Tema 2. PRELUCRAREA REZULTATELOR EXPERIMENTALE

Transcript

1 Tea. PRELUCRAREA REZULTATELOR EXPERIMENTALE. Eror de ăsură A ăsura o ăre X îseaă a copara acea ăre cu alta de aceeaş atură, [X], aleasă pr coveţe ca utate de ăsură. I ura aceste coparaţ se poate scre X=x[X] () ude x este valoarea uercă a ăr de ăsurat. Î geeral, valoarea adevărată a ue ăr de ăsurat u poate f cuoscută. Operaţle de ăsurare sut afectate îtodeaua de eror. D această cauză prezetarea rezultatulu ue ăsurător trebue să fe îsoţtă de precza cu care a fost obţut. Erorle de ăsură se pot clasfca î două categor: - ssteatce - îtâplătoare (aleatoare) Cele dtâ, î geeral se repetă detc la fecare ăsurătoare; ele sut codţoate de o aceeaş cauză care acţoează î acelaş ses (de ex.etaloarea greştă a struetulu de ăsură). Î prcpu acest ge de eror poate f elat prtr-o aalză atetă a codţlor ş etodelor de ăsurare. Erorle îtâplătoare u pot f îlăturate coplet. Ele se datoresc uor cauze dverse care acţoează î sesur dferte de la o ăsurătoare la alta. Pe lâgă acestea, î tpul uor ăsurător pot apărea eror grosolae: rezultatul ăsurător afectate de o astfel de eroare dferă ult de area ajortate a celorlalte ăsurător. Ele sut provocate de o cauză obectvă care u se repetă sau de egljeţa cercetătorulu. Aşadar, estarea precze ue ăsurător este legată de studul erorlor îtâplătoare. Dacă x,x,...,x sut rezultatele î cele ăsurător efectuate asupra ăr X, atuc se adte că valoarea ede x = x () se aprope cel a be de valoarea adevărată x.

2 Prelucrarea datelor experetale 7 Se ueşte eroare (abatere) absolută ărea x = x x (3) Evdet erorle absolute apar cu seul + sau - ş x = 0 (4) Se calculează valoarea ede a odululu eror absolute pr relaţa: x = x = (5) Eroarea relatvă î ăsurătoarea se defeşte pr: x ε r = x (6) ar eroarea relatvă ede este: x ε r = x (7) ş se expră, de obce, î procete. Iversul eror relatve repreztă precza ăsurător. Rezultatul ue ăsurător se va prezeta î fora x = x ± x sau x x r x Dacă d cele expereţe, de (frecveţa absolută) or, se obţe valoarea x, atuc frecveţa relatvă a acestea este ν =. (8) Câd tde către ft, frecveţa ν tde la probabltatea p de realzare a eveetulu x. Dacă se efectuează u set de ăsurător ( destul de are) atuc probabltatea ca să se obţă de or rezultate cuprse ître x ş x + x este dată de p = = f ( x ) x (9) î care fucţa f ( x ) se ueşte fucţe de repartţe (sau de dstrbuţe) ş repreztă destatea de probabltate, adcă probabltatea corespuzătoare utăţ de terval a varable aleatoare x. La ltă, petru x 0 ş relaţa se trasforă î

3 8 FIZICĂ Tee experetale de d dp = = f ( x) d x. (0) Probabltatea de a găs valor x î tervalul (x, x ) este dată x ( x) p = f d x () x cărea î corespude ara haşurată pe fg... Probabltatea ca ărea ăsurată să a valor ître - ş + deve certtude, astfel că ara totală de sub curbă este egală cu utatea. f(x) Fg.. x x x x Cuoaşterea fucţe de dstrbuţe perte calculul valorlor ed ale ue ăr. Itr-adevăr, dacă d cele expereţe, de or se obţe valoarea x, atuc valoarea ede este x x = () care, petru u uăr are de ăsurător ş varaţa cotuă a varable aleatoare, deve xd x = = xf ( x) dx (3) O dstrbuţe orală (Gauss) a erorlor îtâplătoare se caracterzează pr faptul că erorle absolute de acelaş odul au aceeaş frecveţă de aparţe cu seul + ca ş cu seul -, ar erorle

