Κεφάλαιο 12. Στοιχεία του Λογισμού των Μεταβολών

Transcript

1 Κεφάλαιο 12. Στοιχεία του Λογισμού των Μεταβολών 1. Εισαγωγή Στα τελευταία χρόνια υπήρξε μια μεγάλη ποικιλία εφαρμογών των μεταβολικών μεθόδων σε πολλά πεδία της επιστήμης και της τεχνολογίας. Για το λόγο αυτό, τόσο οι μηχανικοί όσο και οι ερευνητές καλούνται να αντιμετωπίσουν την πρόκληση εκμάθησης των θεμελιωδών τουλάχιστον εκείνων γνώσεων του Λογισμού των Μεταβολών. Σκοπός του περιεχόμενου του τρέχοντος Κεφαλαίου είναι ακριβώς η παρουσίαση και εμπέδωση των γνώσεων αυτών, με έμφαση στις εφαρμογές τους στην ευστάθεια των κατασκευών. Στη διεθνή βιβλιογραφία υπάρχει μια μεγάλη γκάμα σχετικών συγγραμμάτων, μερικά από τα οποία θα μνημονευθούν στην πορεία ροής της ύλης για περαιτέρω μελέτη και εμβάθυνση. Ειδικότερα, παράλληλα με την εύρεση των ακρότατων (μέγιστων και ελάχιστων) μιας δοθείσας συνάρτησης zz = ff(xx), συχνά προκύπτει η ανάγκη υπολογισμού των ακρότατων τιμών μαθηματικών οντοτήτων που καλούνται συναρτησιακά. Ένα συναρτησιακό είναι ουσιαστικά μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού ένα διανυσματικό χώρο και πεδίο τιμών ένα βαθμωτό χώρο, ή ένα σύνολο πραγματικών συναρτήσεων. Απλουστευμένα, ο διανυσματικός χώρος είναι ένας χώρος συναρτήσεων, οπότε το συναρτησιακό ορίζεται πάνω σε μια ή περισσότερες συναρτήσεις του χώρου αυτού. Συναρτησιακό θεωρείται συνεπώς μια απεικόνιση από μια κλάση ή ένα χώρο συναρτήσεων στο χώρο των πραγματικών αριθμών. Για παράδειγμα, το μήκος l μιας καμπύλης που συνδέει δύο δεδομένα σημεία στο επίπεδο είναι ένα συναρτησιακό, επειδή το μήκος αυτό ορίζεται πλήρως μέσω της επιλογής μιας ορισμένης συνάρτησης yy = yy(xx), το γράφημα της οποίας περνά από τα σημεία αυτά, σύμφωνα με το Σχήμα Σχήμα 12.1 Συναρτησιακό μήκους καμπύλης στο επίπεδο με δεδομένα άκρα. Μόλις δοθεί η εξίσωση της καμπύλης yy = yy(xx), η τιμή του l υπολογίζεται από τη σχέση: xx 1 l yy(xx) = 1 + yy 2 dddd (12.1) xx 0 Παρόμοια, το εμβαδόν SS μιας επιφάνειας είναι επίσης ένα συναρτησιακό. Ορίζεται πλήρως μέσω της επιλογής της συνάρτησης zz(xx, yy), η οποία σχετίζεται με της εξίσωση zz = zz(xx, yy) της επιφάνειας αυτής. Όπως είναι γνωστό, το εμβαδόν αυτό ισούται με SS(zz(xx, yy)) = DD dddddddd (12.2) όπου DD είναι η προβολή της επιφάνειας αυτής στο επίπεδο (xx, yy). 382

2 Οι ροπές αδράνειας μιας ομογενούς καμπύλης ή μιας επιφάνειας ως προς σημείο, άξονα ή επίπεδο είναι και αυτές συναρτησιακά, των οποίων οι τιμές είναι πλήρως ορισμένες, επιλέγοντας μια καμπύλη ή μια επιφάνεια, δηλαδή επιλέγοντας τις συναρτήσεις εκείνες που σχετίζονται με την εξίσωση της εν λόγω καμπύλης ή της εν λόγω επιφάνειας. Η γνωστή σχέση UU[yy] = 1 2 l EEEEyy 2 (xx) dddd (12.3) 0 που δίνει την ελαστική ενέργεια (έργο εσωτερικών δυνάμεων) UU μιας καμπτόμενης δοκού μήκους l, ορίζει επίσης ένα συναρτησιακό. Η τιμή του εξαρτάται από την καμπύλη της ελαστικής γραμμής της δοκού yy = yy(xx). Όλα τα παραδείγματα αυτά διαθέτουν μια κοινή ιδιότητα, που είναι χαρακτηριστική για όλα τα συναρτησιακά, και ανάλογη με τις συνήθεις συναρτήσεις. Δοθέντος ενός συναρτησιακού υυ = υυ(yy(xx)), για κάθε συνάρτηση yy = yy(xx) αντιστοιχεί ένας μοναδικός αριθμός υυ, όπως ακριβώς για μια συνήθη συνάρτηση zz = ff(xx) για κάθε αριθμό xx αντιστοιχεί ένας μοναδικός αριθμός zz. Ο Λογισμός των Μεταβολών παρέχει μεταξύ άλλων μεθόδους εύρεσης μέγιστων και ελάχιστων τιμών συναρτησιακών. Τα προβλήματα αυτά, όπως ήδη προαναφέρθηκε, καλούνται μεταβολικά. Ο Λογισμός των Μεταβολών άρχισε να αναπτύσσεται από το 1969 και κατέληξε ως ένας ανεξάρτητος επιστημονικός χώρος των Μαθηματικών, μετά τα ευρήματα του Euler, ο οποίος δίκαια θεωρείται θεμελιωτής του. Τα ακόλουθα τρία προβλήματα θεωρούνται ότι διαδραμάτισαν πρωτεύοντα ρόλο στην ανάπτυξη του Λογισμού των Μεταβολών Το Πρόβλημα της Βραχιστοχρόνου Διαδρομής (Ταχύτερης Κατάβασης) Το πρόβλημα αυτό τέθηκε από τον Johann Bernoulli το 1696 στους μαθηματικούς της εποχής του, και αφορά την αναζήτηση της βαραχιστοχρόνου διαδρομής ή ταχύτερης κατάβασης, Πρόκειται για την προσπάθεια εύρεσης εκείνης της καμπύλης, που συνδέει δύο δοθέντα σημεία Α και Β, τα οποία όμως δεν κείνται σε κατακόρυφο γραμμή, που αν ακολουθηθεί από κάποιο σωματίδιο (από το Α στο Β γλιστρώντας προς τα κάτω), το σωματίδιο αυτό θα φθάσει στο Β στον ελάχιστο δυνατό χρόνο. Όπως κανείς μπορεί να παρατηρήσει και στο Σχήμα 12.2, ο δρόμος της ταχύτερης κατάβασης δεν είναι μια ευθεία γραμμή, που συνδέει τα σημεία Α και Β, παρόλο που από πλευράς μήκους είναι η βραχύτερη. Όταν ένα σωματίδιο κινείται ολισθαίνοντας προς τα κάτω κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής δεν επιταχύνεται γρήγορα, ενώ αν η καμπύλη που ακολουθεί είναι απότομη κοντά στην αρχή Α το σωματίδιο θα διανύσει μεγαλύτερο μέρος της με μεγαλύτερη ταχύτητα, παρόλο που το συνολικό μήκος που θα διανυθεί τελικά είναι μεγαλύτερο από το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. Η λύση του προβλήματος είναι η κυκλοειδής καμπύλη. Σχήμα 12.2 Γραφική αναπαράσταση του προβλήματος ταχύτερης κατάβασης Το Πρόβλημα των Γεωδαιτικών Στο πρόβλημα αυτό αναζητείται η γραμμή (με τη γενικευμένη έννοια) ελάχιστου μήκους επί μιας δεδομένης επιφάνειας φφ(xx, yy, zz) = 0, η οποία συνδέει δύο επίσης δεδομένα σημεία επί της επιφάνειας αυτής, σύμφωνα 383

3 με το Σχήμα Τέτοιου είδους γραμμές καλούνται γεωδαιτικές. Πρόκειται περί τυπικού παραδείγματος ενός μεταβολικού προβλήματος εύρεσης ακρότατων με περιορισμούς, Συγκεκριμένα, πρέπει να βρεθεί το ελάχιστο του συναρτησιακού l, ίσου με xx l = yy 2 + zz 2 dddd (12.4) xx 0 όπου οι συναρτήσεις yy(xx) και zz(xx) πρέπει να ικανοποιούν τη συνθήκη φφ(xx, yy, zz) = 0. Ο Johann Bernoulli έλυσε το πρόβλημα αυτό το 1697, ενώ μια γενική μέθοδος επίλυσης τέτοιας μορφής προβλημάτων δόθηκε από τους Euler και Lagrange. Σχήμα 12.3 Γραφική αναπαράσταση του προβλήματος των γεωδαιτικών Το Ισοπεριμετρικό Πρόβλημα Αυτό αφορά την εύρεση μιας κλειστής καμπύλης δοθέντος μήκους l, που περικλείει μια επιφάνεια S, η οποία είναι μέγιστη. Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν ότι μια τέτοια καμπύλη θα πρέπει να είναι η περίμετρος ενός κύκλου. Άρα ζητάμε την εύρεση των ακρότατων του συναρτησιακού S, υπό την επιπρόσθετη συνθήκη σταθερού μήκους l. Αν δε οι συντεταγμένες κάθε σημείου της καμπύλης εξαρτάται από το χρόνο t, τότε το σταθερό αυτό μήκος γράφεται ως tt 1 l = dddd(tt) 2 + dddd(tt) 2 dddd (12.5) tt 0 dddd dddd Τέτοιου είδους επιπρόσθετες συνθήκες καλούνται ισοπεριμετρικές. Οι γενικές μέθοδοι επίλυσης παρόμοιων προβλημάτων έχουν καθιερωθεί προ πολλού λεπτομερώς από τον Euler Βασικοί Ορισμοί Οι μέθοδοι επίλυσης μεταβολικών προβλημάτων, δηλαδή εύρεσης μέγιστων και ελάχιστων συναρτησιακών, ομοιάζουν πολύ με τις μεθόδους εύρεσης ακρότατων συνήθων συναρτήσεων. Συνεπώς, είναι ενδιαφέρον να ανατρέξουμε περιληπτικά στη Θεωρία ακρότατων συνήθων συναρτήσεων και παράλληλα να εισάγουμε τις ανάλογες έννοιες για συναρτησιακά. μέσω παράλληλης θεώρησης Ορισμοί Συνάρτησης και Συναρτησιακού Η μεταβλητή zz καλείται συνάρτηση μιας μεταβλητής xx, zz = ff(xx), αν για κάθε τιμή του xx σε κάποιο πεδίο ορισμού αντιστοιχεί μια συγκεκριμένη τιμή του zz, δηλαδή για δοθέντα αριθμό xx αντιστοιχεί ένας αριθμός zz. 384

