L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό γινόµενο αν ικανοποιεί τα εξήσ: (α) x, x 0 για κάθε x X, µε ισότητα αν και µόνο αν x = 0. (ϐ) x, y = y, x, για κάθε x, y X. (γ) για κάθε y X η συνάρτηση x x, y είναι γραµµική. Πρόταση 7.1. (ανισότητα Cauchy-Schwarz). Εστω X χώρος µε εσωτερικό γινόµενο. Αν x, y X, τότε (7.1.1) x, y x, x y, y. Απόδειξη. Εξετάζουµε πρώτα την περίπτωση K = C. Εστω x, y X και έστω M = x, y. Υπάρχει θ R ώστε x, y = Me iθ. Για κάθε µιγαδικό αριθµό λ = re it έχουµε 0 λx + y, λx + y = λ x, x + λ x, y + λ x, y + y, y = λ x, x + Re(λ x, y ) + y, y = r x, x + Re(rMe i(θ+t) ) + y, y. Επιλέγουµε το t έτσι ώστε e i(θ+t) = 1. Τότε, έχουµε (7.1.) r x, x rm + y, y 0 για κάθε r > 0. Παίρνοντας r = y, y / x, x έχουµε το Ϲητούµενο (η περίπτωση x = 0 ή y = 0 είναι προφανής). 17

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. L -ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER ισχύει Στην περίπτωση που K = R, παρατηρούµε ότι για κάθε x, y X και για κάθε t R (7.1.3) 0 tx + y, tx + y = t x, x + t x, y + y, y. Η διακρίνουσα του τριωνύµου ως προς t πρέπει να είναι µικρότερη ή ίση από µηδέν. Άρα, 4 x, y 4 x, x y, y 0. Αυτό δίνει το Ϲητούµενο. Ορίζουµε : X R µε x = x, x. Η ανισότητα Cauchy-Schwarz µας επιτρέπει να δείξουµε ότι η είναι νόρµα : Πρόταση 7.1.3. Εστω X χώρος µε εσωτερικό γινόµενο. Η συνάρτηση : X R, µε x = x, x είναι νόρµα. Απόδειξη. Αρκεί να ελέγξουµε την τριγωνική ανισότητα (οι άλλες ιδιότητες είναι απλές). Οµως, x + y = x + y, x + y = x + x, y + y, x + y = x + y + Re( x, y ) x + y + x, y x + y + x y = ( x + y ), από τις ιδιότητες του εσωτερικού γινοµένου και την ανισότητα Cauchy-Schwarz. Παρατήρηση 7.1.4. Εστω X χώρος µε εσωτερικό γινόµενο και έστω η επαγόµενη νόρµα. Από την ανισότητα Cauchy-Schwarz έπεται εύκολα ότι το εσωτερικό γινόµενο είναι συνεχές ως προς την : Αν x n x και y n y ως προς την, τότε (7.1.4) x n, y n x, y. Για την απόδειξη γράφουµε x n, y n x, y = x n, y n y + x n x, y x n, y n y + x n x, y x n y n y + x n x y. Η (x n ) συγκλίνει άρα είναι ϕραγµένη, και y n y 0, x n x 0. Άρα, (7.1.5) x n, y n x, y. Ειδικότερα, για κάθε y X η απεικόνιση x x, y είναι ϕραγµένο γραµµικό συναρτησοειδές στον X.