4 Prelucrarea datelor experetale 9 de odul are apar rar. Aseeea coportare este descrsă de o fucţe de dstrbuţe de fora ( x x ) σ f ( x) = e (4) σ π Costata σ d fucţa de dstrbuţe f repreztă eroarea ede pătratcă (abaterea stadard): + ( ) x x f ( x ) σ = d x (5) Petru u uăr ft,, de ăsurător ea se calculează cu relaţa: ( x x) σ = (6) Abaterea stadard a ede ( x x) σ = (7) ( ) perte să se afre cu probabltate de cca 68% că valoarea adevărată x este stuată î jurul valor ed x u a departe î plus sau î us decât cu σ. Calculul erorlor petru ărle ăsurate drect. Fe o ăre y care rezultă dtr-u calcul efectuat cu ajutorul uor ăr drect ăsurable x, x,,x N : y = f x, x,..., x ) (8) ( N Erorle cose la ăsurarea varablelor x afectează valoarea calculată a ăr y. Se poate arăta că eroarea cea a are, î valoare absolută, petru y este dată de f f f y0 = x + x x x xn xn (9) ar eroarea relatvă

5 0 FIZICĂ Tee experetale y f f f = x + x + + ) 0 (l ) (l ) (l... x y x x x N N (0) Se adte că valoarea reală a ăr y va satsface codţa y y0 y y + y 0 ude y = f ( x, x,..., xn ) () Teora arată că î cazul î care asupra fecăre ăr care tră î (8) se face u uăr are de ăsurător, eroarea ede pătratcă a ede artetce (abaterea stadard a ede) este dată de relaţa: f f f = σ σ σ N x x x N σ () î care σ se calculează cu relaţa (7) ar î dervatele parţale se îlocuesc, î calcule, varablele x pr valorle lor ed x.. Reprezetăr grafce I fzca experetală se foloseşte adesea reprezetarea grafcă a datelor ăsurate experetal. Reprezetarea datelor pr grafce perte stablrea depedeţe fucţoale dtre două ăr ş a uor caracterstc cu ar f puctele de tersecţe ale curbe experetale cu axele, puctele de ax ş de, puctele de flexue, pata curbe, caracterstc de perodctate etc. Să cosderă cazul î care se cercetează depedeţa ue ăr y de o aută ăre x, adcă fucţa y(x). Petru u şr de valor alese de experetator petru varabla x se obţe u set de valor petru ărea y, care se arajează, de obce, îtr-u tabel de date. Se trasează u sste de axe rectagulare xoy; pe fecare axă se preczează ce ăre se repreztă ş utăţle de ăsură foloste (fg..). Se aleg scărle de reprezetare pe cele două axe astfel îcât hârta letrcă utlzată să poată cuprde îtregul doeu de varaţe al ărlor ăsurate. Dacă ărle ăsurate varază cu a ulte orde de ăre, ceea ce ar face posblă reprezetarea la o scară lară, se recurge la reprezetarea logartulu acestor ăr, adcă se alege o scară logartcă (fe pe o sgură axă, fe pe aâdouă). Scara aleasă pe o axă u codţoează î c u fel

6 Prelucrarea datelor experetale scara de pe cealaltă axă, ărle reprezetate pe cele două axe fd, î geeral char de atur dferte. Pe axe, la tervale de obce egale (la sau c) se scru valorle uerce corespuzătoare ăr reprezetate ( care expră scara) ş u coordoatele puctelor experetale. Se repreztă perechle de valor d tabelul de date pr pucte de coordoate (x,y). I cazul î care se pot apreca erorle absolute cose î fecare ăsurătoare, acestea se pot reprezeta grafc, î fecare puct experetal, pr bare vertcale ş orzotale (corespuzâd ărlor de pe fecare axă), de luge proporţoală cu eroarea respectvă. Datortă erorlor de ăsură, puctele experetale u se aşază pe o curbă etedă dar este recoadabl să se traseze o curbă prtre pucte, sugerată de asablul puctelor; pr aceasta se obţe o edere a erorlor experetale. Nu se uesc puctele prtr-o le frâtă! I(A) I U(V) U Fg..

