ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί τ

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί i Δίνεται ο μιγαδικός και έστω w α. Να ρεθεί ο μιγαδικός w όταν w. Να δείετε ότι w i γ. Αν η εικόνα του κινείται στον κύκλο κέντρου, και ακτίνας και Μ είναι η εικόνα του w στο μιγαδικό είεδο, να αοδείετε ότι το Μ κινείται σε ευθεία, της οοίας να ρείτε την είσωση. δ Αν ο w είναι ραγματικός, να αοδείετε ότι η εικόνα του κινείται σε κύκλο αό τον οοίο έχει εαιρεθεί το σημείο Α, ε Για να αοδείετε ότι o w είναι ραγματικός. i α. Για είναι w i i w. Είναι w w w i i w w w i w i w i w γ. Δίνεται οότε οότε w w i w i Άρα το Μ κινείται στην ευθεία με είσωση - δ. w ραγματικός Im w Im w i w w w w i i i i i i i i i i i i i i i i Που αριστάνει κύκλο κέντρου K, και ακτίνας 5 ρ Όμως και για,, εαληθεύεται η άρα αό τον κύκλο εαιρούμε το Α, ε. Για είναι αό α ερώτημα w i i οότε w i i i και w Άρα i 5 6 5 6 w w ραγματικός 6

ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 Έστω w i w wi, όου w i,, R α. Να ρεθούν τα Rw και Im w. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μw στο μιγαδικό είεδο γ. Να ρεθεί το μέτρο w όταν R w Im w δ. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του w, όταν η αόσταση του w αό την αρχή των αόνων είναι ίση με 5. 5 α. Είναι w i i i i 5 5 i i i i Οότε R w και Im w. Έστω w i Τότε Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόος είναι η ευθεία ε : γ. Είναι w 5 Αλλά R w Im w οότε w 5 δ. Δίνεται ότι η αόσταση του w αό την αρχή των αόνων είναι 5 οότε w 5 5 α 5 α ή ή Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόος είναι οι ευθείες ε : και ε : ΘΕΜΑ Ο Μιγαδικοί 5 i i Δίνεται ο μιγαδικός i και έστω. Θεωρούμε ακόμη τους i μιγαδικούς i και i. α. Να ρεθεί ο αν. Να λυθεί η είσωση 5i γ. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των εικόνων του όταν ραγματικός 5 i i α. 5 i i i 5 i i 5 Έστω i τότε i οότε

Αό έχω, ετερόσημοι Όμως 5 5 και Οότε ροσθέτοντας κατά μέλη έχουμε 69 69 i, ετερ 8 ± ή 8 ± i Οότε i ή 5i. 5 i 5 i i i5 i 5 i i 5 i i i i5 i 5 i i 8 5 i i i 5 i 5 6 γ. ραγματικός Im Im i 5 i i i 5 i i i 5 i i i 5 i i i i i i 6 5 5 5 9 6 6 Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόος είναι κύκλος κέντρου K, και 5 ακτίνας ρ. ΘΕΜΑ Ο - και αντίστροφη Δίνεται η συνάρτηση : R R για την οοία ισχύει για κάθε R. α. Να αοδειχθεί ότι η είναι -. Να ρεθεί ο τύος της συνάρτησης - γ. Να λυθεί η είσωση α. Είναι Έστω, R με τότε οότε Άρα η είναι -

. Έστω τότε οότε η γίνεται Άρα γ. Η είναι - οότε η είσωση γίνεται - /// Οότε ή Άρα αδύνατο ΘΕΜΑ 5 Ο Συνέχεια συναρτησιακές σχέσεις αντίστροφη Δίνεται η συνεχής στο συνάρτηση : R R, για την οοία ισχύουν α για οοιαδήοτε α, R και για κάθε R. Να αοδείετε ότι α.. > για κάθε R γ. για κάθε R δ. Αν η είσωση έχει μοναδική ρίζα το τότε η αντιστρέφεται και ισχύει. ΑΠΟΔΕΙΞΗ α. H σχέση για α γίνεται ή Και εειδή για κάθε R, θα έχουμε. Η δεν μηδενίζεται ουθενά στο R για κάθε R και αίρνει την τιμή για. Οότε για να έχει αντού θετικές τιμές > για κάθε R αρκεί να είναι συνεχής στο R. Στο η δίνεται συνεχής. Έστω * τότε h h h h h h h R συνεχής στο

