ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

Transcript

1 ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΝ ΠΑΡΑΓΓΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ` ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΝ ΕΞΙΣΣΕΝ ΜΕ ΜΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΓΟΥΣ ΔΙΠΛΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Μ.Δ.Ε. ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΙΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΝ ΟΛΓΑ Φ. ΜΠΕΤΣΙΘΕΜΗ Επιβλέπων καθηγητής: Κανδυλάκης Δημήτριος ΧΑΝΙΑ, 2018 ~ 1 ~

2 ~ 2 ~

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ ~ 3 ~

4 ~ 4 ~

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σε αυτήν την διπλωματική διατριβή θα ασχοληθούμε με την ύπαρξη λύσεων για τα προβλήματα συνοριακών τιμών για ελλειπτικές μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με μερικές παραγώγους. Για τον σκοπό αυτό θα αντιστοιχίσουμε τις πιθανές λύσεις μιας διαφορικής εξίσωσης με τα σημεία μηδενισμού ενός συναρτησιακού ορισμένο σε έναν κατάλληλο χώρο συναρτήσεων (χώροι Sobolev, weak formulation, εξίσωση Euler) και ακολούθως θα χρησιμοποιήσουμε αποτελέσματα της Συναρτησιακής Ανάλυσης για τον εντοπισμό αυτών των ριζών. ~ 5 ~

6 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή Κεφάλαιο 2: Προκαταρτικά Κεφάλαιο 3: Χώροι Sobolev Ομαλοποίηση συναρτήσεων. 1. Ορισμός ομαλοποίησης. 2. Οι ιδιότητες της ομαλοποίησης. Ο χώρος CC 00 (). Ασθενής παράγωγος. 1. Ορισμός και ιδιότητες της ασθενούς παραγώγου. 2. Ιδιότητες της ασθενούς παραγώγου. 3. Εναλλακτικός ορισμός ασθενούς παραγώγου. 4. Η ασθενής παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων. 5. Η απόλυτη συνέχεια. Οι χώροι Sobolev WW ll pp () και WW pp ll (). 1. Ο χώρος WW ll pp (), 11 pp <, ll εε N. 2. Ο χώρος WW pp ll (), 11 pp <, ll εε N. 3. Ολοκλήρωση κατά μέλη. 4. H ανισότητα του Poincare. 5. Ανισότητα Friedrichs. ~ 6 ~

7 Κεφάλαιο 4: Θεωρήματα Εμφύτευσης Εισαγωγή. Θεωρήματα εμφύτευσης για τους χώρους WW pp ll (). Ισοδύναμες νόρμες. 1. Γραμμικοί χώροι πεπερασμένης διάστασης και οι νόρμες σε αυτούς τους χώρους. 2. Iσοδύναμες νόρμες στον χώρο WW pp ll (). 3. Ο δυικός του WW pp 11 (). 4. Το ίχνος στο σύνορο. Κεφάλαιο 5: Εφαρμογές σε ελλειπτικά συνοριακά προβλήματα. Η εξίσωση Poisson με συνοριακές συνθήκες Dirichlet. Πρόβλημα Dirichlet με φασματική παράμετρο. Θεώρημα Hilbert-Schmidt. Κεφάλαιο 6: Βιβλιογραφία. ~ 7 ~

8 Κεφάλαιο 1 : Εισαγωγή Σε πολλά προβλήματα μαθηματικής φυσικής προβλήματα και λογισμού μεταβολών δεν αρκεί να ασχολούμαστε μόνο με τις κλασσικές λύσεις των διαφορικών εξισώσεων. Είναι απαραίτητο να εισαχθεί η έννοια της ασθενoύς παραγώγου και να ασχοληθούμε με τους λεγόμενους χώρους Sobolev. Ας θεωρήσουμε ένα απλό παράδειγμα, το πρόβλημα Dirichlet για την εξίσωση Laplace σε έναν φραγμένο χωρίο : uu = 0, xx ϵ uu(xx) = φφ(xx), xx ϵ ϑ ( ) όπου η φφ(xx) είναι μια δοσμένη συνάρτηση στο σύνορο ϑ. Είναι γνωστό ότι η εξίσωση Laplace είναι η εξίσωση Euler για το συναρτησιακό 2 ϑxx j l(uu) = nn ϑuu jj =1 dddd. Θεωρούμε την σχέση ( ) ως ένα πρόβλημα μεταβολών: θέλουμε να βρούμε την συνάρτηση η οποία ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό l(uu) και προερχεται απο ένα σύνολο συναρτήσεων που ικανοποιούν την συνθήκη uu ϑ = φφ. Είναι ευκολότερο να ελαχιστοποιήσουμε το παραπάνω συναρτησιακό όχι στον C 1 ( ) αλλά σε μια μεγαλύτερη οικογένεια συναρτήσεων και συγκεκριμένα στον χώρο συναρτήσεων Sobolev W 1 2 (). Ο χώρος W 1 2 () αποτελείται από όλες τις συναρτήσεις uu ϵ L 2 () που έχουν ασθενή παράγωγο ϑ j uu ϵ L 2 (), j = 1,, n. Εάν το σύνορο ϑ είναι λείο, τότε το ίχνος της συνάρτησης uu(xx) στο σύνορο αυτό είναι καλά ορισμένο και η σχέση έχει νόημα (αυτό προκύπτει από το λεγόμενο θεώρημα ίχνους στο σύνορο για τις συναρτήσεις σε χώρους Sobolev). Η συνάρτηση uu ϵ W 1 2 (), η οποία δίνει το ελάχιστο του l(. ) υπό την συνθήκη uu ϑ = φφ, καλείται ασθενής λύση του προβλήματος Dirichlet. Εάν θεωρήσουμε ότι το l(uu) είναι ορισμένο στον W 1 2 (), τότε μπορούμε να αποδείξουμε την ύπαρξη και μοναδικότητα της λύσης του προβλήματος μεταβολών. Θα μελετήσουμε τις ιδιότητες των χώρων Sobolev τα θεωρήματα εμφύτευσης, το ίχνος στο σύνορο και τα θεωρήματα επέκτασης. Στην συνέχεια θα εφαρμόσουμε αυτές τις ιδιότητες για να λύσουμε ελλειπτικά προβλήματα συνοριακών τιμών. ~ 8 ~

9 Κεφάλαιο 2 : Προκαταρτικά Ένα ανοικτό συνεκτικό σύνολο καλείται περιοχή. Θα θεωρήσουμε ως την κλειστότητα του και ϑ το σύνορό του. Αν είναι ένα υποσύνολο του, θα γράφουμε άν. Αν η περιοχή είναι φραγμένη και, τότε dist {, ϑ } > 0. Θα χρησιμοποιήσουμε τους ακόλουθους συμβολισμούς xx = (xx 1, xx 2, xx nn ) ϵ, ϑ jj uu = ϑuu ϑxx jj Ο a = (a 1, a 2, a nn ) ϵ Z + n είναι ένας πολλαπλός δείκτης με a = a 1 + a a nn. Ακόμη ϑ a uu = ϑ a uu ϑ a 1 xx1 ϑ a 2 xx2 ϑ a nn xxnn, uu = (ϑ 1 uu, ϑ 2 uu,, ϑ jj uu), uu nn = ϑ jj uu jj =1. ~ 9 ~

