KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Όπως είδαµε στο Κεφάλαιο 1 κάθε συνεχής απεικόνιση

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Όπως είδαµε στο Κεφάλαιο κάθε συνεχής απεικόνιση r [ ] r ( ) ( i [ ] ) :, : t = f t,, f t, f:, καλείται καµπύλη του χώρου σε παραµετρική µορφή Αν r =r τότε η καµπύλη καλείται κλειστή αλλιώς καλείται ανοικτή Η καµπύλη καλείται απλή αν ια κάθε < t< t < ισχύει r ( t) r ( t) ιαπιστώσαµε ότι ο ορισµός της καµπύλης ορίζει µε φυσικό τρόπο έναν προσανατολισµό (µια διάταξη των σηµείων της καµπύλης) µε φορά προς την κατεύθυνση αύξησης των t [, ] Ετσι ορίσαµε ως αντίθετη καµπύλη της να είναι η καµπύλη r :[, ] : r ( t) = r ( + t) ηλαδή η έχει το ίδιο ίχνος µε την αλλά αντίθετο r :[, ] προσανατολισµό Επιπλέον αν είναι δύο καµπύλες έτσι r :[ c, ] ώστε r = r ( c) < <, τότε ορίσαµε ως άθροισµα αυτών των καµπύλων να είναι µια νέα καµπύλη r + [ c] r () t = :, : + ( t), t [, ] () t, t [, c] r Μια καµπύλη : = ( t) αυτής έχουν συνεχείς παραώους και ισχύει ( t) r r είναι λεία αν οι συνιστώσες συναρτήσεις r ια κάθε t Αν µια καµπύλη προκύπτει από τη συνένωση λείων καµπύλων τότε καλείται τµηµατικά λεία 47

6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΘ- ΜΩΤΩΝ ΠΕ ΙΩΝ ( ου είδους) Υποθέτουµε ότι καλώδιο µε συνεχή πυκνότητα µάζας (µάζα ανά µονάδα µήκους) ρ = f ( P), ( P= ( x,, x ), f ( P) ) απλώνεται στο χώρο κατά µήκος της τροχιάς λείας καµπύλης του χώρου µε παραµετροποίηση ( t), t, r=r [ ] Εστω = { = t < t < < t = } είναι διαµέριση του [, ], N που µε τη σειρά της ορίζει µια διαµέριση της τροχιάς της καµπύλης στα σηµεία Pk = r ( tk), k=,,n µε τη φορά διαραφής της καµπύλης Υπενθυµίζουµε ότι το µήκος του τόξου PP k k + της τροχιάς της καµπύλης ισούται µε ( τ ) r ( τ ), ( t, t ) s = st st = s t t = t t k k+ k k k+ k k k+ k τ k k k+ όπου t () ( ω) s t = r dω Εάν το πλάτος της διαµέρισης είναι αρκετά µικρό, µπορούµε να προσείσουµε τη µάζα του καλωδίου στο τόξο PP k k + από την ποσότητα f ( Qk) sk, Qk =r ( τ k) ια τ k [ tk, tk+ ) όπως παραπάνω Συνεπώς η συνολική µάζα του καλωδίου είναι κατά προσέιση ίση µε: N Ν f ( Qk) sk = f r( τk) r τk tk+ t k, τk t,t k k+ k= k= Προφανώς η συνάρτηση f r t r t είναι ολοκληρώσιµη, συνεπώς το παραπάνω άθροισµα είναι ένα άθροισµα Riem, το οποίο όταν το πλάτος της διαµέρισης τείνει στο µηδέν συκλίνει στον αριθµό ( ()) () f r t r t dt = λ Το ολοκλήρωµα αυτό καλείται επικαµπύλιο ολοκλήρωµα ου είδους του βαθµωτού πεδίου f επί της λείας καµπύλης και η 48

τιµή του (όσον αφορά την παραπάνω εφαρµοή) µας δίνει τη συνολική µάζα του καλωδίου Ορισµός 6 Έστω f = f ( P) είναι ένα συνεχές βαθµωτό πεδίο πάνω σε µια λεία καµπύλη r = r ( t), t [, ] του χώρου Καλούµε επικαµπύλιο ολοκλήρωµα ου είδους της f επί της τον αριθµό f ( P) ds= f ( ( t) ) () t dt = λ r r Η ποσότητα ds ορίζεται ως το διαφορικό του µήκους καµπύλης Ετσι ds t = s t dt = r t dt = ( ) () r r f P ds f t t dt Ο ορισµός 6 µπορεί να ενικευθεί και ια µη λείες καµπύλες Εάν f ( P ) = τότε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα ds ισούται µε το µήκος της καµπύλης είναι µια λεία καµπύλη και f, g είναι συνεχή βαθµωτά πεδία επί της καµπύλης Θεώρηµα 6 Εστω r :[, ] : r = r ( t) (α) Αν :[ cd, ] [, ] συνάρτηση µε φ ( c) =, φ ( d) = και φ ( t) > (ή ( t) t [ c, d] τότε f ( P) ds= f ( P) ds φ είναι συνεχώς παραωίσιµη πραµατική f P ds f P ds (β) = φ φ < ) ια κάθε Με άλλα λόια ο προσανατολισµός της καµπύλης δεν επηρεάζει την τιµή του επικαµπυλίου ολοκληρώµατος ου είδους () ( cf( P) + cgp ) ds= c f( Pds ) + c gpds, ( cc, ) 49

