ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Διανύσματα
ιανύσματα (ectors Ορισμός: Προσανατολισμένο ευύγραμμο τμήμα που έχω την ελευερία να το μεταφέρω σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου. Έχουν τρία στοιχεία: Μήκος ιεύυνση Φορά y Παραδείγματα Ταχύτητα ύναμη Animations υσδιάστατα ( (D Τρισδιάστατα (3 (3D Πολυδιάστατα
ιανύσματα στο επίπεδο Συμβολισμός AB OP <a,b> (a:τετμημένη,b:τεταγμένη ιάνυσμα που όταν τοποετηεί στην αρχή των αξόνων καταλήγει στο P (a,b y P (a,b B Ιδιότητες <a,b> <a,b > a a και b b Έστω <a,b> τότε το μήκος του, a b Παράδειγμα: Αν <3,4> > 3 4 5 1 3 A4 3
ιανύσματα στο επίπεδο Πλεονεκτήματα χρήσης διανυσμάτων: Αλγεβρικές πράξεις με γεωμετρική ερμηνεία 1. Πολλαπλασιασμός με αριμό <a,b>, λ ϵ : λ < λ a, λ b > λ λ. Πρόσεση/Αφαίρεση <a,b>, <a,b > <aa,bb > - <a-a,b-b > y 3 <3a,3b> <a,b> *Αν λ >, το λ έχει ίδια φορά, δ/νση, μέτρο με το λ *Αν λ <, το λ έχει αντίετη φορά, ίδια δ/νση, ίδιο μέτρο με το λ *Το λ έχει ίδια δ/νση με το ( // 4
ιανύσματα στο επίπεδο 3. ιάνυσμα μοναδιαίου μέτρου <a,b>, / Μέτρο 1 ίδια δ/νση και φορά με το 4. Συνοπτικά ΑΒ ΒΓ ΑΓ ΑΒ ΑΓ -ΒΑ ΑΓ -(ΒΑΑΓ -ΒΓ Α Μ Ν.δ.ο ΜΝ// ΑΓ, όπου Μ,Ν μέσαπλευρών ΜΝ ΜΒΒΝ ½ (ΑΒΒΓ ½ ΑΓ Β Ν Γ 5
ιανύσματα στο χώρο Επέκταση του ορισμού στο επίπεδο AB OP <a,b,c> z P (a,b,c Ιδιότητες Έστω <a,b,c> τότε το μέτρο του, a b c Πράξεις : <a,b,c > λ < λ aa, λ bb,λ cc > Μοναδιαία διανύσματα 3 (διανύσματα κανονικής βάσης του y i <1,,> j <,1,> k <,,1> 6
Απεικόνιση διανύσματων με Matlab Παράδειγμα στις Δ: Απεικόνιση στο Matlab των διανυσμάτων, <1,3>, <1,5> <4, -5.>, <,3> στην αρχή των αξόνων, εκτός από το <,3> που α τοποετηεί στο σημείο <1,>: [1 1 4 ]; y [3 5-5. 3]; qier([ 1],[ ],,y,; label('x'; ylabel('y'; Παράδειγμα στις 3Δ: Απεικόνιση στο Matlab των διανυσμάτων, <1,1,1>, <1,-,1> στην αρχή των αξόνων: [1 1 ]; y [1 - ]; z [1 1]; qier3([ ],[ ], [ ],,y,z,; label(''; ylabel('y'; zlabel('z'; 7 z Y 6 4 - -4-6.5 1 1.5.5 3 3.5 4 X 1.9.8.7.6.5.4.3..1 1.5 1.5 y -.5-1 -1.5 -
ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Ευεία στο χώρο/ Εσωτερικό Γινόμενο
Ευεία στο χώρο z Βρες την εξίσωση της ευείας (ε στοχώροπου περνάει από δοσμένο σημείο P o (,y,z και έχει την δ/νση του διανύσματος <a,b,c>: P ο Q (ε y Λύση Έστω Q (,y,z ϵ (ε Τα διανύσματα P o Q και έχουν την ίδια δ/νση: Υπάρχει t ϵ : P o Q t <-,y-y,z-z > t <a,b,c> <,y,z> <,y,z > t <a,b,c> (1 t a y y t b ( (1,( παραμετρικές εξισώσεις. z z t c Για t > Q Po Αν a και b και c μπορούμε να απαλείψουμε το t y y z z a b c (3 9
Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Είναι ένας πραγματικός αριμός που το πρόσημο του σχετίζεται με την γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα και το μέτρο τους (μέτρο ταιριάσματος διανυσμάτων. Αλγεβρικός ορισμός <a,b,c> <a,b,c >.. a. a b. b c. c Παράδειγμα <1,,3> <,4,>,. Ιδιότητες.. (λ 1 λ λ 1. λ. λ.. (λ εν ισχύει (... (. Απόδειξη 1
11 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Προβολή Νόμος συνημίτονων: cos( ΑΓ ΑΒ > ΒΓ < < ΑΓ ΑΒ ΒΓ ΑΓ ΑΒ < ΒΓ < < ΑΓ ΑΒ ΑΓ ΑΒ ΒΓ π π π π cos( ( ( cos( ( (. ( νων συνημιτ ν ό Πόρισμα _ cos( cos( cos( < > < < < > > > < < π π π Α Γ Β -
Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων Προβολή για < π/ ' ' cos( ( Αριμητικό παράδειγμα Άσκηση Ποια ευεία του επιπέδου περνάει από το σημείο (1,1 και είναι κάετη στην ευεία 3y6. y 3 1
Απόσταση σημείου από ευεία Ποια είναι η απόσταση του P( 1,y 1 από ευεία a by c y Λύση P Το σημείο Q(c/a, ανήκει στην (ε Q και το διάνυσμα <a,b> είναι κάετο στην (ε. Αρκεί να υπολογίσουμε τη προβολή του PQ στο διάνυσμα 13
Απεικόνιση ευείας με Matlab Παράδειγμα στις Δ: Απεικόνιση στο Matlab της ευείας που περνάει από τα σημεία (1,3,(,5 και της ευείας (1,1 και (5,3 [1 ]; y [3 5]; plot(,y; hold on; [1 5]; y [1 3]; plot(,y,'r'; label(''; ylabel('y'; y 5 4.5 4 3.5 3.5 1.5 1 1 1.5.5 3 3.5 4 4.5 5 Παράδειγμα στις 3Δ: Απεικόνιση στο Matlab της ευείας που περνάει από τα σημεία (1,3,,(,5,4 [1 ]; y [3 5 ]; z [ 4]; plot3(,y,z; label(''; ylabel('y'; zlabel('z'; z 4 3.5 3.5 5 4 14 y 3 1 1. 1.4 1.6 1.8
ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Εξωτερικό Γινόμενο/ Εξίσωση Επιπέδου
Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων στο χώρο < a, b, c > ai bj < a', b', c' > a' i b' ck j c' k Το εξωτερικό γινόμενο είναι το διάνυσμα 1. /νση: Κάετο διάνυσμα στα,.έχει φορά προς τα έξω αν < <π αλλιώς έχει φορά προς τα μέσα 3. Μέτρο sin( 4. Αν είναι ή π τότε το εξωτερικό γινόμενο είναι 16
17 Εξωτερικό γινόμενο διανυσμάτων στο χώρο Ορισμός Ιδιότητες 1.. 3. 4. 5. ' ' ' c b a c b a k j i // ( ( ( Α Γ Β ( ( sin( ΑΒΓ
Τριπλό γινόμενο διανυσμάτων Ορισμός ( a a' b b' c c' a'' b'' c'' ( cos( Όγκος παρ/δου με πλευρές τα διανύσματα του γινομένου : Εμβαδόν παραλληλογράμμου 18
Απόσταση σημείου P(,y,z από επίπεδο Έστω Pi σημεία του επιπέδου Τότε P P 1 και P P διανύσματα του επιπέδου και P P ( Ύψος Όγκος παρ/δου με πλευρές τα διανύσματα του γινομένου / Εμβαδόν της βάσης : Εμβαδόν βάσης 19
Εξισώσεις Επιπέδου Βρες την εξίσωση του επιπέδου που περνάει από δοσμένο σημείο P o (,y,z και είναι κάετο στο διάνυσμα <a,b,c>: P o P(,y,z Έστω P P, τότε είναι κάετο στο Άρα για κάε σημείο του επιπέδου P (,y,z ισχύει a by < cz a, y y, z z >< a, b, c > by cz Αντίστροφα από την εξίσωση του επιπέδου γνωρίζουμε ένα κάετο διάνυσμα <a,b,c> στο επίπεδο Όμοια, με την ευεία abyc και το διάνυσμα <a,b>