10 Κεφάλαιο 3 : Χώροι Sobolev Ορισμός: Με L q (), 1 q <, συμβολίζουμε το σύνολο όλων των μετρήσιμων συναρτήσεων uu: R για τις οποίες ισχύει ότι uu(x) q dx <. H νόρμα της συνάρτησης uu στο χώρο αυτό είναι η uu(x) q, = ( uu(x) q dx) 1 q, ταυτίζοντας τις συναρτήσεις οι οποίες συμφωνούν σε σχεδόν όλα τα σημεία της περιοχής. Τότε έχουμε το ακόλουθο: Θεώρημα: Ο χώρος L q () είναι ένας χώρος Banach για 1 q <. Ορισμός: Έστω uu ϵ L q (), 1 qq <. Θέτουμε J ρ uu; L q = ssssss z ρ uu(x + z) uu(x) q 1 q dx, θεωρώντας ότι η συνάρτηση uu εκτός του είναι ίση με το 0. Η J ρ uu; L q λέγεται μέτρο της συνέχειας της συνάρτησης uu. Ισχύει ότι J ρ uu; L q ρ 0 0. Ορισμός: Με L q,loc (), 1 q <, συμβολίζουμε τον χώρο των μετρήσιμων συναρτήσεων uu στην περιοχή για τις οποίες το ολοκλήρωμα uu(x) p dx φραγμένο υποσύνολο (δηλαδή ). είναι πεπερασμένο για κάθε Παρατήρηση: Ο χώρος L q,loc () αποτελεί έναν διανυσματικό χώρο ο οποίος δεν είναι Banach. Θα λέμε ότι uu k k uu στον χώρο L q,loc () εάν για κάθε φραγμένη περιοχή ισχύει ότι uu k uu q, q 0. Ορισμός: Με L () συμβολίζουμε τον χώρο των φραγμένων μετρήσιμων συναρτήσεων στην περιοχή για τις οποίες ισχύει eeeeee ssssss xx uu(xx) < +, με την νόρμα της συνάρτησης u να είναι η uu, = eeeeee ssssss xx uu(xx). ~ 10 ~

11 Ορισμός: Με C l ( ) συμβολίζουμε τον χώρο Banach που αποτελείται από τις ομοιόμορφα συνεχείς συναρτήσεις uu οι οποίες έχουν ομοιόμορφα συνεχείς παραγώγους ϑ a uu μέχρι τάξη l στην περιοχή και η παρακάτω έκφραση uu C 1 ( ) = (ssssss xx ϑ a uu(x) ) a l (που αποτελεί τη νόρμα του χώρου) είναι πεπερασμένη. Στην περίπτωση όπου o πολλαπλός δείκτης a = 0, ορίζουμε C 0 ( ) = C( ). Παρατήρηση: Αν η περιοχή είναι φραγμένη, τότε η παραπάνω έκφραση είναι πεπερασμένη δεδομένης της ομοιόμορφης συνέχειας των συναρτήσεων uu και των ασθενών παραγώγων τους μέχρι τάξης αα. Ορισμός: Ο C l () αποτελείται από την οικογένεια των συναρτήσεων ορισμένων στην περιοχή ώστε όλες οι συναρτήσεις uu και οι ασθενείς παράγωγοι τους ϑ a uu (με a l), να είναι συνεχείς στην περιοχή αυτή. Παρατήρηση: Ακόμη και εάν η περιοχή είναι φραγμένη, η συνάρτηση uu C l () δεν είναι απαραίτητα φραγμένη διότι μπορεί να αυξάνεται με αυθαίρετο τρόπο κοντά στο σύνορο. Ορισμός: Με C 0 () συμβολίζουμε την οικογένεια των συναρτήσεων uu ορισμένων στην περιοχή για τις οποίες ισχύουν: Η uu έχει συνεχή παράγωγο κάθε τάξης στο. Ο φορέας των συναρτήσεων uu, δηλαδή το supp uu =, {xx: uu(xx) 0} είναι ένα συμπαγές υποσύνολο της περιοχής. Παρατήρηση: Oι συναρτήσεις στον χώρο C 0 () και οι παράγωγοι κάθε τάξης τους είναι ομοιόμορφα συνεχείς. ~ 11 ~

12 Ομαλοποίηση συναρτήσεων 3. Ορισμός ομαλοποίησης. Θα προσεγγίσουμε τις συναρτήσεις uu ϵ L q (), με λείες συναρτήσεις χρησιμοποιώντας την διαδικασία της ομαλοποίησης (mollification). Θεωρούμε μια συνάρτηση ω: R για την οποία ισχύουν τα παρακάτω ω ϵ C 0 (), ω(x) 0, ω(x) = 0 για x 1 και ω(x) dx = 1. R Για p > 0 ορίζουμε ω p (x) = p nn ω p x p, x ϵ Rn. Τότε ω p ϵ C 0 (), ω p (x) 0, ω p (x) = 0 για x p, και ω p (x) dx = 1. R Ορισμός: Η συνάρτηση ω p λέγεται ομαλοποιητής ή κανονικοποιητής (mollifier). Θεωρούμε μια περιοχή και uu ϵ L q (), 1 q <. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση uu είναι ίση με το 0 εκτός του. Ορίζουμε την συνέλιξή της u με την ω p ως εξής ω p u u p, όπου u p (x) = ω p (x y) u(y) dy Το ολοκλήρωμα δεν υπολογίζεται πάνω στον χώρο, αλλά πάνω στην περιοχή { y: x y < p },επειδή η uu μηδενίζεται εκτός του. Ορισμός: Η uu p λέγεται ομαλοποίηση ή κανονικοποίηση της uu. 4. Οι ιδιότητες της ομαλοποίησης. 1. uu p ϵ C 0 () και ϑ α uu p (x) α = ϑ x ω p (x y) uu(y) dy, επειδή η ω p έχει παραγώγους κάθε τάξης. ~ 12 ~

13 2. Η uu p (x) = 0 όταν dist (x,) p, επειδή ω p (x y) = 0 για κάθε y. 3. Αν uu ϵ L q () τότε ο μετασχηματισμός uu uu p είναι γραμμικός και φραγμένος, με ƴ p : L q () L q ( ) και ƴ p Lq () L q ( ) Αν uu ϵ L q (), 1 q <, επειδή uu p uu q, p 0 0, τότε uu p uu q, p 0 0. Στην συνέχεια ακολουθούν οι αποδείξεις των ιδιοτήτων 3 και 4. Απόδειξη 3 ης ιδιότητας: Διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις για τις τιμές της μεταβλητής q. Περίπτωση 1 η : 1 < q <. Θεωρούμε τις συζυγείς μεταβλητές q, q : q q Holder και την σχέση = 1. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα uu p (x) = ω p (xx yy) uu(yy) dyy έχουμε ότι uu p (x) = ω p (xx yy) 1 qqω p (xx yy) 1 qq 1 qq ω p (x y) και επειδή ω p (x) dx = 1, παίρνουμε R Έτσι uu p (yy) qq ω p (x y) uu(yy) qq dyy. uu(yy) dyy 1 ω p (x y) uu(yy) qq qq dyy R, n uu p (xx) qq dx dx ω p (x y) uu(yy) qq dyy ~ 13 ~