(δ) Αν r είναι µια λεία καµπύλη µε = :[, ] c r r, τότε f Pds= f( Pds ) f( Pds ) + +, υπό την προϋπόθεση ότι η f είναι συνεχής πάνω στο ίχνος της + { } (ε) Αν M sup f ( P) : P ( [, ] ) καµπύλης τότε = και αν L είναι το µήκος της f P ds f P ds M L = () φ r c φ r φ d Απόδειξη: (α) (β) f P ds f t t dt c d ( ( ())) () () = f r φ t r φ t φ t dt ( ) = r ω r φ ω ω f d = f P ds = ( + ) ( + ) r r f P ds f t t dt ( ( ω )) ( ω )( ω r r ) = f d = f P ds = f r ω r ω dω () ( + ) = ( ( ) + ( )) r r r cf P cgp ds cf t cg t t dt () () = c f ( r( t )) r t dt + c g ( r( t )) r t dt = c f( P) ds+ c g( P) ds 5

c (δ) f ( Pds ) = f( ( t)) () t dt + r + r + Από τον ορισµό της καµπύλης + η παραπάνω ίνεται c ( ) c r () r + + = () () ( r ) r ( ) + r r f t t dt f t t dt f t t dt () () = c f ( r( t )) r t dt + c g ( r( t )) r t dt = f ( Pds ) + gpds (ε) f ( xyzds,, ) = f ( r( t )) r ( t ) dt f ( r( t )) r ( t ) dt M r () t dt = M L Παρατηρήσεις: (α) Aν η καµπύλη είναι λεία και δίνεται από τη y= g( x), x,, τότε µια προφανής παραµετροποίηση σχέση [ ] αυτής είναι η r ( t) = ( t, y( t) ), t [, ], οπότε f ( P) ds= f ( t, y( t) ) + ( y () t ) dt (β) Aν µια καµπύλη είναι λεία και δίνεται σε πολική µορφή µέσω ρ = ρφ, φ φ, φ, τότε µια παραµετροποίηση αυτής της σχέσης [ ] είναι η r ( φ ) = ( ρφσυνφρφηµφ, ), φ [ φφ, ], οπότε φ f ( P) ds= f ( ρ ( φσυνφρφηµφ ), ) ρ( φ) + ( ρ ( φ) ) dφ φ () Αν :[, ] : r= r ( t) είναι µια λεία καµπύλη µήκους και f είναι συνεχές βαθµωτό πεδίο επί της τροχιάς της τότε υπάρχει σηµείο * P πάνω στην τροχιά της καµπύλης τέτοιο ώστε * fds = f P Αυτό είναι νωστό και ως Θεώρηµα µέσης τιµής 5

6 Εφαρµοές επικαµπυλίων ολοκληρωµάτων ου είδους (α) Μάζα Όπως είδαµε παραπάνω αν θεωρήσουµε συνεχώς κατανεµηµένη µάζα µε πυκνότητα ρ = f ( xyz,, ) επί της τροχιάς µιας λείας καµπύλης, τότε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα ρ ds µας δίνει τη συνολική µάζα επί της καµπύλης (β) Εµβαδόν κυλινδρικής επιφάνειας Εστω Ε είναι µια 3 κυλινδρική επιφάνεια στον της οποίας η ορθοώνια προβολή επί του επιπέδου Ο xy είναι µια λεία καµπύλη µε ενέτειρες παράλληλες προς τον άξοναο z Τότε το εµβαδόν του τµήµατος της Ε µεταξύ της καµπύλης και µιας άλλης καµπύλης που προκύπτει ως τοµή της ραφικής παράστασης µιας βαθµωτής z = f x, y µε την κυλινδρική επιφάνεια Ε ισούται µε συνάρτησης E = f P ds 6 ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΙΑ- ΝΥΣΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕ ΙΩΝ ( oυ ΕΙ ΟΥΣ) Από τη Φυσική είναι νωστό ότι όταν εφαρµόσουµε µια δύναµη F σταθερής κατεύθυνσης και µέτρου πάνω σ ένα υλικό σηµείο που κινείται στο χώρο προς την κατεύθυνση διανύσµατος PQ τότε το έρο που παράεται κατά την κίνηση από το σηµείο P στο σηµείο Q δίνεται από τη σχέση W= F PQ (η πράξη αυτή δηλώνει εσωτερικό ινόµενο διανυσµάτων) Ας υποθέσουµε τώρα ότι ένα υλικό σηµείο κινείται στο χώρο κατά µήκος της τροχιάς µιας λείας καµπύλης µε παραµετροποίηση r = r ( t), t [, ] και έστω F ( P) είναι ένα συνεχές διανυσµατικό πεδίο που ορίζει µια δύναµη σε κάθε σηµείο P Θέλουµε να υπολοίσουµε το έρο της δύναµης F κατά την κίνηση του υλικού σηµείου επί της τροχιάς της καµπύλης, N η οποία µε τη σειρά της ορίζει µια διαµέριση της τροχιάς της στα Εστω = { = t < t < < t = } είναι µια διαµέριση του [, ] 5

