ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Θεσξία Μαζεκαηηθώλ Καηεύζπλζεο Β Λπθείνπ Ιδιόηηηερ Ππόζθεζηρ Διανςζμάηων Γηα ηελ πξόζζεζε ησλ δηαλπζκάησλ ηζρύνπλ νη γλσζηέο ηδηόηεηεο ηεο πξόζζεζεο πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ Γειαδή, αλ,, είλαη ηξία δηαλύζκαηα, ηόηε: () a β βα (Αληηκεηαζεηηθή ηδηόηεηα) () ( ) γ α( βγ) (Πξνζεηαηξηζηηθή ηδηόηεηα) (3) (4) α ( α) Μέηπο Αθποίζμαηορ Διανςζμάηων ην δηπιαλό ζρήκιέπνπκε ην άζξνηζκα ησλ δηαλπζκάησλ Από ηελ ηξηγσληθή αληζόηεηα γλσξίδνπκε όκσο όηη ( OA) ( AB) ( OB) ( OA) ( AB) επνκέλσο πιζμόρ Πολλαπλαζιαζμού Απιθμού με Διάνςζμα Έζησ έλαο πξαγκαηηθόο αξηζκόο κε έλα κε κεδεληθό δηάλπζκα λνκάδνπκε γηλόκελν ηνπ λ κε ην ην ζπκβνιίδνπκε κε ή έλα δηάλπζκα ην νπνίν: είλαη νκόξξνπν ηνπ, αλ αληίξξνπν ηνπ, αλ έρεη κέηξν Αλ είλαη ή, ηόηε νξίδνπκε σο ην κεδεληθό δηάλπζκα Ιδιόηηηερ Πολλαπλαζιαζμού Απιθμού με Διάνςζμα Γηα ην γηλόκελν πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ κε δηάλπζκα ηζρύνπλ νη επόκελεο ηδηόηεηεο: () () ( ) (3) ( ) ( ) Ωο ζπλέπεηα ηνπ νξηζκνύ ηνπ γηλνκέλνπ αξηζκνύ κε δηάλπζκα ησλ παξαπάλσ ηδηνηήησλ έρνπκε: (i) λα λ ή α (ii) ( λα) λ( α) ( λα) (iii) λ( ) λα λβ (iv) ( λ μ) α λα μα a Α a Β a ~ ~
(v) Αλ λα λβ λ, ηόηε α β (vi) Αλ λα μα α, ηόηε λ μ Σςνθήκη παπαλληλίαρ Αλ, είλαη δύν δηαλύζκαηα, κε, ηόηε //, R Διανςζμαηική Ακηίνα Μέζος Τμήμαηορ Αο πάξνπκε έλα δηάλπζκα AB έλα ζεκείν αλαθνξάο Γηα ηε δηαλπζκαηηθή αθηίλα κέζνπ Μ ηνπ ηκήκαηνο ΑΒ έρνπκε: Δπνκέλσο, OM OA AM OM OBBM OA AMOBBM OAOB OM ηνπ OM Άξα OAOB OM Σςνηεηαγμένερ Διανύζμαηορ Κάζε δηάλπζκα ηνπ επηπέδνπ γξάθεηαη ά κνλαδηθό ηξόπν ζηε κνξθή α i j Έζησ O έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ζην επίπεδν έλα δηάλπζκα ηνπ επηπέδνπ Με αξρή ην ζρεδηάδνπκε ην δηάλπζκα OA α Αλ A A είλαη νη πξνβνιέο ηνπ Α ζηνπο άμνλεο αληηζηνίρσο, έρνπκε: OA OA OA () a Αλ, είλαη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ A, ηόηε ηζρύεη OA ι OA j