Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός όρος και βαθμός. Να κατανοήσει τις έννοιες σταθερό - πολυώνυμο, μηδενικό πολυώνυμο, αριθμητική τιμή πολυωνύμου, ρίζα πολυωνύμου. Να μπορεί να κάνει πράξεις - πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση - με πολυώνυμα και να γράφει την ταυτότητα της αλγοριθμικής διαίρεσης πολυωνύμων. Να υπολογίζει το υπόλοιπο της διαίρεσης P(x):(x ρ). Να χρησιμοποιεί το σχήμα Horner για την εύρεση του πηλίκου και του υπόλοιπου της διαίρεσης P(x):(x ρ). Να αποδεικνύει ότι: P( p) = P( x) = ( x ρπx ) ( ). Να μπορεί να επιλύει πολυωνυμικές εξισώσεις βαθμού ν με παραγοντοποίηση ή χρησιμοποιώντας το θεώρημα ακεραίων ριζών.
4. Πολυώνυμα Τύποι - Βασικές έννοιες ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Ορισμοί ν Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx όπου α R, ν N * και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από το R. Μονώνυμο του x λέμε επίσης και κάθε πραγματικό αριθμό. Χαρακτηριστικά μονώνυμα Μηδενικό μονώνυμο λέγεται κάθε μονώνυμο με συντελεστή μηδέν, π.χ. 5 x, x. Μονώνυμο μηδενικού βαθμού λέγεται κάθε μονώνυμο του οποίου ο βαθμός o o είναι μηδέν, π.χ. 7 = 7 x, 9= 9 x. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν ν α x + α x +... + α x + α, όπου α, α,..., α, α R ν ν ν ν, και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή από το σύνολο R. Ένα πολυώνυμο του x το συμβολίζουμε συνήθως με P( x ), Q( x ), f( x ), φ( x ) κ.λ.π.. Γράφουμε λοιπόν: ( ) ν ν P x = αx + α x +... + αx+ α ν ν Για παράδειγμα: Η παράσταση ( ) Q x = x 4x + x+ 5είναι πολυώνυμο του x. Χαρακτηριστικά πολυώνυμα Σταθερά πολυώνυμα Λέγονται οι πραγματικοί αριθμοί δηλαδή τα πολυώνυμα της μορφής ( ) Ρ x = α x. Μηδενικό πολυώνυμο Λέγεται το σταθερό πολυώνυμο.
Τύποι - Βασικές έννοιες Πολυώνυμα 4. Στοιχεία πολυωνύμου ( ) ν ν P x = α x + α x +... + α x + α, α ν ν ν ν - Όροι: Λέγονται τα μονώνυμα α x,...,α ν - Σταθερός όρος: Είναι ο όρος α που δεν περιέχει x. - Συντελεστές: Λέγονται οι πραγματικοί αριθμοί α, α,..., α, α ν ν. - Βαθμός: Είναι ο εκθέτης ν. - Αριθμητική τιμή για x = ξ: Λέγεται ο αριθμός ν P( ξ) = α ξ +... + α ξ + α που ν προκύπτει αν στο P( x ) αντικαταστήσουμε το x με τον αριθμό ξ. - Ρίζα: Ένας αριθμός ρ R λέγεται ρίζα του P( x, ) αν και μόνο αν, P( ρ) =. Σχόλιο Βαθμός μηδενικού πολυωνύμου δεν ορίζεται ενώ ο βαθμός κάθε σταθερού μη μηδενικού πολυωνύμου είναι μηδέν. Ισότητα πολυωνύμων Δύο πολυώνυμα του x λέγονται ίσα, αν και μόνο αν είναι του ίδιου βαθμού και οι συντελεστές των ομόβαθμων όρων τους είναι ίσοι. Έτσι αν ( ) μ μ P x = αx + α x +... + αx+ α και μ μ ( ) ν