8 Το θεώρηµα λλαγής µεταβλητής και οι µετασχηµατισµοί συντεταγµένων Όως έχουµε ήδη αναφέρει η δεύτερη βασική µέθοδος υολογισµού ολλαλών ολοκληρωµάτων είναι αυτή της αλλαγής µεταβλητής, την οοία έχουµε ήδη συναντήσει στον Λογισµό της µιας µεταβλητής. Υενθυµίζουµε το θεώρηµα αλλαγής : c, d R C συνάρτηση και f µεταβλητής στην ερίτωση αυτή. Έστω [ ] συνεχής στο διάστηµα ( [ c, d ]) τότε, f ( x) dx= f ( ( t) ) '( t) dt (). Θέτοµε Ι= [ c, d] και J = ( Ι ). ς υοθέσουµε ότι '( x) για κάθε x Ι, εοµένως είτε ( και άρα γνήσια αύξουσα ) ή ' φθίνουσα ). ν '( x ) > για κάθε x Ι τότε η () γράφεται, f ( x) dx= f ( ( t) ) '( t) dt () ( Ι) ( αφού τότε, ( Ι ) = ( c), ( d) ). ν '( x ) < για κάθε x Ι τότε η () γράφεται, = ( ) ' ( Ι) ( αφού τότε ( Ι ) = ( d), ( c) Ι d c d c ' x > για κάθε x Ι x < για κάθε x Ι ( και άρα γνήσια f x dx f t t dt (3) ). Οι () και (3) µορούν να γραφούν µε ενιαίο τρόο ως εξής: f x dx= f t ' t dt ( Ι) Ι ( ) () Ι ( Η () ισχύει ακόµη και όταν c> d ) Η τελευταία αυτή µορφή είναι εκείνη η οοία θα γενικευθεί στα ολλαλά ολοκληρώµατα. Η συνάρτηση η οοία µετασχηµατίζει τις µεταβλητές θα αντικατασταθεί αό ένα µετασχηµατισµό των συντεταγµένων, ου ορίζεται ως εξής:. Ορισµός. Έστω U R ανοικτό. Μια συνάρτηση : U R R καλείται ένας µετασχηµατισµός των συντεταγµένων αν ισχύουν τα ακόλουθα: (ι) Η είναι C συνάρτηση. (ιι) Η είναι (ιιι) Η Ιακωβιανή ορίζουσα det J για κάθε x U. x Σηµειώνουµε ότι οι (ι) και (ιιι) έχουν ως συνέεια ότι η είναι ανοικτή αεικόνιση ( δηλαδή ( V ) ανοικτό στον έεται ότι το W ( U) R για κάθε V U µε V ανοικτό στον = είναι ανοικτό υοσύνολο του R ), ιδιαίτερα R. ό το θεώρηµα αντίστροφης συνάρτησης έεται ότι η : W U είναι C συνάρτηση. Μια τέτοια συνάρτηση ονοµάζεται αµφιδιαφόριση. (Πρβλ. και το βιβλίο [])
9. Θεώρηµα ( λλαγής µεταβλητής για ολλαλά ολοκληρώµατα) Έστω, Β R Jorda µετρήσιµα σύνολα, U R ανοικτό µε U και : U R µετασχηµατισµός συντεταγµένων µε =Β. ν η f : Β R είναι ολοκληρώσιµη (.χ. f συνεχής στο Β ) τότε η fo det J : R είναι ολοκληρώσιµη και ισχύει, Β= ( ) det ( x) f y dy= f x J dx (). Σηµείωση.. Το θεώρηµα αλλαγής µεταβλητής ισχύει και µε την υόθεση ότι τα, Β R είναι ανοικτά Jorda µετρήσιµα σύνολα, η : Β είναι µετασχηµατισµός συντεταγµένων µε ( ) =Β και ακόµη ότι οι συναρτήσεις det J και det J είναι φραγµένες εί του ( δες το [5] σ. 55-6) Παρατηρήσεις. ) ν η f είναι η σταθερά συνάρτηση f, τότε ο τύος () δίνει για το διάστατο όγκο ( εριεχόµενο ) του Β: det ( x) V Β = J dx (). Ο τύος () ερµηνεύεται