Α A Δπνκέλσο ε ηζόηεηα () γξάθεηαη a i j j Απνδείμακε δειαδή όηη ην είλαη γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ησλ i i A j ηελ παξαπάλσ αζθεπή νη αξηζκνί είλαη κνλαδηθνί Θα απνδείμνπκε ηώξα όηη ε έθθξαζε ηνπ σο γξακκηθνύ ζπλδπαζκνύ ησλ i j είλαη κνλαδηθή Πξάγκαηη, έζησ όηη ηζρύεη i j Σόηε ζα έρνπκε i j i j ( ) i ( ) j Α Μ Β Αλ ππνζέζνπκε όηη, δειαδή όηη, ηόηε ζα ηζρύεη i j ~ ~
Η ζρέζε απηή, όκσο, δειώλεη όηη i / / j, πνπ είλαη άηνπν, αθνύ ηα i j δελ είλαη ζπγγξακκηθά Δπνκέλσο, πνπ ζπλεπάγεηαη όηη Σςνηεηαγμένερ Γπαμμικού Σςνδςαζμού Διανςζμάηων Αλ, ), ), ηόηε έρνπκε: ( ( ( i j) ( i j) ( ) i ( ) j ( i j) ( ) i ( ) j Άξα (, ) (, ) (, ), ) (, ) ( Γεληθόηεξα, γηα ην γξακκηθό ζπλδπαζκό έρνπκε:, ) (, ) (, Σςνηεηαγμένερ Μέζος Τμήμαηορ ( Αο ζεσξήζνπκε δύν ζεκεία (, ) (, ) ηνπ θαξηεζηαλνύ επηπέ-δνπ αο ππνζέζνπκε όηη (, ) είλαη νη ζπληεηαγκέλεο ηνπ κέζνπ Μ ηνπ ΑΒ Δπεηδή OM ( OAOB ), OM (, ), OA, ), OB, ), έρνπκε ( ( (, ) [(, ) (, )], Δπνκέλσο ηζρύεη Μέηπο Διανύζμαηορ Έζησ (, ) έλα δηάλπζκα ηνπ θαξηεζηαλνύ επηπέδνπ Α ην ζεκείν κε δηαλπζκαηηθή αθηίλα A(,) Α OA α Αλ είλαη νη πξνβνιέο ηνπ Α a ζηνπο άμνλεο αληηζηνίρσο, επεηδή ην ζεκείν Α έρεη ηεηκεκέλε ηεηαγκέλε, ζα ηζρύεη ( ) ( ) Έηζη ζα έρνπκε: A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Δπνκέλσο: Αλ α (, ), ηόηε ) B(, ) Μ(,) A(, ) ~ 3 ~
Αο ζεσξήζνπκε ηώξα δύν ζεκεία (, ) (, ) ηνπ θαξηεζηαλνύ επηπέδνπ Δπεηδή ε απόζηαζε ( ) ησλ ζεκείσλ Α Β είλαη ίζε κε ην κέηξν ηνπ δηαλύζκαηνο AB (, ), ζύκθσλα κε ηνλ ηύπν () ζα ηζρύεη: A(, ) B(, ) ) ( ) ( ) ( Σςνθήκη Παπαλληλίαρ Διανςζμάηων Έζησ (, ) (, ) δύν δηαλύζκαηα ηνπ θαξηεζηαλνύ επηπέδνπ, ηόηε: α // β det( a, β) Σςνηελεζηήρ Διεύθςνζηρ Διανύζμαηορ Έζησ (, ) έλα κε κεδεληθό δηάλπζκα A ην ζεκείν ηνπ επηπέδνπ γηα ην νπνίν ηζρύεη OA a Σε γσλία φ, πνπ δηαγξάθεη ν εκηάμνλαο O αλ ζηξαθεί γύξσ από ην ά ηε ζεηηθή θνξά κέρξη λα ζπκπέζεη κε ηελ εκηεπζεία Α, ηελ νλνκάδνπκε γσλία πνπ ζρεκαηίδεη