Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση και έστω (S) η κύρια* τοµή του στερεού κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t. Να δείξετε ότι το αντίστοιχο προς την κύρια τοµή (S) στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του στερεού είναι το σηµείο τοµής των καθέτων επί τα διανύσµατα των ταχυτήτων δύο σηµείων της τοµής (S), οι οποίες κάθε τες αντιστοιχούν στα σηµεία αυτά. Εξαρτάται η θέση του στιγµιαίου κέντρου από την εκλογή των δύο σηµείων; ΛΥΣΗ: Θεωρούµε δύο σηµεία Α και Β της κύριας τοµής (S) του στερεού των οποίων οι ταχύτητες την χρονική στιγµή t είναι v Α και v Β αντιστοίχως. Εάν K είναι το σηµείο τοµής των καθέτων στα διανύσµατα v Α, v Β στις άκρες τους Α, Β η ταχύτητα του σηµείου Κ θα ικανοποιεί τις σχέσεις: = v A + ω r A = v B + ω r B (1) Σχήµα 1 όπου ω η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του στερεού την χρονική στιγµή t και r A, r B τα διανύσµατα θέσεως του Κ ως προς τα σηµέια Α και Β αντιστοί χως. Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά την πρώτη σχέση εκ των (1) µε r A και την δεύτερη µε r B παίρνουµε: ------------------------ * Κατά την πίπεδη κίνηση στερεού σώµατος οι αποστάσεις των υλικών του σηµείων από ένα ορισµένο επίπεδο αναφοράς, παραµένουν αµετάβλητες µε τον χρόνο. Μια τοµή (S) αυτού, µε επίπεδο παράλληλο προς το επίπεδο αναφοράς και διερχόµενο από το κέντρο µάζας C του σώµατος, ονοµάζεται κύρια τοµή του στερεού.
r A r B = ( v A r A ) + ω r A = ( v A r B ) + ω r B r A r B r A r B = + r A r A = + r B r B ω ω r A r B = = (2) Aπό τις σχέσεις (2) προκύπτει ή ότι το διάνυσµα είναι κάθετο στα διανύσµα τα r A, r B πράγµα που απορρίπτεται ή τα διανύσµατα r A, r B είναι µηδενικά που επίσης απορρίπτεται ή τέλος το διανυσµα είναι µηδενικό που αναγκα στικά είναι αποδεκτό. Όµως αυτό ισοδυναµεί µε το γεγονός ότι το σηµείο Κ αποτελεί το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής της κύριας τοµής (S) του στερεού. Εξάλλου εάν v C είναι η ταχύτητα του κέντρου µάζας C του στερεού την χρονι κή στιγµή t και r K το διάνυσµα θέσεως του Κ ως προς το C, τότε θα έχουµε: = v C + ( ω r K ) = v C + ( ω r K ) v C = -( ω r K ) ω v C =- ω ( ω r K ) Xρησιµοποιώντας την διανυσµατική ταυτότητα: A [ ( B C )] = ( A C ) B - ( A B ) C θα έχουµε: ω ω r K = ω r K (3) ω -( ω ω ) r K = -ω 2 rk (4) διότι ( ω r K )=, καθόσον τα διανύσµατα ω και r K είναι µεταξύ τους κάθετα. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: ω v ( C ) = ω 2 rk r K = ( ω v C ) /ω 2 (5) H σχέση (5) εγγυάται ότι το διάνυσµα θέσεως του Κ ως προς το κέντο µάζας C είναι ανεξάρτητο της εκλογής των σηµείων Α και Β, δηλαδή όποιο ζευγάρι σηµείων θεωρήσουµε θα καταλήξουµε στο ίδιο στιγµιαίο κέντρο, που η θέση του θα καθορίζεται από την σχέση (5)..M. fyskos Εξετάζοντας τις δυνάµεις που δέχεται κάθε υλικό σηµείο στερεού σώµατος που στρέφεται περί σταθερό άξονα, καθώς και τον χαρακτήρα τους που είναι συµβατός µε τις κυκλικές τροχιές
