Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Αβέβαιη Ζήτηση

Έλεγχος Αποθεμάτων υπό Αβέβαιη Ζήτηση Γιώργος Λυμπερόπουλος 1

Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Υποθέσεις/Συμβολισμός Ορίζοντας μίας περιόδου Αβέβαιη ζήτηση περιόδου: DD (μονάδες). Υπόθεση: DD συνεχής τυχαία μεταβλητή Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και αθροιστική συνάρτηση κατανομής της DD: ff xx και FF(xx) aa FF aa PP DD aa dddd(xx) = ff xx dddd ff aa = dddd xx=0 xx=aa Άπειρος ρυθμός παραγωγής/αναπλήρωσης αποθέματος (στιγμιαία αναπλήρωση αποθέματος) Μηδενικός χρόνος αναπλήρωσης αποθέματος Μοναδιαίο κόστος πλεονάσματος: κόστος ανά μονάδα θετικού αποθέματος που απομένει στο τέλος της περιόδου: cc oo ( ανά εναπομένουσα μονάδα) Μοναδιαίο κόστος ελλείμματος: κόστος ανά μονάδα ανικανοποίητης ζήτησης (αρνητικό εναπομένον απόθεμα) στο τέλος της περιόδου: cc uu ( ανά μονάδα έλλειψης ή ανικανοποίητης ζήτησης) Δεν υπάρχει σταθερό κόστος ετοιμασίας παραγωγής/παραγγελίας Απόφαση Ποσότητα παραγγελίας στην αρχή της περιόδου: (μονάδες) 2

Ορισμοί Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Θετικό απόθεμα που απομένει στο τέλος της περιόδου: II + Ανικανοποίητη ζήτηση (αρνητικό απόθεμα) στο τέλος της περιόδου: II II + = DD + max DD, 0 II = DD + max DD, 0 Συνολικό κόστος πλεονάσματος και ελλείμματος στο τέλος της περιόδου: GG(, DD) GG, DD = cc oo II + + cc uu II = cc oo DD + + cc uu DD + Προσδοκώμενο κόστος: GG() GG = EE DD GG(, DD) = = cc oo xx=0 = cc oo xx=0 xx=0 xx + ff xx dddd + cc uu xx ff xx dddd + cc uu GG, xx ff xx dddd xx=0 xx= xx + ff xx dddd xx ff xx dddd 3

Πρότυπο Εφημεριδοπώλη II + = DD + max DD, 0 ff xx II = DD + max DD, 0 cc oo xx ff xx dddd cc uu xx= xx ff xx dddd xx=0 μμ = EE DD DD 4

Πρόβλημα Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Minimize G ( ) Πρώτη παράγωγος της συνάρτησης κόστους dg( ) d d = co ( x) f ( x) dx cu ( x ) f ( x) dx d + x= 0 x= d = c ( x) f ( x) dx + 1( x) f( x) 0( x) f( x) + x= x= 0 d o x= 0 d cu ( x ) f ( x) dx + 0( x ) f( x) 1( x ) f( x) x d x= = c 1 f ( x) dx + c ( 1) f ( x) dx o u x= 0 x= = cf ( ) c [ 1 F ( )] o u = x= 5

Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Δεύτερη παράγωγος 2 dg ( ) d 2 [ cf o c u F ] c o c u f d = ( ) [1 ( )] = ( + ) ( ) 0 d Συνθήκη πρώτης τάξης για ελαχιστοποίηση dg( ) d = 0 = 0 cf ( ) c[1 F ( )] = 0 ( c+ c) F ( ) = c o u o u u c * * u * 1 u : F ( ) = = F co + cu co + cu Σημείωση: Το FF είναι ο ρυθμός πλήρωσης, δηλαδή η πιθανότητα ότι μια ζήτηση θα ικανοποιηθεί Υπενθύμιση: Πρότυπο ΟΠΠ με εκκρεμείς παραγγελίες: FF = bb c h+bb 6

Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Ειδική περίπτωση: DD~Κανονική μμ, σσ D µ µ µ F( ) = P( D ) = P = Φ σ σ σ Normal(0,1) µ F ( ) =Φ ( z), z= σ Το Φ ( z) αθροιστική συνάρτηση τυποποιημένης Κανονικής κατανομής και συνεπώς το F ( ) μπορούν αν υπολογιστούν από τους πίνακες της τυποποιημένης Κανονικής κατανομής z Φ( z) Φ( z) 0.5 0 0.5000 0.0000 0.85 0.8023 0.3023 1.19 0.9015 0.4015 1.65 0.9505 0.4505 2.33 0.9901 0.4901 3.09 0.9990 0.4990 7

Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Ειδική περίπτωση: DD~Κανονική μμ, σσ συνέχεια * * * * cu µ cu µ 1 cu : F ( ) = Φ = =Φ co + cu σ co + cu σ co + cu * z = µ + σ z cu ( co+ cu ) c ( c + c ) cu 80 = = 0.80 z0.80 = 0.85 c + c 20 + 80 o u µ σ u o u Παράδειγμα DD~Κανονική 120,45 τιμή αγοράς cc = 30 cu = S c= 110 30 = 80 τιμή πώλησης SS = 110 co = c s = 30 10 = 20 τιμή διάσωσης ss = 10 120 45 0.85 120 38.25 158.85 159 * = + z0.80 = + = + = 8

Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: Διακριτή ζήτηση Αβέβαιη ζήτηση περιόδου: DD (μονάδες). Υπόθεση: DD διακριτήτυχαία μεταβλητή Συνάρτηση μάζας πιθανότητας και αθροιστική συνάρτηση κατανομής της DD: pp xx και FF(xx) FF aa PP DD aa = pp xx pp aa FF aa FF(aa 1) Προσδοκώμενο κόστος: GG() GG xx aa = EE DD GG(, DD) = GG, xx pp xx Πρόβλημα: Minimize Διαφορά πρώτης τάξης GG + 1 GG xx GG() 1 = cc oo = cc oo pp xx cc uu xx=0 Συνθήκη πρώτης τάξης για ελαχιστοποίηση xx=0 xx=+1 xx pp xx + cc uu xx= xx pp xx pp xx = cc oo FF cc uu 1 FF() : ελάχιστο τέτοιο ώστε GG + 1 GG 0 cc oo FF cc uu 1 FF() 0 : ελάχιστο τέτοιο ώστε FF() cc uu cc oo +cc uu 9

Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: Αρχικό απόθεμα: yy > 0 Εξακολουθούμε να θέλουμε να βρισκόμαστε στο μετά την παραγγελία διότι το ελαχιστοποιεί το GG Ποσότητα παραγγελίας: UU Τώρα η βέλτιστη πολιτική εξαρτάται από το αρχικό απόθεμα: UU (yy) = yy, αν yy < 0, αν yy Σημείωση: UU βέλτιστη ποσότητα παραγγελίας βέλτιστο σημείο «έως το οποίο δίνεται παραγγελία» ζητούμενο επίπεδο αποθέματος επίπεδο αποθέματος βάσης 10

Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Ερμηνεία των cc oo και cc uu για το πρότυπο μίας περιόδου SS = τιμή πώλησης ( ανά μονάδα) cc = μεταβλητό κόστος ( ανά μονάδα) h = κόστος διατήρησης αποθέματος ( ανά μονάδα προϊόντος ανά μονάδα χρόνου) pp = κόστος απώλειας καλής πίστης ( ανά μονάδα έλλειψης ανά μονάδα χρόνου) + + G(, D) = c + h( D) + p( D ) Smin(, D) κόστος παραγγελίας κόστος εναπομένοντος αποθέματος κόστος ελλείμματος πωλήσεις p+ S c = = + = + p+ S + h * : F ( ) cu p S c, co h c έσοδα πωλήσεων G( ) = E[ G(, D)] = c + h ( x) f ( x) dx + p ( x ) f ( x) dx S[ xf ( x) dx + f ( x) dx] D 0 0 = c + h ( x) f ( x) dx + ( p + S) ( x ) f ( x) dx Sµ µ xf ( x) dx 0 dg( ) = 0 c+ hf ( ) ( p+ S)(1 F ( )) = 0 µ ( x ) f ( x) dx d 11

Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: άπειρες περίοδοι (άπειρος ορίζοντας) με εκκρεμείς παραγγελίες Ίδιες υποθέσεις όπως στο πρότυπο της μιας περιόδου εκτός του ότι: DD tt = ζήτηση την περίοδο tt. Οι DD 1, DD 2, DD 3, είναι ανεξάρτητες και πανομοιότυπα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με κατανομή ff xx, FF(xx) UU tt = ποσότητα παραγγελίας την περίοδο tt Η βέλτιστη πολιτική παραγγελίας σε κάθε περίοδο είναι «παραγγελία έως το» Μακροχρόνια, το απόθεμα δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερο από το Στην μόνιμη κατάσταση (μακροχρόνια): UU tt = DD tt 1 Απόθεμα / Εκκρεμείς παραγγελίες Μεταβατική κατάσταση Μόνιμη κατάσταση UU tt = DD tt 1 Χρόνος tt 12

Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: άπειρες περίοδοι (άπειρος ορίζοντας) με εκκρεμείς παραγγελίες (συνέχεια) Συνολικό κόστος σε μία περίοδο με ζήτηση DD + + GD (, ) = ( c S) D + h ( D) + pd ( ) κόστος παραγγελίας έσοδα πωλήσεων κόστος διατήρησης αποθέματος κόστος εκκρεμών παραγγελειών Προσδοκώμενο μέσο κόστος ανά περίοδο + + G( ) = E[ G(, D)] = ( c S) µ + he[( D) ] + pe[( D ) ] Συνθήκη πρώτης τάξης για την ελαχιστοποίηση του GG() dg( ) d D = 0 hf ( ) p(1 F ( )) = 0 p = = = p+ h * * : F ( ) τύπος του "εφημεριδοπώλη" με cu p, co h Σημείωση: Τα cc και SS δεν παίζουν κανέναν ρόλο στον καθορισμό του, επειδή μακροχρόνια όλες οι ζητήσεις θα ικανοποιηθούν ανεξάρτητα από την τιμή του. Συνεπώς, το προσδοκώμενο μέσο κόστος παραγγελίας μείον τα έσοδα ανά περίοδο θα είναι cc SS μμ ανεξάρτητα από την τιμή του. 13

Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: άπειρες περίοδοι (άπειρος ορίζοντας) με χαμένες πωλήσεις Ίδιες υποθέσεις όπως στο πρότυπο του απείρου ορίζοντα με εκκρεμείς παραγγελίες με τη διαφορά ότι: Η ανικανοποίητη ζήτηση δεν μπαίνει σε εκκρεμότητα αλλά χάνεται Στην μόνιμη κατάσταση (μακροχρόνια): UU tt = min(, DD tt 1 ) Απόθεμα / χαμένες πωλήσεις Μεταβατική κατάσταση UU tt = min(, DD tt 1 ) Χρόνος tt 14

Πρότυπο Εφημεριδοπώλη Επέκταση: άπειρες περίοδοι (άπειρος ορίζοντας) με χαμένες πωλήσεις (συνέχεια) Συνολικό κόστος σε μία περίοδο με ζήτηση DD Προσδοκώμενο μέσο κόστος ανά περίοδο Συνθήκη πρώτης τάξης για την ελαχιστοποίηση του GG() dg( ) d GD (, ) = ( c S) min( D, ) + h ( D) + pd ( ) * * F cu p S c co h Σημείωση: + + + + + G( ) = E[ G(, D)] = ( c S) µ E[( D ) ] + he[( D) ] + pe[( D ) ] D = 0 hf ( ) ( p+ S c)(1 F ( )) = 0 p+ S c : ( ) = τύπος του "εφημεριδοπώλη" με = +, = p+ S c+ h Τώρα, τα cc και SS παίζουν ρόλο στον καθορισμό του, επειδή μακροχρόνια οι ζητήσεις που ικανοποιούνται και οι παραγγελίες ανά περίοδο θα είναι min(, DD), άρα εξαρτώνται από την τιμή του. Συνεπώς, το προσδοκώμενο μέσο κόστος παραγγελίας μείον τα έσοδα ανά περίοδο θα είναι cc SS EE[min, DD ]. 15

Πρότυπο ποσότητας & σημείου παραγγελίας (, R) Υποθέσεις Άπειρος ορίζοντας Συνεχής επιθεώρηση (αντί για περιοδική επιθεώρηση) DD tt : τυχαία στάσιμη ζήτηση ανά μονάδα χρόνου (π.χ., ημερήσια ζήτηση) Μέση τιμή λλ EE[DD tt ], διασπορά σσ tt 2 EE DD tt λλ 2 Η ανικανοποίητη ζήτηση μπαίνει σε εκκρεμότητα ή χάνεται ττ: Σταθερό χρόνος αναπλήρωσης αποθέματος Κόστη: Μεταβλητό μοναδιαίο κόστος παραγωγής/παραγγελίας: cc ( ανά μονάδα προϊόντος) Σταθερό κόστος ετοιμασίας παραγωγής/παραγγελίας: KK ( ανά κύκλο παραγωγής/παραγγελίας) Κόστος διατήρησης αποθέματος: h ( ανά μονάδα προϊόντος ανά μονάδα χρόνου) Κόστος έλλειψης προϊόντων (2 περιπτώσεις/ 4 παραλλαγές: βλέπε στη συνέχεια) Πολιτική παραγγελίας Πολιτική, RR : Παράγγειλε ποσότητα όταν η θέση του αποθέματος πέσει κάτω από το σημείο RR Μεταβλητές απόφασης : ποσότητα παραγγελίας RR: σημείο παραγγελίας 16

Πρότυπο (, R) Υποθέσεις για τις ελλείψεις και το μοναδιαίο κόστος έλλειψης Περίπτωση 1: Εκκρεμείς παραγγελίες pp 1 ( ανά περίσταση έλλειψης ανεξάρτητα από την ποσότητα και τον χρόνο έλλειψης) Σε αυτό το μάθημα ασχολούμαστε pp 2 ( ανά μονάδα προϊόντος) μόνο με το pp 2 pp 3 ( ανά μονάδα προϊόντος ανά μονάδα χρόνου) Περίπτωση 2: Χαμένες πωλήσεις pp LL ( ανά χαμένη πώληση) 17

Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες R+ Θέση αποθέματος R Απόθεμα τ Εκκρεμείς παραγγελίες χρόνος 18

Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Ανάλυση DD: ζήτηση κατά τη διάρκεια του χρόνου αναπλήρωσης αποθέματος ττ Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και αθροιστική συνάρτηση κατανομής της DD: ff xx και FF(xx) DD = DD 1 + DD 2 + + DD ττ Μέση τιμή: μμ EE DD = EE DD 1 + DD 2 + + DD ττ = ττee D tt = ττλλ Διασπορά: σσ 2 Var DD EE DD μμ 2 = Var DD 1 + DD 2 + + DD ττ = ττvar D tt = ττσσ tt 2 Απόθεμα / Εκκρεμείς παραγγελίες R τ μ f(x) x χρόνος 19

Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Κόστος διατήρησης αποθέματος Απόθεμα ασφαλείας ssss RR μμ = RR λλλλ Προσδοκώμενο μέσο απόθεμα (κατά προσέγγιση) II ssss + 2 = RR λλλλ + 2 (υποεκτιμά την πραγματική τιμή) Προσδοκώμενο μέσο κόστος διατήρησης αποθέματος hii = h RR λλλλ + 2 Απόθεμα / Εκκρεμείς παραγγελίες ss + = R λ τ + R ss = R λ τ τ λ μ = λ τ χρόνος 20

Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Κόστος ετοιμασίας Προσδοκώμενη μέση συχνότητα παραγγελιών = λλ Προσδοκώμενο μέσο κόστος ετοιμασίας παραγγελιών = KK λλ Κόστος έλλειψης Υπόθεση: ττ λλ οι ελλείψεις ανά κύκλο εξαρτώνται μόνο από το RR BB(RR): Προσδοκώμενο κόστος έλλειψης ανά κύκλο (εξαρτάται από τον ορισμό του μοναδιαίου κόστους έλλειψης) Προσδοκώμενο κόστος έλλειψης ανά μονάδα χρόνου = BB(RR) λλ Συνολικό Προσδοκώμενο κόστος ανά μονάδα χρόνου λ λ G(, R) = h + R λτ + K + B( R) 2 21

Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Πρόβλημα βελτιστοποίησης λ λ Minimize G(, R) = h + R λτ + K + B( R), R 2 Συνθήκες βελτιστότητας G(, R) h Kλ λbr ( ) 2 2 λ[ K+ BR ( )] = = 0 = 2 2 2 h = 2 λ[ K+ BR ( )] (1) h G(, R) λ db( R) = h + = R dr db( R) h = (2) dr λ 0 22

Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Συνθήκη βελτιστότητας (2): Παραλλαγή 2: Μοναδιαίο κόστος έλλειψης pp 2 ανά μονάδα προϊόντος + db( R) 2 2 2 dr n( R) προσδοκώμενος x= R αριθμός ελλείψεων ανά κύκλο n( R) B( R) = p E[( D R) ] = p ( x R) f ( x) dx = p [1 F( R)] h Συνθήκη (2) : p2[1 F( R)] = F( R) = 1 λ h p λ 2 23

Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Ταυτόχρονη επίλυση των συνθηκών (1) και (2) Επίλυση με επαναλήψεις σταθερού σημείου: 1. Με δεδομένο R, λύνεται η (1) για να βρεθεί το 2. Με δεδομένο, λύνεται η (2) για να βρεθεί το R 3. Επανάληψη μέχρι τη σύγκλιση 24

Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Εξειδίκευση για την παραλλαγή 2: Μοναδιαίο κόστος έλλειψης pp 2 ανά μονάδα προϊόντος Συνθήκες βελτιστότητας για την παραλλαγή 2 2 λ[ + 2nR ( )] (1 = K p ) F( R) = 1 h (2) h p λ Υπόθεση: DD~Κανονική(μμ, σσ) Χρήση της τυποποιημένης αθροιστικής συνάρτησης κατανομής Φ(zz) για τον υπολογισμό της FF(RR) D µ R µ R µ F( R) = P( D R) = P σ σ =Φ σ Κανονική(0,1) ( ) F( R) =Φ z, z = R µ σ Η Φ(zz) και συνεπώς η FF(RR) μπορούν να υπολογιστούν από τους πίνακες της τυποποιημένης αθροιστικής συνάρτησης κατανομής 2 25

Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Χρήση της τυποποιημένης συνάρτησης απώλειας LL(zz) για να υπολογισθεί η nn(rr) + Y ~ Κανονική(0,1) L( z) E[( Y z) ] = ( y z) ϕ( y) dy Η LL(zz) και συνεπώς η nn(rr) μπορούν να υπολογιστούν από τους πίνακες της τυποποιημένης συνάρτησης απώλειας Μπορεί να δειχτεί ότι Lz ( ) = ϕ( z) z[1 Φ( z)] y= z + nr ( ) = σ Lz ( ) = σϕ ( z) + ( µ R)[1 Φ ( z)], z= Κανονική(0,1) συνάρτηση πυκνότητας + D µ R µ R µ nr ( ) = E[( D R) ] = E σ = σl σ σ σ Κανονική(0,1) nr ( ) = σ Lz ( ), z= R µ σ R µ σ 26

Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Κάτω από την υπόθεση DD~Κανονική(μμ, σσ) οι συνθήκες βελτιστότητας γίνονται = 2 λ[ K+ pσlz ( )] h h Φ ( z) = 1 (2) p λ 2 2 (1) z = R µ (3) σ 27

Πρότυπο (, R): Εκκρεμείς παραγγελίες Αλγόριθμος επίλυσης με επαναλήψεις σταθερού σημείου κάτω υπό την υπόθεση DD~Κανονική(μμ, σσ) 2λK 1 h 0 0 =, z0 =Φ 1, R0 = µ + σz0, n = 1 h pλ Step 1: Ste 1 p 2: zn 1 Step 3: R n n = 2 λ[ K+ pσlz ( )] =Φ = µ + σz n 2 n 1 Step 4: ε OR R R ε n n+ 1, GOTO Step 1 n n 1 n n 1 h h n p2λ 28

Πρότυπο (, R): Επίπεδα εξυπηρέτησης Επίπεδα εξυπηρέτησης σε συστήματα (, RR) Εξυπηρέτηση Τύπου 1 (αντικαθιστά το μοναδιαίο κόστος έλλειψης pp 1 ανά περίσταση έλλειψης) SS 1 Πιθανότητα να μην υπάρχει έλλειψη κατά τη διάρκεια του χρόνου αναπλήρωσης S 1 = P(D R) = F(R) Πρόβλημα βελτιστοποίησης λ Minimize G(, R) = h + R λτ + K, R 2 υπό τον περιορισμό F( R) α (δηλαδή, S α) Λύση * 2Kλ = = ΟΠΠ h * R R F R = το ελάχιστο τέτοιο ώστε ( ) α D R F * 1 συνεχής τυχαία μεταβλητή = ( α) 1 29

Πρότυπο (, R): Επίπεδα εξυπηρέτησης Εξυπηρέτηση Τύπου 2 (αντικαθιστά το μοναδιαίο κόστος έλλειψης pp 2 ανά μονάδα έλλειψης) S 2 Ποσοστό των ζητήσεων που ικανοποιούνται από το απόθεμα S 2 = 1 n(r)/ Πρόβλημα βελτιστοποίησης λ Minimize G(, R) = h + R λτ + K, R 2 n( R) υπό τον περιορισμό 1 β (δηλαδή, S2 β) Σημείωση: Τώρα, ο περιορισμός εξαρτάται από το R και το 30

Πρότυπο (, R): Επίπεδα εξυπηρέτησης Εξυπηρέτηση Τύπου 2 (συνέχεια) Προσεγγιστική λύση * 2Kλ = ΟΠΠ h * * R= ελάχιστο Rτέτοιο ώστε nr ( ) (1 β ) D nr = * * συνεχής τυχαία μεταβλητή ( ) (1 β ) D µσ nr σlz β * * * ~ Κανονική(, ) ( ) ( ) = (1 ) (1 β ) σ * * * * 1 R = µ + σz, z = L 31

Πρότυπο (, R): Επίπεδα εξυπηρέτησης Εξυπηρέτηση Τύπου 2 (συνέχεια) Πιο ακριβής λύση Θεωρείστε τις συνθήκες βελτιστότητας (1) και (2) για την παραλλαγή 2 2 λ[ K+ pnr ( )] h (1), F( R) 1 (2) h p λ 2 = = h (2) p2 = τεκμαρτό μοναδιαίο κόστος έλλειψης [1 F( R)] λ 2 λ{ K + hn( R) [1 F( R)] λ} (1) = τετραγωνική συνάρτηση του h nr ( ) 2 Kλ n( R) θετική ρίζα: = + + (3) 1 F( R) h 1 F( R) (1 β ) nr ( ) = ( 1 β ) (4) Lz ( ) = σ 2 2 32

Πρότυπο (, R): Παράδειγμα Μια αποθήκη ανταλλακτικών αυτοκινήτων αποθηκεύει διαφορά εξαρτήματα που πωλούνται σε γειτονικά καταστήματα. Η αποθήκη αγοράζει ένα συγκεκριμένο εξάρτημα, που είναι μια γνωστή μάρκα φίλτρου λαδιού, προς 1,50 ανά μονάδα. Εκτιμάται ότι το σταθερό κόστος επεξεργασίας και παραλαβής μιας παραγγελίας ανέρχεται σε 100 ανά παραγγελία. Η αποθήκη χρησιμοποιεί κόστος διατήρησης αποθέματος που βασίζεται σε ετήσιο επιτόκιο 28 τοις εκατό. Η μηνιαία ζήτηση για το φίλτρο ακολουθεί Κανονική κατανομή με μέση τιμή 280 και τυπική απόκλιση 77. Ο χρόνος ικανοποίησης μιας παραγγελίας (αναπλήρωσης αποθέματος) είναι 5 μήνες. Αν ζητηθεί μια μονάδα φίλτρου και δεν υπάρχει στην αποθήκη, η ζήτηση μπαίνει σε εκκρεμότητα. Εκτιμάται ότι το κόστος κάθε παραγγελίας σε εκκρεμότητα είναι 12,80. 33

Πρότυπο (, R): Παράδειγμα Να υπολογιστούν οι κάτωθι ποσότητες: (α) Οι βέλτιστες τιμές της ποσότητας και του σημείου παραγγελίας. (β) Το προσδοκώμενο μέσο κόστος ετοιμασίας, διατήρησης αποθέματος και ελλείψεων που αντιστοιχεί στην βέλτιστη πολιτική παραγγελίας (, RR). (γ) Το κόστος της αβεβαιότητας για αυτή τη διαδικασία, δηλαδή συγκρίνετε το προσδοκώμενο μέσο κόστος που υπολογίσατε στο ερώτημα β με το προσδοκώμενο μέσο κόστος που θα ηγείρετο αν η ζήτηση είχε μηδενική διασπορά. (δ) Υποθέστε ότι το μοναδιαίο κόστος έλλειψης αντικαθίσταται με ένα επίπεδο εξυπηρέτησης 95% Τύπου 2. Βρείτε τις βέλτιστες τιμές των και RR που αντιστοιχούν. Επίσης, ποιο είναι το τεκμαρτό μοναδιαίο κόστος έλλειψης σε αυτή την περίπτωση; (ε) Η αποθήκη εξετάζει τη δυνατότητα να χρησιμοποιεί μια πολιτική παραγγελιών περιοδικής επιθεώρησης «παραγγελία έως το» για την περίπτωση όπου δεν έχει σταθερό κόστος επεξεργασίας και παραλαβής και όπου ο προμηθευτής της παρέχει μηδενικό χρόνο αναπλήρωσης του αποθέματος με την απαίτηση όμως οι παραγγελίες να γίνονται στο τέλος κάθε διμήνου. Βρείτε το βέλτιστο σημείο «έως το οποίο δίνεται παραγγελία»,, υποθέτοντας ότι το γραφειοκρατικό κόστος και το κόστος απώλειας καλής πίστης ανέρχεται στο 1 10 της τιμής του προϊόντος ανά εκκρεμή μονάδα προϊόντος ανά μήνα. Ποιο είναι το συνεπαγόμενο προσδοκώμενο μέσο κόστος διατήρησης αποθέματος και ελλείψεων ανά μήνα; 34

Λύση Πρότυπο (, R): Παράδειγμα h = 1,5 0,28 = 0,42 ανά μονάδα ανά έτος KK = 100 ανά παραγγελία pp = 12,80 ανά εκκρεμή παραγγελία Μηνιαία ζήτηση: DD tt ~Κανονική 280, 77 λλ = 280 12 = 3360 μονάδες ανά έτος μμ = 280 5 = 1400 μονάδες ανά χρόνο αναπλήρωσης αποθέματος σσ = 77 5 = 172,18 μονάδες ανά χρόνο αναπλήρωσης αποθέματος (α) 0 = ΟΠΠ = 2KKλλ = (2)(100)(3360) = 1264,91 1265 h 0,42 zz 0 = Φ 1 1 0h = Φ 1 1 (1265)(0,42) = Φ 1 0,9876 = 2,24 ppλλ (12,8)(3360) LL zz 0 = 0,0044 nn RR 0 = σσll zz 0 = 172,18 0,0044 = 0,7576 35

Πρότυπο (, R): Παράδειγμα 1 = 2λλ KK + pppp(rr 0) h zz 1 = Φ 1 2 = 2λλ KK + pppp(rr 1) h zz 2 = Φ 1 = (2)(3360) 100 + (12,8)(0,7576) 0,42 = 1324,82 1325 1 1h = Φ 1 1 (1325)(0,42) = Φ 1 0,9871 = 2,23 ppλλ (12,8)(3360) LL zz 1 = 0,0045 nn RR 1 = σσll zz 1 = 172,18 0,0045 = 0,7748 1 2h ppλλ = (2)(3360) 100 + (12,8)(0,7748) 0,42 = Φ 1 1 (1326)(0,42) (12,8)(3360) = 1326,15 1326 = Φ 1 0,9871 = 2,23 STOP = 1326 zz = 2,23 RR = μμ + σσzz = 1400 + (172,18)(2,23) = 1783,96 1784 36

Πρότυπο (, R): Παράδειγμα (β) GG, RR = KK λλ + h 2 + RR μμ + pp 2 nn(rr ) λλ = 100 3360 1326 3360 + (0,42) + 1784 1400 + (12,8)(0,7748) 1326 2 1326 = 253,39 + 439,74 + 25,13 = 718,26 ανά έτος (γ) σσ = 0 Λύση ΟΠΠ = EO = 2KKλλ h = (2)(100)(3360) = 1264,91 1265 0.42 TT = λλ = 1265 3360 = 0,3765 RR = λλ ττ mod TT = 3360 5 12 mod 0,3765 = 3360 0,0402 = 135,07 135 GG, RR = 2KKλλh = (2)(100)(3360)(0,42) = 532,26 ανά έτος Κόστος αβεβαιότητας = 718,26 532,26 = 186 ανά έτος 37

