i) Για ένα στερεό σώµα να αποδείξετε την παρα κάτω πρόταση, που αποτελεί το λεγόµενο γενικεύµενο θεώρηµα των ροπών.
|
|
- Ἱππολύτη Δαγκλής
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 i) Για ένα στερεό σώµα να αποδείξετε την παρα κάτω πρόταση, που αποτελεί το λεγόµενο γενικεύµενο θεώρηµα των ροπών. Εάν σ ένα στερεό σώµα ενεργούν πολλές δυνάµεις, τότε η ολική ροπή τους, περί µια αρχή O, είναι ίση µε την ολική ροπή των δυνά µεων περί το κέντρο µάζας C του σώµατος, συν την ροπή περί την αρχή O της συνισταµένης δύναµης που θα προκύψει από την ανα γωγή των δυνάµεων στο κέντρο µάζας του σώµατος Aπόδειξη: Έστω ότι στο σώµα ενεργούν οι δυνάµεις F 1, F,... F n. Eάν r i, r i ' είναι οι επιβατικές ακτίνες ενός οιουδήποτε σηµείου A i του φορέα της δύναµης F i, ως προς την αρχή O και το κέντρο µάζας C του σώµατος αντιστοίχως και R η επιβατική ακτίνα του C ως προς το O, τότε θα έχουµε: r i = R+ r i ( r i F i ) = ( R F i )+( r i F i ) τ (O) i =( R F i )+ (C) τ i (1) Σχήµα 1 όπου τ (O) i, (C) τ i οι ροπές της δύναµης F i περί την αρχή O και περί το κέντρο µάζας C αντιστοίχως. Aνάλογες σχέσεις προς την (1) µπορούµε να γράψουµε για όλες τις δυνάµεις που ενεργούν πάνω στο σώµα, οπότε θα έχουµε:
2 (Ο τ ) 1 = R F 1 (Ο τ ) = R F ( ) + (C) τ 1 ( ) + (C) τ (Ο τ ) n = R F n (O) ( τi ) ( ) + τ n (C) = R F i ( ) = ( R F i ) + (+ ) (O) ( τi ) (C) ( τi ) + τ (O) ολ = R F ολ (C) ( τi ) ( ) + τ ολ όπου F ολ η συνισταµένη που θα προκύψει, από την αναγωγή των δυνάµεων F 1, F,... F n στο κέντρο µάζας C του σώµατος, (O) τ ολ η ολική ροπή αυτών περί την αρχή O και τ (C) ολ η ολική ροπή τους περί το κέντρο µάζας C του σώµατος. Παρατήρηση: Eάν από την αναγωγή των δυνάµεων στο κέντρο µάζας του σώµατος προκύψει συνισταµένη δύναµη µηδέν, τότε η ολική ροπή των δυνάµε ων είναι ανεξάρτητη της αρχής O, δηλαδή είναι η ίδια ως προς οποιαδήποτε αρχή. Aυτό σηµαίνει ότι το σύστηµα των δυνάµεων του σώµατος ανάγεται σ ένα ζεύγος δυνάµεων, του οποίου η ροπή είναι ίση προς την ολική ροπή των δυνάµεων περί οποιαδήποτε αρχή. ii) Aν ένα στερεό σώµα στρεφεται περί σταθερό άξονα που τέµνει κάθετα στο Ο το κατακόρυφο επίπεδο κίνησης του κέντρου µάζας του C, τότε υπάρχει ένα µοναδικό σηµείο Κ της ευθείας ΟC ως προς το οποίο αναγόµενες οι δυνάµεις που ενεργούν επί του στερεού, προκύ πτει µόνο συνισταµένη δύναµη. Το σηµείο Κ ονοµάζεται κέντρο κρού σεως του στερεού. Aπόδειξη: Θεωρούµε στερεό σώµα µάζας m, που µπορεί να στρέφεται περί σταθερό άξονα ο οποίος τέµνει στο σηµείο Ο το κατακόρυφο επίπεδο κίνησης του κέντρου µάζας C του σώµατος, στο οποίο ενεργούν οι δυνάµεις F F,... και η αντίδραση A του άξονα περιστροφής του. (σχ. ). Eάν οι δυνάµεις αυτές (C) 1, () F n Σχήµα Σχήµα 3 Σχήµα 4 αναχθούν στο κέντρο µάζας C θα προκύψει µια συνισταµένη δύναµη µε συνι
3 στώσες m a κ και m a ε, εκ των οποίων η m a κ αποτελεί για την κίνηση του κέν τρου µάζας κεντροµόλο δύναµη µε κατεύθυνση προς το Ο η δε m a ε αποτελεί επιτρόχιο δύναµη µε εφαπτοµενική κατεύθυνση, συµβατή προς την φορά της γωνια κής επιτάχυνσης ω του σώµατος (σχ. 3). Εξάλλου από την αναγωγή των δυνάµεων στο C θα προκύψει επί του σώµατος συνισταµένη ροπή I C ω περί το C, όπου Ι C η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα παράλληλο στον άξονα περιστροφής του και διερχόµενο από το C (σχ. 3). Ας δεχθούµε ότι επί της ευθείας ΟC υπάρχει σηµείο Κ ως προς το οποίο αναγόµενες όλες οι επί του σώµατος δυνάµεις δίνουν µόνο συνισταµένη δύναµη, δηλαδή η συνιστα µένη ροπή περι το Κ είναι µηδενική. Είναι προφανές ότι η συνισταµένη αυτή δύναµη θα έχει συνιστώσες m a κ και m a ε, διότι η αναγωγή δυνάµεων δίνει την ίδια συνισταµένη δύναµη για κάθε σηµείο (σχ. 4). Σύµφωνα µε το συµπέ ραςµα του πρώτου ερωτήµατος µπορούµε να γράψουµε την σχέση: τ (K) ολ = (KC F ολ ) + τ ολ = + KC ma ε Ι C ω =ma ε (C) ( ) + Ι C KC = KC ma κ +ma ε ( ) ω Ι ω = -KC ma C ε mk ω =mr ω r C κ -r ( ) ( ) + Ι ω C ( ) r = k κ ( +r C ) /r (3) k C =r r κ -r όπου k C η ακτίνα αδράνειας του σώµατος ως προς το κέντρο µάζας του C. H σχέση (3) καθορίζει την θέση του σηµείου Κ, το οποίο αποτελεί το κέντρο κρούσεως του σώµατος και είναι µονοσήµαντα ορισµένο. Πράγµατι αν δεχθού µε ότι επί της ευθείας ΟC υπάρχει και άλλο σηµείο Κ, περί το οποίο η συνολι κή ροπή όλων των δυνάµεων που δέχεται το σώµα είναι µηδενική, θα έχουµε: K ) = K C F ολ ( τ ολ KC F ολ ( ) + τ ολ ( ) + τ ολ (C) (C) = K C F ολ ( ) + τ ολ δηλαδή το Κ ταυτίζεται µε το Κ. = K C F ολ ( ) + τ ολ (C) KC (C) = K C iii) Aν το στερεό ισορροπεί και κάποια στιγµή δέχεται δύναµη κρού σεως (ωστική δύναµη) της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο κρούσεώς του, τότε κατά την διάρκεια δράσεως της δύναµης η αντίδ ραση του άξονα περιστροφής του στερεου είναι κατακόρυφη.