σηµεία P ( t ) k = r k=,,n µε τη φορά διαραφής της καµπύλης k Εάν το πλάτος τα διαµέρισης είναι αρκετά µικρό, τότε µπορούµε να θεωρήσουµε χωρίς µεάλο σφάλµα ότι η κίνηση ίνεται (αντί του PP + ) κατά µήκος του διανύσµατος τόξου k k PP k k+ =r tk+ r tk και ότι η F είναι «τοπικά» σταθερή κατά µέτρο και κατεύθυνση επί του τµήµατος PP k k + Εφόσον PP =r t r t dr t = r t t t = r t t, k k+ k+ k k k k+ k k k το έρο που παράει το πεδίο κατά την κίνηση κατά µήκος του τόξου PP + µπορεί να προσεισθεί από την ποσότητα k k F P PP F r t r t t k k k+ k k k Αρα το συνολικό έρο W προσείζεται από το άθροισµα Ν k= ( ) k ( k) ( k+ k) W F rt r t t t Εφόσον η καµπύλη είναι λεία (άρα η r είναι συνεχής) και η F είναι συνεχής, η συνάρτηση Fr ( ( t) ) r ( t) είναι ολοκληρώσιµη, συνεπώς το παραπάνω άθροισµα είναι ένα άθροισµα Riem Αρα αν το πλάτος = mx { tk+ tk : k =,, N } της διαµέρισης είναι µικρό, το όριο του παραπάνω αθροίσµατος υπάρχει ανεξάρτητα της επιλοής της διαµέρισης και των σηµείων Ρ και ισούται µε k ( () t ) () Fr r t dt Το παραπάνω ολοκλήρωµα καλείται επικαµπύλιο ολοκλήρωµα ου είδους του διανυσµατικού πεδίου F επί της λείας καµπύλης, συµβολικά, F ( P) d r και η τιµή του (όσον αφορά την παραπάνω εφαρµοή) µας δίνει το έρο του πεδίου κατά την κίνηση σηµείου επί της καµπύλης 53

Ορισµός 6 Έστω = ( P) πάνω σε µια λεία καµπύλη r = r ( t), t [, ] F F είναι ένα συνεχές διανυσµατικό πεδίο του χώρου Καλούµε επικαµπύλιο ολοκλήρωµα ου είδους του πεδίου F επί της τον αριθµό () F P dr= F r t r t dt = λ Ο ορισµός 6 ενικεύεται και ια µη λείες καµπύλες του Παρατηρήσεις: (α) Η ποσότητα dr=r t dt είναι το σύνηθες διαφορικό καµπύλης : = ( t), t [, ] r r (β) Αν η παραµετροποίηση της καµπύλης δίνεται συναρτήσει του µήκους τόξου s, δηλαδή r = r( s), s [, ] ( είναι το µήκος της καµπύλης), τότε F P dr= F r s r s ds F είναι ένα συνεχές διανυσµατικό 3 πεδίο του πάνω σε µία λεία καµπύλη µε παραµετροποίηση () Αν ( P ) = K( P ),L( P ),M( P) τότε (,, ), [ ] r t = x t y t z t t,, F d r= F( r() t ) r () t dt = (,, ) (), (), () K LM x t y t z t dt K ( xt (), yt (), zt ()) x () tdt (), (), () = ( (), (), ()) () + M xt yt zt z tdt Ετσι () + L xt yt zt y tdt = Kdx+ Ldy + Mdz 54

F dr = Kdx+ Ldy+ Mdz Η έκφραση Kdx+ Ldy + Mdz καλείται διαφορική µορφή ης τάξης r ( t) (δ) Αν t ( P) = r () t µιας λείας καµπύλης σε σηµείο της P ( t) είναι το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα = r, τότε ( t) () t r F P dr= F r t r t dt = F r t r () t dt = F tds r ( ) () ( ()) Η παραπάνω συνδέει το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα ου είδους διανυσµατικού πεδίου (του F ) µε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα ου είδους βαθµωτού πεδίου (του Ft) F (ε) Το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα ( P) dr καλείται και ως κυκλοφορία του πεδίου κατά µήκος της καµπύλης, διότι µπορεί να θεωρηθεί ως ένα µέτρο της τάσης κίνησης ρευστού/φορτίου κατά µήκος της τροχιάς της καµπύλης Ετσι, αν η κίνηση κατά µήκος της τροχιάς ίνεται αντιωρολοιακά και αν F( P) dr>, τότε συµπεραίνουµε ότι η συνολική τάση κίνησης του ρευστού/φορτίου τείνει να είναι κατά µήκος της τροχιάς είναι µια λεία καµπύλη και FG, είναι συνεχή διανυσµατικά πεδία επί της Θεώρηµα 6 Εστω r :[, ] : r= r ( t) φ είναι συνεχώς παραωίσιµη πραµατική (α) Αν :[ cd, ] [, ] συνάρτηση µε φ ( c) =, φ ( d) = και φ ( t) > (ή ( t) t [ c, d] τότε F( P) dr= F( P) dr (β) φ F P dr= F P dr φ < ) ια κάθε Με άλλα λόια ο προσανατολισµός της καµπύλης επηρεάζει το πρόσηµο της τιµής του επικαµπυλίου ολοκληρώµατος ου είδους 55

( c P + c P ) d = c ( P) d c ( P) d, ( c, c ) + () F G r F r G r r είναι µια λεία καµπύλη µε (δ) Αν :[, ] c r= r t, τότε + F P dr= F P dr+ F P dr, + = και αν υπό την προϋπόθεση ότι η F είναι συνεχής πάνω στο ίχνος της + { } (ε) Αν M = sup ( P) : P ( [, ] ) καµπύλης τότε F και αν L είναι το µήκος της F P d r M L Απόδειξη Όπως στο Θεώρηµα 6 63 ΣYNTHΡHTIKA ΠΕ ΙΑ Εστω r :[, ] : r= r ( t) είναι µια κλειστή και τµηµατικά λεία καµπύλη Στο εξής ια επικαµπύλια ολοκληρώµατα διανυσµατικών πεδίων κατά µήκος κλειστών καµπύλων θα χρησιµοποιούµε το συµβολισµό F d r Εστω F : D είναι ένα συνεχές διανυσµατικό πεδίο πάνω σε τόπο D και έστω r :[, ] : r= r ( t) είναι µια τµηµατικά λεία καµπύλη εντός του τόπου D µε αρχή σηµείο A και πέρας σηµείο B Προφανώς η τιµή του επικαµπυλίου ολοκληρώµατος F d r δεν εξαρτάται µόνον από τον τύπο του πεδίου F και τα σηµεία A και B αλλά εξαρτάται και από τη µορφή (τον τύπο) της καµπύλης Όταν η τιµή του F dr εξαρτάται µόνον από τον τύπο του πεδίου 56