4 Αντίστοιχα, η μεταβλητή υυ καλείται συναρτησιακό εξαρτώμενο από μια συνάρτηση υυ = υυ(yy(xx)), αν για κάθε συνάρτηση yy(xx) από μια συγκεκριμένη κλάση συναρτήσεων αντιστοιχεί μια συγκεκριμένη τιμή της υυ. Δηλαδή, για μια δοθείσα συνάρτηση yy(xx) αντιστοιχεί ένας αριθμός υυ Ορισμοί Μεταβολών Συνάρτησης και Συναρτησιακού Η αύξηση Δxx ενός ορίσματος xx μιας συνάρτησης ff(xx) είναι η διαφορά μεταξύ δύο τιμών του ορίσματος αυτού, Δxx = xx xx 1. Αν το xx είναι ανεξάρτητη μεταβλητή, τότε η διαφορική τιμή του xx ταυτίζεται με την αύξηση της, dddd = Δxx. Αντίστοιχα, η αύξηση της μεταβολής δyy του ορίσματος yy(xx) ενός συναρτησιακού υυ(yy(xx)) είναι η διαφορά μεταξύ δύο συναρτήσεων δyy = yy(xx) yy 1 (xx). Υποτίθεται ότι η yy(xx) ανήκει σε μια συγκεκριμένη κλάση συναρτήσεων Συνέχεια Συνάρτησης και Συναρτησιακού Μια συνάρτηση ff(xx) ονομάζεται συνεχής, αν μικρές μεταβολές του xx οδηγούν πάντοτε σε μικρές μεταβολές της ff(xx). Αντίστοιχα, ένα συναρτησιακό υυ(yy(xx)) καλείται συνεχές, αν μικρές μεταβολές της yy(xx) οδηγούν πάντοτε σε μικρές μεταβολές του υυ(yy(xx)). Ο τελευταίος αυτός ορισμός μπορεί να γίνει πιο ακριβής και περισσότερο κατανοητός. Η ερώτηση που ανακύπτει είναι ποιες μεταβολές της yy(xx), η οποία αποτελεί όρισμα του συναρτησιακού, θεωρούνται μικρές, ή ποιες καμπύλες yy = yy(xx), yy = yy 1 (xx) θεωρούνται ότι βρίσκονται κοντά μεταξύ τους. Μια πιθανότητα είναι να υποθέσουμε ότι οι συναρτήσεις yy(xx) και yy 1 (xx) είναι κοντά μεταξύ τους, όποτε η απόλυτη τιμή της διαφοράς τους yy(xx) yy 1 (xx) είναι μικρή για όλες τις τιμές του xx για τις οποίες οι συναρτήσεις αυτές είναι ορισμένες. Τούτο σημαίνει εγγύτητα σε σχέση με τις συντεταγμένες. Παρά ταύτα, σε αρκετά προβλήματα δεν αρκεί μόνο αυτή η εγγύτητα για να ορίσει δύο συναρτήσεις ως τη μια κοντά στην άλλη, αλλά επιπρόσθετα απαιτείται οι εφαπτόμενες σε αντίστοιχα σημεία των δύο καμπυλών να έχουν κατευθύνσεις κοντά μεταξύ τους. Συνεπώς, δύο καμπύλες θεωρούνται ότι είναι μεταξύ τους κοντά όχι μόνο αν ισχύει yy(xx) yy 1 (xx) μικρό αλλά και επίσης ισχύει ότι yy (xx) yy 1 (xx) μικρό. Σύμφωνα με τα παραπάνω, οδηγούμαστε στους ακόλουθους ορισμούς της εγγύτητας δύο καμπυλών: Δύο καμπύλες yy = yy(xx) και yy = yy 1 (xx) είναι κοντά ή γειτονικές, με την έννοια της εγγύτητας μηδενικής τάξης, αν η ποσότητα yy(xx) yy 1 (xx) είναι μικρή. Δύο καμπύλες yy = yy(xx) και yy = yy 1 (xx) είναι κοντά ή γειτονικές, με την έννοια της εγγύτητας 1 ης τάξης, αν αμφότερες οι ποσότητες yy(xx) yy 1 (xx) και yy (xx) yy 1 (xx) είναι μικρές. Δύο καμπύλες yy = yy(xx) και yy = yy 1 (xx) είναι κοντά ή γειτονικές, με την έννοια της εγγύτητας τάξης k, αν οι απόλυτες τιμές όλων των διαφορών yy(xx) yy 1 (xx), yy (xx) yy 1 (xx),, yy (kk) (xx) yy 1 (kk) (xx) είναι μικρές. Δύο καμπύλες εγγύτητας μηδενικής τάξης (αλλά όχι και 1 ης ) απεικονίζονται στο Σχήμα 12.4, ενώ δύο καμπύλες εγγύτητας 1 ης τάξης δίνονται γραφικά στο Σχήμα Σχήμα 12.4 Εγγύτητα συναρτήσεων μηδενικής αλλά όχι και 1 ης τάξης. 385

5 Σχήμα 12.5 Εγγύτητα συναρτήσεων 1 ης τάξης. Προφανώς, δύο συναρτήσεις με εγγύτητα k τάξης είναι κοντά μεταξύ τους και για κάθε τάξη μικρότερη του k Επιπρόσθετοι Ορισμοί Μια συνάρτηση ff(xx) είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της xx = xx 0, αν για κάθε θετικό αριθμό εε υπάρχει ένα δδ > 0 τέτοιο ώστε, όταν xx xx 0 < δδ, να ισχύει ότι ff(xx) ff(xx 0 ) < εε. Αντίστοιχα, ένα συναρτησιακό υυ(yy(xx)) είναι συνεχές κατά μήκος της yy = yy 0 (xx), με την έννοια της εγγύτητας k τάξης, αν για ένα τυχαίο θετικό αριθμό εε υπάρχει ένα δδ > 0 τέτοιο ώστε υυ(yy(xx)) υυ(yy 0 (xx)) < εε, όταν yy(xx) yy 0 (xx) < δδ, yy (xx) yy 0 (xx) < δδ,... yy (kk) (kk) (xx) yy 0 (xx) < δδ. Προφανώς η συνάρτηση yy(xx) λαμβάνεται από την κλάση των συναρτήσεων εκείνων, για τις οποίες ορίζεται το συναρτησιακό. Μια συνάρτηση l(xx) καλείται γραμμική, αν ικανοποιούνται οι συνθήκες l(ccxx) = ccl(xx) με cc αυθαίρετη σταθερά, και l(xx 1 + xx 2 ) = l(xx 1 ) + l(xx 2 ). Κάθε γραμμική συνάρτηση μιας ανεξάρτητης μεταβλητής είναι της μορφής l(xx) = kkkk, όπου kk σταθερός αριθμός. Αντίστοιχα, το συναρτησιακό LL(yy(xx)) καλείται γραμμικό αν ικανοποιεί τις συνθήκες LL(cccc(xx)) = cccc(yy(xx)), με cc αυθαίρετη σταθερά, και LL(yy 1 (xx) + yy 2 (xx)) = LL(yy 1 (xx))) + LL(yy 2 (xx)). Για παράδειγμα, το xx συναρτησιακό LL(yy(xx)) = 1 [pp(xx)yy + qq(xx)yy ] dddd είναι γραμμικό. ΧΧ 0 Αν η αύξηση Δff = ff(xx + Δxx) ff(xx) είναι της μορφής Δff = ΑΑ(xx)Δxx + (xx, Δxx) Δxx, όπου η ΑΑ(xx) δεν εξαρτάται από τη Δxx και ισχύει επίσης ότι lim ΔΔxx 0 (xx, Δxx) = 0, τότε η συνάρτηση ff(xx) καλείται διαφορίσιμη (παραγωγίσιμη). Εκείνο δε το μέρος, που είναι γραμμικό ως προς Δxx, καλείται διαφορικό της ff(xx) και γράφεται ως dddd. Διαιρώντας αυτό με Δxx, και θεωρώντας ότι το Δxx τείνει στο μηδέν, βρίσκουμε ότι ΑΑ(xx) = ff (xx)δxx. Κατ αντιστοιχία, αν η αύξηση Δυυ = υυ[yy(xx) + δyy] υυ[yy(xx)] ενός συναρτησιακού είναι της μορφής Δυυ = LL[yy(xx), δyy] + [yy(xx), δyy]mmmmmm δyy, όπου LL[yy(xx), δyy] είναι ένα γραμμικό συναρτησιακό ως προς δyy, και η ποσότητα [yy(xx), δyy] συγκλίνει στο μηδέν όταν mmmmmm δyy 0, τότε το μέρος αυτής της αύξησης που είναι γραμμικό ως προς δyy, δηλαδή το LL[yy(xx), δyy], καλείται μεταβολή του συναρτησιακού και γράφεται ως δυυ. Η μεταβολή διαδραματίζει τον ίδιο ρόλο στη Θεωρία των συναρτησιακών με αυτόν του διαφορικού στις συνήθεις συναρτήσεις 2. Ακρότατα Συναρτήσεων 2.1. Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Μια συνάρτηση yy = ff(xx), με πεδίο ορισμού ένα καθορισμένο διάστημα τιμών του xx, έχει απόλυτο μέγιστο [ελάχιστο] σε κάποιο σημείο xx = ξξ αν ff(xx) ff(ξξ) [ff(xx) ff(ξξ)], για κάθε xx του διαστήματος. Το πρόβλημα ύπαρξης ακρότατου μιας συνεχούς συνάρτησης, που ορίζεται σε κλειστό διάστημα, έχει πάντοτε λύση σύμφωνα με το ακόλουθο θεώρημα του Weierstrass: 386