Εξισώσεις Επιπέδου Βρες την εξίσωση του επιπέδου που περνάει από τα σημεία P 1,P,P 3 με P i (a i,b i,c i P 1 P (P 1 P P 3 P P P P 3 a y b z c 1 1 1 a a b b c c 1 1 1 a a b b c c 3 3 3 P 1 1
Απεικόνιση επιπέδου με Matlab Απεικόνιση στο Matlab του επιπέδου με εξίσωση ZXY3 και του επιπέδου Z-3X6Y1 syms y ezsrfc(*y3,[-5,5,-5,5]; hold on; ezsrfc(-3*6*y1,[-5,5,-5,5]; Είναι τα επίπεδα κάετα; Εξίσωση τομής;
ΗΥ-111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ Επαναληπτικές Ασκήσεις στα διανύσματα
Καετότητα Για ποιες τιμές του b το <,b,> είναι κάετο στο <3,,1>. <,b,> <3,,1> 6b b-3 Βρείτε την ευεία που περνάει από το P(3,1,-1 και τέμνει κάετα την ευεία <,y,z> t<1,1,1>-<1,,1>. P 4
5 Εσωτερικό γινόμενο Ν.δ.ο ( y y y 4 y y y
Εσωτερικό γινόμενο Να βρεεί διάνυσμα που έχει μήκος 1, είναι κάετο με το <1,1,1> καισχηματίζειίδιαγωνίαμετοj και το k. Έστω <a,b,c> το ζητούμενο διάνυσμα. (1 1 ( <a,b,c> <1,1,1> (3 <a,b,c> j <a,b,c> k <a,b,c> j <a,b,c> κ 6
Εσωτερικό γινόμενο Να βρεεί το εμβαδόν τριγώνου με κορυφές (,,, (1,1,1, (,-,3. ( ΑΒΓ.5 Α Β Γ Να βρεεί η εξίσωση του επιπέδου κάετο στο <1,1,1> και περνά από το P(1,, Έστω Q (,y,z σημείο του επιπέδου PQ Q P 7
Εσωτερικό γινόμενο Να βρεεί η εξίσωση του επιπέδου κάετο στην ευεία <5,,>t(3,-1,1 και περνά από το P(1,, Έστω Q (,y,z σημείο του επιπέδου PQ <5,,> Να βρεεί η εξίσωση της ευείας που περνάει από το (1,-,-3 και είναι κάετη στο επίπεδο 3-yz4. Το διάνυσμα <3,-1,> είναι κάετο στο επίπεδο άρα παράλληλο στην ευεία. Άρα η εξίσωση της ευείας είναι <-1,y,z3><3,-1,>t 8
Εξωτερικό γινόμενο Να βρεεί η εξίσωση του επιπέδου που περιέχει τις ευείες (,1,-<,3,-1>t και (,-1,<,3,-1>t Οι ευείες είναι // με το <,3,-1>. Ένα κάετο διάνυσμα στο επίπεδο Είναι το PQ. Ένα σημείο του επιπέδου Είναι το P. P(,1,- Q(,-1, 9
Εσωτερικό γινόμενο Nα βρεεί η απόσταση των επιπέδων Π1:abyczf Π:abyczg P1 Κάετα επίπεδα με το <a,b,c>. Έστω P 1, P σημεία των επιπέδων. P Μας ενδιαφέρει το μήκος της προβολής του P 1 P στο. PP f g a b c 1 h... 3
Εφαρμογή Εφαρμογή στο robocp Θεωρείστε πως το επίπεδο του γηπέδου είναι το z. Το τέρμα βρίσκεται από το σημείο Α(-3,1 Β(3,1. O επιετικός βρίσκεται στη έση Ε(-1,7 και ο τερματοφύλακας Τ(-1,95. Α Ε Τ y Β Για να αποφασίσει ο επιετικός σε ποια γωνία α εκτελέσει α πρέπει να μπορεί να απαντήσει στο παρακάτω ερώτημα Θεωρώντας πως η μπάλα εκτελεί Ε.Κ. ποια είναι η ελάχιστη απόσταση του τερματοφύλακα για από τις τροχιές ΕΑ και ΕΒ. 31