που διαγράφουν, να αποδείξετε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης στερεού σώµατος περί σταθερό άξονα. ΛΥΣΗ: Aς θεωρήσουµε ότι το σώµα του σχήµατος (2) εκτελεί υπό την επίδρα ση των εξωτερικών δυνάµεων F 1, F 2,..., F n περιστροφική κίνηση περί τον σταθερό άξονα xx. Tα υλικά σηµεία του στερεού διαγράφουν περιφέρειες των οποίων τα κέντρα βρίσκονται στον άξονα περιστροφής και τα επίπεδά τους είναι κάθετα στον άξονα αυτόν, που σηµαίνει ότι δεν έχουν κίνηση κατά την διεύθυνση του άξονα. Έτσι η συνισταµένη δύναµη f που δέχεται το τυχαίο σηµείο A του στερεού που βρίσκεται σε απόσταση r από τον άξονα έχει φορέα Σχήµα 2 που ανήκει στο επίπεδο της περιφέρειας που διαγράφει το σηµείο αυτό. H δύναµη f αναλύεται σε επιτρόχια δύναµη f ε η οποία είναι εφαπτοµενική της τροχιάς του και σε κεντροµόλο δύναµη f κ η οποία έχει την διεύθυνση της ακτίνας της τροχιάς του. Eίναι προφανές ότι η ροπή της f κ περί τον άξονα xx είναι µηδενική, αφού ο φορέας της διέρχεται από τον άξονα, ενώ η ροπή τ της f ε είναι διάφορη του µηδενός και µάλιστα δίνεται από την σχέση: = r m τ = r f ε ω r ι =m r ω r ι όπου ω η γωνιακή επιτάχυνση του σώµατος που αποτελεί και γωνιακή επιτά χυνση όλων των σηµείων του στερεού, m η µάζα του υλικού σηµείου Α και r το διάνυσµα θέσεώς του ως προς το κέντρο Ο της περιφέρειας που διαγράφει. Mε βάση την διανυσµατική ταυτότητα a b c = a c c b- a b (1)
η (1) γράφεται: τ =m rι r ι ω - r ι ω r ι = m 2 r ω -r ι = m r 2 ω (2) από την οποία προκύπτει ότι η ροπή τ είναι συγγραµική και οµόρροπη της γωνιακής επιτάχυνσης ω ' του στερεού. Η συνολική ροπή περί τον άξονα xx όλων των δυνάµεων που δέχονται τα υλικά σηµεία του στερεού, θα είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα Σ( τ ) όλων των ροπών που αντιστοιχούν στα υλικά σηµεία του στερεού, δηλαδή θα ισχύει: =Σ( (2) 2 τ ) =Σ(m r ω )= ω Σ(m r 2 ) (3) Όµως το άθροισµα Σ(m r 2 ) αποτελεί την ροπή αδράνειας Ι του στερεού σώµατος ως προς τον άξονα περιστροφής του xx, οπότε η προηγούµενη σχέση (3) παίρ νει την µορφή: = Ι ω (4) η οποία εκφράζει τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης στερεού σώµατος, περί σταθερό άξονα. Παρατήρηση: Η συνολική δύναµη που δέχεται κάθε υλικό σηµείο του στρεφόµενου στερεού είναι συνισταµένη εσωτερικών δυνάµεων που προκύπτουν από την δράση των γειτονικών του υλικών σηµείων, αλλά και εξωτερικών δυνάµεων. Λόγω του αξιώµατος της ισότητας µεταξύ δράσεως-αντιδράσεως οι ροπές περί τον άξονα xx ένος ζεύγους εσωτερικών δυνάµεων είναι αντίθετες, που σηµαίνει ότι η συνολική ροπή όλων των εσωτερικών δυνάµεων είναι µηδενική. Άρα η ροπή στην σχέση (4) είναι η συνολική ροπή περί τον άξονα xx των εξωτερικών δυνάµεων F 1, F 2,..., F n που ενεργούν επί του στεφόµενου σώµατος..m. fyskos Εστιάζοντας στον χαρακτήρα των δυνάµεων που δέχεται κάθε υλικό σηµείο στερεού σώµατος που εκτελεί επίπεδη κίνηση, να αποδείξετε τα εξής: ) H επίπεδη κίνηση του στερεού παρουσιάζει µεταφορική συνιστώσα λόγω της οποίας το κέντρο µάζας του σώµατος κινείται ως υλικό σηµείο, µε µάζα ίση προς την µάζα του σώµατος, πάνω στο οποίο ενερ γούν όλες οι επί του σώµατος εξωτερικές δυνάµεις.
