευστοχίας και αστοχίας) Ω={ε, αε, ααε, αααε, ααααε,.} p(ε) = 1/2 p(αε) = 1/4 p(α k-1 ε) = 1/2 k Προσέξτε ότι: 04-May-17 17 17 04-May-17 18 18 Πρόβλημα: Ποιά είναι η πιθανότητα να τραβήξει κανείς τέσσερις άσσους επιλέγοντας πέντε χαρτιά σε μία παρτίδα πόκερ; Πρόβλημα: Ποιά είναι η πιθανότητα να τραβήξει κανείς τέσσερις άσσους επιλέγοντας πέντε χαρτιά σε μία παρτίδα πόκερ; Απάντηση: Υπάρχουν 48 συνδυασμοί που περιλαμβάνουν τέσσερις άσσους (γιατί;;;;) Υπάρχουν C(52, 5) διαφορετικές πεντάδες φύλλων που μπορούν να μοιραστούν (γιατί;;;). Άρα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι 48/C(52, 5) = 0,0000185 04-May-17 19 19 04-May-17 20 20 5
Πρόβλημα: Ποιά είναι η πιθανότητα να τραβήξει κανείς τέσσερις άσσους επιλέγοντας πέντε χαρτιά σε μία παρτίδα πόκερ; Απάντηση: Υπάρχουν 48 συνδυασμοί που περιλαμβάνουν τέσσερις άσσους (επειδή C(4, 4) x (C(48, 1) = 48) Υπάρχουν C(52, 5) διαφορετικές πεντάδες φύλλων που μπορούν να μοιραστούν (επειδή πρέπει να βρούμε όλα τα διαφορετικά δυνατά υποσύνολα με πλ. αριθμό 5 που μπορούν να προκύψουν από ένα σύνολο 52 στοιχείων). Άρα, η ζητούμενη πιθανότητα είναι 48/C(52, 5) = 0,0000185 04-May-17 21 21 Έστω ότι μία παρέα αποτελείται από 23 άτομα. Ποια είναι η πιθανότητα να μην υπάρχουν δύο άτομα που να έχουν γενέθλια την ίδια μέρα του χρόνου (366 ημέρες); Ποιο είναι το πλήθος όλων των ενδεχομένων για τα γενέθλια όλων των ατόμων της παρέας; Ω = 366 23 Με πόσους τρόπους μπορούμε να επιλέξουμε 23 διαφορετικές μέρες σε ένα έτος ως ημέρες γενεθλίων των 23 ατόμων; P(366, 23) = 366!/343! Ποια είναι η ζητούμενη πιθανότητα; P(366, 23) / Ω = 0.494 (!!!) 04-May-17 22 22 Πράξεις μεταξύ ενδεχομένων (!) Εφόσον τα ενδεχόμενα τα ορίσαμε ως σύνολα (υποσύνολα του δειγματικού χώρου) μπορούμε να εφαρμόσουμε σε αυτά όλες τις γνωστές (από τη θεωρία συνόλων) πράξεις Αντίστοιχες πιθανότητες Έστω Γ 1,Γ 2 Ω = dom[v]. Τότε: p(γ 1 Γ 2 ) = Σ xi Γ 1 Γ 2 p(x i ) p(γ 1 Γ 2 ) = Σ xi Γ 1 Γ 2 p(x i ) p(γ 1 -Γ 2 ) = Σ xi Γ 1 -Γ 2 p(x i ) p(γ 1 Γ 2 ) = Σ xi Γ 1 Γ 2 p(x i ) 04-May-17 23 23 04-May-17 24 24 6
Πιθανότητα ένωσης ενδεχομένων Έστω Γ 1,Γ 2 Ω = dom[v]. Θεώρημα: p(γ 1 Γ 2 ) = p(γ 1 ) + p(γ 2 ) p(γ 1 Γ 2 ) Προκύπτει άμεσα από την αρχή του εγκλεισμού-αποκλεισμού... Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Δύο ενδεχόμενα Γ 1, Γ 2 ονομάζονται ασυμβίβαστα ή ξένα όταν Γ 1 Γ 2 = Για ασυμβίβαστα ενδεχόμενα, p(γ 1 Γ 2 ) = p(γ 1 ) + p(γ 2 ). Ενδεχόμενο Γ = συμπλήρωμα του Γ = Ω-Γ p(γ) = 1 p(γ) 04-May-17 25 25 04-May-17 26 26 Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα : Στη ρίψη ενός κέρματος, τα απλά ενδεχόμενα K= κορώνα Γ = γράμματα είναι ασυμβίβαστα. Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα : Στη ρίψη ενός ζαριού, τα σύνθετα ενδεχόμενα Α={2, 4, 6} Π = {1, 3, 5} είναι ασυμβίβαστα. Όμως τα {1, 2, 3, 4} και {3, 4, 5, 6} δεν είναι 04-May-17 27 27 04-May-17 28 28 7
Έστω 1000 άτομα παρακολουθούν έναν αγώνα. Από αυτά, 515 είναι γυναίκες και 485 είναι άνδρες. Έστω επίσης ότι γνωρίζουμε ότι από τις 515 γυναίκες, οι 90 είναι φίλαθλοι και ότι από τους 485 άνδρες οι 302 είναι φίλαθλοι Πείραμα: τυχαία επιλογή ενός ατόμου. γφ: όλες οι γυναίκες φίλαθλοι γμ: όλες οι γυναίκες που δεν είναι φίλαθλοι αφ: όλοι οι άντρες φίλαθλοι αμ: όλοι οι άντρες που δεν είναι φίλαθλοι Δειγματικός χώρος Ω = γφ γμ αφ αμ Τα γφ, γμ, αφ, αμ είναι ασυμβίβαστα, σύνθετα ενδεχόμενα η ένωση των οποίων δίνει το δειγματικό χώρο 04-May-17 29 29 04-May-17 30 30 Έστω 1000 άτομα παρακολουθούν έναν αγώνα. Από αυτά, 515 είναι γυναίκες και 485 είναι άνδρες. Ποια είναι η πιθανότητα να επιλέξουμε άτομο που είναι φίλαθλος ή είναι γυναίκα; (Ω={γφ, γμ, αφ, αμ}) 1 ος τρόπος 2 ος τρόπος 3 ος τρόπος 04-May-17 31 31 04-May-17 32 32 8
Ποια είναι η πιθανότητα να επιλέξουμε άντρα που δεν είναι φίλαθλος ή γυναίκα που είναι φίλαθλος; 1 ος τρόπος 2 ος τρόπος 04-May-17 33 33 9