14 = dyy uu(yy) qq ω p (x y) dx = uu(yy) qq dyy. Περίπτωση 2 η : q =. uu p (x) ω p (x y) uu(yy) qq dyy uu ω p (x y) dyy= uu, δηλαδή, uu p uu Περίπτωση 3 η : q = 1. Ολοκληρώνουμε την ανίσωση και έχουμε ότι uu p (x) ω p (x y) uu(yy) dyy uu p (x) dx dx ω p (x y) u(y) dyy = uu p (y) dyy. Απόδειξη 4 ης ιδιότητας: Η απόδειξη βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα: Αν η συνάρτηση uu ϵ L q () θεωρηθεί ότι εκτός της περιοχής ισούται με το 0, τότε 1 q sup z ρ uu(x + z) uu(x) q dx =: J ρ uu; L q ρ 0 0. (Η J ρ uu; L q καλείται μέτρο της συνέχειας της συνάρτησης uu στον χώρο L q.) Θεωρούμε ξανά περιπτώσεις για τις τιμές της μεταβλητής q. ~ 14 ~

15 Περίπτωση 1 η : 1 < q <. Χρησιμοποιώντας τις γνωστές σχέσεις έχουμε ότι ω p (x) dx = 1, u p (x) = ω p (x y) u p (y) dy R uu p (x) uu(x) ω p (x y) uu(y) uu(x) dyy = 1 1 qq qq ω p (x y) ω p (x y) uu(y) uu(x) dyy. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Holder προκύπτει ότι 1 qq 1 qq uu p (x) uu(x) ω p (x y) dyy ω p (x y) uu(yy) uu(x) qq dyy. οπότε uu p (x) uu(x) qq dx dx ω p (x y) uu(yy) uu(x) qq dyy. Θέτουμε x y = zz και παίρνουμε dx ω p (x y) uu(yy) uu(x) qq dyy = dz ω p (z) z ρ sup z ρ uu(y + z) uu(yy) qq dyy dz ω p (z) z ρ ω p (y + z) uu(yy) uu(yy) qq dyy = J ρ uu; L q qq. uu p uu q, J ρ uu; L q ρ 0 0. Περίπτωση 2 η : q = 1. Παρατηρούμε ότι άρα uu p (x) uu(x) ω p (x y) uu(y) uu(x) dyy ~ 15 ~

16 uu p (x) uu(x) dx dx ω p (x y) uu(y) uu(x) dyy. Θέτοντας x y = zz, προκύπτει ότι uu p (x) uu(x) dx = dz ω p (z) uu(yy + zz) uu(yy) qq dyy J ρ (uu; L 1 ) 0. z ρ ρ 0 Παρατήρηση: Αν q =, μια ιδιοτητα αυτής της μορφής δεν ισχύει επειδή το L -όριο των λείων συναρτήσεων uu p είναι μια συνεχής συνάρτηση. Εάν uu p ϵ C( ) και επεκτείνουμε την uu να είναι ίση με το 0 εκτός, τότε μπορεί να χαθεί η συνέχεια. Γενικά uu p uu C( ) 0, καθώς p 0. Ισχύει όμως η παρακάτω ιδιότητα: 5. Εάν η συνάρτηση uu ϵ C( ) και η περιοχή είναι φρεγμένη με, τότε ισχύει p 0 uu p uu 0. C Ο χώρος CC 00 () Ορισμός: Με C 0 () συμβολίζεται ο χώρος των συναρτήσεων οι οποίες (α) έχουν συνεχείς παραγώγους κάθε τάξης και (β) έχουν συμπαγή φορέα, δηλαδή μηδενίζονται εκτός ενός συμπαγούς υποσυνόλου του. Παρακάτω διατυπώνονται δύο βασικές ιδιότητες των συναρτήσεων αυτού του χώρου. ~ 16 ~

17 Θεώρημα 1. Το σύνολο C 0 () είναι πυκνό στον χώρο L q (), 1 q <. Θεώρημα 2. Έστω uu ϵ L 1,loc () και συνάρτηση uu είναι ταυτοτικά 0 στην περιοχή. uu(x)n(x) dx = 0, για κάθε n ϵ C 0 (). Τότε η Ασθενής παράγωγος 6. Ορισμός της ασθενούς παραγώγου. Ορισμός: Έστω ότι uu(x) ϵ L 1,loc () και a ένας πολλαπλός δείκτης. Αν μια συνάρτηση υυ(x) ϵ L 1,loc () ικανοποιεί τη σχέση uu(x) ϑ a n(x)dx = ( 1) a υυ(x) n(x)dx, για κάθε n ϵ C 0 () τότε η υυ θα λέγεται ασθενής παράγωγος (ή παράγωγος με την έννοια των κατανομών) της συνάρτησης uu στην περιοχή και θα συμβολίζεται με ϑ a uu(x). Αν η συνάρτηση uu έχει συνεχείς παραγώγους, τότε με κατά μέρη ολοκλήρωση έχουμε uu(x) ϑ a n(x) dx = ( 1) a ϑ a υυ(x) n(x) dx, n ϵ C 0 (), οπότε η κλασσική παράγωγος ταυτίζεται με την ασθενή παράγωγο. Παρατηρούμε ότι, επειδή η ασθενής παράγωγος ορίζεται ως ένα στοιχείο του χώρου L 1,loc (), μπορούμε να την αλλάξουμε σε ένα σύνολο μέτρου μηδέν χωρίς να διαταραχθεί η παραπάνω ισότητα. ~ 17 ~

18 7. Ιδιότητες της ασθενούς παραγώγου. Μοναδικότητα (εκτός απο ένα συνολο μετρου 0). Γραμμικότητα: Θεωρούμε uu 1, uu 2 ϵ L 1,loc () για τις οποίες υπάρχουν οι ασθενείς παράγωγοι υυ 1 = ϑ a uu 1 και υυ 2 = ϑ a uu 2 Τότε υπάρχει η ασθενής παράγωγος του αθροίσματος και ισούται με ϑ a (c 1 uu 1 + c 2 uu 2 ) = c 1 ϑ a uu 1 + c 2 ϑ a uu 2, c 1, c 2 ϵ C. Εάν υυ = ϑ a uu στο, τότε επίσης υυ = ϑ a uu για κάθε. Η ομαλοποίηση της παραγώγου ισούται με την παράγωγο της ομαλοποίησης, δηλαδή αν uu, υυ ϵ L 1,loc () με ϑ a uu = υυ, τότε υυ p = ϑ a uu p, με την προϋπόθεση ότι dddddddd{x, ϑ} > pp. Οι συναρτήσεις υυ p, uu p είναι λείες και η έκφραση ϑ a uu p συμβολίζει την κλασσική παράγωγο. Θεωρούμε uu ϵ L 1,loc () και υποθέτουμε ότι υπάρχει η ασθενής παράγωγος ϑ a u(x) ϵ L q (), 1 q <. Αν, τότε ϑ a uu p ϑ a uu q, p Εναλλακτικός ορισμός ασθενούς παραγώγου. Ορισμός: Θεωρούμε τις συναρτήσεις uu, υυ ϵ L 1,loc () και υποθέτουμε ότι υπάρχει μια ακολουθία u m (x)ϵ C l (), m N, τέτοια ώστε uu m mm uu και ϑ a uu m m υυ στον χώρο L 1,loc (), (όπου a ένας πολλαπλός δείκτης με a = l). Τότε η υυ είναι η ασθενής παράγωγος της συνάρτησης uu στην περιοχή, δηλαδή ισχύει ϑ a uu = υυ. ~ 18 ~