Άρα η είναι συνεχής σε κάθε R *. Εομένως συνεχής στο R. Δίνεται όμως ότι για κάθε. Οότε, αό συνέειες του θεωρήματος Bolno, η διατηρεί το ρόσημό της σε όλο το R και εειδή > έχουμε ότι > για κάθε R. γ. H σχέση για α- και γίνεται δ. Έστω, R με Θέτω h h οότε h h h h αφού η είσωση έχει μοναδική ρίζα το Οότε Άρα - εομένως αντιστρέφεται. Έστω και τότε α και οότε ΘΕΜΑ 6 Ο Όριο συνέχεια Για τη συνεχή στο [-, ] συνάρτηση, ισχύει κάθε [, ]. συν για α. Να ρείτε το. Να ρείτε το α R ώστε η συνάρτηση, [,, ], να είναι συνεχής γ. Για την τιμή του α ου ρήκατε στο ροηγούμενο ερώτημα, να δείετε ότι η διατηρεί σταθερό ρόσημο στο [-, ]. α. Οότε συν συν αλλά συνεχής στο, οότε. Η είναι συνεχής στο [,, ] ως ηλίκο συνεχών. συν

Είσης συν ημ συν συν συν συν Άρα ρέει α γ. Αρκεί να δείουμε ότι για κάθε ] [,. Είναι Είσης συν συν Αλλά για ισχύει > και συν οότε > > συν οότε. Άρα για ισχύει. Εομένως για κάθε ] [,. ΘΕΜΑ 7 Ο Συνέχεια μονοτονία με ορισμό - Δίνεται η συνάρτηση R R : για την οοία ισχύει < για οοιαδήοτε R, με. α. Να αοδειχθεί ότι η είναι συνεχής στο R. Να αοδειχθεί ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύουσα στο R γ. Να λυθεί η είσωση α. Έστω R. Τότε για κάθε R με ισχύει < < < Αλλά Οότε αό κριτήριο αρεμολής Άρα η είναι συνεχής στο R.. Έχουμε. Έστω R, με τότε ισχύει < < < < < < < < < < Οότε > Αν < τότε < οότε < < ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ

Εομένως γνησίως αύουσα στο R. γ. Διαδοχικά έχουμε - /// Οότε ή Άρα αδύνατο ΘΕΜΑ 8 Ο Μιγαδικοί θ. Bolno Δίνεται ο μιγαδικός w με i,, R με,,. i α. Να ρεθεί ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μ, του ειέδου, για τα οοία w.. Αν Αα, ένα σημείο του γεωμετρικού τόου του α ερωτήματος, να 5 αοδείετε ότι η είσωση έχει μια ακριώς ρίζα στο διάστημα,. ΑΠΟΔΕΙΞΗ α. Έχουμε w i i i i i i i i Η για και δεν εαληθεύεται. Εομένως ο ζητούμενος γεωμετρικός τόος είναι ο κύκλος κέντρου Κ, και ακτίνας ρ.. Εειδή το Α είναι σημείο του γεωμετρικού τόου έχουμε. 5 Θεωρούμε τη συνάρτηση, [, ] Η είναι συνεχής στο [, ] ως ολυωνυμική. Ακόμη -< και > Οότε αό το θεώρημα Bolno ροκύτει ότι η είσωση έχει μια

τουλάχιστο ρίζα στο,. Όμως 6 5 > για κάθε,. Οότε η είναι γνησίως αύουσα στο,. Εομένως η ρίζα είναι μοναδική. ΘΕΜΑ 9 Ο Μιγαδικοί Θ. Roll Δίνεται η αραγωγίσιμη στο, συνάρτηση για την οοία για κάθε, και οι μιγαδικοί i και i με <α< για τους οοίους ισχύει. Να αοδείετε ότι α. Ο είναι φανταστικός. Οι αριθμοί α και είναι ανάλογοι των τετραγώνων των α και γ. Υάρχει ένας τουλάχιστον α, τέτοιος ώστε ΑΠΟΔΕΙΞΗ α. Διαδοχικά έχουμε R φανταστικός. Είναι i i α i i i Αλλά φανταστικός α Οότε α και ανάλογα των τετραγώνων των α και γ. Η συνάρτηση είναι αραγωγίσιμη στο, με και είσης. Οότε για την εφαρμόζεται θεώρημα Roll στο [α, ]. Άρα υάρχει α, τέτοιος ώστε ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ

