Αναπαράσταση τελεστών µε πίνακα

Σχετικά έγγραφα
E n. (, ) Η χρονοεξαρτώµενη εξίσωση Schrödinger, έχει την µορφή ˆ

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 16: Αναπαράσταση τελεστών με μήτρες. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Μάθηµα 18 ο, 19 Νοεµβρίου 2008 (9:00-10:00).

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac

Μάθηµα 13 ο, 30 Οκτωβρίου 2008 (9:00-11:00).

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τελική (επί πτυχίω) Εξέταση: 17 Ιούνη 2013 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ΘΕΜΑ 1[ ]

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 31 Γενάρη 2012 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες.

Μάθηµα 19 ο, 25 Νοεµβρίου 2008 (9:00-11:00) & Συµπλήρωµα 7 εκεµβρίου 2010 (9:00-11:00).

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.

4 k 2 = 2 ( 1+ 2 k 2. k 2 2 k= k 2. 1.ii) Αν σχηµατίσουµε τον πίνακα µε γραµµές τα δύο διανύσµατα έχουµε: Γ1 Γ1 ---> { }

x L I I I II II II Ακόµα αφού η συνάρτηση στην θέση x=0 είναι συνεχής, έχουµε την παρακάτω συνθήκη. ηλαδή οι ιδιοσυναρτήσεις είναι

Αρχίζουµε µε την µη συµµετρική µορφή του απειρόβαθου κβαντικού πηγαδιού δυναµικού, το οποίο εκτείνεται από 0 έως L.

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 6

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

n = < n a a n > = a < n a n > = C C = n (1.13) n-1 n-1

1.i) 1.ii) v 2. v 1 = (2) (1) + ( 2) ( 1) + (-2) (2) + (0) (-4) v 3. Βρίσκουµε πρώτα µία ορθογώνια βάση: u 1. . u 1 u. u 2

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Πρόχειρο ιαγώνισµα: 11 Νοεµβρίου 2008 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 1 ώρα.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι. Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σπουδών Τµήµατος Φυσικής Πανεπιστήµιο Πατρών Χειµερινό εξάµηνο ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 26: Ολοκλήρωση της αλγεβρικής μεθόδου για την μελέτη του αρμονικού ταλαντωτή

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

4. Αναδροµικός τύπος Είναι ο τύπος που συσχετίζει δύο ή περισσότερους γενικούς όρους µιας ακολουθίας

============================================================== Σχηµατίζουµε τον πίνακα µε στήλες τα διανύσµατα v1,v2,v3,u1,u2:

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

c 2 b b Λύση Το δυναµικό οµογενούς ηλεκτρικού πεδίου έντασης ε είναι V( x)

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 7 : Γραµµικοί Μετασχηµατισµοί. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

!q j. = T ji Kάθε πίνακας µπορεί να γραφεί σαν άθροισµα ενός συµµετρικού και ενός αντι-συµµετρικού πίνακα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 18: Εφαρμογή στον συμβολισμό Dirac. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Να εκτιµηθούν οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος για τις δέσµιες καταστάσεις.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

Προσδιορισµός των χαρακτηριστικών (ιδιο-)συχνοτήτων και κανονικών τρόπων ταλάντωσης µε χρήση συµµετριών

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Σεπτέµβριος 2006

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)

( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Ο ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΝΙΚΟΣ ΙΑΚΩΒΙ ΗΣ

x 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 13: Σύστημα δύο ενεργειακών επιπέδων. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

[ ] και το διάνυσµα των συντελεστών:

= 2L. Οι ενεργειακές καταστάσεις του αρχικού πηγαδιού υπολογίζονται από την σχέση En

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Εφαπτοµένη ευθεία

Εφαρµογες Της Ψηφιακης Επεξεργασιας Σηµατων. Εκτιµηση Συχνοτητων Με ΙδιοΑναλυση του Μητρωου ΑυτοΣυσχετισης

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

Διαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

Transcript:

Μάθηµα 7 ο, 8 Νοεµβρίου 008 (9:00-:00) Άσκηση Bonus[+05 στον τελικό βαθμό] Για ένα μονοδιάστατο κβαντικό σύστημα που περιγράφεται από τρεις καταστάσεις με ενέργεια Ε, Ε και Ε3 και αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις ψ, ψ, ψ, να βρεθεί η έκφραση που δίνει την μέση τιμή οποιοδήποτε φυσικού 3 μεγέθους Πως εκτιμούμε την κυματοσυνάρτηση; Να παρουσιασθούν τουλάχιστον τρία παραδείγματα στο πνεύμα των ασκήσεων που βρίσκονται στον ιστότοπο του μαθήματος [ΑσκήσειςΚΒΑΝΤΟΙ_ΓενικέςΈννειεςΚβαντομηχανικής_σετ] Η παρουσίαση να γίνει σε ένα doc αρχείο Αναπαράσταση τελεστών µε πίνακα Ένας τελεστής Α, µπορεί να αναπαρασταθεί ως πίνακας µε στοιχεία που δίνονται από + nm nαm dx Τα n,m είναι τόσα, όσες είναι και οι ιδιοκαταστάσεις του συστήµατος, για παράδειγµα αν έχουµε δυο ιδιοκαταστάσεις µε ενέργειες Ε και Ε, και ιδιοκαταστάσεις,, ορίζεται ο πίνακας: + + dx Α Α dx + + Α dx Α dx Οι ιδιοσυναρτήσεις που χρησιµοποιούµε για να ορίσουµε τον πίνακα δεν είναι απαραίτητο να είναι οι ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή της Χαµιλτονιανής (ενέργειας), αλλά µπορεί να είναι οι ιδιοσυναρτήσεις οποιουδήποτε τελεστή Τ Προφανώς, η αναπαράσταση ενός τελεστή µε βάση τις ιδιοκαταστάσεις του θα είναι ένας διαγώνιος πίνακας Πράγµατι, αν Α a, Α a, έχουµε + + + + dx dx Α Α a dx a dx + + + + Α dx Α dx adx adx + + a dx a dx 0 + + a dx a 0 a dx

Άσκηση 3 Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα δύο επιπέδων, δηλαδή έχουµε δύο ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας, Ĥ Ε και Ĥ Ε Για τον τελεστή Α, γνωρίζουµε τις εξής ιδιοτητές του Α a + () Α + a () (α) Να βρεθούν οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή Α (β) Να βρεθεί πως εξελίσσεται χρονικά η µέση τιµή του τελεστή Α, αν το σύστηµα 0 + βρίσκεται αρχικά στην κατάσταση ( x) Λύση (α) Έστω Φ,Φ είναι οι ιδιοκαταστάσεις του τελεστή Â Για να είναι οι Φ, Φ οι ιδιοκαταστάσεις του Â πρέπει να ισχύουν: ÂΦ α Φ ÂΦ α Φ Για να δούµε αν µπορούµε να βρούµε κάποιους γραµµικούς συνδυασµούς που να µας δίνουν την παραπάνω ζητούµενη µορφή Προσθέτουµε τις δυο σχέσεις () + () και βρίσκουµε Α + Α a + + + a ( a+ ) + ( a+ ) ( ) ( ) Α ( + ) ( a+ ) ( +), δηλαδή παρατηρούµε ότι η ( + ) είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή Α µε ιδιοτιµή ( a+ ) ) Βέβαια η ( + δεν είναι νορµαλισµένη, αν η, είναι νορµαλισµένες, γιατί ( ) ( ) dx ( ) dx + dx + + + + + + dx Προφανώς, η νορµαλισµένη ιδιοσυνάρτηση είναι ( + ) /, καθώς + + dx dx ( ) ( ) + + Τώρα αφαιρούµε τις δυο σχέσεις () - () και βρίσκουµε Α Α a + + a ( a ) ( a ) ( ) ( ) Α ( ) ( a ) ( ), δηλαδή παρατηρούµε ότι η ( ) είναι ιδιοκατάσταση του τελεστή Α µε ιδιοτιµή (a ) ) Βέβαια η ( δεν είναι νορµαλισµένη, αν η, είναι νορµαλισµένες, γιατί ( ) ( ) dx ( ) dx + dx + + dx

