ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α.ΛΥΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Ι

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Α.ΛΥΣΕΙΣ ΟΜΑ Α Ι α) Η ποσότητα ζήτησης ενός αγαθού εξαρτάται από την µοναδιαία τιµή του P και από το εισόδηµα Y, σύµφωνα µε την σχέση: = P Y. Αν η τιµή αυξηθεί κατά %, να εκτιµηθεί πόσο πρέπει να µεταβληθεί το εισόδηµα ώστε να µην αλλάξει η ζήτηση. β) Η συνολική δαπάνη για την αγορά ενός αγαθού είναι E= P, όπου είναι η ποσότητα και P η µοναδιαία τιµή. Αν η ποσότητα αυξηθεί κατά 6% και η τιµή ελαττωθεί κατά 4% να εκτιµηθεί η ποσοστιαία µεταβολή στη συνολική δαπάνη. Η πραγµατική µεταβολή θα είναι µεγαλύτερη ή µικρότερη από την παραπάνω εκτίµηση; α) Για σταθερή ζήτηση = qτα {P,Y} θα ικανοποιούν την εξίσωση: P Υ= q Υ= qp Έχουµε συνάρτηση δύναµη, οπότε η ελαστικότητα του Y ως προς P για σταθερό = q, θα είναι: ε=. Εποµένως η απαιτούµενη µεταβολή της τιµής θα ικανοποιεί: %dυ= ε(%dp) = = 4%, αύξηση β) Η εκτίµηση των µεταβολών δίνεται από τα διαφορικά. Στο γινόµενο τα ποσοστιαία διαφορικά προστίθενται. Εποµένως: %de = %d + %dp= 6 4= % είναι η εκτίµηση για την µεταβολή της δαπάνης. Έχουµε αύξηση %. Η πραγµατική µεταβολή της δαπάνης είναι µικρότερη: E = (+ )(P+ P) P= P + P+ P E P P P P P = + + = + + E E E E P P % % P 6 4 % E = % + % P+ = 6 4 =.4=.76% α) Η ποσότητα ζήτησης ενός αγαθού εξαρτάται από την µοναδιαία τιµή του P και από το εισόδηµα Y, σύµφωνα µε την σχέση: = P+ Y+. Αν αρχικά έχουµε {P=, Y= }, και στη συνέχεια το εισόδηµα αυξηθεί κατά %, να βρεθεί σε τι ποσοστό πρέπει να αυξηθεί η τιµή ώστε να µην αλλάξει η ζήτηση. β) Η συνολική δαπάνη για την αγορά ενός αγαθού είναι E= P, όπου είναι η ποσότητα και P η µοναδιαία τιµή. Αν η ποσότητα αυξηθεί κατά 6% και η τιµή αυξηθεί επίσης κατά 6% να εκτιµηθεί η ποσοστιαία αύξηση στη συνολική δαπάνη. Η πραγµατική αύξηση θα είναι µεγαλύτερη ή µικρότερη από την παραπάνω εκτίµηση; α) Για σταθερό = qτα {P,Y} θα ικανοποιούν την εξίσωση: P+ Y+ = q P= Y+ q P = Η ελαστικότητα του P ως προς Y µε σταθερό θα είναι: ε= P Y /P= / = Εποµένως η απαιτούµενη µεταβολή της τιµής είναι: %dp= ε(%dy) = = % β) Στο γινόµενο τα ποσοστιαία διαφορικά προστίθενται. Εποµένως: %de = %d + %dp= % είναι η εκτίµηση για τη ν αύξηση της δαπάνης. Στην πραγµατικότητα η αύξηση θα είναι λίγο µεγαλύτερη, διότι οι µεταβολές ικανοποιούν τη σχέση: E = (+ )(P+ P) P= P + P+ P E P P P P P = + + = + + E E E E P P % % P % E = % + % P+ = 6+ 6 +.36=.36%

3 Το ετήσιο έσοδο από την πώληση ενός προϊόντος είναι E= P, όπου P είναι η µοναδιαία τιµή του και η ποσότητα ζήτησης. ίνεται ότι η τιµή ελαττώνεται µε ρυθµό.5% ετησίως, και ότι η ελαστικότητα ζήτησης είναι ε=. (α). Να προσδιοριστεί αν το έσοδο θα µεγαλώνει ή θα µικραίνει, και να εκτιµηθεί ο ετήσιος ρυθµός µεταβολής του. (β). Να εκτιµηθεί το ύψος του ετήσιου εσόδου µετά την παρέλευση 4 ετών αν το τωρινό έσοδο είναι E =... Η ετήσια ποσοστιαία µεταβολή γινοµένου ισούται µε το άθροισµα των ετήσιων ποσοστιαίων µεταβολών των όρων: %de = %d + %dp όπου: %dp=.5% ετησίως. H ετήσια ποσοστιαία µεταβολή της ζήτησης: %d ισούται µε το γινόµενο της ελαστικότητας µε την ετήσια ποσοστιαία µεταβολή της τιµής: %d= ε(%dp) = ( )(.5%) = % 3 Αντικαθιστώντας στο, βρίσκουµε: %de=.5=.5% α) Συµπεραίνουµε ότι το έσοδο αυξάνει µε ρυθµό.5% ετησίως, δηλαδή µεταβάλλεται µε σχετικό ρυθµό: r =.5. β) Υποθέτοντας σταθερό σχετικό ρυθµό το έσοδο θα µεταβάλλεται εκθετικά, οπότε µετά από 4 έτη θα είναι: rt (.5)4. E= Ee = e = e [ + (.) + (.) / ] =. Στον τελευταίο υπολογισµό χρησιµοποιήσαµε την παραβολική προσέγγιση του εκθετικού. 4 α) Αν το εθνικό εισόδηµα Y αυξηθεί 3%, και ο πληθυσµός L µειωθεί %, να εκτιµηθεί η µεταβολή του κατά κεφαλή εισοδήµατος y= Y / L. β) Αν το εισόδηµα A του συζύγου αυξηθεί 3% και το εισόδηµα B της συζύγου ελαττωθεί 3%, να εκτιµηθεί η µεταβολή του οικογενειακού εισοδήµατος = A+ B. α) Στη διαίρεση οι ποσοστιαίες µεταβολές, όπως και οι ελαστικότητες, αφαιρούνται. Εποµένως το κατά κεφαλή εισόδηµα θα µεταβληθεί κατά: %dy = %dy %dl= 3 ( ) = 5%, δηλαδή θα αυξηθεί κατά 5% β) εν υπολογίζεται χωρίς να ξέρουµε την συµµετοχή των εισοδηµάτων στο συνολικό εισόδηµα, διότι οριακά, η σχετική και η ποσοστιαία µεταβολή αθροίσµατος γράφεται d A da B db A B d= da+ db = + %d = (%da) + (%db) A B 5 Έχει διαπιστωθεί ότι ο δείκτης τιµών P εξαρτάται θετικά από την δαπάνη κατανάλωσης η οποία εξαρτάται αρνητικά από το επιτόκιο καταθέσεων r, όπου:. Η ελαστικότητα του P ως προς είναι.5.. Αύξηση του r κατά.5 προκαλεί µείωση του κατά % Να εκτιµηθεί πόσο πρέπει να µεταβληθεί το επιτόκιο ώστε ο δείκτης τιµών να υποχωρήσει κατά %. Έχουµε σύνθεση: {P= P() & = (r)} P= P(r) µε %dp %dp %d =. dr %d dr όπου: %dp =.5 (ελαστικότητα) και %d %dp = = 4 = (.5)( 4) = %d dr.5 dr