ν Q x = βx + β x +... + βx+ β ν ν είναι δύο πολυώνυμα του x με μ ν, έχουμε: ( ) ( ) α = β,α = β,...,α = β P x = Q x α = α =... = α = ν+ ν+ μ ν ν Θεώρημα (Ταυτότητα της διαίρεσης) Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x) με δ( x) υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ( x ) τέτοια ώστε: Δ( x) = δ( x) π( x) + υ( x) όπου το υ( x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ( x. ) Δ( x) δ( x) π( x) υ( x) Ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) Δ x δ x π x υ x = +
44. Πολυώνυμα Τύποι - Βασικές έννοιες Δ( x ) διαιρετέος δ( x ) διαιρέτης π( x ) πηλίκο υ( x ) υπόλοιπο και είναι βαθμού μικρότερου από το βαθμό του δ( x, ) ή υ( x) =. Σημείωση Η διαίρεση Δ( x ):δ( x ) λέγεται τέλεια αν υ( x) =. Τότε η ταυτότητα της διαίρεσης γράφεται: Δ( x) = δ( x) π( x) και το δ( x ) λέγεται παράγοντας του Δ( x. ) Οι εκφράσεις: - το δ( x ) είναι παράγοντας του Δ( x, ) το δ( xδιαιρεί ) το Δ( x, ) η διαίρεση Δ( x ):δ( x ) είναι τέλεια, υπάρχει π( x ) ώστε: Δ( x) = δ( x) π( x) είναι ισοδύναμες Θεώρημα Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P( x ) με το x ρ είναι ο αριθμός P( ρ ). Η ταυτότητα της διαίρεσης Ρ( x) είναι: P( x) = ( x ρ) π( x) + Ρ( ρ) ( ) υ= Ρ ρ x ρ π( x) Θεώρημα Ένα πολυώνυμο P( x ) έχει παράγοντα το x ρ, αν και μόνο αν, το ρ είναι ρίζα του P( x. ) Δηλαδή: P( x) = ( x ρ) π( x) P( ρ) = Θεώρημα 4 (της ακέραιας ρίζας) Αν το ( ) v P x = α x +... + α x + α, όπου α ν,..., α, α ακέραιοι, έχει ρίζα τον ακέραιο ν ρ, ρ τότε αυτός διαιρεί τον α. Σημείωση Τις ακέραιες ρίζες τις αναζητούμε μέσα στο σύνολο των διαιρετών του α.
Βήμα ο Πολυώνυμα 45. ΘΕΩΡΙΑ Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x) με δ( x) υ- (Ταυτότητα της διαίρεσης) πάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υx ( ) τέτοια ώστε: Δ( x) = δ( x) π( x) + υ( x) όπου το υ(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από το βαθμό του δ(x). Δ( x) δ( x) π( x) υx ( ) Απόδειξη Χωρίς απόδειξη Ισχύει: Δ( x) = δ( x) π( x) + υ( x) Δ( x ) διαιρετέος δx ( ) διαιρέτης πx ( ) πηλίκο υx ( ) υπόλοιπο και είναι βαθμού μικρότερου από το βαθμό του δx, ( ) ή υx ( ) =. Απόδειξη =. ΘΕΩΡΙΑ Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυώνυμου P( x ) με το x ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυώνυμου για x = ρ. Είναι δηλαδή υ P( ρ) Από ταυτότητα διαίρεσης του Px ( ) με το x ρ έχουμε P( x) = ( x ρ) π( x) + υ, πx ( ) είναι το πηλίκο της διαίρεσης και υ το υπόλοιπο που είναι σταθερό πολυώνυμο επειδή το x ρ είναι πρώτου βαθμού. Aν θέσουμε x = ρ, έχουμε P() ρ = ( ρ ρ) π() ρ + υ= π() ρ + υ, δηλαδή P () ρ = υ.