7.1. ΧΩΡΟΙ HILBERT 19 Ορισµός 7.1.5. Ενας χώρος Banach λέγεται χώρος Hilbert αν υπάρχει εσωτερικό γινό- µενο, στον X ώστε x = x, x για κάθε x X. Στη συνέχεια συµβολίζουµε τους χώρους Hilbert µε H. Κάθε χώρος Hilbert ικανοποιεί τον κανόνα του παραλληλογράµµου: για κάθε x, y H, (7.1.6) x + y + x y = x + y. Αντίστροφα, αν η νόρµα ενός χώρου Banach X ικανοποιεί τον κανόνα του παραλληλογράµµου, τότε προέρχεται από εσωτερικό γινόµενο το οποίο ορίζεται από την (7.1.7) x, y = 1 4 { x + y x y } στην περίπτωση K = R, και από την (7.1.8) x, y = 1 4 ( x + y x y + i x + iy i x iy ) στην περίπτωση K = C. 7.1. Καθετότητα Ορισµός 7.1.6 (καθετότητα). Εστω X ένας χώρος µε εσωτερικό γινόµενο. Λέµε ότι τα x, y X είναι ορθογώνια (ή κάθετα) και γράφουµε x y, αν x, y = 0. Αν x X και M είναι ένα µη κενό υποσύνολο του X, λέµε ότι το x είναι κάθετο στο M και γράφουµε x M αν x y για κάθε y M. Παρατηρήσεις 7.1.7. (α) Το 0 είναι κάθετο σε κάθε x X, και είναι το µοναδικό στοιχείο του X που έχει αυτήν την ιδιότητα. (ϐ) Αν x y, ισχύει το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα: x + y = x + y. Ορισµός 7.1.8. Εστω X ένας χώρος µε εσωτερικό γινόµενο και έστω M γραµµικός υπόχωρος του X. Ορίζουµε (7.1.9) M = {x X : y M, x, y = 0}. Ο M είναι κλειστός γραµµικός υπόχωρος του X Πρόταση 7.1.9. Εστω H χώρος Hilbert, M κλειστός γραµµικός υπόχωρος του H, και x H. Υπάρχει µοναδικό y 0 M ώστε (7.1.10) x y 0 = dist(x, M) = inf{ x y : y M}. Το µοναδικό αυτό y 0 M συµβολίζεται µε P M (x), ονοµάζεται προβολή του x στον M και ικανοποιεί την x P M (x) M.

0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. L -ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER Απόδειξη. Θέτουµε δ = dist(x, M). Υπάρχει ακολουθία (y n ) στον M ώστε (7.1.11) x y n δ. Από τον κανόνα του παραλληλογράµµου, y n y m = (y n x) + (x y m ) = y n x + y m x (y n + y m ) x = y n x + y m x 4 y n + y m x. Οµως, yn+ym M, άρα yn+ym x δ. Εποµένως, (7.1.1) y n y m y n x + y m x 4δ δ + δ 4δ = 0 όταν m, n. Άρα, η (y n ) είναι ακολουθία Cauchy στον H. Ο H είναι πλήρης, άρα υπάρχει y 0 H ώστε y n y 0. Επεται ότι y 0 M (ο M είναι κλειστός) και x y 0 = lim n x y n = δ. Για τη µοναδικότητα, χρησιµοποιούµε και πάλι τον κανόνα του παραλληλογράµµου. Αν x y = δ = x y, τότε Άρα, y = y. 0 y y = x y + x y 4 y + y x δ + δ 4δ = 0. Για τον τελευταίο ισχυρισµό ϑέτουµε w = x P M (x). Εστω ότι το w δεν είναι κάθετο στον M. Τότε, υπάρχει z M ώστε w, z > 0. Για ε > 0 αρκετά µικρό, έχουµε w, z ε z > 0. Άρα, x (P M (x) + εz) = w εz = w εz, w εz το οποίο είναι άτοπο γιατί P M (x) + εz M. = w ε w, z + ε z = δ ε( w, z ε z ) < δ, Πόρισµα 7.1.10. Αν H χώρος Hilbert και M κλειστός γνήσιος υπόχωρος του H, τότε υπάρχει z H, z 0, ώστε z M. Απόδειξη. Εστω x H \ M. Παίρνουµε z = x P M (x) 0.