19 Θεώρημα 3. Θεωρούμε μια συνάρτηση uu m ϵ L 1,loc () για την οποία ισχύει οτι uu m m uu στον χώρο L 1,loc (). Υποθέτουμε ότι υπάρχει η ασθενής παράγωγος ϑ a uu m ϵ L 1,loc () η οποία συγκλίνει στον χώρο L 1,loc (), δηλαδή ισχύει ότι ϑ a uu m m υυ. Τότε υυ = ϑ a uu. Από το παραπάνω θεώρημα συνάγουμε ότι ο τελεστής ϑ a είναι κλειστός (έχει δηλαδή κλειστό γράφημα. Το παραπάνω συμπέρασμα ισχύει επίσης όταν υποθέσουμε ότι m uu m nn dx uu nn dx, και m ϑ a uu m nn dx uu nn dx για κάθε nn C 0 (). 9. Η ασθενής παράγωγος του γινομένου δύο συναρτήσεων. Πρόταση: Υποθέτουμε ότι uu, ϑ j uu ϵ L q,loc (), 1 < q < και υυ, ϑ j υυ ϵ L q,loc () με τις μεταβλητές q, q να είναι συζυγείς 1 qq + 1 qq = 1 ή ότι ισχύει ότι uu, ϑ juu ϵ L 1,loc (), και υυ, ϑ j υυ ϵ CC(). Tότε ϑ j (uu υυ) = ϑ j uu υυ + uu ϑ j υυ. Γνωρίζουμε ότι οι συναρτήσεις που παραγωγίζονται με τον κλασσικό τρόπο και οι παράγωγοι κ τάξης τους μηδενίζονται είναι πολυώνυμα βαθνού το πολύ κ-1. Το παρακάτω θεώρημα διατυπώνει ότι το ίδιο αποτέλεσμα ισχύει επίσης για τις ασθενείς παραγώγους. ~ 19 ~

20 Θεώρημα 4. Θεωρούμε μια συνάρτηση uu ϵ L 1,loc () και υποθέτουμε ότι οι ασθενείς παράγωγοί της ϑ a uu, a = l N, υπάρχουν. Αν ϑ a uu = 0 για κάθε a = l, τότε η uu είναι ένα πολυώνυμο τάξης το πολύ l 1 στο. 10. Η απόλυτη συνέχεια. Η ύπαρξη της ασθενούς παραγώγου σχετίζεται με την ιδιότητα της απόλυτης συνέχειας. Παραθέτουμε παρακάτω τον ορισμό της απολύτως συνεχούς συνάρτησης. Ορισμός: Μια συνάρτηση uu λέγεται απόλυτα συνεχής στο [a, β] αν ε > 0, δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε πεπερασμένο σύνολο ξένων ανά 2 διαστημάτων (x 1, x 1 ),, (x m, x m ) m [a, β] με j=1 x j, x j < δ m ισχύει j= uu x j uu(x j ) < εε. Οι παρακάτω ιδιότητες είναι συνέπειες της απόλυτης συνέχειας. 1. Η συνάρτηση uu: [a, β] είναι απόλυτα συνεχής αν και μόνο εάν υπάρχει συνάρτηση υυ ϵ L 1,loc (a, β) x τέτοια ώστε uu(x) = uu(a) + υυ(t)dt, a xϵ[a, β]. 2. Εάν η συνάρτηση uu: [a, β] R είναι απόλυτα συνεχής τότε υπάρχει η παράγωγος duu(x), για σχεδόν κάθε xϵ[a, β] και duu = υυ(x), υυ ϵ L dt dx 1 (a, β). Για το παρακάτω θεώρημα υποθέτουμε ότι nn = 1. Θεώρημα. Μια μετρήσιμη συνάρτηση uu είναι απόλυτα συνεχής στο διάστημα (a, β) αν και μόνον εάν υπάρχει η ασθενής παράγωγός της και duu dx ϵ L 1 (a, β). Στην περίπτωση αυτή η ασθενής παράγωγος συμπίπτει σχεδόν παντού με την «κλασσική» παράγωγο. ~ 20 ~

21 Οι χώροι Sobolev WW pp ll () κκκκκκ WW pp ll () 1. Ο χώρος WW pp ll (), 11 pp <, ll εε N. Ο χώρος W p l () αποτελείται από τις συναρτήσεις uu ϵ L p () οι οποίες έχουν ασθενείς παραγώγους ϑ a u(x), a l, με ϑ a uu ϵ L p (). Η νόρμα του χώρου W p l () είναι η uu W p l () = ϑa uu p dx a l 1 p. Παρατηρούμε ότι στην περίπτωση όπου l = 0, ττόττττ W p 0 () = L p (). Πρόταση. Ο χώρος W p l () είναι πλήρης, δηλαδή είναι ένας χώρος Banach. Είναι επίσης διαχωρίσιμος όταν 1 < pp < +. Παρατήρηση: Στην περίπτωση όπου p=2, ο χώρος W 2 l () είναι ένας χώρος Hilbert με εσωτερικό γινόμενο (uu, vv) W l 2 () = ϑa uu dx ϑ a v. a l Στην περίπτωση αυτή, δηλαδή όταν p=2, ο χώρος W 2 l () θα συμβολίζεται με Η l (). 2. Ο χώρος WW pp ll (), 11 pp <, ll εε N. Ορισμός: Η κλειστότητα του χώρου C 0 () ως προς την νόρμα του W p l () συμβολίζεται με W p l (). Για τον λόγο αυτό ο W p l () αποτελεί υπόχωρο του W p l (). Πρόταση: Έστω uu ϵ W p l () και uu επέκτασή της στον που ορίζεται να είναι 0 εκτός. Τότε ~ 21 ~

22 uu ϵ W p l ( 1 ), 1, δηλαδή uu ϵ W p l ( ). Θεώρημα. Έστω uu ϵ W p l () και uu η επέκτασή της στον. Τότε για τις κανονικοποιήσεις της u p (x) έχουμε u p p 0 u στον W p l (). Παρατήρηση: Εάν η uu αποτελεί μια τυχαία συνάρτηση στον χώρο W p l () και η uu είναι η επέκτασή της στον, τότε η συνάρτηση u (x) δεν έχει απαραίτητα ασθενείς παραγώγους στον. Άρα εν γένει έχουμε W p l () W p l (). 3. Ολοκλήρωση κατά μέλη. Πρόταση: Θεωρούμε τις συναρτήσεις uu ϵ W p l () και υυ ϵ W p l (), τότε ϑ a uu υυ dx = ( 1) a uu ϑ a υυ dx, a l. Θεώρημα. Υποθέτουμε ότι το σύνορο του είναι CC 1 και uu W 1 p () C( ). Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα 1. uu = 0 σσσσσσ 2. uu W p 1 (). Αυτό σημαίνει (με μια παραβίαση της ακρίβειας) ότι οι συναρτήσεις του W p 1 () είναι όσες συναρτήσεις του W 1 p () μηδενίζονται στο σύνορο. ~ 22 ~

