ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 004 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 8 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 004 ΠΡΩΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (9 π.μ.)
. Αν δ t, t 0, να βρεθούν τα 0 t i (αποτελεσματικό επιτόκιο στο διάστημα 0, ) και j 0 (ονομαστικό επιτόκιο στο διάστημα 0, ). i 0 j 0 (Α) 3 (Β) 3 (Γ) 5 4 (Δ) 5 4 (Ε) 9 4
. Ένα κληροδότημα που θα καταβάλλει ετησίως μια μονάδα στο διηνεκές με αρχή τη χρονική t στιγμή t 0 αγοράζεται με 0 ετήσιες προκαταβλητέες δόσεις ύψους, t 0,,..., 9. 0 Ποια η τιμή του επιτοκίου; (Α) 6,000% (Β) 6,04% (Γ) 6,8% (Δ) 6,453% (Ε) 6,756%
3. Αν ο συντελεστής προεξόφλησης είναι τ.μ. V ομοιόμορφα κατανεμημένη στο διάστημα,94, 0,98 V V Var V Var V ; 0, πόσο μεγαλύτερη είναι η Var από το άθροισμα (Α) 6 3 0 (Β) 6 6 64 0 (Γ) 8 0 (Δ) 6 56 0 (Ε) 5 0 6
4. Στην αρχή κάθε έτους, ο Χ καταθέτει μια μονάδα σε λογαριασμό με επιτόκιο i. Στο τέλος κάθε έτους, ο Χ αναλαμβάνει τους τόκους και τους επανεπενδύει σε άλλο λογαριασμό που κερδίζει απλό τόκο με επιτόκιο j. Στο τέλος ετών, ποιο θα είναι το άθροισμα των υπολοίπων των δύο λογαριασμών; (Α) (Β) (Γ) (Δ) (Ε) i ij 6 i ij 3 i ij 6 i ij 3 i ij 6
π δt e e si tdt, να βρεθεί ο λόγος του 0 0 0 δt πδ 5. Αν si tdt e 0 δt e si tdt. δt e sit dt προς το (Α) e e πδ πδ (Β) e e πδ πδ (Γ) e πδ (Δ) e πδ (Ε) e πδ
6. Τα επιτόκια πρόσω (forward rates) είναι f 0,0, f 0,0, f3 0,03, f4 0, 04 και f 5 0, 05. Στον υπολογισμό της αξίας ενός 5ετούς ομολόγου με ονομαστική αξία και τοκομερίδιο r 0,05, αντί της παραπάνω σωστής διάρθρωσης των επιτοκίων, χρησιμοποιείται χάριν ευκολίας επιτόκιο 3%. Ποια είναι η τάξη μεγέθους του σφάλματος (της διαφοράς) που προκύπτει στην τιμή της αξίας απ αυτή την προσέγγιση; (Α) 5 5 0 (Β) 4 5 0 (Γ) 3 5 0 (Δ) 5 0 (Ε) 5 0
7. Αν η 4 α είναι ίση με 3 της 0 4 α, να βρεθεί το επιτόκιο i και η αξία διηνεκούς προκαταβαλλόμενης ράντας που αναβάλλεται για 40 χρόνια και καταβάλλεται 4 φορές το χρόνο. (Α) i 0, 05 0, 05 (Β) 3 0, 05 (Γ) 3 0, 05 (Δ) 3 0, 05 (Ε) 4 40 α 4 6 4 3 9 3 0,05 0,05 0,05 36 3 0,05 0,05
κ 8. Αν Iα t υ, κ 0,,,... t κ t ληξιπρόθεσμης προσωρινής ράντας με διάρκεια ;, ποιο από τα παρακάτω είναι η κυρτότητα (covexity) μιας υ Iα (Α) Iα υ 0 υ (Β) (Δ) Iα Iα (Ε) Iα Iα Iα 0 Iα υ Iα 0 0 Iα υ (Γ) Iα 0 Iα Iα
