11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το M ( x, y) x 2y 0mod5 είναι ελεύθερο -υποπρότυπο του και βρείτε μια βάση του Αληθεύει ότι κάθε -υποπρότυπο του M είναι ελεύθερο; 2 Έστω περιοχή και M ελεύθερο -πρότυπο a Δείξτε ότι για κάθε m M, m 0, ισχύει Ann( m) (0) b Αληθεύει ότι το -πρότυπο c Αληθεύει ότι το -πρότυπο N είναι ελεύθερο, όπου a (6,15) ; N είναι ελεύθερο, όπου a (1,3) ; 3 Δείξτε ότι τα a b, c d, όπου a, b, c, d, αποτελούν βάση του -προτύπου [ ] αν και μόνο αν a b det 1 c d 4 Βρείτε τα ιδεώδη I του [ ] τέτοια ώστε το -πρότυπο [ ] I είναι ελεύθερο 5 Έστω M, N -πρότυπα Δείξτε τα εξής a Αν τα M, N είναι ελεύθερα, τότε το M N είναι ελεύθερο b Αν N M και τα N, M N είναι ελεύθερα, τότε το M είναι ελεύθερο 6 Δείξτε τα εξής a Αν κάθε ιδεώδες του είναι ελεύθερο -πρότυπο, τότε ο είναι περιοχή κυρίων ιδεωδών b Αν κάθε κυκλικό -πρότυπο είναι ελεύθερο, τότε ο είναι σώμα 7 Έστω F ελεύθερο -πρότυπο και B { b1,, b } F a Δείξτε ότι αν το B παράγει το F, τότε B ranf b (δύσκολη άσκηση, προαιρετική) *Αν το B είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε B ranf 8 Έστω περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ελεύθερο -πρότυπο και B { b1,, b } F, όπου ranf a Δείξτε ότι αν το B παράγει το F, τότε το B είναι βάση του F 1 b Αληθεύει η ακόλουθη πρόταση; Αν το B είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε το B είναι βάση του F c Δείξτε ότι αν f : F F είναι επιμορφισμός προτύπων, τότε είναι ισομορφισμός 9 Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας a Έστω F ελεύθερο -πρότυπο Αν f : F F είναι μονομορφισμός προτύπων, τότε είναι ισομορφισμός b Έστω F ελεύθερο -πρότυπο, M F και N F με F M N Τότε το M είναι ελεύθερο -πρότυπο 1 Τα αποτελέσματα a και c ισχύουν με την ασθενέστερη υπόθεση ότι ο είναι μεταθετικός δακτύλιος
c Υπάρχει επιμορφισμός -προτύπων I F μηδενικό ελεύθερο -πρότυπο, όπου I μη μηδενικό ιδεώδες του και F μη d Υπάρχει πεπερασμένο [ ] -πρότυπο M με M 2015 και AnnM (2 3 ) 10 Έστω N M ελεύθερα -πρότυπα με M N και rann ranm Δείξτε ότι το M N δεν είναι ελεύθερο 11 Αν υπάρχει μη μηδενικό ελεύθερο -πρότυπο τέτοιο ώστε κάθε πηλίκο του είναι ελεύθερο -πρότυπο, τότε το είναι σώμα 12 Έστω περιοχή κυρίων ιδεωδών Δείξτε τα εξής a Κάθε υποπρότυπο πεπερασμένα παραγόμενου -προτύπου είναι πεπερασμένα παραγόμενο b Αν F είναι ελεύθερο -πρότυπο και M, N F, τότε ran( M N) ranm rann ran( M N) 13 Θεωρούμε το σώμα των ρητών συναρτήσεων πάνω από το f ( x) ( x) { f ( x), g( x) [ x], g( x) 0} g( x) με τις συνήθεις πράξεις f 1( x ) f 2( x ) f 1( x ) g 2( x ) f x g x, f x f x f x f x g ( x) g ( x) g ( x) g ( x) g ( x) g ( x) g ( x) g ( x) 1 2 1 2 1 2 1 2 Το ( x) είναι [ x] -πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό που ορίζεται από f ( x) f ( x) [ x] ( x) ( x), ( r( x), ) r( x) g( x) g( x) Δείξτε ότι ( x) δεν είναι ελεύθερο [ x] -πρότυπο 14 Έστω V μη μηδενικός -διανυσματικός χώρος και :V V γραμμική απεικόνιση Είδαμε στην τάξη ότι το V είναι [ x] -πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό που ορίζεται από f ( x) v f ( )( v), όπου f ( x) [ x] και v V Δείξτε ότι το V δεν είναι ελεύθερο [ x] -πρότυπο 15 Αν M, N είναι -πρότυπα, με Hom ( M, N ) συμβολίζουμε το σύνολο των ομομορφισμών - προτύπων M N Το Hom ( M, N ) είναι πρότυπο με πρόσθεση που ορίζεται από ( f g)( m) f ( m) g( m), όπου f, g Hom ( M, N), m M, και εξωτερικό πολλαπλασιασμό που m n ορίζεται από ( rf )( m) rf ( m), όπου f Hom ( M, N), r, m M Δείξτε ότι το Hom (, ), όπου m, n 0, είναι ελεύθερο -πρότυπο με τάξη mn 12
13 Υποδείξεις Ασκήσεις 3 1 Κάθε υποπρότυπο του M είναι ελεύθερο από το Θεώρημα 335 2b To N δεν είναι ελεύθερο σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα καθώς το στοιχείο b (2,5) N είναι μη μηδενικό (γιατί;) και έχει μη μηδενικό μηδενιστή αφού 3b 0 N 2c Το N εδώ είναι ελεύθερο Πράγματι, θεωρώντας τον ομομορφισμό -προτύπων f :, f ( x, y) 3x y, παρατηρούμε ότι er f και επομένως N Im f σύμφωνα με το 1 ο θεώρημα ισομορφισμών προτύπων Είναι σαφές ότι Im f, οπότε N Το σύνολο {1} είναι βάση του και επειδή f (0, 1) 1, έπεται ότι το σύνολο {(0, 1) } είναι βάση του N (καθώς η εικόνα βάσης κάτω από ισομορφισμό προτύπων είναι βάση) 2 ος τρόπος για το N Παρατηρούμε ότι δύο στοιχεία ( x, y), ( x, y) του N είναι ίσα αν και μόνο αν ( x, y) ( x, y) y y 3( x x) y 3x y 3x Άρα ( x, y) (0, y 3 x) Αυτό σημαίνει ότι το στοιχείο (0,1) παράγει το N ως -πρότυπο Είναι σαφές ότι το στοιχείο αυτό είναι γραμμικά ανεξάρτητο πάνω από το και άρα το σύνολο {(0,1) } είναι βάση του N Σχόλιο: Στο παρακάτω σχήμα παρίσταται το N, a (1,3) Τα σημεία που έχουν ακέραιες συντεταγμένες και ανήκουν στην ίδια ευθεία με εξίσωση y 3 x,, έχουν ίσες εικόνες στο N Για παράδειγμα, τα σημεία (0,3), ( 1, 0), ( 2, 3) ανήκουν στην ευθεία y 3x 3και άρα στο N έχουμε (0,3) ( 1,0) ( 2, 3) Από το σύνολο των σημείων που έχουν ακέραιες συντεταγμένες και ανήκουν στην ίδια ευθεία y 3 x, επιλέγουμε ένα, πχ την τομή με τον άξονα των y (τα ανοιχτά σημεία στην εικόνα) Αυτά δίνουν μια εικόνα του N, a (1,3)
