PRELUCRAREA DATELOR EXPERIMETALE I. OŢIUI DE CALCULUL ERORILOR Orce măsurare epermentală este afectată de eror. După cauza care le produce, acestea se pot împărţ în tre categor: eror sstematce, eror întâmplătoare ş eror grosolane.. Erorle sstematce au tre surse posble: a) Eror de observator. Dacă, de eemplu, observatorul cteşte ndcaţle nstrumentulu de măsură prvnd oblc scala acestua, toate ctrle sale sunt ma mar sau ma mc decât valorle reale. Aceste eror pot f complet elmnate, prn corectarea modulu de lucru al observatorulu. b) Eror de nstrument. Orce nstrument de măsură are o scală ndcatoare (la nstrumentele cu afşaj dgtal, putem consdera această scală mplctă). c o ctre efectuată cu ajutorul aceste scale nu poate f ma precsă decât jumătate dn cea ma mcă dvzune a scale. Aceste eror pot f mcşorate (prn înlocurea nstrumentulu folost cu altul ma precs), dar nu complet elmnate. c) Eror de metodă. În cursul procesulu de măsură, sstemul măsurat nteracţonează cu nstrumentul de măsură, ceea ce modfcă rezultatul măsurător. De eemplu, pentru a măsura o rezstenţă, putem folos metoda amonte sau metoda aval. În prmul caz valoarea obţnută este ma mare decât cea reală (Rmăs=R(+RA/R)), ar în al dolea este ma mcă (Rmăs=R/(+R/RV)). Putem elmna aceste eror dacă cunoaştem rezstenţele nterne ale nstrumentelor de măsură (ceea ce înseamnă măsurarea altor rezstenţe) sau dacă înlocum metoda cu o metodă prn punte, care compară rezstenţa necunoscută cu altele, presupuse cunoscute (dec, dn nou, măsurarea altor rezstenţe). Aşadar ş aceste eror pot f mcşorate, dar nu complet elmnate. Orcare ar f cauzele erorlor sstematce, ele au o caracterstcă comună: se admte că valoarea une măsurător ndvduale este aceeaş or de câte or repetăm măsurarea, dec ş eroarea este aceeaş. De aceea, calculul erorlor pentru măsurător ndrecte se face la fel pentru toate erorle sstematce. Eroarea absolută δ a une mărm măsurate reprezntă modulul dferenţe mame posble între valoarea măsurată ş cea adevărată, ar eroarea relatvă ε este raportul dntre eroarea absolută ş modulul valor adevărate, fnd dată de raportul dntre eroarea absolută ş modulul valor măsurate (cu condţa, evdent, ca numtorul să fe nenul). Atunc, dacă o mărme determnată ndrect este de forma
z = ±, () eroarea sa absolută este δ z = δ + δ, () ar dacă mărmea este de forma ± z =, (3) eroarea sa relatvă este ε z = ε + ε. (4). Erorle întâmplătoare sunt determnate de consderente statstce. Eperenţa arată că mărmle măsurate drect sunt de două tpur posble: dscrete (de eemplu numărul de mpulsur înregstrate de un detector) ş contnue. Analza teoretcă a statstc mărmlor dscrete demonstrează că valorle lor sunt dstrbute conform dstrbuţe de probabltate Posson. Conform acestea, probabltatea de a obţne un număr n de mpulsur la o măsurare este unde p ( n) n a a = e, (5) n! n= 0 ( n) a = np (6) este valoarea "adevărată" a numărulu de mpulsur (ş, în general, este un număr real), ar eroarea cu care a fost determnat numărul a (eroarea standard sau abaterea pătratcă mede) este ( n a) p( n) a σ. (7) a = = n=0 Dacă efectuăm un număr de măsurător în condţ dentce, obţnând valorle n (), n ( ),..., n ( ), atunc estmatul valor adevărate este dat de valoarea mede: Est a n~ = n(). (8) = Eroarea care afectează o măsurare ndvduală ( ) n () = n( ) n va f atunc σ, (9) ar cea a valor med va f n~ σ n~ =. (0) Să trecem la cazul mărmlor contnue. Fzca statstcă demonstrează că valorle acestor mărm sunt dstrbute conform dstrbuţe normale (Gauss). Să
