Mια οµογενής αλυσίδα, γραµµικής πυκνότητας µ και µήκους L, είναι σωριασµένη πάνω σε οριζόντια πλάκα, η οποία φέρει µια οπή. Πλησιάζουµε το ένα άκρο της αλυσίδας στην οπή και φροντίζουµε να περάσει µέσα από αυτήν ο πρώτος κρίκος, τον οποίο στην συνέχεια αφήνουµε ελεύθερο. Tότε η αλυσίδα αρχίζει να κινεί ται κατακόρυφα προς τα κάτω. i) Nα δείξετε ότι, η επιτάχυνση κάθε κινούµενου κρίκου είναι ίση µε g /3, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. ii) Eάν οι πάσης φύσεως τριβές κατά την κίνησή της αλυσίδας είναι αµελητέες, να εξετάσετε εάν ισχύει η αρχή διατήρησης της µηχανι κής ενέργειας κατά την κίνηση της αλυσίδας. Aν όχι να δικαιολογή σετε το συµπέρασµά σας. iii) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την τάση της αλυσίδας στο σηµείο εκροής της από την οπή και να σχεδιάσετε την γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. iv) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε το µήκος x του αιωρούµενου τµή µατος της αλυσίδας, την δύναµη που ασκεί η πλάκα στο τµήµα της αλυσίδας, που ακόµη δεν την έχει εγκαταλείψει. ΛYΣH: i) Το αιωρούµενο τµήµα της αλυσίδας αποτελεί σώµα που η µάζα του αυξάνει µε τον χρόνο και εποµένως αν m x είναι η µάζα του τµήµατος αυτού κατά την τυχαία χρονική στιγµή t θα ισχύει η σχέση: dv m x =m g+ v x σχ (1) Σχήµα 7α Σχήµα 7β όπου v σχ η σχετική ταχύτητα κάθε προστιθέµενου κρίκου ως προς την αλυ σίδα κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή και / ο αντίστοιχος ρυθµός µε τον οποίο προστίθεται µάζα στο αιωρούµενο τµήµα της αλυσίδας. Όµως κάθε χρονική στιγµή ισχύει v σχ =-v και =µdx, όπου dx η αυξηση του µήκους x του αιωρούµενου τµήµατος µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+, οπότε η σχέση (1) γράφεται:
µx d v = µx g - µdx v x d v = x x dv g - dx v dx dv = xg - v xg = x + v () Eπειδή ισχύει =dx/v, η () γράφεται: xg = xv dv dx + v gxdx = xvdv + v dx gx dx = x vdv + v xdx gx dx = d(x v /) (3) Oλοκληρώνοντας την σχέση (3) παίρνουµε: ( ) gx dx= d x v / gx 3 / 3 = x v / + C (4) H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει από τις αρχικές συνθήκες (x= και v= όταν t=), οπότε θα έχουµε C=. Έτσι η (4) γράφεται: gx 3 / 3 = x v / v = gx/3 v = gx/3 (5) Συνδυάζοντας τις () και (5) παίρνουµε την σχέση: gx = x dv + gx 3 g = dv + g 3 dv = g 3 (6) δηλαδή κάθε στιγµή η επιτάχυνση των κρίκων της αλυσίδας είναι σταθερή, που σηµαίνει ότι, κάθε κρίκος εκτελεί οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση. ii) Kάθε στιγµή η µηχανική ενέργεια της αλυσίδας, µε επίπεδο αναφοράς της βαρυτικής δυναµικής ενέργειας την οριζόντια πλάκα πάνω στην οποία βρίσκε ται η αλυσίδα, είναι: E µηχ = - m x gx + m x v = - µgx + µx gx 3 E µηχ = - µgx 6 (7) δηλαδή κατά το ξεδίπλωµα της αλυσίδας η µηχανική της ενέργεια µειώνεται. Aυτό δικαιολογείται από το γεγονός ότι, κάθε φορά που προστίθεται στην αλυ σίδα ένας κρίκος συµβαίνει ένα είδος πλαστικής κρούσεως αυτού µε τον προη γούµενο κρίκο που ήδη έχει τεθεί σε κίνηση, µε αποτέλεσµα να αυξάνεται η εσωτερική ενέργεια της αλυσίδας, σε βάρος της µηχανικής της ενέργειας. iii) To αιωρούµενο τµήµα της αλυσίδας δέχεται κάθε στιγµή το βάρος του µx g και την δύναµη επαφής A(x) από το τµήµα της αλυσίδας που βρίσκεται πάνω στην πλάκα, η οποία αποτελεί την τάση της αλυσίδας στην θέση της οπής. Εφαρ µόζοντας τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα για το τµήµα αυτό, παίρνου µε την σχέση:
µx dv = µxg-a(x) (6) µx g 3 = µxg-a(x) A(x)= µg 3 x (8) Όµως κάθε κρίκος του αιωρούµενου τµήµατος εκτελεί οµαλά επιταχυνόµενη κίνηση µε επιτάχυνση g/3, οπότε θα ισχύει x=(g/3)t /=gt /6 και η (8) γράφεται A(t)= µg 3 gt 6 = µg 9 t (9) Σχήµα 7γ H (9) ισχύει για t<t *, όπου ο χρόνος t * προκύπτει από την σχέση L=gt * /6, ενώ για t>t * ισχύει Α(t * )=, δηλαδή η συνάρτηση Α(t) παρουσιάζει ασυνέχεια την στιγµή t * η δε γραφική της παράσταση έχει την µορφή του σχήµατος (17γ. iv) Aς εξετάσουµε κατά την χρονική στιγµή t ολόκληρη την αλυσίδα, δηλαδή και το αιωρούµενο τµήµα της και εκείνο που ακόµη βρίσκεται σε ηρεµία πάνω στην πλάκα. Προφανώς ολόκληρη η αλύσίδα αποτελεί σώµα σταθερής µάζας (/=) που κάθε στιγµή δέχεται την δύναµη επαφής R(x) από την πλάκα και το βάρος της M g. H ορµή της αλυσίδας µεταβάλλεται χρονικά, διότι η ορµή του αιωρούµενου τµήµατος µεταβάλλεται και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νευτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του θα ισχύει η σχέση: d m v+ M-m x x ( ) = M g+ R(x) d µxv ( ) = µlg-r(x) µ dx (6) dv v + µx = µlg-r(x) µv + µx g 3 = µlg-r(x) (5) µ gx 3 + µx g = µlg-r(x) R(x)= µg ( L-x), x L (8) 3 P.M. fysikos
Διαστηµόπλοιο κινείται ευθύγραµµα εκτοξεύον τας από το οπίσθιο µέρος του καυσαέρια µε σταθερό ρυθµό /=k και µε σταθερή σχετική ταχύτητα ως προς αυτό, µέτρου v σχ. Η µόνη εξωτερική δύναµη που δέχεται το διαστηµόπλοιο είναι µια δύναµη τριβής T, που δίνεται από την σχέση: T = -k v όπου v η ταχύτητα του διαστηµόπλοιου ως προς το αδρανειακό σύ στηµα παρατήρησής του (λ.χ. το σύστηµα του εργαστηρίου) και k µια θετική σταθερά. Εάν την χρονική στιγµή t= η µάζα του διαστηµό πλοιου είναι m και η ταχύτητά του v, να εκφράσετε την ταχύτητα και την µετατόπισή του σε συνάρτηση µε τον χρόνο. ΛYΣH: i) Εάν m είναι η µάζα του διαστηµοπλοίου την τυχαία χρονική στιγµή t και v η αντίστοιχη ταχύτητά του, τότε θα ισχύει η σχέση: m dv = -kv + kv σχ (m - kt)dv = k(v σχ - v) dv v σχ - v = k m - kt - d(v - v) σχ v σχ - v = - d(m - kt) m - kt (1) Ολοκληρώνοντας την σχέση (1) παίρνουµε: ln(v σχ - v) = ln(m - kt) + C () H σταθερά ολοκλήρωσης C θα προκύψει εκ της αρχικής συνθήκης ότι για t= είναι v=, οπότε η () δίνει: lnv σχ = lnm + C lnv σχ - lnm = C C = ln(v σχ /m ) Έτσι η σχέση () γράφεται: ln(v σχ - v) = ln(m - kt) + ln(v σχ /m ) ln(v σχ - v) = ln[ v σχ (m - kt)/m ] v σχ - v = v σχ (m - kt)/m v σχ m - vm = v σχ m - v σχ kt v = v σχ kt/m δηλαδή η κίνηση του διαστηµόπλοιου είναι οµαλά επιταχυνόµενη εκ της ηρε µίας, µε επιτάχυνση a=kv σχ /m. Άρα η µετατόπισή του σε χρόνο t είναι: s = kv σχ m t P.M. fysikos
Στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας η µάζα m ενός σώµατος δεν θεωρείται ανεξάρτητη από την ταχύτητά του v και µάλιστα συνδέεται µε αυτήν µέσω της σχέσεως: m = m 1 - v /C όπου m η µάζα ηρεµίας του σώµατος καί C η ταχύτητα διαδόσεως του φωτός στον κενό χώρο. Xρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση, τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα υπό την γενικεύµένη µορφή του, καθώς και το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου, να δείξετε ότι, η κινητική ενέργεια του σώµατος δίνεται από την σχέση: K = (m - m )C Στην συνέχεια να δείξετε ότι, γιά v<<c, η πιο πάνω σχέση παίρνει την γνωστή µορφή K = m v / ΛYΣH: Έστω F η συνισταµένη δύναµη επί του σώµατος, v η ταχύτητά του κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t και m η αντίστοιχη µάζα του. Σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του, θα ισχύει η σχέση: F = d(mv )/ F = v + mdv ( F v ) = ( v v ) + m( v d v ) ( F d s ) = v + m( v d v ) (1) Aν δεχθούµε ότι το σώµα κινείται ευθύγραµµα, τότε τα διανύσµατα v και dv είναι συνευθειακά, οπότε η σχέση (1) µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τι µών, που έχει την µορφή: dk = v + mvdv () όπου dk η στοιχειώδης µεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώµατος, µετα ξύ των στιγµών t καί t+. Όµως για την µάζα m του σώµατος δεχθήκαµε την σχέση: m = m 1 - v /C m = m 1 - v /C 1 - v C = m v m C = 1 - m m v = C - C m (3) m Διαφορίζοντας την (3) παίρνουµε την σχέση:
vdv = - C m (-m -3 ) vdv = C m / m 3 (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () καί (4) παίρνουµε: dk = v + C m m (3) dk = C - C m + C m m m = C (5) Ολοκληρώνοντας την σχέση (5) παίρνουµε: K (dk) = (C ) K = (m - m )C (6) m m Aς αναφερθούµε και πάλι στην σχέση µάζας-ταχύτητας, η οποία µπορεί να πάρει την µορφή: m = m [1 - v /C ] -1 / (7) Aναπτύσσοντας κατά Maclaurin την συνάρτηση f(v) =[1 - v /C ] -1/ έχουµε: 1 - v C -1/ = 1 + 1 v C + 3 v 8 C 4 + 5 v 16 C 6 +... οπότε η (7) γράφεται: m = m 1 + 1 v C + 3 v 8 C 4 + 5 v 16 C 6 +... (8) Eάν v<<c τότε v/c<<1, οπότε οι όροι που περιέχουν το λόγο v/c σε δύναµη µεγαλύτερη του δύο, αποτελούν ασήµαντες ποσότητες και µπορούν να παρα λειφθούν. Έτσι η σχέση (8) µε καλή προσέγγιση µπορεί να γραφεί: m m 1 + 1 v C = m + m v C (9) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (6) καί (9) έχουµε: K C m + m v - m C = m v P.M. fysikos
Στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας αποδεικνύ εται ότι, για ένα σώµα ισχύει η ισοδυναµία µάζας και ενέργειας, η οποία εκφράζεται από την σχέση: E = mc όπου E η ολική ενέργεια του σώµατος, m η µάζα του ως πρός ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς και C η ταχύτητα διαδόσεως του φω τός στο κενό. Xρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση, τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του και το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου να δείξετε ότι, η µάζα του σώµα τος εξαρτάται από την ταχύτητά του v σύµφωνα µε την