F και τα ακραία σηµεία A και B τότε θα λέµε ότι το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα F dr είναι ανεξάρτητο του δρόµου και θα ράφουµε Β F d r Α Ορισµός 63 Εστω F : D είναι ένα συνεχές διανυσµατικό πεδίο πάνω σε τόπο D Εάν ια κάθε τµηµατικά λεία καµπύλη εντός του D το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα F dr είναι ανεξάρτητο του δρόµου, τότε λέµε ότι το F είναι συντηρητικό πεδίο επί του D Θεώρηµα 63 Εστω F : D είναι ένα συνεχές διανυσµατικό πεδίο πάνω σε τόπο D Το F είναι συντηρητικό πεδίο επί του D αν και µόνον αν ια κάθε κλειστή και τµηµατικά λεία καµπύλη εντός του D ισχύει F d r = Απόδειξη Ας θεωρήσουµε δυο τυχαία σηµεία A, B D και δυο τυχαίες λείες και προσανατολισµένες καµπύλες και µε κοινή αρχή το σηµείο Α και κοινό πέρας το σηµείο Β Εστω = είναι µια νέα r= r t Τότε κλειστή και τµηµατικά λεία καµπύλη µε F dr = F dr = F dr + F dr = F dr F dr Αν το F είναι συντηρητικό πεδίο επί του D, εξ ορισµού το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα F drείναι ανεξάρτητο του δρόµου Αρα F d r = d F r οπότε και F d r = Αφού και τυχαίες καµπύλες έχουµε αποδείξει το ένα σκέλος Αντίστροφα, αν F d r = ια κάθε κλειστή τµηµατικά λεία καµπύλη, τότε η µπορεί να ραφεί ως =, όπου και τυχαίες καµπύλες µε κοινή αρχή το σηµείο Α και κοινό πέρας το σηµείο Β, οπότε από την παραπάνω ισότητα παίρνουµε = F d r F d r F d r = F d r, 57

άρα το πεδίο F είναι ανεξάρτητο του δρόµου, συνεπώς είναι συντηρητικό είναι µια λεία καµπύλη Θεώρηµα 64 Έστω :[, ] : r = r( t) µε αρχή το σηµείο A =r, πέρας το σηµείο B =r και έστω f είναι ένα βαθµωτό πεδίο µε συνεχείς µερικές παραώους επί του ίχνους της καµπύλης Τότε f P dr= f Β f Α Αρα κάθε πεδίο κλίσεων F = f είναι συντηρητικό Όπως ήδη έχουµε πει στο Κεφάλαιο η συνάρτηση f καλείται βαθµωτό δυναµικό του πεδίου Απόδειξη () f P dr= f r t r t dt ( ( ()) () ( ()) x y () z( ()) ()) = f r t x t + f r t y t + f r t z t dt = = = ( f ) ( t) dt ( f ) ( f ) f ( B) f ( A) r r r Ισχύει και το αντίστροφο Θεώρηµα 65 Αν F είναι συνεχές συντηρητικό πεδίο επί τόπου D τότε αυτό είναι πεδίο κλίσεων Απόδειξη Εφόσον το F είναι συντηρητικό πεδίο το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα F drείναι ανεξάρτητο του δρόµου Ετσι έχει νόηµα να ορίσουµε το βαθµωτό πεδίο ( P) φ = F d r, όπου Α είναι σταθερό σηµείο του D, Ρ είναι τυχαίο σηµείο του D και το παραπάνω είναι επικαµπύλιο ολοκλήρωµα επί τυχαίας λείας καµπύλης εντός του D που συνδέει τα Α και Ρ (πάντα υπάρχει τέτοια καµπύλη ιατί το D είναι συνεκτικό) Εστω e είναι τυχαία κατεύθυνση Αρκεί να δείξουµε ότι P A 58

( P) eφ = F e Επειδή το D είναι ανοικτό, υπάρχει h έτσι ώστε το πηλίκο φ ( P+ h e) φ( P) να είναι καλά ορισµένο Αν λοιπόν Q= P+ h e D, τότε έχουµε φ ( P+ h e) φ( P) h Q P = F dr F dr = F dr, h h h A A PQ όπου χωρίς περιορισµό της ενικότητας η ολοκλήρωση µπορεί να θεωρηθεί ότι ίνεται επί του ευθυράµµου τµήµατος PQ Αρα ( ) lim d lim P t h dt h h F r = PQ F + e e h ηλαδή limf ( P+ t h e) e dt lim ( P) dt ( P) = h ( P+ h e) φ( P) = F e = F e h φ eφ ( P) = lim = F( P) e h h Aν F = ( f f ) και { e : =,, },, i i είναι η κανονική βάση του τότε από την παραπάνω ισότητα παίρνουµε, Με άλλα λόια ( P) ( P) i fi φ = F e = e i F= φ Παρατηρήσεις (α) Από την απόδειξη του προηούµενου θεωρήµατος προκύπτει ένας εύκολος τρόπος υπολοισµού της συνάρτησης δυναµικού: φ φ P Α = F d r P A 59