7.1. ΧΩΡΟΙ HILBERT 1 7.1.3 Ορθοκανονικές ϐάσεις Ορισµός 7.1.11. Εστω X χώρος µε εσωτερικό γινόµενο. Μια πεπερασµένη ή άπειρη ακολουθία (e k ) X λέγεται ορθοκανονική, αν e i, e j = δ ij (1 αν i = j και 0 αν i j). Αν (e k ) είναι µια ορθοκανονική ακολουθία στον X, τότε το {e k : k N} είναι γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο. Πράγµατι, αν n λ ke ik = 0, τότε για κάθε j = 1,..., n έχουµε n (7.1.13) 0 = λ k e ik, e ij = n λ k e ik, e ij = λ j. Ορισµός 7.1.1. Εστω H χώρος Hilbert. ορθοκανονική ϐάση του H αν Μιά ορθοκανονική ακολουθία (e k ) λέγεται (7.1.14) H = span{e k : k N}. Πρόταση 7.1.13. Εστω H ένας απειροδιάστατος διαχωρίσιµος χώρος Hilbert. ορθοκανονική ϐάση {e k : k N} του H. Υπάρχει Απόδειξη. Παρατηρούµε πρώτα ότι κάθε ορθοκανονική οικογένεια {e i : i I} του H είναι αριθµήσιµο σύνολο : πράγµατι, αν e i e j είναι στοιχεία µιας τέτοιας οικογένειας, τότε e i e j =. Την ίδια στιγµή, αφού ο χώρος είναι διαχωρίσιµος δεν γίνεται να υπάρχουν υπεραριθµήσιµα το πλήθος σηµεία του που να απέχουν ανά δύο απόσταση ίση µε. Θεωρούµε λοιπόν µια ορθοκανονική ακολουθία {e k : k N} του H (η διάταξη των στοιχείων της ϐάσης είναι τυχούσα) η οποία να είναι µεγιστική, δηλαδή να µην περιέχεται γνήσια σε κάποια άλλη. Αυτό γίνεται µε χρήση του λήµµατος του Zorn. Τότε, ο υπόχωρος span{e k : k N} είναι πυκνός στον H (αλλιώς, ϑα µπορούσαµε να ϐρούµε µοναδιαίο z e k για κάθε k, και η (e k ) δεν ϑα ήταν µεγιστική). Άρα, η (e k ) είναι ορθοκανονική ϐάση του H. Λήµµα 7.1.14. Εστω X χώρος µε εσωτερικό γινόµενο και έστω (e n ) ορθοκανονική ακολουθία στον X. Για κάθε x H και κάθε n N, n (7.1.15) d(x, span{e 1,..., e n }) = x x, e k e k.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. L -ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER Απόδειξη. Εστω λ 1,..., λ n K και y = n λ ke k. Παρατηρούµε ότι n x n λ k e k = x x, e k e k + n ( x, e k λ k )e k n = x n x, e k e k + ( x, e k λ k )e k n n = x x, e k e k + λ k x, e k (χρησιµοποιήσαµε το γεγονός ότι το x n x, e k e k είναι κάθετο σε όλα τα e k, άρα και στο n ( x, e k λ k )e k, οπότε εφαρµόσαµε το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα γι αυτά τα δύο διανύσµατα). Άρα, (7.1.16) n x n λ k e k x x, e k e k και ισότητα µπορεί να ισχύει µόνο αν λ k = x, e k για κάθε k = 1,..., n, δηλαδή αν y = n x, e k e k. Σηµείωση. Παρατηρήστε επίσης ότι x n = x n x, e k e k + x, e k e k n n = x x, e k e k + x, e k. Το επόµενο ϑεώρηµα δίνει ισοδύναµους χαρακτηρισµούς του ότι η (e n ) είναι ορθοκανονική ϐάση. Θεώρηµα 7.1.15. Εστω (e k ) ορθοκανονική ακολουθία σε έναν χώρο Hilbert H. Τα εξής είναι ισοδύναµα : (α) Η (e k ) είναι ορθοκανονική ϐάση του H. (ϐ) Αν x H και x, e k = 0 για κάθε k, τότε x = 0. (γ) Αν x H και s n (x) = n x, e k e k, τότε s n (x) x. ηλαδή, (7.1.17) x = k x, e k e k.

7.1. ΧΩΡΟΙ HILBERT 3 (δ) Ισχύει η ισότητα του Parseval: για κάθε x H, (7.1.18) x, e k = x. Απόδειξη. (α) = (ϐ) Εστω x H. Αφού ο F = span{e k : k N} είναι πυκνός, υπάρχει ακολουθία (y n ) F µε y n x. Από την υπόθεση έχουµε x y για κάθε y F. Τότε, 0 = x, y n x, x. Άρα, x, x = 0, το οποίο σηµαίνει ότι x = 0. (ϐ) = (γ) Παρατηρούµε πρώτα ότι x s n (x) s n (x): πράγµατι, n (7.1.19) x, s n (x) = x, e k = s n (x) = s n (x), s n (x). Από το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα παίρνουµε n (7.1.0) x = x s n (x) + s n (x) = x s n (x) + x, e k. n Συνεπώς. x, e k x για κάθε n, και αφήνοντας το n παίρνουµε την ανισότητα Bessel (7.1.1) x, e k x. Ειδικότερα, η σειρά x, e k συγκλίνει, και από την (7.1.) s m (x) s n (x) = m k=n+1 x, e k η οποία ισχύει για κάθε m > n, έπεται ότι η {s n (x)} είναι ακολουθία Cauchy. Αφού ο H είναι πλήρης, υπάρχει y H ώστε s n (x) y. Από την σύγκλιση αυτή ϐλέπουµε ότι x y, e k ]rangle = 0 για κάθε k, και η υπόθεσή µας (το (ϐ)) εξασφαλίζει ότι (7.1.3) x = y = lim s n(x) = lim n n n x, e k e k = x, e k e k. (γ) = (δ) Εστω x H. Ελέγξαµε ότι x = x s n (x) + n x, e k για κάθε n. Αφού x s n (x) 0, έπεται ότι (7.1.4) x, e k = x.