6 Aν ff(xx) είναι μια συνεχής συνάρτηση στο κλειστό διάστημα xx, τότε η ff(xx) έχει τουλάχιστον ένα απόλυτο μέγιστο και ένα απόλυτο ελάχιστο στο διάστημα αυτό. Σημειώνεται ότι η απαίτηση του θεωρήματος, όπως το παραπάνω διάστημα είναι κλειστό είναι ουσιώδης. Τούτο μπορεί να φανεί από τη συνάρτηση yy = xx, 0 < xx < 1, η οποία δεν έχει μέγιστο ούτε ελάχιστο. Παρά ταύτα, η συνάρτηση αυτή, στο κλειστό πλέον διάστημα 0 xx 1 έχει απόλυτο ελάχιστο το 0 και απόλυτο μέγιστο το 1. Το σημείο ξξ λέγεται θέση σχετικού (τοπικού) ακρότατου μιας συνάρτησης ff(xx), όταν υπάρχει περιοχή του ξξ, που περιέχεται στο πεδίο ορισμού της ff(xx), για τα σημεία xx ξξ της οποίας ισχύει ff(xx) < ff(ξξ) (σχετικό μέγιστο) ή ff(xx) > ff(ξξ) (σχετικό ελάχιστο). Αν τώρα η συνάρτηση yy = ff(xx) είναι διαφορίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα και αν έχει σχετικό ακρότατο για κάποιο εσωτερικό σημείο xx = ξξ, τότε η παράγωγος της στο σημείο αυτό μηδενίζεται, δηλαδή ισχύει ότι ff (ξξ) = 0 ή gradff(xx) = 0. Στη συνέχεια διατυπώνεται το θεώρημα του Fermat, σύμφωνα με το οποίο, αν η συνάρτηση ff(xx), οριζόμενη στο κλειστό διάστημα xx, για κάποιο εσωτερικό σημείο xx = ξξ λαμβάνει σχετικό (τοπικό) ακρότατο και υπάρχει η παράγωγος ff (ξξ), τότε κατ ανάγκη ff (ξξ) = 0. Αυτή η πρόταση αποτελεί αναγκαία αλλά όχι και ικανή συνθήκη για σχετικό ακρότατο. Αυτό μπορεί άμεσα να παρατηρηθεί από τη συνάρτηση yy = xx 3, της οποίας η 1 η παράγωγος ναι μεν μηδενίζεται στο σημείο xx = 0, αλλά εκεί δεν διαθέτει ούτε σχετικό μέγιστο ούτε σχετικό ελάχιστο. Η θέση αυτή αντιστοιχεί σε οριζόντιο σημείο καμπής, όπως φαίνεται στο Σχήμα 12.6, που ακολουθεί. Σχήμα 12.6 Οριζόντιο σημείο καμπής της συνάρτησης yy = xx 3. Η συνθήκη ff (ξξ) = 0 δίνει στάσιμη τιμή στη συνάρτηση, χωρίς αυτή κατ ανάγκη να είναι και τοπικό ακρότατο. Από το θεώρημα του Weierstrass και την παραπάνω πρόταση παρατηρούμε ότι, σύμφωνα με την αναγκαία συνθήκη ύπαρξης ακρότατου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο xx = ξξ, είτε η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο αυτό είναι μηδέν είτε δεν υφίσταται. Για να καθοριστεί κατά πόσο το σημείο xx = ξξ, όπου ff (ξξ) = 0, δίνει σχετικό ακρότατο στη συνάρτηση ff(xx), συνήθως πραγματοποιείται έρευνα του προσήμου της 2 ης παραγώγου στο σημείο αυτό ff (ξξ), και ισχύει η ακόλουθη πρόταση: Αν για τη συνάρτηση ff(xx), xx, σε κάποιο εσωτερικό σημείο xx = ξξ ισχύει ότι ff (ξξ) = 0 και ταυτόχρονα ff (ξξ) 0, τότε το σημείο αυτό δίνει σχετικό ακρότατο στην ff(xx). Ειδικότερα, αν ff (ξξ) > 0 πρόκειται περί τοπικού ελάχιστου, ενώ αν ff (ξξ) < 0 περί τοπικού μέγιστου. Η πρόταση αυτή αποτελεί ικανή συνθήκη σχετικού ακρότατου. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 12.7, στο σημείο xx = ξξ 1 η συνάρτηση ff(xx) επιδεικνύει τοπικό ελάχιστο, αφού ff (ξξ 1 ) = 0 και ff (ξξ 1 ) > 0, ενώ στο σημείο xx = ξξ 2 διαθέτει τοπικό μέγιστο, καθόσον ff (ξξ 2 ) = 0 και ff (ξξ 2 ) >

7 Σχήμα 12.7 Σχετικά ακρότατα συνάρτησης yy = ff(xx). Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι, εφόσον ερευνώνται σχετικά ακρότατα, οι τιμές του xx, για τις οποίες συγκρίνουμε τις αντίστοιχες τιμές της ff(xx), βρίσκονται σε κάποια γειτονιά του σημείου xx = ξξ (όπου υπάρχει το σχετικό ακρότατο). Είναι δε δυνατό να υπάρχουν και άλλα σχετικά ακρότατα ή και κάποιο απόλυτο ακρότατο της ff(xx), αν θεωρηθεί ολόκληρο το πεδίο ορισμού της. Η προηγούμενη πρόταση μπορεί να επεκταθεί και στην περίπτωση κατά την οποία θα έχουμε ff (ξξ) = ff (ξξ) = 0, ff (ξξ) 0. Με χρήση της επαγωγικής μεθόδου, μπορούμε να διατυπώσουμε την ακόλουθη γενικευμένη πρόταση, η οποία αποδεικνύεται είτε με το θεώρημα της μέσης τιμής είτε μέσω του τύπου του Taylor, στον οποίο θα αναφερθούμε στη συνέχεια: Αν για τη συνάρτηση ff(xx), xx σε κάποιο εσωτερικό σημείο xx = ξξ υπάρχει η παράγωγος τάξης nn και ισχύει επίσης ότι ff (ξξ) = ff (ξξ) = = ff (nn 1) (ξξ) = 0, ff (nn) (ξξ) 0 για άρτιο nn, τότε η θέση ξξ είναι θέση σχετικού μέγιστου αν ff (nn) (ξξ) > 0 και σχετικού ελάχιστου αν ff (nn) (ξξ) > 0. Αν όμως nn περιττό, τότε η ξξ δεν είναι θέση σχετικού ακρότατου, αλλά από γεωμετρικής πλευράς αντιστοιχεί σε οριζόντιο σημείο καμπής Τύπος του Taylor Όπως είναι γνωστό, όταν μια συνάρτηση ff(xx) είναι συνεχής και έχει nn 1 συνεχείς παραγώγους σε κάθε σημείο του κλειστού διαστήματος xx, ενώ επίσης υπάρχει και η nn τάξης παράγωγος στο ανοιχτό διάστημα < xx < (χωρίς να είναι κατ ανάγκη συνεχής), τότε για την ff(xx) ισχύει ο τύπος του Taylor στο σημείο α, δηλαδή ff(xx) = ff(aa) + (xx aa)ff (aa) + + (xx aa)nn 1 (nn 1)! ff (nn 1) (aa) + (xx aa)nn nn! ff (nn) (ξξ) (12.6) όπου < ξξ < xx. Οι συντελεστές των δυνάμεων του (xx aa) είναι όλοι σταθεροί, εκτός του τελευταίου, που είναι συνάρτηση του ξξ, που με τη σειρά του εξαρτάται από τη μεταβλητή xx. Πολύ συχνά, ο τελευταίος αυτός όρος είναι αμελητέος συγκριτικά με τους υπόλοιπους, οπότε σε τέτοια περίπτωση η συνάρτηση ff(xx) μπορεί να προσεγγιστεί εξαιρετικά υπό μορφή πολυωνύμου nn 1 βαθμού ως προς xx aa με σταθερούς συντελεστές. Ο τελευταίος όρος, που γράφεται και ως RR nn = (xx aa)nn ff (nn) (ξξ) (12.7) nn! καλείται μορφή του υπόλοιπου κατά Lagrange. Στο σημείο αυτό αξίζει να παρατηρηθεί ότι, αν η συνάρτηση ff(xx) έχει την παράγωγο της (nn 1) τάξης συνεχή, τότε όλες οι χαμηλότερης τάξης παράγωγοι της αλλά και η ίδια είναι συνεχείς. Εξ άλλου, το ανάπτυγμα σύμφωνα με το τύπο του Taylor μπορεί να γίνει σε οποιοδήποτε εσωτερικό σημείο ή στο σημείο, οπότε xx < ξξ <. Αν ο τύπος (12.6) εφαρμοστεί για = 0, δίνει το γνωστό τύπο του Maclaurin (xx) = ff(0) + xxff (0) + xx2 2! όπου ff (0) + + xxnn 1 (nn 1)! ff(nn 1) (0) + RR nn (12.8α) RR nn = ff(nn) (θθθθ)xx nn nn!, 0 < θθ < 1 (12.8β) 388

8 Μια άλλη μορφή του τύπου του Taylor προκύπτει αν τεθεί xx = h + aa (h > 0). Επειδή δε < ξξ < xx μπορεί να γραφεί ξξ = + θθh, 0 < θθ < 1 (12.9) Ο αριθμός θθ προφανώς εξαρτάται από τη μεταβλητή xx. Αν γίνει χρήση της παραπάνω έκφρασης, ο τύπος (12.6) γίνεται ff(aa + h) = ff(aa) + ff ()h + ff (aa) h ff(nn 1) (aa) h nn 1 + RR 2! (nn 1)! nn όπου πλέον (12.10α) RR nn = ff(nn) (aa+θθh) h nn, 0 < θθ < 1 nn! (12.10β) Σειρές Taylor και Maclaurin Προηγουμένως βρήκαμε ότι ο τύπος του Taylor επιτρέπει, υπό προϋποθέσεις, να εκφραστεί μια συνάρτηση ff(xx) υπό μορφή πολυωνύμου nn βαθμού ως προς xx aa, του οποίου όλοι οι συντελεστές είναι σταθεροί εκτός αυτού του (xx aa) nn, ο οποίος είναι συνάρτηση του xx, καθόσον το ξξ εξαρτάται από την εκλογή του xx. Είναι όμως δυνατόν η ff(xx) να είναι τέτοιας μορφής, ώστε το υπόλοιπο RR nn να είναι φραγμένο, για όλες τις τιμές του xx [aa, ], δηλαδή RR nn (xx) = ff(nn) (ξξ) (xx aa) nn MM nn! nn (12.11) όπου το φράγμα MM nn γενικά εξαρτάται το από το διάστημα τιμών του xx όσο και από το nn. Επί του προκειμένου, ισχύει η ακόλουθη πρόταση. Αν μια συνάρτηση ff(xx) έχει παραγώγους όλων των τάξεων για xx [aa, ] και το υπόλοιπο RR nn τείνει ομοιόμορφα στο μηδέν καθώς nn για κάθε xx [aa, ], τότε ο τύπος του Taylor μπορεί να γραφεί υπό μορφή σειράς άπειρων όρων ως εξής: ff(xx) = ff(aa) + ff () 1! (xx aa) + ff (aa) (xx aa) ff(nn) (aa) (xx aa nn ) + (12.12) 2! nn! Η σειρά αυτή είναι γνωστή ως σειρά Taylor, στην ειδική δε περίπτωση όπου aa = 0 έχουμε τη σειρά του Maclaurin ff(xx) = ff(0) + ff (0)(xx) + ff (0) (xx) ff(nn) (0) (xx nn ) + (12.13) 2! nn! Τονίζεται με έμφαση ότι είναι δυνατό σε ορισμένες περιπτώσεις η σειρά Taylor μιας συνάρτησης, αν και είναι συγκλίνουσα, να μη συγκλίνει στη συνάρτηση αυτή. Κλασικό παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης είναι η ff(xx) = ee 1 xx 2 0 για xx 0 για xx=0 (12.14) Αφήνεται στον αναγνώστη, για εξάσκηση, η τεκμηρίωση της ανωτέρω περίπτωσης για τη συνάρτηση αυτή. Από το θεώρημα μοναδικότητας των δυναμοσειρών, προκύπτει και η σημαντική πρόταση: Αν μια συνάρτηση ff(xx) μπορεί να αναπτυχθεί σε δυναμοσειρά, η σειρά αυτή προσδιορίζεται κατά μοναδικό (μονοσήμαντο) τρόπο και κατ ανάγκη συμπίπτει με το ανάπτυγμα της κατά Taylor. Πέραν τούτων, μια συνάρτηση ff(xx) καλείται αναλυτική σε ένα σημείο, αν μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Taylor ff(xx) = ff(aa) + (xx aa)ff (aa) + + (xx aa)nn nn! ff (nn) (aa) + (12.15) η οποία συγκλίνει στη συνάρτηση ff(xx) για κάθε xx σε κάποιο διάστημα xx aa < δδ που περιέχει το σημείο aa. Γενικότερα, μια συνάρτηση ff(xx) καλείται αναλυτική στο διάστημα < xx <, αν για κάθε σημείο ξξ αυτού του διαστήματος μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Taylor σε κάποιο διάστημα xx ξξ < δδ. Οι περισσότερες από τις συνήθεις συναρτήσεις, όπως π.χ. οι πολυωνυμικές, η ee xx, οι ssssss xx και cccccc xx, η llllll(xx), η xx και όσες κατασκευάζονται από αυτές μέσω αλγεβρικών πράξεων είναι αναλυτικές σε κάθε 389

