Κανόνες παραγώγισης ( )

66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Παραθέτουµε πρώτα τους κανόνες παραγώγισης αθροισµάτων, γινοµένων και πηλίκων m 55 Θεώρηµα Έστω U R ανοικτό U και f, g : U R συναρτήσεις διαφορίσιµες στο, τότε ισχύουν τα ακόλουθα: (ι) Αν λ R η συνάρτηση λ f είναι διαφορίσιµη στο και ισχύει, D( λ f) λ Df (ιι) Η συνάρτηση f + g είναι διαφορίσιµη στο και D( f + g) Df + Dg (ιιι) Έστω m, τότε η συνάρτηση f g είναι διαφορίσιµη στο και D( f g) g Df + f Dg (ιν) Αν m και g, τότε η συνάρτηση ( η οποία ορίζεται σε µια σφαίρα Β (, δ) U ) f g Ιδιαίτερα η g είναι διαφορίσιµη στο και f D g f Dg ( g ) g Df είναι διαφορίσιµη στο και D Dg g ( g ) Απόδειξη: Οι αποδείξεις των παραπάνω κανόνων είναι παρόµοιες µε τις αντίστοιχες για διαφορίσιµες συναρτήσεις µιας µεταβλητής Αποδεικνύουµε ενδεικτικά τον ισχυρισµό (ιιι) Έστω U, τότε έχουµε Α f g f g g Df + f Dg ( ) f ( ) g( ) f g g Df ( ) f Dg( ) + + f ( ) Dg( ) f ( ) Dg( ) + f ( ) g f ( ) g f ( ) g( ) g Dg( ) + g f ( ) f Df ( ) + + ( f ( ) f ) Dg( ) Αν συµβολίσουµε την τελευταία παράσταση µε Β ( ) τότε θα έχουµε: Α( ) Β( ), U, Η παράσταση Β ( ) έχει τρεις προσθετέους εκ των οποίων οι δύο πρώτοι τείνουν στο καθώς, από τον ορισµό του διαφορικού συνάρτησης και το γεγονός ότι η f είναι συνεχής στο Για τον τρίτο προσθετέο παρατηρούµε ότι

67 ( f ( ) f ) Dg( ) f f κ κ f ( ) f, καθώς η γραµµική συνάρτηση Dg( ) είναι Lipscitz και συνεπώς υπάρχει κ > : Dg( y) κ y,, y R Σηµείωση Καθώς το διαφορικό µιας συνάρτησης πολλών µεταβλητών ταυτίζεται µε τον αντίστοιχο πίνακα Jcobi, οι παραπάνω ισότητες µπορούν να ερµηνευθούν και ως ισότητες πινάκων αντικαθιστώντας τα διαφορικά µε τους αντίστοιχους πίνακες Jcobi Για παράδειγµα η (ι) µπορεί ισοδύναµα να γραφεί και ως J( λ f) λj( f), λ R, ( γινόµενο πίνακα µε αριθµό) και η (ιι) J( f + g) J( f) + J( g) ( άθροισµα πινάκων) Παραδείγµατα: ) Κάθε πολυώνυµο :(,, ) (,, ) P R P R είναι διαφορίσιµη συνάρτηση στον R, µάλιστα οι µερικές παράγωγοί του είναι πάλι πολυώνυµα και συνεπώς συνεχείς συναρτήσεις στον R Επειδή ένα πολυώνυµο είναι εξορισµού γραµµικός συνδυασµός µονώνυµων ( δηλαδή k συναρτήσεων της µορφής k, όπου k,, k N { } ) είναι αρκετό από τους κανόνες (ι) και (ιι) να αποδείξουµε τον ισχυρισµό για µονώνυµα Έστω λοιπόν k k f,,, k, i, παρατηρούµε ότι i ( ) ( ) k k k (,, ) π π π όπου ( ) f,, και π,, π οι προβολές του R στον R Επειδή οι προβολές είναι γραµµικές συναρτήσεις και άρα διαφορίσιµες, από τον κανόνα (ιιι) ( και µε επαγωγή στον βαθµό του µονώνυµου ) k k έπεται το συµπέρασµα Το διαφορικό ενός µονώνυµου f (,, ) στη θέση,, R υπολογίζεται εύκολα αφού οι µερικές παράγωγοι του µονώνυµου µπορούν να υπολογιστούν και αυτές εύκολα: f k k k k, ( συνεχείς συναρτήσεις στον R ) Έπεται Df + + ( k ) k k k k k k + + k k όπου,, R Ιδιαίτερα για ένα µονώνυµο δύο µεταβλητών, (, ) Df,, κ + λ κ λ κ λ έχουµε: ότι, f y κ y Είναι βέβαια τώρα σαφές ότι οι µερικές παράγωγοι ενός πολυωνύµου είναι και αυτές πολυώνυµα και άρα συνεχείς συναρτήσεις λ