σχέση: m = m 1 - v /C όπου m η µάζα ηρεµίας του σώµατος, δηλαδή η µάζα του όταν είναι ακίνητο ως πρός το αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. ΛYΣH: Yποθέτουµε ότι το σώµα εκτελεί ως πρός το θεωρούµενο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς ευθύγραµµη κίνηση υπό την επίδραση µιας συνισταµένης δύναµης F. Tότε, σύµφωνα µε το δευτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του θα ισχύει η σχέση: F = d(mv)/ F = v + mdv Fv = v + mvdv Fds = v + mvdv (1) όπου v, m η ταχύτητα και η µάζα του σώµατος αντιστοίχως κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t και ds,, dv η στοιχειώδης µετατόπιση, η στοιχειώδης µεταβολή της µάζας και η στοιχειώδης µεταβολή της ταχύτητας του σώµατος αντιστοίχως, µεταξύ των στιγµών t καί t+. Όµως, σύµφωνα µε το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου το γινόµενο Fds εκφράζει την στοιχειώδη µεταβολή dk της κινητικής ενέργειας του σώµατος στον χρόνο, οπότε θα έχουµε: Fds = dk Fds = d(mc - m C ) Fds = C () Συνδυάζοντας τις (1) καί () παίρνουµε την σχέση: C = v + mvdv (C - v ) = mvdv m = vdv C - v m = - 1 d(c - v ) (3) C - v Ολοκληρώνοντας την σχέση (3) παίρνουµε:
m =- 1 d(c - v ) m ln m = - 1 C - v m ln(c - v ) - ln(c m v [ ] ln m m C = ln C - v 1 / m C = m C - v 1 / m m = C m = C - v m 1 - v /C P.M. fysikos Από ένα διαπλανικό σταθµό εκτοξεύεται εκ της ηρεµίας ένα πυραυλοκίνητο βλήµα αρχικής µάζας m, εναντίον αντι κειµένου που πλησιάζει τον σταθµό µε σταθερή ταχύτητα v ως προς αυτόν. Η προώθηση του βλήµατος γίνεται µε εκτόξευση καυσαερίων που εξέρχονται µε σταθερή σχετική ταχύτητα v σχ ως προς το βλήµα. i) Eάν η επιτάχυνση του βλήµατος ως προς τον διαπλανητικό σταθµό είναι σταθερή µε µέτρο a, να δείξετε ότι η µάζα του βλήµατος µεταβάλ λεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση: m = m e -at/v σχ ii) Να εκφράσετε την κινητική ενέργεια του βλήµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο, στο σύστηµα αναφοράς του αντικειµένου προς το οποίο κατευθύνεται το βλήµα και να δείξετε ότι υπάρχει χρονική στιγµή κατά την οποία η κινητική αυτή ενέργεια παίρνει µέγιστη τιµή. iii) Να βρείτε ποια πρέπει να είναι η απόσταση αντικειµένου-σταθµού κατά την στιγµή της εκτόξευσής του βλήµατος, ώστε το βλήµα να επιφέρει το µέγιστο καταστροφικό αποτέλεσµα στο αντικείµενο. Η κίνηση του βλήµατος γίνεται χωρίς τριβή σε χώρο όπου δεν υπάρχει βαρυτικό πεδίο. ΛYΣH: i) Για την κίνηση του πυραυλοκίνητου βλήµατος στο σύστηµα ανα φοράς του διαπλανητικού σταθµού ισχύει η σχέση: m dv = - vσχ m = - dv vσχ (1) όπου / o ρυθµός µεταβολής της µάζας του βλήµατος, λόγω της εκτόξευσης καυσαερίων από αυτό, κατά την χρονική στιγµή που το εξετάζουµε και m η αντίστοιχη µάζα του. Ολοκληρώνοντας την εξίσωση (1) παίρνουµε:
m v dv = - m ln m = - v vσχ m m vσχ m /m = e -v/v σχ m = m e -v/v σχ () Όµως η κίνηση του βλήµατος είναι οµαλά επιταχυνόµενη εκ της ηρεµίας, οπό τε θα ισχύει v=at, µε αποτέλεσµα η () να γράφεται: m = m e -at/v σχ (3) ii) Η µάζα του βλήµατος στο σύστηµα αναφοράς του αντικειµένου προς το οποίο κατευθύνεται, είναι κάθε στιγµή ίδια µε την µάζα του στο σύστηµα αναφοράς του διαπλανητικού σταθµού, η δε σχετική του ταχύτητα v ' ως προς το αντικείµενο έχει µέτρο v =v +at. Έτσι η κινητική ενέργεια Κ του βλήµατος στο σύστηµα αναφοράς του αντικειµένου είναι: K = mv' () K = m e -at/v σχ (v + at) (4) Εάν υπάρχει χρονική στιγµή για την οποία η Κ λαµβάνει µέγιστη τιµή, αυτή θα είναι ρίζα της εξίσωσης: dk = - m a vσχ e -at/v σχ (v + at) + m e-at/v σχ (v + at)a = - am e-at/v σχ - 1 vσχ (v + at) + (v + at) = (v + at) - v + at = (5) vσχ Οι ρίζες της (5) είναι t 1 = -v /a η οποία απορρίπτεται και η t =(v σχ - v )/a η οποία είναι αποδεκτη, εφ όσον v σχ > v. iii) H απόσταση S του βλήµατος από το αντικείµενο την χρονική στιγµή t =(v σχ - v )/a είναι: S = S - v t - at / Εάν ισχύει S= τότε το βλήµα θα πλήξει το αντικείµενο µε τη µέγιστη κινητική ενέργεια ως προς αυτό, οπότε θα έχουµε: S = v t + at vσχ - v / S = v + a a vσχ - v a
S = v (vσχ-v )+(vσχ-v ) a = v (vσχ-v ) + (v +v σχ -v ) a S = (vσχ - v )(vσχ - v ) a = (vσχ - v ) a Πύραυλος αρχικής µάζας m εκτοξεύεται κατακό ρυφα προς τα πάνω µε εκτόξευση καυσαερίων, των οποίων η σχετική ταχύτητα ως προς τον πύραυλο είναι σταθερή και έχει µέτρο v σχ. Δεχό µαστε ότι η επιτάχυνση του πυραύλου ως προς το ακίνητο έδαφος έχει µέτρο a=g, όπου g το µέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας στην επιφάνεια της Γης. Ακόµη δεχόµαστε ότι η επιτάχυνση της βαρύ τητας µεταβάλλεται µε την απόσταση h από την επιφάνεια της Γης, σύµφωνα µε την σχέση: g = g R /(R + h) όπου R η ακτίνα της Γης. Να δείξετε ότι η µάζα του πυραύλου ικανο ποιεί κάθε στιγµή t την σχέση: ln m = g t t + R m v σχ (R + g t ) Η ατµοσφαιρική τριβή να θεωρηθεί αµελητέα. ΛYΣH: Eάν m είναι η µάζα του πυραύλου κατά την τυχαία χρονική στιγµή t που βρίσκεται σε ύψος h από το έδαφος, θα ισχύει για την κίνησή του η σχέση: m d v = m g + v σχ (1) όπου / ο ρυθµός µεταβολής της µάζας του πυραύλου κατά την θεωρούµε νη χρονική στιγµή και g η επιτάχυνση της βαρύτητας στην αντίστοιχη θέση του. Η διανυσµατική σχέση (1) µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών, η οποία µε θετική φορά την κατεύθυνση κίνησης του πυραύλου έχει την µορφή: m dv = -mg + (-v σχ ) dv = - g R (R + h) - v σχ m () Όµως συµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος ισχύει dv/=g, οπότε η σχέ ση () γράφεται: g = - g R (R + h) - v σχ m (3)
Επειδή η κίνηση του πυραύλου είναι οµαλά επιταχυνόµενη εκ της ηρεµίας ισχύει h=g t /=g t, oπότε η σχέση (3) παίρνει την µορφή: g = -g R (R + g t ) - v σχ m v σχ m = -g - g R (R + g t ) (4) Ολοκληρώνοντας την σχέση (4) παίρνουµε: v σχ m = -g m t - g R (R + g t ) m t ln m = -g t t + R m v σχ (R + g t ) ln m = g t t + R m v σχ (R + g t ) (5) Παρατήρηση: Το ολοκλήρωµα που παρουσιάζεται στο δεύτερο µέλος της σχέσεως (5) µπορεί να υπολογιστεί εάν εκτελέσουµε τον µετασχηµατισµό t=kεφφ µε k =R/g. Η διαδικασία υπολογισµού αφήνεται στην βούληση του αναγνώστη. P.M. fysikos