Επιπλέον, αν ο τόπος ορισµού D ενός συντηρητικού πεδίου F είναι κυρτός, τότε προκύπτει ένας εύκολος τρόπος υπολοισµού της συνάρτησης δυναµικού µέσω της σχέσης φ ( P) = A+ tap AP dt+ φ( A) F, όπου Α είναι τυχαίο µεν αλλά σταθεροποιηµένο δε στοιχείο του D και η ολοκλήρωση ίνεται επί του ευθυράµµου τµήµατος ΑP Σηµειώνουµε ότι η συνάρτηση βαθµωτού δυναµικού φ σε τόπο D είναι µοναδική µε προσέιση σταθεράς, δηλαδή και η φ + k k είναι επίσης συνάρτηση δυναµικού, (β) Υπενθυµίζουµε απ το Κεφάλαιο ότι αν ένα διανυσµατικό πεδίο F ( x, y) = ( P( x, y), Q( x, y) ) έχει συνεχείς µερικές παραώους πάνω σε τόπο D, τότε αν το F είναι πεδίο κλίσεων (άρα και συντηρητικό), ισχύει P = Q P D Οµοίως αν ένα διανυσµατικό πεδίο ( P) = ( K, L, M) y x F έχει συνεχείς 3 µερικές παραώους πάνω σε τόπο D, τότε αν το F είναι πεδίο κλίσεων (άρα και συντηρητικό), ισχύει K = L και K = M και L = M P D y x z x z y Στο Κεφάλαιο είδαµε ότι ισχύει και το αντίστροφο υπό την προϋπόθεση ότι το πεδίο ορισµού D είναι απλά συνεκτικός τόπος Επίσης ισχύει P = Q P D D y x F : ειναι αστροβιλο και K L K M L M P D D 3 3 y = x και z = x και z = y F : ειναι αστροβιλο Ετσι έχουµε τις ακόλουθες συνθήκες ισοδυναµίας ια συντηρητικά πεδία: 6

Θεώρηµα 66 Εστω F : D =,3 είναι συνεχές διανυσµατικό πεδίο επί τόπου D Oι κάτωθι συνθήκες είναι ισοδύναµες: To F είναι συντηρητικό πεδίο επί του τόπου D Για κάθε κλειστή και τµηµατικά λεία καµπύλη εντός του D ισχύει F d r = To F είναι πεδίο κλίσεων επί του D Αν ο τόπος 3 D είναι απλά συνεκτικός, τότε ισχύει: 3 To F είναι συντηρητικό πεδίο επί απλά συνεκτικού τόπου D αν και µόνον αν το πεδίο F έχει συνεχείς µερικές παραώους και είναι αστρόβιλο επί του D Αν ο τόπος D δεν είναι απλά συνεκτικός και το πεδίο F είναι αστρόβιλο ΕΝ συνεπάεται ότι το F είναι συντηρητικό πεδίο Μπορεί να είναι µπορεί και όχι 64 ΘΕΩΡΗΜΑ GREEN ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο Αρχικά δίνουµε κάποιους ορισµούς που θα χρειασθούµε στη συνέχεια Επειδή η τιµή του επικαµπυλίου ολοκληρώµατος ου είδους εξαρτάται από τη φορά διαραφής της καµπύλης είναι χρήσιµο να δοθεί ένας νόµος σύµφωνα µε τον οποίο η φορά διαραφής µιας κλειστής καµπύλης να χαρακτηρίζεται ως θετική ή αρνητική Στο Κεφάλαιο αυτό θα δώσουµε ένα νόµο ια απλές κλειστές καµπύλες του Για 3 κλειστές καµπύλες στον παραπέµπουµε στο επόµενο Κεφάλαιο Από το Θεώρηµα καµπύλων του Jord είναι νωστό ότι µια επίπεδη, απλή, κλειστή, και τµηµατικά λεία καµπύλη χωρίζει το επίπεδο σε δυο χωρία: στο εσωτερικό της που είναι φραµένο χωρίο και στο εξωτερικό της που είναι µη φραµένο χωρίο Oρισµός 65 (Προσανατολισµός απλής, κλειστής καµπύλης) Θα λέµε ότι µια απλή, κλειστή και τµηµατικά λεία καµπύλη στο επίπεδο είναι θετικά προσανατολισµένη (ή διαράφεται µε τη θετική φορά) αν 6

κινούµενοι κατά µήκος της έχουµε πάντα στο αριστερό χέρι µας το εσωτερικό της Oρισµός 66 Ενα συνεκτικό σύνολο D καλείται απλά συνεκτικό αν κάθε κλειστή καµπύλη στο D µπορεί να συσταλεί µε συνεχή τρόπο σε σηµείο παραµένοντας εξ ολοκλήρου στο D Σε αντίθετη περίπτωση ο D καλείται πολλαπλά συνεκτικό σύνολο Σηµείωση (α) Αν D είναι συνεκτικό, τότε το D είναι απλά συνεκτικό αν και µόνον αν δεν έχει «τρύπες» στο εσωτερικό του 3 (β) Αν D είναι συνεκτικό σύνολο, τότε το D είναι απλά συνεκτικό αν και µόνον αν δεν έχει «ρωµές» που να διαπερνούν απ άκρη σ άκρη το εσωτερικό του Θεώρηµα 67 (Gree) Εστω F F = : D : xy, Pxy,, Qxy (, ) είναι διανυσµατικό πεδίο µε συνεχείς µερικές παραώους πάνω και στο εσωτερικό D µιας απλής, κλειστής, τµηµατικά λείας και θετικά προσανατολισµένης καµπύλης που στο εξής συµβολίζουµε µε D (ως το σύνορο του εσωτερικού D της ) Τότε D Q P F dr= dxdy D x y Απόδειξη Θα δείξουµε το θεώρηµα ια κανονικά χωρία (όπως ορίσθηκαν στα διπλά ολοκληρώµατα) Μετά το θεώρηµα µπορεί να ενικευθεί και ια µη κανονικά χωρία, περιράφοντάς τα ως ένωση κανονικών χωρίων Εστω D είναι ένα κανονικό χωρίο του έτσι ώστε D= {( x, y) : x, f( x) y f( x) }, ή ισοδύναµα D= x, y : c y d, g y x g x, { } 6