68 )Οι ρητές συναρτήσεις, δηλαδή τα πηλίκα πολυωνύµων f (,, ) (,, ) (,, ) P Q, όπου Q είναι διαφορίσιµες στο πεδίο ορισµού τους Σηµειώνουµε κατ αρχήν ότι το πεδίο ορισµού U µιας ρητής συνάρτησης όπως παραπάνω είναι ανοικτό υποσύνολο του U R Q και Q συνεχής στο R R, αφού { } P Έπεται αµέσως από τον κανόνα διαφόρισης (ιν) ότι η f είναι διαφορίσηµη στο Q U ως πηλίκο διαφορισίµων συναρτήσεων Ο ίδιος κανόνας µας επιτρέπει να υπολογίσουµε το διαφορικό της f στο U Σηµειώνουµε ακόµη ότι αντίστοιχος κανόνας για συναρτήσεις µιας µεταβλητής συµπεραίνει ότι οι µερικές παράγωγοι της f στο U είναι συνεχείς συναρτήσεις (αφού είναι ρητές συναρτήσεις) y Ας υπολογίσουµε το διαφορικό της ρητής συνάρτησης φ (, y) στο πεδίο + y { } ορισµού της που είναι βέβαια το U R (,) Έστω (, ) R (,) Θέτοµε f (, y) y µε και g(, y) + y Από τον κανόνα (ιν) έχουµε: g Df f Dg (), ( ) ( g ), Dφ Από το προηγούµενο παράδειγµα υπολογίζουµε, Df +, Dg +, g f + και Αντικαθιστώντας στην () βρίσκουµε: ( + )( + ) ( + ) D ( )( ) φ + + )Έστω ( ) ( ) f, y, z + y+ z Να υπολογιστεί η κατευθυνόµενη παράγωγος της f στο (,,) στην κατεύθυνση,, Λύση Η f είναι διαφορίσηµη συνάρτηση στον R ως πολυωνυµική Οι µερικές f παράγωγοι της f στον R είναι οι, και Συνεπώς z f (, y, z) (,,) και f ( ) f D f Df f,,,, Έπεται ότι,,,,, + + Παρατηρούµε ότι ο έλεγχος της διαφορισιµότητας µιας συνάρτησης µε χρήση του ορισµού ( του διαφορικού ) παρουσιάζει στην πράξη αρκετές δυσκολίες Υπάρχει όµως ένα κριτήριο που διευκολύνει αυτή την διαδικασία που έχει να κάνει µε την ύπαρξη και την συνέχεια των µερικών παραγώγων Η διατύπωση αυτού του πολύ χρήσιµου κριτηρίου αλλά και άλλων αποτελεσµάτων που θα ακολουθήσουν διευκολύνεται από τον ακόλουθο ορισµό