Βρήκαµε: %dp= dr Εποµένως για %dp= % θα πρέπει να µεταβάλλουµε το επιτόκιο κατά dr = / =, δηλαδή να το αυξήσουµε µια µονάδα.. Πρακτικά, για µείωση του P κατά % πρέπει η δαπάνη κατανάλωσης να µειωθεί 4% και εποµένως το επιτόκιο να αυξηθεί κατά 6 Σε µια οικονοµία µε εθνικό εισόδηµα Y, ο πληθυσµός L αυξάνει συνεχώς µε ετήσιο ρυθµό %. Να βρεθούν: α) Ο ρυθµός µεταβολής του κατά κεφαλή εισοδήµατος y= Y / L αν το εθνικό εισόδηµα Y αυξάνει µε ρυθµό % β) Ο ελάχιστος ρυθµός αύξησης του εθνικού εισοδήµατος Y που θα επιτρέψει στο κατά κεφαλή εισόδηµα y= Y / L να διπλασιαστεί σε χρόνια.. Ο ποσοστιαίος ρυθµός µεταβολής του λόγου δίνεται από την διαφορά των ποσοστιαίων ρυθµών µεταβολής των δύο όρων: %r = %r %r y Y L Εποµένως: α) Το κατά κεφαλή εισόδηµα θα µεταβάλλεται µε ρυθµό %ry = % % = %, δηλαδή θα ελαττώνεται µε ετήσιο ρυθµό %. β) Γενικότερα, αν το εθνικό εισόδηµα αυξάνει µε ρυθµό x%, τότε το κατά κεφαλή εισόδηµα θα αυξάνει µε ρυθµό (x )%, δηλαδή µε συντελεστή: r y = (x ) / Αν το αρχικό κατά κεφαλή εισόδηµα είναι y, τότε µετά από χρόνια θα είναι: ry = ye y Εποµένως θα είναι διπλάσιο του αρχικού αν ικανοποιείται η συνθήκη: ry y y = y y e = y r = (ln) / Αντικαθιστώντας βρίσκουµε για το x : (x ) / = (ln) / x= + 5ln ηλαδή το εθνικό εισόδηµα πρέπει να αυξάνει µε ρυθµό τουλάχιστον 5ln 5(.7) = 3.5% µεγαλύτερο από τον ρυθµό αύξησης του πληθυσµού. 7 Σε µια οικονοµία µε εθνικό εισόδηµα E, το χρέος X αυξάνει συνεχώς µε ετήσιο ρυθµό %. Να βρεθούν: α) Ο ρυθµός µεταβολής του χρέους ως ποσοστού του εθνικού εισοδήµατος: x= X / E, αν το εθνικό εισόδηµα E αυξάνει µε ετήσιο ρυθµό 3% β) Ο ελάχιστος ρυθµός αύξησης του εθνικού εισοδήµατος E έτσι ώστε το χρέος ως ποσοστό του εισοδήµατος να ελαττωθεί στο ήµισυ σε t= έτη.. Ο ποσοστιαίος ρυθµός µεταβολής του λόγου δίνεται από την διαφορά των ποσοστιαίων ρυθµών µεταβολής των δύο όρων. Εποµένως: α) Το χρέος ως ποσοστό του εισοδήµατος θα µεταβάλλεται µε ρυθµό %rx = % 3% = %, δηλαδή θα ελαττώνεται µε ετήσιο ρυθµό %. β) Για να ελαττώνεται το χρέος ως ποσοστό του εισοδήµατος θα πρέπει καταρχήν το εισόδηµα να αυξάνει µε µεγαλύτερο ρυθµό απότι το χρέος. Έστω r % ο ρυθµός µεταβολής του εισοδήµατος. Τότε το χρέος ως ποσοστό του εισοδήµατος θα µεταβάλλεται µε ρυθµό ( r)%, δηλαδή θα µεταβάλλεται εκθετικά µε συντελεστή: ( r) /. Εποµένως µετά από έτη θα είναι: r ( r)/5 = = x x e x e Σε έτη θα είναι το ήµισυ του αρχικού αν ικανοποιείται η συνθήκη: x = x / x e ( r )/5 = x / ( r) / 5= ln r = + 5ln 3