ην δηάλπζκα κε ηνλ άμνλα Δίλαη θαλεξό όηη φπ Σν πειίθν ηεο ηεηαγκέλεο πξνο ηελ ηεηκεκέλε ηνπ δηαλύζκαηνο (, ), κε, ην ιέκε ζπληειεζηή δηεύζπλζεο ηνπ ζπκβνιίδνπκε κε ή απιώο κε λ Δπνκέλσο: Εζωηεπικό Γινόμενο Διανςζμάηων λ εφφ ηνλ λνκάδνπκε εζσηεξηθό γηλόκελν δύν κε κεδεληθώλ δηαλπζκάησλ ην ζπκβνιίδνπκε κε α β ηνλ πξαγκαηηθό αξηζκό αβ α β συν φ, όπνπ φ ε γσλία ησλ δηαλπζκάησλ Αλ ή, ηόηε νξίδνπκε Άκεζεο ζπλέπεηεο ηνπ παξαπάλσ νξηζκνύ είλαη νη εμήο: βα (Αληηκεηαζεηηθή ηδηόηεηα) Αλ α β ηόηε αληηζηξόθσο Αλ α β ηόηε α β α β αληηζηξόθσο Αλ α β ηόηε α β α β αληηζηξόθσο A(,) Σν εζσηεξηθό γηλόκελν α α ζπκβνιίδεηαη κε α ιέγεηαη ηεηξάγσλν ηνπ α Έρνπκε: α α α συν α Δπνκέλσο α α φ ~ 4 ~
Αναλςηική Έκθπαζη Εζωηεπικού Γινομένος Αλ (, ) (, ) ηόηε: Ιδιόηηηερ Εζωηεπικού Γινομένος ΑΠΔΕΙΞΗ λα β α( λβ ) λ( α β), λr α ( βγ ) αβαγ (Δπηκεξηζηηθή Ιδηόηεηα) αβ λ λ όπνπ λ λ α λ λ, ( α, β // ) β Πξάγκαηη, αλ (, ), (, ) ( 3, 3 ), ηόηε έρνπκε: ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άξα, ( ) ( ) ( ) ( ) (, )(, ) ( ) ( ) 3 3 3 3 ( 3) ( 3) ( ) ( 3 3 ) αβ αβ λ λ Σςνημίηονο Γωνίαρ δύο Διανςζμάηων Αλ (, ) (, ) είλαη δύν κε κεδεληθά δηαλύζκαηα ηνπ επηπέδνπ πνπ ζρεκαηίδνπλ γσλία θ, ηόηε επνκέλσο, α β συνθ α β Δίλαη όκσο, Δπνκέλσο, συνθ Πποβολή Διανύζμαηορ ζε Διάνςζμα Έζησ α, v δύν δηαλύζκαηα ηνπ επηπέδνπ κε α Με αξρή έλα ζεκείν παίξλνπκε ηα δηαλύζκαηα OA α OM ν Από ην Μ θέξλνπκε θάζεην ζηε δηεύζπλζε ηνπ OA έζησ M ην ίρλνο ηεο θαζέηνπ Σν δηάλπζκα OM ιέγεηαη πξνβνιή ηνπ ν ζην α M v ζπκβνιίδεηαη κε προ β α ν Γειαδή, A θ OM προ β α ν a M ~ 5 ~
Απνδεηθλύεηαη όηη ε πξνβνιή ηνπ ν πάλσ ζην α είλαη αλεμάξηεηε από ηελ επηινγή ηνπ ζεκείνπ Γηα ην εζσηεξηθό γηλόκελν ησλ α ν έρνπκε: αv α( OM α προ β α ν MM ) αomαmm αom Δπνκέλσο: ΠΡΥΗ!! ΓΔΝ ΙΥΤΤΝ: α) α ν απροβ ν τότε ( δηαγξαθή ) β) γ) a α ( πξνζεηαηξηζηηθή ) δ) a Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤ ΕΠΙΠΕΔ Εξίζωζη Γπαμμήρ Μηα εμίζσζε κε δύν αγλώζηνπο, ιέγεηαη