όπου f, f: [, ] και, : [, ] συναρτήσεις επί των διαστηµάτων [, ] και [, ] D f x g g c d είναι συνεχείς cd αντιστοίχως Τότε P f( x) P dxdy = dydx = ( P( x, f( x) ) P( x, f( x) )) dx y y +, = Pdx Pdx = Pdx = Pdx D όπου θεωρήσαµε ότι D = + είναι µια απλή κλειστή και τµηµατικά λεία καµπύλη µε τη θετική φορά διαραφής Απ την άλλη µεριά Q d g( y) Q d dxdy = dxdy = ( Q( g( y), y) Q( g( y), y) ) dy x x D c g y c χ χ χ χ = Qdy + Qdy = Qdy = Qdy + D Αφαιρώντας τις παραπάνω έχουµε: Q P dxdy dxdy = Qdy + Pdx = d x y F r D D D D D Παρατηρήσεις: (α) Υπό τις προϋποθέσεις του Θεωρήµατος 67 και τον ορισµό της περιστροφής, το Θεώρηµα Gree µπορεί να ραφεί ως D F dr= F( x,y) dxdy D Με άλλα λόια, η κυκλοφορία (ή το έρο) του πεδίου κατά µήκος του συνόρου D ισούται µε τη «συνολική» περιστροφή του πεδίου στο εσωτερικό του D (β) Το Θεώρηµα Gree µπορεί να χρησιµοποιηθεί και ια τον υπολοισµό ενός διπλού ολοκληρώµατος µε τη βοήθεια ενός επικαµπύλιου ολοκληρώµατος Για παράδειµα αν θέλουµε να υπολοίσουµε το dxdy, δηλαδή το εµβαδόν της περιοχής D, D τότε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το Θεώρηµα του Gree Q P θεωρώντας ότι = Αν x y 63

Q( x,y) x,p( x,y) = = ή Q x,y =, P x,y = y ή τότε Q( x,y) = x,p( x,y) = y, E = dxdy = D xdy = ydx x dy y dx D = D D Θεώρηµα 68 (Παραµόρφωση δρόµων) Εστω, είναι δυό απλές, κλειστές, τµηµατικά λείες καµπύλες µε τον ίδιο θετικό προσανατολισµό έτσι ώστε η µια εκ των, να βρίσκεται στο εσωτερικό της άλλης (βλέπε ενδεικτικό σχήµα): Αν F F = : R : x, y P x, y, Q( x, y) είναι διανυσµατικό πεδίο µε συνεχείς µερικές παραώους στο φραµένο χωρίο R και στο σύνορό του R = όπως στο σχήµα, τότε Q P F dr = F dr + dxdy R x y Απόδειξη Εστω R είναι το χωρίο που περικλείεται µεταξύ των καµπύλων και και έστω L, L είναι οι καµπύλες µε ίχνη τα ραµµοσκιασµένα ευθύραµµα σχήµατα µε τις φορές του σχήµατος Τότε το R διαµερίζεται σε δύο απλά συνεκτικά χωρία (έστω R και R ) που φράσσονται από δύο απλές κλειστές και τµηµατικά λείες καµπύλες, συνεπώς το θεώρηµα Gree εφαρµόζεται σε κάθε µία από αυτές Εστω και =, +,, =, i i R i R i R = + L + L, R, R = R R R L L,, µε τη θετική φορά Τότε: 64

Q P F dr = F dr = dxdy x y R + L + L R, R, R F dr+ F dr L, R Q P F dr+ d dxdy F r =, R L R x y Οµοίως Q P F dr= F dr = dxdy x y R L L R, R, R F dr+ F dr L, R Q P + F dr+ d dxdy F r =, R L R x y Aθροίζοντας κατά µέλη παίρνουµε Q P F dr F dr dxdy = R x y Με βάση το παραπάνω Θεώρηµα µπορούµε να ενικεύσουµε το Θεώρηµα Gree ως εξής: Θεώρηµα 69 (Γενικευµένο Θεώρηµα Gree) F: D : F xy, = Pxy,, Qxy (, ) είναι διανυσµατικό πεδίο µε συνεχείς µερικές παραώους πάνω σε κλειστό τόπο D έτσι ώστε το σύνορό του D =, όπου,,, είναι απλές, κλειστές, τµηµατικά λείες και θετικά προσανατολισµένες καµπύλες µε τις,, στο εσωτερικό της και µε κάθε καµπύλη j να βρίσκεται στο εξωτερικό κάθε άλλης καµπύλης k ( k, j =,,, k j) Τότε Q P F dr = F dr + dxdy k k D k= x y Απόδειξη Οπως στο Θεώρηµα 68 τότε ισχύει 65

65 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Έστω c είναι το ευθύραµµο τµήµα µε άκρα τα σηµεία A=(,,) και B=(,-3,) Υπολοίστε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα της f x, y,z = x + y z επί του τµήµατος c συνάρτησης Λύση Παραµετροποιούµε το τµήµα ΑΒ ως εξής: οπότε: ( t) = OA+t AB= ( t,-3t,t), t [,] r, = ( r) r () c f x,y,z ds f t t dt = ( ) t+ -3t - t + -3 + dt 3t 3 = ( t+9t -4t) 4dt= 4 - +3t 3 3 = 3-4 = 4 Έστω c= c c είναι η καµπύλη του σχήµατος: + xy ds Yπολοίστε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα Λύση Προφανώς : () άρα: c π π c r t = συνt,ηµt, t -, και = ( ) [ ] c : r t, 4t,t,, ( ()) () () () c c c -π/ π/ f ds = f ds + f ds = f r t r t dt + f r t r t dt 66