Προφανώς, η νορµαλισµένη ιδιοσυνάρτηση είναι ( ) /, καθώς dx dx ( ) ( ) + Ποια η χρησιµότητα της αναπαράστασης τελεστών µε πίνακες; Ο τελεστής Α, σε σχέση µε τις ιδιοσυναρτήσεις, έχει την αναπαράσταση a Αν βρούµε τις ιδοσυναρτήσεις του τελεστή και κάνουµε την αναπαράσταση ως προς 0 αυτές τις ιδιοσυναρτήσεις θα έχουµε 0 a, όπου προφανώς τα a και a είναι οι ιδιοτιµές του τελεστή Α Πως µπορούµε να πάµε από την αρχική µη διαγώνια µορφή στην διαγώνια Προφανώς µε διαγωνοποίηση Άρα η µεθοδολογία για την εύρεση των ιδιοσυναρτήσεων είναι ισοδύναµη µε την διαγωνοποίηση του πίνακα ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΙΑΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗΣ Αρχικός µη διαγώνιος πίνακας: a Ο διαγώνιος πίνακας βρίσκεται από την συνθήκη det( -λι)0 0 0 όπου Ι είναι ο µοναδιαίος πίνακας Από αυτή την σχέση υπολογίζω το λ 0 λ Αφού, λ a 0 Η σχέση det( -λι)0 (α-λ) - 0 (α-λ-)(α-λ+)0 λ a+ ή λ a ιδιοτιµές άρα ο καινούριος διαγώνιος πίνακας είναι: και ÂΦ λ Φ (a+)φ ÂΦ λ Φ (a-)φ λ 0 + 0 0 λ 0 a Τώρα θα βρω τις ιδιοσυναρτήσεις Φ και Φ Οι ιδιοσυναρτήσεις αυτές θα είναι γραµµικός συνδυασµός των ιδιοσυναρτήσεων της ενέργειας, δηλαδή

Φ d +d Φ d +d Έτσι υπό µορφή στήλης τα ζητούµε ιδιοδιανύσµατα (εδώ έχουµε αναπαράσταση των d d ιδιοδιανυσµάτων µε στήλη) είναι Φ d και Φ d Άρα για το πρώτο ιδιοδιάνυσµα, Φ χρειάζεται να λύσω το αλγεβρικό σύστηµα: λ d d d λ a+ 0 (3) d 0 Ενώ για το δεύτερο ιδιοδιάνυσµα, Φ χρειάζεται να λύσω το αλγεβρικό σύστηµα: λ d λ a d 0 d (4) d 0 d + d o (3): d d d d Αν θέλουµε να είναι ΚΑΙ ορθοκανονικές οι ιδιοσυναρτήσεις, θα πρέπει να ισχύει ότι: (Φ, Φ ) (d +d,d +d ) d + d άρα d d και Φ d +d + Φ o (4): d +d 0 d +d 0 d d Αλλά αφού (Φ,Φ ) έχουµε d d άρα Φ d +d Φ Όπου, χρησιµοποιήσαµε παραπάνω τον συµβολισµό του εσωτερικού γινοµένου (παρένθεση), (, ) ( ) dx, των κυµατοσυναρτήσεων και (β) Καθώς και είναι οι ιδιοκαταστάσεις της Χαµιλτονιανής Ĥ, έχουµε i nmt <Â>(t) cce ω + 0 0 n m Αnm, όπου cn ( n, ( x) ) n( x) ( x) dx και nm, En Em ω nm Τα Αnm είναι τα στοιχεία µήτρας Α a, Α, Α, Α a ( ) a 0 + Αφού η αρχική κατάσταση είναι ( x) c c 0 i 3 i c για ( )

Έτσι βρίσκουµε i t i t i t i t () t ( + ) + ( e ω + e ω ) ( a + a) + ( e ω + e ω ) a + cos ωt Ενώ η κυµατοσυνάρτηση που περιγράφει το σύστηµα ανά πάσα χρονική στιγµή είναι iet iet e e + ( xt, ) Άσκηση 4 Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα δύο επιπέδων, δηλαδή έχουµε δύο ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας, Ĥ Ε και Ĥ Ε, τις οποίες δεν γνωρίζουµε Ενώ για τον τελεστή Α, γνωρίζουµε τις ιδιοκαταστάσεις του, δηλαδή ΑΦ aφ ΑΦ Φ Γνωρίζουµε ακόµα ότι H Φ εφ + δφ () H Φ δφ + εφ () (α) Να βρεθούν οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας (β) Να βρεθεί πως εξελίσσεται χρονικά το σύστηµα και η µέση τιµή του τελεστή Α, αν το σύστηµα προέρχεται αρχικά από µια µέτρηση στην οποία το φυσικό µέγεθος που περιγράφει ο τελεστής Α, έχει τιµή (γ) Να βρεθεί πως εξελίσσεται χρονικά το σύστηµα και η µέση τιµή του τελεστή Α, 0 Φ +Φ αν η αρχική κατάσταση είναι ( x)