ηλαδή το εθνικό εισόδηµα πρέπει να αυξάνει µε ρυθµό τουλάχιστον 5ln 5(.7) = 3.5% µεγαλύτερο από τον ρυθµό αύξησης του χρέους. 8 Σε µια εθνική οικονοµία, το εθνικό εισόδηµα Y αυξάνει συνεχώς µε ετήσιο ρυθµό 4% και ο πληθυσµός L αυξάνει συνεχώς µε ετήσιο ρυθµό %. Να βρεθούν τα παρακάτω: α) Ο ετήσιος ρυθµός µεταβολής του κατά κεφαλή εισοδήµατος y= Y / L. β) Το κατά κεφαλή εισόδηµα στο τέλος µιας δεκαετίας αν στην αρχή της ήταν χιλιάδες ευρώ, υποθέτοντας τους παραπάνω ρυθµούς σταθερούς.. Ο σχετικός και ο ποσοστιαίος ρυθµός πηλίκου δίνεται από την διαφορά των αντίστοιχων ρυθµών των όρων. Εποµένως το κατά κεφαλή εισόδηµα µεταβάλλεται µε ετήσιο ποσοστιαίο ρυθµό: %r = %r %r = 4 = 3% y Y L. Εφόσον το κατά κεφαλή εισόδηµα µεταβάλλεται µε σχετικό ρυθµό ry = 3 /=.3, θα εξελίσσεται εκθετικά, και µετά από έτη θα είναι: (.3).3 y() = y()e y() = e (+.3) 3 (γραµµική προσέγγιση) Παρατήρηση. Έχουµε τις σχέσεις: Y= Y(t), L= L(t), y(t) = Y(t) / L(t). Συµβολίζοντας µε πάνω τελεία την παράγωγο ως προς τον χρόνο t, βρίσκουµε για τους ετήσιους σχετικούς ρυθµούς: y ɺ Y ɺ L ɺ yɺ ryt (ry r L )t ry = = = ry rl εποµένως: = ry y(t) = y()e = y()e y Y L y 9 Σε µια οικογένεια το εισόδηµα της συζύγου είναι τριπλάσιο από αυτό του συζύγου. Αν το εισόδηµα της συζύγου µειωθεί κατά %, τότε: α) Πόσο θα µεταβληθεί το οικογενειακό εισόδηµα αν το εισόδηµα του συζύγου αυξηθεί κατά %? β) Πόσο πρέπει να αυξηθεί το εισόδηµα του συζύγου ώστε το οικογενειακό εισόδηµα να παραµείνει το ίδιο?. A το εισόδηµα του συζύγου, B= 3A της συζύγου, = A+ B= 4A το συνολικό. α) Για την µεταβολή του συνολικού εισοδήµατος, βρίσκουµε: d A da B db A B 3 d= da+ db = + %d = (%da) + (%db) = () + ( ) = % A B 4 4 Το συνολικό εισόδηµα µειώθηκε % β) Το οικογενειακό δεν θα µεταβληθεί αν το εισόδηµα του συζύγου αυξηθεί κατά: A B 3 %d = (%da) + (%db) = (%da) + (%db) = %da = 3(%dB) = 6% 4 4. Το αρχικό συνολικό εισόδηµα είναι E= A+ B= A+ 3A= 4A α). Η µεταβολή του οικογενειακού εισοδήµατος είναι: de= da+ db= A / B / = A / (3A) / = 4A / Συµπεραίνουµε ότι το συνολικό εισόδηµα θα µεταβληθεί κατά: de 4A / % de= = = %, θα µειωθεί % E 4A β) Αν το εισόδηµα της συζύγου µειωθεί % τότε το εισόδηµά της θα µειωθεί κατά το ποσό: db= B / = 6A / Για να µείνει το οικογενειακό εισόδηµα αµετάβλητο θα πρέπει το εισόδηµα του συζύγου να αυξηθεί κατά το ίδιο ποσό: da = 6Κ / Εποµένως η ποσοστιαία µεταβολή του θα πρέπει να είναι: da 6A %d A= = = 6% A A 4

Σε µια οικογένεια το εισόδηµα της συζύγου είναι τριπλάσιο από αυτό του συζύγου. Αν το εισόδηµα της συζύγου αυξηθεί κατά % και το εισόδηµα του συζύγου αυξηθεί κατά 3%, να εκτιµηθεί η αύξηση του οικογενειακού εισοδήµατος.. Θέτουµε: A, εισόδηµα του συζύγου B= 3A, εισόδηµα του συζύγου E= A+ B= 4A, οικογενειακό εισόδηµα Παρατήρηση. Η ποσοστιαία αύξηση του συνολικού εισοδήµατος θα είναι ανάµεσα: % %df 3% µάλιστα πιο κοντά στο % της συζύγου που έχει το µεγαλύτερο εισόδηµα. Για την µεταβολή του οικογενειακού εισοδήµατος βρίσκουµε: de A da B db A B de= da+ db = + %de = (%da) + (%db) E E A E B E E ηλαδή, ζυγίζουµε την κάθε ποσοστιαία αύξηση µε τον αντίστοιχο συντελεστή συµµετοχής στο συνολικό εισόδηµα. Αντικαθιστώντας, βρίσκουµε: A 3A 9 %de= 3+ = =.5% 4A 4A 4 Το εισόδηµα πριν και µετά την αύξηση είναι αντίστοιχα: A+ B,.3A+.B Η σχετική µεταβολή θα είναι: (.3A +.B) (A+ B) A B 3 =.3+.=.3+.=.5 A+ B A+ B A+ B 4 4 Βρήκαµε ποσοστιαία µεταβολή:.5%, όπως και προηγουµένως. Το συνολικό εισόδηµα Y ενός πληθυσµού N ήταν {Y =, Y = 5} δισεκατοµµύρια ευρώ κατά τα έτη {t=, t = }, αντίστοιχα. Να εκτιµηθεί ο ετήσιος ποσοστιαίος ρυθµός µεταβολής του εισοδήµατος. Από τον ορισµό βρίσκουµε την εκτίµηση: Y / Y (Y Y ) / Y 5 / ry = = = =.5 %ry = ry =.5% t t t 4. Αντί του αρχικού Υ µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το ενδιάµεσο: Υ ɶ = (Υ + Y ) / = (+ 5) / = 5 Οπότε θα βρούµε την εκτίµηση: Y / Y (Y Y ) / Yɶ 5 / 5 ry = = = =. %ry = ry =.% t t t 45 3. Καλλίτερη εκτίµηση του σχετικού ρυθµού µεταβολής του εισοδήµατος βρίσκεται χρησιµοποιώντας την ηµιλογαριθµική κλίµακα: lny lny ln(y / Y ) ln(5 / ) ln(.5) %r = r = ln.5 r = = = = t t t t [.5 (.5) / ]. όπως στη λύση. Παρατήρηση. Χρησιµοποιήσαµε την παραβολική προσέγγιση του λογαρίθµου: ln(+ x) x x / για x 5