3 consderăm întâ cazul une sngure mărm. Denstatea sa de probabltate va f atunc ( ) ( ) dp, + d ( a ) P = ep, () d πσ σ unde ( ) a = P d () este valoarea sa "adevărată", ar ( a ) P( ) σ = d (3) este eroarea sa standard. În cazul în care efectuăm un număr de măsurător în condţ dentce, obţnând valorle ( ), ( ),..., ( ), atunc estmatul valor adevărate este dat de valoarea mede Est a ~ = (), (4) = eroarea care afectează o măsurare ndvduală ( ) va f σ () = ( () ~ ), (5) = ar cea a valor med va f σ () σ ~ =. (6) Să consderăm acum cazul a n mărm,,..., n, formând un vector într-un spaţu n -dmensonal. În acest caz, dstrbuţa normală va f T P ( ) = ep ( a) Γ ( a), (7) n ( π ) det Γ unde matrcea covaranţelor Γ este defntă prn n Γ, ρ, σ σ = a a P d, (8) j j j ( )( j j ) ( ) ρ, j fnd coefcenţ de corelaţe lnară (care satsfac condţa ρ, j ). În partcular, dacă mărmle,,..., n sunt ndependente, matrcea covaranţelor este dagonală, elementele sale nenule fnd pătratele erorlor standard (dspersle) mărmlor consderate. Dacă efectuăm un set de măsurător în condţ dentce, obţnând valorle (),..., ( ), estmatele valorlor adevărate ş ale erorlor, ( )
4 standard pentru valor ndvduale sau med sunt date de relaţle (4 6). Dacă, pe baza măsurătorlor efectuate, evaluăm un parametru eprmat prntr-o F, atunc, pentru a estma valoarea sa adevărată ş eroarea standard, funcţe ( ) Γ, j trebue întâ să evaluăm covaranţele relatve. Dacă toate aceste aa j covaranţe relatve sunt mult ma mc decât untatea, atunc valoarea adevărată a mărm F este estmată prn ~ Esta F F = F( ~ ), (9) ar eroarea standard este evaluată prn formula Gauss a propagăr erorlor = n F F σ F σ σ j ρ, j, (0), j= ~ j ~ unde coefcenţ de corelaţe lnară sunt determnaţ prn relaţa ( ~ ) ( ( k) ) j ( k) k= ~ ρ, j=, () ( ( k ) ~ ) ( j ( k j ) ~ j ) k = k j = ar erorle standard prn relaţa (5), respectv (6). Dacă cel puţn o covaranţă relatvă nu este sufcent de mcă, atunc defnm F() F( () ) () ş utlzăm relaţle (4 6). În general, o mărme este afectată atât de eror sstematce, cât ş de eror întâmplătoare. Atunc eroarea totală va f evaluată cu ajutorul formule propagăr erorlor, fnd s = σ + δ. (3) Evdent, aceastå relaţe ne permte să stablm în ce caz putem utlza doar un sngur tp de eroare: când celălalt tp este mult ma mc. A adar, dacă efectuăm ma multe determnăr ş dferenţele dntre ele sunt mult ma mar (mc) decât erorle de ctre (sstematce), înseamnă că putem folos doar erorle întâmplătoare (sstematce). De re nut că rela le (0) ş (3) se vor utlza ş în cazul în care unele dntre mărmle sunt dscrete, caz în care erorle standard ale respectvelor mărm sunt evaluate cu relaţa (9) sau (0). De eemplu, să consderăm cazul vteze de numărare a unu detector de radaţ având tmpul mort τ. Dacă măsurăm mpulsur în prezenţa surse radoactve în tmpul S j