εμίζσζε κηαο γξακκήο C, όηαλ νη ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ ηεο C, κόλν απηέο, ηελ επαιεζεύνπλ Σςνηελεζηήρ Διεύθςνζηρ Εςθείαρ Ωο ζπληειεζηή δηεύζπλζεο κηαο επζείαο ε νξίδνπκε ηελ εθαπηνκέλε ηεο γσλίαο ω πνπ ζρεκαηίδεη ε ε κε ηνλ άμνλα ζπληειεζηήο δηεύζπλζεο λ κηαο επζείαο πνπ δηέξρεηαη από ηα ζεκεία A (, ) B (, ), κε είλαη ι Σςνθήκερ Καθεηόηηηαρ και Παπαλληλίαρ Εςθειών Δπνκέλσο, αλ νη επζείεο ε ε έρνπλ ζπληειεζηέο δηεύζπλζεο λ λ αληηζηνίρσο, ηόηε: Εξίζωζη Εςθείαρ ε // ε λ λ ε ε λ λ λ( ) ~ 6 ~
Η Εξίζωζη, με ή Κάζε επζεία ηνπ επηπέδνπ έρεη εμίζσζε ηεο κνξθήο A B κε A ή B () αληηζηξόθσο, θάζε εμίζσζε ηεο κνξθήο () παξηζηάλεη επζεία γξακκή ΑΠΔΕΙΞΗ Έζησ ε κηα επζεία ζην θαξηεζηαλό επίπεδν Αλ ε επζεία ε ηέκλεη ηνλ άμνλα ζην ζεκείν (, ) έρεη ζπληειεζηή δηεύζπλζεο λ, ηόηε ζα έρεη εμίζσζε, ε νπνία γξάθεηαη ( ) Αλ ε επζεία ε είλαη αθόξπθε δηέξρεηαη από ην ζεκείν P(, ), ηόηε ζα έρεη εμίζσζε, ε νπνία γξάθεηαη ηζνδύλακα ( ) Βιέπνπκε, δειαδή, όηη ζηηο δύν πεξηπηώζεηο ε εμίζσζε ηεο επζείαο ε παίξλεη ηε κνξθή A B κε A ή B Αληηζηξόθσο, έζησ ε εμίζσζε A B κε A ή B A Αλ B, ηόηε ε εμίζσζε γξάθεηαη B B, πνπ είλαη εμίζσζε επζείαο κε ζπληειεζηή δηεύζπλζεο A B ζην ζεκείν, B ε νπνία ηέκλεη ηνλ άμνλα Αλ B, ηόηε, ιόγσ ηεο ππόζεζεο, είλαη A ε εμίζσζε γξάθεηαη, πνπ A είλαη εμίζσζε επζείαο θάζεηεο ζηνλ άμνλα ζην ζεκείν ηνπ P, A ε όιεο ινηπόλ ηηο πεξηπηώζεηο ε εμίζσζε A B κε A ή B παξηζηάλεη επζεία Διάνςζμα Παπάλληλο ή Κάθεηο ζε Εςθεία Η επζεία κε εμίζσζε A B είλαη παξάιιειε ζην δηάλπζκα δ ( B, A) Η επζεία κε εμίζσζε A B είλαη θάζεηε ζην δηάλπζκα n ( A, B) Απόζηαζη Σημείος από Εςθεία Έζησ ε κηα επζεία ηνπ θαξηεζηαλνύ επηπέδνπ, κε εμίζσζε A B M (, ) έλα ζεκείν εθηόο απηήο d( M A B, ε) A B ε P(, ) ~ 7 ~