69 56 Ορισµός Έστω U R ανοικτό και f : U R συνάρτηση Θα λέµε ότι η f είναι συνεχώς διαφορίσιµη ή της κλάσης C, αν όλες οι µερικές παράγωγοι,, της f στο U υπάρχουν και είναι συνεχείς συναρτήσεις Αν R, µε τον όρο περιοχή του, θα εννοούµε ένα σύνολο V ώστε να υπάρχει δ > µε Β(, δ) V Ισοδύναµα, το V είναι περιοχή του, αν it( V) 57 Θεώρηµα Έστω U R ανοικτό, U και f : U R συνάρτηση Αν οι µερικές παράγωγοι της f υπάρχουν σε µια περιοχή του και είναι συνεχείς στο, τότε η f είναι διαφορίσιµη στο Ιδιαίτερα έπεται ότι αν η f είναι συνεχώς διαφορίσιµη στο U τότε είναι διαφορίσιµη σε κάθε σηµείο του U Απόδειξη Η απόδειξη χρησιµοποιεί το θεώρηµα µέσης τιµής του ιαφορικού δ > : Β, δ U και ώστε όλες οι µερικές παράγωγοι Λογισµού Έστω,, να ορίζονται στην σφαίρα (, δ) Β και να είναι συνεχείς στο Πρέπει f ( + ) f k k k lim Έστω,, ώστε < δ, συνεπώς + Β (, δ), (,, ) Συνδέουµε τα σηµεία z + και z µε µία πολυγωνική γραµµή Ρ z, z z, z Β, δ της οποίας οι πλευρές είναι παράλληλες µε τους R µε [ ] [ ] άξονες που ορίζουν τα διανύσµατα,, e e της κανονικής βάσης του R Κατ αυτόν τον τρόπο η f περιορισµένη στο καθένα από τα ευθύγραµµα τµήµατα [ zk, zk], k,, µας, αφού το [ zk, zk] είναι παράλληλο µε την ευθεία { tek : t R} z + ( +,, + ), z (, +,, + ), z ( + + ) είναι διαφορίσιµη συνάρτηση µιας µεταβλητής, από την υπόθεσή,,,, z,,, + ( ) z,, Κατόπιν f f f z f z ( f z f z ) ( f ( z) f ( z) ) ( ) ( + ) + f ( z ) f ( z ) + f ( z ) f ( z ) ( ) + + Έτσι θέτοµε γράφουµε γιατί κάθε όρος απαλείφεται µε τον προηγούµενο ή τον επόµενό του, εκτός από τον πρώτο και τον τελευταίο) ( Αυτό λέγεται τηλεσκοπικό άθροισµα,

7 Από το θεώρηµα µέσης τιµής του ιαφορικού Λογισµού αυτή η παράσταση µπορεί να γραφεί ως f ( + ) f ( y) + ( y) + + ( y), όπου y c, +,, + και το c είναι ανάµεσα στα και + (,,, ) y c +, + και το c είναι ανάµεσα στα και +,, (,,,, ) y c και το c είναι ανάµεσα στα και + Μπορούµε λοιπόν να γράψουµε, f ( + ) f k k k ( y) + + ( y) Από την τριγωνική ανισότητα, αυτή η παράσταση είναι µικρότερη ή ίση από την ( y) + + ( y) ( y) + + ( y) Έπεται f ( ) f + k k k αφού k για κάθε k,,, ( y ) + + ( y ) Αλλά οι µερικές παράγωγοι είναι συνεχείς, από την υπόθεσή µας, στο σηµείο Έπεται ότι το δεξιό µέλος της τελευταίας ανισότητας τείνει στο όταν το, εποµένως και το αριστερό µέλος επίσης τείνει στο Παρατήρηση Η ιδέα της απόδειξης φαίνεται καλύτερα όταν ότι α+ c α z y zα y c z (, ) (, ) (, ) z + + + z + z Η πολυγωνική γραµµή είναι η Ρ z, z z, z [ ] [ ] Γράφουµε f f τότε f z f z ( + ) + f ( z ) f ( z ) ( f z f z ) ( ) O α α+ Παραδείγµατα και εφαρµογές )Να εξεταστούν ως προς την διαφορισιµότητα οι συναρτήσεις (α) f ( ) και

7, g f R (β) Λύση Έστω,, R f,, + + είναι (α) Οι µερικές παράγωγοι της f,,,, + + στο σύνολο U R { } και βέβαια είναι συνεχείς στο U Εποµένως η f είναι συνεχώς διαφορίσιµη στο U και άρα διαφορίσιµη εκεί Αν (,, ) U τότε Df f, όπου,, R Η δε κλίση της f στο είναι f,,,,, f είναι: Η εξίσωση του εφαπτόµενου επίπεδου του γραφήµατος της f στο z f + ( ) + + ( ) + ( ) ( ) + +, (,, ) R Η f δεν είναι διαφορίσιµη στο Πράγµατι, αν {,,, } (,,,,,,) τότε f και η συνάρτηση αυτή (ως συνάρτηση της µεταβλητής ) δεν είναι διαφορίσιµη στο Εποµένως οι µερικές παράγωγοι της f στο (,,, ) δεν υπάρχουν Παρατηρήση α) Το γράφηµα της f όταν, οπότε γράφουµε (, ),(, ) f y y y R + είναι ένας ανεστραµµένος ορθός κώνος µε την κορυφή στο (,, ) Ο κώνος αυτός σχηµατίζεται µε την περιστροφή µιας ηµιευθείας που διέρχεται από το (,, ) γύρω από τον άξονα z z σε γωνία π ( 45 ) 4 (β)οι µερικές παράγωγοι της οποίες είναι συνεχείς συναρτήσεις στον διαφορίσιµη στον,, Df f + + g g + + είναι,,,, οι R και άρα διαφορίσιµη συνάρτηση στον R Έπεται ότι η gείναι συνεχώς R,,,, Αν ( ) τότε, f ( ) και