5 t S, respectv F mpulsur pentru fondul de radaţ al laboratorulu în tmpul t F, vteza de numărare pentru sursă va f S F n =, (4) ts Sτ t F Fτ ar eroarea sa standard va f S F σ n = +, (5) ts ( ts Sτ ) t F ( t F Fτ ) deoarece erorle relatve pentru măsurarea tmpulu, ca ş covaranţele relatve sunt negljable, astfel încât putem utlza dstrbuţa Posson. În schmb, dacă vom repeta măsurarea în condţ dentce, valoarea mede ş eroarea standard a acestea vor f calculate cu relaţle (4 6), deoarece vteza de numărare este o mărme contnuă. În sfârşt, să analzăm cazul determnăr unu parametru dn relaţa între două mărm fzce. Majortatea relaţlor întâlnte (practc toate cele întâlnte în laboratoarele ddactce) sunt lnare sau pot f aduse la această formă. Astfel, o relaţe de forma = a + b f ( ), unde a ş b sunt parametr care trebue să fe determnaţ, ar f ( ) este o funcţe cunoscută (complet determnată de valoarea măsurată a lu ) poate f adusă la forma lnară prn substtuţa X = f ( ). O relaţe de forma = a ep( b) poate f lnarzată prn logartmare, cu ajutorul substtuţe Y = ln (grafcul Y = Y ( ) consttue o reprezentare în scară b (smplu) logartmcă, vez captolul II). O relaţe de forma = a poate f lnarzată tot prn logartmare, cu ajutorul substtuţlor Y = ln ş X = ln (grafcul Y = Y ( X ) consttue o reprezentare în scară dublu logartmcă, vez captolul II). În consecnţă, vom analza modul de determnare a parametrlor m ş n dn relaţa = m + n, (6) unde m = reprezntă panta ş n = ordonata la orgne (abscsa la =0 n orgne fnd, evdent, = ). =0 m, =, ş { } Să consderăm setul de perech de date epermentale să defnm epresa F( m, n) = ( () m() n). (7) = Se observă că această eprese reprezntă pătratul eror standard pentru o valoare epermentală a mărm în raport cu dreapta (6). În aceste condţ,
6 cea ma bună alegere pentru parametr m ş n este cea care mnmzează funcţa F ( m, n). Dervând funcţa în raport cu m ş n ş anulând dervatele, obţnem σ m = ρ,, n = ~ m~, (8) σ unde valorle med, erorle standard ş coefcentul de corelaţe lnară sunt calculate cu relaţle (4), (5) ş (). De reţnut că valoarea coefcentulu de corelaţe lnară este un ndcu asupra corecttudn utlzăr ecua e (6). Întradevăr, dacă modulul coefcentulu este ma mc decât 0,5, mărmle ş sunt practc necorelate, ar dacă modulul coefcentulu este cuprns între 0,5 ş 0,9, mărmle ş sunt corelate, dar nu lnar. O bună corelaţe lnară este caracterzată de un modul al coefcentulu de corelaţe ma mare decât 0,95. Dacă înlocum valorle parametrlor m ş n calculate cu epresle (8) în relaţa (7), vom obţne eroarea standard a orcăre valor a mărm dată de ecuaţa (6), în partcular a ordonate la orgne n : σ n ρ, = σ m σ = σ (9) (evdent, eroarea standard a abscse la orgne va f ρ, σ ). Pentru a determna eroarea standard a pante m, să observăm că, dacă împărţm ecuaţa (6) prn (cu elmnarea dn setul valorlor epermentale a perech corespunzând valor nule pentru, dacă această valoare a fost măsurată), obţnem tot o relaţe lnară, între ş : = n + m, (30) în care rolul parametrlor m ş n este nversat, dec σ m, = σ ρ = σ n σ. (3) În cazul în care relaţa analzată nu poate f redusă la o formă lnară, parametr necunoscuţ se determnă cu ajutorul calculatoarelor, utlzând unul dntre numeroasele programe de ftare estente (vez de eemplu D. Iordache, oţun ş metode generale ale fzc, Atelerul Polgrafc I. P. B., Bucureşt, 980; I. M. Popescu, D. Iordache, Ş. Tudorache, M. Stan, V. Fara, Probleme rezolvate de fzcă, Vol. I, Edtura Tehncă, Bucureşt, 984). O stuaţe ma specală o reprezntă determnarea pozţe unu etrem. = f relatv lent varablă ş, într-un domenu restrâns Dacă avem o relaţe ( )