γεωµετρικά ως εξής: Η Ιακωβιανή ορίζουσα det J του µετασχηµατισµού µας δίνει το µέτρο της µεταβολής ου ο ειφέρει στους όγκους ( ή στα εµβαδά αν = ). υτό φαίνεται καλύτερα στην ερίτωση ου ο : R µετασχηµατισµός, οότε J R είναι ένας γραµµικός = L, όου L ο ίνακας του γραµµικού µετασχηµατισµού ( ρβλ το αράδειγµα µετά τον ορισµό 5. ) και εοµένως V( Β ) = det L dx= V( ) det L. ) ν = (, x(,, y(, = και συµβολίσουµε µε τότε οι τύοι () και () γράφονται και ως εξής ( x, (, ( x, (, f ( x, dxdy = f ( x(,, y(, ) ddv (3) Β= V ( x, (, Β = ddv (). την det J
Ένας αό τους σκοούς ( ίσως ο λέον σηµαντικός )του θεωρήµατος αλλαγής µεταβλητής είναι να µας δώσει µια µέθοδο µε την οοία κάοια διλά, τριλά ή ολλαλά ολοκληρώµατα αλοοιούνται. Έτσι µορεί να συναντήσουµε ένα f y dy, όου είτε η f ή το χωρίο Β είναι ολύλοκα και ο ολοκλήρωµα Β αευθείας υολογισµός του ολοκληρώµατος είναι δύσκολος. Με κατάλληλη ειλογή του µετασχηµατισµού συντεταγµένων, η ρος ολοκλήρωση συνάρτηση ή ( γεγονός = Β ενδέχεται να ου είναι σηµαντικότερο ) το καινούργιο χωρίο αλοοιούνται και το ολοκλήρωµα ευκολότερα. det ( x) f x J dx να υολογίζεται λλαγή µεταβλητής στο διλό ολοκλήρωµα Στην συνέχεια θα εξετάσουµε κάοιους χρήσιµους µετασχηµατισµούς συντεταγµένων στο R. )Ο µετασχηµατισµός των ολικών συντεταγµένων στο R. Έστω : R R : r, θ = r cos θ, r siθ, δηλαδή, x= r cosθ και y= r siθ Η είναι βέβαια µια C αεικόνιση καθώς οι συντεταγµένες συναρτήσεις x( r, θ) = r cosθ και y( r, θ) = r siθ της είναι C διαφορίσιµες. Το ζεύγος ( r, θ ) είναι οι ολικές συντεταγµένες του ( x, R µε ( x, (,). Η δεν είναι αεικόνιση, αν όµως εριορίσουµε κατάλληλα το εδίο ορισµού της µορεί να γίνει. Για αράδειγµα αν ααιτήσουµε ότι r > και θ < ( ή < θ ) τότε, +, είναι, +, = R,. ν η [ ) και ( [ )) {} εριορίσουµε ακόµη την στο ανοικτό σύνολο U (, ) (, ) ( U) R {( x, ) : x } αµφιδιαφόριση αφού η αντίστροφή της h : ( U) U : h( x, ( r, θ) r x y = + τότε το = είναι είσης ανοικτό σύνολο και η γίνεται = + και = =, όου θ, : x= r cosθ και y= r siθ είναι είσης C διαφορίσιµη συνάρτηση. ( Η συνάρτηση h= µας δίνει ουσιαστικά την τριγωνοµετρική µορφή του µιγαδικού x+ iy.) Η ορίζουσα του ίνακα Jacobi της είναι x x ( x, r θ cos θ r siθ = = = r( cos θ + si θ) = r. ( r, θ) y y si θ r cosθ r θ O