23 Θεώρημα. Υποθέτουμε ότι το σύνορο του είναι CC 1 και uu L p (), 1 < pp < +. Tα ακόλουθα είναι ισοδύναμα: uu W p 1 (), Υπάρχει σταθερα C τέτοια ώστε uu φφ xx ii CC φφ Lp () για κάθε φφ CC cc 1 (R NN ), ii = 1,2 NN. η συνάρτηση uu (xx) = uu(xx), 0, αααα xx αααα xx R NN \ είναι στον W 1 p (R NN ) και uu =. xx ii xx ii 4. H ανισότητα του Poincare. Yποθέτουμε ότι το είναι μια φραγμένη ανοικτή περιοχή και 1 < pp < +. Τότε υπάρχει μια σταθερά C που εξαρτάται μόνο από το και το p τέτοια ώστε uu Lp () CC uu Lp () για κάθε uu W p 1 (). Συνεπώς, η uu Lp () είναι μια νόρμα στον W p 1 () η οποία είναι ισοδύναμη με την uu W p 1 (). Πρόταση: Οι χώροι W p l ( ) και W p l ( ) είναι ίσοι, δηλαδή W p l ( ) = W p l ( ). Αυτό σημαίνει ότι ο C 0 ( ) είναι πυκνός στον W p l ( ). 5. Ανισότητα Friedrichs. Θεώρημα 9: Εάν η περιοχη είναι φραγμένη, τότε για κάθε u W p l () ισχύει η σχέση uu p, (diam ) l uu p,l, ~ 23 ~

24 1 όπου uu p,l, = ϑ a p p a =l uu p,. Η ανισότητα αυτή δεν ισχύει για όλες τις συναρτήσεις uu ϵ W p l (), όπως για παράδειγμα για τα πολυώνυμα βαθμού το πολύ l 1 διότι για αυτά ισχύει uu p,l, = 0 αλλά uu p, 0 (αααα uu 0). ~ 24 ~

25 Κεφάλαιο 4 : Θεωρήματα Εμφύτευσης. Εισαγωγή. Τα θεωρήματα εμφύτευσης δίνουν την σχέση που υπάρχει μεταξύ χώρων συναρτήσεων. Ορισμός: Θεωρούμε τους χώρους Banach Β 1, Β 2. Θα λέμε ότι ο χώρος Β 1 εμφυτεύεται στον χώρο Β 2 εάν κάθε στοιχείο uu ϵ Β 1 ανήκει επίσης στον Β 2 και uu Β2 c uu Β1 για κάποιο cc > 0. Η εμφύτευση αυτή συμβολίζεται με Β 1 Β 2. Ο τελεστής εμφύτευσης J: Β 1 Β 2 απεικονίζει ένα στοιχείο uu ϵ Β 1 στο ίδιο στοιχείο του χώρου Β 2 οπότε είναι γραμμικός. Η ανισότητα uu Β2 c uu Β1 σημαίνει ότι ο τελεστής J είναι επίσης συνεχής. Ορισμός: Υποθέτουμε ότι Β 1 Β 2 και ο τελεστής εμφύτευσης J: Β 1 Β 2 είναι συμπαγής. Στην περίπτωση αυτή θα λέμε ότι ο Β 1 εμφυτεύεται συμπαγώς στον Β 2. Η συμπάγεια του τελεστή J ισοδυναμεί με το γεγονός ότι η κλειστότητα της εικόνας ενός φραγμένου υποσυνόλου του Β 1 είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του Β 2. Θεωρήματα εμφύτευσης για τους χώρους WW pp ll (). Θα εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση l = 1. Θεώρημα (Rellich-Kondrachov). Έστω μια φραγμένη περιοχή με ομαλό σύνορο. Τότε οι ακόλουθες εμφυτεύσεις είναι συμπαγείς. 1. W 1 p () LL qq () για κάθε qq [1, pp ), όπου pp = nnnn, αν pp < nn, nn pp ~ 25 ~

26 2. W p 1 () LL qq () για κάθε qq [1, ), αν pp = nn, 3. W p 1 () C( ) αν p > nn, 4. W p 1 () LL pp () για κάθε p και n. Η εμφύτευση W p 1 () LL pp () είναι συνεχής. Το ακόλουθο αποτέλεσμα σχετίζεται με τις εμφυτεύσεις μεταξύ των χώρων Sobolev. Θεώρημα 1. Έστω μια φραγμένη περιοχή με ομαλό σύνορο. Θεωρούμε μεταβλητές, που ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες: p 1, 1 q <, 0 r < l και ακόμη l r n p + nn q 0, τότε W p l () W qq rr (). Στην γενικότερη περίπτωση όπου l r n p + nn q > 0, η εμφύτευση W p l () W q rr () είναι συμπαγής. 2. Εάν υποθέσουμε ότι p (l r) > nn, τότε W p l () CC rr ( ) και η εμφύτευση αυτή είναι συμπαγής. Ειδικές περιπτώσεις: Θεωρούμε ότι ικανοποιούνται οι συνθήκες: r = 0 και p l < n. Ο κρίσιμος εκθέτης q απο την ισότητα l n p + n q = 0, οπότε q = n p n l p. Επειδη p l < nn, βλέπουμε ότι q <. Στην περίπτωση q < q, η εμφύτευση W l p () L q () είναι συμπαγής και όταν q = q είναι μόνο συνεχής. ~ 26 ~

27 Αν p l = n, τότε q =. Σ την περίπτωση αυτή η εμφύτευση W l p () L q (), q < είναι συμπαγής. Όμως η εμφύτευση αυτή δεν υφίσταται στην περίπτωση όπου το q =. Εάν p l > nn, τότε W l p () CC( ) και η εμφύτευση αυτή είναι συμπαγής. Έστω r < ll και p = q. Τότε η εμφύτευση W l p () W rr p () είναι συμπαγής και ειδικότερα η εμφύτευση W l p () L q (), l 1 είναι συμπαγής. Ισοδύναμες νόρμες. 5. Γραμμικοί χώροι πεπερασμένης διάστασης και οι νόρμες σε αυτούς τους χώρους. Θεωρούμε ότι ο XX είναι ένας γραμμικός χώρος διάστασης NN, γεγονός που εξασφαλίζει την ύπαρξη ενός συστήματος γραμμικά ανεξάρτητων στοιχείων xx 1,, xx NN ϵ XX τέτοια ώστε κάθε xx ϵ XX να είναι γραμμικός συνδυασμός των xx 1,, xx NN NN xx = k=1 ξ k xx k, ξ k ϵ C, k = 1,, NN. Υπάρχει μια ένα προς ένα αντιστοίχιση των στοιχείων xx ϵ XX και των συντεταγμένων ξ = ξ k NN k=1 NN. Ορίζουμε xx = ξ k k=1. Το συναρτησιακό αυτό έχει όλες τις ιδιότητες της νόρμας και ο χώρος XX είναι ένας χώρος Banach σε σχέση με την νόρμα αυτή, (για παράδειγμα ο χώρος XX με την παραπάνω νόρμα είναι πλήρης). Η αντιστοίχιση xx ξ αποτελεί έναν ισομετρικό ισομορφισμό των χώρων XX και C NN, (με την στάνταρ νόρμα). Πρόταση: Οποιαδήποτε νόρμα xx στον χώρο XX είναι ισοδύναμη με την xx. Συνεπώς κάθε δύο νόρμες στον χώρο XX είναι ισοδύναμες. 6. Iσοδύναμες νόρμες στον χώρο WW pp ll (). Θεωρούμε τη συνήθη νόρμα στον χώρο W p l (), l ϵ N, 1 p <, ~ 27 ~