ΘΕΜΑ Ο Θ. Roll αράγωγος εφατομένη Δίνονται οι συναρτήσεις και ορισμένες στο R για τις οοίες υάρχει R τέτοιο ώστε για κάθε R και ακόμη για την εφαρμόζεται το θεώρημα Roll στο διάστημα [α, ] με α, R, α<. Αν α και [, ] να δειχθεί ότι α. υάρχει α, τέτοιο ώστε. Η ευθεία ου διέρχεται αό τα σημεία Α, και Β, εφάτεται της C στο Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ α. Ισχύει για κάθε [, ] αφού [, ]. Οότε Η είναι συνεχής στο [α, ] οότε και η ως ηλίκο συνεχών. Η είναι αραγωγίσιμη στο α, οότε και η ως ηλίκο αραγωγίσιμων. Ακόμη και οότε α Εομένως αό θεώρημα Roll υάρχει α, τέτοιος ώστε. Αρκεί η εφατομένη της C στο Α να διέρχεται αό το Β. Είναι Οότε η είναι ισοδύναμη με την Η εφατομένη της C στο Α είναι ε : Η για και συντεταγμένες του Β γίνεται αληθεύει. Άρα το Β είναι σημείο της ε. ΘΕΜΑ Ο Θ.Μ.Τ. α. Να αοδειχθεί ότι για την συνάρτηση ln εφαρμόζεται ΘΜΤ στο [α, ] ln < < και ισχύει < ln < α. Να αοδειχθεί ότι > ΑΠΟΔΕΙΞΗ α. Η είναι αραγωγίσιμη στο, με οότε σε κάθε διάστημα [α, ] με < < εφαρμόζεται για την Θ.Μ.Τ. Αό ΘΜΤ υάρχει α, τέτοιο ώστε

ln ln α α,, > οότε < < > > αληθεύει. Η γράφεται ισοδύναμα ln > ln ln ln > ln ln ln > ln ln ln > ln ln ln < ln ln > ln ln < ln ln Αλλά υάρχει, τέτοιο ώστε Οότε < > αληθεύει. ΘΕΜΑ Ο Θ. Bolno, ΘΜΤ Δίνεται η συνεχής στο [, ] συνάρτηση για την οοία ισχύει και. Να αοδείετε ότι α. Υάρχει, τέτοιο ώστε. Αν, εί λέον η είναι αραγωγίσιμη στο, τότε υάρχουν, τέτοια ώστε., ΑΠΟΔΕΙΞΗ α. Η συνάρτηση - είναι συνεχής στο [, ] ως διαφορά συνεχών και > και <. Οότε, αό θεώρημα Bolno, υάρχει, τέτοιο ώστε. Για την συνάρτηση εφαρμόζεται ΘΜΤ σε καθένα αό τα διαστήματα, ] και [, ]. Οότε υάρχουν, και, τέτοια ώστε [ και Αό τις και έχω

ΘΕΜΑ Ο Μονοτονία ακρότατα σύνολο τιμών - αόδειη ανισότητας - λύση ανίσωσης Δίνονται οι συναρτήσεις και α. Να μελετήσετε την ως ρος την μονοτονία και τα ακρότατα. Να ρείτε το σύνολο τιμών της και να αοδείετε ότι > για κάθε R γ. Να μελετήσετε την ως ρος την μονοτονία και τα ακρότατα δ. Να ρείτε το σύνολο τιμών της ε. Να λύσετε την ανίσωση < α. D R αφού για κάθε R Σχηματίζουμε τον ίνακα - - όου η είναι αραγωγίσιμη με μέγιστο Οότε είναι στο, ], στο [, Στο η έχει ολικό μέγιστο το. Είναι Οότε σε συνδυασμό και με το α ερώτημα έχουμε ότι R, ] Δεν χρειάζεται το αφού Η ζητούμενη ανίσωση > γίνεται < αφού και < γ. D R όου η είναι δύο φορές αραγωγίσιμη με και > για κάθε R αό ερώτημα Οότε και εειδή έχουμε τον ίνακα - - αφού > ου αληθεύει ελάχιστο

Οότε στο, ], στο [, Στο η έχει ελάχιστο το δ. Είναι αφού και Οότε σε συνδυασμό και με το γ ερώτημα έχουμε ότι R [, ε. Είναι >, > και στο [, οότε η ανίσωση < < γίνεται < < < < < < ΘΕΜΑ Ο Roll Μονοτονία α. Αν για τη συνάρτηση εφαρμόζεται το θεώρημα Roll στο [α, ] και < για κάθε [, ] να δείετε ότι > για κάθε,.. Αν για τη συνάρτηση ισχύει < για κάθε [, ] να δείετε ότι >. ΑΠΟΔΕΙΞΗ α. Αό θεώρημα Roll υάρχει α, τέτοιο ώστε. Αλλά < στο [α, ] οότε στο [α, ]. Οότε για [α, είναι < > > και για, ] είναι > < <. Άρα για το ρόσημο της και την μονοτονία της έχουμε τον ίνακα α - Άρα στο [α, ] οότε για α, ], ισχύει > και στο [, ] οότε για [, ισχύει > > Άρα για κάθε, ισχύει >.. Θεωρώ τη συνάρτηση Είναι και, οότε < για κάθε [, ]. Είσης και Οότε για την εφαρμόζεται και το θεώρημα Roll στο [, ]. Εομένως για κάθε, ισχύει > > >