46. Πολυώνυμα Βήμα ο ΘΕΩΡΙΑ Ένα πολυώνυμο P( x ) έχει παράγοντα το x ρ, αν και μόνο αν, το ρ είναι ρίζα του P( x ). Απόδειξη Έστω το x ρ είναι παράγοντας του Px ( ) τότε P( x) = ( x ρπx ) ( ). Από αυτή την ισότητα για x = ρ, έχουμε P() ρ = ( ρ ρ) π() ρ =, δηλαδή το ρ είναι ρίζα του Px. ( ) Αντίστροφα : Έστω ότι το ρ είναι ρίζα του Px ( ) δηλαδή P() ρ =, το υπόλοιπο της διαίρεσης του Px ( ) με το x ρ είναι: υ= P(ρ) = Έχουμε: P( x) = ( x ρ) π( x) + P() ρ P( x ) = (x ρ)π( x) + P( x) = ( x ρ) π( x), δηλαδή το x ρ είναι παράγοντας του Px. ( ) ΘΕΩΡΙΑ 4 Απόδειξη Έστω πολυωνυμική εξίσωση: ν ν αx ν + αν x + + αx + α =, με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ είναι ρίζα της εξίσωσης τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου. ν ν Αν ρ, είναι ρίζα της εξίσωσης έχουμε: αρ + α ρ + + αρ+ α = ν ν ν ν λ Ζ ν ν ν ρ(α ρ + α ρ + + α ) + α = α = ρ( λ), όπου λ = α ν ρ +... + α. Επειδή λ Z το ρ διαιρεί τον σταθερό όρο α.
Βήμα ο Πολυώνυμα 47. Α. Από το σχολικό βιβλίο ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση.. Α Ομάδα:, 4, 6, 7 Β Ομάδα:,,, 4, 5. Α Ομάδα:,,, 4, 5, 7, 8, 9, Β Ομάδα:,,, 4, 5. Α Ομάδα:,, 4, 5, 6, 7 Β Ομάδα:,,, 5.4 Α Ομάδα:,, Β Ομάδα: 5 Β. Από τα Βιβλιομαθήματα ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ Βιβλιομάθημα 5 ο : Προτεινόμενες ασκήσεις:, 5, 6, 9,,,, Βιβλιομάθημα 6 ο : Προτεινόμενες ασκήσεις: 4, 5, 6, 7, 8, 9,,
48. Πολυώνυμα Βήμα ο. Δίνεται το πολυώνυμο: ( ) ( ) = + + + + q(x) λ 4λ x λ 4λ 4λ x λ λ i. Βρείτε τον βαθμό του q(x) για κάθε λ. ii. Αν το x είναι παράγοντας του q(x) βρείτε το λ. iii. Για την μικρότερη τιμή που βρήκατε για το λ βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης του q και της ευθείας y = 7x+ 8. Λύση: i. Εξετάζουμε για ποιες τιμές του λ μηδενίζεται ο συντελεστής της μεγαλύτερης δύναμης του x. λ 4λ= ( λ λ 4) = λ ( λ ) ( λ+ ) = λ= ή λ = ή λ+ = λ= ή λ = ή λ= οπότε:. Αν λ,, το q(x) είναι τρίτου βαθμού. Αν λ= είναι q(x) = άρα το q(x) είναι μηδενικού βαθμού. Αν λ= είναι q(x) = άρα το q(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο και δεν ορίζουμε βαθμό. 4. Αν λ= τότε q(x) = x + άρα το q(x) ειναι δευτέρου βαθμού. ii. Το x είναι παράγοντας του q(x), αν και μόνον αν, το είναι ρίζα του q(x) δηλαδή αν και μόνον αν: q() = λ 4λ + λ 4λ + 4λ + λ λ + = ( λ λ λ+ = λ + ) λ( λ+ ) = ( ) ( λ+ λ λ+ ) λ( λ+ ) = ( λ + ) ( λ λ + λ) = ( λ + ) ( λ 5λ + ) = λ+ = ή ( 5) ± 9 λ 5λ+ = λ= ή λ =