Υπολογιζμόρ Εμβαδού Θεσξία Μαζεκαηηθώλ Καηεύζπλζεο Β Λπθείνπ Έζησ A, ), B, ) 3, ) ηξία ζεκεία ηνπ θαξηεζηαλνύ επηπέδνπ ( ( ( 3 ( AB ) det( AB, A ) 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ Εξίζωζη Κύκλος Έζησ O έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ζην επίπεδν C ν θύθινο κε θέληξν ην ζεκείν O(, ) αθηίλα ρ Γλσξίδνπκε από ηε Γεσκεηξία όηη έλα ζεκείν M(, ) αλήθεη ζηνλ θύθιν C, αλ κόλν αλ απέρεη από ην θέληξν ηνπ απόζηαζε ίζε κε ρ, δειαδή, αλ κόλν αλ ηζρύεη: M(,) ( OM) () ρ Όκσο, ( OM) Δπνκέλσο, ε () γξάθεηαη ή, ηζνδύλακα, () Παξαηεξνύκε, δειαδή, όηη νη ζπληεηαγκέλεο ησλ ζεκείσλ ηνπ θύθινπ κόλν απηέο επαιεζεύνπλ ηελ εμίζσζε () Άξα, ν θύθινο κε θέληξν ην ζεκείν O(, ) αθηίλα ρ έρεη εμίζσζε Εθαπηομένη Κύκλος Έζησ ε ε εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ (3) ζε C : ρ έλα ζεκείν ηνπ A(, ) Γλσξίδνπκε από ηε Γεσκεηξία όηη έλα ζεκείν M(, ) αλήθεη ζηελ ε, αλ κόλν αλ, δειαδή, αλ κόλν αλ ηζρύεη AM Όκσο OA (, ) () γξάθεηαη δηαδνρηθά OA () AM (, ) Έηζη ε ( ) ( ), αθνύ Α(, ) (,) C M(,) ε Δπνκέλσο, ε εθαπηνκέλε ηνπ θύθινπ ρ ζην ζεκείν ηνπ (, ) A έρεη εμίζσζε ~ 8 ~
Η Εξίζωζη AB Έζησ O έλα ζύζηεκα ζπληεηαγκέλσλ ζην επίπεδν C ν θύθινο κε θέληξν K(, ) αθηίλα ρ Έλα ζεκείν M(, ) αλήθεη ζηνλ θύθιν C, αλ κόλν αλ απέρεη από ην θέληξν ηνπ Κ απόζηαζε ίζε κε ρ, δειαδή, αλ κόλν αλ ηζρύεη ( KM ) ρ () Όκσο, ( KM) ( ) ( ) Δπνκέλσο, ε ζρέζε () γξάθεηαη: ( ) ( ) ή, ηζνδύλακα, ( ) ( ) Άξα, ν θύθινο κε θέληξν K(, ) αθηίλα ρ έρεη εμίζσζε: ( ) ( ) () Έηζη, γηα παξάδεηγκα, ν θύθινο κε θέληξν K(, 3) αθηίλα έρεη εμίζσζε ( ) ( 3) Αλ ηώξα εθηειέζνπκε ηηο πξάμεηο, ε εμίζσζε () γξάθεηαη ( ρ ), δειαδή παίξλεη ηε κνξθή A B, (3) όπνπ A, B Ανηιζηρόθως, θάζε εμίζσζε ηεο κνξθήο (3) γξάθεηαη δηαδνρηθά: ( A) ( B) A A B B A B 4 4 4 4 A B A B 4 4 Δπνκέλσο: A B Αλ A B 4, ε εμίζσζε (3) παξηζηάλεη θύθιν κε θέληξν K, αθηίλα A B 4 A B Αλ A B 4, ε εμίζσζε (3) παξηζηάλεη έλα κόλν ζεκείν, ην K, Αλ A B 4, ε εμίζσζε (3) είλαη αδύλαηε, δειαδή δελ ππάξρνπλ ζεκεία M (, ) ησλ νπνίσλ νη ζπληεηαγκέλεο λα ηελ επαιεζεύνπλ Απνδείμακε ινηπόλ όηη: Κάζε θύθινο έρεη εμίζσζε ηεο κνξθήο Κ(, ) ρ M(,) A B, κε A B 4 (Ι) αληηζηξόθσο θάζε εμίζσζε ηεο κνξθήο (Ι) παξηζηάλεη θύθιν ~ 9 ~