00 δ Δ, και 3 Δ Δ E e e, να βρεθεί η σταθερή ένταση ανατοκισμού δ για την οποία ισχύει 9. Αν η ένταση ανατοκισμού είναι τ.μ. Δ με σ.π.π. f δ e 3, δ 0 δ EA E A α. (Α) 0,098 (Β) 0,0956 (Γ) 0,097 (Δ) 0,0305 (Ε) 0,0379 00
0. Αν η διασπορά της απόδοσης μιας μετοχής είναι διπλάσια της διασποράς της απόδοσης του συνόλου της αγοράς, ο δε συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των δύο αποδόσεων είναι ποια η τιμή του συντελεστή βήτα της μετοχής;, (Α) 5 4 (Β) 6 5 (Γ) (Δ) 5 6 (Ε) 4 5
. Δάνειο ύψους L αποπληρώνεται χρεολυτικά με 5 δόσεις, 6 ύψους 500 στην αρχή και 9 ύψους.000 στη συνέχεια. Ποιο το κεφάλαιο που περιέχεται στην 6 η δόση; (Α) 5 (Β) i α 500 i i (Δ) 5 (Ε).000 i α υ.000 Li i 500 (Γ) 500υ υ 0 0 0
. Έστω μια "μη παράλληλη" μεταβολή στα μελλοντικά επιτόκια για μονοετείς τοποθετήσεις από f σε f ε και από f σε f ε και έστω s ε η αντίστοιχη μεταβολή στο σημερινό επιτόκιο s για μια άμεση διετή τοποθέτηση. Αν αγνοήσουμε "όρους δέυτερης τάξης", ποιο από τα παρακάτω είναι η σωστή προσέγγιση για το ε; ε ε (Β) ε (Α) ε (Γ) ε f ε f (Δ) ε f ε f (Ε) ε f f ε f f
07 3. Στο τέλος μιας χρονικής περιόδου, η τιμή μιας μετοχής με σημερινή τιμή θα είναι ή ή 00 00. Ομόλογα με ακίνδυνη απόδοση r 0, 05 έχουν επίσης τρέχουσα τιμή. Να βρεθούν οι 07 τιμές των κινδυνουδέτερων πιθανοτήτων που συνδέονται με τα παραπάνω δεδομένα. (Α) 35 449 και 4 449 (Β) 8 449 και 3 449 (Γ) 0 449 και 48 449 (Δ) 94 449 και 535 449 (Ε) 807 449 και 64 449
4. (Το ερώτημα αυτό αποτελεί συνέχεια του 3.) Αν ένα άτομο αγοράσει σήμερα το δικαίωμα (optio) αγοράς της μετοχής στο τέλος της περιόδου στη σημερινή τιμή, τι τίμημα πρέπει να καταβάλει; 00 (Α) 4347 (Β) 80 (Γ) 449 47 (Δ) 4347 4 (Ε) 6
5. Δικαίωμα προαιρετικής αγοράς (optio) πρόκειται να τιμολογηθεί με βάση το πρότυπο Black- Scholes. Αν η σημερινή αξία της μετοχής είναι, η τιμή άσκησης του δικαιώματος είναι επίσης, ο χρόνος άσκησης του δικαιώματος είναι t = και σ 0, 00056, να βρεθεί η διαφορά d d μεταξύ των δύο ποσοστημορίων της Ν(0, ) (των δύο τετμημένων της σ.π.π. της Ν(0, )) που θα χρησιμοποιηθούν για την τιμολόγηση. (Α) 0,03 (Β) 0,06 (Γ) 0,008 (Δ) 0,00056 (Ε) 0,0008
6. Να βρεθεί η αξία διηνεκούς ράντας που τη χρονική στιγμή κ t, όπου κ = 0,,,... και t,,...,, καταβάλλει το ποσό t. (A) iα Iα (Β) α Iα (Γ) iα (Δ) is (Ε) s i
7. Ποια από τα παρακάτω αληθεύουν; Ι. s α ds α ΙΙ. s α d s α ΙΙΙ. s α (Α) Μόνον το Ι (Β) Μόνον το ΙΙ (Γ) Μόνον τα Ι, ΙΙ (Δ) Μόνον τα Ι, ΙΙΙ (Ε) Όλα