ΘΕΜΑ 5 Ο Μονοτονία και με ορισμό λήθος ριζών α. Να δειχτεί ότι αν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύουσα σε ένα διάστημα Δ τότε ισχύει η ισοδυναμία < <, Δ.. Να δειχτεί ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύουσα στο R. γ. Δίνεται η συνάρτηση, R. Να δειχθεί ότι η είσωση έχει μοναδική ρίζα την και για οοιαδήοτε R * ισχύει >. ΑΠΟΔΕΙΞΗ α. Έστω, Δ με < τότε < αφού στο Δ. Αντίστροφα. Έστω, Δ με <. Αν τότε αφού στο Δ άτοο. Άρα <. Εομένως < <.. Είναι > για κάθε R οότε στο R. γ. Είναι οότε το ρίζα της. Θα δείουμε ότι για κάθε R * ισχύει > > > > > > Άρα ράγματι για κάθε ισχύει > > ΘΕΜΑ 6 Ο Ακρότατα Κριτήριο Παρεμολής Σύνολο τιμών α. Να δειχτεί ότι για οοιαδήοτε > και α>. Να δειχτεί ότι 5 γ. Να δειχτεί ότι 5 5 < για κάθε, ΑΠΟΔΕΙΞΗ α. Η ζητούμενη γίνεται Έστω,, Αρκεί να δείουμε ότι η έχει μέγιστο το ή κάοιον μικρότερο του. Η είναι δύο φορές αραγωγίσιμη στο D, με και < για κάθε, και, οότε. Λύνω την είσωση Για το ρόσημο της και την μονοτονία της σχηματίζω τον ίνακα

- μέγιστο Άρα η έχει μέγιστο το. Η ανισότητα του α ερωτήματος θέτοντας όου το και όου α το -5 και θεωρώντας >6 τότε > και 5 > γίνεται 5 5 5 5 Αλλά για κάθε >6 είναι > 6 < 5 5 5 6 Όμως και 5 5 Οότε 5 και αφού -5> ισχύει 5 > Εομένως αό κριτήριο αρεμολής έχουμε 5 γ. Η συνάρτηση του α ερωτήματος για α5 γίνεται 5 5 και ισχύει για κάθε, Είσης > για κάθε R Άρα για κάθε, ισχύει 5 5 < 6 5 ΘΕΜΑ 7 Ο Ανισότητα μονοτονία ανισότητα με δύο μεταλητές Να αοδείετε ότι α. Για κάθε, ισχύει > ημσυν εφ. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύουσα στο, εφ α γ. Αν < α < < τότε < εφ Αόδειη α. Έστω φ ημσυν Είναι φ συν ημ ημ > για κάθε, Αλλά φ συνεχής στο, οότε φ στο,

Εομένως για, ισχύει φ > φ ημσυν > ημσυν. Είναι εφ ημ συν φ συν > για κάθε, συν συν άρα στο, γ. Η ζητούμενη, αφού εφ > και α >, γίνεται ισοδύναμα εφα α εφ < < αληθεύει αφού < < < και στο,. ΘΕΜΑ 8 Ο Μονοτονία κοίλα λήθος ριζών Δίνονται οι συναρτήσεις ln και ln α. Να αοδείετε ότι. Να μελετήσετε την ως ρος την μονοτονία και τα κοίλα γ. Να αοδείετε ότι η είσωση έχει μοναδική ρίζα και να ρείτε ένα διάστημα λάτους στο οοίο εριέχεται δ. Να αοδείετε ότι η έχει μοναδικό σημείο καμής. ΑΠΟΔΕΙΞΗ α. Είναι D D, όου και είναι δύο φορές αραγωγίσιμες. Έχουμε ln και ln ln. Έχουμε > για κάθε D 6 6 και < για κάθε οότε η στρέφει τα κοίλα κάτω οότε D γ. Είναι οότε η έχει το ολύ μια ρίζα. Αρκεί, λοιόν, να ροσδιορίζουμε ένα διάστημα με λάτος, στα άκρα του οοίου, η έχει ετερόσημες τιμές. Είναι ln > και εειδή η θα ψάω τιμή της για <.

Είναι ln ln ln < άρα στο διάστημα, η έχει την μοναδική της ρίζα. αφού συνεχής. δ. Αό γ. ερώτημα υάρχει, τέτοιο ώστε και οότε έχουμε τον ίνακα - - Σ Κ Άρα η έχει μοναδικό σημείο καμής. ΘΕΜΑ 9 Ο Κοίλα Α. Να αοδείετε ότι αν μια αραγωγίσιμη συνάρτηση στρέφει τα κοίλα άνω σε ένα διάστημα Δ, τότε για οοιαδήοτε, Δ Β. Δίνεται η συνάρτηση lnln α. Να δείετε ότι η είναι κυρτή. Να δείετε ότι για οοιαδήοτε,, ισχύει ln ln ln ΑΠΟΔΕΙΞΗ Α. Η είναι ροφανής για. Έστω τώρα. Χωρίς λάη της γενικότητας μορώ να υοθέσω ότι <. Η σχέση γίνεται ισοδύναμα <