Σε µια εθνική οικονοµία, το εθνικό εισόδηµα Y και ο πληθυσµός L κατά τα έτη {t=, t = }, βρέθηκαν να έχουν αντίστοιχα τις τιµές: {Y = 5, Y = 6} δισεκατοµµύρια ευρώ {L =, L = } εκατοµµύρια πληθυσµός α) Να εκτιµηθούν ο ετήσιος ποσοστιαίος ρυθµός µεταβολής του εθνικού εισοδήµατος, του πληθυσµού, και του κατά κεφαλή εισοδήµατος y= Y / L. β) Να εκτιµηθεί το κατά κεφαλή εισόδηµα το έτος t= σε χιλιάδες ευρώ. Y / Y (Y Y ) / Y / 5 α) ry = = = =. %ry = ry = % t t t 5 L / L (L L ) / L / r = = = =. %r = r = % L l L t t t y= Y / L r = r r..=. %r = r = % y Y L y y Μεταβάλλονται µε ρυθµό {%ry = %, rl = %, ry = %} ετησίως, αντίστοιχα. β). Μεγέθη που µεταβάλλονται µε σταθερό σχετικό ρυθµό εξελίσσονται εκθετικά, οπότε µετά από χρόνια το κατά κεφαλή εισόδηµα θα είναι: ry (.). y() y()e = y()e = y()e Το ετήσιο κατά κεφαλή εισόδηµα το, είναι: 6 δισεκατοµµύρια ευρώ εκατοµµύρια πληθυσµό = 6χιλιάδες ευρώ κάτοικο Εποµένως το κατά κεφαλή εισόδηµα το έτος, θα είναι:. 6 6 χιλιάδες ευρώ y() y()e ( + + ) =.5 6.3 κάτοικο. Εναλλακτικά µπορούµε να εκτιµήσουµε τον ετήσιο ποσοστιαίο ρυθµό µεταβολής του κατά κεφαλή εισοδήµατος, όπως τα δύο πρώτα. Έχουµε: Y 5 Y 6 y= = = 5, y = = L L 6 5 / 5 y / y (y y ) / y (6 55) r y = = = = %ry.9 t ()()(5) Σαυτή την περίπτωση θα βρούµε: ry 6.9 y() y()e = e 6 6 χιλιάδες ευρώ (+.9+.4) =.95 58.9 κάτοικο Παρατήρηση. Για υπολογισµούς, στα παραπάνω χρησιµοποιήσαµε την παραβολική προσέγγιση του εκθετικού: x e + x+ x για µικρά x 3 Ένα µονοπώλιο παράγει ποσότητα την οποία διαθέτει µε µοναδιαία τιµή P που καθορίζεται από την φθίνουσα συνάρτηση ζήτησης = (P). Να διαπιστωθεί ότι καθώς η τιµή αυξάνει το έσοδο R= P θα αυξάνει όταν η ζήτηση είναι ανελαστική.. Η συνθήκη ανελαστικότητας γράφεται: P P EP = < EP= >, διότι είναι αρνητική 6

Το έσοδο αυξάνει όταν η παράγωγος του εσόδου ως προς P είναι θετική: P R = + P > P > > που είναι ακριβώς η συνθήκη ανελαστικότητας. Επειδή τα µεγέθη είναι θετικά η παράγωγος και η ελαστικότητα έχουν το ίδιο πρόσηµο οπότε αντί της παραγώγου µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την ελαστικότητα: R= P E R= E P+ E = + E > E > P p P P P που είναι ακριβώς η συνθήκη ανελαστικότητας. 3. Εναλλακτικά η συνθήκη ανελαστικότητας για αυξανόµενο P γράφεται: %d < %d < %dp %d < %dp επειδή %dp, %d %dp > < Το έσοδο αυξάνει αν ικανοποιείται η συνθήκη: R= P % dr = % dp + %d> %d < %dp που είναι ακριβώς η συνθήκη ανελαστικότητας. 4 Ένα µονοπώλιο παράγει ποσότητα την οποία διαθέτει µε µοναδιαία τιµή P που καθορίζεται από την φθίνουσα συνάρτηση ζήτησης = (P). Να διαπιστωθεί ότι καθώς η ποσότητα αυξάνει το έσοδο R= P θα αυξάνει όταν η ζήτηση είναι ελαστική.. Η συνθήκη ελαστικότητας γράφεται: P P EP > EP = < >, διότι είναι αρνητική P P Το έσοδο αυξάνει όταν η παράγωγος του εσόδου ως προς είναι θετική: P R= P R = P + P> P > P > P που είναι ακριβώς η συνθήκη ελαστικότητας. Επειδή τα µεγέθη είναι θετικά η παράγωγος και η ελαστικότητα έχουν το ίδιο πρόσηµο οπότε αντί της παραγώγου µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την ελαστικότητα: R= P ER= EP+ E= EP+ > EP> που είναι ακριβώς η συνθήκη ελαστικότητας. 3. Εναλλακτικά η συνθήκη ελαστικότητας για αυξανόµενο γράφεται: %d > %d > %dp %d > %dp επειδή %d, %dp %dp > < Το έσοδο αυξάνει αν ικανοποιείται η συνθήκη: R= P % dr = % d + %dp> %d > %dp που είναι ακριβώς η συνθήκη ελαστικότητας. 5 Ένας καταθέτης θέλει να εξασφαλίσει το ποσό των χιλιάδων ευρώ µετά από έτη. Να βρεθεί το ποσό της αρχικής κατάθεσης, υποθέτοντας συνεχή ανατοκισµό µε ετήσιο ονοµαστικό επιτόκιο: 4% τα πρώτα 5 έτη και 6% τα επόµενα 5 έτη.. (.4)5. Το αρχικό ποσό K µετά από 5 έτη θα είναι: K5 = Ke = Ke (.6)5.+.3.5 Μετά από άλλα 5 έτη θα είναι: K = K5e = Ke = Ke Η αρχική κατάθεση θα πρέπει να ικανοποιεί την συνθήκη: / / Ke = K = e χιλιάδες ευρώ Παρατήρηση. Χρησιµοποιώντας την γραµµική, παραβολική κυβική προσέγγιση του εκθετικού: x 3 e + x+ x / + x / 6 +... βρίσκουµε:.5 Κ = e (.5+.5. +...) = 5, 6.5, 6.4,... 7