8. Ποια από τα παρακάτω αληθεύουν; Ι. κ κ i κ d ΙΙ. κ κ κ κ d δ ΙΙΙ. 0 j j i j s (Α) Μόνον το Ι (Β) Μόνον το ΙΙ (Γ) Μόνον το ΙΙΙ (Δ) Μόνον τα Ι, ΙΙΙ (Ε) Όλα
9. Δάνειο ύψους α με επιτόκιο i εξοφλείται χρεολυτικά με ίσες δόσεις. Ποια η παρούσα αξία με επιτόκιο j των τόκων που περιέχονται στις δόσεις του δανείου; (Α) υ i υ j i j (Β) α j υi υ j (Γ) j i α i υi υ j (Δ) j i i α i j (Ε) j α i i
0. Αντί καταβολής της δόσης για χρεολυτική εξόφληση δανείου ύψους, ο δανειολήπτης έχει α την ευχέρεια να καταβάλλει τον ετήσιο τόκο i επί του συνολικού ύψους του δανείου και ταυτόχρονα να καταθέτει ετήσιες δόσεις σε λογαριασμό που κερδίζει επιτόκιο i μεγαλύτερο από το επιτόκιο i του δανείου με στόχο τη συγκέντρωση του ποσού για αποπληρωμή όλου του κεφαλαίου του δανείου στη λήξη (στο τέλος των ετών). Ποιο είναι το ετήσιο όφελος του δανειολήπτη απέναντι στην περίπτωση που θα κατέβαλε τη χρεολυτική δόση ; α (Α) s i (Β) s i α i α i (Γ) α i (Δ) s i α i s i (Ε) i i
. Η αξία μιας μετοχής είναι σήμερα 0 και αναμένεται να αυξηθεί με ετήσιο ρυθμό 5%. Η μετοχή θα πληρώσει ένα χρόνο από σήμερα μέρισμα ύψους 0,75 και το μέρισμα αναμένεται να αυξηθεί με ετήσιο ρυθμό 0%. Τα μερίσματα φορολογούνται 0% και τα κέρδη κεφαλαίου (υπεραξίες) 30%. Αν ένα άτομο σκοπεύει να πωλήσει τη μετοχή στο τέλος 5 ετών (έχοντας πρώτα εισπράξει και το μέρισμα πέμπτου έτους) και επιθυμεί να έχει απόδοση %, ποια είναι η μέγιστη τιμή που θα είναι διατεθειμένο να καταβάλει για να αγοράσει τη μετοχή; (Α) 0,7 (Β) 9,8 (Γ) 9,68 (Δ) 9,53 (Ε) 8,7
. Εάν st t re s p δ, τότε α (Α) p e p (Β) s p e s p (Γ) r e ps (Δ) s p r e s p (Ε) s p r e p e s p p
3. Για την απόδοση R μιας μετοχής και για την απόδοση R M της αγοράς συνολικά ισχύουν 4 ER 0, 5 και VarR M 0 απόκλισης προς τον μέσο) της R είναι 5 βρεθεί ο συντελεστής συσχέτισης των R και. Ο συντελεστής μεταβλητότητας (: λόγος της τυπικής και ο συντελεστής βήτα της μετοχής είναι 3. Να R M. (Α) (Β) 0 (Γ) (Δ) 3 (Ε)
4. Ποια η παρούσα αξία διηνεκούς προκαταβλητέας ράντας της οποίας οι πρώτες κ δόσεις είναι, οι επόμενες κ είναι, οι επόμενες κ είναι 3, κ.ο.κ.; (Α) i α κ (Β) d α κ (Γ) α i κ (Δ) α α κ κ (Ε) α κ i
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 004 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 8 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 004 ΑΠΟΓΕΥΜΑΤΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (μ. μ.μ.)