28 uu W p l () = a l p ϑa u(x) Lp () 1 q, R d Εισάγουμε στον χώρο C NN την νόρμα l p τύπου από την φόρμουλα pp ƞ C NN = NN ss=1 ƞ ss pp, ƞ εε C NN. Άρα η αρχική σχέση παίρνει την μορφή p uu(xx) W l p () p = ƞ C N, όπου ƞ = ϑ a u(x) Lp (), a l. pp Εάν αντικαταστήσουμε την νόρμα ƞ C NN στην παραπάνω σχέση με μια ισοδύναμη νόρμα του διανύσματος ƞ στον χώρο C NN τότε η σχέση που θα προκύψει θα ορίζει αυτομάτως μια νόρμα στον χώρο W p l (), η οποία θα είναι προφανώς ισοδύναμη με την συνήθη νόρμα. 7. Ο δυικός του WW pp 11 () Συμβολίζουμε με WW p 1 () τον δυικό του W p 1 () και με ΗΗ 1 () τον δυικό του ΗΗ 0 1 (). Ο δυικός του LL 2 () ταυτίζεται με τον LL 2 (). Όμως δεν ταυτίζουμε τον ΗΗ 1 0 () με τον δυικό του, τον ΗΗ 1 (). Έχουμε τις εμφυτεύσεις οι οποίες είναι συνεχείς, 1-1 και πυκνές. ΗΗ 0 1 () LL 2 () ΗΗ 1 () Αν το είναι φραγμένο, τότε οι εμφυτεύσεις W p 1 () LL 2 () WW 1 p () όταν 2Ν pp < + Ν + 2 είναι συνεχείς και πυκνές. Αν το δεν είναι φραγμένο, τοτε οι παραπάνω εμφυτεύσεις ισχύουν όταν 2Ν pp < 2. Ν+2 ~ 28 ~

29 Τα στοιχεία του WW 1 p () χαρακτηρίζονται από το ακόλουθο: Θεώρημα. Αν ΦΦ WW 1 p (), τότε υπάρχουν συναρτήσεις φφ 0, φφ 1, φφ ΝΝ LL pp () τέτοιες ώστε FF, vv = NN φφ 0 vv + φφ ii xx ii ii=1 και FF = mmmmmm 1 ii NN φφ ii LL pp (). Aν το είναι φραγμένο μπορούμε να υποθέσουμε oτι φφ 0 = Το ίχνος στο σύνορο. Στην παράγραφο αυτή θα δούμε ότι μια συνάρτηση του W p 1 () ορίζεται επίσης στο σύνορο του με την προυπόθεση ότι αυτό είναι CC 1. Θεώρημα. Αν το είναι φραγμένο με ομαλό σύνορο CC 1, τότε υπάρχει ένας τελεστής ΤΤ: W p 1 () L p ( ) τέτοιος ώστε 1. TTTT = uu αν uu W p 1 () C( ). 2. TTTT L p ( ) CC uu W 1 p () για κάθε uu W p 1 () με την σταθερά CC να εξαρτάται μόνον απο το και το p. Η εικόνα του Τ είναι ο χώρος 1 1pp W p ( ) = u L p ( ): u(x) u(y) L p ( ). N +p 1 x y p H TTTT θα λέγεται το ίχνος της u στο σύνορο. ~ 29 ~

30 Όπως διατυπώνεται στο παρακάτω θεώρημα, οι συναρτήσεις του W p 1 () έχουν μηδενικό ίχνος στο. Θεώρημα. Υποθέτουμε ότι το είναι φραγμένο με ομαλό σύνορο CC 1 και uu W 1 p (). Τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα 1. uu W p 1 () 2. TTTT = 0 στο. Θεώρημα (Green). Έστω ότι το είναι φραγμένο με ομαλό σύνορο CC 1 και uu, vv ΗΗ 1 (). Tότε για i=1, N, έχουμε uu xx ii vv = vv uu + TTTTTTTTηη xx ii, ii όπου ηη ii είναι η i-συνιστώσα του μοναδιαίου κάθετου διανύσματος στο σημείο x του. ~ 30 ~

31 Κεφάλαιο 5 : Εφαρμογές σε ελλειπτικά συνοριακά προβλήματα. Θα δούμε τώρα το θεώρημα του Riesz το οποίο θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια. Θεώρημα (Riesz). Έστω Η ένας χώρος Hilbert και ll: HH R ένα συνεχές γραμμικό συναρτησιακό. Τότε υπάρχει ένα μοναδικό vvvvvv τέτοιο ώστε ll(uu) = (uu, vv). Επίσης, ll = vv. Απόδειξη. Θεωρούμε τον πυρήνα NN = {zz ϵ HH: ll(zz) = 0} του ll. O NN είναι ένας κλειστός υπόχωρος του HH. Αν NN = HH, τότε ισχύει ότι ll(uu) = 0 γγγγγγ κκάθθθθ uu ϵ HH οοοοόττττ ll = 0. Αν NN HH, τότε NN {0}. Άρα υπάρχει uu 0 0 σσσσσσ NN, οπότε ll(uu 0 ) 0. Παρατηρούμε ότι αν uu ϵ HH, τότε uu ll(uu) uu ll(uu 0 ) 0 ϵ NN, επειδή Επειδή uu 0 ϵ NN, έχουμε οπότε ll uu ll(uu) ll(uu 0 ) uu 0 = ll(uu) ll(uu) ll(uu 0 ) uu 0 = 0. uu ll(uu) ll(uu 0 ) uu 0, uu 0 = 0, Αν ορίσουμε υυ = ll(uu 0) υυ uu 0 0, τότε ll(uu) = (uu, υυ). 2 (uu, uu 0 ) = ll(uu) uu 0 2 ll(uu 0 ). Θα αποδείξουμε ότι το υυ είναι μοναδικό. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει άλλο ένα υυ με αυτή την ιδιότητα, τότε δηλαδή uu υυ HH, που σημαίνει ότι uu = υυ. Παρατηρούμε ότι για κάθε uu ϵ HH\{0} έχουμε (uu,υυ) uu HH Έτσι (uu, υυ) = (uu, υυ ) γγγγγγ κκάθθθθ uu ϵ HH, υυ HH, και για uu = υυ ισχύει ότι (uu,υυ) uu HH = υυ HH. ll = sup ll(uu) sup (uu, υυ) = = υυ 0 uu ϵ HH uu HH 0 uu ϵ HH uu HH. HH ~ 31 ~