9 διάστημα που είναι συνεχείς. Είναι επίσης εύκολο να διακρίνει κανείς πότε μια συνάρτηση δεν είναι αναλυτική σε κάποιο σημείο, όπως συμβαίνει για την xx 2 = xx στο σημείο 0. Όλες οι παραπάνω προτάσεις ισχύουν και για συναρτήσεις περισσοτέρων της μιας μεταβλητών, σύμφωνα με τα περιεχόμενα που ακολουθούν Συναρτήσεις πολλών Μεταβλητών Έστω η συνάρτηση δύο μεταβλητών ff(xx, yy), με πεδίο ορισμού D, στο οποίο είναι συνεχής. Η συνάρτηση αυτή έχει ένα σχετικό (τοπικό) μέγιστο στο σημείο (xx 0, yy 0 ), αν ff(xx, yy) < ff(xx 0, yy 0 ) για κάθε σημείο (xx, yy) αρκετά κοντά (δηλαδή στη γειτονιά) του (xx 0, yy 0 ). Όμοια, η ff(xx, yy) έχει τοπικό ελάχιστο στο (xx 0, yy 0 ) αν ff(xx, yy) > ff(xx 0, yy 0 ), με την ίδια λογική. Αν δε μπορεί να παραληφθεί η απαίτηση το τυχόν σημείο (xx, yy) να γειτνιάζει με το (xx 0, yy 0 ), τότε πρόκειται για απόλυτο ακρότατο (ελάχιστο ή μέγιστο). Η έννοια του απόλυτου και του τοπικού ακρότατου μπορεί κάλλιστα να επεκταθεί και σε συναρτήσεις n μεταβλητών. Έστω για παράδειγμα η συνάρτηση ff(xx 1, xx 2, xx nn ), που ορίζεται σε ένα πεδίο D του Ευκλείδειου χώρου n διαστάσεων ΕΕ nn. Αυτή λαμβάνει απόλυτο μέγιστο [ελάχιστο] στο σημείο (ξξ 1, ξξ 2,, ξξ nn ), αν για κάθε σημείο (xx 1, xx 2,, xx nn ) DD ισχύει ότι ff(xx 1, xx 2,, xx nn ) < ff(ξξ 1, ξξ 2,, ξξ nn ), [ff(xx 1, xx 2,, xx nn ) > ff(ξξ 1, ξξ 2,, ξξ nn )] (12.16) Ανάλογες ανισότητες ισχύουν και για την περίπτωση σχετικού ακρότατου, όπου αντί ολόκληρου του πεδίου ορισμού της ff(xx 1, xx 2, xx nn ) θεωρείται μια γειτονιά του σημείου (ξξ 1, ξξ 2,, ξξ nn ). Το θεώρημα του Weierstrass, όπως διατυπώθηκε πριν για συναρτήσεις μιας μεταβλητής, ισχύει και για συναρτήσεις n μεταβλητών, και έχει ως εξής: Κάθε συνεχής συνάρτηση, που ορίζεται σε ένα κλειστό πεδίο, έχει ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο σε αυτό. Αν τώρα μια συνάρτηση ff(xx 1, xx 2, xx nn ) είναι διαφορίσιμη στη θέση ακρότατου σημείου (ξξ 1,, ξξ nn ), τότε το ολικό διαφορικό της είναι μηδέν, δηλαδή dddd(ξξ 1,, ξξ nn ) = xx 1 (ξξ 1,, ξξ nn )ddxx xx nn (ξξ 1,, ξξ nn )ddxx nn = 0 (12.17) Εδώ ισχύει η ακόλουθη αναγκαία συνθήκη ακρότατου: Έστω η συνάρτηση ff(xx 1,, xx nn ), που ορίζεται σε μια γειτονιά του σημείου (ξξ 1,, ξξ nn ). Αν σε αυτό η συνάρτηση λαμβάνει ακρότατο και σε αυτό υφίστανται οι παράγωγοι xx jj, jj = 1, 2,, nn, τότε όλες ισούνται με μηδέν, δηλαδή ισχύει ότι xx jj = 0, jj = 1, 2,, nn (12.18) Για να συμπεριληφθούν στην κατηγορία των συναρτήσεων, για τις οποίες αναζητούμε ακρότατα, και εκείνες που δεν είναι διαφορίσιμες σε διακεκριμένα σημεία, καταλήγουμε στην παρακάτω αναγκαία συνθήκη για ακρότατο: Αν στο σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ) η συνάρτηση ff(xx 1,, xx nn ) παρουσιάζει ακρότατο, τότε κάθε μερική παράγωγος, jj = 1, 2,, nn, αν υπάρχει, είναι ίση με το μηδέν. xx jj Στη συνθήκη αυτή εύκολα εντάσσεται η συνάρτηση zz 2 = xx 2 + yy 2, zz > 0, η οποία αντιπροσωπεύει την επιφάνεια ενός κώνου, η κορυφή του οποίου βρίσκεται στο σημείο (xx, yy) = (0,0), όπου η zz παρουσιάζει ελάχιστο. Όμως, στο σημείο αυτό οι παράγωγοι zz και zz δεν υπάρχουν. Από γεωμετρικής πλευράς το εν λόγω σημείο είναι ένα οξύ άκρο αιχμή, όπως απεικονίζεται στο Σχήμα Πριν διατυπωθούν ικανές συνθήκες σχετικών ακρότατων, κρίνεται σκόπιμο να εξεταστούν σύντομα ορισμένα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά συναρτήσεων δύο μεταβλητών, τα οποία τις διαφοροποιούν από εκείνες μιας μόνης μεταβλητής. Προς τούτο θεωρούμε συναρτήσεις δύο μεταβλητών, οι οποίες ικανοποιούν την αναγκαία συνθήκη (12.18) για ακρότατο. Κάθε σημείο (xx 0, yy 0 ) για το οποίο και οι δύο παράγωγοι μας συνάρτησης ff(xx, yy) μηδενίζονται καλείται κρίσιμο σημείο. Για το σημείο αυτό η συνάρτηση ff είτε παρουσιάζει σχετικό ακρότατο (ελάχιστο ή μέγιστο) είτε εμφανίζει στάσιμη τιμή. Θα περίμενε κανείς ότι η μελέτη του χαρακτήρα ενός κρίσιμου σημείου θα μπορούσα να πραγματοποιηθεί μέσω των συναρτήσεων ff(xx, yy 0 ) και ff(xx 0, yy) με τη βοήθεια των 2 ων παραγώγων, όπως στην περίπτωση συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Αυτό όμως δεν μπορεί να γίνει, όπως για 390

10 παράδειγμα διαπιστώνεται από τη μελέτη της συνάρτησης zz = 1 + xx 2 yy 2 στο σημείο (0,0). Όντως, η συνάρτηση ff(xx, 0) έχει ελάχιστο στο xx = 0, ενώ η ff(0, yy) έχει μέγιστο στο yy = 0. Από γεωμετρικής πλευράς, το εν λόγω κρίσιμο σημείο είναι γνωστό ως σημείο σέλας, σύμφωνα με το Σχήμα Σχήμα 12.8 Γραφική αναπαράσταση της συνάρτησης zz 2 = xx 2 + yy 2, zz > 0, που αντιπροσωπεύει την επιφάνεια ενός κώνου με ελάχιστο το σημείο (0,0). Σχήμα 12.9 Σημείο σέλας (zz = 1, xx = yy = 0) της συνάρτησης zz = 1 + xx 2 yy 2. Μια άλλη περίπτωση που είναι δυνατό να συμβεί είναι η συνάρτηση ff(xx, yy 0 ) να παρουσιάζει σχετικό μέγιστο για xx = xx 0, η συνάρτηση ff(xx 0, yy) να εμφανίζει επίσης σχετικό μέγιστο για yy = yy 0 και συγχρόνως η ff(xx, yy) να μη λαμβάνει σχετικό μέγιστο στο σημείο (xx 0, yy 0 ). Κάτι τέτοιο μπορεί να παρατηρηθεί μέσω της μελέτης της συνάρτησης zz = 1 xx 2 + 4xxxx yy 2, η οποία στο κρίσιμο σημείο (0,0) δεν έχει σχετικό ακρότατο αλλά στάσιμη τιμή, που αποτελεί γεωμετρικά ένα σημείο σέλας εκ νέου. Συμπεραίνεται σύμφωνα με την ανωτέρω ανάπτυξη ότι, όταν μια συνάρτηση zz = ff(xx, yy) έχει σχετικό μέγιστο (ή ελάχιστο), το ίδιο θα συμβεί και για κάθε καμπύλη που προκύπτει ως τομή της επιφάνειας αυτής με οποιοδήποτε κατακόρυφο επίπεδο διερχόμενο από τον άξονα zz. Άρα, για τον καθορισμό του χαρακτήρα του κρίσιμου σημείου συναρτήσεων δύο μεταβλητών είναι απαραίτητη η μελέτη της 2 ης παραγώγου κατά κατεύθυνση. Μέσω αυτής είναι δυνατό να διατυπωθούν ικανές συνθήκες για σχετικά ακρότατα. Όμως, είναι περισσότερο ευχερής η διατύπωση τέτοιων συνθηκών υπό μορφή όρων 2 ων παραγώγων, με αποτέλεσμα η ικανή συνθήκη σχετικού ακρότατου συναρτήσεων n μεταβλητών να έχει ως ακολούθως: 391