Αλλά > αφού το είναι μέσο του διαστήματος με άκρα και. Οότε Για την όμως εφαρμόζεται ΘΜΤ σε κάθε διάστημα ου είναι υοσύνολο του Δ, αφού η είναι αραγωγίσιμη στο Δ. Οότε υάρχουν, και, τέτοια ώστε και οότε ου αληθεύει αφού < και. Β.α. Πρέει ln > > οότε D, Έχουμε ln και ln ln κάθε,. Άρα η είναι κυρτή. για ln ln ln ln >. Η είναι κυρτή, οότε αό Α ερώτημα ροκύτει ότι για οοιαδήοτε,, ισχύει ln ln ln ln ln ln ln ln ln lnln ln ln lnln ln ln ln ln ln ΘΕΜΑ Ο Συνέχεια d l Hospitl - εφατομένη γ, Δίνεται η συνάρτηση με,, γ >., Αν η είναι συνεχής στο R. α. Να αοδειχθεί ότι γ. Να αοδειχθεί ότι η είναι αραγωγίσιμη στο και να ρεθεί η είσωση της εφατομένης της γραφικής αράστασης της στο σημείο Α,.

α. Η είναι συνεχής σε κάθε ως ηλίκο συνεχών, ανεάρτητα αό τα α,,γ. Έχουμε γ γ ln ln γ ln γ ln ln ln γ ln γ Για να είναι η συνεχής και στο ρέει ln αγ αγ. Έχουμε ln ln γ γ ln γ ln ln γ γ ln ln ln γ ln γ γ ln ln γ ln γ Οότε ln ln ln γ. Εομένως η εφατομένη της C στο Α, είναι ε : ln ln ln γ ΘΕΜΑ Ο Αροσδιοριστία κανόνας D l Hospitl μονοτονία σύνολο τιμών Δίνεται ότι η συνάρτηση ln, > h h εφ, h είναι συνεχής στο εδίο ορισμού της α. Να ρεθεί ο αριθμός α. Να μελετηθεί ως ρος την μονοτονία η και να ρεθεί το σύνολο τιμών της. γ. Να ρεθεί το εμαδόν του χωρίου ου ερικλείεται αό την C τον άονα και τις ευθείες και. α. Για το θέτω h h οότε h h h Έχουμε εφ εφ εφ h

k συν k συνk k σφ συνk k ημk k ημk ημ Οότε. ln ln Είσης ln Οότε ln. Άρα ρέει ln, >. Είναι., Για > έχουμε ln ln Για, ] είναι ln ln οότε > Για > είναι > αφού > > > > οότε στο [, αφού είναι συνεχής στο [, άρα για > ισχύει > > Εομένως για κάθε > ισχύει > Αλλά συνεχής στο [, εομένως στο [, Το σύνολο τιμών της είναι [, [, Έχουμε όμως και ln ln Όμως και ln ln ln ln Οότε. Εομένως [, [, γ. Το ζητούμενο εμαδό είναι E d [, d αφού > για κάθε Έχουμε E ln d d ln d

ln ln ln d d ΘΕΜΑ Ο Ολοκλήρωμα μονοτονία σύνολο τιμών Δίνεται η αραγωγίσιμη συνάρτηση με εδίο ορισμού, για την οοία ισχύει ln για κάθε, και η γραφική της αράσταση τέμνει την ευθεία στο σημείο της με τεταγμένη. Αν για κάθε, α. Να ρεθεί η συνάρτηση. Να αοδειχθεί ότι η είσωση έχει μοναδική ρίζα στο, για οοιοδήοτε α,. α. Η δοθείσα σχέση γίνεται ln ln ln d ln ln > ln ln ln lnln lnln c d ln lnln c ln lnln ln c c ln c Οότε ln Αλλά συνεχής οότε ή για κάθε, ή για ln ln κάθε,. Διατηρεί ρόσημο αφού για κάθε D Είναι όμως >. Άρα για κάθε, ln. Αρκεί να δείουμε ότι η έχει σύνολο τιμών το, για να έχει μια τουλάχιστο ρίζα η είσωση, > και - για να έχει μια το ολύ ρίζα. Είναι ln ln ln 8 < αφού >. ln ln ln Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα οότε και -. Το σύνολο τιμών της είναι,,. Αλλά ln αφού ln και