Πρότυπο (, R): Παράδειγμα (δ) 0 = ΟΠΠ 1265 nn RR 0 = 1 ββ 0 = 1 0,95 1265 = 63,25 LL zz 0 = nn RR 0 σσ zz 0 = 0,065 1 FF RR 0 = 1 Φ zz 0 = 1 0,526 = 0,474 = 63,25 172,18 = 0,3673 1 = nn(rr 0) 1 FF RR 0 + ΟΠΠ 2 + nn(rr 0 ) 2 = 63,25 0,474 + 1265 2 + 63,25 0,474 1 FF RR 0 = 1405,46 1405 nn RR 1 = 1 ββ 1 = 1 0,95 1405 = 70,25 = 70,25 172,18 = 0,4080 LL zz 1 = nn RR 1 σσ zz 1 = 0,02 1 FF RR 1 = 1 Φ zz 1 = 1 0,492 = 0,508 2 38

Πρότυπο (, R): Παράδειγμα 2 = nn(rr 1) 1 FF RR 1 + ΟΠΠ 2 + nn(rr 1 ) 2 = 70,25 0,508 + 1265 2 + 70,25 0,508 1 FF RR 1 = 1410,82 1411 nn RR 2 = 1 ββ 2 = 1 0,95 1411 = 70,55 LL zz 2 = nn RR 2 σσ zz 2 = 0,02 = 70,55 172,18 = 0,4097 STOP = 1411 zz = 0,02 RR = μμ + σσzz = 1400 + (172,18)( 0,02) = 1396,56 1397 2 Τεκμαρτό μοναδιαίο κόστος έλλειψης pp 2 = = (1411)(0,42) λλ(1 FF RR ) (3360)(0,508) = 0,3472 = 0,35 39

Πρότυπο (, R): Παράδειγμα (ε) Πρόκειται για την επέκταση του προτύπου του εφημεριδοπώλη σε άπειρες περιόδους και με εκκρεμείς παραγγελίες Το μήκος κάθε περιόδου είναι ττ = 2 μήνες. Η ζήτηση σε κάθε περίοδο είναι DD~Κανονική μμ, σσ, όπου μμ = ττττ = (2)(280)=560 μονάδες ανά 2-μηνο σσ = σσ tt ττ = 77 2 = 108,89 ανά 2-μηνο h = cccc = 1,5 0,28 12 (2) = 0,07 ανά μονάδα αποθέματος ανά 2-μηνο pp = 1,5 ( 1 10) 2 = 0,3 ανά μονάδα ελλείμματος ανά 2-μηνο zz = Φ 1 pp h + pp = 0,3 Φ 1 0,07 + 0,3 = 0,3 Φ 1 0,07 + 0,3 = Φ 1 0,8108 = 0,88 = μμ + σσzz = 560 + 108,89 0,88 = 655,82 656 μονάδες 40

Πρότυπο (, R): Τυχαίοι χρόνοι αναπλήρωσης αποθέματος Επέκταση: Τυχαίος χρόνος αναπλήρωσης αποθέματος L: τυχαίος χρόνος αναπλήρωσης Μέση τιμή: τ Ε[L], Διασπορά σ L2 Ε[(L τ) 2 ] D: ζήτηση κατά τη διάρκεια του χρόνου L Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και αθροιστική συνάρτηση κατανομής της DD: ff xx και FF(xx) D = D 1 + D 2 + + D L, όπου L είναι τυχαία μεταβλητή Μπορεί να δειχτεί (βλέπε επόμενη σελίδα) ότι: Μέση τιμή: μ E[D] = τ λ Διασπορά: σ 2 Var[D] = Ε[(D μ) 2 ] = τ σ t2 + λ 2 σ 2 L Όλα τα υπόλοιπα ισχύουν!! 41

Πρότυπο (, R): Τυχαίοι χρόνοι αναπλήρωσης αποθέματος Εύρεση των μ και σ 2 Μέση τιμή: µ ED [ ] = EED [ [ L]] = EL [ λ] = τλ L DL L 2 2 2 2 2 2 Διασπορά: [ ] [( ) ] [ 2 ] [ ] 2 [ ] [ ] DL = EED [ [ L]] 2µ + µ = τσ + λ σ + λ τ µ = τσ + λ σ + λ τ τ λ DL 2 2 2 t L όπου χρησιμοποιήσαμε: ED [ σ VarD = E D µ = ED µ D+ µ = ED µ ED+ Eµ L = τσ + λ σ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t L t L L] = E[ Var[ D L] + E[ D L] ] = Lσ + Lλ 2 2 2 2 2 t DL E[ E[ D L]] = E[ Lσ + L λ ] = τσ + λ ( Var[ L] + τ ) = τσ + λ ( σ + τ ) = τσ + λ σ + λ τ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t t L t L L DL L 42