7 FIZICĂ Tee experetale Curbă etedă astfel obţută repreztă ftarea (potrvrea) grafcă (to ft=a potrv) a depedeţe y(x) ş poate folos la găsrea fucţe y(x). De exeplu, dacă puctele deterate experetal coduc la u grafc sub fora ue drepte, atuc se caută o fucţe de fora y = x + b (3) î care costatele ş b se deteră d grafc. Petru deterarea pate, se aleg pe dreapta obţută experetal două pucte (î geeral, altele decât cele obţute experetal), cât a îdepărtate uele de altele petru a dua erorle relatve, ş se ctesc pe grafc varaţle x ş y corespuzătoare acestor pucte; atuc = y / x. Ordoata la orge b se obţe ctd pe grafc ordoata puctulu î care dreapta tae axa ordoatelor. Ateţe! Spre deosebre de cazul d geoetre, costatele ş b d forulele fzce au, î geeral, utăţ de ăsură! Dacă curba experetală u este o dreaptă, atuc găsrea fucţe care să o descre este o probleă a coplcată, dar î ulte cazur rezolvablă. 3. Metoda celor a c pătrate După cu s-a arătat a sus, reprezetarea grafcă a deterărlor experetale poate sugera fora fucţe de depedeţă a ăr y de ărea x, y(c,c,...,c k, x), dar răâe deschsă problea găsr costatelor c k care tră î fucţe (î forulă). Petru rezolvarea aceste problee se foloseşte etoda celor a c pătrate. Forulele de fora y= y(c,c,...,c k, x), deduse pe cale teoretcă (raţoală), care coţ costate ce depd de paraetr fzc be deteraţ, se uesc forule raţoale (de exeplu, forula de varaţe a destăţ uu corp sold cu teperatura, ρ = ρ 0 /( + γ t) î care costata ρ 0 este destatea corpulu la 0 o C ar γ este coefcetul de dlatare volucă al ateralulu corpulu). Dacă o astfel de forulă rezultă ua î ura expereţe, care stableşte doar valorle uerce ale costatelor, atuc vorb de o forulă

8 Prelucrarea datelor experetale 3 eprcă (de exeplu, depedeţa de teperatură a coefcetulu de 4 8 dlatare petru ercur γ = t ). Petru a vedea î ce costă etoda celor a c pătrate, să cosderă că erorle cose la ăsurarea ărlor x sut egljable faţă de erorle care afectează valorle y (=,,...,; uărul de ăsurător). Urăr să găs valorle costatelor c k astfel îcât fucţa y(c,c,...,c k, x) să reproducă cel a be datele experetale. Fe abaterle y = y y( c, c,..., c k, x ) (4) o ăsură a devaţe valorlor fucţe căutate faţă de datele experetale.vo spue că fucţa căutată reproduce cel a be datele experetale dacă sua pătratelor acestor abater S = [ y y( c c,..., ck, x )] =, (5) este ă. Ipuâd codţa de petru S, adcă aularea dervatelor sale î raport cu costatele c k, se obţe u sste de k ecuaţ d care se pot obţe costatele căutate. Vo exeplfca aplcarea etode celor a c pătrate, referdu-e, d ou, la cazul depedeţe lare de fora (3). I acest caz, sua pătratelor abaterlor se scre S = ( y x b) = ar ul său se realzează dacă se aulează dervatele: (6) S = = [ x ( y x b) ] = 0 (7) S = b = D ecuaţle (7) ş (8) obţe ssteul: [ ( y x b) ] = 0 (8) x + b = = x = = x y (9)