αφού ln ln Άρα,, και ln > Εομένως ράγματι η είσωση α έχει μοναδική ρίζα στο, για κάθε,. ΘΕΜΑ Ο Παράγωγος διαφορική είσωση κανόνας d l Hospitl είσωση εμαδό Δίνεται η αραγωγίσιμη συνάρτηση :, R για την οοία ισχύουν και για όλα τα,, α. Να αοδείετε ότι i. για κάθε, ii. ln για κάθε,. Να ρείτε το γ. Να λύσετε την είσωση δ. Να ρείτε το εμαδό του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της h, τη γραφική αράσταση της και την ευθεία. α. i. Δίνεται h h Είσης δίνεται h h h h w Είναι w w w Θέτουμε h w h οότε w h και h h h h h h h h h h h h ii. Έχουμε > Οότε d d ln c ln c Είναι ln c οότε c Αλλά c c Άρα ln

ln ln. Είναι ln γ. Η ζητούμενη είσωση γίνεται Έστω φ ln Είναι φ ln και φ Έχουμε φ - φ μέγιστο Οότε φ για κάθε, με το να ισχύει μόνο για. Εομένως η φ είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση. Άρα η είσωση φ έχει το ολύ μια ρίζα. Είναι φανερό όμως ότι φ ln. Άρα η είσωση φ έχει μοναδική ρίζα την. δ. Η είσωση h γίνεται φ μοναδική ρίζα Το ζητούμενο εμαδό είναι E h d Αλλά h φ και φ οότε για ισχύει φ Άρα E h d ln d ln d [ ln ] ln d ln ln d 6 d

ΘΕΜΑ Ο Θ.Μ.Τ. Ολοκλήρωμα με αντικατάσταση Δίνεται η αραγωγίσιμη στο R συνάρτηση, για την οοία ισχύει, R και η συνάρτηση F t d, R. α. Να αοδείετε ότι υάρχουν,, τέτοια ώστε.. Να αοδείετε ότι η F είναι σταθερή και να ρείτε την τιμή της. γ. Να υολογίσετε το ολοκλήρωμα I d α. Η είναι αραγωγίσιμη στο R οότε εφαρμόζεται ΘΜΤ σε κάθε διάστημα. Εομένως υάρχουν, και, τέτοια ώστε και Οότε t. Για το ολοκλήρωμα t dt I dt θέτουμε u t t οότε u, u και du dt οότε I Οότε F u du Έχουμε F u du u du Οότε F σταθερή Εομένως για κάθε u R ισχύει F F dt γ. Αό το ροηγούμενο ερώτημα έχουμε u du u du F u du u du d 5 I 5 du

ΘΕΜΑ 5 Ο Μονοτονία σύνολο τιμών εμαδό Δίνεται η συνάρτηση,, ημ α. Να μελετηθεί η ως ρος την μονοτονία και τα ακρότατα. Να ρεθεί το σύνολο τιμών της γ. Να αοδειχθεί ότι το εμαδό του χωρίου ου ορίζεται αό την C τον άονα και τις ευθείες και είναι E ln. α. H είναι αραγωγίσιμη στο, με Σχηματίζουμε τον ίνακα X συν ημ - ελάχιστο Άρα στο, ], στο [, Στο η έχει ελάχιστο το ημ. Είναι αφού ημ > και ημ ημ Οότε, [, Δεν χρειάζεται το αφού γ. Είναι > για κάθε, οότε το ζητούμενο εμαδό είναι εφ E d d ημ d d εφ εφ εφ d εφ d ln εφ ln d εφ συν εφ εφ ln εφ ln εφ ln ln 6 ln ln ln ln ln

Β τρόος d ημ ημ E συν d Θέτω u συν οότε du ημd du ημd συν u και u συν Οότε E du du u u Θα ρω α, R τέτοια ώστε u u u u u u α E du ln u ln u u u ln ln ln ln ln ln Οότε [ ] ΘΕΜΑ 6 Ο Εφατομένη ανισότητα εμαδό Δίνεται η συνάρτηση ln α. Να δειχθεί ότι υάρχει ένα μόνο σημείο Α της C, στο οοίο η εφατομένη είναι αράλληλη στον άονα, το οοίο και να ρεθεί.. Να δειχθεί ln για κάθε, γ. Να ρεθεί το εμαδό του χωρίου ου ερικλείεται αό την C τον άονα και την ευθεία A όου A η τετμημένη του σημείου Α του ρώτου ερωτήματος. α. Είναι D, όου αραγωγίσιμη με ln ln ln Λύνουμε την είσωση μοναδική λύση. Οότε σε ένα μόνο σημείο η εφατομένη είναι αράλληλη του.