32 1. Η εξίσωση Poisson με συνοριακές συνθήκες Dirichlet. Έστω μια φραγμένη περιοχή. Θεωρούμε το πρόβλημα uu = FF(xx), uu ϑ = gg xx ϵ (1) Παρατηρούμε ότι άν η uu είναι μια λύση του (1) και η ΦΦ(. ) είναι μια συνάρτηση στην περιοχή τέτοια ώστε ΦΦ ϑ = gg, τότε η συνάρτηση υυ(xx) = uu(xx) ΦΦ(xx) είναι λύση του προβλήματος όπου ff(xx) = FF(xx) + ΦΦ(xx), υυ = ff(xx), xx ϵ, (2) υυ ϑ = 0 Θα μελετήσουμε κατ αρχάς το πρόβλημα (2) με την ομογενή συνοριακή συνθήκη. Στην κλασσική του μορφή το πρόβλημα αυτό μελετάται όταν το σύνορο είναι επαρκώς λείο, ffϵ CC l ( ) με λύση υυ ϵ CC 2 ( ). Τώρα θα ορίσουμε την ασθενή λύση του προβλήματος (2). Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση υυ = ff με την δοκιμαστική συνάρτηση φ ϵ C 0 () και ολοκληρώνοντας πάνω στην περιοχή, έχουμε ότι υυ φ dddd = ff φφ dddd, γγγγγγ κκάθθθθ φ ϵ C 0 (). (3) Το αριστερό μέλος της παραπάνω ισότητας είναι καλά ορισμένο για κάθε συνάρτηση υυ ϵ H 1 () = W 2 1 (), φ ϵ H 1 (), το δε δεξί μέλος της σχέσης είναι επίσης καλά ορισμένο για κάθε ff ϵ H 1 () και φ ϵ H 1 (). Η συνοριακή συνθήκη υυ ϑ = 0 έχει νόημα επειδή υυ ϵ H 1 (), οπότε το ίχνος της στο σύνορο είναι μηδέν. Ορισμός: Έστω φραγμένη περιοχή. Μια συνάρτηση υυϵ H 1 () καλείται ασθενής λύση του προβλήματος Dirichlet (2) με ffϵ H 1 (), εάν η υυ ικανοποιεί την ιδιότητα (3) για κάθε συνάρτηση φ ϵ H 1 (). Θεώρημα 1:Θεωρούμε μια φραγμένη περιοχή. Τότε για κάθε ff H 1 () υπάρχει μοναδική ασθενής λύση υυ ϵ H 1 () του προβλήματος Dirichlet (2) και υυ H 1 () CC ff H 1 (). ~ 32 ~

33 Επιστρέφουμε τώρα στο αρχικό μας πρόβλημα (1) έχοντας με την μη ομογενή συνοριακή συνθήκη uu ϑ = g. Υποθέτουμε ότι μια φραγμένη περιοχή με σύνορο CC 1. Τότε ο τελεστής ίχνους ΤΤ είναι συνεχής από τον H 1 () στον H 1 2 (ϑ): Θεωρούμε το πρόβλημα ΤΤ: H 1 () H 1 2 (ϑ). uu = FF, ΤΤΤΤ = uu ϑ = g(xx) xx ϵ με FF ϵ H 1 () και g ϵ H 1 2 (ϑ). Η uu αποτελεί μια ασθενή λύση της αρχικής εξίσωσης (1) εάν uu ϵ H 1 (), dddd = FF φφ dddd, γγγγγγ κκάθθθθ φφ ϵ C 0 (n ), και ΤΤΤΤ = g. Θεώρημα 2: Θεωρούμε μια φραγμένη περιοχή μα σύνορο CC l. Έστω FF ϵ H 1 () και g ϵ H 1 2 (ϑ). Τότε υπάρχει μοναδική ασθενής λύση uu ϵ H 1 () του προβλήματος (1) με uu H 1 () CC FF H 1 () + g H 1 2(ϑ). 2. Dirichlet πρόβλημα με φασματική παράμετρο. Θεωρούμε το πρόβλημα uu = λλ uu + ff(xx) (4) uu ϑ = 0 με παράμετρο λλ, όπου είναι φραγμένη περιοχή. Ορισμός: Θεωρούμε μια περιοχή και ffϵ H 1 (). Με uu ϵ H 1 () θα συμβολίζουμε την ασθενή λύση του παραπάνω προβλήματος (4) η οποία ικανοποιεί την ισότητα φφ dddd = λλ uu φφ dddd + ff(xx) φφ dddd, για κάθε φφ ϵ H 1 (). Όπως και πριν με [uu, φφ] = γινόμενο στον χώρο H 1 (). Η συνάρτηση φφ dddd συμβολίζουμε το εσωτερικό uu φφ dddd, uu, φφ ϵ H 1 (), είναι συνεχής στον χώρο H 1 (). Σύμφωνα με το θεώρημα του Riesz υπάρχει AAuu ϵ H 1 () τέτοιο ώστε [AAuu, φφ] = uu φφ dddd, όπου AA γραμμικός συνεχής τελεστής στον χώρο H 1 (). ~ 33 ~

34 Προφανώς [AAuu, φφ] = [uu, AAAA], γγγγγγ κκάθθθθ φφ, uu ϵ H 1 (). Άρα ο τελεστής AA ικανοποιεί την AA = AA. Επειδή [AAuu, uu] = uu 2 dddd > 0 όταν uu 0, ο τελεστής AA είναι θετικός. Λήμμα: Ο τελεστής AA είναι συμπαγής στον χώρο H 1 (). Όπως πριν, το συναρτησιακό l ff (φφ) = ffφφ dddd, με ff ϵ H 1 () είναι ένα συνεχές γραμμικό συναρτησιακό στον φφ ϵ H 1 (). Σύμφωνα με το θεώρημα του Riesz υπάρχει ένα μοναδικό στοιχείο υυ ϵ H 1 () τέτοιο ώστε ff(xx) φφ(xx) dddd = [υυ, φφ], γγγγγγ κκάθθθθ φφ ϵ H 1 () και ff H 1 () = υυ H 1 (). Ξαναγράφουμε την παραπάνω ιδιότητα της ασθενούς λύσης στην μορφή [uu, φφ] = λλ[aauu, φφ] + [υυ, φφ], γγγγγγ κκάθθθθ φφ, uu ϵ H 1 (), η οποία είναι ισοδύμναμη με την εξίσωση: uu λλ AA uu = υυ, όπου η συνάρτηση υυ ϵ H 1 () είναι δεδομένη και αναζητούμε για την λύση uu ϵ H 1 (). Για τον λόγο αυτό περιορίζουμε το αρχικό πρόβλημα (4) στην αυθαίρετη εξίσωση uu λλ AA uu = υυ (5) με συμπαγή τελεστή AA στον χώρο Hilbert H 1 (). Στην συνέχεια θα αναλύσουμε την παραπάνω εξίσωση (5) χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των συμπαγών τελεστών. Υποθέτουμε ότι υυ = 0 (ff = 0): οπότε Θέτοντας μμ = 1 λλ, έχουμε uu = λλ uu, xx ϵ ) uu ϑ = 0 uu λλ AA uu = 0. AA uu = μμ uu. ~ 34 ~