ΟΜΑ Α ΙΙ 6 Σε µια επιχείρηση, ο διευθυντής πωλήσεων αµείβεται µε % επί των ετήσιων εισπράξεων. Αν η ποσότητα ζήτησης του προιόντος ως συνάρτηση της µοναδιαίας τιµής P είναι = P, και το κόστος παραγωγής είναι = +, να βρεθεί η τιµή P που µεγιστοποιεί το κέρδος:. για τον επιχειρηµατία. για τον πωλητή αντίστοιχα.. Εισπράξεις: R= P = ( )= Αµοιβή πωλητή: A = R / 5 Κέρδος επιχειρηµατία: { Π= R A = (4 / 5)R Αµφότερες οι συναρτήσεις είναι κοίλες διότι η R είναι κοίλη και η γραµµική. Εποµένως, το στάσιµο, αν υπάρχει, δίνει µέγιστο.. Η αµοιβή του πωλητή είναι µέγιστη όταν: A = R / 5= R = = = 5 P = 5 { } { }. Το κέρδος του επιχειρηµατία είναι µέγιστο όταν: 4 Π = R = { R = 5 / 4= / 4} = 5 / = 48.75 { P = 5.5} 5 7 Ένας εκδότης έχει διαπιστώσει ότι ο αριθµός πωλήσεων ενός βιβλίου εξαρτάται από την τιµή του P, όπου = α βp είναι η συνάρτηση ζήτησης. Το κόστος της έκδοσης ανά βιβλίο είναι w, ενώ τα συγγραφικά δικαιώµατα ορίζονται ως ένα ποσοστό µε συντελεστή m< των συνολικών εσόδων από την πώληση. Να διαπιστωθεί ότι η τιµή διάθεσης που µεγιστοποιεί το κέρδος για τον εκδότη είναι µεγαλύτερη από την τιµή διάθεσης που µεγιστοποιεί το έσοδο για τον συγγραφέα. Ισχύει το ίδιο για οιαδήποτε φθίνουσα συνάρτηση ζήτησης;. Το έσοδο θα είναι: R= P= αp βp. Κέρδος εκδότη: Π = ( m)r w = ( m)(αp βp ) w(α βp) α( m) + wβ α w Είναι µέγιστο όταν: Π (P) = ( m)(α βp) + wβ= P = = + β( m) β ( m). Αµοιβή συγγραφέα: mr= m(αp βp ) Είναι µέγιστο όταν: α α w mr (P) = m(α βp) = P = < + = P β β ( m) Επαληθεύτηκε η ιδιότητα. Ισχύει γενικά. 8 Σε µια επιχείρηση, ο πωλητής αµείβεται µε % επί των εισπράξεων. Αν η ζήτηση του προιόντος ως συνάρτηση της τιµής είναι = P, και το κόστος παραγωγής είναι = +, να βρεθούν ως συναρτήσεις της ποσότητας, τα παρακάτω: α) Το κέρδος, το οριακό κέρδος και το µέσο κέρδος για τον επιχειρηµατία β) Τα γραφήµατα των παραπάνω. Έχουµε:. Εισπράξεις: R= P = ( ). Αµοιβή του πωλητή: A= R= 9 9 3. Κέρδος του επιχειρηµατία: Π= R = + 89 8 4. Οριακό κέρδος του επιχειρηµατία: MΠ= Π = 89 8

5. Μέσο κέρδος του επιχειρηµατία: Π 9 AΠ= = + 89 9R / 49.44 Π Π Π 9 Μία παραγωγική µονάδα λειτουργεί µε οριακό κόστος (), και µε τιµή διάθεσης µιας µονάδας του προιόντος σταθερή: P, όπως στο παραπλεύρως σχήµα. Να διερευνηθεί αν η επιχείρηση είναι βιώσιµη.. Το κέρδος και το οριακό κέρδος είναι: Π() = P () Π () = P () Εποµένως το λειτουργικό κέρδος ελαττώνεται µέχρι την παραγωγή διότι έχουµε: P< (), στη συνέχεια αυξάνει µέχρι την παραγωγή διότι έχουµε: P> (), και στη συνέχεια πάλι ελαττώνεται. Έτσι το µέγιστο λειτουργικό κέρδος βρίσκεται στην παραγωγή. Το µέγιστο αυτό λειτουργικό κέρδος ισούται µε το προσηµασµένο εµβαδό µεταξύ των δύο καµπύλων µέχρι το, δηλαδή µε την διαφορά των δύο εµβαδών: + Π = Π ()d = E E + Από το γράφηµα διαπιστώνουµε ότι η παραπάνω διαφορά είναι γνήσια αρνητική: E > E, και εποµένως η επιχείρηση δεν είναι βιώσιµη. Πολύ περισσότερο αν έχουµε και σταθερό κόστος. Μια επιχείρηση παράγει ποσότητα, µε:. Συνάρτηση εσόδων R() αύξουσα κοίλη µε R() =.. Συνάρτηση κόστους () αύξουσα κυρτή µε () =. Αν υπόκειται και σε φορολογία t ανά µονάδα παραγόµενου προϊόντος α) Να διαπιστωθεί ότι η παραγόµενη ποσότητα που µεγιστοποιεί το κέρδος είναι φθίνουσα συνάρτηση του συντελεστή φορολογίας t. β) Να διερευνηθεί η περίπτωση να µην υπάρξει παραγωγή αν ο συντελεστής φορολογίας είναι πολύ υψηλός.. α) Η συνάρτηση καθαρού κέρδους: Π= R() () t, είναι κοίλη, και εποµένως έχει µέγιστο όταν: Π = R () () t= υποθέτοντας >, δηλαδή ότι υπάρχει παραγωγή. Η παραπάνω εξίσωση ορίζει πλεγµένα τη βέλτιστη ποσότητα ως συνάρτηση του t : 9 E E + () P