11 Έστω ότι η συνάρτηση ff(xx 1,, xx nn ), η οποία ορίζεται και έχει συνεχείς δεύτερες παραγώγους σε κάποια γειτονιά του σημείου (ξξ 1,, ξξ nn ). Έστω επίσης στο σημείο αυτό η συνάρτηση έχει στάσιμη τιμή, δηλαδή ff(ξξ 1,, ξξ nn ) xx jj, jj = 1, 2,, nn. Αν η τετραγωνική μορφή nn nn ii=1 jj=1 ff iiii h ii h jj, ii, jj = 1, 2,, nn κκκκκκ ff iiii = ff jjjj ff iiii = 2 ff(ξξ 1,,ξξ nn ) (12.19) κκκκκκ h xx ii xx ii = xx ii ξξ ii jj είναι θετικά (αρνητικά) ορισμένη, τότε το σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ) δίνει σχετικό ελάχιστο (μέγιστο) στη συνάρτηση ff(xx 1,, xx nn ). Αν η τετραγωνική μορφή είναι αόριστη, τότε η συνάρτηση δεν έχει στο σημείο αυτό ακρότατο αλλά παρουσιάζει στάσιμη τιμή. Το κρίσιμο αυτό σημείο θεωρείται σημείο σέλας. Μια τετραγωνική μορφή είναι θετικά (αρνητικά) ορισμένη, αν είναι θετική (αρνητική) για κάθε μη μηδενικό h ii ΕΕ nn, ενώ μηδενίζεται μόνον όταν h 1 = h 2 = = h nn = 0. Αόριστη θεωρείται μια τετραγωνική μορφή, η οποία μπορεί να λάβει τόσο θετικές τόσο και αρνητικές τιμές. Επίσης, μια τετραγωνική μορφή είναι ημιορισμένη (θετικά ή αρνητικά) αν μηδενίζεται για κάποια αλλά όχι για όλα τα μη μηδενικά h ii. Η παραπάνω ικανή συνθήκη μπορεί εύκολα να αποδειχτεί μέσω του τύπου του Taylor, αρκεί να υποθέσουμε την ύπαρξη (όχι κατ ανάγκη και τη συνέχεια) παραγώγων 3 ης τάξης στο σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ). Αν εφαρμοστεί ο τύπος του Taylor θα λάβουμε ff(xx 1,, xx nn ) = ff(ξξ 1,, ξξ nn ) + h h xx nn ff(ξξ 1 xx 1,, ξξ nn ) + nn 1 h 2! h xx nn 2 ff(ξξ 1 xx 1,, ξξ nn ) + RR 3 (12.20) nn Το υπόλοιπο RR 3 κατά Lagrange ισούται με RR 3 = 1 h 3! h xx nn 3 ff(ξξ 1 xx 1,, ξξ nn ) (12.21) nn όπου ξξ ii = ξξ ii + θθh ii, ii = 1,, nn για 0 < θθ < 1. Εφόσον, όπως έχει υποτεθεί, όλες οι παράγωγοι πρώτης τάξης μηδενίζονται στο σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ), ενώ επίσης για επαρκώς μικρές (θετικές ή αρνητικές) των h ii οι όροι τρίτης τάξης του RR 3 μπορούν να καταστούν αμελητέοι, συγκριτικά με τους όρους δεύτερης τάξης, από τη σχέση (12.20) προκύπτει ότι ssssss [ff(xx 1,, xx nn ) ff(ξξ 1,, ξξ nn )] = ssssss ii=1 jj=1 ff iiii h ii h jj, ii, jj = 1,2,, nn (12.22) nn nn Κατά συνέπεια, αν η τετραγωνική μορφή στο δεξί μέρος της σχέσης (12.22) είναι θετικά ορισμένη, η διαφορά Δff = ff(xx 1,, xx nn ) ff(ξξ 1,, ξξ nn ) είναι πάντοτε θετική για όλες τις επαρκώς μικρές τιμές των h ii, οι οποίες δεν είναι όλες μηδέν. Στην περίπτωση αυτή η συνάρτηση παρουσιάζει σχετικό ελάχιστο στο σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ). Αντίθετα, αν η τετραγωνική μορφή είναι αρνητικά ορισμένη, τότε το σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ) είναι τοπικό μέγιστο της ff(xx 1,, xx nn ). Αν τέλος είναι αόριστη, τότε το εν λόγω σημείο είναι σέλα. Σε περίπτωση ημιορισμένης ή ταυτοτικά μηδενικής τετραγωνικής μορφής απαιτείται η μελέτη όρων τάξης ανώτερης της τρίτης μέσω του τύπου του Taylor. Από τα παραπάνω απορρέει αυτόματα η ανάγκη ενός πρακτικού τρόπου καθορισμού της φύσης μιας τετραγωνικής μορφής. Στο σημείο αυτό τονίζεται ότι, όταν μια τετραγωνική μορφή είναι θετικά ή αρνητικά ορισμένη ή ημιορισμένη, τότε ο ίδιος χαρακτηρισμός ισχύει και για το συμμετρικό πίνακα ff iiii και αντίστροφα. Ένα πρακτικό κριτήριο που αποτελεί ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι μια τετραγωνική μορφή (ή ένας συμμετρικός πίνακας) θετικά ή αρνητικά ορισμένη, οφείλεται στον Sylvester και έχει ως εξής: nn nn Αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι μια τετραγωνική μορφή ii=1 jj=1 ff iiii h ii h jj (ή ο πίνακας ff iiii, ff iiii = ff jjjj ) θετικά ορισμένη είναι όλες οι κύριες ελάσσονες ορίζουσες του πίνακα ff iiii να είναι θετικές, δηλαδή ff 11 ff 12 ff 1nn ff ff 11 > 0, ff 11 ff 21 ff 22 ff 2nn > 0,, > 0 (12.23) ff 21 ff ff nn1 ff 2nn ff nnnn 392

12 Αντίστοιχα, αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι η ως άνω τετραγωνική μορφή αρνητικά ορισμένη είναι ff 11 < 0, ff 11 ff 12 > 0,, ff 21 ff 22 ff 11 ff 12 ff 1nn ff 21 ff 22 ff 2nn ff nn1 ff 2nn ff nnnn ( 1) nn > 0 (12.24) Δηλαδή, οι κύριες ελάσσονες ορίζουσες περιττής τάξης είναι αρνητικές, ενώ οι άρτιας τάξης είναι θετικές. Είναι φανερό ότι οι συνθήκες (12.23) είναι συγχρόνως ικανές για να λαμβάνει η συνάρτηση ff(xx 1,, xx nn ) σχετικό ελάχιστο στο σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ), ενώ οι συνθήκες (12.24) για σχετικό μέγιστο. Αν στο σημείο αυτό, για το οποίο υπολογίζονται τα στοιχεία ff iiii από τη σχέση (12.19), συμβαίνει να μην ικανοποιούνται όλες οι ανισότητες των (12.23) ή (12.24), τότε το κρίσιμο σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ) είναι γεωμετρικά σημείο σέλας, επειδή η τετραγωνική μορφή είναι αόριστη. Αν τώρα ισχύουν όλες οι συνθήκες (12.23) ή (12.24) εκτός από την ορίζουσα n τάξης, η οποία ισούται με μηδέν, τότε η τετραγωνική μορφή είναι θετικά ή αρνητικά ημιορισμένη. Σε τέτοια περίπτωση δε γνωρίζουμε αν το σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ) είναι τοπικό ακρότατο της ff(xx 1,, xx nn ), και για να εξακριβωθεί αυτό θα πρέπει να μελετηθούν παράγωγοι της ff τάξης ανώτερης της δεύτερης. Προς τούτο αναπτύσσουμε τη συνάρτηση ff(xx 1,, xx nn ) στο σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ) κατά τον ακόλουθο συμβολικό τύπο του Taylor ff(xx 1,, xx nn ) ff(ξξ 1,, ξξ nn ) = Δff = δff + 1 2! δ2 ff + 1 3! δ3 ff nn! δnn ff + RR nn+1 (12.25) όπου δff = h h xx nn ff(ξξ 1 xx 1,, ξξ nn ) nn δ 2 ff = h h xx nn 2 ff(ξξ 1 xx 1,, ξξ nn ) nn δ (nn) ff = h h xx nn nn ff(ξξ 1 xx 1,, ξξ nn ) nn (12.26) Οι όροι δff, δ 2 ff,, δ (nn) ff καλούνται πρώτη, δεύτερη,, n-οστή μεταβολή. Αν στο παραπάνω ανάπτυγμα δ (kk) ff = 0, kk < nn, τότε για σημεία αρκετά κοντά του (ξξ 1,, ξξ nn ) ισχύει η ανισότητα 1 kk! δkk ff RR kk+1 (12.27) Με βάση τη παραπάνω ανάπτυξη, μπορεί πλέον να διατυπωθεί η ακόλουθη γενική ικανή και αναγκαία συνθήκη για σχετικά ακρότατα μιας συνάρτησης nn μεταβλητών. Αν η συνάρτηση ff(xx 1,, xx nn ) σε κάποια γειτονιά του σημείου (ξξ 1,, ξξ nn ) έχει όλες τις μερικές παραγώγους μέχρι nn τάξης συνεχείς, ενώ υπάρχουν και οι μερικές παράγωγοι nn + 1 τάξης (χωρίς να είναι κατ ανάγκη συνεχείς), τότε ικανή και αναγκαία συνθήκη για να λαμβάνει η ff(xx 1,, xx nn ) στο σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ) σχετικό ακρότατο είναι δff = δ 2 ff = = δ (nn 1) ff = 0, δ (nn) ff 0, nn άρρρρρρρρρρ όςς (12.28) Ειδικότερα, αν δ (nn) ff > 0 πρόκειται περί σχετικού ελάχιστου, ενώ αν δ (nn) ff < 0 περί σχετικού μέγιστου. Τέλος, αν δ (nn) ff = 0 και το nn είναι περιττός αριθμός, η συνάρτηση έχει στάσιμη τιμή στο εν λόγω σημείο, που είναι ένα σημείο σέλας. Η πρόταση αυτή μπορεί να διατυπωθεί για συναρτήσεις που είναι αναλυτικές στο σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ) ή σε κάποια γειτονιά αυτού, οπότε μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Taylor Μέθοδος Πολλαπλασιαστών του Lagrange Σε πολλά προβλήματα αναζήτησης ακρότατων μιας συνάρτησης ff(xx 1,, xx nn ), οι μεταβλητές δεν είναι πάντα όλες ανεξάρτητες μεταξύ τους, αλλά μπορεί να συνδέονται με μια ή περισσότερες συνθήκες, όπως π.χ. φφ rr (xx 1,, xx nn ) = 0, rr = 1, 2,, mm mm < nn (12.29) 393