4 Απόδειξη: Ας δεχθούµε ότι το στερεό σώµα ευρισκόµενο στην θέση ευστα θούς ισορροπίας του δέχεται δύναµη κρούσεως (ωστική δύναµη) F της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέντρο κρούσεως αυτού Κ. Στην διάρκεια του πολύ µικρού χρόνου dt δράσεως της δύναµης αυτής η θέση του σώµατος ελάχιστα µεταβάλλεταιτο δέχεται δε αυτό, εκτός της κρουστικής δύναµης, το βάρος του m g και την αντίδραση A του άξονα περιστροφής Ο που αναλύεται στην οριζόν τια συνιστώσα A x και στην κατακόρυφη συνιστώσα A y, της οποίας ο φορέας διέρχεται από το Κ (σχ. 5). Σύµφωνα µε τον ορισµό που δοθηκε για το κέντρο κρούσεως στερεού σώµατος η συνολική ροπή όλων των παραπάνω δύνάµεων περί το Κ είναι ίση µε µηδέν, δηλαδή ισχύει η σχέση: (Κ τ ) ολ = (Κ τ ) mg + τ F (Κ ) + (Κ τ A ) + (Κ τ ) = (4 ) x A y Όµως οι ροπές περι το Κ των δυνάµεων m g, F και A y είναι µηδενικές και η σχέση (4) δίνει: (Κ τ A ) = ΚΟ Α x ( x ) = Σχήµα 5 A x = ( 5) Αφού λοιπόν η οριζόντια συνιστώσα της A είναι µηδενική σηµαίνει ότι η A είναι κατακόρυφη στην διάρκεια που ενεργεί η κρουστική δύναµη. P.M. fysikos H κίνηση του φυσικού εκκρεµούς Kάθε στερεό σώµα που µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο σταθερό άξονα, µη διερχόµενο από το κέντρο µάζας του C, ονοµάζεται φυσικό εκκρεµές. Όταν
5 το φυσικό εκκρεµές βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας του, τότε το βάρος του w και η αντίδραση A του άξονα περιστροφής του θα έχουν τον ίδιο φορέα αντίθετη φορά και ίσα µέτρα, που σηµαίνει ότι ο φορέας της A είναι κατακόρυφος (σχ. 6). Oταν εκτρέψουµε το σώµα και το αφήσουµε ελεύθερο, τότε η δύναµη A θα αλλάζει διεύθυνση και µέτρο, αλλά η ροπή της, περί τον άξονα περιστροφής του σώµατος θα είναι συνεχώς ίση µε µηδέν, αφού ο φορέας της δύναµης αυτής τέµνει τον άξονα. Εξάλλου η ροπή τ του βάρους w του σώµατος, περί τον άξονα περιστροφής του, θα είναι διάφορη του µηδενός και µάλιστα τείνει να επαναφέρει το σώµα στην θέση ισορροπίας του, δηλαδή σε αριστερόστροφη γωνιακή εκτροπή του σώµατος από την θέση ισορροπίας του, η ροπή τ τείνει να το στρέψει δεξιόστροφα και αντιστρόφως. Έτσι υπό την επίδ ραση της ροπής επαναφοράς τ το σώµα θα εκτελεί στροφική κίνηση, κατά την οποία η ευθεία OC αυτού θα παλινδροµεί εκτατέρωθεν της κατακόρυφης διεύθυνσης Oy, στρεφόµενη περί το σταθερό της άκρο O στο κατακόρυφο επίπε δο, που διέρχεται από το κέντρο µάζας του σώµατος και είναι κάθετο στον άξο να περιστροφής του. Kατά την εξέλιξη της κίνησης αυτής η ροπή τ θα έχει στα Σχήµα 6 Σχήµα 7 θερό φορέα τον άξονα περιστροφής του σώµατος, η φορά της θα µεταβάλλεται, το δε µέτρο της θα δίνεται από την σχέση: τ =wrηµϕ =mgrηµϕ (1) όπου r η απόσταση OC και φ η γωνιακή µετατόπιση του σώµατος, σε σχέση µε την θέση ισορροπίας του. Eάν θεωρήσουµε θετικές τις τιµές της γωνίας φ, όταν η εκτροπή του σώµατος είναι δεξιόστροφη, τότε η αλγεβρική τιµή της ροπής, θα ικανοποιεί την σχέση: τ = -mgrηµϕ ( Στην σχέση () το αρνητικό πρόσηµο δηλώνει ότι η φορά της ροπής τ είναι
6 κάθε στιγµή αντίθετη εκείνης που καθορίζει η αντίστοιχη γωνιακή εκτροπή του σώµατος από την θέση ισορροπίας του. Eφαρµόζοντας για το σώµα τον θεµελιώ δη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: I (Ο ) ω =τ dω I (Ο ) dt =-mgrηµϕ I d ϕ (Ο ) dt =-mgrηµϕ d ϕ dt + mgr I (Ο ) ηµϕ = d ϕ dt + k ηµϕ = (3) όπου I (O) η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς τον άξονα περιστροφής του και k θετική ποσότητα που ικανοποιεί την σχέση k =mgr/i (O). H (3) είναι µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως και η λύση της δεν προκύπτει µε αναλυτικό τρόπο αλλά µόνο αριθµητικά, µέσω κατάλληλου µαθηµατικού προγ ράµµατος που τρέχει σε ηλεκτρονικό υπολογιστή. Aς εξετάσουµε τώρα την ειδική περίπτωση που η γωνιακή εκτροπή του σώµα τος από την θέση ισορροπίας του είναι πολύ µικρή. Tότε κάθε στιγµή θα ισχύει ηµφ»φ και η (3) παίρνει την προσεγγιστική µορφή: d ϕ dt + k ϕ = (4) H (4) είναι µια οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται ηµιτονική λύση της µορφής: ϕ =ϕ ηµ(kt+θ) (5) όπου φ η µέγιστη τιµή της γωνιακής εκτροπής του σώµατος και θ σταθερή γωνία, η οποία εξαρτάται από την θέση του κατά τη στιγµή t= που αρχίζουµε να εξετάζουµε την κίνησή του και από την φορά περιστροφής του εκείνη την στιγµή. Mια τέτοια στροφική κίνηση του στερεού σώµατος, κατά την οποία η γωνιακή εκτροπή του φ είναι ηµιτονοειδής συνάρτηση του χρόνου ονοµάζεται στροφική αρµονική ταλάντωση. H µέγιστη τιµή φ της γωνίας φ ονοµάζε ται πλάτος της ταλάντωσης, η γωνία θ ονοµάζεται αρχική φάση αυτής και τέλος η ποσότητα k= mgr/i (O) ονοµάζεται γωνιακή συχνότητα της στροφικής αρµο νικής ταλάντωσης. Eίναι προφανές ότι, η στροφική αρµονική ταλάντωση του στερεού σώµατος είναι περιοδική κίνηση, της οποίας η περίοδος T συνδέεται µε την γωνιακή της συχνότητα k, µέσω της σχέσεως: T= π k = π mgr /I (O) = π I (O) mgr (6)