π/ = +4ηµtσυνt dt+ 6 dt -π/ π/ ( ) [ ] π/ t-συν( t) + 4= π + 4 = +ηµ t dt+ 4t = -π/ 3 Σωµατίδιο κινείται προς τα πάνω κατά µήκος κυκλικής έλικας c r t = συνt,ηµt,t, t π και εφαρµόζεται µε παραµετροποίηση πάνω σ αυτό µια δύναµη F ( x,y,z ) = (-zy,zx,xy) Υπολοίστε το έρο της δύναµης αυτής κατά την κίνηση του σωµατιδίου πάνω στην κυκλική έλικα () π Λύση d = () t t dt π F r F r r = ( ) c π F -π/ συνt,ηµt,t ηµt,συνt, dt = tηµt, tσυνt, ηµt συνt ηµt,συνt, dt π 4 Εάν ( t) = ( t, t, t 3 ) ( ) ( ) = -tηµt ηµt + tσυνt συνt+ συνt ηµt dt π π = t+ηµt συνtdt = t + ηµ t dt=π r, t είναι µία παραµετροποίηση καµπύλης c, να υπολοισθεί το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα xydx + 3zxdy 5x yzdz c Λύση + = () () () c xydx 3zxdy 5x yzdz x t y t x t dt () () () () () () () + 3z t x t y t dt 5x t y t z t z t dt 3 3 = t t t dt + 3t t t dt + -5 t t t 3t dt 3 5 9 = ( t + 6 t 5 t ) dt = 4 5 Έστω c είναι η κλειστή καµπύλη που περιράφεται στο ακόλουθο σχήµα: 67

3 4 Να υπολοισθεί το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα y dx + ( x +6xy ) dy Λύση H c είναι µια απλή, κλειστή, θετικά προσανατολισµένη και τµηµατικά λεία καµπύλη Το πεδίο F = ( PQ, ) = ( y 3, x 4 + 6xy ) είναι συνεχώς διαφορίσιµο πάνω και στο εσωτερικό της καµπύλης, οπότε µπορούµε να εφαρµόσουµε το Θεώρηµα Gree Ετσι αν R είναι το φραµένο χωρίο µε σύνορο την καµπύλη c τότε έχουµε Q x P y 3 4 y dx + x +6xy dy = dxdy c R (( 3 ) ) R = 4x +6y 6y dxdy c 4 4 x 3 3 = 4x dxdy = R 4x dydx 3 4 4 4 5/4 4x x dx ( -x ) = 4 4 5 5 = = 6 Υπολοίστε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την x y έλλειψη + = Λύση Θεωρούµε την παραµετροποίηση r ( t ) = ( συνt,ηµt) t [,π] της έλλειψης, οπότε: R c π dxdy = x dy = συνt συνt dt= π 7 Nα υπολοισθεί το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα dx dy +, AB xy x y 68

όπου AB είναι τόξο της καµπύλης µε παραµετρικές εξισώσεις x = t, y= t+, t [,4 ], A= (, ) και B = (, 5 ) Λύση 4 + ( + ) 4 I = d t d t t t+ t t+ 4 = dt+ dt t t+ t t t+ t+ Αλλά 4 4 = dt dt + = t ( t+ ) t( t+ ) t( t+ ) A B = + = A( t+ ) + Bt ( A+ B) t+ A= t t+ t t+ άρα: A + B= B=, A = A= 4 4 t I = dt t ( t +) = = t t+ t+ 8 Nα υπολοισθεί το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα: 4 4 = 5, 3x ydx+5xy dy AB όπου AB είναι το τόξο της καµπύλης y = x 3 από το σηµείο Α = (,) ως το Β=(,8) r t [,] 3 Λύση Θεωρούµε την παραµετροποίηση ( t) = ( t,t ) καµπύλης y = x 3, οπότε: 3 6 3 5 9 I = 3t t dt + 5t t d t = 3t dt +5t dt της 69

6 t t 9 3 = 3 + 5 = 3 + 3 = 566 6 9 Nα υπολοισθεί η κυκλοφορία του διανυσµατικού πεδίου ( x,y) = ( x y+ 4, 3x+5y-6) F, επί του κύκλου x + y =4 µε τη θετική φορά διαραφής Λύση Έστω P(x,y)=x y+4, Q(x,y)=3x+5y 6 Τότε οι P,Q έχουν συνεχείς µερικές παραώους πάνω και στο εσωτερικό του κύκλου, οπότε από τον τύπο Gree έχουµε: Q P F dr= dxdy = 4 dxdy x y c R R π ρ = 4 ρdρdθ =4 π = 6π ίνεται το πεδίο F y x { } F( xy) = x + y x + y :, :,, (α) είξτε ότι το πεδίο είναι αστρόβιλο στο {,} (β) Εστω D ο κυκλικός δίσκος κέντρου (,) και ακτίνας ε> µε σύνορο τον κύκλο x + y = ε µε τη θετική φορά είξτε ότι F dr= π D () Αν είναι οποιαδήποτε απλή, κλειστή, τµηµατικά λεία και θετικά προσανατολισµένη καµπύλη που περιέχει το (,) στο εσωτερικό της, δείξτε ότι F dr= π D, ; Εξηήστε (δ) Eίναι το πεδίο συντηρητικό στο { } (ε) Ορίζεται συνάρτηση δυναµικού στο {,} ; Αν όχι πως θα έπρεπε να διαµορφώσετε το πεδίο ορισµού ώστε να ορίζεται συνάρτηση δυναµικού; Λύση (α) Είναι εύκολο να δούµε ότι 7