) H επίπεδη κίνηση του στερεού παρουσιάζει περιστροφική συνιστώ σα, περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του και είναι κάθε τος στο επίπεδο της κίνησης, ως εάν ο άξονας αυτός ήταν σταθερός. ΛΥΣΗ: ) Θεωρούµε στερεό σώµα το οποίο υπό την επίδραση εξωτερικών δυνά µεων εκτελεί επίπεδη κίνηση της οποίας η κύρια* τοµή (S ) φαίνεται στο σχήµα (3). H επιτάχυνση a ενός τυχαίου υλικού σηµείου A του στερεού, ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς, είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα της επιτάχυνσης a C του κέντρου µάζας C του στερεού και της σχετικής επιτάχυν σης a / C του σηµείου A ως προς το κέντρο µάζας, δηλαδή ισχύει η σχέση: Σχήµα 3 a = a C + a / C m a = m a C + m a / C m a =m ac +m ( a κ + a ε ) f + F =m ac +m a ε +m a κ (1) όπου f, F η συνισταµένη των εσωτερικών και εξωτερικών δυνάµεων αντι στοίχως που ενεργούν στο υλικό σηµείο A µάζας m και a ε, a κ η επιτρόχια αντιστοίχως η κεντροµόλος επιτάχυνσή του κατά την σχετική του κίνηση ως προς το κέντρο µάζας. Eφαρµόζοντας την σχέση (1) για όλα τα υλικά σηµεία του στερεού σώµατος και αθροίζοντας κατά µέλη τις εξισώσεις που θα προκύ ψουν, παίρνουµε: Σ( f )+Σ( F )=Σ(m ac )+Σ(m a ε )+Σ(m a κ ) +Σ( F )= a C Σ(m )+Σ(m a ε )+Σ(m a κ ) F ολ =M a C +Σ(m a ε )+Σ(m a κ ) (2) ------------------------------------------ * Κατά την πίπεδη κίνηση στερεού σώµατος, οι αποστάσεις των υλικών του σηµεί ων από ένα ορισµένο επίπεδο αναφοράς, παραµένουν αµετάβλητες µε τον χρόνο. Αρκεί εποµένως να µελετήσουµε την κίνηση µιας τοµής αυτού, µε επίπεδο παράλ ληλο προς το επίπεδο αναφοράς και διερχόµενο από κάποιο χαρακτηριστικό σηµείο του σώµατος, που ονοµάζεται πόλος της επίπεδης κίνησης. Eάν ο πόλος της κίνησης είναι το κέντρο µάζας C του σώµατος, τότε η τοµή αυτή (S ) ονοµάζεται κύρια τοµή του στερεού.