O τύος αλλαγής µεταβλητής αό ολικές σε καρτεσιανές συντεταγµένες είναι, όως ροκύτει αό τον γενικό τύο (3), f x, y dxdy= f r cos θ, r siθ rdrdθ Β= (5) Το εµβαδόν του ( ) =Β δίνεται αό τον τύο ου ( ροκύτει αό τον () ) V( Β ) = rdrdθ (6) Το είναι βέβαια ένα Jorda µετρήσιµο σύνολο στο είεδο rθ των ολικών συντεταγµένων µε (, + ) (, ) και το Β η εικόνα του στο καρτεσιανό xy είεδο µέσω του ολικού µετασχηµατισµού. Πολικό είεδο Καρτεσιανό είεδο Η εικόνα του ανοικτού ορθογωνίου = (,) (, ) µέσω του ολικού µετασχηµατισµού είναι ο ανοικτός µοναδιαίος δίσκος εκτός της ακτίνας (, ), (, ). ηλαδή { =Β= x, y : x + y < } {( x, ) : x< }. Η εικόνα του R = (,] [, ) είναι ο κλειστός µοναδιαίος δίσκος εκτός του σηµείου (, ). ) Έστω Τ : R R µια γραµµική αεικόνιση ώστε, a β Τ (, = ( a+ βv, γ + δ,, v R. Εειδή Τ είναι ο ίνακας = γ δ ου δίνει την Τ είναι αντιστρέψιµος και έχει ορίζουσα det= aδ βγ. Είσης η Τ είναι και εί του x= a+ βv και y= γ + δ v. R ( R ) R Τ = αφού είναι γραµµική και. Εδώ έχουµε
Η Τ είναι βέβαια C αεικόνιση ως γραµµική. Η Ιακωβιανή ορίζουσα της Τ είναι x x v a β η det JΤ = = = aδ βγ. y y γ δ v υτό το αοτέλεσµα ήταν αναµενόµενο αφού η Τ είναι γραµµική και εοµένως DΤ a =Τ για κάθε a R. Η αεικόνιση Τ ως γραµµική αεικονίζει ( αράλληλες ) ευθείες σε ( αράλληλες ) ευθείες και άρα αραλληλόγραµµα σε αραλληλόγραµµα. Η Τ δεν διατηρεί αναγκαία τις γωνίες ( εκτός αν a= δ και β = γ ). Ο τύος αλλαγής µεταβλητής στην ερίτωση του γραµµικού µετασχηµατισµού Τ, v = a+ βv, γ + δ v είναι ο ακόλουθος ( είναι βέβαια ένα Jorda µετρήσιµο υοσύνολο του R ). f x, y dxdy= aδ βγ f a+ βv, γ+ δv ddv Β=Τ. Το εµβαδόν του Β=Τ( ) είναι το, V( Β ) = dxdy = aδ βγ ddv= aδ βγ V( ) Β Σηµείωση. Το ροηγούµενο αοτέλεσµα γενικεύεται εύκολα και για γραµµικές αεικονίσεις Τ : R R για κάθε. x y dxdy, Παραδείγµατα ) Να υολογιστεί το διλό ολοκλήρωµα ( + + ) όου R είναι το εσωτερικό του κύκλου {( x, : x y } R= + <. x R + y =, δηλαδή Λύση Στο αράδειγµα αυτό το R είναι σε καρτεσιανές συντεταγµένες. Οφείλουµε να το εριγράψουµε σε ολικές συντεταγµένες, δηλαδή να βρούµε το D r, θ = r cos θ, r siθ ο ολικός µετασχηµατισµός. Το = ( R ) όου εσωτερικό D του κύκλου εξής: ( θ) x + y = σε ολικές συντεταγµένες εριγράφεται ως {, :, θ } D= r r< <. Το R σε καρτεσιανές συντεταγµένες εριγράφεται ως { x, y : x και x } y x R= < < < < και βέβαια ( D ) =R όου ο ολικός µετασχηµατισµός δηλαδή το R είναι χωρίο τύου. Έτσι το δοθέν διλό ολοκλήρωµα ( χρησιµοοιώντας την εριγραφή τύου του R ) x γράφεται ως: ( x + y + ) dxdy= ( x + y + ) dy dx. R x Το ολοκλήρωµα αυτό είναι αρκετά δύσκολο να υολογισθεί. Χρησιµοοιώντας όµως τον τύο αλλαγής µεταβλητής και τον ολικό µετασχηµατισµό βρίσκουµε:
( x + y + ) dxdy = f ( r cos θ, r siθ) rdrdθ = ( r + ) R= D D r r ( Πρβλ και την αρατήρηση στο τέλος της αραγράφου ) ) Έστω < a < a < και :[ a, a] R rdrdθ = ( r + ) rdrdθ = 3 ( r + r) dr dθ = + dθ = 6dθ =[ θ ] [ a, a ] θ. D ϕ συνεχής µε 6 =. 3 ϕ θ > για κάθε Να υολογισθεί το εµβαδόν του συνόλου ( ) =Β ( όου ο ολικός µετασχηµατισµός και ) = ( r, θ) : a θ a και r ϕ( θ). { } ό τον τύο () εφαρµοσµένο για τον ολικό µετασχηµατισµό, βρίσκουµε a ϕ( θ) a r= ϕ( θ) V( Β ) = rdrdθ = rdr dθ a = r d ( ) d a θ = ϕ θ θ. Έτσι το εµβαδόν a r= a =Β ου είναι ένα Jorda µετρήσιµο χωρίο του R ( ου σε ολικές του συντεταγµένες φράσσεται αό τις ευθείες θ = a και θ = a και την καµύλη r = ϕ θ ) δίνεται αό τον αραάνω τύο. 3) Υολογίστε το εµβαδόν ου ερικλείεται αό την καµύλη r = a cos θ, όου a>. Λύση Φτιάχνουµε σε καρτεσιανές συντεταγµένες το γράφηµα αυτής της καµύλης, ( ου ονοµάζεται ληµνίσκος ) ώστε να καθορίσουµε τα όρια ολοκλήρωσης. ϕ :, Rείναι η ϕ θ = a cos θ. Εδώ η συνάρτηση [ ] Για να ολοκληρώσουµε στο γραµµοσκιασµένο χωρίο, αφήνουµε το r, r a cos θ και το θ, θ. = ( r, θ) : θ και r a cos θ χωρίο τύου ΙΙ στο ολικό είεδο, 3 5 7 θ,,,,
θ r a 3 a Λόγω συµµετρίας του χωρίου ου ερικλείεται αό την r = a cos θ, το ζητούµενο εµβαδόν είναι φορές το εµβαδόν ου βρίσκεται στο ρώτο τεταρτηµόριο. Έτσι έχουµε: r= a cosθ a cosθ r a cos θ a si θ a ( Β ) = rdr dθ = dθ = d θ = = r= a a =. Άρα το ζητούµενο εµβαδό ισούται µε = a. Σηµείωση. (α) Παρατηρούµε ότι το εµβαδόν του τµήµατος του ληµνίσκου ου βρίσκεται στο ο τεταρτηµόριο µορεί να ροκύψει και αό αράδειγµα () µε a = < a = και ϕ( θ) = a cos θ, θ, Έτσι έχουµε: ( ) a cos ϕ θ dθ = a θdθ = (β) Είσης αό το αράδειγµα () µε ϕ( θ) = a, θ [ a, a] ( ) εµβαδόν του δίσκου R= {( x, : x + y a }. Πράγµατι, αν R( a, a) του ορθογωνίου [, a] [ a, a ] ( (, ) ) R ( a, a ) a> λαµβάνουµε το είναι η εικόνα µέσω του τότε, a a dθ = a ( a a) V R a a = dxdy= a a a lim V( ( a, a) ) a ( ) a αραγράφου ).. Λαµβάνοντας όρια θα έχουµε, R = =. ( Πρβλ. και την αρατήρηση στο τέλος της ) οδείξτε ότι ισχύει: + x x e dx= lim e dx= και κατά συνέεια: +
5 + x e dx=. x y Λύση Θεωρούµε την συνεχή συνάρτηση f ( x, = e +, ( x, R υολογίζουµε τα διλά ολοκληρώµατα f ( x, dxdy, f ( x, dxdy f ( x, dxdy, όου D {, :, και } D = x y x y x + y, = { + } και [ ] [ ] D x, y : x, y και x y D R D D R και και R =,,, >. Έεται ότι R ( x + y ) ( x + y ) x y e dxdy= e dxdy= e e dy dx = x y e e dy dx = x y x e dx e dy = e dx. ( Θεώρηµα Fbii ) ( x + y ) r e dxdy = re drdθ = r ( ) e dθ e = dθ = e. D Εδώ χρησιµοοιούµε