Table A-4: Normal Probability distribution and Partial Expectations z standard variate φ (z ) probability density function Φ (z ) cumulative distribution function L (z ) standardized loss function z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) 0,00 0,3989 0,5000 0,5000 0,3989 0,3989-0,50 0,3521 0,3085 0,6915 0,6978 0,1978-1,00 0,2420 0,1587 0,8413 1,0833 0,0833-1,50 0,1295 0,0668 0,9332 1,5293 0,0293-2,00 0,0540 0,0228 0,9772 2,0085 0,0085-2,50 0,0175 0,0062 0,9938 2,5020 0,0020-0,01 0,3989 0,4960 0,5040 0,4040 0,3940-0,51 0,3503 0,3050 0,6950 0,7047 0,1947-1,01 0,2396 0,1562 0,8438 1,0917 0,0817-1,51 0,1276 0,0655 0,9345 1,5386 0,0286-2,01 0,0529 0,0222 0,9778 2,0183 0,0083-2,51 0,0171 0,0060 0,9940 2,5119 0,0019-0,02 0,3989 0,4920 0,5080 0,4090 0,3890-0,52 0,3485 0,3015 0,6985 0,7117 0,1917-1,02 0,2371 0,1539 0,8461 1,1002 0,0802-1,52 0,1257 0,0643 0,9357 1,5480 0,0280-2,02 0,0519 0,0217 0,9783 2,0280 0,0080-2,52 0,0167 0,0059 0,9941 2,5219 0,0019-0,03 0,3988 0,4880 0,5120 0,4141 0,3841-0,53 0,3467 0,2981 0,7019 0,7187 0,1887-1,03 0,2347 0,1515 0,8485 1,1087 0,0787-1,53 0,1238 0,0630 0,9370 1,5574 0,0274-2,03 0,0508 0,0212 0,9788 2,0378 0,0078-2,53 0,0163 0,0057 0,9943 2,5318 0,0018-0,04 0,3986 0,4840 0,5160 0,4193 0,3793-0,54 0,3448 0,2946 0,7054 0,7257 0,1857-1,04 0,2323 0,1492 0,8508 1,1172 0,0772-1,54 0,1219 0,0618 0,9382 1,5667 0,0267-2,04 0,0498 0,0207 0,9793 2,0476 0,0076-2,54 0,0158 0,0055 0,9945 2,5418 0,0018-0,05 0,3984 0,4801 0,5199 0,4244 0,3744-0,55 0,3429 0,2912 0,7088 0,7328 0,1828-1,05 0,2299 0,1469 0,8531 1,1257 0,0757-1,55 0,1200 0,0606 0,9394 1,5761 0,0261-2,05 0,0488 0,0202 0,9798 2,0574 0,0074-2,55 0,0154 0,0054 0,9946 2,5517 0,0017-0,06 0,3982 0,4761 0,5239 0,4297 0,3697-0,56 0,3410 0,2877 0,7123 0,7399 0,1799-1,06 0,2275 0,1446 0,8554 1,1342 0,0742-1,56 0,1182 0,0594 0,9406 1,5855 0,0255-2,06 0,0478 0,0197 0,9803 2,0672 0,0072-2,56 0,0151 0,0052 0,9948 2,5617 0,0017-0,07 0,3980 0,4721 0,5279 0,4349 0,3649-0,57 0,3391 0,2843 0,7157 0,7471 0,1771-1,07 0,2251 0,1423 0,8577 1,1428 0,0728-1,57 0,1163 0,0582 0,9418 1,5949 0,0249-2,07 0,0468 0,0192 0,9808 2,0770 0,0070-2,57 0,0147 0,0051 0,9949 2,5716 0,0016-0,08 0,3977 0,4681 0,5319 0,4402 0,3602-0,58 0,3372 0,2810 0,7190 0,7542 0,1742-1,08 0,2227 0,1401 0,8599 1,1514 0,0714-1,58 0,1145 0,0571 0,9429 1,6044 0,0244-2,08 0,0459 0,0188 0,9812 2,0868 0,0068-2,58 0,0143 0,0049 0,9951 2,5816 0,0016-0,09 0,3973 0,4641 0,5359 0,4456 0,3556-0,59 0,3352 0,2776 0,7224 0,7614 0,1714-1,09 0,2203 0,1379 0,8621 1,1600 0,0700-1,59 0,1127 0,0559 0,9441 1,6138 0,0238-2,09 0,0449 0,0183 0,9817 2,0966 0,0066-2,59 0,0139 0,0048 0,9952 2,5915 0,0015-0,10 0,3970 0,4602 0,5398 0,4509 0,3509-0,60 0,3332 0,2743 0,7257 0,7687 0,1687-1,10 0,2179 0,1357 0,8643 1,1686 0,0686-1,60 0,1109 0,0548 0,9452 1,6232 0,0232-2,10 0,0440 0,0179 0,9821 2,1065 0,0065-2,60 0,0136 0,0047 0,9953 2,6015 0,0015-0,11 0,3965 0,4562 0,5438 0,4564 0,3464-0,61 0,3312 0,2709 0,7291 0,7759 0,1659-1,11 0,2155 0,1335 0,8665 1,1773 0,0673-1,61 0,1092 0,0537 0,9463 1,6327 0,0227-2,11 0,0431 0,0174 0,9826 2,1163 0,0063-2,61 0,0132 0,0045 0,9955 2,6114 0,0014-0,12 0,3961 0,4522 0,5478 0,4618 0,3418-0,62 0,3292 0,2676 0,7324 0,7833 0,1633-1,12 0,2131 0,1314 0,8686 1,1859 0,0659-1,62 0,1074 0,0526 0,9474 1,6422 0,0222-2,12 0,0422 0,0170 0,9830 2,1261 0,0061-2,62 0,0129 0,0044 0,9956 2,6214 0,0014-0,13 0,3956 0,4483 0,5517 0,4673 0,3373-0,63 0,3271 0,2643 0,7357 0,7906 0,1606-1,13 0,2107 0,1292 0,8708 1,1946 0,0646-1,63 0,1057 0,0516 0,9484 1,6516 0,0216-2,13 0,0413 0,0166 0,9834 2,1360 0,0060-2,63 0,0126 0,0043 0,9957 2,6313 0,0013-0,14 0,3951 0,4443 0,5557 0,4728 0,3328-0,64 0,3251 0,2611 0,7389 0,7980 0,1580-1,14 0,2083 0,1271 0,8729 1,2034 0,0634-1,64 0,1040 0,0505 0,9495 1,6611 0,0211-2,14 0,0404 0,0162 0,9838 2,1458 0,0058-2,64 0,0122 0,0041 0,9959 2,6413 0,0013-0,15 0,3945 0,4404 0,5596 0,4784 0,3284-0,65 0,3230 0,2578 0,7422 0,8054 0,1554-1,15 0,2059 0,1251 0,8749 1,2121 0,0621-1,65 0,1023 0,0495 0,9505 1,6706 0,0206-2,15 0,0396 0,0158 0,9842 2,1556 0,0056-2,65 0,0119 0,0040 0,9960 2,6512 0,0012-0,16 0,3939 0,4364 0,5636 0,4840 0,3240-0,66 0,3209 0,2546 0,7454 0,8128 0,1528-1,16 0,2036 0,1230 0,8770 1,2209 0,0609-1,66 0,1006 0,0485 0,9515 1,6801 0,0201-2,16 0,0387 0,0154 0,9846 2,1655 0,0055-2,66 0,0116 0,0039 0,9961 2,6612 0,0012-0,17 0,3932 0,4325 0,5675 0,4897 0,3197-0,67 0,3187 0,2514 0,7486 0,8203 0,1503-1,17 0,2012 0,1210 0,8790 1,2296 0,0596-1,67 0,0989 0,0475 0,9525 1,6897 0,0197-2,17 0,0379 0,0150 0,9850 2,1753 0,0053-2,67 0,0113 0,0038 0,9962 2,6712 0,0012-0,18 0,3925 0,4286 0,5714 0,4954 0,3154-0,68 0,3166 0,2483 0,7517 0,8278 0,1478-1,18 0,1989 0,1190 0,8810 1,2384 0,0584-1,68 0,0973 0,0465 0,9535 1,6992 0,0192-2,18 0,0371 0,0146 0,9854 2,1852 0,0052-2,68 0,0110 0,0037 0,9963 2,6811 0,0011-0,19 0,3918 0,4247 0,5753 0,5011 0,3111-0,69 0,3144 0,2451 0,7549 0,8353 0,1453-1,19 0,1965 0,1170 0,8830 1,2473 0,0573-1,69 0,0957 0,0455 0,9545 1,7087 0,0187-2,19 0,0363 0,0143 0,9857 2,1950 0,0050-2,69 0,0107 0,0036 0,9964 2,6911 0,0011-0,20 0,3910 0,4207 0,5793 0,5069 0,3069-0,70 0,3123 0,2420 0,7580 0,8429 0,1429-1,20 0,1942 0,1151 0,8849 1,2561 0,0561-1,70 0,0940 0,0446 0,9554 1,7183 0,0183-2,20 0,0355 0,0139 0,9861 2,2049 0,0049-2,70 0,0104 0,0035 0,9965 2,7011 0,0011-0,21 0,3902 0,4168 0,5832 0,5127 0,3027-0,71 0,3101 0,2389 0,7611 0,8505 0,1405-1,21 0,1919 0,1131 0,8869 1,2650 0,0550-1,71 0,0925 0,0436 0,9564 1,7278 0,0178-2,21 0,0347 0,0136 0,9864 2,2147 0,0047-2,71 0,0101 0,0034 0,9966 2,7110 0,0010-0,22 0,3894 0,4129 0,5871 0,5186 0,2986-0,72 0,3079 0,2358 0,7642 0,8581 0,1381-1,22 0,1895 0,1112 0,8888 1,2738 0,0538-1,72 0,0909 0,0427 0,9573 1,7374 0,0174-2,22 0,0339 0,0132 0,9868 2,2246 0,0046-2,72 0,0099 0,0033 0,9967 2,7210 0,0010-0,23 0,3885 0,4090 0,5910 0,5244 0,2944-0,73 0,3056 0,2327 0,7673 0,8658 0,1358-1,23 0,1872 0,1093 0,8907 1,2827 0,0527-1,73 0,0893 0,0418 0,9582 1,7470 0,0170-2,23 0,0332 0,0129 0,9871 2,2345 0,0045-2,73 0,0096 0,0032 0,9968 2,7310 0,0010-0,24 0,3876 0,4052 0,5948 0,5304 0,2904-0,74 0,3034 0,2296 0,7704 0,8734 0,1334-1,24 0,1849 0,1075 0,8925 1,2917 