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. L -ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER (δ) = (α) Εστω x H. Ελέγξαµε ότι x = x s n (x) + n x, e k για κάθε n. Αφού n x, e k x, έπεται ότι x s n (x) 0. ηλαδή, s n (x) x. Αφού κάθε s n (x) span{e k : k N}, έπεται ότι (7.1.5) H = span{e k : k N}. ηλαδή, η {e k } είναι ορθοκανονική ϐάση του H. 7. Σύγκλιση στον L (T) Εφαρµόζουµε τα αποτελέσµατα της προηγούµενης παραγράφου στην L -σύγκλιση των σειρών Fourier. Το ερώτηµα είναι αν για κάθε f L (T) ισχύει (7..1) s n (f) f 0 καθώς το n. Υπενθυµίζουµε ότι ο L (T) είναι χώρος Hilbert. Η επάγεται από το εσωτερικό γινόµενο (7..) f, g = 1 f(x)g(x) dx. π T Λήµµα 7..1. Η ακολουθία {e ikx } είναι ορθοκανονική ϐάση στον L (T). Απόδειξη. Εχουµε δεί ότι (7..3) e ikx, e isx = δ k,s για κάθε k, s Z, και από το Θεώρηµα 6.3.10 έχουµε ότι αν f L (T) και f(k) = 0 για κάθε k Z, τότε f 0. Ισοδύναµα, αν f, e ikx = 0 για κάθε k Z τότε f = 0. Το συµπέρασµα έπεται από το Θεώρηµα 7.1.15. Άµεσο πόρισµα της γενικής ϑεωρίας των χώρων Hilbert είναι τώρα το εξής. Θεώρηµα 7... Εστω f L (T). Τότε, (7..4) s n (f) f 0 καθώς το n και (7..5) f = 1 f(x) dx = π T f(k).

7.. ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΤΟΝ L (T) 5 Παρατήρηση 7..3. Στην απόδειξη της f = f s n(f) + s n(f) χρησιµοποιήθηκε µόνο το γεγονός ότι το {e ikθ : k n} είναι ορθοκανονικό. Με το ίδιο επιχείρηµα µπορείτε εύκολα να ελέγξετε ότι : αν ϑεωρήσουµε οποιοδήποτε όρθοκανονικό σύνολο E = {e k : k Z} συναρτήσεων στον L (T) και αν, για τυχόν n, ϑεωρήσουµε τη συνάρτηση f n = n k= n f, e k e k, τότε n (7..6) f = f f n + f n = f, e k. k= n Συνεπώς, (7..7) f, e k f, για κάθε ορθοκανονικό σύνολο E = {e k : k Z} R. Αυτή είναι η (γενική) ανισότητα του Bessel. Ισότητα στην ανισότητα του Bessel ισχύει για κάθε f L (T), ακριβώς όταν το E είναι ορθοκανονική ϐάση του L (T), δηλαδή n (7..8) lim n f e k e k = 0 k= n f, για κάθε f L (T). Θεώρηµα 7..4 (Riesz-Fisher). Ο L (T) είναι ισοµετρικά ισόµορφος µε τον l (Z). Απόδειξη. Ορίζουµε T : L (T) l (Z µε (7..9) T (f) = { f(k)}. Ο T είναι καλά ορισµένος, γιατί (7..10) f(k) = f < + από την ταυτότητα του Parseval, άρα T (f) l (Z). εύκολα. Η ταυτότητα του Parseval δείχνει επιπλέον ότι Η γραµµικότητα του T ελέγχεται (7..11) T (f) l (Z = f για κάθε f L (T), άρα ο T είναι ισοµετρία (ειδικότερα, είναι ένα προς ένα).