= (t) Παραγωγίζοντας πλεγµένα ως προς t, βρίσκουµε: R () () = (t) = <, R διότι ο παρονοµαστής είναι αρνητικός: R λόγω κοιλότητας, λόγω κυρτότητας. β) Καθώς το t αυξάνει, το. H παραγωγή θα είναι µηδενική αν το µέγιστο της συνάρτησης κέρδους βρίσκεται στο =. Αυτό θα συµβεί αν: Π () R () () t Εποµένως η παραγωγή µηδενίζεται αν ο φορολογικός συντελεστής είναι µεγαλύτερος του t = R () (). 3 Μια συνάρτηση κόστους της µορφής = α + β + γ+ δ έχει το γράφηµα του παραπλεύρως σχήµατος. Να βρεθούν οι συνθήκες που θα πρέπει να ικανοποιούν οι συντελεστές {α,β,γ,δ}.. ιέρχεται από την αρχή του συστήµατος: {=, = }. Εποµένως δ=. εν έχει στάσιµα σηµεία. Ειδικότερα η παράγωγος είναι γνήσια θετική: = 3α + β+ γ> α> & = (β) 4(3α)γ< {α> & 3αγ> β } β 3. Έχει σηµείο καµπής γνήσια θετικό: = 6α+ β= = > β< 3α Ανακεφαλαιώνοντας, έχουµε: {α>,β<,γ > β / 3α,δ = } ΟΜΑ Α ΙΙΙ Θεωρούµε τις παρακάτω 3 συναρτήσεις κόστους: = () 3. = +. = + + 3. = + + Να γίνουν τα γραφήµατά τους, και σε κάθε περίπτωση να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά το ελάχιστο µέσο µεταβλητό κόστος: min{av= V() / }, όπου V() = () () To ελάχιστο µέσο µεταβλητό κόστος δίνεται από την ελάχιστη κλίση της εφαπτοµένης στην καµπύλη, από το αρχικό σηµείο της () που είναι το σταθερό κόστος F, και σηµειώνεται στα παρακάτω γραφήµατα µε την διακεκοµµένη γραµµή.. = +, αύξουσα γραµµική µε V= min{av= / = } =, σταθερό. = + +, αύξουσα παραβολική. V = + min{av= + } = στο = 3 3. = + +, αύξουσα κυβική διότι δεν έχει στάσιµα: = + 3 >, µε θετικό σηµείο καµπής: = + 6= = / 3> 3 Βρίσκουµε: V= + min{av= + } = 3 / 4 στο = / min{av} = min{av} = min{av} = 3 / 4

3 Θεωρούµε τις παρακάτω τρεις συναρτήσεις κόστους: = () 3. = +. = + + 3. = + + Να γίνουν τα γραφήµατά τους, και σε κάθε περίπτωση να βρεθεί γραφικά και αναλυτικά το ελάχιστο µέσο κόστος: min{a= () / } To ελάχιστο µέσο κόστος δίνεται από την ελάχιστη κλίση της εφαπτοµένης στην καµπύλη, από το µηδενικό σηµείο Ο του συστήµατος, και σηµειώνεται στα παρακάτω γραφήµατα µε την διακεκοµµένη γραµµή.. = +, αύξουσα γραµµική µε min{a= / + } = όταν. = + +, αύξουσα παραβολική, µε min{a= / + + } = 3 στο = 3 3. = + +, αύξουσα κυβική διότι δεν έχει στάσιµα: = + 3 >, µε θετικό σηµείο καµπής: = + 6= = / 3> Για το ελάχιστο του µέσου κόστους βρίσκουµε: A= + + A = + = =, min{a} = min{a} = min{a} = 3 min{a} = 4 Θεωρούµε τρεις συναρτήσεις κόστους: = (), µε τα παρακάτω γραφήµατα. Να γίνουν τα αντίστοιχα γραφήµατα των συναρτήσεων οριακού κόστους και µέσου µεταβλητού κόστους: M= (), AV= V() / στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων για την κάθε περίπτωση... M M AV AV M= AV