πιζμόρ Παπαβολήρ Θεσξία Μαζεκαηηθώλ Καηεύζπλζεο Β Λπθείνπ Έζησ κηα επζεία δ έλα ζεκείν Ε εθηόο ηεο δ λνκάδεηαη παξαβνιή κε εζηία ην ζεκείν Ε δηεπζεηνύζα ηελ επζεία δ ν γεσκεηξηθόο ηόπνο C ησλ ζεκείσλ ηνπ επηπέδνπ ηα νπνία ηζαπέρνπλ από ηελ Ε ηε δ ΙΔΙΤΗΤΕΣ Δμίζσζε =p =p Δζηία Γηεπζεηνύζα δ: p p E(,) E(, ) p p δ: Κνξπθή (, ) (, ) πκκεηξίεο Δθαπηνκέλε =p(+ ) =p(+ ) πιζμόρ Έλλειψηρ Έζησ E Ε δύν ζεκεία ελόο επηπέδνπ λνκάδεηαη έιιεηςε κε εζηίεο ηα ζεκεία E Ε ν γεσκεηξηθόο ηόπνο C ησλ ζεκείσλ ηνπ επηπέδνπ ησλ νπνίσλ ην άζξνηζκα ησλ απνζηάζεσλ από ηα E Ε είλαη ζηαθερό κεγαιύηεξν ηνπ EE Σν ζηαζεξό απηό άζξνηζκα ην ζπκβνιίδνπκε, ζπλήζσο, κε α ηελ απόζηαζε ησλ εζηηώλ E Ε κε γ H απόζηαζε E E νλνκάδεηαη εζηηαθή απόζηαζε ηεο έιιεηςεο Ιζρύεη ( EE) ( ME ) ( ME ), δειαδή νπόηε γα Αλ, ηόηε ηα ζεκεία E, E ζπκπίπηνπλ, νπόηε ε έιιεηςε γίλεηαη θύθινο κε θέληξν ην Ε αθηίλα α ΙΔΙΤΗΤΕΣ Δμίζσζε κε β =α -γ κε β =α -γ Δζηίεο Δ (-γ, ), Δ(γ, ) Δ (, -γ), Δ(, γ) Κνξπθέο Α (-α, ), Α(α, ) Α (, -α), Α(, α) Β (, -β), Β(, β) Β (-β, ), Β(β, ) Μεγάινο άμνλαο (ΑΑ )=α Μηθξόο άμνλαο (ΒΒ )=β πκκεηξίεο,, (, ) Δθθεληξόηεηα γ β ε ε α α Δθαπηνκέλε ~ ~
πιζμόρ Υπεπβολήρ Θεσξία Μαζεκαηηθώλ Καηεύζπλζεο Β Λπθείνπ Έζησ E Ε δύν ζεκεία ελόο επηπέδνπ λνκάδεηαη ππεξβνιή κε εζηίεο ηα ζεκεία E Ε ν γεσκεηξηθόο ηόπνο C ησλ ζεκείσλ ηνπ επηπέδνπ ησλ νπνίσλ ε απόιπηε ηηκή ηεο δηαθνξάο ησλ απνζηάζεσλ από ηα E Ε είλαη ζηαθερή κηθξόηεξε ηνπ ( EE ) Σελ απόιπηε ηηκή ηεο δηαθνξάο ησλ απνζηάζεσλ θάζε ζεκείνπ ηεο ππεξβνιήο από ηηο εζηίεο ηελ παξηζηάλνπκε ζπλήζσο κε α, ελώ ηελ απόζηαζε ησλ εζηηώλ κε γ Η απόζηαζε E E νλνκάδεηαη εζηηαθή απόζηαζε ηεο ππεξβνιήο Ιζρύεη όηη: γ>α ΙΔΙΤΗΤΕΣ Δμίζσζε κε β =γ -α κε β =γ -α Δζηίεο Δ (-γ, ), Δ(γ, ) Δ (, -γ), Δ(, γ) Κνξπθέο Α (-α, ), Α(α, ) Α (, -α), Α(, α) πκκεηξίεο,, (, ) Δθθεληξόηεηα γ β ε ε α α Δθαπηνκέλε Αζύκπησηεο β β, α α α α, β β ~ ~