7 Παρατηρήσεις: i) H σχέση (6) που παρέχει την περίοδο Τ µιας στροφικής αρµονικής ταλάντω σης φυσικού εκκρεµούς µπορεί να γραφεί µε την µορφή: T=π I (O) mgr =π L α g (7) όπου L α το λεγόµενο ανηγµένο µήκος του φυσικού εκκρεµούς, ίσο µε την ποσότητα I (O) /mr. Mε βάση την σχέση (7) προκύπτει ότι το ανηγµένο µήκος φυσι κού εκκρεµούς είναι ίσο µε το µήκος ενός µαθηµατικού εκκρεµούς, το οποίο εκτελώντας ταλάντωση µικρού πλάτους στον ίδιο τόπο που βρίσκεται το φυσι κό εκκρεµές, έχει την ίδια περίοδο µε αυτό. Eξάλλου για το ανηγµένο µήκος L α του φυσικού εκκρεµούς έχουµε: L α = I (O) mr = I +mr (C) mr = I (C) mr +r L α > r (8) όπου I (C) η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς άξονα παράλληλο προς τον άξονα περιστροφής του και διερχόµενο από το κέντρο µάζας του C. Aν λοιπόν προεκτείνουµε την OC (σχ. 7) και λάβουµε στην προέκτασή της ένα σηµείο P, που απέχει από το O απόσταση OP=L α και θεωρήσουµε σ αυτό συγκεντρωµένη την µάζα m του φυσικού εκκρεµούς, τότε θα προκύψει ένα µαθηµατικό εκκρε µές της ίδιας περιόδου µε το φυσικό εκκρεµές. Tο σηµείο P ονοµάζεται κέντρο αιώρησης του φυσικού εκκρεµούς, που αντίστοιχεί στο κέντρο εξάρτησής του O. Aς υποθέσουµε τώρα ότι το φυσικό εκκρεµές εκτελεί στροφική αρµονική ταλάντωση περί οριζόντιο άξονα, που διέρχεται από το κέντρο αιώρησής του P και ας ονοµάσουµε L' α το νέο ανηγµένο µήκος του εκκρεµούς. Tότε θα έχουµε: r L α = I (P) m r = I +m (C) m r = I (C) m r + r L = α I (C) m(l α -r) + L α -r ( 8) I (C) L α = m I (C) /mr ( ) + I (C) mr L α =r + I (C) mr = L α (9) Δηλαδή το νέο ανηγµένο µήκος του φυσικού εκκρεµούς είναι ίσο µε το αρχικό, που σηµαίνει ότι, το εκκρεµές θα παρουσιάζει την ίδια περίοδο µε την αρχική. ii) Εφαρµόζοντας για το κέντρο αιώρησης P του φυσικού εκκρεµούς το γενι κευµένο θεώρηµα των ροπών, παίρνουµε την σχέση: τ (P) ολ = PC F ολ ( ) + τ ολ (C) τ (P) ολ = PC ma κ +ma ε ( ) + Ι ω (1) (C)
8 όπου τ (P) ολ η συνολική ροπή περί το σηµείο P των δυνάµεων που δέχεται το στερεό, (C) τ ολ η αντίστοιχη ολική ροπή περί το κέντρο µάζας του C ίση µε Ι (C) ω και m a κ, m a ε οι συνιστώσες της ολικής δύναµης F ολ που θα προκύψει από την αναγωγή των δυνάµεων στο κέντρο µάζας C, από τις οποίες η m a κ αποτε Σχήµα 8 λεί για την κίνηση του κέντρου µάζας κεντροµόλο δύναµη µε κατεύθυνση προς το Ο η δε ma ε αποτελεί επιτρόχιο δύναµη µε εφαπτοµενική κατεύθυνση, συµβατή προς την φορά της γωνιακής επιτάχυνσης ω του σώµατος (σχ. 8). Όµως ισχύει PC ma κ ( ) = οπότε η (1) γράφεται: τ (P) ολ = PC ma ε ( ) + Ι (C) Εξάλλου τα διανύσµατα Ι (C) ω και ω (11) PC ma ε ( ) είναι αντίρροπα, οπότε οι αλ γεβρικές τιµές των διανυσµάτων της σχέσεως (11) ικανοποιούν την σχέση: τ (P) ολ = - PC τ (P) ολ = ω ( ) ma ε + Ι (C) ω τ (P) ολ = - L α -r ( ) mr (8) ω + Ι (C) ω ( -I C /mr ) mr+ Ι (C) = (1) H (1) δηλώνει ότι το σηµείο P εκτός από κεντρο αιώρησης αποτελεί και κέντρο κρούσεως του σώµατος. P.M. fysikos Ένα στερεό σώµα µάζας m µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που τέµνει το επίπεδο κίνησης του κέν
9 τρου µάζας C του στερεού κάθετα σε σηµείο Ο, που απέχει από το C απόσταση r. Εκτρέπουµε το σώµα από την θέση ευσταθούς ισορρο πίας και το αφήνουµε ελεύθερο. Nα δείξετε ότι η δύναµη δεσµού A που ασκείται από τον άξονα στο στερεό δίνεται κάθε χρονική στιγµή από την διανυσµατική σχέση: A=-m( g+ rk ηµϕ) µε k =Ι (Ο) g/r όπου Ι (O) η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστρο φής του, φ η γωνιακή εκτροπή του από την θέση ισορροπίας, g η επιτάχυνση της βαρύτητας και r το διάνυσµα θέσεως του κέντρου µάζας του ως προς το Ο. ΛΥΣΗ: Εξετάζοντας το σώµα σε µια τυχαία θέση παρατηρούµε ότι αυτό δέχε ται το βάρος του mg και την δύναµη A από τον άξονα περιστροφής του (δύνα µη δεσµού) της οποίας ο φορέας διέρχεται από το σηµείο Ο. Εφαρµόζοντας στην θέση αυτή για το κέντρο µάζας του σώµατος τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύ τωνα παίρνουµε την σχέση: m d r dt = m g+ A A =m d r dt -m g =m d r dt - g (1) Σχήµα 9 Όµως για το διάνυσµα θέσεως r του κέντρου µάζας ισχύει: r =x C i +yc j=rηµϕ i +rσυνϕ j () όπου i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των ορθογώνιων αξόνων Οx, Οy αντιστοί χως και x C, y C oι συντεταγµένες του κέντρου µάζας. Παραγωγίζοντας δύο φορές την () ως προς τον χρόνο t έχουµε:
10 d r dt =rσυνϕ dϕ dt dϕ i -rηµϕ j dt d r dt =-rηµϕ d ϕ d ϕ i -rσυνϕ j dt dt d r dt =-r d ϕ dt ( ηµϕ i+συνϕ j) ηµϕ i=-r d ϕ r (3) dt Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (3) παίρνουµε: A =m -r d ϕ r-g dt =-m r d ϕ r+ g dt (4) Εξάλλου εφαρµόζοντας για το σώµα κατά την χρονική στιγµή t τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: dω I (O) dt = (τ) I d ϕ (O) dt = (τ) (5) όπου Σ(τ) το αλγεβρικό άθροισµά των ροπών των δυνάµεων που δέχεται το σώµα, περί τον άξονα περίστροφής του και φ η γωνιακή του εκτροπή από την θέση ευσταθούς ισορροπίας του. Όµως η ροπή της A είναι συνεχώς ίση µε µηδέν, αφού ο φορέας της δύναµης αυτής διέρχετα από το Ο, ενώ η ροπή του βάρους mg του σώµατος τείνει να το επαναφέρει στην θέση ισορροπίας του, δηλαδή σε αριστερόστροφη γωνιακή εκτροπή του η ροπή αυτή τείνει να το στρέ ψει δεξιόστροφα και αντιστρόφως. Έτσι η σχέση (5) γράφεται: d ϕ dt = - mgr ηµϕ =-k ηµϕ µε k = mgr (6) I (O) I (O) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (6) παίρνουµε την αποδεικτέα σχέση: A =-m( g+ rk ηµϕ) P.M. fysikos Θεωρούµε στερεό σώµα µάζας m, το οποίο µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που τέµνει το κατακόρυ φο επίπεδο κίνησης του κέντρου µάζας του C στο σηµείο Ο. Εξασκού µε στο σώµα δύναµη βραχείας διάρκειας (ωστική δύναµη), της οποίας ο φορέας ανήκει στο επίπεδο κίνησης του κέντρου µάζας και τέµνει
11 στην ΟC στο κέντρο κρούσεως K του σώµατος σχηµατίζοντας µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ<π/ (σχ. 1). i) Eάν r C, r K είναι oι αποστάσεις των C και Κ αντιστοίχως από το Ο και Ι (O) η ροπή αδράνειας του σώµατος ως προς τον άξονα περιστρο φής του, να δείξετε την σχέση: I (O) =mr C r K ii) Eάν µετά την δράση της δύναµης η µέγιστη γωνιακή απόκλιση του σώµατος από την θέση ευσταθούς ισορροπίας του είναι φ max <π/, να δείξετε ότι το µέτρο της ώθησης της δύναµης δίνεται από την σχέση: ηµ ( ϕ Ω F =mr max /) C συνϕ g r K iii) Nα δείξετε ότι η γωνιακή επιτάχυνση ω * του σώµατος την στιγµή που αρχίζει η επαναφορά του στην αρχική του θέση έχει µέτρο που ικανοποιεί την σχέση: ω * =g ηµϕ max /r K ΛΥΣΗ: i) Kατά τον πολύ µικρο χρόνο Δt (Δt ) που ενεργεί επί τoυ σώµατος η ωστική δύναµη F, το σώµα δέχεται ακόµη το βάρος του w και την δύναµη Α από τον άξονα περιστροφής, της οποίας ο φορέας είναι κατακόρυφος, διότι η ωστική δύναµη κατευθύνεται προς το κέντρο κρούσεως Κ του σώµατος. Εφαρ µόζοντας για το κέντρο µάζας C του σώµατος κατά την οριζόντια διεύθυνση, το θεώρηµα ώθησης-ορµής παίρνουµε την σχέση: ( ) mv = + Ω Fx mv =Ω Fx mv = F x dt mv = Δt ( Fσυνϕdt) mv = συνϕ ( Fdt) mv = Ω F συνϕ (1) όπου v η ταχύτητα του κέντρου µάζας C αµέσως µετά την δράση της ωστικής δύναµης F και Ω F η ώθηση της δύναµης. Όµως κατά τον χρόνο Δt ισχύει για τo σώµα ο νόµος µεταβολής της στροφορµής, που µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση: Δt Δt
12 I (O) ω = Δt Δt + ( τ F dt) I (O) ω = OK F ( ) ( ) dt Δt I (O) ω = OK Fdt Δt I (O) ω = OK Ω F () ( ) όπου τ F η ροπή της ωστικής δύναµης F περί τον άξονα περιστροφής του σώµα τος και ω η γωνιακή ταχύτητα του σώµτος αµέσως µετά την δράση της δύνα µης. Η διανυσµατική σχέση () µετατρέπεται σε σχέση µέτρων της µορφής: I (O) ω = OK ( ) Ω F ηµ π -ϕ (1) I (O) ω = r K ( mv /συνϕ) συνϕ I (O) ω = r K mv I (O) ω = r K mω r C I (O) =mr C r K (3) Σχήµα 1 Σχήµα 11 ii) Εφαρµόζοντας για το σώµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργει ας κάτα την περιστροφή του από την κατακόρυφη θέση στην θέση της µέγιστης γωνιακής εκτροπής του φ, παίρνουµε: I (O) ω =mg ( r C -r C συνϕ max ) mr C r K ω = mgr C ( 1-συνϕ max ) r K v /r C = 4gηµ ϕ max / ( ) (1) r K Ω F συν ϕ m r C = 4gηµ ϕ max / ( )
13 Ω F = 4m r ηµ ( ϕ max /) C συν ϕ g r K ηµ ( ϕ Ω F =mr max /) C συνϕ g r K (4) iii) Ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης εφαρµοζόµεµος για το σώµα την στιγµή που αρχίζει να κινείται προς την αρχική του θέση (σχ. 11, δίνει: (3) I (O) ω * =mgr (C) ηµϕ max mr C r K ω * =mgr C ηµϕ max (5) όπου ω * η ζητούµενη γωνιακή επιτάχυνση του σώµατος την στιγµή που αρχί ζει να κινείται από την θέση µέγιστης εκτροπής προς την αρχική του θέση. P.M. fysikos Ένας κυλινδρικός οχετός από µπετόν ακτίνας R, κυλίεται χωρίς ολίςθηση πάνω σε οριζόντιο έδαφος και στο εσωτερικό του βρίσκεται ένας νεαρός που ισορροπεί ως προς τον οχετό. Κάποα στιγµή η γωνιακή ταχύτητα του οχετού είναι ω η δε θέση του νεαρού είναι τέτοια ώστε η ευθεία που συνδέει το κέντρο µάζας C του συστή µατος νεαρός-οχετός µε το κέντρο Κ του οχετού να είναι