9 4 FIZICĂ Tee experetale x + b = y = = (30) d care rezultă costatele căutate b ş. Dacă se ţe seaă că x = x = (3) ş y = y = (3) sut valorle ed ale varablelor respectve, atuc soluţa ssteulu (9)+(30) se poate scre: x y = = = = = = x x = = = x y ( x x) y ( x x) (33) b = y x (34) După cu se vede, aplcarea etode celor a c pătrate ecestă aute calcule care pot descuraja experetatorul, de aceea este de preferat să se detere pata drepte ş ordoata la orge b d grafc, aşa cu s-a arătat la sfârştul paragrafulu precedet. Petru aplcarea etode grafce (trasarea drepte pr puctele experetale), este utl să se observe că relaţa (34) e spue că puctul de coordoate ( x, y). se află pe dreapta care ftează cel a be (satsface ecuaţa drepte y = x + b ). 4.Măr aproxatve. Regul de rotujre a uerelor. Pr ăsurător experetale asupra ărlor fzce, u pute cuoaşte valoarea adevărată a acestora c doar valoarea lor aproxatvă, afectată de o aută eroare. Costatele fzce, date î tabele, sut deterate, la râdul lor, cu o aută precze. S-a arătat că rezultatul ue ăsurător se expră î fora x = x ± x. De exeplu, î tabele de costate se găseşte că sarca eleetară este 9 8 e = (, ± 46 0 ) C sau, cu u alt od de screre, e =,6089(46) 0 9 C, acesta d ură arătâd că eroarea absolută

10 Prelucrarea datelor experetale 5 8 ede este e = 46 0 C. Se observă că î odul de screre ştţfc, valoarea uercă a ue ăr se expră prtr-u uăr a căru parte îtreagă are o sgură cfră, îulţtă cu o putere corespuzătoare a lu zece. Rezultatele uor calcule ateatce (logartare, rădăca patrată, îpărţre etc) repreztă valor cu u uăr are de zecale ş se pue, de aseeea, aproxarea rezultatelor. Necestatea aproxăr apare ş î cazurle câd terv uere cu sut π sau e (baza logartlor atural). De regulă, îtr-o forulă terv ăr cu precz dferte. Eroarea rezultatulu fal va depde de eroarea de deterare a tuturor ărlor care tră î forulă. Dacă uele ăr dtr-o forulă fzcă sut deterate cu precze că, u are ses ca celelate ăr să fe luate cu precz ult a ar, astfel că valorle acestor ăr vor f rotujte. Trebue îsă ca eroarea relatvă a valor rotujte să u fe a are ca eroarea relatvă a ăr deterate cu precza cea a că. Valoarea uercă a ue ăr se expră prtr-u aut uăr de cfre sefcatve. Cfrele,,...,9 ale uu uăr sut cfre sefcatve; cfra 0 se cosderă sefcatvă dacă se află î terorul uărulu sau la dreapta acestua. De exeplu, coefcetul de dlatare lară petru - aluu sub fora α = 0,00004 K este prezetat cu două cfre sefcatve, prele cc cfre de zero u sut cfre sefcatve, ar screrea corectă, î otaţe ştţfcă, este α =,4 0 5 K -. Dacă îsă, scre g=9,80 /s, cfra zero este cfră sefcatvă, ea arată a câta zecală este cosderată exactă î aproxarea valor lu g. Dacă u uăr trebue rotujt la u aut uăr de cfre sefcatve, aceasta se face după urătoarele regul: - Dacă pra cfră care trebue egljată este a că decât cc, atuc ulta cfră eţută răâe eschbată; 3,09 3,0 - Dacă pra cfră care trebue egljată este a are ca cc sau este cc urat de cfre dferte de zero, ulta cfră păstrată se ăreşte cu o utate; 3,073 3,0 3,053 3,0 - Dacă cfra ce trebue egljată este cc urat ua de zerour, uărul se rotujeşte la cea a apropată valoare pară.

11 6 FIZICĂ Tee experetale 3,050 3,0 3,050 3,0 Î calcule se vor lua ua cfrele sefcatve care pot f cosderate exacte. Câd se îulţesc sau se îpart două uere, rezultatul se va lua cu atâtea cfre sefcatve câte are factorul cu cele a puţe cfre sefcatve. De exeplu, la îulţrea dtre 4,7 ş 5,93, d calcule se obţe 7,87 dar rezultatul trebue rotujt la două cfre sefcatve, adcă la 8. La aduare sau scădere se păstrează toate cfrele.