Βήμα ο Πολυώνυμα 49. λ= ή 5± λ = λ= ή λ = ή 4 λ = iii. Εφόσον λ= έχουμε: q(x) = x 9x + 6 Τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης του q(x) με την ευθεία y= 7x+ 8 έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης: q(x) = y x 9x + 6 = 7x + 8 x 9x + 7x = Για το G(x) = x 9x + 7x, εφαρμόζουμε το σχήμα Horner στη θέση (το το βρήκαμε από τους διαιρέτες του σταθερού όρου - ) και έχουμε: G(x) = ( x ) ( x x + ) Άρα: ( x ) ( x x+ ) = x = ή x x+ = x = αδύνατη διότι Δ< Άρα το κοινό σημείο είναι το Α, ( 6)..α. Το πολυώνυμο q(x) διαιρείται ακριβώς με τα x- και x+ και δίνει πηλίκα f(x) και g(x) αντίστοιχα. Δείξτε ότι: f( ) = g() β. Δίνεται πολυώνυμο q(x) και ο θετικός αριθμός α που είναι ρίζα του πολυωνύμου F(x) = q(x) x. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσής του G(x): ( x α) x x είναι και G(x) = q q(x α) + + x, να βρεθεί το α. 4 Λυση: α. Το q(x) διαιρείται ακριβώς με το x αν και μόνον άν το είναι ρίζα του q(x) δηλαδή q() = και με το x+ αν και μόνον αν το είναι ρίζα του q(x) δηλαδή q( ) = Το πηλίκο της τέλειας διαίρεσης του q(x) με το x είναι f(x) άρα q(x) = ( x ) f(x) για κάθε x. Για x = έχουμε: q( ) = ( ) f ( ) = f ( ) f ( ) = Το πηλίκο της τέλειας διαίρεσης του q(x) με το x+ είναι g(x). Άρα q(x) = ( x + ) g(x) για κάθε x. Για x = έχουμε:
5. Πολυώνυμα Βήμα ο q() = ( + ) g() = g() g() =. Άρα f( ) = g() β. Το α είναι ρίζα του F(x) άρα: F(α) = q(α) α = q(α) = α Το υπόλοιπο της διαίρεσης του G(x) διά του x α είναι άρα: α 4α G(α) = q q(α α) + + α = 4 q q(α) + α α + α = q( α + α α ) + α = ± 6 ± 4 q( α) + α = α + α = α= α= α= ή α = (η τελευταία απορρίπτεται). Δίνεται το πολυώνυμο: q(x) = ( x ) 4 + x + i. Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του q(x) με τα x και x. ii. Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του q(x) με το Λυση: i. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του q(x) με το x είναι το : q() = ( ) 4 + + = 5 Το υπόλοιπο της διαίρεσης του q(x) με το x = x είναι το: q() = ( ) 4 + + = x x. ii. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του q(x) με το x x είναι της μορφής αx + β (αφού το υπόλοιπο έχει βαθμό μικρότερο από τον βαθμό του διαιρέτη) οπότε για x ισχύει: ( q(x) = x x) Π(x) + αx + β Για x = έχουμε: q() = α+ β 5= α+ β () Για x = έχουμε: q() = β = β. Τότε από την () παίρνουμε: α = Άρα το ζητούμενο υπόλοιπο είναι το x+. 4. Δίνεται πολυώνυμο q(x) το οποίο διαιρούμενο με το x 8, δίνει πηλίκο ( x 5) ν + με ν και υπόλοιπο x 5x+. i. Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του q(x) με το x ii. Βρείτε το πηλίκο της ίδιας διαίρεσης το οποίο συμβολίζουμε με F(x).