y x P = Q = x y y x ( x + y ) άρα το πεδίο είναι αστρόβιλο στο {,} (, ) {,} (β) Επειδή το πεδίο δεν έχει συνεχείς µερικές παραώους στο εσωτερικό του κύκλου x + y = ε (αφού το (,) ανήκει στο εσωτερικό του κύκλου), το Θεώρηµα Gree 67 δε µπορεί να εφαρµοσθεί Εραζόµαστε µέσω ορισµού και έχουµε π ( ()) () F dr= F r t r t dt π εηµ t t εσυν = + = ε ε εηµ t εσυνt dt π () Εστω R ο κυκλικός δίσκος κέντρου (,) και ακτίνας ε> µε σύνορο τον κύκλο κ : x + y = ε µε τη θετική φορά ώστε D R και G φραµένο χωρίο µε σύνορο G = κ Τότε το πεδίο F είναι αστρόβιλο στο G και απ το θεώρηµα παραµόρφωσης δρόµων ισχύει κ G F d r= F d r+ F( x, y ) dxdy = π + = π λόω και του ερωτήµατος (β) (δ) Το πεδίο αν και είναι αστρόβιλο ΕΝ είναι συντηρητικό στο { (,) } διότι όπως είδαµε στο ερώτηµα (β) (ή ()) το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα κατά µήκος οποιασδήποτε κλειστής καµπύλης εντός του D δεν είναι µηδέν { } Αν όµως περιορίσουµε το πεδίο ορισµού του πεδίου σε ένα απλά συνεκτικό υποσύνολο Ε του, τότε (δ) εν µπορεί να ορισθεί συνάρτηση δυναµικού στο (,) που δεν περιέχει το ισχύει το Θεώρηµα του Gree, το πεδίο είναι συντηρητικό και υπάρχει µονότιµα ορισµένη συνάρτηση δυναµικού (µε προσέιση σταθεράς) στο Ε 7

66 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Yπολοίστε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα: ydx + xdy, όπου c είναι c το τρίωνο µε πλευρές x =, y =, y = x µε τη θετική φορά Aπάντ 3 Yπολοίστε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα: ydx+ xdy, όπου c είναι c η τεθλασµένη ραµµή P P P, όπου P = (,,), P = (,,) P = (,,) Aπάντ 6 3 Να υπολοισθεί το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα ( x + y z) ds, όπου c c είναι η τεθλασµένη ραµµή P P P, όπου P = (,,), P = (,,) P = (,,) Απάντ 5 3 6 + 4 Να υπολοισθεί το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα είναι η καµπύλη µε εξίσωση ρ συνθ, θ [,π ] c 4 x + yds, όπου c = + Απάντ π 5 Να υπολοισθεί το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα είναι η καµπύλη { x y z, y z} c y + z ds, όπου c + + = = Απάντ 6 6 ίνεται το πεδίο F ( x, y, z) = ( xyz + ηµ ( z ) + y, x z + x, x y + xzσυν ( z )) Να δείξετε ότι το πεδίο είναι συντηρητικό και στη συνέχεια υπολοίστε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα F dr, όπου AB τόξο καµπύλης µε AB αρχή το σηµείο Α = (,,) και πέρας το σηµείο Β = (,,) ηµ Απάντ 7

7 Yπολοίστε το επικαµπύλιο ολοκλήρωµα 3xydx + xy dy, όπου AB είναι το τόξο της καµπύλης y= + x από το σηµείο Α = (,) έως το σηµείο Β = (,5) Απάντ 666 5 8 Υπολοίστε την κυκλοφορία του πεδίου F ( x, yz, ) = ( x, y, z+ ) επί της καµπύλης ( x ) ( y ), z + = = Απάντ 9 Υπολοίστε το έρο του πεδίου ( x, yz, ) = ( x, y, z) έλικας r( t) ( συνt, ηµ t, t), t [,4π ] AB F επί της κυκλικής = Aπάντ Επαληθεύστε τον τύπο Gree ια το πεδίο F και ια τον τόπο D ( x y) ( x, y) = ( x + y, y 3x) x y =, : + 4 9 8π ίνεται το πεδίο y x F: { (, )} : F( xy, ) =, ( x ) + y ( x ) + y (α) είξτε ότι το πεδίο είναι αστρόβιλο στο {, } (β) Εστω D τόπος που φράσσεται από µια απλή κλειστή και τµηµατικά λεία καµπύλη µε τη θετική φορά Αν ο τόπος D περιέχει στο εσωτερικό του το σηµείο (, ), υπολοίστε το F dr D () είξτε ότι το πεδίο δεν είναι συντηρητικό στο {, } (δ) είξτε ότι ορίζεται συνάρτηση δυναµικού στο σύνολο D= x, y : x + y / Υπολοίστε έναν τύπο της { } x Υπολοίστε το έρο του πεδίου ( xy, ) F = xy+, y + επί του συνόρου του δακτυλίου D= {( x, y) :< x + y < 4} Θεωρήστε ως φορά διαραφής τη θετική ως προς το χωρίο Απάντ 73

3 Υπολοίστε την κυκλοφορία του πεδίου F x, y = x y, x + y επί του συνόρου του δακτυλίου {(, ) : 4} D= x y < x + y < Θεωρήστε ως φορά διαραφής τη θετική ως προς το χωρίο Απάντ 74