τον ολικό µετασχηµατισµό ( r, θ) r( cos θ,siθ) = και r αρατηρούµε ότι [, ], = D. Είσης για τον υολογισµό του re dr dx κάνουµε την αλλαγή µεταβλητής, x= r = r, άρα dr r re dr = x e dx = νάλογα υολογίζουµε: x e = ( e ) = ( e ) D ( x y ) = ( ) + e dxdy e ( x y ) Εειδή D R D και ( x y ) ( x y ) ( x y ) e + dxdy e + dxdy e + dxdy D R D x, y e + > για κάθε για κάθε >. R, έεται ότι
6 Έτσι συµεραίνουµε ότι : x e e dx e, >. ό την τελευταία ανισότητα λαµβάνοντας όρια δηλαδή αφήνοντας +, ευρίσκουµε + x e dx=. 5) Έστω Ρ το αραλληλόγραµµο ου φράσσεται αό τις ευθείες y= x, y= x, y= x και y= x+. Υολογίστε το xydxdy κάνοντας την αλλαγή µεταβλητής x= v και y v = δηλαδή (, ( v, Ρ Τ =. Λύση Ο Τ είναι ένας γραµµικός µετασχηµατισµός ( Τ (, = και ο ίνακας = είναι αντιστρέψιµος αφού v det= = + = > ). Παρατηρούµε ότι Τ Ρ =Ρ,όου ευθείες v=, v=, =, = Ρ είναι το ορθογώνιο ου ορίζεται αό τις x x ( x, v Ειλέον, = det = det = όως ήταν αναµενόµενο (, y y v αφού Τ γραµµική συνάρτηση και άρα το διαφορικό της συµίτει µε τον εαυτό της. Έεται αό το θεώρηµα αλλαγής µεταβλητής ( τύος (3) και αό την εφαρµογή () ) ότι xydxdy = det ( ( ddv= = ( ( ddv= Ρ=Τ( Ρ ) Ρ Ρ ( 3 ) v+ v ddv= 3 3 v v v + 3 3 + v d= 3 3 3 v 3 3 v v + dv = 8 = ( ) 3 = 3 = 7 3 3 3.
7 Παρατήρηση. Οι τύοι (3) και () του θεωρήµατος αλλαγής µεταβλητής ισχύουν και όταν οι συνθήκες ότι ο µετασχηµατισµός είναι C και - δεν ικανοοιούνται σε κάοια σηµεία ή σε ένα εερασµένο σύνολο καµυλών µέτρου µηδέν. Η αρατήρηση αυτή, την οοία ήδη έχουµε ( σιωηρά) χρησιµοοιήσει στα αραδείγµατα, µορεί να δικαιολογηθεί χρησιµοοιώντας το ίδιο το θεώρηµα και την σηµείωση... ς ελέγξουµε ως µορεί να γίνει αυτό µε ένα αράδειγµα. Έστω R ο κλειστός δίσκος x + y a, a> του xy ειέδου. Η εικόνα του τετραγώνου [, a] [, ] Παρατηρούµε ότι ( r, ) ( r, ) ( r, ), r [, a] Θεωρούµε το τετράγωνο D( ρ, ε) [ ρ, a] [, ε] < ε < στο ολικό είεδο και την εικόνα του ( ρ, ε) µέσω του ολικού µετασχηµατισµού είναι ο δίσκος R. = = και η δεν είναι. =, όου < ρ < a και θ R µέσω του. -ε - -5 ρ α r 5 - y α - -5 x 5 Ο R(ρ,ε) - Οι συνθήκες του θεωρήµατος ικανοοιούνται τώρα για τον και τα χωρία (, ), ( ρ, ε) D ρ ε R έτσι έχουµε: ε a ε a ρ V( R ( ρ, ε) ) = dxdy= rdrdθ = rdr dθ = dθ (, ) (, ) R ρ ε D ρ ε ρ a ρ = ( ε). Λαµβάνοντας όρια συµεραίνουµε ότι a ρ lim V( R ( ρ, ε) ) = lim( ε) = a ρ a ρ a ε ε νάλογα ειχειρήµατα µορεί να εφαρµοσθούν και στη γενική ερίτωση και βέβαια ανάλογες αρατηρήσεις ισχύουν και στην ερίτωση τριλών ή ολλαλών ολοκληρωµάτων.
8