Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω πρώτος, και ( a ) M ( ), a για κάθε, j Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή j j και μια κανονική μορφή Jorda του (Προσέξτε την περίπτωση όταν ) Να ταξινομηθούν ως προς ομοιότητα οι πίνακες M ( ) με m ( x) ( x )( x ) Να ταξινομηθούν ως προς ομοιότητα οι πίνακες M ( k) με m ( ) x x x στις ακόλουθες περιπτώσεις ( ) k, ( ) k, ( ) k 5 Να ταξινομηθούν ως προς ομοιότητα οι πίνακες M( ) με Έστω k σώμα Δείξτε ότι για κάθε M ( k), οι και I t είναι όμοιοι 7 Έστω k K σώματα με k υποδακτύλιο του K και, M ( k) Δείξτε ότι αν οι, είναι όμοιοι ως στοιχεία του M( K ) (δηλαδή αν υπάρχει αντιστρέψιμος P M ( K) με P P οι, είναι όμοιοι ως στοιχεία του M ( k ) (δηλαδή υπάρχει αντιστρέψιμος Q M ( k) με Q Q ) 8 Αν G είναι ομάδα και g G, η κλάση συζυγίας του g είναι το σύνολο { h gh h G} Έστω πρώτος Βρείτε το πλήθος των a κλάσεων ομοιότητας στο M ( ) για και, b κλάσεων συζυγίας της ομάδας GL ( ) U( M ( )) για και 9 Υπολογίστε το πλήθος N των κλάσεων συζυγίας της ομάδας GL ( ) που αποτελούνται από στοιχεία τάξης 0 Έστω πρώτος Δείξτε ότι οι πίνακες, M ( ) είναι όμοιοι, όπου ), τότε 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Παρακάτω διατυπώνονται μερικές γνωστές προτάσεις από τη Γραμμική Άλγεβρα Αποδείξτε τις ως πορίσματα της ρητής κανονικής μορφής πινάκων ή της κανονικής μορφής Jorda a Το θεώρημα των Cayley-Hamlto b Έστω M ( k), k σώμα Τότε τα πολυώνυμα ( x), m ( x) έχουν τους ίδιους ανάγωγους παράγοντες Ειδικά, έχουν τις ίδιες ρίζες c Έστω M ( k), k σώμα Τότε ο είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν το m () x είναι γινόμενο διακεκριμένων μονικών πρωτοβάθμιων παραγόντων στο kx [ ]
d Έστω M ( k), k σώμα Τότε ο είναι τριγωνίσιμος αν και μόνο αν το ( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων στο kx [ ] Έστω M ( ) Θεωρούμε την αβελιανή ομάδα M { f ( ) M ( ) f ( x) [ x]} με πράξη την πρόσθεση πινάκων a Δείξτε ότι το M είναι [ x] -πρότυπο με εξωτερικό πολλαπλασιασμό που ορίζεται από g( x) f ( ) g( ) f ( ), όπου g( ) f ( ) είναι το γινόμενο των πινάκων g( ) και f( ) b Δείξτε ότι το M είναι πεπερασμένα παραγόμενο [ x] -πρότυπο c Για και Έστω, M ( ) 0 0 0, βρείτε τους αναλλοίωτους παράγοντες του M a Για, δείξτε ότι, όμοιοι αν και μόνο αν m ( x) m ( x) b Για, δείξτε ότι, όμοιοι αν και μόνο αν m ( x) m ( x) και χ ( x) χ ( x) c Για, βρείτε συγκεκριμένο παράδειγμα μη όμοιων, με m ( x) m ( x) και χ ( x) χ ( x) Έστω M ( k) συνοδός πίνακας Δείξτε οι μόνοι πίνακες που αντιμετατίθενται με το είναι τα πολυώνυμα του, δηλαδή ότι αν M ( k) ικανοποιεί, τότε f ( ) για κάποιο f ( x) k[ x] 5 Έστω ( ) αντιστρέψιμος με Δείξτε τα εξής a b Για όλοι οι της εκφώνησης είναι όμοιοι μεταξύ τους Έστω V k -διανυσματικός χώρος με dmv και :V V k -γραμμική απεικόνιση Θεωρούμε το V ως kx [ ] πρότυπο κατά τα γνωστά, f ( x) v f ( )( v), όπου f ( x) k[ x] και v V Δείξτε ότι οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες a Το V είναι κυκλικό kx-πρότυπο [ ] b V k[ x] k[ x] V (ισομορφισμός kx-προτύπων) [ ] χ ( x) ( ) m ( x) c α α d dmv deg mα ( x)