όπου F ολ η συνισταµένη όλων των εξωτερικών δυνάµεων, που ενεργούν πάνω στο στερεό σώµα και M η µάζα του. Eξάλλου, εάν r είναι η επιβατική ακτίνα του σηµείου A, ως προς το κέντρο µάζας C του σώµατος, θα ισχύουν οι σχέσεις: a ε =( ω r ) και a κ =-ω 2 rι οπότε η (2) γράφεται: F ολ =M a C +Σ m ( F ολ =Ma C +( F ολ =Ma C +( ω r )+Σ m (-ω 2 r ) ω Σ m r )-ω 2 Σ (m r ) ω Σ m r )-ω 2 Σ (m r ) (3) όπου ω, ω ' η γωνιακή ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση του στερεού κατά την στροφική του κίνηση, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του C και είναι κάθετος στο επίπεδο αναφοράς της κίνησης. Όµως από τον ορισµό του κέντρου µάζας του σώµατος ισχύει η σχέση Σ(m r )=, οπότε η (3) γράφεται: F ολ = M a C (4) Η (4) εκφράζει ότι κατά την επίπεδη κίνηση στερεού σώµατος το κέντρο µάζας του κίνειται ως υλικό σηµείο µάζας ίσης µε την µάζα Μ του σώµατος, πάνω στο οποίο ενεργούν όλες οι εξωτερικές δυνάµεις που δέχεται το σώµα. ) Eξάλλου, εάν τ είναι η ροπή περί το κέντρο µάζας C της συνισταµένης δύναµης που δέχεται το υλικό σηµείο A του σώµατος,, θα ισχύει: τ = ( r F (ολ) )=[ r ( f + F )]=( r f )+ ( r F ) (5) Όµως ισχύει και η σχέση: τ = ( r m a )= r m ( a C + a /C ) τ =( r m ac )+( r m a ε )+( r m a κ ) (6) Eπειδή τα διανύσµατα r και a κ είναι συγγραµµικά, θα είναι ( r m aκ )= και λόγω της a ε =( ω r ) η (6) γράφεται: τ =( r m ac )+[ r m ( ω r )] (7) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (7) παίρνουµε:
( r f )+( r F ) =( r m ac )+[ r m ( ω r )] (8) Eφαρµόζοντας την (8) για όλα τα υλικά σηµεία του στερεού σώµατος και αθροί ζοντας κατά µέλη τις σχέσεις που θα προκύψουν, παίρνουµε: Σ( r f )+Σ( r F ) =Σ( r m ac )+Σ[ r m ( ω r )] (9) Όµως οι δυνάµεις f είναι εσωτερικές δυνάµεις µεταξύ των υλικών σηµείων του στερεού σώµατος, οπότε το άθροισµα Σ( r f ) είναι ίσο µε µηδέν, ενώ το άθροισµα Σ( r F ) αποτελεί την ολική ροπή περι το κέντρο µάζας των εξω τερικών δυνάµεων που ενεργούν στο σώµα, οπότε η σχέση (9) γράφεται: =Σ( r m ac )+Σ [ r m ( ω r )] = Σ(m r ) a C +Σ [ r m ( ω r )] = ( a C )+Σ [ r m ( ω r )]=Σ [ r m ( ω r )] (1) διότι Σ(m r )=. Σύµφωνα όµως µε την διανυσµατική ταυτότητα: a θα έχουµε: b c b- a b = a c c [ r m ( ω r )]=m [( r r ) ω -( ω r ) r ] [ r m ( ω r 2 )]=m (r ω -r 2 )=m r ω οπότε η (1) γράφεται: 2 = (m r ω ) = ω (m r 2 )=I C ω (11) όπου I C η ροπή αδράνειας του σώµατος, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδο αναφοράς της κίνησης. H σχέ ση (11 ) µας επιτρέπει να διατυπώσουµε την ακόλουθη σπουδαία πρόταση: Kατά την επίπεδη κίνηση ενός στερεού σώµατος, τούτο περιστρέφεται περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδο της κίνησης, ως εάν ο άξονας αυτός ήταν σταθερός. Παρατηρήση: Oι σχέσεις:
F ολ =Ma C και =I C ω χαρακτηρίζουν την επίπεδη κίνηση στερεού σώµατος, όταν ως πόλος της κίνη σης ληφθεί το κέντρο µάζας του C. Eάν ως πόλος της κίνησης θεωρηθεί ένα οποιοδήποτε άλλο σηµείο του σώµατος, τότε οι εξισώσεις που καθορίζουν την κίνηση του πόλου και την περιστροφή του σώµατος περί άξονα που διέρχεται από τον πόλο αυτό και είναι κάθετος στο επίπεδο της κίνησης είναι πιο πολύ πλοκες..m. fyskos Eάν L είναι η στροφορµή στερεού σώµατος περί ένα σηµείο του ή της επεκτάσεώς του, αναφερόµενη σε κάποιο αδρανειακό σύστηµα Oxyz και L είναι η αντίστοιχη στροφορµή του αναφερόµενη σε σύστηµα αναφοράς Ρx y z ακλόνητα συνδεδεµένο µε το σώµα (σύστηµα ηρεµίας του Ρ), να δείξετε τις σχέσεις: όπου L = L + M r C -r v dl dt = T () ολ -M ( r C -r ) a dl dt = T () ολ -M v v C () η συνολική ροπή περί το σηµείο των εξωτερικών δυνά µεων που δέχεται το σώµα, M η µάζα του σώµατος, v, v C οι ταχύτη τες του και του κέντρου µάζας C του σώµατος αντιστοίχως στο αδρανειακό σύστηµα Oxyz, r, r C τα διανύσµατα θέσεως των δύο σηµείων ως προς την αρχή Ο και a η επιτάχυνση του στo Oxyz. ΛΥΣΗ: ) Oρίζεται ως στροφορµή στερεού σώµατος περί ένα σηµείο του ή σηµείο της επεκτάσεώς του, ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς Oxyz, το διανυσµατικό άθροισµα των στροφορµών των υλικών του σηµείων περί το σηµείο αυτό, δηλαδή για την εν λόγω στροφορµή L του σώµατος ισχύει: L = ( r m v ) (1) όπου r ' το διάνυσµα θέσεως ως προς το σηµείο του τυχαίου υλικού σηµείου A µάζας m του στερεού και v η ταχύτητα του υλικού σηµείου ως προς το θε
ωρούµενο σύστηµα αναφοράς. Mε ανάλογο τρόπο ορίζεται η στροφορµή στερεού σώµατος περί το σηµείο του, σε σύστηµα αναφοράς Ρx y z, ακλό L του Σχήµα 4 νητα συνδεδεµένο µε το σώµα (σύστηµα ηρεµίας του Ρ) ως το διανυσµατικό άθροισµα των αντιστοίχων στροφορµών των υλικών του σηµείων, δηλαδή για την εν λόγω στροφορµή ισχύει η σχέση: L = ( r m v ) (2) όπου r ' το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου Α ως προς το και v η τα χύτητα του Α στο σύστηµα Ρx y z, που αποτελεί την σχετική του ταχύτητα ως προς το. Όµως ισχύει v = v + v οπότε η (1) γράφεται: L = r m v ( + v ) (2) L = r m v + r m v L = r m v + L (3) Eξάλλου εάν r είναι το διάνυσµα θέσεως του υλικού σηµείου Α ως προς την αρχή Ο του αδρανειακού συστήµατος αναφοράς Οxyz θα έχουµε: r = r +r r = r -r οπότε η (3) γράφεται: L = r -r ( ) m v + L L = ( m r ) v - m ( r ) v + L = M( r C v ) - r L = L + M r C -r v m v + L L (4)