7 de valor pentru, un etrem net pentru, acesta poate f bne descrs de dstrbuţa de probabltate Lorentz 4σ P ( ) =, (3) πσ ( a ) + 4σ unde 0 ş a >> σ > 0. Se poate verfca medat că, la fel ca în cazul dstrbu e gaussene, a este valoarea cea ma probablă pentru varabla ( P ( a ) = P ma = ), lmtele domenulu de valor pentru sunt cele ma πσ mprobable (de fapt mposble, P ( 0) = P ( ) = P mn = 0 ) ş, în plus, că ecuaţa Pma + Pmn P( ) = = admte soluţle, = a + σ ± σ, πσ satsfăcând condţa = σ. Dec, în această stuaţe, eroarea standard a etremulu funcţe = f ( ) este dată de semdferenţa dntre pozţle punctelor pentru care este satsfăcută egaltatea ( ) ma + f = mn, (33) unde ma mn reprezntă varaţa funcţe în zona etremulu consderat. 3. Erorle grosolane sunt cauzate de neatenţ sau defecţun accdentale ş trebue elmnate dn calcule. În general, aceasta este uşor de efectuat, deoarece valorle respectve dferă masv de celelalte. Totuş, este bne să defnm crter precse pentru elmnarea erorlor grosolane. Să consderăm cazul unu parametru contnuu. Conform dstrbuţe normale, probabltatea de a obţne în cadrul une măsurător o valoare care să nu a dfere de valoarea adevărată a cu ma mult de ζ σ ( ζ = σ reprezentând abaterea relatvă a valor ) este dată de ntegrala probabltăţlor ζ ( ) Φ = z ζ ep dz (34) π 0 ş se nume te nvel de încredere. Cu ttlu nformatv, Φ () = 0, 687, Φ ( ) = 0, 9545 ş Φ () 3 = 0, 9973. Alegerea ntervalulu de încredere pentru o valoare ndvduală ( ), defnt ca [ ~ ζ () s (), ~ + ζ () s () ], unde s () este eroarea totală afectând valoarea ndvduală (), dată de relaţa (3), se face pe baza condţe ζ ( ()) s Φ ζ + = (35) ()
8 (dacă () = 0, semlărgmea ntervalulu de încredere corespunzător, ζ () s(), se înlocueşte cu meda semlărgmlor valorlor ndvduale vecne). Atunc, dacă valoarea ndvduală ( ) nu se încadrează în ntervalul de încredere, ea este o eroare grosolană ş trebue elmnată dn calcule. Evdent, ecua a (35) este o ecuaţe transcendentă, putând f rezolvată numa pe calculator. Atunc când nu dspunem de un calculator, putem alege o valoare convenţonală pentru nvelul de încredere ş dec pentru toate ntervalele de încredere. De obce, se alege pentru abaterea relatvă valoarea ζ () = 3, crterul de elmnare a erorlor grosolane astfel obţnut fnd cunoscut sub numele de crterul 3σ. O dată elmnate erorle grosolane, se recalculează valoarea mede ş eroarea standard ş se reaplcă crterul de elmnare al erorlor grosolane. Procesul se repetă până când toate valorle rămase satsfac crterul. În cazul corela lor lnare, condţa ca ntegrala denstăţ de probabltate (7) să dea nvelul de încredere ales este () () () () + ρ =, ζ s ζ s ζ s ζ s ρ, =, (36) unde abaterle relatve pentru ş sunt evaluate cu relaţa (35) (sau defnte de crterul 3 σ ), ar erorle totale ale