Υποδείξεις Ασκήσεις Υπολογίζοντας κατά τα γνωστά από Γραμμική Άλγεβρα βρίσκουμε ( ) ( ) ( ) ( ) και x x m x x x x Ξέρουμε ότι αν d ( ) ( ) x d x είναι οι αναλλοίωτοι παράγοντες του, τότε d ( x) m ( x) και d ( x) d ( x) ( ) ( x) Άρα οι αναλλοίωτοι παράγοντες του είναι x s s ( x ) Συνεπώς η ρητή κανονική μορφή του είναι Jorda είναι Άμεσα επαληθεύεται ότι s 0 (εννοείται ότι τα αόρατα στοιχεία είναι 0) η περίπτωση Έστω ότι Τότε 0 και επομένως m ( ) x x παράγοντες του είναι της μορφής είναι της μορφής καθώς 0 0 και μια κανονική μορφή Από αυτό έπεται ότι οι αναλλοίωτοι x,, x, x,, x και συνεπώς η ρητή κανονική μορφή του Cx ( ) R ( ) Cx ( ) Cx ( ) Cx ( ) Επειδή Cx ( ) (0) και 0 0 Cx ( ) 0, ο R ( ) έχει rak ίσο με το πλήθος των εμφανίσεων του x στους αναλλοίωτους παράγοντες του Όμως rakr( ) rak οπότε το πλήθος αυτό είναι Άρα 0 R ( ) 0 0 0 0 Ο πίνακας αυτός είναι και μια κανονική μορφή Jorda του η περίπτωση Έστω ότι το δεν διαιρεί το Από έπεται ότι m( x) x( x ) καθώς 0 και I Δείξτε ότι
0 R ( ) 0 0 0 και μια κανονική μορφή Jorda του είναι 0 dag(0,,0, ) 0 Σημείωση Παρατηρούμε ότι στις δυο περιπτώσεις η ρητή κανονική μορφή είναι η ίδια πράγμα που δεν συμβαίνει με τη μορφή Jorda (στη δεύτερη περίπτωση ο είναι διαγωνίσιμος ενώ στην πρώτη περίπτωση δεν είναι) Σύμφωνα με τη ρητή κανονική μορφή πινάκων, οι δυνατές περιπτώσεις για τους αναλλοίωτους παράγοντες του είναι x x x ( x ) ( x ) x x 5x ( ) ( ) και x x x ( ) ( ) Επειδή, ο είναι όμοιος με ακριβώς έναν από τους 0 0 0 0, 0 5 0 5 0 0 Εναλλακτικά, χρησιμοποιώντας την κανονική μορφή Jorda, οι δυνατές περιπτώσεις για τους στοιχειώδεις διαιρέτες είναι x,( x ), x και ( x ), x, x Άρα ο είναι όμοιος με 0 0 ακριβώς έναν από τους, 0 () Αναλλοίωτοι παράγοντες x x x x, όμοιος με 0 () Έστω ab, οι ρίζες του x x Εδώ έχουμε τρεις περιπτώσεις: a αναλλοίωτοι παράγοντες x a x a x x, όμοιος με b αναλλοίωτοι παράγοντες x b x b x x, όμοιος με a b, ή 0 ή 0
5 αναλλοίωτοι παράγοντες 0, όμοιος με x x x x () Στο [] x ισχύει x x ( x ) Έχουμε δύο περιπτώσεις: αναλλοίωτοι παράγοντες 0, όμοιος με x x x x 0, ή 0 αναλλοίωτοι παράγοντες x x x x, όμοιος με 0 5 Αρχικά βρείτε τις περιπτώσεις για το ελάχιστο πολυώνυμο m () x χρησιμοποιώντας τα εξής deg m( x), m ( ) x x, η ανάλυση του x σε γινόμενο αναγώγων στο [] x είναι x ( x ) ( x x ) Για καθεμιά από τις περιπτώσεις του m () x, συνεχίστε όπως στην προηγούμενη άσκηση Απαντηση: Ο είναι όμοιος με ακριβώς έναν από τους x, x, x, x,( x) 0, 0 0 0 x 0 0 0 0 Από τη ρητή κανονική μορφή πινάκων έπεται ότι αρκεί να δειχθεί το ζητούμενο όταν ο είναι συνοδός πίνακας, C( d( x)) Στην περίπτωση αυτή ξέρουμε ότι χ ( x ) ( ) d ( x ) και m ( x) d( x) Άρα ο έχει μοναδικό αναλλοίωτο παράγοντα, το d( x ) Από Γραμμική Άλγεβρα ξέρουμε ότι χ ( x ) t χ ( x ) και m ( x) m ( x) Συνεπώς ο t t έχει μοναδικό αναλλοίωτο παράγοντα, το d( x ) Από τη t μοναδικότητα της ρητής κανονικής μορφής έπεται ότι οι, είναι όμοιοι 7 Έστω R k, η ρητή κανονική μορφή του στο M( k ) και R K, η ρητή κανονική μορφή του στο M ( ) K Από τη μοναδικότητα της ρητής κανονικής μορφής στο M( K ) παίρνουμε R, k R, K Τώρα αν οι, είναι όμοιοι ως στοιχεία του M( K ), έχουμε R, K R, παίρνουμε R, k R, k και επομένως οι, είναι όμοιοι ως στοιχεία του M( k ) K Από αυτό που είπαμε πριν