Aπό την (4) προκύπτει ότι L = L στις εξής περιπώσεις: α. όταν το σηµείο συµπίπτει µε το κέντρο µάζας C ( r = r C ) β. όταν το σηµείο είναι ακίνητο στο αδρανειακό σύστηµα Οxyz ( v = ). γ. όταν το διάνυσµα r C - r είναι συγραµµικό προς το v. ) Η σχέση (2) γράφεται: L = r -r ( ) m v ( -v ) η οποία παραγωγιζόµενη ως προς τον χρόνο t δίνει: d L dt = dr dt - d r dt m v ( -v ) + r - dv ( r ) m dt - d v dt d L dt = v -v ( ) m v ( -v ) + r - r m a ( -a ) d L dt = + ( r -r ) f ( -m a ) (5) όπου f η συνισταµένη δύναµη m a επί του υλικού σηµείου µάζας m, a η επιτάχυνσή του στο σύστηµα αναφοράς Οxyz και a η αντίστοιχη επιτάχυνση του. Η σχέση (5) µπορεί να λάβει την µορφή: d L dt = ( r -r ) f - m r ( -r ) a d L dt = r f ( ) - m r a + m r a (6) Όµως το άθροισµα r f () ( ) αποτελεί την συνολική ροπή περι το σηµεί ο των εξωτερικών* δυνάµεων που δέχεται το στερεό σώµα, ενώ το άθροισµα -------------------------------- * Πρέπει να λάβουµε υπ όψη ότι η συνισταµένη δύναµη f επί κάθε υλικού σηµεί ου προκύπτει ως διανυσµάτικό άθροισµα εξωτερικών δυνάµεων που δέχεται, αλλά και των εσωτερικών δυνάµεων που εµφανίζονται κατά την αλληλεπίδρασή του µε γειτονικά υλικά σηµεία, οι οποίες ανά δύο υπακούουν στον 3ο νόµο του Νεύτωνα, που σηµαίνει ότι η ροπή περί το κάθε ζεύγους τέτοιων δυνάµεων είναι µηδενική.
( m r 1 ) σύµφωνα µε τον ορισµό του κέντρου µάζας είναι ίσο µε Μ r C. Έτσι η σχέση (6) γράφεται: d L dt = T () ολ - Mr C a + ( Mr a ) dl dt = T () ολ -M ( r C -r ) a (7) Aπό την (7) προκύπτει ότι dl /dt = () στις εξής περιπώσεις: α. όταν το σηµείο συµπίπτει µε το κέντρο µάζας C ( r = r C ) β. όταν το σηµείο έχει µηδενική επιτάχυνση στο σύστηµα Οxyz ( a = ). γ. όταν το διάνυσµα r C - r είναι συγραµµικό προς το a. ) Παραγωγίζοντας την (1) ως προς τον χρόνο t παίρνουµε την σχέση: dl dt = d ( r dt m v ) = dr dt m v + dv r m dt dl dt = d r dt m v + ( r f ) (8) όπου f η συνισταµένη δύναµη που δέχεται το υλικό σηµείο µάζας m. Όµως έχουµε και τις σχέσεις: r = r p + r d r dt = d r dt + d r dt v = v + d r dt d r dt = v -v (9) Συνδυάζοντας τις 8) και (9) παίρνουµε: dl dt = v m v v m v - + dl dt = - v () ( m v ) + dl dt = T () ολ -M v v C ( r f ) d L dt = T () ολ -( v Μv C ) (1)
Aπό την (1) προκύπτει ότι dl /dt = T () ολ στις εξής περιπώσεις: α. όταν το σηµείο συµπίπτει µε το κέντρο µάζας C ( v = v C ) β. όταν το σηµείο είναι ακίνητο στο αδρανειακό σύστηµα Οxyz ( v = ). γ. όταν τα διανύσµατα v C, v είναι συγραµµικά..m. fyskos Μια σφαίρα µπιλιάρδου µάζας m και ακτίνας R, αρχικά ηρεµεί σ ένα τραπέζι µπιλιάρδου και κάποια στιγµή κτυπιέ ται απότοµα µε στέκα σ ένα σηµείο της Α. Η δύναµη που εξασκεί η στέκα έχει φορέα που διέρχεται από το σηµείο επαφής Ε της σφαίρας µε το τραπέζι και ανήκει στο κατακόρυφο επίπεδο που περιέχει το κέντρο µάζας C της σφαίρας και το Ε (σχ. 5), έχει βραχεία διάρκεια η δε αντίστοιχη ώθησή της είναι Ω. ) Nα δείξετε