valorlor ndvduale ţn seama de faptul că un punct epermental ( (), ( ) ) poate f măsurat de ma multe or, în condţ dentce. Ecuaţa (36) defneşte o elpsă de încredere. Dacă punctul de, se găseşte pe dreapta (6), aceasta trebue să ntersecteze coordonate ( ) elpsa de încredere. Cond a de ntersecţe se reduce, evdent, la o ecuaţe de gradul do, care admte solu reale dacă ş numa dacă dscrmnantul său este poztv, dec dacă () m() n s σ s σ ζ ζ ρ,, (37) ζ s ζ s σ ζ s σ unde σ, σ sunt erorle pentru întregul set de puncte epermentale, date de relaţa (5). În partcular, dacă ζ () s() ζ () s () ζ (), (38) σ σ condţa (37) devne () m() n ζ () σ n, (39) ar dacă, în plus, defnm abaterea relatvă ζ () prn condţa
9, ζ () + ρ = (40) (de eemplu, condţa ζ () = 3 este echvalentă cu un coefcent de corelaţe lnară ρ, = 0, 948) condţa (37) devne m n, (4) s () condţe care se poate generalza medat pentru o dependenţă arbtrară f ( ) în forma () f ( () ) s () =,. (4) II. PREZETAREA REZULTATELOR EXPERIMETALE Prezentarea rezultatelor epermentale într-un referat se face ţnând seama de anumte regul:. Toate datele măsurate trebue să apară în referat.. Toate datele măsurate trebue să fe eprmate în untăţ ale Sstemulu Interna onal, în multpl sau submultpl a acestora, sau în untăţ tolerate, în forma = { }, unde este mărmea fzcă, { } este valoarea sa numercă, ar este untatea sa de măsură. Dacă este necesară utlzarea unu format eponenţal pentru valoarea numercă, se va scre o sngură cfră nenulă înantea vrgule zecmale. De eemplu, valoarea U = 0,00006563 V se va scre în forma U = 6,563 0 V sau U = 65,63 µ V. 3. Toate seturle de date epermentale, ca ş cele calculate pentru fecare punct epermental în parte, se prezntă sub formă de tabele. Capul de tabel trebue să cuprndă pentru fecare lne (coloană) notaţa mărm fzce ş, în paranteză, untatea de măsură folostă, în forma: ( ).În cazul utlzăr formatulu eponenţal, se va ntroduce ş ordnul de mărme. Pentru 7 eemplul anteror, se va scre fe U ( 0 V), respectv 0 7 U ( V), valoarea numercă corespunzătoare dn tabel fnd 6,563, fe U ( µ V), valoarea numercă corespunzătoare fnd 65,63. 4. În cazul în care scala nstrumentulu de măsură utlzat nu este gradată drect în untăţ SI sau în multpl sau submultpl a acestora, în tabel vor apare două ln (coloane), prma cu valorle măsurate eprmate în dvzun, ar a doua cu valorle eprmate în untăţ SI. Această lne (coloană) suplmentară poate lps doar atunc când dmensunea mărm respectve nu ntervne drect în calculul rezultatelor fnale. 5
0 5. Pentru toate nstrumentele utlzate, se va menţona în referat factorul de scală. Aceşt factor sunt necesar nu numa pentru transformarea dvzunlor în valor SI, c ş pentru evaluarea erorlor sstematce. 6. Pentru toate rezultatele ob nute se efectueazå calculul erorlor. Rezultatele fnale se eprmă în forma = ({ ~ } ± { s ~ }). umărul de zecmale calculat este determnat de condţa ca ultmele două să fe afectate de eroare. De eemplu, dacă valoarea obţnută, în untăţ SI, este 745,33686735, ar valoarea eror, în aceleaş untăţ, este 0,0089467668, rezultatul va f prezentat în forma rotunjtă 745,3363±0,0089. 