. Η συνάρτηση κόστους είναι γραµµική, Το οριακό και το µέσο µεταβλητό συµπίπτουν και είναι σταθερά. Η συνάρτηση κόστους είναι αύξουσα κυρτή. Το µέσο µεταβλητό κόστος είναι αύξον. Το οριακό κόστος είναι επίσης αύξον, παντού µεγαλύτερο από το µέσο µεταβλητό. 3. Η συνάρτηση κόστους είναι αύξουσα, στην αρχή κοίλη και µετά κυρτή. Το οριακό κόστος είναι στην αρχή φθίνον και µετά αύξον. Το µέσο µεταβλητό είναι επίσης στην αρχή φθίνον και µετά αύξον. Το οριακό κόβει το µέσο µεταβλητό από κάτω προς τα πάνω στο ελάχιστό του, το οποίο βρίσκεται εκεί όπου η εφαπτοµένη συµπίπτει µε την ακτίνα που αρχίζει από το () Παρατήρηση. Το µέσο µεταβλητό κόστος δίνεται από την κλίση της ακτίνας που αρχίζει από το (). Το οριακό δίνεται από την κλίση της εφαπτοµένης. Το οριακό και το µέσο µεταβλητό στην αρχή είναι ίσα: M() = A().. Το µέσο µεταβλητό κόστος είναι φθίνον όταν το οριακό είναι µικρότερο, είναι αύξον όταν το οριακό είναι µεγαλύτερο. Στο ελάχιστο του µέσου µεταβλητού το οριακό το κόβει από κάτω προς τα πάνω. 5 Θεωρούµε τρεις συναρτήσεις κόστους: = (), µε τα παρακάτω γραφήµατα. Να γίνουν τα αντίστοιχα γραφήµατα των συναρτήσεων οριακού κόστους και µέσου κόστους: M= (), A= () / στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων για την κάθε περίπτωση. M M A A A M. Η συνάρτηση κόστους είναι αύξουσα γραµµική, Το οριακό κόστος είναι σταθερό. Το µέσο είναι φθίνον τείνοντας ασυµπτωτικά προς το σταθερό οριακό.. Η συνάρτηση κόστους είναι αύξουσα κυρτή. Το µέσο κόστος είναι στην αρχή φθίνον και µετά αύξον. Το οριακό κόστος είναι αύξον, κόβοντας το µέσο από κάτω προς τα πάνω στο ελάχιστό του, το οποίο βρίσκεται εκεί όπου η εφαπτοµένη συµπίπτει µε την ακτίνα που αρχίζει από το. 3. Η συνάρτηση κόστους είναι αύξουσα, στην αρχή κοίλη και µετά κυρτή. Το οριακό κόστος είναι στην αρχή φθίνον και µετά αύξον. Το µέσο κόστος είναι επίσης στην αρχή φθίνον και µετά αύξον. Το οριακό κόβει το µέσο από κάτω προς τα πάνω στο ελάχιστό του, το οποίο βρίσκεται εκεί όπου η εφαπτοµένη συµπίπτει µε την ακτίνα που αρχίζει από το Παρατήρηση. Το µέσο κόστος δίνεται από την κλίση της ακτίνας που αρχίζει από το. Το οριακό δίνεται από την κλίση της εφαπτοµένης. Το µέσο έχει κατακόρυφη ασύµπτωτο στο εφόσον υπάρχει σταθερό κόστος. Το µέσο κόστος είναι φθίνον όταν το οριακό είναι µικρότερο, είναι αύξον όταν το οριακό είναι µεγαλύτερο. Στο ελάχιστο του µέσου κόστους το οριακό το κόβει από κάτω προς τα πάνω.

6 Θεωρούµε τις παρακάτω τρεις συναρτήσεις κόστους: = () 3. = +. = + + 3. = + + Να γίνουν τα γραφήµατά του µέσου µεταβλητού κόστους και του µέσου κόστους στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων για την κάθε συνάρτηση. AV= V() /, A= () /. A AV A A AV AV AV= AV= + AV= + A= / + A= / + + A= / + + Παρατήρηση. Αν υπάρχει σταθερό κόστος, τότε το µέσο κόστος είναι πάντοτε µεγαλύτερο από το µέσο µεταβλητό, αρχίζει µε άπειρο και τείνει ασυµπτωτικά στο µεταβλητό. 7 Θεωρούµε τις παρακάτω τρεις συναρτήσεις κόστους: = () 3. = +. = + + 3. = + + Να βρεθούν οι αντίστοιχες συναρτήσεις οριακού κόστους, µέσου µεταβλητού κόστους, και µέσου κόστους: M= (), AV= V() /, A= () / και να γίνουν τα γραφήµατά τους, στο ίδιο σύστηµα συντεταγµένων για την κάθε συνάρτηση.. M A M A A AV AV M= AV M A= / + AV= M= + A= / + + AV= + M= + 3 A= / + + AV= + Το οριακό και το µέσο µεταβλητό στην αρχή είναι ίσα: M() = A().. Το µέσο µεταβλητό κόστος είναι φθίνον όταν το οριακό είναι µικρότερο, είναι αύξον όταν το οριακό είναι µεγαλύτερο. Το ίδιο ισχύει για το κόστος Στο ελάχιστο του µέσου µεταβλητού το οριακό το κόβει από κάτω προς τα πάνω. Το ίδιο ισχύει στο ελάχιστο του µέσου κόστους Το µέσο κόστος είναι παντού µεγαλύτερο από το µεταβλητό, τείνοντας προς αυτό ασυµπτωτικά. Το µέσο κόστος έχει κατακόρυφη ασύµπτωτο στο =, αν υπάρχει σταθερό κόστος. 3