ότι η σφαίρα µετά το κτύπηµα θα κυλίεται ολισθαίνον τας πάνω στο τραπέζι είτε προς τα εµπρός είτε προς τα πίσω ή ακόµη είναι πιθανόν να παραµένει ακίνητη. ) Nα δείξετε ότι την στιγµή που θα πάψει να περιστρέφεται η σφαί ρα θα σταµατήσει και η ολίσθησή της και να βρεθεί η µέγιστη µετατό πιση του κέντρου µάζας της. ) Πως πρέπει να κτυπηθεί η σφαίρα, ώστε αµέσως µετά το κτύπηµα να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο τραπέζι και ποια θα είναι τότε η ταχύτητα του κέντρου µάζας της; Δίνεται ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µ µεταξύ σφαίρας και τραπε ζιού, η ροπή αδράνειας Ι=2mR 2 /5 της σφαίρας ως προς άξονα διερχό µενο από το κέντρο µάζας της και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: ) H σφαίρα κατά τον πολύ µικρό χρόνο ( ) που είναι σ επαφή µε την στέκα δέχεται την ώστική δύναµη F από την στέκα της οποίας ο φορέ ας διέρχεται από το σηµείο επαφής της E µε το τραπέζι, το βάρος της w και την δύναµη επαφής από το τραπέζι, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T και στην κάθετη αντίδραση N. Εφάρµόζοντας για την σφαίρα το θεώρηµα ώθησης-ορµής κατά την οριζόντια διευθυνση και για τον χρόνο παίρνουµε: mv =+ F x dt - Tdt mv = Fηµϕ dt - µν dt mv = ηµϕ Fdt -µ Ν dt v = Ω m ηµϕ - µ m Ν dt (1)
όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας της σφαίρας αµέσως µετά το κτύπηµα και φ η κλίση της δύναµης F ως προς την κατακόρυφη διεύθυνση. Εξάλλου το θεώρηµα ώθησης-ορµής για την σφαίρα κατά τον κατακόρυφο άξονα δίνει: = + Ndt - mgdt - F y dt Ndt = mg+συνϕ Fdt ( Ndt) Ωσυνϕ, διότι mg (2) Σχήµα 5 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε: v = Ω m ηµϕ - µωσυνϕ m = Ω m Από την (3) προκύπτουν τα εξής: ( ηµϕ -µσυνϕ) (3) α. Εάν ηµφ>µσυνφ ή εφφ>µ, τότε v > και η σφαίρα κινείται προς τα εµπρός. β. Εάν ηµφ<µσυνφ ή εφφ<µ, τότε v < και η σφαίρα κινείται προς τα πίσω. γ. Εάν ηµφ=µσυνφ ή εφφ=µ, τότε v = δηλαδή η σφαίρα µένει ακίνητη µετά το κτύπηµα. Εφαρµόζοντας εξάλλου για την σφαίρα το θεώρηµα γωνιακής ώθησης-στροφορ µής περί το κέντρο µάζας της C και για τον χρόνο παίρνουµε: Ι C ω = FRηµϕdt - TRdt 2mR2 ω =Rηµϕ Fdt 5 -Rµ Νdt 2mR ω 5 = Ωηµϕ -µωσυνϕ ω R = 5Ω ( ηµϕ -µσυνϕ) (4) 2m όπου ω η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας αµέσως µετά το κτύπηµα. Συνδυά ζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παρατηρούµε ότι v ω R, δήλαδή η σφαίρα µετά (2)