7 Η εξίσωση του εφαπτοµένου επιπέδου στο είναι: z f + ( ) + + ( ) + + + + k k )Η συνάρτηση εσωτερικό γινόµενο : : (, ) k g R R R g y y είναι συνεχώς διαφορίσιµη στον R R R Λύση Ο χώρος R R ταυτίζεται φυσιολογικά µε τον Ευκλείδειο χώρο R µέσω της κανονικής απεικόνισης,,, y,, y R R,,, y,, y R (( ) ( ) ) ( ) Έτσι έχουµε Συνεπώς g συνεχείς στον R και στον R g g,,, y,, y g,,, y,, y y + + y y g και,,,, Οι συναρτήσεις αυτές είναι βέβαια R αφού είναι γραµµικές ( η µε την + προβολή του g Αν (, ) (,,,,, ) g(, ) (, ) (,,,,, ) Dg(, )(, ) +,(, ) R R R R ταυτίζεται µε την προβολή του R Έτσι η gείναι συνεχώς διαφορίσιµη τότε και Παρατήρηση Για η gσυµπίπτει µε το συνηθισµένο γινόµενο g g g, y y,, y R Συνεπώς, y, και πραγµατικών αριθµών: (, )(, ) + όπου (, ) R και (, ) R Dg Σηµειώνουµε ακόµη ότι το διαφορικό του εσωτερικού γινοµένου g, y y,, y R R µπορεί να βρεθεί και µε ένα απευθείας υπολογισµό ( αφού γνωρίζουµε τις µερικές παραγώγους ) µε χρήση της ανισότητας Cucy- Scwrz ) Έστω f : U R R,, U Αν το διαφορικό Df : R R της f στο είναι συνάρτηση ( δηλαδή ο πίνακας διαφορίσιµη συνάρτηση στο Jcobi Jf ( ) της f στο είναι αντιστρέψιµος), τότε η ρίζα της εξίσωσης, f ( ) f, U είναι µεµονωµένη ηλαδή, υπάρχει δ > : Β(, δ) U και αν Β (, δ) τότε, f ( ) f επί του R Λύση Θέτοµε : Τ Df R R Η Τ είναι και γραµµική άρα είναι και R και η αντίστροφή της είναι συνεχής αφού είναι γραµµική Θέτοµε για { } + U, ε f + f Τ µε

7 ε ε Η διαφορισιµότητα της f στο ισοδυναµεί µε lim lim () Έπεται ότι, Έστω ε ( ε ) Τ Τ ( ε ), αφού η Τ είναι συνεχής στο Τ δ > : < < δ < Υποθέτουµε ότι το δ είναι αρκετά µικρό ώστε < δ + U Παρατηρούµε ότι δ ( ε ) < Τ, () Έστω ότι για κάποιο R : < < δ, ισχύει ότι f ( + ) f ( f ( ) f για κάποιο (, δ) Β ) Τότε, ε f + f Τ Τ Άρα από την () θα έχουµε, Τ ( ε ) Τ ( Τ ) < άτοπο, δ f f Συνεπώς Β και 4) Έστω p R µε + Να αποδειχθεί ότι η p p p p> και (, ),(, ) f y y y R { } f έχει συνεχείς µερικές παραγώγους στο (,) (, ) Λύση Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση, διαφορίσιµη στο R, εφόσον R και δεν είναι διαφορίσιµη στο p p >, g, p p < p g R είναι συνεχώς, ( µάλιστα η g είναι γνήσια αύξουσα στο R και άρα η g γνήσια κυρτή) { } Έπεται ότι οι µερικές παράγωγοι της f στο (,) Ανάλογα, R είναι p p p p + y, >, y R f p p p p ( + y ), <, y R,, y R { } p p p p ( + y ) y, y>, R f p p p p ( + y ) y, y <, R, y, R { }