0,0517-1,74 0,0878 0,0409 0,9591 1,7566 0,0166-2,24 0,0325 0,0125 0,9875 2,2444 0,0044-2,74 0,0093 0,0031 0,9969 2,7409 0,0009-0,25 0,3867 0,4013 0,5987 0,5363 0,2863-0,75 0,3011 0,2266 0,7734 0,8812 0,1312-1,25 0,1826 0,1056 0,8944 1,3006 0,0506-1,75 0,0863 0,0401 0,9599 1,7662 0,0162-2,25 0,0317 0,0122 0,9878 2,2542 0,0042-2,75 0,0091 0,0030 0,9970 2,7509 0,0009-0,26 0,3857 0,3974 0,6026 0,5424 0,2824-0,76 0,2989 0,2236 0,7764 0,8889 0,1289-1,26 0,1804 0,1038 0,8962 1,3095 0,0495-1,76 0,0848 0,0392 0,9608 1,7758 0,0158-2,26 0,0310 0,0119 0,9881 2,2641 0,0041-2,76 0,0088 0,0029 0,9971 2,7609 0,0009-0,27 0,3847 0,3936 0,6064 0,5484 0,2784-0,77 0,2966 0,2206 0,7794 0,8967 0,1267-1,27 0,1781 0,1020 0,8980 1,3185 0,0485-1,77 0,0833 0,0384 0,9616 1,7854 0,0154-2,27 0,0303 0,0116 0,9884 2,2740 0,0040-2,77 0,0086 0,0028 0,9972 2,7708 0,0008-0,28 0,3836 0,3897 0,6103 0,5545 0,2745-0,78 0,2943 0,2177 0,7823 0,9045 0,1245-1,28 0,1758 0,1003 0,8997 1,3275 0,0475-1,78 0,0818 0,0375 0,9625 1,7950 0,0150-2,28 0,0297 0,0113 0,9887 2,2839 0,0039-2,78 0,0084 0,0027 0,9973 2,7808 0,0008-0,29 0,3825 0,3859 0,6141 0,5606 0,2706-0,79 0,2920 0,2148 0,7852 0,9123 0,1223-1,29 0,1736 0,0985 0,9015 1,3365 0,0465-1,79 0,0804 0,0367 0,9633 1,8046 0,0146-2,29 0,0290 0,0110 0,9890 2,2938 0,0038-2,79 0,0081 0,0026 0,9974 2,7908 0,0008-0,30 0,3814 0,3821 0,6179 0,5668 0,2668-0,80 0,2897 0,2119 0,7881 0,9202 0,1202-1,30 0,1714 0,0968 0,9032 1,3455 0,0455-1,80 0,0790 0,0359 0,9641 1,8143 0,0143-2,30 0,0283 0,0107 0,9893 2,3037 0,0037-2,80 0,0079 0,0026 0,9974 2,8008 0,0008-0,31 0,3802 0,3783 0,6217 0,5730 0,2630-0,81 0,2874 0,2090 0,7910 0,9281 0,1181-1,31 0,1691 0,0951 0,9049 1,3546 0,0446-1,81 0,0775 0,0351 0,9649 1,8239 0,0139-2,31 0,0277 0,0104 0,9896 2,3136 0,0036-2,81 0,0077 0,0025 0,9975 2,8107 0,0007-0,32 0,3790 0,3745 0,6255 0,5792 0,2592-0,82 0,2850 0,2061 0,7939 0,9360 0,1160-1,32 0,1669 0,0934 0,9066 1,3636 0,0436-1,82 0,0761 0,0344 0,9656 1,8336 0,0136-2,32 0,0270 0,0102 0,9898 2,3235 0,0035-2,82 0,0075 0,0024 0,9976 2,8207 0,0007-0,33 0,3778 0,3707 0,6293 0,5855 0,2555-0,83 0,2827 0,2033 0,7967 0,9440 0,1140-1,33 0,1647 0,0918 0,9082 1,3727 0,0427-1,83 0,0748 0,0336 0,9664 1,8432 0,0132-2,33 0,0264 0,0099 0,9901 2,3334 0,0034-2,83 0,0073 0,0023 0,9977 2,8307 0,0007-0,34 0,3765 0,3669 0,6331 0,5918 0,2518-0,84 0,2803 0,2005 0,7995 0,9520 0,1120-1,34 0,1626 0,0901 0,9099 1,3818 0,0418-1,84 0,0734 0,0329 0,9671 1,8529 0,0129-2,34 0,0258 0,0096 0,9904 2,3433 0,0033-2,84 0,0071 0,0023 0,9977 2,8407 0,0007-0,35 0,3752 0,3632 0,6368 0,5981 0,2481-0,85 0,2780 0,1977 0,8023 0,9600 0,1100-1,35 0,1604 0,0885 0,9115 1,3909 0,0409-1,85 0,0721 0,0322 0,9678 1,8626 0,0126-2,35 0,0252 0,0094 0,9906 2,3532 0,0032-2,85 0,0069 0,0022 0,9978 2,8506 0,0006-0,36 0,3739 0,3594 0,6406 0,6045 0,2445-0,86 0,2756 0,1949 0,8051 0,9680 0,1080-1,36 0,1582 0,0869 0,9131 1,4000 0,0400-1,86 0,0707 0,0314 0,9686 1,8723 0,0123-2,36 0,0246 0,0091 0,9909 2,3631 0,0031-2,86 0,0067 0,0021 0,9979 2,8606 0,0006-0,37 0,3725 0,3557 0,6443 0,6109 0,2409-0,87 0,2732 0,1922 0,8078 0,9761 0,1061-1,37 0,1561 0,0853 0,9147 1,4092 0,0392-1,87 0,0694 0,0307 0,9693 1,8819 0,0119-2,37 0,0241 0,0089 0,9911 2,3730 0,0030-2,87 0,0065 0,0021 0,9979 2,8706 0,0006-0,38 0,3712 0,3520 0,6480 0,6174 0,2374-0,88 0,2709 0,1894 0,8106 0,9842 0,1042-1,38 0,1539 0,0838 0,9162 1,4183 0,0383-1,88 0,0681 0,0301 0,9699 1,8916 0,0116-2,38 0,0235 0,0087 0,9913 2,3829 0,0029-2,88 0,0063 0,0020 0,9980 2,8806 0,0006-0,39 0,3697 0,3483 0,6517 0,6239 0,2339-0,89 0,2685 0,1867 0,8133 0,9923 0,1023-1,39 0,1518 0,0823 0,9177 1,4275 0,0375-1,89 0,0669 0,0294 0,9706 1,9013 0,0113-2,39 0,0229 0,0084 0,9916 2,3928 0,0028-2,89 0,0061 0,0019 0,9981 2,8906 0,0006-0,40 0,3683 0,3446 0,6554 0,6304 0,2304-0,90 0,2661 0,1841 0,8159 1,0004 0,1004-1,40 0,1497 0,0808 0,9192 1,4367 0,0367-1,90 0,0656 0,0287 0,9713 1,9111 0,0111-2,40 0,0224 0,0082 0,9918 2,4027 0,0027-2,90 0,0060 0,0019 0,9981 2,9005 0,0005-0,41 0,3668 0,3409 0,6591 0,6370 0,2270-0,91 0,2637 0,1814 0,8186 1,0086 0,0986-1,41 0,1476 0,0793 0,9207 1,4459 0,0359-1,91 0,0644 0,0281 0,9719 1,9208 0,0108-2,41 0,0219 0,0080 0,9920 2,4126 0,0026-2,91 0,0058 0,0018 0,9982 2,9105 0,0005-0,42 0,3653 0,3372 0,6628 0,6436 0,2236-0,92 0,2613 0,1788 0,8212 1,0168 0,0968-1,42 0,1456 0,0778 0,9222 1,4551 0,0351-1,92 0,0632 0,0274 0,9726 1,9305 0,0105-2,42 0,0213 0,0078 0,9922 2,4226 0,0026-2,92 0,0056 0,0018 0,9982 2,9205 0,0005-0,43 0,3637 0,3336 0,6664 0,6503 0,2203-0,93 0,2589 0,1762 0,8238 1,0250 0,0950-1,43 0,1435 0,0764 0,9236 1,4643 0,0343-1,93 0,0620 0,0268 0,9732 1,9402 0,0102-2,43 0,0208 0,0075 0,9925 2,4325 0,0025-2,93 0,0055 0,0017 0,9983 2,9305 0,0005-0,44 0,3621 0,3300 0,6700 0,6569 0,2169-0,94 0,2565 0,1736 0,8264 1,0333 0,0933-1,44 0,1415 0,0749 0,9251 1,4736 0,0336-1,94 0,0608 0,0262 0,9738 1,9500 0,0100-2,44 0,0203 0,0073 0,9927 2,4424 0,0024-2,94 0,0053 0,0016 0,9984 2,9405 0,0005-0,45 0,3605 0,3264 0,6736 0,6637 0,2137-0,95 0,2541 0,1711 0,8289 1,0416 0,0916-1,45 0,1394 0,0735 0,9265 1,4828 0,0328-1,95 0,0596 0,0256 0,9744 1,9597 0,0097-2,45 0,0198 0,0071 0,9929 2,4523 0,0023-2,95 0,0051 0,0016 0,9984 2,9505 0,0005-0,46 0,3589 0,3228 0,6772 0,6704 0,2104-0,96 0,2516 0,1685 0,8315 1,0499 0,0899-1,46 0,1374 0,0721 0,9279 1,4921 0,0321-1,96 0,0584 0,0250 0,9750 1,9694 0,0094-2,46 0,0194 0,0069 0,9931 2,4623 0,0023-2,96 0,0050 0,0015 0,9985 2,9604 0,0004-0,47 0,3572 0,3192 0,6808 0,6772 0,2072-0,97 0,2492 0,1660 0,8340 1,0582 0,0882-1,47 0,1354 0,0708 0,9292 1,5014 0,0314-1,97 0,0573 0,0244 0,9756 1,9792 0,0092-2,47 0,0189 0,0068 0,9932 2,4722 0,0022-2,97 0,0048 0,0015 0,9985 2,9704 0,0004-0,48 0,3555 0,3156 0,6844 0,6840 0,2040-0,98 0,2468 0,1635 0,8365 1,0665 0,0865-1,48 0,1334 0,0694 0,9306 1,5107 0,0307-1,98 0,0562 0,0239 0,9761 1,9890 0,0090-2,48 0,0184 0,0066 0,9934 2,4821 0,0021-2,98 0,0047 0,0014 0,9986 2,9804 0,0004-0,49 0,3538 0,3121 0,6879 0,6909 0,2009-0,99 0,2444 0,1611 0,8389 1,0749 0,0849-1,49 0,1315 0,0681 0,9319 1,5200 0,0300-1,99 0,0551 0,0233 0,9767 1,9987 0,0087-2,49 0,0180 0,0064 0,9936 2,4921 0,0021-2,99 0,0046 0,0014 0,9986 2,9904 0,0004