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. L -ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER είχνουµε τέλος ότι ο T είναι επί : έστω {a k } l (Z). Ορίζουµε f N (x) = N a ke ikx. Τότε, αν N > M έχουµε N (7..1) f N f M = a k 0 k=m+1 καθώς N, M, και αυτό δείχνει ότι η (f N ) είναι ακολουθία Cauchy στον L (T). Ο L (T) είναι πλήρης, άρα υπάρχει f L (T) ώστε f N f. Αφού (7..13) f f N 1 f f N 0, είναι εύκολο να δούµε (άσκηση του Κεφαλαίου 5) ότι (7..14) fn )(k) f(k) (και µάλιστα οµοιόµορφα ως προς k). Οµως, για κάθε N > k ισχύει f(k) = a k, από τον ορισµό των f N. Συνεπώς, (7..15) f(k) = ak, k Z το οποίο αποδεικνύει ότι T (f) = {a k }. Παρατήρηση 7..5. Άµεση συνέπεια της ταυτότητας του Parseval είναι το Λήµµα Riemann- Lebesgue για τον L (T). Για κάθε f L (T) έχουµε (7..16) f(k) < +, άρα (7..17) lim f(k) = 0. k Συχνά, χρησιµοποιούµε το Λήµµα Riemann-Lebesgue στην εξής µορφή : αν η f L (T) είναι ολοκληρώσιµη, τότε (7..18) a k (f) = f(x) cos(kx) dλ(x) 0 και b k (f) = f(x) sin(kx) dλ(x) 0 T T όταν k. Από τις σχέσεις που συνδέουν τους f(k), a k (f) και b k (f), ελέγχουµε εύκολα ότι η πρόταση «a k (f) 0 και b k (f) 0 όταν k» είναι ακριβώς ισοδύναµη µε την «f(k) 0 όταν k» (εξηγήστε γιατί). Κλείνουµε αυτήν την παράγραφο µε µια γενίκευση της ταυτότητας του Parseval.

7.3. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 Πρόταση 7..6. Εστω f, g L (T). Τότε, (7..19) f, g = 1 f(x)g(x) dλ(x) = π T f(k)ĝ(k). Απόδειξη. Χρησιµοποιούµε την παρατήρηση ότι αν X είναι ένας γραµµικός χώρος πάνω από το C µε εσωτερικό γινόµενο,, τότε (7..0) x, y = 1 4[ x + y x y + i x + iy i x iy ]. Εχουµε (7..1) f, g = 1 f + g 4[ f g + i f + ig i f ig ] και (7..) f(k)ĝ(k) = 1 f(k)+ĝ(k) 4[ f(k) ĝ(k) +i f(k)+iĝ(k) i f(k) iĝ(k) ]. Το συµπέρασµα προκύπτει άµεσα, αν εφαρµόσουµε την ταυτότητα του Parseval για τις f + g, f g, f + ig και f ig. 7.3 Ασκήσεις Οµάδα Α 1. (α) Χρησιµοποιώντας τη συνάρτηση f : [ π, π] R µε f(x) = x και την ταυτότητα του Parseval, δείξτε ότι k=0 1 (k + 1) 4 = π4 96 και 1 k 4 = π4 90. (ϐ) Χρησιµοποιώντας την π-περιοδική περιττή συνάρτηση g : [ π, π] R µε g(x) = x(π x) στο [0, π] και την ταυτότητα του Parseval, δείξτε ότι k=0 1 (k + 1) 6 = π6 960 και 1 k 6 = π6 945.. είξτε ότι : αν α / Z, τότε η σειρά Fourier της συνάρτησης f(x) = π sin πα ei(π x)α