οριζόντια, µε ΚC=s. Eάν η ακτίνα αδράνειας του συστήµατος ως προς το κέντρο µά ζας του είναι r C, η επιτάχυνση της βαρύτητας g, να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του κυλινδρικού οχετού κατα την θεωρούµενη χρονική στιγµή. ΛΥΣΗ: Η κυλιση χωρίς ολίσθηση του κυλινδρικού οχετού είναι µια επίπεδη κίνηση στην διάρκεια της οποίας κάθε στιγµή το µέτρο της επιτάχυνσης a K του κέντρου Κ του οχετού συνδέεται µε το µέτρο της γωνιακής του επιτάχυνσης ω µέσω της σχέσεως a K =R ω. Εξάλλου αν a C είναι η επιτάχυνση του κέν τρου µάζας C του συστήµατος οχετός-νεαρός την στιγµή που η γωνιακή ταχύ τητα του οχετού είναι ω, θα έχουµε την σχέση: a C = a K -ω KC ( ) + ( ω KC) a Cxi + acy j = aki -ω s i + a Cxi +acy j= ω Ri-ω s i+ ω s k i ( ω k s i) ( ) a Cxi + acy j = ( ω R-ω s) i + ω s j
14 a Cx = ω R-ω s a Cy = ω s (1) όπου a Cx, a Cy οι συνιστώσες της επιτάχυνσης a C κατά τις διευθύνσεις των ορθο γώνιων αξόνων x, y αντιστοίχως i, j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων αυτών και k το κάθετο στο επίπεδο κίνησης µοναδιαίο διάνυσµα (σχ. 1). Το σύστηµα στην θέση που το εξετάζουµε δέχεται το βάρος του w και την δύναµη επαφής από το οριζόντιο έδαφος, που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση Ν και Σχήµα 1 Σχήµα 13 στην στατική τριβή Τ (σχ. 13) Εφαρµόζοντας για το σύστηµα στην θέση αυτή το γενικευµένο θεώρηµα των ροπών παίρνουµε: τ (Α) = τ (C) + ΑC F ολ mgsk=i C ω k+ AK ma Cx ( ) ( ) + ( KC ma Cy ) mgsk=i C ω k+ma Cx Rk+ma Cy sk mgs=mr C ω +ma Cx R+ma Cy s gs=r C ω +a Cx R+a Cy s () όπου F ολ η συνισταµένη δύναµη που θα προκύψει από την αναγωγή όλων των δυνάµεων στο κέντρο µάζας C του συστήµατος που είναι ίση µε το διανυσµα τικό άθροισµα m a Cx +m a Cy. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () παίρνουµε: ( ) R+ gs=r C ω + ω R-ω s ( ) ω s gs= r C +R +s ω -ω sr
15 s( g + ω R) = ( r C + R +s ) ω ( ) ω = s g + ω R r C + R +s (3) P.M. fysikos Mια εύκαµπτη και οµογενής αλυσίδα µάζας m και µήκους L, κρατείται από το ένα άκρο της ώστε να είναι κατακόρυφη, ενώ το άλλο της άκρο εφάπτεται του οριζοντίου εδάφους. Kάποια στιγµή η αλυσίδα αφήνεται ελεύθερη και τελικά σωριάζεται στο ορι ζόντιο έδαφος. Με την προυπόθεση ότι κάθε κρίκος της αλυσίδας κτυ πώντας στο έδαφος ηρεµεί, να υπολογίσετε: i) την ταχύτητα των κρίκων του αιωρούµενου τµήµατος της αλυσίδας σε συνάρτηση µε το µήκος του x και ii) το µέτρο της δύναµης που εξασκεί στο έδαφος η αλυσίδα, σε συνάρ τηση µε τον χρόνο και να δώσετε την γραφική παράσταση της σχέσε ως που θα βρείτε. iii) Εάν την στιγµή t= εφάρµόζεται στο άνω άκρο της αλυσίδας κατα κόρυφη ανοδική δύναµη F σταθερού µέτρου F<mg, όπου g η επιτά χυνση της βαρύτητας, να βρείτε την συνθήκη ώστε η καθοδική κίνηση της αλυσίδας να µετατραπεί σε ανοδική την στιγµή που το άνω άκρο της απέχει από το έδαφος απόσταση L/4. ΛΥΣΗ: i) Επειδή το αιωρούµενο τµήµα της αλυσίδας αποτελεί σώµα που η µάζα του µειώνεται µε τον χρόνο, µπορούµε κάθε χρονική στιγµή t για το τµήµα αυτό να γράψουµε την σχέση: dv m x dt = m g- dm v x dt σχ (1) όπου v σχ η σχετική ταχύτητα κάθε αφαιρούµενου κρίκου ως προς το αιωρούµε νο τµήµα της αλυσίδας κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή, dm/dt ο αντί στοιχος ρυθµός µε τον οποίο αφαιρείται µάζα και m x η αντίστοιχη µάζα του αιωρούµενου τµήµατος. Όµως κάθε χρονική στιγµή ισχύει v σχ = και dm=µdx, όπου dx η µείωση του µήκους x του αιωρούµενου τµήµατος µεταξύ των χρονι κών στιγµών t και t+dt και µ η µάζα της αλυσίδας ανά µονάδα µήκους, ίση µε m/l. Έτσι η σχέση (1) γράφεται: µx d v dt = µx g d v dt = g ()
16 δηλαδή οι κρίκοι της κατερχόµενης αλυσίδας εκτελούν ελεύθερη πτώση. Αυτό σηµαίνει ότι το µέτρο της ταχύτητας v κάθε κρίκου την στιγµή t ικανοποιεί την σχέση: v = g ( L-x) v= g ( L-x), x L (3) ii) Aς εξετάσουµε κατά την χρονική στιγµή t ολόκληρη την αλυσίδα, δηλαδή και το αιωρούµενο τµήµα της και εκείνο που βρίσκεται σε ηρεµία πάνω στo οριζόντιο έδαφος. Είναι προφανές ότι ολόκληρη η αλύσίδα αποτελεί σώµα σταθε Σχήµα 14 ρής µάζας (dm/dt=) που κάθε στιγµή δέχεται την δύναµη επαφής R(x) από την έδαφος και το βάρος της m g. H ορµή της αλυσίδας µεταβάλλεται χρονικά, διότι η ορµή του αιωρούµενου τµήµατός της µεταβάλλεται και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νευτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του θα ισχύει η σχέση: d dt m v+ m-m x x ( ) =m g+ R(x) d dt µxv ( ) = µlg-r(x) µ dx () dv v + µx dt dt = µlg-r(x) (3) µv + µxg = µlg-r(x) µg ( L-x) + µxg = µlg-r(x) R(x)= 3µg ( L-x), x L (4) H (4) δηλώνει ότι το µέτρο της δύναµης R(x) είναι τριπλάσιο του µέτρου του βάρους του τµήµατος της αλυσίδας που έχει σωριασθεί στο έδαφος. Εξάλλου κατά τον χρόνο πτώσεως της αλυσίδας θα ισχύει: L-x=gt / µε t L/g οπότε η (8) παίρνει την µορφή:
17 R(t)= 3µgt / = 3mgt /L, t L/g Eίναι προφανές ότι για t > L/g θα είναι R(t)= µlg =mg που σηµαίνει ότι η ζητούµενη συνάρτηση R(t) έχει την µορφή: R(t)= 3mgt /L, t mg, t > L/g L/g (5) H γραφική παράσταση της (5) εικονίζεται στο σχήµα (15). Σχήµα 15 iii) Aς δεχθούµε ότι την στιγµή t= εφαρµόζεται στο άνω άκρο της αλυσίδας κατακόρυφή σταθερή δύναµη F µε φορά προς τα πάνω, της οποίας το µέτρο είναι µικρότερο του µέτρου mg του βάρους της αλυσίδος. Στην περίπτωση αυτή η αλυσίδα θα αποκτά καθοδική κίνηση η οποία θα περιγράφεται από την διαφο ρική εξίσωση: dv m x dt =m g-f - dm v x dt σχ µx dv = µxg -F - dt dv dt = g - F µx vdv dx = g - F µx LF vdv= gdx - m dx x (6) Oλοκληρώνοντας την (6) παίρνουµε: v ( vdv) = g dx - LF m x L x dx x v = g x-l L ( ) - LF ( ln x-lnl) (7) m Σύµφωνα µε τα δεδοµένα του προβλήµατος η καθοδική κίνηση της αλυσίδας αναστρέφεται την χρονική στιγµή που είναι x=l/4, δηλαδή την στιγµή αυτή
18 µηδενίζεται η ταχύτητα των κρίκων του αιωρούµενου τµήµατος της αλύσίδας και η σχέση (7) δίνει: = g L 4 -L - LF m ln L / 4 L g -3L 4 = LF m ln 1 4 3gL 4 = ( ln 4 ) LF m F ( ) mg = 3 4 ln 4 Η (8) αποτελεί την ζητούµενη συνθήκη. (8) P.M. fysikos Mια εύκαµπτη και οµογενής αλυσίδα είναι κατά το µεγαλύτερο µέρος της σωριασµένη σε οριζόντιο έδαφος, ενώ ένα τµήµα αυτής µήκους x κρατείται κατακόρυφο. Την στιγµή t= εφαρ µόζεται στο ελευθερο άκρο της αλυσίδας κατακόρυφη δύναµη F, της οποίας το µέτρο είναι διπλάσιο από το µέτρο του βάρους του αιωρού µενου τµήµατος αυτής, µε αποτέλεσµα η αλυσίδα να ανέρχεται. i) Να βρείτε την διαφορική εξίσωση της ανοδικής κίνησης του αιω ρούµενου τµήµατος της αλυσίδας. ii) Χρησιµοποιώντας την διαφορική εξίσωση κίνησης να βρείτε την ταχύτητα των κρίκων του κινούµενου τµήµατος της αλυσίδας, σε συ νάρτηση µε το µήκος του x. iii) Να βρείτε την το µέγιστο µήκος που θα αποκτήσει το αιωρούµενο τµήµα της αλυσίδας. ΛΥΣΗ: i) Aς δεχθούµε ότι κατά την ανοδική κίνηση της αλυσίδας το αιωρού µενο τµήµα αυτής έχει την χρονική στιγµή t µήκος x και ταχύτητα v. Επειδή το τµήµα αυτό αποτελεί σώµα που η µάζα του αυξάνεται µε τον χρόνο, µπο ρούµε για το τµήµα αυτό να γράψουµε κάθε χρονική στιγµή την σχέση: dv m x dt =m g+ F+ dm v x dt σχ (1) όπου v σχ η σχετική ταχύτητα κάθε προστιθέµενου κρίκου ως προς το αιωρούµε νο τµήµα της αλυσίδας κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή, dm/dt ο αντί στοιχος ρυθµός µε τον οποίο προστίθεται µάζα και m x η αντίστοιχη µάζα του αιωρούµενου τµήµατος. Όµως κάθε χρονική στιγµή ισχύει v σχ = - v και dm=µdx, όπου dx η αύξηση του µήκους x του αιωρούµενου τµήµατος µεταξύ των χρονι
19 κών στιγµών t και t+dt και µ η µάζα της αλυσίδας ανά µονάδα µήκους (γραµ µική πυκνότητα), οπότε η (1) γράφεται. Σχήµα 17 µx d v µdx dv = -µxg+f - v µx dt dt dt = -µxg +µx g -µ dx dt x d x dt = -xg +x g - dx dt x d x dt + dx dt + gx = x g () H () αποτελεί την διαφορική εξίσωση της ανοδικής κίνησης του αιωρούµενου τµήµατος της αλυσίδας είναι δε µια µη γραµµική διαφορική εξίσωση που δεν λύνεται µε αναλυτικό τρόπο, αλλά µόνο µε αριθµητική µέθοδο µέσω κατάλλη λου µαθηµατικού προγράµµατος που τρέχει σε υπολογιστή. ii) H διαφορική εξίσωση () µετασχηµατίζεται ως εξής: ( ) x dx dt + v dx dt = -gx + x g d xv dt d ( xv) dx/v = -gx + x ( ) g xvd xv dx = -gx + x g = -gx + x gx ( xv) d ( xv) = -gx dx + x gxdx (3) Oλοκληρώνοντας την (3) παίρνουµε την σχέση: xv ( ) = -gx3 3 + x gx +C (4)
20 H σταθερά ολοκληρώσεως C θα βρεθεί από τις αρχικές συνθήκες κίνησης x()=x και v()= της αλυσίδας, οι οποίες ικανοποιούν την (4) οπότε αυτή δίνει: = - gx gx 3 +C C= - gx 3 3 (5) Συνδυάζοντας τις (4) και (5) παίρνουµε: ( xv) = -gx3 3 + gx x - gx 3 3 v = - gx gx -4gx 3x v = g - x x -x 3x, x x (6) iii) Όταν η ταχύτητα των κρίκων του ανερχόµενου τµήµατος της αλυσίδας µηδενιστεί, την στιγµή αυτήν το µήκος του θα λάβει την µέγιστη τιµή του x max και η (6) δίνει: = - x max 3 + x - x 3 3 x max -3x x max + x 3 = (7) 3x max Για την λύση της (7) την µετασχηµατίζουµε ως εξής: 3 x max -x 3-3x x max + 3x 3 3 = x max -x 3-3x x ( -x max ) = ( x max -x ) ( x max + x max x + x )-3x x max ( x max -x ) x max + x max x + x -3x x max -3x ( -x ) = ( ) = ( ) = (8) ( x max -x ) x max + x x max - x Oι ρίζες της (8) είναι x max = x (απορρίπτεται) και x max = x ( 1+ 3) (δεκτή) P.M. fysikos
Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση.
Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση. i) Εάν Κ είναι το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής του στερεού κάποια στιγµή και C η αντίστοιχη θέση του κέντρου µάζας
Διαβάστε περισσότερα. Αυτό σηµαίνει ότι το κέντρο µάζας κινείται ευθύγραµµα µε σταθερή επιτάχυνση a! = F!
Οµογενής κυκλικός δίσκος µάζας m και ακτίνας, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος µε τον άξονα συµµετρίας του κατα κόρυφο. Εάν σ ένα σηµείο της περιφέρειας του δίσκου εξασκείται συνεχώς µια σταθερή
Διαβάστε περισσότεραii) Να δείξετε ότι το σφαιρίδιο εκτελεί µια µη αρµονική περιοδική ταλάντωση, της οποίας να υπολογίσετε την περίοδο.
Το σύστηµα του σχήµατος αποτελείται από δύο όµοια ελατήρια στα θεράς και φυσικού µήκους α, των οποίων οι άξονες βρίσκονται πάνω στην ευθεία ΑΒ, όπου Α, Β είναι δύο ακλόνητα σηµεία του επιπέδου. Εκτρέπουµε
Διαβάστε περισσότερα, της οποίας το µέτρο ικανοποιεί τη σχέση:
Στην κορυφή της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας σφήνας µάζας M, η οποία ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικ ρός κύβος µάζας m. Nα δείξετε ότι η σφήνα κινείται στο σύστη µα αναφοράς του
Διαβάστε περισσότεραii) Nα βρείτε την µέγιστη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου.
Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας εφαρµόζεται στο
Διαβάστε περισσότεραΔίνεται η ροπή αδράνειας I=mL 2 /3 της ράβδου ως προς τον άξονα περιστροφής της, η επιτάχυνση! g της βαρύτητας και ότι π 2!10.
Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας της εφαρµόζεται
Διαβάστε περισσότεραi) Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης αµέσως µετά την κρού ση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας.
Mια κυκλική στεφάνη ακτίνας R, της οποίας η µάζα θεωρείται συγκεντρωµένη στην περιφέρεια της, κυλίεται ισοταχώς πάνω σε οριζόντιο επίπεδο το δε κέντρο της έχει ταχύτητα v. Kάποια στιγµή η στε φάνη προσκρούει
Διαβάστε περισσότερατης οποίας ο φορέας σχηµατί ζει γωνία φ=π/6 µε την κατακόρυφη διεύθυνση και ανακλάται µε αντίστοιχη γωνία φ=π/4.
Οριζόντιος δίσκος µάζας Μ ισορροπεί στηριζόµε νος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο στηρίζεται στο έδαφος (σχήµα 1). Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, προσκρούει
Διαβάστε περισσότεραi) Nα βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου της τροχαλίας τ 1.
Στην διάταξη του σχήµατος 1) οι τροχαλίες τ 1 και τ έχουν την ίδια µάζα Μ που θεωρείται συγκεντρωµένη στην περι φέρειά τους και την ίδια ακτίνα R. Στο αυλάκι της σταθερής τροχα λίας τ έχει περιτυλιχθεί
Διαβάστε περισσότεραόπου Μ η µάζα της Γης την οποία θεωρούµε σφαίρα οµογενή, G η παγκόσµια σταθερά της βαρύτητας και L!
Είναι γνωστό ότι, όταν ένα σώµα κινείται µέσα στο βαρυτικό πεδίο της Γης υπό την επίδραση µόνο της Νευτώνειας έλξεως, η τροχιά που διαγράφει το κέντρο µάζας του είναι επίπεδη και µάλιστα το επίπεδό της
Διαβάστε περισσότεραi) το πλάτος ταλάντωσης του καροτσιού µετά την ενσωµάτωση του σφαιριδίου σ' αυτό και
Ένα καροτσάκι που περιέχει άµµο, συνολικής µάζας M, εκτελεί οριζόντια αρµονική ταλάντωση σε λείο επίπεδο, µε τη βοήθεια ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k. Ένα σφαιρίδιο µάζας m
Διαβάστε περισσότερααπό τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N!
Οµογενής συµπαγής κύβος ακµής α και µάζας m, ισορροπεί ακουµπώντας µε µια ακµή του σε κατακόρυφο τοίχο και µε µια του έδρα σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο
Διαβάστε περισσότεραQ του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: της τάσεως!
Αβαρής ράβδος αποτελείται από δύο συνεχόµενα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ που είναι ορθογώνια µεταξύ τους. Το άκρο Ο της ράβδου είναι αρθρωµένο σε οριζόντιο έδαφος το δε τµήµα της ΟΑ είναι κατακόρυφο και εφάπτεται
Διαβάστε περισσότεραKινηµατική άποψη της επίπεδης κίνησης
Kινηµατική άποψη της επίπεδης κίνησης Θα λέµε ότι ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση, όταν οι αποστάσεις των υλικών του σηµείων από ένα ορισµένο επίπεδο αναφοράς (ε), παραµέ νουν αµετάβλητες µε το
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Γ! 2η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων
ΜΕΡΟΣ Γ η οµάδα λυµένων παραδειγµάτων Στις άκρες αβαρούς και λεπτής ράβδου µηκούς L, έχουν στερεωθεί δύο όµοιες σφαίρες, µάζας m και ακτίνας R, το δε σύστηµα στρέφεται µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα περί
Διαβάστε περισσότερα(τρίτος νόµος του Νεύτωνα) και την πλάγια αντίδραση του οριζόντιου εδάφους, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσθησης T!