. (4 βαθμοί) Τα σημερινά επιτόκια (spot rates) για τοποθετήσεις ενός, δύο και τριών ετών είναι αντίστοιχα s 0,040, s 0, 045 και s 3 0, 050. (i) Να βρεθούν τα αντίστοιχα επιτόκια πρόσω (forward rates). (ii) Μια ομολογία με C = F = 00 και τοκομερίδιο r = 0,05 αγοράζεται προς P = 97. Να βρεθεί η απόδοση του αγοραστή (αν κρατήσει την ομολογία μέχρι τη λήξη της). (iii) Να βρεθεί το par yield που αντιστοιχεί στη δοθείσα διάρθρωση των επιτοκίων. (iv) Να δειχθεί ότι η απόδοση μιας διετούς ομολογίας με C = F = και τοκομερίδιο r που αγοράζεται 4P r r P r προς P είναι i. P. (8 βαθμοί) Ένας ειδικός τίτλος κεφαλαιοποίησης με 0ετή διάρκεια καταβάλλει μια μονάδα στο τέλος 0 ετών και δύο μονάδες στο τέλος 0 ετών. (i) Να βρεθεί το ετήσιο καθαρό ασφάλιστρο. (ii) Να γραφεί το μαθηματικό απόθεμα για τον τίτλο και προοπτικά και ανασκοπικά τόσο για 0 t 9 όσο και για t 0. (iii) Ποιο το απόθεμα στο τέλος του 0 ου έτους μια στιγμή πριν από την καταβολή της μονάδας, ποιο το απόθεμα μια στιγμή μετά την καταβολή της μονάδας αλλά πριν από την πληρωμή του ου ασφαλίστρου και ποιο το απόθεμα μια στιγμή μετά την πληρωμή του ου ασφαλίστρου; 3. (4 βαθμοί) Το επιτόκιο Ι που θα ισχύσει τα επόμενα 0 χρόνια είναι τ.μ. με σ.π. Pr(I=0,07)=0,3, Pr(I = 0,08) = 0,, Pr(I = 0,0) = 0,5. (i) Τι ποσό πρέπει να επενδυθεί σήμερα ώστε η συσσώρευση που αναμένεται στο τέλος της 0ετίας να είναι.000; (ii) Τι ποσό πρέπει να επενδυθεί σήμερα ώστε η συσσωρευμένη αξία στο τέλος της 0ετίας με επιτόκιο ίσο προς το αναμενόμενο να είναι.000; (iii) Ποια η τιμή της I 0 Var ; 4. (8 βαθμοί) Σε μια αγορά, τα χωρίς τοκομερίδιο ομόλογα διάρκειας t, t =,,,, τιμώνται 5 P t. (i) Να εκφρασθούν ως συνάρτηση της διάρκειας t τα επιτόκια s t (spot rates) που 5 t έπονται από τις παραπάνω τιμές. (ii) Να εκφρασθούν κατά τον ίδιο τρόπο τα αντίστοιχα f t (forward rates). (iii) Να διερευνηθεί η καμπύλη αποδόσεων (yield curve) προκειμένου να διαπιστωθεί αν είναι αντεστραμμένη ή όχι. Ποιο το σχετικό μέγεθος των s t και f t ; (iv) Να γραφεί τύπος για τον υπολογισμό της τιμής ομολόγου διάρκειας m (m ) με F = C = και τοκομερίδια r. (v) Να γραφεί τύπος για τον υπολογισμό του par yield του ομολόγου στο (iv). (vi) Να βρεθεί η απόδοση διετούς ομολόγου με F =, C =,, r = 0,04, το οποίο αγοράζεται προς P =,07 (και κρατείται μέχρι τη λήξη). 