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. L -ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER στο [0, π], είναι η e ikx k + α. Εφαρµόζοντας την ταυτότητα του Parseval, συµπεράνατε ότι 1 (k + α) = π sin (πα). 3. Εστω 0 < a π. Θεωρούµε την συνάρτηση f : [ π, π] R µε f(x) = χ [ a,a] (x). (α) είξτε ότι f(0) = a π και f(k) = sin(ka) πk αν k 0. (ϐ) είξτε ότι για κάθε x [ π, π] \ { a, a} ισχύει f(x) = a π + k 0 sin(ka) e ikx. πk (γ) Υπολογίστε τα αθροίσµατα sin(ka) k και sin (ka) k. 4. Εστω f : R R συνεχώς παραγωγίσιµη π-περιοδική συνάρτηση. (α) είξτε ότι f s n (f) k=n+1 a k (f ) + b k (f ). k (ϐ) είξτε ότι lim n f sn (f) = 0. n 5. Εστω f : T C συνεχώς παραγωγίσιµη συνάρτηση. (α) είξτε ότι υπάρχει σταθερά C(f) > 0 ώστε k f(k) C(f) για κάθε k Z. (ϐ) Εξετάστε αν lim k k f(k) = 0. (γ) Εξετάστε αν f(k) < +. 6. Εστω f : R R συνεχώς παραγωγίσιµη π-περιοδική συνάρτηση µε π π f(x) dx = 0.

7.3. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 9 Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα του Parseval για τις f και f δείξτε ότι π π f(x) dx π π f (x) dx, µε ισότητα αν και µόνο αν f(x) = a cos x + b sin x για κάποιους a, b R. 7. (α) Εστω f, g : T C π συνεχώς παραγωγίσιµες συναρτήσεις. Υποθέτουµε ότι 0 g(t) dt = 0. είξτε ότι π π π f(t)g(t) dt f(t) dt g (t) dt. 0 0 0 (ϐ) Εστω f : [a, b] C συνεχώς παραγωγίσιµη συνάρτηση µε f(a) = f(b) = 0. είξτε ότι b a f(t) dt (b a) π b a f (t) dt. Οµάδα Β 8. ώστε παράδειγµα ακολουθίας {f n } ολοκληρώσιµων συναρτήσεων f n : [0, π] R ώστε lim n 1 π f n (x) dx = 0, π 0 αλλά για κάθε x [0, π] η ακολουθία {f n (x)} δεν συγκλίνει. 9. είξτε ότι 0 sin t t dt = π. 10. Εστω f : R C συνάρτηση π-περιοδική, η οποία ικανοποιεί την συνθήκη Lipshitz για κάθε x, y R, όπου K > 0 σταθερά. f(x) f(y) K x y (α) Για κάθε t > 0 ορίζουµε g t (x) = f(x + t) f(x t). είξτε ότι 1 π g t (x) dx = π 0 4 sin kt f(k) και συµπεράνατε ότι sin kt f(k) K t.

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. L -ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΕΙΡΩΝ FOURIER (ϐ) Εστω p N. Επιλέγοντας t = π/ p+1, δείξτε ότι (γ) ώστε άνω ϕράγµα για το p 1 < k p f(k) p 1 < k p f(k) K π p+1. και συµπεράνατε ότι η σειρά Fourier της f συγκλίνει απολύτως, άρα οµοιόµορφα. 11. Εστω α > 1/ και f : R C συνάρτηση π-περιοδική, η οποία ικανοποιεί την συνθήκη Holder f(x) f(y) K x y α για κάθε x, y R, όπου K > 0 σταθερά. απολύτως, άρα οµοιόµορφα. είξτε ότι η σειρά Fourier της f συγκλίνει 1. Εστω f : R R συνεχής π-περιοδική συνάρτηση και έστω a k, b k οι συντελεστές Fourier της f. είξτε ότι 1 π π 0 (π x)f(x) dx = b k k. 13. Εστω f : R R συνεχής π-περιοδική συνάρτηση και έστω a k, b k οι συντελεστές Fourier της f. είξτε ότι a k k = 1 π ( f(x) ln sin x ) dx. π 0 14. Εστω f L 1 (T). Υποθέτουµε ότι όπου είξτε ότι f L (T). [w 1 (f, π/n)] <, n=1 w 1 (f, x) = 1 f(x + t) f(t) dt. π T 15. Εστω f L (T). Ορίζουµε ( ) 1/ s n (f, x) σ n (f, x) F (x) =. n n=1

7.3. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31 είξτε ότι F L (T) και F f. Ειδικότερα, F (x) < σχεδόν παντού στο T. 16. Εστω x n, y m C, n, m 0. είξτε ότι ( x n y m ) 1/ ( n + m + 1 π ) 1/ x n y m. n,m=0 n=0 Υπόδειξη. Θεωρήστε την φ(t) = i(π t)e it. Παρατηρήστε ότι φ(k) = 1 k+1 και φ = π. m=0