Βήμα ο Πολυώνυμα 5. iii. Αν το είναι ρίζα του πολυωνύμου F(x) 5 βρείτε το ν. Λυση: i. Από την ταυτότητα της διαίρεσης του q(x) με το x 8 έχουμε: ( ) ( ) ν q(x) = x 8 x+ 5 + x 5x+, για κάθε x Το υπόλοιπο της διαίρεσης του q(x) διά του x είναι το q() = + = ii. Για x ισχύει: ν q(x) = ( x 8) ( x + 5) + x 5x + 6 ( ) ( ν q(x) = x x + x+ 4) ( x+ 5) + ( x ) ( x ) ν ( ) ( q(x) = x x + x + 4) ( x + 5) + ( x ) + ( ) q(x) = ( x ) F(x) + ( ) Δηλαδή το πηλίκο της διαίρεσης του q(x) διά του x είναι το: ( F(x) = x + x + 4) ( x + 5) ν + x iii. Το είναι ρίζα του F(x) 5, άρα: ν F( ) 5 = F( ) = 5 7 6 = 5 ν ν ν 7 = 56 = 8 = ν= 5. Δίνεται το πολυώνυμο: q(x) = 4x αx + βx +, το οποίο όταν διαιρεθεί με το x δίνει υπόλοιπο, ενώ έχει παράγοντα το x. α. Βρείτε τα α,β R. β. Λύστε την εξίσωση: q(x) =. γ. Λύστε την εξίσωση: q(x) =. Λυση: α. Το x διαιρεί το q(x) και αφήνει υπόλοιπο άρα: q() = 4 α+ β+ = α+ β= Το x διαιρεί ακριβώς το q(x) άρα: q(x) ( x ) = Π(x) 4x αx + βx + = ( x ) Π(x), για κάθε x Οπότε για x =, έχουμε: α β α β + + = + = 4 α β= 6 4 4
5. Πολυώνυμα Βήμα ο Λύνουμε τώρα το σύστημα: α+ β= β= β= α β= 6 α= 6+ β α= β. Για το q(x) = 4x x x + εφαρμόζουμε το σχήμα Horner στη θέση (το διαι- ρεί ακριβώς το q(x)) και έχουμε: το βρήκαμε από το γεγονός ότι το x ( ) ( q(x) = x 4x + x ) Άρα η εξίσωση: q(x) = ( x 4x + x ) = x = ή x = ή x = ή x = ή x + x = ± 49 x = 4 ± 7 x = 4 x = ή 4 x = γ. Η εξίσωση q(x) = έχει ρίζα το διότι q() =, δηλαδή την επαληθεύει άρα, για το πολυώνυμο G(x) = q(x) = 4x x x εφαρμόζουμε σχήμα Horner στη θέση και έχουμε: Δηλαδή: ( ) ( G(x) = x 4x + 4x + ) Άρα η εξίσωση: q(x) = q(x) = G(x) = ( ) ( x 4x + 4x + ) = x = ή 4x + 4x + = x = αδύνατη διότι Δ<
Βήμα ο Πολυώνυμα 5. 6. Δίνεται το πολυώνυμο: ( ) q(x) = αx + α x + α+ 4 x+, που έχει παράγοντα το x. i. Βρείτε το α. ii. Για την τιμή που βρήκατε για το α, βρείτε τις ρίζες του q(x). iii. Λύστε την ανίσωση: q(x) <. Λύση: i. Το x είναι παράγοντας του q(x) άρα το είναι ρίζα του q(x) οπότε: q() = α + α + α+ 4+ = α + α + α+ 6= Για το G(α) = α + α + α + 6, εφαρμόζουμε το σχήμα Horner στη θέση (το το βρήκαμε γιατί είναι διαιρέτης του 6) και έχουμε: G(α) = ( α + ) ( α α + ) Άρα: ( α ) ( α α ) + + = α+ = ή α α+ = α =, αδύνατη διότι Δ< ii. Για το q(x) = 4x 8x + x + εφαρμόζουμε το σχήμα Horner στη θέση (αφού το είναι ρίζα του) και έχουμε: ( ) ( q(x) = x 4x 4x ) Άρα: q(x) = ( ) ( x 4x 4x ) = x = ή 4x 4x = x = ή x x = x = ή ( ) ± x = x = ή ± x = 4 x = ή ± x = iii. Το πρόσημο του q(x) φαίνεται στον επόμενο πίνακα:
54. Πολυώνυμα Βήμα ο Άρα: q(x) < + x, U, 4 7. Δίνεται το πολυώνυμο q(x) = x 5x + αx + β, που διαιρείται ακριβώς με το x + x+. i. Δείξτε ότι: α= και β= 5 ii. Λύστε τις εξισώσεις: ( ) q(x) και q συνx = + = iii. Βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση του q(x) βρίσκεται κάτω απο τον άξονα x x. Λύση: i. Εκτελούμε την διαίρεση του q(x) διά του x + x+ : Δηλαδή: ( ) q(x) = x + x + ( x 6x + 5) + ( α+ ) x+ β 5. Όμως το x + x+ διαιρεί ακριβώς το q(x) και το ( α+ ) x+ β 5 οφείλει να είναι μηδενικό πολυώνυμο δηλαδή: α + = και β 5 = α = και β = 5 ii. Λύνουμε την εξίσωση q(x) = : q(x) = ( ) x + x+ ( x 6x+ 5) = x + x+ = ή x 6x+ 5= αδύνατη διότι Δ< 4 x 5x + αx + β x + x+ 4 x x x x 6x+ 5 6x x + αx + β 6x + 6x + 6x 5x + ( α+ 6) x+ β 5x 5x 5 ( ) α x β 5 + + Λύνουμε την εξίσωση q(συνx + ) = : ( 6) ± 6 x = 6± 4 x = x = ή x = 5
Βήμα ο Πολυώνυμα 55. q(συνx + ) = συνx + = ή συνx + = 5 συνx = ή συνx = π συνx = συν αδύνατη π x = κπ ± κ Z iii. Το πρόσημο του q(x) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Η γραφική παράσταση του q(x) βρίσκεται κάτω από τον άξονα x x αν και μόνο αν: q(x) < x (, 5) 4 8. Δίνεται το πολυώνυμο: q(x) = 4x 4x + 7x + αx + β, το οποίο διαιρού- μενο με το 4x αφήνει υπόλοιπο x+. i. Βρείτε τα α, β. ii. Λύστε την εξίσωση: q(x) = x +. iii. Βρείτε τα διαστήματα του x στα οποία η γραφική παράσταση του q(x) βρίσκεται πάνω απο την ευθεία (ε) με εξίσωση: y = x+. Λύση : i. Για x ισχύει: ( q(x) = 4x ) Π(x) + x +, για κάθε x οπότε: Για x = έχουμε: 7 α 7 q = + + + + β = α + β = 4 4 4 Για x = έχουμε: 7 α 5 q = + + + + β= α+ β= 4 4 Άρα β= και α=.
56. Πολυώνυμα Βήμα ο ii. Λύνουμε την εξίσωση: ( ) ( q(x) = x + 4x Π(x) + x+ = x+ 4x ) Π(x) = Εκτελούμε λοιπόν την διαίρεση του q(x) με το 4x : Δηλαδή: Π(x) = x x + Άρα: ( ) ( 4x x x + ) = 4x = ή x x+ = x = x=± 4 4 4x 4x + 7x + x + 4x 4x x 4 + 4x + 8x + x + 4x x 8x + x + 8x + x+ αδύνατη διότι Δ< x x+ iii. Η γραφική παράσταση του q(x) βρίσκεται πάνω απο την ευθεία y= x+ αν και μόνο αν: ( q(x) > x + q(x) x > 4x ) Π(x) > ( ) ( ) 4x x x + > 4x > x > x < ήx> x,, + 9. Δίνονται οι εξισώσεις: ( ) ( ) + = + + + = x x και 6x λ 6 x λ x i. Αν έχουν κοινή ρίζα βρείτε το λ. ii. Για την ακέραια τιμή του λ λύστε την ανίσωση: ( ) ( ) + + + > 6x λ 6 x λ x