Είναι ln. Εομένως το ζητούμενο σημείο είναι A,.. Για το ρόσημο της και την μονοτονία της σχηματίζουμε τον ίνακα - Άρα για κάθε, ισχύει ln ln γ. Λύνω την ln ln Οότε το ζητούμενο εμαδό είναι ln E d ln d ln d ln ln 6 ελάχ 6 ln 7 8 > 7 8 d 6 6 ln d 6 ΘΕΜΑ 7 Ο Κοίλα - Εμαδό α. Δίνεται η τρεις φορές αραγωγίσιμη στο R συνάρτηση για την οοία > για κάθε R, και. Να δειχτεί ότι η είναι κοίλη στο, ] και κυρτή στο [,.. Να μελετηθεί ως ρος τα κοίλα η συνάρτηση 6 γ. Να ρεθεί το εμαδό του χωρίου ου ερικλείεται αό την C τον άονα και τις ευθείες και. α. Αφού η είναι αραγωγίσιμη θα είναι και συνεχής. Για το ρόσημο της και την μονοτονία της σχηματίζουμε τον ίνακα. -

Αλλά οότε για > ισχύει > και για < ισχύει < Εομένως στο, ] η είναι κοίλη και στο [, η είναι κυρτή.. Έχουμε, και > και άρα αό α ερώτημα η στρέφει τα κοίλα κάτω στο, ] και άνω στο [,. γ. Το ζητούμενο εμαδό είναι E d. Είναι και οότε για > ισχύει >. Αλλά συνεχής στο [, οότε στο [,. Όμως οότε για > ισχύει >. Αλλά συνεχής στο [, οότε στο [,. Εομένως για ισχύει. Είναι και < 6 6 άρα για κάθε [, ] είναι <. Οότε E d d 6 6 6 7 ΘΕΜΑ 8 Ο Συνάρτηση οριζόμενη αό ολοκλήρωμα Θεωρούμε την συνεχή στο διάστημα [α, ] συνάρτηση για την οοία ισχύει > για κάθε [, ]. Να αοδείετε ότι α. Για την συνάρτηση h t dt t dt ισχύουν οι ροϋοθέσεις του θεωρήματος Roll στο [α, ]. Αν α, με h τότε η ευθεία χωρίζει το χωρίο ου καθορίζεται αό την C τον άονα και τις ευθείες α και σε δύο ισεμαδικά χωρία. ΑΠΟΔΕΙΞΗ α. Η h είναι αραγωγίσιμη στο [α, ] με h t dt t dt t dt α t dt t dt t dt h t dt t dt Είσης h h h t dt t dt α Άρα για την h ισχύουν οι ροϋοθέσεις του θεωρήματος Roll στο [α, ]

. Η έχει θετικές τιμές στο [α, ] οότε αρκεί α d d Αλλά α α dt t dt t dt t dt t h ΘΕΜΑ 9 Ο Μιγαδικοί, ασύμτωτες, εμαδό Δίνεται ο σταθερός μιγαδικός w. α. Να αοδειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόος των σημείων Μ του μιγαδικού ειέδου, για τους οοίους ισχύει R Im Im R w w είναι κύκλος με κέντρο την εικόνα του w.. Αν w και ρ η ακτίνα του αραάνω κύκλου, τότε να ρεθεί το εμαδό του χωρίου ου ερικλείεται αό τη γραφική αράσταση της συνάρτησης ln, την ασύμτωτη στο της συνάρτησης, την κατακόρυφη ασύμτωτη της συνάρτησης φ 7 5 και την ευθεία ρ. α. Έστω i w και i τότε w ου αριστάνει κύκλο με κέντρο Κα, δηλαδή την εικόνα του w.. Είναι Οότε η ασύμτωτη της C στο είναι η Είσης } { R D όου φ συνεχής και φ 7 5 7 5 άρα η μοναδική κατακόρυφη ασύμτωτη. Ακόμη w οότε ρ. Άρα το ζητούμενο εμαδό είναι d E. Αλλά για ισχύει οότε ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ

8 8ln 8ln 8ln 8ln ln ln ln d d d d d E ΘΕΜΑ Ο Μονοτονία - Ολοκλήρωμα Δίνονται οι αραγωγίσιμες στο R συναρτήσεις και για τις οοίες ισχύουν για κάθε R και, και για κάθε R και η γραφική αράσταση της τέμνει τον στο ίδιο σημείο ου τον τέμνει και η ενώ ρίσκεται όλη άνω αό την ευθεία. α. Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις και είναι γνησίως αύουσες.. Να ρεθούν οι συναρτήσεις και και να δειχθεί ότι οι γραφικές τους αραστάσεις έχουν δύο κοινά σημεία. γ. Να ρεθεί το εμαδό του χωρίου ου ερικλείεται αό τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων και. α. Για κάθε R ισχύει > > άρα στο R. Δίνεται > για κάθε R > > άρα στο R.. Είναι τε ο ό c c c c d d Είσης ln ln ln c d d > > ln c c οότε ln Η είσωση γίνεται ln ή ή ή ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ

Άρα οι C και C έχουν δύο κοινά σημεία. ln γ. E d d ln d Είναι - ln - - - - - - - - - - Άρα ln E d ln ln ln 6 ln ln Παρατήρηση Το α ερώτημα θα μορούσε να λυθεί μετά το και με χρήση αυτού. ln ln ΘΕΜΑ Ο Bolno Roll D l Hospitl Ολοκλήρωμα Δίνεται η συνάρτηση φ ln, > και έστω φ. Δίνεται ακόμη η τρεις φορές αραγωγίσιμη στο [, συνάρτηση με θετικές τιμές στο διάστημα, για την οοία ισχύουν d <, και. Δίνεται ακόμη συνάρτηση :[, R με t dt, >, α. Να μελετηθεί ως ρος τη συνέχεια η συνάρτηση. Να δειχθεί ότι υάρχει ρ, τέτοιο ώστε ρ γ. Να δειχθεί ότι η είναι αραγωγίσιμη στο δ. Να δειχθεί ότι υάρχει, τέτοιο ώστε

ln ln α. Αρχικά φ ln t dt, > οότε και, Η είναι αραγωγίσιμη συνάρτηση στο, ως γινόμενο αραγωγίσιμων με t dt οότε και συνεχής. Για τη συνέχεια στο o έχουμε και * t dt t dt οότε συνεχής στο. Άρα συνεχής στο [,. * τρεις φορές αραγωγίσιμη στο [, οότε συνεχής στο.. Η t dt είναι συνεχής στο [, ]. Είσης t dt t dt < αφού t dt < και t dt > εειδή > στο, και συνεχής στο [, ]. Άρα αό θεώρημα Bolno υάρχει ρ, τέτοιο ώστε ρ. γ. Έχουμε t dt R άρα 6 6 6 αραγωγίσιμη στο με 6 δ. Στο διάστημα [, ρ] ισχύουν οι ροϋοθέσεις του θεωρήματος Roll για την οότε υάρχει, ρ άρα και, τέτοιο ώστε.

ΘΕΜΑ Ο - αντιστροφή μονοτονία αό αντίστροφη όριο - εμαδό Δίνεται η συνάρτηση : R R με R R για την οοία 5 5 για κάθε R. α. Να δειχθεί ότι η είναι -. Να ρεθεί η αντίστροφη της γ. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ τότε για οοιαδήοτε, R ισχύει η ισοδυναμία < > δ. Να μελετηθεί ως ρος τη μονοτονία η ε. Να λυθεί η είσωση στ. Να ρεθεί το όριο ζ. Να ρεθεί το εμαδό του χωρίου ου ερικλείεται αό την C τους άονες και. α. Έστω, R με τότε 5 5 οότε 5 5 5 5 Άρα η είναι -. Είναι R R οότε D R Έστω τότε οότε 5 5 5 5 Άρα : 5 R R με 5 γ. Έστω, Δ με <. Τότε αφού ισχύει > Αντίστροφα Έστω, Δ με > Αν τότε αφού θα είναι άτοο Άρα < Εομένως για οοιαδήοτε, Δ ισχύει η ισοδυναμία < > δ. Είναι 5 < για κάθε R οότε η γνησίως φθίνουσα στο R. Έστω, R με < Εειδή το σύνολο τιμών της, R τέτοιο ώστε και είναι εδίο ορισμού της είναι το R, υάρχουν Οότε < > > άρα στο R

ε.. Αλλά 5 οότε 5 Άρα η είσωση έχει μοναδική ρίζα 5 στ. Είναι D R, και R, οότε Αλλά R D R,. Άρα ζ. Οι συμμετρικές γραμμές των C,, ως ρος την ευθεία είναι οι C,, αντίστοιχα. Οότε το ζητούμενο εμαδό είναι ίσο λόγω συμμετρίας με το εμαδό του χωρίου ου ερικλείεται αό τις C,,. 5 Είναι 5 φανερή ρίζα και μάλιστα μοναδική αφού Άρα είναι. 5 E d 5 d Είναι και οότε στο [, ] είναι άρα 6 5 E 5 d 5 6 6 8 6 5 7 ΘΕΜΑ Ο ΘΜΤ μονοτονία - ολοκλήρωμα Δίνεται η αραγωγίσιμη στο [-α, α] α> συνάρτηση. Αν η είναι γνησίως φθίνουσα να αοδείετε ότι : α. > για κάθε, ]. d ΑΠΟΔΕΙΞΗ α. Η είναι συνεχής στο [-α, ] και αραγωγίσιμη στο -α, οότε αό ΘΜΤ υάρχει -α, τέτοιο ώστε Αλλά < και α. Είσης > > οότε > > > >. Η γίνεται > για κάθε, ] Έστω [, ] Είναι > για κάθε, ] και οότε d >

> > > > > d d d d d d d ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