35 Είναι γνωστό ότι το φάσμα ενός συμπαγούς τελεστή είναι διακεκριμένο, δηλαδή αποτελείται από ιδιοτιμές οι οποίες μπορεί να συσσωρεύονται μόνο στο σημείο μμ = 0, κάθε ιδιοτιμή είναι πεπερασμένης πολλαπλότητας και πιο συγκεκριμένα dim ker(aa μμ jj II) <. Στην περίπτωση που εξετάζουμε AA = AA > 0, γεγονός που καθορίζει ότι οι ιδιοτιμές του Α είναι θετικές. Απαριθμούμε τις ιδιοτιμές σε μη αυξανόμενη σειρά μετρώντας τις πολλαπλότητες μμ 1 μμ 2.Τότε κάθε ιδιοτιμή αντιστοιχεί σε μια ιδιοσυνάρτηση uu jj : AA uu jj = μμ jj uu jj, jj N. Οι ιδιοσυναρτήσεις uu jj είναι γραμμικά ανεξάρτητες και μμ jj jj 0. Άρα οι ιδιοτιμές λλ jj = 1 μμ jj του προβλήματος Dirichlet ικανοποιούν 0 < λλ 1 λλ 2.., και λλ jj jj. Έτσι έχουμε το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα 3: Το φάσμα του προβλήματος Dirichlet είναι διακεκριμένο. Υπάρχει μια μη τετριμμένη λύση μόνο στην περίπτωση που λλ = λλ jj, jj N. Όλες οι ιδιοτιμές είναι θετικές και έχουν πεπερασμένες πολλαπλότητες. Το μοναδικό σημείο συσσώρευσης είναι το άπειρο: jj λλ jj. Υποθέτουμε ότι υυ 0 (ff 0): οπότε uu = λλ uu + ff, xx uu ϑ = 0 uu λλ AA uu = υυ. Γνωρίζουμε ότι για έναν συμπαγή τελεστή AA, εάν λλ λλ jj (= 1 μμ jj ), jj N τότε ο τελεστής (II λλ jj AA) 1 είναι φραγμένος. Άρα η εξίσωση (II λλ jj AA) 1 vv = uu έχει μοναδική λύση και uu H 1 () (II λλ jj AA) 1 υυ H 1 (), όπου (II λλ jj AA) 1 = CC λλ. Επειδή υυ H 1 () = ff H 1 (), καταλήγουμε στο επόμενο θεώρημα. ~ 35 ~

36 Θεώρημα 4: Υποθέτουμε ότι λλ λλ jj jj N, δηλαδή ο λλ δεν αποτελεί ιδιοτιμή. Τότε για κάθε ff H 1 () υπάρχει μοναδική (ασθενής) λύση του προβλήματος uu H 1 () με uu H 1 () CC λλ ff H 1 (). Τώρα υποθέτουμε ότι λλ = λλ jj και uu 0, (ff 0). Τότε η εξίσωση uu λλ jj AA uu = υυ έχει λύση υπο την προυπόθεση ότι η υυ ικανοποιεί την συνθήκη : υυ ker (II λλ jj AA). Έτσι συμπεραίνουμε ότι η υυ είναι ορθογώνια (αναφορικά με το εσωτερικό γινόμενο [.,.]) στον χώρο H 1 () προς ολες τις ιδιοσυναρτήσεις φφ jj (kk), kk = 1,, pp, που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή λλ jj (όπου pp είναι η πολλαπλότητα της ιδιοτιμής λλ jj ). Επειδή [υυ, φφ] = ff(xx) φφ(xx) dddd, η παραπάνω συνθήκη είναι ισοδύναμη με την (kk) ff(xx) φφ jj (xx) dddd = 0, γγγγγγ κκάθθθθ kk = 1,, pp. (6) pp (kk) Παρατηρούμε ότι κάθε άθροισμα της μορφής jj =1 cc jj φφ jj, cc jj R, είναι λύση της (4). Θεώρημα 5: Εάν λλ = λλ jj αποτελεί μια ιδιοτιμή του προβλήματος Dirichlet, και φφ jj (kk), kk = 1,, pp, είναι οι αντίστοιχες γραμμικώς ανεξάρτητες ιδιοσυναρτήσεις, τότε το πρόβλημα έχει λύση για κάθε ff H 1 (), το οποίο ικανοποιεί τις συνθήκες (6). Η λύση δεν είναι μοναδική και λαμβάνει την εξής μορφή Όπου η uu 0 είναι μια τυχαία λύση και cc jj R. (kk) uu = uu 0 + cc jj φφ jj, pp jj =1 3. Θεώρημα Hilbert-Schmidt Εφαρμόζουμε το θεώρημα Hilbert-Schmidt για συμπαγείς τελεστές και καταλήγουμε στο ακόλουθο αποτέλεσμα: Έστω λλ 1 λλ 2 οι ιδιοτιμές του προβλήματος Dirichlet, οι οποίες επαναλαμβάνονται ανάλογα με την πολλαπλότητα τους. ~ 36 ~

37 Υπάρχει ένα ορθογώνιο σύστημα ιδιοσυναρτήσεων {φφ jj } jj N : φφ jj λλ jj AAφφ jj = 0, jj N, φφ jj, φφ l = 0, jj l. Από το φασματικό θεώρημα των Hilbert-Schmidt οι ιδιοσυναρτήσεις {φφ jj } jj N αποτελούν μια ορθογώνια βάση στον χώρο H 1 (). Πιο συγκεκριμένα κάθε uu H 1 () γράφεται uu,φφ jj, uu = jj =1 φφ jj. φφ jj,φφ jj H ανά δύο καθετότητα των ιδιοσυναρτήσεων φφ jj ισχύει επίσης στον χώρο L 2 (). Πράγματι, ΑΑφφ jj, φφ l = φφ jj φφ l dddd = μμ jj φφ jj, φφ l = 0, όττττττ jj l. Έτσι, uu, φφ jj = λλ jj uu, ΑΑΑΑ jj = λλ jj uu φφ jj dddd, φφ jj, φφ jj = λλ jj AA φφ jj, φφ jj = λλ jj φφ jj 2 dddd, δηλαδή uu,φφ jj = uu φφ jj dddd, φφ jj,φφ jj φφ jj 2 dddd = uu,φφ jj L 2 ( ) φφ jj L 2 ( ) uu,φφ jj L 2 ( ) 2 και uu = jj =1 2 φφ jj. φφ jj L 2 ( ) Έχουμε λοιπόν το παρακάτω θεώρημα Θεώρημα 6: Έστω μια φραγμένη περιοχή. Τότε υπάρχει ένα ορθογώνιο σύστημα ιδιοσυναρτήσεων {φφ jj } jj N του προβλήματος Dirichlet που αποτελεί μια βάση για τους χώρους L 2 () και H 1 (). ~ 37 ~

38 Κεφάλαιο 6 : Βιβλιογραφία R.A. Adams, J.J.F. Fournier, Sobolev Spaces, Academic Press. H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer. Weidl, Sobolev Spaces, διαδικτυακές σημειώσεις. ~ 38 ~