Βήμα ο Πολυώνυμα 57. Λύση: i. Λύνουμε την εξίσωση: x+ x+ x = x+ = x + x ( x+ ) = ( x + ) x x x x x x = = x = x x = x + = x + + x Αφού το είναι ρίζα και της πολυωνυμικής εξίσωσης, ισχύει: 48 4 ( λ + 6) + ( λ+ ) = 48 4λ 64+ λ+ = ( ) ± 9 4λ + λ+ = λ λ = λ= λ= ή λ= ii. Εφόσον λ= λύνουμε την εξίσωση: Για το q(x) = 6x 7x + x εφαρμόζουμε το σχήμα Horner στη θέση και έχουμε: Δηλαδή: q(x) = ( x ) ( 6x 5x + ) Άρα: ( x ) ( 6x 5x+ ) = x = ή x = ή x = ή x = ή 6x 5x + = ( 5) ± x = 6 5± x = x = ή 6x 7x + x = x = Το πρόσημο του q(x)φαίνεται στον παρακάτω πίνακα:
58. Πολυώνυμα Βήμα ο Άρα: 6x 7x + x > q(x) > x, (, + ). Η συγκέντρωση ενός φαρμάκου σε mgr που εισάγεται στον οργανισμό ενός ασθενούς δίνεται απο την συνάρτηση: q(t) = t + αt + 9t + β, όπου t > είναι ο χρόνος σε ώρες. Αν είναι γνωστό ότι την η ώρα υπάρχουν στον οργανισμό 6 mgr φαρμάκου και την η ώρα 7 mgr: i. Βρείτε τα α, β. ii. Πότε δεν υπάρχει φάρμακο στον οργανισμό του ασθενούς; Λύση: i. Σύμφωνα με την εκφωνηση είναι: q () = 6και q ( ) = 7 q() = 6 + α+ 9+ β= 6 α+ β= 8 και () q 7 8 4α 8 β 7 4α β 7 = + + + = + = Λύνουμε το σύστημα: Άρα: q(t) = t + t + 9t + 5, με t> α+ β= 8 α β= 8 α= 9 α= 4α + β = 7 4α + β = 7 α + β = 8 β = 5 ii. Δεν υπάρχει φάρμακο στον οργανισμό, όταν q() t =. Γι αυτό λύνουμε την εξίσωση: q(t) = t + t + 9t+ 5= Εφαρμόζουμε το σχήμα Horner στη θέση και έχουμε: q(t) = ( t + ) ( t + 4t + 5) Άρα η εξίσωση γίνεται: ( t+ ) ( t + 4t+ 5) = t+ = ή t + 4t+ 5= t = ή 4± 6 t = t = ή 4± 6 t = t = ή t = 5 ή t = Όμως t > άρα t = 5. Δηλαδή 5 ώρες μετά την χορήγηση του φαρμάκου αυτό θα έχει διαλυθεί πλήρως στον οργανισμό.
Βήμα 4 ο Πολυώνυμα 59.. Δίνεται το πολυώνυμο: ( ) 4 ( ) P(x) = κ x + κ x+ κ+. Να βρείτε τον κ R, ώστε το Ρ(x) να είναι μηδενικού βαθμού.. Θεωρούμε τα πολυώνυμα: f(x) = 4x + x+ 9 και h(x) = α( x+ 4)( x+ ) + βx( x ) + γ Να βρείτε τα α,β,γ ώστε τα δύο πολυώνυμα να είναι ίσα.
6. Πολυώνυμα Βήμα 4 ο. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και σε κάθε περίπτωση να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. 4 i. ( ) ( ) x x 4x + 9x 4 : x x + ii. ( 4 x 4x x+ ):( x ) iii. ( ) ( ) x x + 5x 6 : x+ iv. ( ) ( ) x + αx + α x + α : x + α 4. Αν το πολυώνυμο: ( ) = + + +, P(x) x ημθ x συν θ διαιρεθεί με το ( x + συνθ) δίνει υπόλοιπο. i. Να βρείτε το θ. ii. Να λύσετε την εξίσωση: P(x) =. π θ,,
Βήμα 4 ο Πολυώνυμα 6. 5. Θεωρούμε το πολυώνυμο P(x) = αx βx + x, το οποίο όταν διαιρείται με το x, δίνει υπόλοιπο υ(x) = x +. Να βρείτε τα α, β. 6. Πολυώνυμο Ρ(x) διαιρούμενο με τα πολυώνυμα ( x ) και ( x+ ) δίνει αντίστοιχα υπόλοιπα και. Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το πολυώνυμο x + x 6. 7. Έστω η συνάρτηση: f(x) = x x 5x + 6 i. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες x x και y y. ii. Να λύσετε την ανίσωση f(x) >.