Table A-4: Normal Probability distribution and Partial Expectations z standard variate φ (z ) probability density function Φ (z ) cumulative distribution function L (z ) standardized loss function z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) z φ (z ) Φ (z ) 1 - Φ (z ) L (z ) L (-z ) 0,00 0,3989 0,5000 0,5000 0,3989 0,3989 0,50 0,3521 0,6915 0,3085 0,1978 0,6978 1,00 0,2420 0,8413 0,1587 0,0833 1,0833 1,50 0,1295 0,9332 0,0668 0,0293 1,5293 2,00 0,0540 0,9772 0,0228 0,0085 2,0085 2,50 0,0175 0,9938 0,0062 0,0020 2,5020 0,01 0,3989 0,5040 0,4960 0,3940 0,4040 0,51 0,3503 0,6950 0,3050 0,1947 0,7047 1,01 0,2396 0,8438 0,1562 0,0817 1,0917 1,51 0,1276 0,9345 0,0655 0,0286 1,5386 2,01 0,0529 0,9778 0,0222 0,0083 2,0183 2,51 0,0171 0,9940 0,0060 0,0019 2,5119 0,02 0,3989 0,5080 0,4920 0,3890 0,4090 0,52 0,3485 0,6985 0,3015 0,1917 0,7117 1,02 0,2371 0,8461 0,1539 0,0802 1,1002 1,52 0,1257 0,9357 0,0643 0,0280 1,5480 2,02 0,0519 0,9783 0,0217 0,0080 2,0280 2,52 0,0167 0,9941 0,0059 0,0019 2,5219 0,03 0,3988 0,5120 0,4880 0,3841 0,4141 0,53 0,3467 0,7019 0,2981 0,1887 0,7187 1,03 0,2347 0,8485 0,1515 0,0787 1,1087 1,53 0,1238 0,9370 0,0630 0,0274 1,5574 2,03 0,0508 0,9788 0,0212 0,0078 2,0378 2,53 0,0163 0,9943 0,0057 0,0018 2,5318 0,04 0,3986 0,5160 0,4840 0,3793 0,4193 0,54 0,3448 0,7054 0,2946 0,1857 0,7257 1,04 0,2323 0,8508 0,1492 0,0772 1,1172 1,54 0,1219 0,9382 0,0618 0,0267 1,5667 2,04 0,0498 0,9793 0,0207 0,0076 2,0476 2,54 0,0158 0,9945 0,0055 0,0018 2,5418 0,05 0,3984 0,5199 0,4801 0,3744 0,4244 0,55 0,3429 0,7088 0,2912 0,1828 0,7328 1,05 0,2299 0,8531 0,1469 0,0757 1,1257 1,55 0,1200 0,9394 0,0606 0,0261 1,5761 2,05 0,0488 0,9798 0,0202 0,0074 2,0574 2,55 0,0154 0,9946 0,0054 0,0017 2,5517 0,06 0,3982 0,5239 0,4761 0,3697 0,4297 0,56 0,3410 0,7123 0,2877 0,1799 0,7399 1,06 0,2275 0,8554 0,1446 0,0742 1,1342 1,56 0,1182 0,9406 0,0594 0,0255 1,5855 2,06 0,0478 0,9803 0,0197 0,0072 2,0672 2,56 0,0151 0,9948 0,0052 0,0017 2,5617 0,07 0,3980 0,5279 0,4721 0,3649 0,4349 0,57 0,3391 0,7157 0,2843 0,1771 0,7471 1,07 0,2251 0,8577 0,1423 0,0728 1,1428 1,57 0,1163 0,9418 0,0582 0,0249 1,5949 2,07 0,0468 0,9808 0,0192 0,0070 2,0770 2,57 0,0147 0,9949 0,0051 0,0016 2,5716 0,08 0,3977 0,5319 0,4681 0,3602 0,4402 0,58 0,3372 0,7190 0,2810 0,1742 0,7542 1,08 0,2227 0,8599 0,1401 0,0714 1,1514 1,58 0,1145 0,9429 0,0571 0,0244 1,6044 2,08 0,0459 0,9812 0,0188 0,0068 2,0868 2,58 0,0143 0,9951 0,0049 0,0016 2,5816 0,09 0,3973 0,5359 0,4641 0,3556 0,4456 0,59 0,3352 0,7224 0,2776 0,1714 0,7614 1,09 0,2203 0,8621 0,1379 0,0700 1,1600 1,59 0,1127 0,9441 0,0559 0,0238 1,6138 2,09 0,0449 0,9817 0,0183 0,0066 2,0966 2,59 0,0139 0,9952 0,0048 0,0015 2,5915 0,10 0,3970 0,5398 0,4602 0,3509 0,4509 0,60 0,3332 0,7257 0,2743 0,1687 0,7687 1,10 0,2179 0,8643 0,1357 0,0686 1,1686 1,60 0,1109 0,9452 0,0548 0,0232 1,6232 2,10 0,0440 0,9821 0,0179 0,0065 2,1065 2,60 0,0136 0,9953 0,0047 0,0015 2,6015 0,11 0,3965 0,5438 0,4562 0,3464 0,4564 0,61 0,3312 0,7291 0,2709 0,1659 0,7759 1,11 0,2155 0,8665 0,1335 0,0673 1,1773 1,61 0,1092 0,9463 0,0537 0,0227 1,6327 2,11 0,0431 0,9826 0,0174 0,0063 2,1163 2,61 0,0132 0,9955 0,0045 0,0014 2,6114 0,12 0,3961 0,5478 0,4522 0,3418 0,4618 0,62 0,3292 0,7324 0,2676 0,1633 0,7833 1,12 0,2131 0,8686 0,1314 0,0659 1,1859 1,62 0,1074 0,9474 0,0526 0,0222 1,6422 2,12 0,0422 0,9830 0,0170 0,0061 2,1261 2,62 0,0129 0,9956 0,0044 0,0014 2,6214 0,13 0,3956 0,5517 0,4483 0,3373 0,4673 0,63 0,3271 0,7357 0,2643 0,1606 0,7906 1,13 0,2107 0,8708 0,1292 0,0646 1,1946 1,63 0,1057 0,9484 0,0516 0,0216 1,6516 2,13 0,0413 0,9834 0,0166 0,0060 2,1360 2,63 0,0126 0,9957 0,0043 0,0013 2,6313 0,14 0,3951 0,5557 0,4443 0,3328 0,4728 0,64 0,3251 0,7389 0,2611 0,1580 0,7980 1,14 0,2083 0,8729 0,1271 0,0634 1,2034 1,64 0,1040 0,9495 0,0505 0,0211 1,6611 2,14 0,0404 0,9838 0,0162 0,0058 2,1458 2,64 0,0122 0,9959 0,0041 0,0013 2,6413 0,15 0,3945 0,5596 0,4404 0,3284 0,4784 0,65 0,3230 0,7422 0,2578 0,1554 0,8054 1,15 0,2059 0,8749 0,1251 0,0621 1,2121 1,65 0,1023 0,9505 0,0495 0,0206 1,6706 2,15 0,0396 0,9842 0,0158 0,0056 2,1556 2,65 0,0119 0,9960 0,0040 0,0012 2,6512 0,16 0,3939 0,5636 0,4364 0,3240 0,4840 0,66 0,3209 0,7454 0,2546 0,1528 0,8128 1,16 0,2036 0,8770 0,1230 0,0609 1,2209 1,66 0,1006 0,9515 0,0485 0,0201 1,6801 2,16 0,0387 0,9846 0,0154 0,0055 2,1655 2,66 0,0116 0,9961 0,0039 0,0012 2,6612 0,17 0,3932 0,5675 0,4325 0,3197 0,4897 0,67 0,3187 0,7486 0,2514 0,1503 0,8203 1,17 0,2012 0,8790 0,1210 0,0596 1,2296 1,67 0,0989 0,9525 0,0475 0,0197 1,6897 2,17 0,0379 0,9850 0,0150 0,0053 2,1753 2,67 0,0113 0,9962 0,0038 0,0012 2,6712 0,18 0,3925 0,5714 0,4286 0,3154 0,4954 0,68 0,3166 0,7517 0,2483 0,1478 0,8278 1,18 0,1989 0,8810 0,1190 0,0584 1,2384 1,68 0,0973 0,9535 0,0465 0,0192 1,6992 2,18 0,0371 0,9854 0,0146 0,0052 2,1852 2,68 0,0110 0,9963 0,0037 0,0011 2,6811 0,19 0,3918 0,5753 0,4247 0,3111 0,5011 0,69 0,3144 0,7549 0,2451 0,1453 0,8353 1,19 0,1965 0,8830 0,1170 0,0573 1,2473 1,69 0,0957 0,9545 0,0455 0,0187 1,7087 2,19 0,0363 0,9857 0,0143 0,0050 2,1950 2,69 0,0107 0,9964 0,0036 0,0011 2,6911 0,20 0,3910 0,5793 0,4207 0,3069 0,5069 0,70 0,3123 0,7580 0,2420 0,1429 0,8429 1,20 0,1942 0,8849 0,1151 0,0561 1,2561 1,70 0,0940 0,9554 0,0446 0,0183 1,7183 2,20 0,0355 0,9861 0,0139 0,0049 2,2049 2,70 0,0104 0,9965 0,0035 0,0011 2,7011 0,21 0,3902 0,5832 0,4168 0,3027 0,5127 0,71 0,3101 0,7611 0,2389 0,1405 0,8505 1,21 0,1919 0,8869 0,1131 0,0550 1,2650 1,71 0,0925 0,9564 0,0436 0,0178 1,7278 2,21 0,0347 0,9864 0,0136 0,0047 2,2147 2,71 0,0101 0,9966 0,0034 0,0010 2,7110 0,22 0,3894 0,5871 0,4129 0,2986 0,5186 0,72 0,3079 0,7642 0,2358 0,1381 0,8581 1,22 0,1895 0,8888 0,1112 0,0538 1,2738 1,72 0,0909 0,9573 0,0427 0,0174 1,7374 2,22 0,0339 0,9868 0,0132 0,0046 2,2246 2,72 0,0099 0,9967 0,0033 0,0010 2,7210 0,23 0,3885 0,5910 0,4090 0,2944 0,5244 0,73 0,3056 0,7673 0,2327 0,1358 0,8658 1,23 0,1872 0,8907 0,1093 0,0527 1,2827 1,73 0,0893 0,9582 0,0418 0,0170 1,7470 2,23 0,0332 0,9871 0,0129 0,0045 2,2345 2,73 0,0096 0,9968 0,0032 0,0010 2,7310 0,24 0,3876 0,5948 0,4052 0,2904 0,5304 0,74 0,3034 0,7704 0,2296 0,1334 0,8734 1,24 0,1849 