5. (8 βαθμοί) (α) Δίδεται φ δ α t e δt. (i) Να δείξετε ότι η ποσοστιαία μεταβολή οφειλόμενη σε μικρή μεταβολή Δδ της έντασης ανατοκισμού είναι προσεγγιστικά Δ Δφ φ δt στη φ η, όπου t η μέση διάρκεια της χρηματορροής α δt t e. (ii) Εφαρμόζοντας το (i) στην α, να δείξετε ότι η αύξηση του επιτοκίου από 4% σε 4,% μειώνει την αξία της α κατά περίπου 4,80%. Πώς συγκρίνεται αυτή η προσέγγιση με την πραγματική ποσοστιαία διαφορά μεταξύ της α προς 4% και της α προς 4,%; (β) Τα α και 0 σε (5+ε)% οδηγεί σε μεταβολή της τιμής της α έχουν υπολογισθεί με 5%. Αν μια μικρή διατάραξη του επιτοκίου από 5% 0 διατάραξη της τιμής του i επηρεάζει την τιμή της α κατά περίπου,3%, να δείξετε ότι η ίδια 0 α κατά περίπου,5% και ότι το ε είναι 0 περίπου 0,33. (γ) Μια υποχρέωση ύψους στο t έχει την ίδια παρούσα αξία και την ίδια διάρκεια με δύο στοιχεία στο t ε και x στο t+ε. Ο μέσος των τετραγώνων t ε και ε x t 0 4. Να δειχθεί ότι ε = 0,0 και δ = 00 lx. t είναι ίσος με
6. (6 βαθμοί) Δάνειο ύψους α εξοφλείται με ίσες δόσεις. Οι συνολικοί τόκοι που θα πληρωθούν είναι (όπως και στην κλασσική χρεολυτική μέθοδο) α, με τη διαφορά ότι εδώ κάθε δόση περιέχει το ίδιο ποσό τόκου. (i) Να δειχθεί ότι η απόδοση για το δανειστή είναι α i και ότι, αν, η απόδοση αυτή είναι ευνοϊκότερη από την απόδοση του α υ υ δανειστή με τη χρεολυτική μέθοδο αν υ. (ii) Για το ίδιο δάνειο, αν το σύνολο των υ τόκων που θα καταβληθούν παραμένει α, αλλά ο τόκος σε κάθε δόση φθίνει γραμμικά από β σε β, να δειχθεί ότι i 6 α α. (iii) Να δειχθεί ότι η απόδοση που προκύπτει από το (ii) όταν = συμπίπτει με την απόδοση της χρεολυτικής μεθόδου και ότι η διαφορά μεταξύ των δύο αποδόσεων όταν = είναι μικρότερη κατά πολύ από το d. 7. (6 βαθμοί) Έστω σειρά ομολογιών με F=C=, τοκομερίδιο r και κλιμακωτή λήξη κ =,,...,. κ r f j (i) Να δειχθεί ότι η συνολική αξία της σειράς είναι κ κ j. (ii) Να δειχθεί r ότι, με "επίπεδη διάρθρωση των επιτοκίων" (flat yield curve), το (i) ανάγεται σε i r α i και, σε περίπτωση που i = r, απλά σε. (iii) Έστω σειρά ομολογιών με = 3 και διάρθρωση 5 j 093 3 3 των επιτοκίων f j, j,, 3. Αν και, να 4 j 6 7 8 988 6 7 8 988 5 988 δειχθεί ότι η αξία της σειράς είναι 093 3r. 8. (6 βαθμοί) (i) Να περιγράψετε το πρότυπο Black-Scholes για την τιμολόγηση δικαιωμάτων προαιρετικής αγοράς (optio pricig), ορίζοντας με πληρότητα και σαφήνεια κάθε αναγκαίο όρο και κάθε αναγκαίο σύμβολο. (ii) Το πρότυπο Black-Scholes ισχύει υπό προϋποθέσεις. Να απαριθμήσετε αυτές τις προϋποθέσεις. (iii) Να εξηγήσετε με ακρίβεια την έννοια της αντιστάθμισης του κινδύνου (hedgig) και την αρχή της αδυναμίας αποκόμισης ακίνδυνου κέρδους (o arbitrage priciple) και να δώσετε κατάλληλα παραδείγματα.