74 Οι µερικές παράγωγοι στο (, ) έχουν ως εξής: Αν R και τότε (,) (,) f f Ανάλογα, η (,) p p, >, < δεν υπάρχει Έτσι η f δεν είναι διαφορίσιµη στο (, ) Επειδή όπως εύκολα εξακριβώνεται η, {(,) } R η f είναι { } C στο (,) Άρα η (,) δεν υπάρχει είναι συνεχείς συναρτήσεις στο R και άρα διαφορίσιµη εκεί Επίσης η f είναι συνεχής συνάρτηση στο R αφού είναι σύνθεση συνεχών Παρατήρηση Ανάλογα αντιµετωπίζεται και η συνάρτηση f ( ) p p p p συνεχώς διαφορίσιµη + +, όπου C στον { },, R και p> Η f είναι R και δεν έχει µερικές παραγώγους στο,, Σηµειώνουµε ότι η : R R είναι µια ισοδύναµη νόρµα στον p 5)Έστω f,, : f R Rδιαφορίσιµες στα σηµεία R,, του R αντίστοιχα Ορίζουµε, f : R R : f (,, ) f( ) f( ) f( ) διαφορίσιµη στο ( ) R και + + + Τότε η f είναι,, Ιδιαίτερα έπεται ότι,,, R Df f + + f, όπου fk k, k,, Λύση Θέτοµε Τ (,, ) f + + f, (,, ) f ( + ) f Τ Τότε έχουµε ότι: αν :,, k R ( ( + ) ) + + ( + ) f f f f f f ( + ) f f f ( + ) f f f Συνεπώς Df ( ) Τ + + + + ( + ) f f f ( + ) f f f Παρατήρηση Από την άσκηση αυτή προκύπτει εύκολα ότι )Αν οι,, f f είναι διαφορίσιµες στο R τότε και η f : R R είναι διαφορίσιµη στον R ) Αν οι f,, f είναι διαφορίσιµες στο R και κάποια από αυτές δεν έχει συνεχή παράγωγο στο Rπχ η f τότε η f είναι µεν διαφορίσιµη στον όλες τις µερικές παραγώγους της συνεχείς στο R R αλλά δεν έχει

75 Πράγµατι από την προηγούµενη (5) έπεται ότι: (,, i,, ) fi ( i), i (,, ) R, i,,, Άρα η δεν είναι συνεχής στο R εφόσον η f δεν είναι συνεχής στο R ( Ακριβέστερα έχουµε ότι, fi π i, i,,,, απ i όπου έπεται ότι η είναι συνεχής στο R ακριβώς όταν η f i είναι συνεχής στο i R ) Με βάση την παρατήρηση () µπορούµε εύκολα να κατασκευάσουµε παραδείγµατα συναρτήσεων f : R R οι οποίες είναι διαφορίσιµες αλλά όχι µε συνεχείς µερικές παραγώγους Για παράδειγµα έστω si, f, f R Η και είναι βέβαια συνεχώς διαφορίσιµη στο f, ( ) R, f, όµως si cos, f ( ) η οποία δεν είναι συνεχής στο Έπεται ότι, η, si + y,, y R συνάρτηση, f (, y) f( ) + f( y) είναι µεν y,, y R διαφορίσιµη στο R, αλλά δεν έχει συνεχείς µερικές παραγώγους ( η δεν είναι συνεχής στο (, ) ) f, y f + f y,, y R Ένα άλλο τέτοιο παράδειγµα είναι η συνάρτηση m 6)Έστω f : U R R διαφορίσιµη στο U ( U ανοικτό στο Τότε υπάρχουν δ > ώστε (, δ) κ > : < < δ f + f < κ R ) Β U και Λύση Έστω ε Από τον ορισµό του διαφορικού υπάρχει δ > τέτοιο ώστε αν δ f + f Df < ε < < τότε Έπεται ότι αν < δ τότε, f ( + ) f f ( + ) f Df + Df f ( + ) f Df + Df < ( ) +Μ +Μ Θέτοµε κ+μ και έχουµε το συµπέρασµα Σηµειώνουµε ότι χρησιµοποιήσαµε την m ιδιότητα Lipscitz της γραµµικής συνάρτησης Df : R R Το γεγονός ότι οι γραµµικές απεικονίσεις είναι Lipscitz έχει αποδειχθεί προηγουµένως Παρατήρηση Πρέπει να είναι σαφές ότι η ανισότητα αυτή συµπεραίνει και την συνέχεια της f στο