13 Από τις συνθήκες αυτές μπορούν, θεωρητικά τουλάχιστον, να υπολογιστούν mm μεταβλητές, έστω οι xx 1,, xx mm, συναρτήσει των υπόλοιπων mm nn, δηλαδή των xx mm+1,, xx nn. Τότε η συνάρτηση ff καθίσταται συνάρτηση mm nn μεταβλητών xx mm+1,, xx nn, οπότε η ικανή και αναγκαία συνθήκη για να λάβει στάσιμη τιμή είναι xx mm+1 = ή xx ss + = = = 0 xx mm+2 xx nn mm kk=1 xx kk (12.30α) xx kk xx ss = 0, ss = mm + 1, mm + 2,, nn (12.30β) Για να διατυπώσουμε ικανές συνθήκες σχετικών ακρότατων θα εφαρμοστεί στη συνέχεια η μέθοδος των πολλαπλασιαστών του Lagrange. Σύμφωνα με αυτή, αν αναζητούνται τα ακρότατα μιας συνάρτησης (xx 1,, xx nn ), η οποία υπόκειται στις mm τον αριθμό συνθήκες (12.29), τότε μορφώνεται η ακόλουθη βοηθητική συνάρτηση FF, η οποία θεωρείται αναλυτική στην υπό εξέταση περιοχή: FF(xx 1,, xx nn ) = ff(xx 1,, xx nn ) + mm rr=1 λλ rr φφ rr (xx 1,, xx nn ) (12.31) όπου λλ rr άγνωστοι προσδιοριστέοι συντελεστές, ανεξάρτητοι των xx ii. Για τη διατύπωση της αναγκαίας συνθήκης σχετικού ακρότατου, υπολογίζουμε όλες τις παραγώγους της FF ως προς xx ii, ii = 1, 2,, nn και κατόπιν τις εξισώσουμε με μηδέν, δηλαδή = φφ + λλ 1 φφ xx ii xx 1 + λλ 2 φφ ii xx λλ mm ii xx mm = 0, ii = 1, 2,, nn (12.32) ii xx ii Οι εξισώσεις αυτές είναι γνωστές ως εξισώσεις Lagrange. Οι άγνωστοι σε αυτές είναι οι xx 1,, xx nn και λλ 1,, λλ mm, δηλαδή nn + mm το πλήθος. Από την επίλυση του ανωτέρω συστήματος nn + mm τάξης, βρίσκουμε π.χ. ότι αυτό επαληθεύεται από το σύνολο των xx 1 = ξξ 1, xx 2 = ξξ 2,, xx nn = ξξ nn και λλ 1, λλ 2,, λλ mm. Δηλαδή, το σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ) δίνει στάσιμη τιμή στη συνάρτηση ff(xx 1,, xx nn ). Στη συνέχεια πρέπει να διατυπωθούν οι ικανές συνθήκες σχετικού ακρότατου, και για το σκοπό αυτό μορφώνεται η nn + mm ορίζουσα 1 2 mm FF 11 FF 12 FF 1nn φφ 1 φφ 1 φφ mm FF 21 FF 22 FF 2nn φφ 2 φφ 2 φφ mm FF ΔΔ 1 = nn1 FF nn2 FF nnnn φφ nn φφ nn φφ nn φφ 1 φφ 2 φφ nn φφ 1 φφ 2 φφ nn φφ mm 1 φφ mm 2 φφ mm nn (12.33) και από αυτήν οι ακόλουθες κύριες ελάσσονες ορίζουσες mm mm FF 22 φφ 2 FF 33 φφ 3 ΔΔ 2 =, ΔΔ 3 =, ΔΔ nn mm = φφ mm 2 0 φφ mm 3 0 mm FF nn mm,nn mm φφ nn mm nn φφ nn mm 0 (12.34) όπου οι περιεχόμενες μερικές παράγωγοι υπολογίζονται στο σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ). Τότε, ισχύει η πρόταση: Ικανή συνθήκη για να εμφανίζει η συνάρτηση ff σχετικό ελάχιστο στο σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ) είναι για μεν m άρτιο ΔΔ 1 > 0, ΔΔ 2 > 0,, ΔΔ nn mm > 0 (12.35) για δε m περιττό ΔΔ 1 < 0, ΔΔ 2 < 0,, ΔΔ nn mm < 0 (12.36) Κατ αναλογία, ικανή συνθήκη για να εμφανίζει η συνάρτηση ff σχετικό μέγιστο στο σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ) είναι για μεν m άρτιο ΔΔ 1 > 0, ΔΔ 2 < 0, ΔΔ 3 > 0,, ( 1) nn mm ΔΔ nn mm < 0 (12.37) για δε m περιττό 394

14 ΔΔ 1 < 0, ΔΔ 2 > 0, ΔΔ 3 < 0,, ( 1) nn mm ΔΔ nn mm > 0 (12.38) Είναι φανερό ότι, αν δεν επαληθεύεται το σύνολο των συνθηκών (12.35) (12.38), το σημείο (ξξ 1,, ξξ nn ) είναι σημείο σέλας. Αν δε συμβαίνει ΔΔ 1 = 0, τότε απαιτείται έρευνα παραγώγων τάξης ανώτερης της δεύτερης. Επίσης, από την ανάλυση που προηγήθηκε, εύκολα διαπιστώνεται ότι, για τη συνάρτηση FF(xx 1,, xx nn, λλ 1,, λλ nn ), οι αναγκαίες συνθήκες σχετικού ακρότατου είναι = 0, ii = 1, 2,.., nn xx ii (12.39) = gg kk = 0, kk = 1, 2,.., mm λλ kk Τέλος, η ορίζουσα ΔΔ 1 προσδιορίζεται από τη σχέση ΔΔ 1 = 2 FF xx FF xx 2 xx 1 2 FF xx 1 xx nn 2 FF 2 FF xx 1 λλ 1 2 FF 2 FF xx 1 λλ mm 2 FF xx 2 xx nn xx 2 λλ 1 2 FF xx nn xx 1 2 FF λλ 1 xx 1 λλ mm xx 1 2 FF xx nn 2 2 FF xx nn λλ 1 xx 2 λλ mm 2 FF xx nn λλ mm 2 FF 0 0 λλ 1 xx nn 2 FF 2 FF 0 0 λλ mm xx nn (12.40) και βάσει αυτής μορφώνονται και οι ορίζουσες ΔΔ 2,, ΔΔ nn mm. Κατόπιν μπορούμε να προβούμε στην ανάλυση εύρεσης ακρότατων που προηγήθηκε. Για παράδειγμα, θεωρούμε τη συνάρτηση ff(xx 1, xx 2, xx 3 ) = xx xx xx 3 2, που ικανοποιεί τις συνθήκες φφ 1 = xx 3 (xx 1 + xx 2 ) + 2 = 0 φφ 2 (12.41) = xx 1 xx 2 1 = 0 Συνεπώς, FF(xx 1, xx 2, xx 3 ) = xx xx xx λλ 1 [xx 3 (xx 1 + xx 2 ) + 2] + λλ 2 [xx 1 xx 2 1]. Για να προσδιορίσουμε σχετικά ακρότατα της ff μορφώνουμε τις εξισώσεις Lagrange = 2xx xx 1 + λλ 1 xx 3 + λλ 2 xx 2 = 0 1 = 2xx xx 2 + λλ 1 xx 3 + λλ 2 xx 1 = 0 2 = 2xx xx 3 + λλ 1 (xx 1 + xx 2 ) = 0 3 = 2 + (xx λλ 1 + xx 2 )xx 3 = 0 1 = xx λλ 1 xx 2 1 = 0 2 (12.42) Από τις εξισώσεις αυτές βρίσκουμε τις παρακάτω πραγματικές λύσεις: xx 1 = 1 xx 2 = 1 xx 3 = 1 λλ 1 = 1 λλ 2 = 1 (12.43) xx 1 = 1 xx 2 = 1 xx 3 = 1 λλ 1 = 1 λλ 2 = 1 Για το σημείο (1,1, 1) παρατηρούμε ότι nn mm = 3 2 = 1, οπότε εύκολα υπολογίζουμε ότι ΔΔ 1 = = 24 > 0 (12.44) Επειδή δε το mm είναι άρτιος αριθμός, η συνάρτηση έχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο (1,1, 1). Το ίδιο συμπέρασμα μπορεί εύκολα να εξαχθεί και για το σημείο ( 1, 1,1). 395