14 (0,3) (-1,0) (-2,-3) 3 Για τη μία κατεύθυνση, έστω ότι το 2 { a b, c d} είναι (διατεταγμένη) βάση του -προτύπου [ ] Έχουμε επίσης τη (διατεταγμένη) βάση 1 {1, } του [ ] Ο ομομορφισμός -προτύπων f : [ ] [ ] που ορίζεται από f (1) a b, f ( ) c d είναι ισομορφισμός Επομένως ο πίνακας a c A f : 1, 2 M 2( ) b d είναι αντιστρέψιμο στοιχείο του δακτυλίου M ( ) 2 (δικαιολογήστε το) και συνεπώς έχει ορίζουσα 1 4 Αν z I, τότε ο ακέραιος m zz ανήκει στο I και ma 0 [ ] I για κάθε a [ ] I m Ann ( [ ] I) Άρα αν I (0), το -πρότυπο [ ] I δεν είναι ελεύθερο Δηλαδή 5b Εφαρμόστε το Λήμμα 316 στο φυσικό επιμορφισμό M M N και χρησιμοποιήστε το ερώτημα a 6b Θεωρείστε το -πρότυπο ( a ), όπου a, a 0, για να δείξετε ότι το a είναι αντιστρέψιμο 7a Ένας τρόπος είναι να τροποποιήστε την πρώτη απόδειξη που είδαμε στην τάξη ότι για μη τετριμμένους μεταθετικούς δακτυλίους η τάξη ελεύθερου προτύπου είναι καλά ορισμένη Ένας άλλος τρόπος έπεται άμεσα από τη δεύτερη απόδειξη που είδαμε στην τάξη 8a Έστω { e1,, e } μια βάση του F και f : F F ο επιμομορφισμός -προτύπων που ορίζεται από f ( e ) b Εφαρμόστε το Λήμμα 316 για να συμπεράνετε ότι er f {0} 8c Πάλι το Λήμμα 316
15 9 Όλες οι προτάσεις είναι λανθασμένες Ένα αντιπαράδειγμα του a είναι ο μονομορφισμός -προτύπων f :, f ( m) 2 m Για το b ένα αντιπαράδειγμα είναι F M N 6, [2], [3] Για ο d παρατηρούμε ότι το M είναι 13 -διανυσματικός χώρος και το 2015 δεν είναι δύναμη του 13 10 Αν ήταν ελεύθερο, τότε από το Λήμμα 316 παίρνουμε ranm rann ran M N ran M N 0 M N, άτοπο 11 Έστω F ελεύθερο -πρότυπο με την ιδιότητα της εκφώνησης και έστω a, a 0 Θεωρώντας το -πρότυπο F af, δείξτε ότι F af Αν { e1,, e n } είναι βάση του F, τότε από την τελευταία σχέση έπεται ότι υπάρχουν a με e 1 ( aa 1 ) e 1 ( aan ) en Καθώς τα e είναι γραμμικά ανεξάρτητα παίρνουμε aa1 1, δηλαδή το a είναι αντιστρέψιμο 12 a Έστω M πεπερασμένα παραγόμενο -πρότυπο και N M Ξέρουμε ότι υπάρχει επιμορφισμός προτύπων f : M για κάποιο θετικό ακέραιο Το του και άρα ελεύθερο, αφού παραγόμενο Επειδή N f f N ελεύθερο και ΠΚΙ Ειδικά, το 1 f ( N) { a f N} είναι υποπρότυπο f 1 ( N) είναι πεπερασμένα 1 ( ( )), το N είναι επίσης πεπερασμένα παραγόμενο b Αρχικά παρατηρούμε ότι τα πρότυπα M, N, M N, M N είναι ελεύθερα ως υποπρότυπα ελεύθερου -προτύπου, όπου ΠΚΙ Η απεικόνιση f : M N M N, ( a, b) a b, είναι επιμορφισμός - προτύπων και έχουμε er f {( a, b) M N a b 0} {( a, a) M N a M N} Εύκολα αποδεικνύεται ότι er f M N Τώρα επειδή το M N είναι ελεύθερο, από τον επιμορφισμό f : M N M N, έπεται ότι M N er f ( M N) ( M N) ( M N) Λαμβάνοντας τάξεις προκύπτει το ζητούμενο 13 Πρώτα παρατηρήστε ότι αν ήταν ελεύθερο, θα είχε βάση αποτελούμενη από ένα στοιχείο Επιλέγοντας ρητή συνάρτηση με κατάλληλο παρονομαστή, δείξτε ότι αυτό είναι αδύνατο 14 Δείξτε ότι κάθε στοιχείο του V έχει μη μηδενικό μηδενιστή Ένας τρόπος είναι με το Θεώρημα των Cayley-Hamlton τη γραμμικής άλγεβρας m n 15 Ένας τρόπος είναι να δείξουμε ότι τα -πρότυπα Hom (, ) και M ( ) είναι ισόμορφα nm