76 7) Έστω Τ : R m R γραµµική συνάρτηση Υποθέτοµε ότι: Τ ( δηλαδή Τ ( ) για κάθε τότε: R ) Λύση Έστω (,, m) Τ Τ Τi Τ lim τότε Τ Τ Τ, τότε κάθε Τi, i m είναι γραµµική και αν { } m : i m i m ( Πρβλ την απόδειξη της µοναδικότητας του διαφορικού καθώς και την απόδειξη της Πρότασης 5) Έπεται ότι αν αποδείξουµε το αποτέλεσµα για πραγµατικές γραµµικές συναρτήσεις m m, τότε θα ισχύει και για κάθε γραµµική Τ : R R Υποθέτοµε λοιπόν ότι m Τότε θα έχουµε ότι υπάρχει (,, ) R : Τ + + για κάθε (,, ) R Έστω Τ + + λοιπόν (,, ) τότε () Αν και τότε από την () έπεται ότι Τ lim, αν > άρα κατ ανάγκη εφόσον, αν < Ανάλογα θέτοντας και λαµβάνουµε, και τελικά (µε τον ίδιο τρόπο ) Συνεπώς Τ Παρατηρήσεις (α) Έπεται ιδιαίτερα από την άσκηση αυτή ότι: αν, β R + β y τότε: lim β Ανάλογη παρατήρηση ισχύει και για (, y) (,) + y οποιονδήποτε αριθµό µεταβλητών,, (β) Το επιχείρηµα που αποδεικνύει την παραπάνω άσκηση µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την απόδειξη της µοναδικότητας του διαφορικού συνάρτησης 8) Έστω f : U R R συνάρτηση και U ώστε οι, υπάρχουν Υποθέτουµε ότι το όριο ( (, ) lim f ( + ) f + ) l υπάρχει στο R Αποδείξτε ότι η f είναι διαφορίσιµη στο ( δηλαδή ότι l ) Λύση Έπεται από την υπόθεσή µας ότι τα όρια f ( + ( )) ( (, ) ), f f + f y lim l lim υπάρχουν και είναι ίσα µε l, όµως από την πρώτη υπόθεσή µας τα όρια αυτά είναι ίσα µε l ( εφόσον οι µερικές παράγωγοι στο υπάρχουν)

77 9) Να εξετασθεί ως προς την διαφορισιµότητα ( ύπαρξη και συνέχεια µερικών παραγώγων, διαφορικού κλπ) η συνάρτηση f (, y) + y,(, y) R Λύση Είναι εύκολο να δούµε ότι η f έχει συνεχείς µερικές παραγώγους στο ανοικτό υποσύνολο U, y R : και y R, y R : είτε ή y Πράγµατι, { } { } διακρίνουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις: (α) > και f, y + y, άρα η f είναι γραµµική στο y>, τότε > > και Df (, b) f για κάθε (, b) U { } U, y : και y U Οι µερικές παράγωγοι της f στο U είναι Df, b, +, > και b> ) ( (β) < και y>, τότε (, ) άρα συνεχείς εκεί f y y και η f είναι γραµµική στο { < > } Df (, b) f για κάθε (, b) U U, y : και y στο και, U Εποµένως Df (, b)(, ) + y<, τότε f (, y) y < < και Df (, b) f για κάθε (, b) U (γ) < και { } U, y : και y Df (, b)(, ) και στο U (δ) > και, η f είναι γραµµική στο y<, τότε f (, y) y > < και Df (, b) f για κάθε (, b) U 4 { } δηλαδή, η f είναι γραµµική στο U4, y : και y δηλαδή Df (, b)(, ),(, ) R, στο U 4 Έστω τώρα (, b) R, µε ή b θα εξετάσουµε την ύπαρξη των, στο f (, b) f (, b) + b b (, b ) Υποθέτουµε ότι τότε αν, f (, b) f (, b) Έτσι το όριο lim και άρα η (, b) δεν υπάρχει f (, y) f (,) + y y Έστω τώρα b Τότε αν y, y y y f (, y) f (,) Έτσι το όριο lim αυτό και άρα η (,) δεν υπάρχει y y