15 3. Περαιτέρω Ιδιότητες και Χαρακτηριστικά των Συναρτησιακών Σε συνέχεια συνοπτικών εννοιών, ορισμών και άλλων στοιχείων που δόθηκαν στην Εισαγωγή για τα συναρτησιακά, θα αναπτυχθούν εδώ αναλυτικότερα περαιτέρω ιδιότητες και χαρακτηριστικά αυτών, έτσι ώστε να καταστεί αντιληπτή ο καταλυτικός ρόλος τους τόσο στην Επιστήμη των Μαθηματικών όσο και σε αυτή της Μη Γραμμικής Ευστάθειας. Θα καταβληθεί προσπάθεια ώστε οι καινούργιες γνώσεις που θα εισαχθούν, να συσχετίζονται, όσο το δυνατόν καλύτερα κατά περίπτωση, με άλλες προηγουμένων Κεφαλαίων, που είχαν πολύ περισσότερο εφαρμοσμένο χαρακτήρα. Άλλωστε, ο αναγνώστης θα ήταν βέλτιστο να ασχοληθεί με το περιεχόμενο του παρόντος Κεφαλαίου πρώτα, έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθούν οι όποιες απορίες του κατά τη διάρκεια μελέτης των υπόλοιπων Κεφαλαίων Απόσταση και Γειτονιά Συναρτήσεων Πέραν της έννοιας της εγγύτητας συναρτήσεων που προαναφέρθηκε, δύο ακόμα βασικοί ορισμοί κρίνονται απαραίτητοι να εισαχθούν, και πιο συγκεκριμένα αυτοί που αφορούν την απόσταση και τη γειτονιά καμπυλών. Ως απόσταση μηδενικής τάξης μεταξύ των καμπυλών yy(xx) και yy 1 (xx), που είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [, ], ορίζεται ο μη αρνητικός αριθμός ρρ 0, που ισούται με το μέγιστο της απόλυτης τιμής της διαφοράς yy(xx) yy 1 (xx) για xx, δηλαδή ρρ 0 = ρρ 0 (yy, yy 1 ) = mmmmmm xx yy(xx) yy 1 (xx) (12.45) Αν, για παράδειγμα, αναζητηθεί η απόσταση μηδενικής τάξης μεταξύ των καμπυλών yy = xx και yy 1 = xx 2 στο διάστημα [0,1], αυτή θα είναι ίση με το μέγιστο της συνάρτησης xx xx 2 στο διάστημα αυτό, που εμφανίζεται για xx = 1 2 και βρίσκεται ίσο με 1/4, όπως απεικονίζεται στο γράφημα του Σχήματος Σχήμα Απόσταση μηδενικής τάξης των καμπυλών yy = xx και yy 1 = xx 2. Γενικότερα, ως απόσταση n τάξης μεταξύ των καμπυλών yy(xx) και yy 1 (xx), που έχουν συνεχείς παραγώγους τάξης n στο διάστημα [, ], ορίζεται ο μη αρνητικός αριθμός ρρ nn, που ισούται με τη μεγαλύτερη των μεγίστων τιμών των ποσοτήτων yy(xx) yy 1 (xx), yy (xx) yy 1 (xx),, yy (nn) (nn) (xx) yy 1 (xx) για όλα τα xx [, ], δηλαδή ρρ nn = ρρ nn (yy, yy 1 ) = mmmmmm 0 kk nn mmmmmm aa xx bb yy (kk) (xx) yy 1 (kk) (xx) (12.46) όπου yy (0) = yy, yy (1) = dddd dddd,, yy (kk) = dd kk yy ddxx kk. Παραδείγματος χάριν, η απόσταση 1 ης τάξης μεταξύ των καμπυλών yy(xx) = xx 2 και yy 1 (xx) = xx 3 στο διάστημα [0,1] είναι ίση με τη μεγαλύτερη από τις ποσότητες max 0 xx 1 xx 2 xx 3 και max 0 xx 1 2xx 3xx 2. Η συνάρτηση ff = xx 2 xx 3 μηδενίζεται στα άκρα του διαστήματος [0,1] και λαμβάνει στάσιμη τιμή για 396

16 xx = 0 και xx = 2 3. Εύκολα μπορεί να διαπιστωθεί ότι για xx = 2 3 η συνάρτηση xx 2 xx 3 εμφανίζει σχετικό μέγιστο. Πράγματι ρρ 0 = mmmmmm 0 xx 1 xx 3 xx 2 = mmmmmm 0 xx 1 (xx 3 xx 2 ) = Επίσης, η συνάρτηση ff 1 = 2xx 3xx 2 έχει σχετικό μέγιστο στο άκρο του διαστήματος xx = 1, όπως φαίνεται και στο Σχήμα Άρα ρρ 1 = max 0 xx 1 2xx 3xx 2 = 1, οπότε τελικά η απόσταση πρώτης τάξης των παραπάνω καμπυλών ισούται με 1. Σχήμα Γραφική παράσταση της συνάρτησης ff 1 = 2xx 3xx 2. Στη συνέχεια θα δοθεί η έννοια της γειτονιάς μιας συνάρτησης, που είναι συναφής με αυτή της απόστασης μεταξύ καμπυλών, και θα χρησιμοποιηθεί κατά την αναζήτηση ακρότατων συναρτησιακών. Ως ηη-γειτονιά μηδενικής τάξης μιας καμπύλης yy(xx) για xx, ορίζεται το σύνολο των καμπυλών yy(xx), xx, των οποίων η απόσταση μηδενικής τάξης ρρ 0 από την καμπύλη yy(xx) είναι μικρότερη της θετικής ποσότητας η, δηλαδή το σύνολο των καμπυλών yy(xx) με ρρ 0 (yy, yy) < ηη (12.47) Κατά συνέπεια, η ηη-γειτονιά μηδενικής τάξης μιας καμπύλης yy(xx) για xx περιλαμβάνει όλες τις καμπύλες yy(xx), xx που βρίσκονται μέσα σε μια λωρίδα εύρους 2ηη γύρω από την καμπύλη yy(xx), σύμφωνα με το Σχήμα Από τον ορισμό αυτό προκύπτει εύκολα ότι η τυχούσα καμπύλη yy(xx) και η yy(xx) χαρακτηρίζονται από εγγύτητα μηδενικής τάξης. Σχήμα ηη-γειτονιά μηδενικής τάξης μιας καμπύλης yy = yy(xx). Κατ αναλογία, ηη-γειτονιά πρώτης τάξης μιας καμπύλης yy(xx) για xx, ορίζεται το σύνολο των καμπυλών yy(xx), xx, των οποίων η απόσταση πρώτης τάξης ρρ 1 από την καμπύλη yy(xx) είναι μικρότερη της θετικής ποσότητας η, δηλαδή το σύνολο των καμπυλών yy(xx) με 397

17 ρρ 1 (yy, yy) < ηη (12.48) Είναι προφανές ότι η ηη-γειτονιά πρώτης τάξης είναι στενότερη (δηλαδή υποσύνολο) της ηη-γειτονιάς μηδενικής τάξης, γιατί περιλαμβάνει μια στενότερη κλάση καμπυλών. Για το λόγο αυτό η ηη-γειτονιά μηδενικής τάξης καλείται ισχυρή γειτονιά, ενώ αυτή της πρώτης τάξης ασθενής γειτονιά. Γενικότερα, ως ηη-γειτονιά τάξης nn μιας καμπύλης yy(xx) για xx, ορίζεται το σύνολο των καμπυλών yy(xx), xx, των οποίων η απόσταση nn τάξης ρρ nn από την yy(xx) είναι μικρότερη της θετικής ποσότητας ηη, δηλαδή το σύνολο των καμπυλών yy(xx) με ρρ nn (yy, yy) < ηη (12.49) Εύκολα αντιλαμβάνεται κανείς ότι η τυχούσα καμπύλη yy(xx) και η yy(xx) χαρακτηρίζονται στην περίπτωση αυτή από ηη-εγγύτητα τάξης nn. Ο παραπάνω ορισμός της γειτονιάς μπορεί να επεκταθεί και σε συναρτήσεις δύο ή περισσότερων μεταβλητών, που παριστούν επιφάνειες ή υπερεπιφάνειες, κάνοντας χρήση ανισοτικών σχέσεων και μερικών παραγώγων [1] Χώροι Συναρτήσεων με Norm και Μετρικοί Χώροι Πριν δοθεί λεπτομερειακά η έννοια της συνέχειας ενός συναρτησιακού, κρίνεται σκόπιμο να προταχθεί η έννοια της norm μιας συνάρτησης, που είναι ανάλογη με την έννοια της απόστασης ενός σημείου στον Ευκλείδειο χώρο από την αρχή των συντεταγμένων. Αυτό θα πραγματοποιηθεί μέσω της εισαγωγής της έννοιας του γραμμικού χώρου με norm, και μετά θα δοθεί και η έννοια του μετρικού χώρου. Κατά τη μελέτη συναρτήσεων nn ανεξάρτητων μεταβλητών, θεωρούμε από γεωμετρικής πλευράς ένα σύνολο nn αριθμών (yy 1,, yy nn ) ως ένα σημείο στον Ευκλείδειο χώρο nn διαστάσεων ΕΕ nn. Κατ αναλογία, όταν μελετάμε συναρτησιακά με πεδίο ορισμού συναρτήσεις που ανήκουν σε κάποια κλάση, θεωρούμε από γεωμετρικής πλευράς, κάθε συνάρτηση αυτής της κλάσης ως ένα σημείο κάποιου χώρου. Χώροι, των οποίων τα στοιχεία είναι συναρτήσεις, ονομάζονται χώροι συναρτήσεων. Ενώ η μελέτη των συνήθων συναρτήσεων nn ανεξάρτητων μεταβλητών μπορεί να πραγματοποιηθεί με βάση μόνο ένα χώρο, τον ΕΕ nn, η μελέτη συναρτησιακών, ανάλογα με τη φύση του προβλήματος, πρέπει να γίνει μετά από επιλογή του αντίστοιχου χώρου συναρτήσεων. Για παράδειγμα, κατά τη μελέτη του συναρτησιακού JJ[yy] = FF(xx, yy, yy ) dddd, είναι απόλυτα φυσικό να θεωρηθεί ως πεδίο ορισμού του το σύνολο aa των CC 1 συναρτήσεων yy(xx), που είναι δηλαδή συνεχείς με συνεχείς πρώτες παραγώγους στο διάστημα [aa, ]. Με την ίδια λογική, για το συναρτησιακό JJ[yy] = FF(xx, yy, yy, yy ) dddd ο κατάλληλος χώρος συναρτήσεων aa είναι το σύνολο των yy(xx) CC 2 [aa, ]. Ως γραμμικός χώρος θεωρείται ένα σύνολο Ε στοιχείων οποιασδήποτε φύσης xx, yy, zz, στον οποίο ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, με πραγματικούς ή και μιγαδικούς αριθμούς, οι οποίες ικανοποιούν τα παρακάτω οκτώ (8) αξιώματα: xx + yy = yy + xx (12.50α) (xx + yy) + zz = xx + (yy + zz) (12.50β) Υπάρχει ένα στοιχείο, το μηδέν 0, τέτοιο ώστε xx EE: xx + 0 = xx xx xx: xx + ( xx) = 0 1 xx = xx (12.50ε) (12.50γ) aa() = (aaaa)xx (12.50στ) (aa + )xx = aaaa + aa(xx + yy) = aaaa + aaaa (12.50δ) (12.50ζ) (12.50η) Ένας γραμμικός χώρος Ε είναι χώρος με norm, αν σε κάθε στοιχείο xx EE αντιστοιχεί ένας (πεπερασμένος) μη αρνητικός αριθμός xx, καλούμενος norm του xx, τέτοιος ώστε: 398