το κτύπηµα κυλίεται ολισθαίνοντας. ) Kαθώς εξελισσεται η κίνηση της σφαίρας η στροφορµή της περί το αρχικό σηµείο επαφής της Ε µε το τραπέζι δεν µεταβάλλεται, διότι η συνολική ροπή περί το σηµείο αυτό των δυνάµεων ( w, Τ, Ν ) που δέχεται είναι µηδενική. Δηλαδή η στροφορµή αυτή είναι ίση µε την αντίστοιχη στροφορµή της σφαίρας κατά τον χρόνο η οποία όµως είναι µηδενική, διότι οι αντίστοιχες δύναµεις ( F, w, Τ, Ν ) έχουν µηδενική ροπή περί το Ε, αφού οι φορείς τους διέχονται από το Ε και εποµένως δεν µεταβάλλουν την αρχική στροφορµή της περί το Ε που προφανώς πριν την δράση της F είναι µηδενική. Όµως η ταχύτητα v C της µεταφορικής συνιστώσας της κίνησης της σφαίρας λόγω της τριβής Τ κάποια στιγµή θα µηδενιστει, οπότε αναγκαστικά και η γωνιακή ταχύτητα ω της περι στροφικής συνιστώσας περί το Ε θα µηδενισθεί, ώστε η αντίστοιχη στροφορµή της σφαίρας να παραµείνει µηδενική. Επειδή η τριβή Τ µετά την έναρξη της κίνησης της σφαίρας είναι σταθερή η µεταφορική συνιστώσα είναι οµαλά επιβρα δυνόµενη ευθύγραµµη κίνηση µε αρχική ταχύτητα v και µε επιβράδυνση µέτρου µg, οπότε η µετατοπιση S max του κέντρου C της σφαίρας µέχρις ότου αυτή σταµατήσει, θα δίνεται από την σχέση: S max = v 2 2µg S max = Ω2 ( ηµϕ -µσυνϕ) 2 (5) 2µgm 2 ) Aς δέχθούµε ότι η σφαίρα ευρισκόµενη σε ακινησία στο τραπέζι του µπι λιάρδου δέχεται νέο απότοµο κτύπηµα στο σηµείο της Α, που αντιστοιχεί σε ωστική δύναµη F της οποίας ο φορέας διέρχεται από το σηµείο Μ της κατακό ρυφης διαµέτρου EE και σχηµατίζει γωνία φ µε αυτήν (σχ. 6). Επιπλέον ας δεχθούµε ότι η ώθηση Ω της F για τον χρόνο δράσεώς της ( ) είναι Σχήµα 6 τέτοια, ώστε η σφαίρα µετά το κτύπηµα να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο τραπέζι. Στην περίπτωση αυτή δεν µπορεί να υπάρξει δύναµη τριβής στην µπάλα στο σηµείο επαφής Ε αυτής και του τραπεζιού κατά το σύντοµο χρονικό διάστηµα της ώθησης και επιπλέον πρέπει η ταχύτητα v C της µετα
φορικής κίνησης και η γωνιακή ταχύτητα ω της περιστροφικής κίνησης της σφαίρας να διαµορφώνονται ώστε τα µέτρα τους στο τέλος του χρόνου και στην συνέχεια να ικανοποιούν την σχέση v C =Rω. Εφαρµόζοντας πάλι το θεώρη µα ώθησης-ορµής κατά την οριζόντια διεύθυνση και το θεώρηµα γωνιακής ώθησης-στροφορµής περί το κέντρο µάζας C της σφαίρας κατά τον χρόνο παίρνουµε τις σχέσεις: ' mv C =+ F x dt o ' I C ω =+ F o ( CM) ηµ ϕ dt ' mv C = F ηµ ϕ dt ' o I C ω = F o ( h-r) ηµ ϕ dt ' mv C = ηµ ϕ F dt I C ω = h-r o ' ηµ ϕ ( F dt) o (:) mv C I C ω = 1 h-r 5mv C 2mR 2 ω = 1 h-r 5ωR 2R 2 ω = 1 h-r 5 ( h-r ) = 2R h = 7R 5 (6) Πρέπει λοιπόν τo σηµείο Μ της κατακόρυφης διαµέτρου ΕΕ να απέχει από το τραπέζι του µπιλιάρδου απόσταση h=7r/5 (σχ. 6) ώστε µετά το κτύπηµα της σφαίρας αυτή να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο τραπέζι ανεξάρτητα από την κλίση του φορέα της και από το µέτρο της ώθησής της. Για την εύρεση της ταχύτητας v C θα χρησιµοποιήσουµε την προηγούµενη σχέση: ' mv C = ηµ ϕ F dt mv C = ηµ ϕ Ω v C = o Ω ηµ ϕ m.m. fyskos