78 (,b) δεν υπάρχει (,b) δεν υπάρχει y (α,y) O O (α,) Έπεται ότι στα σηµεία (, ) b των αξόνων δεν υπάρχουν είτε η (, b) η (, b) ( αν b ) Έτσι η f δεν έχει διαφορικό στα σηµεία των αξόνων (Ας σηµειωθεί ότι αν b και η (, b) (,) υπάρχει Αν b (,) ) ( αν ) ή υπάρχει και αν και b η τότε δεν υπάρχουν ούτε η (,) { y R y } Παρατήρηση Αν > τότε το σύνολο (, ) : τετράγωνο µε κορυφές τα σηµεία (, ),(, ),(, ),(,) ούτε η + είναι το (,α) (-α,) (,-α) (α,) Έπεται ότι το γράφηµα της f + y είναι µια ανεστραµµένη τετραγωνική πυραµίδα µε κορυφή στο (,, )

79 z (,α) (α,) y ) Να εξεταστεί ως προς την διαφορισιµότητα ( ύπαρξη και συνέχεια µερικών παραγώγων, διαφορικού κτλ ) η συνάρτηση f : R R : f (, y) y y Λύση Η f έχει συνεχείς µερικές παραγώγους στο ανοικτό σύνολο {(, ) : και } {(, ) : είτε ή } U y R y R y y Πράγµατι, εύκολα υπολογίζουµε ότι στα σηµεία του U έχουµε, f f y και y Επειδή η f (,), R έπεται ότι (,) για κάθε R και επειδή f (, y), y R έπεται ότι (, b) για κάθε b R Στα σηµεία (,) µε η δεν υπάρχει, πράγµατι αν y, τότε (, ) (,) f y f y y y < ) Αναλόγως αν b τότε η y Οι µερικές παράγωγοι στο,, ± ( + αν > και αν y y δεν υπάρχει στο σηµείο,b, υπάρχουν όπως διαπιστώσαµε και Όµως η f δεν διαφορίζεται στο (, ) Πράγµατι το διαφορικό της f στο (, ) αν υπήρχε θα ήταν η σταθερά γραµµική συνάρτηση

8 Df,, +,, R ) Συνεπώς το όριο µηδέν, ( αφού ( ) ( ) f ((, ) + (, ) ) f (,) lim + ((, ) + (, )) (,) θα έπρεπε να ισούται µε µηδέν Όµως f f,,, + + ( ) Αν θέσουµε >, τότε θα έχουµε ότι το παραπάνω πηλίκο γίνεται, + Έπεται ότι η f δεν είναι διαφορίσιµη στο (, ) Ασκήσεις )Να εξετασθούν ως προς την διαφορισιµότητα οι συναρτήσεις (, ) m (, ) και g(, y) y, όπου (, y) R f y y )Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις f (, y) log + y,(, y) (,) και g(, y) e ( cos y,si y),(, y) R είναι συνεχώς διαφορίσιµες στο πεδίο ορισµού τους Να βρεθούν η κλίση της f στο (, b) (,) και ο πίνακας Jcobi της g στο (, b) R, και )Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις: f ( ) R { } g( ), R { } είναι συνεχώς διαφορίσιµες στο πεδίο ορισµού τους και υπολογίστε την κλίση στο σηµείο ( ) R { } Jcobi της g στο ιδιο σηµειο,, της f και τον πίνακα 4)Να εξεταστούν ως προς την διαφορισιµότητα η συνάρτηση f : R Β (, ) { y R : y < } : f ( ) καθώς και η αντίστροφή της + y g : Β(, ) R : g( y) y (Υπόδειξη: Εξετάστε πρώτα τις f και g f, στην περίπτωση που ή ) 5)Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση εξωτερικό γινόµενο i k ϕ : R R R : ϕ (, b) b i + k είναι b b b b b b b b b

8 διαφορίσιµη στον (, b) R R 6 R R R και να υπολογισθεί ο πίνακας Jcobi της f στο ( (,, ), b ( b, b, b) i (,, ), (,,) και (,,) και i,, k η ορθοκανονική βάση του k ) R, δηλαδή 6)Έστω f, f,, f : R R διαφορίσιµες συναρτήσεις Εξετάστε ως προς την ύπαρξη µερικών παραγώγων και διαφορικού την συνάρτηση F : R R ώστε F,, f f,,, R 7) είξτε ότι για τις ακόλουθες συναρτήσεις υπάρχουν όλες οι κατευθυνόµενες παράγωγοι στο () αλλά δεν είναι συνεχείς εκεί:, αν < y < χ α) f (, y ) {, διαφορετικά, β) f (, y ) { y, y + y αν +, διαφορετικά