0,8925 0,1075 0,0517 1,2917 1,74 0,0878 0,9591 0,0409 0,0166 1,7566 2,24 0,0325 0,9875 0,0125 0,0044 2,2444 2,74 0,0093 0,9969 0,0031 0,0009 2,7409 0,25 0,3867 0,5987 0,4013 0,2863 0,5363 0,75 0,3011 0,7734 0,2266 0,1312 0,8812 1,25 0,1826 0,8944 0,1056 0,0506 1,3006 1,75 0,0863 0,9599 0,0401 0,0162 1,7662 2,25 0,0317 0,9878 0,0122 0,0042 2,2542 2,75 0,0091 0,9970 0,0030 0,0009 2,7509 0,26 0,3857 0,6026 0,3974 0,2824 0,5424 0,76 0,2989 0,7764 0,2236 0,1289 0,8889 1,26 0,1804 0,8962 0,1038 0,0495 1,3095 1,76 0,0848 0,9608 0,0392 0,0158 1,7758 2,26 0,0310 0,9881 0,0119 0,0041 2,2641 2,76 0,0088 0,9971 0,0029 0,0009 2,7609 0,27 0,3847 0,6064 0,3936 0,2784 0,5484 0,77 0,2966 0,7794 0,2206 0,1267 0,8967 1,27 0,1781 0,8980 0,1020 0,0485 1,3185 1,77 0,0833 0,9616 0,0384 0,0154 1,7854 2,27 0,0303 0,9884 0,0116 0,0040 2,2740 2,77 0,0086 0,9972 0,0028 0,0008 2,7708 0,28 0,3836 0,6103 0,3897 0,2745 0,5545 0,78 0,2943 0,7823 0,2177 0,1245 0,9045 1,28 0,1758 0,8997 0,1003 0,0475 1,3275 1,78 0,0818 0,9625 0,0375 0,0150 1,7950 2,28 0,0297 0,9887 0,0113 0,0039 2,2839 2,78 0,0084 0,9973 0,0027 0,0008 2,7808 0,29 0,3825 0,6141 0,3859 0,2706 0,5606 0,79 0,2920 0,7852 0,2148 0,1223 0,9123 1,29 0,1736 0,9015 0,0985 0,0465 1,3365 1,79 0,0804 0,9633 0,0367 0,0146 1,8046 2,29 0,0290 0,9890 0,0110 0,0038 2,2938 2,79 0,0081 0,9974 0,0026 0,0008 2,7908 0,30 0,3814 0,6179 0,3821 0,2668 0,5668 0,80 0,2897 0,7881 0,2119 0,1202 0,9202 1,30 0,1714 0,9032 0,0968 0,0455 1,3455 1,80 0,0790 0,9641 0,0359 0,0143 1,8143 2,30 0,0283 0,9893 0,0107 0,0037 2,3037 2,80 0,0079 0,9974 0,0026 0,0008 2,8008 0,31 0,3802 0,6217 0,3783 0,2630 0,5730 0,81 0,2874 0,7910 0,2090 0,1181 0,9281 1,31 0,1691 0,9049 0,0951 0,0446 1,3546 1,81 0,0775 0,9649 0,0351 0,0139 1,8239 2,31 0,0277 0,9896 0,0104 0,0036 2,3136 2,81 0,0077 0,9975 0,0025 0,0007 2,8107 0,32 0,3790 0,6255 0,3745 0,2592 0,5792 0,82 0,2850 0,7939 0,2061 0,1160 0,9360 1,32 0,1669 0,9066 0,0934 0,0436 1,3636 1,82 0,0761 0,9656 0,0344 0,0136 1,8336 2,32 0,0270 0,9898 0,0102 0,0035 2,3235 2,82 0,0075 0,9976 0,0024 0,0007 2,8207 0,33 0,3778 0,6293 0,3707 0,2555 0,5855 0,83 0,2827 0,7967 0,2033 0,1140 0,9440 1,33 0,1647 0,9082 0,0918 0,0427 1,3727 1,83 0,0748 0,9664 0,0336 0,0132 1,8432 2,33 0,0264 0,9901 0,0099 0,0034 2,3334 2,83 0,0073 0,9977 0,0023 0,0007 2,8307 0,34 0,3765 0,6331 0,3669 0,2518 0,5918 0,84 0,2803 0,7995 0,2005 0,1120 0,9520 1,34 0,1626 0,9099 0,0901 0,0418 1,3818 1,84 0,0734 0,9671 0,0329 0,0129 1,8529 2,34 0,0258 0,9904 0,0096 0,0033 2,3433 2,84 0,0071 0,9977 0,0023 0,0007 2,8407 0,35 0,3752 0,6368 0,3632 0,2481 0,5981 0,85 0,2780 0,8023 0,1977 0,1100 0,9600 1,35 0,1604 0,9115 0,0885 0,0409 1,3909 1,85 0,0721 0,9678 0,0322 0,0126 1,8626 2,35 0,0252 0,9906 0,0094 0,0032 2,3532 2,85 0,0069 0,9978 0,0022 0,0006 2,8506 0,36 0,3739 0,6406 0,3594 0,2445 0,6045 0,86 0,2756 0,8051 0,1949 0,1080 0,9680 1,36 0,1582 0,9131 0,0869 0,0400 1,4000 1,86 0,0707 0,9686 0,0314 0,0123 1,8723 2,36 0,0246 0,9909 0,0091 0,0031 2,3631 2,86 0,0067 0,9979 0,0021 0,0006 2,8606 0,37 0,3725 0,6443 0,3557 0,2409 0,6109 0,87 0,2732 0,8078 0,1922 0,1061 0,9761 1,37 0,1561 0,9147 0,0853 0,0392 1,4092 1,87 0,0694 0,9693 0,0307 0,0119 1,8819 2,37 0,0241 0,9911 0,0089 0,0030 2,3730 2,87 0,0065 0,9979 0,0021 0,0006 2,8706 0,38 0,3712 0,6480 0,3520 0,2374 0,6174 0,88 0,2709 0,8106 0,1894 0,1042 0,9842 1,38 0,1539 0,9162 0,0838 0,0383 1,4183 1,88 0,0681 0,9699 0,0301 0,0116 1,8916 2,38 0,0235 0,9913 0,0087 0,0029 2,3829 2,88 0,0063 0,9980 0,0020 0,0006 2,8806 0,39 0,3697 0,6517 0,3483 0,2339 0,6239 0,89 0,2685 0,8133 0,1867 0,1023 0,9923 1,39 0,1518 0,9177 0,0823 0,0375 1,4275 1,89 0,0669 0,9706 0,0294 0,0113 1,9013 2,39 0,0229 0,9916 0,0084 0,0028 2,3928 2,89 0,0061 0,9981 0,0019 0,0006 2,8906 0,40 0,3683 0,6554 0,3446 0,2304 0,6304 0,90 0,2661 0,8159 0,1841 0,1004 1,0004 1,40 0,1497 0,9192 0,0808 0,0367 1,4367 1,90 0,0656 0,9713 0,0287 0,0111 1,9111 2,40 0,0224 0,9918 0,0082 0,0027 2,4027 2,90 0,0060 0,9981 0,0019 0,0005 2,9005 0,41 0,3668 0,6591 0,3409 0,2270 0,6370 0,91 0,2637 0,8186 0,1814 0,0986 1,0086 1,41 0,1476 0,9207 0,0793 0,0359 1,4459 1,91 0,0644 0,9719 0,0281 0,0108 1,9208 2,41 0,0219 0,9920 0,0080 0,0026 2,4126 2,91 0,0058 0,9982 0,0018 0,0005 2,9105 0,42 0,3653 0,6628 0,3372 0,2236 0,6436 0,92 0,2613 0,8212 0,1788 0,0968 1,0168 1,42 0,1456 0,9222 0,0778 0,0351 1,4551 1,92 0,0632 0,9726 0,0274 0,0105 1,9305 2,42 0,0213 0,9922 0,0078 0,0026 2,4226 2,92 0,0056 0,9982 0,0018 0,0005 2,9205 0,43 0,3637 0,6664 0,3336 0,2203 0,6503 0,93 0,2589 0,8238 0,1762 0,0950 1,0250 1,43 0,1435 0,9236 0,0764 0,0343 1,4643 1,93 0,0620 0,9732 0,0268 0,0102 1,9402 2,43 0,0208 0,9925 0,0075 0,0025 2,4325 2,93 0,0055 0,9983 0,0017 0,0005 2,9305 0,44 0,3621 0,6700 0,3300 0,2169 0,6569 0,94 0,2565 0,8264 0,1736 0,0933 1,0333 1,44 0,1415 0,9251 0,0749 0,0336 1,4736 1,94 0,0608 0,9738 0,0262 0,0100 1,9500 2,44 0,0203 0,9927 0,0073 0,0024 2,4424 2,94 0,0053 0,9984 0,0016 0,0005 2,9405 0,45 0,3605 0,6736 0,3264 0,2137 0,6637 0,95 0,2541 0,8289 0,1711 0,0916 1,0416 1,45 0,1394 0,9265 0,0735 0,0328 1,4828 1,95 0,0596 0,9744 0,0256 0,0097 1,9597 2,45 0,0198 0,9929 0,0071 0,0023 2,4523 2,95 0,0051 0,9984 0,0016 0,0005 2,9505 0,46 0,3589 0,6772 0,3228 0,2104 0,6704 0,96 0,2516 0,8315 0,1685 0,0899 1,0499 1,46 0,1374 0,9279 0,0721 0,0321 1,4921 1,96 0,0584 0,9750 0,0250 0,0094 1,9694 2,46 0,0194 0,9931 0,0069 0,0023 2,4623 2,96 0,0050 0,9985 0,0015 0,0004 2,9604 0,47 0,3572 0,6808 0,3192 0,2072 0,6772 0,97 0,2492 0,8340 0,1660 0,0882 1,0582 1,47 0,1354 0,9292 0,0708 0,0314 1,5014 1,97 0,0573 0,9756 0,0244 0,0092 1,9792 2,47 0,0189 0,9932 0,0068 0,0022 2,4722 2,97 0,0048 0,9985 0,0015 0,0004 2,9704 0,48 0,3555 0,6844 0,3156 0,2040 0,6840 0,98 0,2468 0,8365 0,1635 0,0865 1,0665 1,48 0,1334 0,9306 0,0694 0,0307 1,5107 1,98 0,0562 0,9761 0,0239 0,0090 1,9890 2,48 0,0184 0,9934 0,0066 0,0021 2,4821 2,98 0,0047 0,9986 0,0014 0,0004 2,9804 0,49 0,3538 0,6879 0,3121 0,2009 0,6909 0,99 0,2444 0,8389 0,1611 0,0849 1,0749 1,49 0,1315 0,9319 0,0681 0,0300 1,5200 1,99 0,0551 0,9767 0,0233 0,0087 1,9987 2,49 0,0180 0,9936 0,0064 0,0021 2,4921 2,99 0,0046 0,9986 0,0014 0,0004 2,9904