18 xx = 0 αν και μόνον αν xx = 0 = xx. RR xx + yy xx + yy (12.51β) (12.51γ) (12.51α) Από τις παραπάνω ιδιότητες απορρέει η ικανοποίηση της ανισοτικής σχέσης xx yy xx yy (12.52) Σημειώνεται ότι σε ένα γραμμικό χώρο με norm μπορεί να οριστούν και άλλες norm, ενώ επίσης μπορούμε να ορίσουμε αποστάσεις μεταξύ στοιχείων του. Η απόσταση μεταξύ των στοιχείων xx και yy είναι η ποσότητα xx yy. Επιπρόσθετα, τα στοιχεία ενός γραμμικού χώρου με norm μπορεί να είναι οποιασδήποτε φύσης αντικείμενα, όπως διανύσματα, μητρώα, αριθμοί, συναρτήσεις (χώροι συναρτήσεων) κλπ. Εξ άλλου ένας μετρικός χώρος ορίζεται ως εξής: Ένα σύνολο EE στοιχείων οποιασδήποτε φύσης xx, yy, zz, είναι μετρικός χώρος, αν σε κάθε ζεύγος στοιχείων xx, yy ΕΕ αντιστοιχεί ένας μη αρνητικός αριθμός ρρ(xx, yy), τέτοιος ώστε αν ισχύουν οι σχέσεις ρρ(xx, yy) = 0 αν και μόνο αν xx = yy ρρ(xx, yy) = ρρ(yy, xx) (12.53β) ρρ(xx, zz) ρρ(xx, yy) + ρρ(yy, zz) (12.53γ) (12.53α) Ο αριθμός ρρ(xx, yy) καλείται απόσταση μεταξύ των στοιχείων xx και yy. Κάθε γραμμικός χώρος με norm είναι ένας μετρικός χώρος με απόσταση ρρ(xx, yy) = xx yy. Η βασική διαφορά μεταξύ ενός χώρου με norm και ενός μετρικού χώρου έγκειται στο γεγονός ότι ο πρώτος έχει την αλγεβρική δομή ενός διανυσματικού χώρου (πράξεις πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού), ενώ ο δεύτερος προϋποθέτει αλγεβρική δομή (δεν έχει κατ ανάγκη πράξεις). Στα προβλήματα του Λογισμού των Μεταβολών γίνεται χρήση των χώρων συναρτήσεων. Οι κυριότεροι γραμμικοί χώροι με norm, που εμφανίζονται σε προβλήματα της Μηχανικής και ικανοποιούν τα παραπάνω αξιώματα είναι πέντε, και ορίζονται στη συνέχεια. (1) Ο χώρος CC[, ], που αποτελείται από το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων yy(xx), οι οποίες ορίζονται στο κλειστό διάστημα [, ], και του οποίου η norm ισούται με yy = yy 0 = mmmmmm aa xx yy(xx) (12.54) (2) Ο χώρος DD 1 [, ], που αποτελείται από το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων με τμηματικά συνεχείς πρώτες παραγώγους στο κλειστό διάστημα [, ], και του οποίου η norm είναι ίση με yy 1 = mmmmmm aa xx yy(xx) + mmmmmm aa xx yy (xx) (12.55) Στη τελευταία σχέση εξαιρούνται τα σημεία για τα οποία δεν υπάρχει συνέχεια της πρώτης παραγώγου. (3) Ο χώρος CC 1 [, ], που αποτελείται από το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων με συνεχείς πρώτες παραγώγους στο κλειστό διάστημα [, ], και του οποίου η norm είναι ίδια με αυτή της (12.55) χωρίς εξαίρεση κάποιων σημείων. (4) Ο χώρος CC n [, ], που αποτελείται από το σύνολο των συναρτήσεων που έχουν συνεχείς παραγώγους μέχρι και nn τάξης στο κλειστό διάστημα [, ], και του οποίου η norm ισούται με yy nn = mmmmmm CCn [,] yy(xx), yy (xx),, yy (nn) (xx), nn = 1,2, (12.56) όπου yy (ii) (xx) = dd ii yy ddxx ii. (5) Ο χώρος Hilbert LL 2 [, ], που αποτελείται από το σύνολο των συναρτήσεων οριζόμενων στο διάστημα [, ], οι οποίες δεν είναι κατ ανάγκη συνεχείς αλλά είναι «τετραγωνικά» αθροίσιμες (ολοκληρώσιμες). Τούτο σημαίνει ότι για τις συναρτήσεις υπάρχει το ορισμένο ή γενικευμένο ολοκλήρωμα του τετραγώνου τους στο [, ] και είναι ένας πεπερασμένος αριθμός. Η norm του LL 2 δίνεται από τον τύπο yy = yy(xx) aa 2 dddd (12.57) Η norm αυτή αντιστοιχεί στη μέση τετραγωνική απόκλιση συναρτήσεων [2]. 399

19 Για κάθε ένα από τους παραπάνω πέντε σημαντικούς χώρους η αντίστοιχη norm είναι πάντοτε πεπερασμένη. Αν, για παράδειγμα, αναζητηθεί η norm LL 2 [0,1] των συναρτήσεων yy 1 (xx) = xx 2 και yy 2 (xx) = 1 xx, 1 τότε εύκολα βρίσκουμε βάσει της σχέσης (12.57) ότι yy LL2 [0,1] = xx 0 4 dddd = 1 5. Είναι φανερό ότι η yy 1 ανήκει στο χώρο LL 2 [0,1], αφού η norm της είναι πεπερασμένη. Αντίθετα, η συνάρτηση yy 2 δεν ανήκει στο 1 χώρο των συναρτήσεων LL 2 [0,1], επειδή (1 xx) 2 dddd =, άρα δεν έχει πεπερασμένη norm. 0 Σε ένα χώρο με norm, αν για μια ακολουθία yy nn (nn = 1, 2, ) στοιχείων του χώρου αυτού ισχύει ότι lim nn yy nn yy = 0, τότε αναφερόμαστε στη σύγκλιση της ακολουθίας ως προς τη norm, που γράφεται ως yy nn yy. Αν το όριο αυτό υπάρχει, είναι μονοσήμαντα ορισμένο. nn Επίσης, από τη συναρτησιακή ανάλυση γνωρίζουμε ότι οι παραπάνω χώροι συναρτήσεων έχουν την ιδιότητα της πληρότητας. Τούτο σημαίνει ότι δεν υπάρχει ακολουθία yy nn (nn = 1, 2, ), η οποία συγκλίνει ως προς τη norm του χώρου σε ένα στοιχείο, που δεν ανήκει στο χώρο αυτό. Ένας πλήρης γραμμικός χώρος με norm καλείται χώρος Banach. Κάθε συνάρτηση yy(xx) CC 1 [, ] αποτελεί και στοιχείο του χώρου CC[, ], ο οποίος είναι ευρύτερος (υπερσύνολο), καθώς επίσης ισχύει ότι κάθε yy(xx) CC[, ] είναι στοιχείο του χώρου LL 2 [, ]. Παρά ταύτα, δεν μπορούν οι χώροι CC 1 [, ] και CC[, ] ως υποχώροι των CC[, ] και LL 2 [, ] αντίστοιχα, γιατί κάθε χώρος με norm θεωρείται μαζί με τη norm του, και οι norm αυτών των χώρων διαφέρουν μεταξύ τους. Τέλος, στα προβλήματα του Λογισμού των Μεταβολών είναι δυνατόν ο θεωρούμενος χώρος των συναρτήσεων να μη δίνει μια δεδομένη λύση. Σε τέτοια περίπτωση, επιχειρείται η εύρεση λύσης σε άλλο (ευρύτερο) χώρο συναρτήσεων. Δηλαδή μπορεί να μην υπάρχει λύση στο χώρο των συναρτήσεων CC 1 [, ], ενώ να υπάρχει στο χώρο CC[, ] Αναλυτικότερη Αναφορά στη Συνέχεια Συναρτησιακού Ένα συναρτησιακό JJ[yy] με πεδίο ορισμού κάποια κλάση συναρτήσεων ΜΜ[, ] είναι συνεχές στο «σημείο» yy = yy 0 (xx) με την έννοια της εγγύτητας nn τάξης, αν για τυχόν εε > 0 υπάρχει κάποιο ηη = ηη(εε) > 0, τέτοιο ώστε για κάθε yy ΜΜ[, ] που ικανοποιεί τις ανισότητες yy(xx) yy 0 (xx) < ηη, yy (xx) yy 0 (xx) < ηη,, yy (nn) (xx) yy 0 (nn) (xx) < ηη (12.58α) να ισχύει JJ[yy] JJ[yy 0 ] < εε (12.58β) Δηλαδή, yy ΜΜ[, ] με ρρ nn [yy, yy 0 ] < ηη να ισχύει η παραπάνω ανισότητα. Ένα συναρτησιακό που δεν είναι συνεχές με την έννοια της εγγύτητας nn τάξης καλείται ασυνεχές με την ίδια έννοια. Όπως είναι γνωστό, όταν μια συνάρτηση yy(xx) είναι συνεχής στο σημείο xx = xx 0 ισχύει ότι lim Δxx 0 (xx 0 + Δxx) = yy(xx 0 ). Η ιδιότητα αυτή ισχύει και στην περίπτωση ενός συνεχούς συναρτησιακού ως άνω, όπως θα δειχτεί στη συνέχεια. Θεωρούμε προς τούτο τις γειτονικές προς την yy 0 (xx) συναρτήσεις yy (kk) (xx) = yy 0 (kk) (xx) + εεg (kk) (xx), kk = 0, 1, 2,., nn (12.59) όπου g(xx) μια αυθαίρετη συνάρτηση, που ανήκει επίσης στην κλάση ΜΜ[, ], και εε μια επαρκώς μικρή (θετική, μηδέν ή αρνητική) ποσότητα, τέτοια ώστε οι συναρτήσεις yy(xx) ΜΜ[, ] να βρίσκονται στην ηηγειτονιά nn τάξης της συνάρτησης yy 0 (xx). Τότε παρατηρούμε πως για kk = 0, 1, 2,., nn ισχύει ότι llllll εε 0 yy (kk) (xx) = yy 0 (kk) (xx) (12.60) οπότε ο ορισμός της συνέχειας του συναρτησιακού στο «σημείο» yy = yy 0 (xx) συνεπάγεται llllll εε 0 JJ[yy 0 (xx) + εεg(xx)] = JJ[yy 0 ] (12.61) Κατ αναλογία με την έννοια της συνέχειας μιας συνάρτηση σε κάποιο διάστημα, μπορούμε να προβούμε στον ακόλουθο ορισμό συνέχειας ενός συναρτησιακού. Ένα συναρτησιακό JJ[yy] με πεδίο ορισμού την κλάση των συναρτήσεων ΜΜ[, ] είναι συνεχές σε αυτή, όταν είναι συνεχές yy(xx) ΜΜ[, ]. Επιπρόσθετα, ισχύει και η πρόταση: 400