Μ8 Η µερική παράγωγος

Σχετικά έγγραφα
11. Βαθµίδα, Απόκλιση, Στροβιλισµός

10. Παραγώγιση διανυσµάτων

3. Η µερική παράγωγος

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης

Συστήματα συντεταγμένων

ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,,

Ηλεκτρομαγνητισμός. Χρήσιμες μαθηματικές έννοιες. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

lim Δt Δt 0 da da da dt dt dt dt Αν ο χρόνος αυξηθεί κατά Δt το διάνυσμα θα γίνει Εξετάζουμε την παράσταση

ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ I (Βασικό 3 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ.Σκαρλάτος ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ. Α. Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Λ. Α Π Ε Κ Η Σ Κ. Χ Ρ Ι Σ Τ Ο Ο Υ Λ Ι Η Σ

Καρτεσιανό Σύστηµα y. y A. x A

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ. Επικαμπύλια και Επιφανειακά Ολοκληρώματα. Γ.1 Επικαμπύλιο Ολοκλήρωμα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

d dx ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ Ι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ

ΦΥΣΙΚΗ. Η Φυσική είναι πειραματική επιστήμη

4. Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής. 9. ιανύσµατα

ΦΥΣΙΚΗ. Η Φυσική είναι πειραματική επιστήμη

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

Διανύσματα. x = rcos! y = rsin! r = x 2 + y 2 x. q Ο απλούστερος ορισμός διανύσματος είναι ότι μετρά μετατοπίσεις

( () () ()) () () ()

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 2: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Κεφάλαιο Χώρος, Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Συστήματα Συντεταγμένων.

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Ι Τ Ε Λ Ε Σ Τ Ε Σ

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)

Κεφάλαιο M11. Στροφορµή

Διάνυσμα: έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά

Φ Υ Σ Ι Κ Η Ι (Μ Η Χ Α Ν Ι Κ Η)

3. ιατήρηση της ενέργειας

( () () ()) () () ()

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

1. Δυναμική Ενέργεια και Διατηρητικές Δυνάμεις

ΘΕΩΡΙΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

6. Κεφάλαιο Διανύσματα, Διανυσματικές εξισώσεις, Διανυσματικά Πεδία.

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΥΝΑΜΙΚΟ (ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23)

ιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το

Παράδειγμα/πρόβλημα ( ) = y 1. O x. V = y 2. Να βρεθούν οι συντεταγμένες (x,y) συναρτήσει των ( x, y ) του περιστρεφόμενου συστήματος συντεταγμένων Y

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

Διανύσματα 1. Διανύσματα Πρόσθεση Διανυσμάτων Φυσική ποσότητα που περιγράφεται μόνο από ένα αριθμό ονομάζεται βαθμωτή.

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

u u u u u u u u u u u x x x x

Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης

 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z

Κεφάλαιο M4. Κίνηση σε δύο διαστάσεις

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Τι είναι τα διανύσµατα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1.1.3 t. t = t2 - t x2 - x1. x = x2 x

Φυσική για Μηχανικούς

k = j + x 3 j + i + + f 2

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Παράγωγος. x ορίζεται ως

7.1. Το ορισµένο ολοκλήρωµα

Συνάρτηση f, λέγεται η διαδικασία µε βάση την. Παρατηρήσεις - Σχόλια f

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών. Διανυσματική Ανάλυση. Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης

Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό πεδίο νόμος Gauss. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

ds ds ds = τ b k t (3)

( ) ( ) ( )z. HMY Φωτονική. Διάλεξη 08 Οι εξισώσεις του Maxwell. r = A r. B r. ˆ det = Βαθμωτά και διανυσματικά μεγέθη

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

Τίτλος Μαθήματος: Διαφορική Γεωμετρία II

1.1 ΟΡΙΣΜΟΙ, ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί

Ενδεικτικές Λύσεις Θεμάτων Τελικών Εξετάσεων στη Θεματική Ενότητα ΦΥΕ34

ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 1. Σχήµα 1 Σχήµα 2

ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Αριθμητικά ή Μονόμετρα μεγέθη: Όγκος Μάζα Χρόνος Ενέργεια κ.λ.π. Διανυσματικά μεγέθη: Μετατόπιση Δύναμη Ορμή Διανυσματικοί τελεστές

ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

Transcript:

Μ8 Η µερική παράγωγος Βιβλιογραφία Ι S Sokolnikoff και R M Redheffer, Μαθηµατικά για Φυσικούς και Μηχανικούς (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 1 Κεφ 5 M R Spiegel, Ανώτερα Μαθηµατικά (ΕΣΠΙ, Αθήνα 198 Κεφ 6, 8 Μ81 Μερική παραγώγιση Η παράγωγος µιας συνάρτησης f ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως f ( d d f ( f ( (Μ81 Για συναρτήσεις δύο ή περισσότερων µεταβλητών, αντίστοιχα όρια ορίζονται ως προς οποιαδήποτε από τις µεταβλητές, µε τη συνθήκη ότι οι υπόλοιπες µεταβλητές διατηρούνται ερές Για παράδειγµα, αν η f (, είναι µια συνάρτηση των µεταβλητών και, το όριο f (, f (, ονοµάζεται µερική παράγωγος της f (, ως προς και συµβολίζεται µε Η f (, έχει δύο µερικές παραγώγους πρώτης τάξης, τις ή f (Μ8 f (, f (, και f (, f (, (Μ83 Παράδειγµα Μ81 f (, f (, 4 f (, f (, e sin ( e sin ( e cos ( e cos ( Πρόβληµα M81 Να βρεθούν οι µερικές παράγωγοι πρώτης τάξης των συναρτήσεων f (,, z : z z / z sin z e 115

Μ9 Βαθµίδα, Απόκλιση, Στροβιλισµός Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, M A Ruderman, A C Helmholz και B J Moer, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 1998 Κεφ 5 Ι S Sokolnikoff και R M Redheffer, Μαθηµατικά για Φυσικούς και Μηχανικούς (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 1 Κεφ 6 M R Spiegel, Ανώτερα Μαθηµατικά (Εκδόσεις ΕΣΠΙ, Αθήνα, 198 Κεφ 7 M R Spiegel, Theor and Problems of Vector Analsis (Schaum Publishing Co 1959 κε Μ91 Βαθµίδα Έστω µια συνεχής βαθµωτή συνάρτηση U (,, z Αν σε ένα σηµείο διατηρήσουµε ερά τα και z και κινηθούµε κατά απόσταση d στην κατεύθυνση, η µεταβολή στο U θα είναι, σύµφωνα µε τον ορισµό των µερικών παραγώγων, περίπου ίση µε d Η προσέγγιση γίνεται τόσο πιο καλή όσο µικρότερο είναι το d Ο συντελεστής µπορεί να θεωρηθεί ως ο ρυθµός µεταβολής της U ανά µονάδα µετατόπισης στην κατεύθυνση Αν τώρα η µετατόπιση συνεπάγεται µεταβολές στα, και z, δηλαδή είναι ίση µε d s dˆ d ˆ dz zˆ, και αυτή έχει ως συνέπεια να µεταβληθεί η U κατά du σε U du, τότε, για µικρή µετατόπιση, η ολική µεταβολή στο U θα είναι η επαλληλία των επιµέρους µεταβολών για τις ανεξάρτητες µετατοπίσεις d, d, dz Έτσι, du d d dz (Μ91 Αυτό είναι το ολικό διαφορικό του U Η du µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της διανυσµατικής µετατόπισης d s, αν αναγνωρίσουµε ότι το du στην (Μ91 ισούται µε το εσωτερικό γινόµενο: du ( d d dz d i j k i j k i j k s (Μ9 Ονοµάζουµε το µέγεθος i j k βαθµίδα ή κλίση της βαθµωτής συνάρτησης U, και τη συµβολίζουµε µε grad U (Μ93 Είναι η γενίκευση, σε τρεις διαστάσεις, της έννοιας της κλίσης ή του ρυθµού µεταβολής d d µιας συνάρτησης µιας µεταβλητής f ( Κατ αναλογία προς τον τελεστή παραγώγισης ως d προς, θα το βρούµε χρήσιµο να ορίσουµε τον αντίστοιχο τριδιάστατο τελεστή, grad i j k (Μ94 116