8 Στο b ζητάμε, ισοδύναμα, το πλήθος εκείνων των κλάσεων ομοιότητας πινάκων του M ( ) που αποτελούνται από αντιστρέψιμους πίνακες Συνεπώς, μπορούμε αρχικά να παραμετρικοποιήσουμε όλες τις κλάσεις ομοιότητας πινάκων μέσω αναλλοιώτων παραγόντων, βλ Παράδειγμα 70, και στη συνέχεια να εξετάσουμε πόσες από αυτές αποτελούνται από αντιστρέψιμους πίνακες απαιτώντας το ελάχιστο πολυώνυμο κάθε κλάσης να έχει μη μηδενικό σταθερό όρο Εδώ φαίνεται η καταμέτρηση για Μετράμε τις ακολουθίες αναλλοιώτων παραγόντων d ( ) ( ) x ds x με deg d ( x) Στη δεξιά στήλη απαιτούμε ο σταθερός όρος του ελάχιστου πολυωνύμου ds( x ) να είναι διάφορος του 0 Περιπτώσεις για το d ( x ) d ( ) s x με deg d( x ) deg d ( x) Πλήθος κλάσεων ομοιότητας στο M ( ) Πλήθος κλάσεων συζυγίας της GL ( ) d ( ) x x ax bx c d ( ) ( ) εδώ c 0 deg d ( x) - - - ( x a x a x a ή εδώ a 0 x a ( x a)( x b) ( ) εδώ a0, b 0 Συνολικά Συνολικά Απάντηση: a Για έχουμε b Για έχουμε κλάσεις ομοιότητας Για έχουμε κλάσεις συζυγίας Για 9 Ο GL ( ) έχει τάξη αν και μόνο αν το αν το Πράγματι, αν σώματος I και έχουμε I κλάσεις συζυγίας κλάσεις συζυγίας Έχουμε x ( x )( x )( x ) Τώρα x [ x] είναι ανάγωγο εξαρτάται από το αν mod ή mod x x a x a mod, τότε το διαιρεί την τάξη της πολλαπλασιαστικής ομάδας Επειδή αυτή είναι κυκλική, υπάρχει στοιχείο ( )( ) Αν mod, τότε το ότι το a έχει τάξη στην ομάδα καθώς το δεν διαιρεί το a τάξης Συνεπώς x [ x] είναι ανάγωγο γιατί διαφορετικά θα είχε ρίζα a {0} του, που σημάινει Αυτό είναι αδύνατο σύμφωνα με το θεώρημα του Lagrage Με βάση τα παραπάνω μετρήστε τις περιπτώσεις για τους αναλλοίωτους παράγοντες του θεωρώντας περιπτώσεις για το m ( x ) που διαιρεί το x και δεν διαιρεί το x Απάντηση: N 0, 7, mod, mod 0 Παρατηρήστε ότι χ ( x ) ( ) ( x ) και ( ) m x x (ο είναι ο ανάστροφος πίνακας του συνοδού πίνακα του x )
7 Επίσης χ ( x ) ( ) ( x ) και m ( x) ( x ) (ο είναι στοιχειώδης πίνακας Jorda) Στο [ x ] ισχύει x ( x ) (γιατί;) Από τα προηγούμενα έπεται ότι οι, έχουν τους ίδιους αναλλοίωτους παράγοντες (εδώ είναι μόνο ένας) και επομένως είναι όμοιοι από το θεώρημα ρητής κανονικής μορφής Τα a, b έπονται άμεσα από το θεώρημα ρητής κανονικής μορφής Για τα c και d χρησιμοποιήστε το θεώρημα κανονικής μορφής Jorda b Το M είναι κυκλικό [ x] -πρότυπο καθώς ένας γεννήτοράς του είναι το στοιχείο c Από το b έπεται ότι [ x] M Δείξτε ότι [ ] M ( m ( x)) (Αυτό ισχύει για κάθε ) M [ x] Για το συγκεκριμένο του ερωτήματος, δείξτε ότι αναλλοίωτο παράγοντα, τον ( x) ( x ) x ( ) ( ) ( ) m x x x Άρα το M έχει μοναδικό c Ένας τρόπος εύρεσης παραδείγματος είναι να θεωρήσουμε, με αναλλοίωτους παράγοντες x x και xxx 0 0 0 0 αντίστοιχα Έτσι οι 0 είναι παραδείγματα 0 0 0 0 0 0 Βλ λύση της άσκηση 7 στο βιβλίο (αλλά μόνο αφού προσπαθήσετε πρώτα) 5 a Ο μηδενίζει το πολυώνυμο x x που είναι ανάγωγο στο [] x (γιατί;) Άρα m x x x Άρα οι αναλλοίωτοι παράγοντες του είναι της μορφής m ( x) m ( x ) Συνεπώς το είναι πολλαπλάσιο του deg m( x) b Εδώ υπάρχει μοναδικός αναλλοίωτος παράγοντας, ο κανονικής μορφής ο είναι όμοιος με τον C( d( x )) ( ) d( x) x x Από το θεώρημα ρητής