6. Πολυώνυμα Βήμα 4 ο 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. 5 4 x 4x + 6x 6x + 5x = 8 4 ii. ( x+ ) ( x+ ) 4= iii. ημ x 5συν x 4ημx + = 9. Να λύσετε τις ανισώσεις: i. ii. 4 x x + 6x 4 ( ) 5 x > x x x
Βήμα 4 ο Πολυώνυμα 6.. Δίνεται το πολυώνυμο: ( ) P(x) = x + 5αx α + β x β. Να βρείτε για ποιές τιμές των α,β R το ( x ) είναι παράγοντας του Ρ(x).. Δίνεται το πολυώνυμο: ( ) P(x) = x x κ x+ λ, κ,λ R i. Αν το Ρ(x) έχει παράγοντα το ( x+ ), να αποδείξετε οτι κ = και λ =. ii. Για τις τιμές των κ, λ του ερωτήματος i.: α. Να βρείτε το πηλίκο Π(x) της διαίρεσης P(x) :(x + ). β. Να βρείτε το πηλίκο Π(x) της διαίρεσης P(x) :(x + ). γ. Να λύσετε την ανίσωση Π (x) Π (x) >.
64. Πολυώνυμα Βήμα 4 ο 4. Έστω η πολυωνυμική συνάρτηση f(x) = αx + x x αx + 6, α R. Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα x x στο σημείο M(,), να αποδείξετε ότι θα τέμνει τον άξονα και σε ένα ακόμη σημείο.
Βήμα 5 ο Πολυώνυμα 65. Θέμα ο α. Δίνεται πολυώνυμο Ρ(x) με βαθμό ν. Δείξτε την ισοδυναμία: x ρ παράργοντας Ρx ( ) ρρίζατουρx ( ) (Μονάδες 5) β.i. Αν α R βρείτε τον βαθμό του πολυωνύμου P( x) = α. (Μονάδες 5) 4 ii. Δίνεται το πολυώνυμο P( x) = x + x +. Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) με το x ρ είναι μεγαλύτερο ή ίσο του. (Μονάδες 5) + + + iii. Δίνεται το πολυώνυμο: ( ) ( ) v v v * P x = κ x+ y + x + y, με v N και κ R. Δείξτε ότι το x+ y είναι παράγοντας του Ρ(x). (Μονάδες 5) iv. Δίνεται το πολυώνυμο: P( x) = x + αx + x +, με α ακέραιο. Δείξτε ότι το Ρ(α) δεν έχει ακέραιες ρίζες. (Μονάδες 5)
66. Πολυώνυμα Βήμα 5 ο Θέμα ο Δίνεται το πολυώνυμο: P( x) = x + συνθx + 6ημθx + α α. Αν το x διαιρεί το Ρ(x) και αφήνει υπόλοιπο 4 δείξτε ότι α = 4. β. Αν το x+ διαιρεί το Ρ(x) και αφήνει υπόλοιπο 6 βρείτε το θ. (Μονάδες 5) (Μονάδες ) π γ. Αν θ,, λύστε την εξίσωση: P( x) = (Μονάδες )
Βήμα 5 ο Πολυώνυμα 67. Θέμα ο Δίνονται: η εξίσωση x+ x+ 7 = και το πολυώνυμο 4 P( x) = x + ( συνα ) x x + ( 8συνα) x 4 α. Λύστε την εξίσωση. (Μονάδες 5) β. Αν το x ρ με ρ την μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης είναι παράγοντας του Ρ(x) βρείτε το α. (Μονάδες ) π γ. Αν α, λύστε την εξίσωση Ρ( x) = και την ανίσωση Ρ( x) <. (Μονάδες ) Θέμα 4 ο Δίνεται το πολυώνυμο: Ρ( x) = x x + x+ α i. Αν το x διαιρεί το Ρ(x) και αφήνει υπόλοιπο, βρείτε το α. (Μονάδες 5)
68. Πολυώνυμα Βήμα 5 ο ii. Λύστε την εξίσωση: Ρ( x) = (Μονάδες ) iii. Αν το x+ συνθ 4ημ θ είναι παράγοντας του Ρ(x), βρείτε το θ R. (Μονάδες )