Ο τελεστής αυτός δρα πάνω σε µια βαθµωτή συνάρτηση που θα τοποθετηθεί στα δεξιά του, δίνοντας τη βαθµίδα της συνάρτησης: U gradu Το σύµβολο ονοµάζεται ανάδελτα Έτσι, το µέγεθος U grad U i j k (Μ95 χρησιµοποιείται στον υπολογισµό του ρυθµού µεταβολής της συνάρτησης U σε ένα σηµείο, σε οποιαδήποτε κατεύθυνση Αν η µετατόπιση είναι di dj dzk, η µεταβολή της U θα είναι du gradu U d d dz (Μ96 εδοµένου ότι η µετατόπιση έχει µήκος du gradu U ( d ( d ( dz, το µέγεθος d d dz (Μ97 εκφράζει το ρυθµό µεταβολής της συνάρτησης U σε ένα σηµείο, στην κατεύθυνση του µοναδιαίου διανύσµατος sˆ Έτσι, du gradu sˆ U sˆ (Μ98 Λόγω των ιδιοτήτων του, το µέγεθος αυτό ονοµάζεται παράγωγος κατά κατεύθυνση Σε µια κατεύθυνση που σχηµατίζει γωνία θ µε το διάνυσµα U, ο ρυθµός µεταβολής του U ανά µονάδα µετατόπισης είναι [σύµφωνα µε την (Μ98]], du θ U cosθ (Μ99 Ο µέγιστος ρυθµός αύξησης του U παρατηρείται στην κατεύθυνση της βαθµίδας U, δηλαδή o o du για θ, και είναι ίσος µε U Επίσης, για θ 9 είναι, πράγµα που o 9 σηµαίνει ότι το διάνυσµα U είναι κάθετο στις γραµµές ή επιφάνειες ερού U (ισοµικές επιφάνειες - πχ ισοδυναµικές επιφάνειες αν U είναι το δυναµικό Συνοψίζοντας: Η βαθµίδα U µιας βαθµωτής συνάρτησης U είναι ένα διάνυσµα το οποίο, σε κάθε σηµείο: 1 Είναι κάθετο στις επιφάνειες ερού U Έχει κατεύθυνση αυτήν προς την οποίαν ο ρυθµός αύξησης του U είναι µέγιστος 3 Έχει µέτρο που είναι ίσο µε τον µέγιστο ρυθµό µεταβολής του U στο συγκεκριµένο σηµείο 4 Έχει προβολή σε κάποια κατεύθυνση, της οποίας το µέτρο ισούται µε τον ρυθµό µεταβολής του U στην κατεύθυνση αυτή Παράδειγµα 1 Να βρεθεί η βαθµίδα της συνάρτησης U (,, z z 3 Από τον ορισµό U grad U i j k, έχουµε 3 3 3 U i ( z j ( z k ( z (4 ( ( 3 4 ( 3 3 3 i j z k z i z j z k 117

Παράδειγµα Να βρεθεί η βαθµίδα της συνάρτησης f (r, όπου r i j zk Από τον ορισµό f i j k Όµως η συνάρτηση f (r είναι συνάρτηση του r µόνο Έτσι, Επίσης, επειδή r z, έχουµε ( 1 z dr r f ( r κοκ Έτσι, έχουµε: z, και r r r Εποµένως, f i j k f ( r i j k z f ( r i j k f ( r rˆ r r r Γενικά, όταν υπάρχει σφαιρική συµµετρία, δηλαδή έχουµε µια συνάρτηση του r µόνο, είναι f rˆ dr Για παράδειγµα, 1 1 rˆ r r Έτσι, από το ηλεκτροστατικό δυναµικό 1 Q V, µέσω της σχέσης 4π ε r E V, βρίσκουµε την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου: Q 1 1 Q E rˆ 4π ε r 4π ε r Χρησιµοποιώντας τον τελεστή ανάδελτα µπορούµε να ορίσουµε δύο µεγέθη τα οποία είναι πολύ χρήσιµα στην ανάπτυξη της θεωρίας του διανυσµατικού πεδίου: την απόκλιση και τον στροβιλισµό Μ9 Απόκλιση Η απόκλιση µιας διανυσµατικής συνάρτησης E Ei E j Ezk ορίζεται ως E dive ( Ei E j Ezk i j k ( Ei E j Ezk (Μ91 όπου τα εσωτερικά γινόµενα υπολογίζονται συµβολικά, διατηρώντας τη σχετική θέση των τελεστών παραγώγισης και των συνιστωσών του E, δηλαδή E Να σηµειωθεί ότι η απόκλιση είναι ένα βαθµωτό µέγεθος z (Μ911 118

Μ93 Στροβιλισµός Ο στροβιλισµός µιας διανυσµατικής συνάρτησης E Ei E j Ezk ορίζεται ως E curle rote i j k ( Ei E j Ezk (Μ91 όπου, και πάλι, τα εξωτερικά γινόµενα υπολογίζονται συµβολικά, διατηρώντας τη σχετική θέση των τελεστών παραγώγισης και των συνιστωσών του E, δηλαδή i j k z z E E E z z E i j k z Να σηµειωθεί ότι ο στροβιλισµός είναι ένα διανυσµατικό µέγεθος (Μ913 Παράδειγµα 4 Να υπολογιστεί ο στροβιλισµός της βαθµίδας που βρέθηκε στο Παράδειγµα 1 Στο Παράδειγµα 1 βρέθηκε ότι: Έτσι, 3 3 U ( z 4 i ( z j 3z k i j k U z 4 z 3z 3 3 3 ( 3 z ( z (4 ( 3 z ( z (4 U i j k ( ( 3 ( 3 ( ( (4 (4 U z z i j k Το αποτέλεσµα U (Μ916 ισχύει γενικά για κάθε βαθµωτή συνάρτηση U, όπως µπορείτε εύκολα να αποδείξετε 119