8 Θεωρούµε τις παρακάτω τρεις συναρτήσεις κόστους: = () 3. = +. = + + 3. = + + Υποθέτοντας συνθήκες πλήρους ανταγωνισµού, να βρεθούν σε κάθε περίπτωση. Η ελάχιστη συµφέρουσα τιµή και η εξίσωση προσφοράς του προϊόντος. Η ελάχιστη κερδοφόρα τιµή. Η ελάχιστη συµφέρουσα τιµή δίνεται από το ελάχιστο του µέσου µεταβλητού κόστους: p = min{av= V() / Η προσφορά είναι µηδενική κάτω από την παραπάνω τιµή.. Για µεγαλύτερες τιµές η προσφορά είναι αυτή στην οποία το οριακό κόστος συµπίπτει µε την τιµή: p= (q) Βρίσκουµε:.. = +, V= p = min{av= } = Για µεγαλύτερες τιµές η εξίσωση προσφοράς είναι: p= (q) p=, πλήρως ελαστική. = + +, V = + min{av= + } = στο = Για µεγαλύτερες τιµές η εξίσωση προσφοράς είναι: p= (q) = + q 3 3 3. = + +, V= + p = min{av= + } = 3 / 4 στο q = / Για µεγαλύτερες τιµές η εξίσωση προσφοράς είναι: p= (q) = q+ 3q για q> q = /, p> p = 3 / 4. Η ελάχιστη κερδοφόρα τιµή δίνεται από το ελάχιστο του µέσου κόστους: p = min{a= () / }.. = +, p = min{a= / + } =. = + +, p = min{a= / + + } = 3 στο q = 3 3. = + +, A= + + A = + = =, p = min{a} = στο q = 9 Θεωρούµε τις παρακάτω τρεις συναρτήσεις κόστους: = () 3. = +. = + + 3. = + + Υποθέτοντας συνθήκες πλήρους ανταγωνισµού, να βρεθούν σε κάθε περίπτωση:. Η ελάχιστη συµφέρουσα τιµή. Η ελάχιστη κερδοφόρα τιµή. Η ελάχιστη συµφέρουσα τιµή δίνεται από το ελάχιστο του µέσου µεταβλητού κόστους: p = min{av= V() / Βρίσκουµε:.. = +, V= p = min{av= } =. = + +, V = + min{av= + } = στο = 3 3 3. = + +, V= + p = min{av= + } = 3 / 4 στο q = /. Η ελάχιστη κερδοφόρα τιµή δίνεται από το ελάχιστο του µέσου κόστους: p = min{a= () / }.. = +, p = min{a= / + } =. = + +, p = min{a= / + + } = 3 στο q = 3 3. = + +, A= + + A = + = =, p = min{a} = στο q = 4

3 Θεωρούµε τις παρακάτω τρεις συναρτήσεις κόστους: = () 3. = +. = + + 3. = + + Υποθέτοντας συνθήκες πλήρους ανταγωνισµού, να βρεθούν σε κάθε περίπτωση. Η ελάχιστη συµφέρουσα τιµή. Η εξίσωση προσφοράς του προϊόντος, και το σχετικό γράφηµα.. Η ελάχιστη συµφέρουσα τιµή δίνεται από το ελάχιστο του µέσου µεταβλητού κόστους: p = min{av= V() / Η προσφορά είναι µηδενική κάτω από την παραπάνω τιµή.. Για µεγαλύτερες τιµές η προσφορά είναι αυτή στην οποία το οριακό κόστος συµπίπτει µε την τιµή: p= (q) Βρίσκουµε:.. = +, V= p = min{av= } = Για µεγαλύτερες τιµές η εξίσωση προσφοράς είναι: p= (q) p=, πλήρως ελαστική. = + +, V= + p = min{av= + } = στο q = Για µεγαλύτερες τιµές η εξίσωση προσφοράς είναι: p= (q) = + q για q> q =, p> p = 3 3 3. = + +, V= + p = min{av= + } = 3 / 4 στο q = / Για µεγαλύτερες τιµές η εξίσωση προσφοράς είναι: p= (q) = q+ 3q για q> q = /, p> p = 3 / 4 p p p= + q p p= q+ 3q p= 3 Για τρεις συναρτήσεις κόστους: = (), δίνουµε παρακάτω τα γραφήµατα οριακού µέσου µεταβλητού και µέσου κόστους. Υποθέτοντας συνθήκες πλήρους ανταγωνισµού, να βρεθούν σε κάθε περίπτωση, γραφικά:. Η ελάχιστη συµφέρουσα τιµή p, και h εξίσωση προσφοράς: p= S (q). H ελάχιστη κερδοφόρα τιµή p q q 3 4 / q M A M A A AV AV M= AV. Η ελάχιστη συµφέρουσα τιµή δίνεται από το ελάχιστο του µέσου µεταβλητού κόστους, εκεί που το οριακό κόστος το κόβει από κάτω προς τα πάνω: p = min{av} Στη συνέχεια η εξίσωση προσφοράς δίνεται από την καµπύλη του οριακού κόστους που βρίσκεται πάνω από αυτή την ελάχιστη τιµή: 5

p=m(q) για p> p Στα παρακάτω γραφήµατα σηµειώνεται µε την σκούρα γραµµή. Για µικρότερες τιµές η προσφορά είναι µηδενική.. Η ελάχιστη κερδοφόρα τιµή δίνεται από το ελάχιστο του µέσου κόστους, εκεί που το οριακό κόστος το κόβει από κάτω προς τα πάνω: p = min{a} p= S (q) p= S (q) p p p = p p= S (q) q p q p q 3 Χρησιµοποιώντας εργασία L, µια επιχείρηση παράγει ένα προιόν σε ποσότητα: = ln(+ L), µε κόστος: = wl. Το προιόν διατίθεται στην αγορά µε τιµή µονάδος: p=. Η επιχείρηση λειτουργεί µεγιστοποιώντας το κέρδος, µόνο εφόσον είναι θετικό. Να βρεθούν τα παρακάτω: α) Η συνθήκη υπό την οποία θα υπάρξει παραγωγή. β) Το κέρδος π ως συνάρτηση του µοναδιαίου κόστους εργασίας w. Να διερευνηθούν οι ιδιότητες µονοτονίας και κυρτότητας αυτής της συνάρτησης και να γίνει το γράφηµά της.. α) Το κέρδος: Π= p = ln(+ L) wl, είναι κοίλη συνάρτηση του L. Εποµένως δεν θα υπάρξει παραγωγή αν έχει µέγιστο στο L=, οπότε θα ικανοποιείται η συνθήκη: Π'() = w w β) Αν w< τότε το µέγιστο κέρδος θα βρίσκεται στη στάσιµη λύση: Π = w = L = > + L w Εποµένως ως συνάρτηση του µοναδιαίου κόστους εργασίας, το µέγιστο κέρδος θα είναι. Π = αν w. Π = ln(+ L ) wl = ln( ) ( w) = ln ln w + w w µε Π (w) = + <, και Π (w) = > w w Στο w = συµπιπτουν οι τιµές και οι παράγωγοι. Συµπεραίνουµε ότι η συνάρτηση κέρδους είναι φθίνουσα κυρτή, γνήσια µέχρι το w = και w µετά σταθερή στο. 6