7. Pentru toate corelaţle studate se efectuează grafce pe hârte mlmetrcă. Aceste grafce trebue să respecte următoarele regul:. Dmensunea unu grafc trebue să fe mnmum A5 (jumătate de coală A4), ar raportul lungme/lăţme să se încadreze între /3 ş 3/.. La capetele aelor de coordonate se trec mărmle fzce ş untăţle de măsură, la fel ca în cazul capetelor de tabel.. Aele nu trebue neapărat să se ntersecteze în orgne. Dacă, de eemplu, valorle epermentale sunt cuprnse între 3,89 ş 4,44, aa corespunzătoare trebue să cuprndă valor între 3,85 ş 4,45. v. Pe ae nu se trec valorle epermentale. Acestea apar în tabele. Pe ae se trec doar valor rotunde, permţând ctrea uşoară a orcăru punct de pe grafc. În eemplul anteror, pe ae se vor trece valor în paş de 0,05 sau 0, (adcă 3,85; 3,90; 3,95 etc. sau 3,85; 3,95; 4,05 etc.). v. Dacă este necesar, fe pentru lnarzarea une corelaţ, fe pentru că mărmea reprezentată varază cu ma multe ordne de mărme, se vor utlza reprezentăr în scară logartmcå smplă (o sngură mărme logartmată) sau dublă (ambele mărm logartmate). Aceasta înseamnă că pe aă se trece mărmea (cu untatea sa ş valorle sale rotunjte), dar dstanţele dntre aceste valor se au propor onale cu logartmul raportulu lor (dec pe aă se măsoară log ). v. Pe grafc apar toate punctele epermentale (nclusv erorle grosolane), cu bare de eror (bare vertcale, mergând de la () s () la () + s () ). Curba nu trebue să treacă prn puncte, c prn elpsele de încredere (sau, în prmă apromaţe, prn barele de eror), cu ecepţa punctelor (barelor de eror) corespunzând erorlor grosolane. Sngurele grafce care trebue să treacă prn toate punctele (barele de eror), fără teste pentru elmnarea erorlor grosolane, sunt curbele de etalonare. v. În cazul reprezentărlor lnare, nu se va confunda panta drepte, m, cu tangenta unghulu format de aceasta cu abscsa, tg α. Panta
drepte este o mărme fzcă, cu untate de măsură ş depnzând doar de rezultatele epermentale, în tmp ce tangenta unghulu format de dreaptă cu abscsa este un număr admensonal ş depnde de scara de reprezentare aleasă pentru grafc. v. Dacă relaţa lnară reprezntă doar o prmă apromaţe, valablă în specal pentru anumte valor ale parametrulu de pe abscsă (de eemplu, pentru valor mc ale acestua) se reprezntă curba epermentală, ar parametr drepte căutate sunt daţ de ce a tangente la curbă în domenul de mamă precze (în eemplul sugerat, tangenta în orgne). Pentru evaluarea erorlor, se vor efectua ş se vor reprezenta grafc ma multe setur de măsurător, calculându-se apo meda ş eroarea standard a pante ş/sau ordonate (abscse) la orgne.. Rezultatele evaluate pe baza grafcelor (pante, ordonate, respectv abscse ale anumtor puncte) nu se trec pe grafc, c în tetul referatulu, împreună cu celelalte rezultate.. Grafcul une mărm dscrete nu este o curbă contnuă, c o hstogramă (un grafc în trepte)... Grafcele se desenează cu creonul, pentru a putea f uşor corectate. Dacă pe un grafc apar ma multe curbe, ele se desenează cu culor dferte (nclusv punctele epermentale), pentru a putea f uşor deosebte, ar într-un colţ al grafculu se trece o legendă (câte un scurt segment de fecare culoare, cu menţonarea alătur a curbe (valorlor parametrlor) reprezentată în acea culoare).