Επί της κεκλιµένης έδρας µιας ορθογώνιας και ισοσκελούς σφήνας µάζας m, η οποία ισορροπεί πάνω σε οριζόντιο έδαφος, αφήνεται µικρός κύβος µάζας m. Μεταξύ του κύβου και της σφήνας δεν υπάρχει τριβή, ενώ
Διαβάστε περισσότερα( ) ω ( ) = 0. Aπό τις σχέσεις (2) προκύπτει ή ότι το διάνυσµα v K. είναι κάθετο στα διανύσµα τα r A
Θεωρούµε στερεό σώµα που εκτελεί ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς επίπεδη κίνηση και έστω (S) η κύρια* τοµή του στερεού κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t. Να δείξετε ότι το αντίστοιχο προς την κύρια
Διαβάστε περισσότεραA! Κινηµατική άποψη. Σχήµα 1 Σχήµα 2
A Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα σε τυχαία κίνηση, η οποία εξέταζεται από ένα αδρα νειακό σύστηµα αναφοράς ΟXYZ. Εφοδιάζουµε το σώµα µε κινητό σύστηµα συντεταγµένων xyz ακλόνητα συνδεδεµένο µε αυτό,
Διαβάστε περισσότεραii) Έαν αρχικά ο δίσκος κρατείται στην θέση, όπου η ΟΚ είναι οριζόν τια και αφεθεί ελευθερος να βρεθούν οι επιταχύνσεις a!
Ένας κυκλικός δίσκος ακτίνας R φέρει κυκλική οπή ακτίνας R/, της οποίας το κέντρο Κ βρίσκεται σε απόσταση R/ από το κέντρο Ο του δίσκου, µπορεί δε να κυλίεται σε µη λείο οριζόντιο έδαφος. i) Εκτρέπουµε
Διαβάστε περισσότεραi) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου Κ της τροχαλίας την στιγµή t=0 αµέσως µετά την θραύση του νήµατος.
H τροχαλία του σχήµατος () µάζας m και ακτίνας R, ισορροπεί εξαρτηµένη από τα νήµατα ΑΒ και ΓΔ τα οποία είναι ισο κεκλιµένα ως προς την οριζόντια διεύθυνση κατα γωνία φ. Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα ΑΒ
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΗ: Έστω O η θέση ισορροπίας του σφαιριδίου. Στη θέση αυτή το σφαι ρίδιο δέχεται το βάρος του w!, τη δύναµη F
Ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς k κόβεται σε δύο τµήµατα µε µήκη L και L. Η µία άκρη κάθε τµήµατος συνδέεται στέρεα µε µικρό σφαιρίδιο µάζας m και οι ελέυθερες άκρες τους στερεώνονται σε ακλόνητα σηµεία
Διαβάστε περισσότεραΈνα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή
Ένα σώµα µε µεγάλη µάζα Μ, κινείται µε σταθερή ταχύτητα µέτρου V 0 πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος κατευθυνόµενο προς κατακόρυφο τοίχο. Το σώµα κάποια στιγµή συγκρούεται ελα στικά και µετωπικά µε µια µπάλα
Διαβάστε περισσότερα=-v και dm=µdx, όπου dx η αυξηση του µήκους x του αιωρούµενου τµήµατος µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, οπότε η σχέση (1) γράφεται:
Mια οµογενής αλυσίδα, γραµµικής πυκνότητας µ και µήκους L, είναι σωριασµένη πάνω σε οριζόντια πλάκα, η οποία φέρει µια οπή. Πλησιάζουµε το ένα άκρο της αλυσίδας στην οπή και φροντίζουµε να περάσει µέσα
Διαβάστε περισσότεραi) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες.
Δύο πιθηκάκια της ίδιας µάζας αναρριχώνται εκ της ηρεµίας κατά µήκος των τµηµάτων του αβαρούς σχοινιού, που διέρχεται από τον λαιµό µιας σταθερής τροχαλίας (σχ. ). H τροχαλία έχει αµελητέα µάζα και µπορεί
Διαβάστε περισσότεραΥλικό σηµείο µάζας m, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F!
Υλικό σηµείο µάζας, κινείται εντός δυναµικού πεδίου δεχόµενο ελκτική κεντρική δύναµη F (), η οποία ακολουθεί τον νόµο του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης από το ελκτι κό κέντρο Ο, δηλαδή περιγράφεται
Διαβάστε περισσότεραακτινικής διεύθυνσης και στην οριακή τριβή T!"
Λεπτή κυκλική στεφάνη ακτίνας R και µάζας m, ισορρο πεί εφαπτόµενη σε δύο υποστηρίγµατα A και Γ, όπως φαίνεται στο σχήµα (1. Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της στεφάνης και των υποστη ριγµάτων
Διαβάστε περισσότεραπου περιγράφεται από την σχέση:! R = -mk! v
Mικρό σώµα µάζας m βάλλεται από σηµείο Ο του οριζόντιου εδάφους κατακόρυφα προς τα άνω, µε ταχύτητα µέτρου v. Στην διάρκεια της κίνησής του το σώµα δέχεται από τον ατµοσφαιρι κό αέρα αντίσταση R, που περιγράφεται
Διαβάστε περισσότεραδιέρχεται από το σηµείο Ο της ράβδου, υπό την επίδραση των βαρών m 1 από τον άξονα περιστροφής, που αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα!
Θεωρήστε οριζόντια ράβδο αµελητέας µάζας, η οποία µπορεί να περιστρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο. Στα άκρα της υπάρχουν δυο διαφορετικές σηµειακές µάζες m, m, που οι αντίστοιχες
Διαβάστε περισσότερα, σταθερής κατεύθυνσης, της οποίας το µέτρο µεταβάλλεται µε τον χρόνο t, σύµφωνα µε την σχέση:
Σώµα µάζας m σχήµατος ορθογώνιου κιβωτίου, ισορροπεί πάνω σε τραχύ οριζόντιο επίπεδο και στην άνω επιφάνειά του έχει τοποθετηθεί σώµα µάζας m/. Κάποια στιγµή που λαµβάνε ται ως αρχή µέτρησης του χρόνου
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ Α! του σώ µατος ισχύει η σχέση: η επιβατική ακτίνα ως προς το σηµείο P του τυχαίου υλικού σηµείου του στερεού µάζας m i και v!
ΘΕΩΡΗΜΑ Α Ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής στερεού σώµατος, θεωρούµενης περί ένα σηµείο του ή της επεκτάσεώς του και αναφερόµενης σε κάποιο αδρανειακό σύστηµα, είναι κάθε στιγµή ίσος µε την συνολική ροπή
Διαβάστε περισσότεραEφαρµόζοντας στο τρίγωνο OAΣ το θεώρηµα του συνηµιτόνου παίρνουµε:
ΘΕΜΑ 6o Η κυκλική τροχαλία του σχήµατος (1) έχει µάζα Μ και ακτίνα R, είναι σε επαφή µε οριζόντιο δάπεδο (ε), ενώ στον άξονά της έχει πακτωθεί αβαρής ράβδος µήκους L, στο ελεύθερο ακρο της οποίας έχει
Διαβάστε περισσότεραi) Nα εκφράσετε την ταχύτητα της αλυσίδας σε συνάρτηση µε το µή κος x του τµήµατος, που έχει εγκαταλείψει την πλάκα.
Mια οµογενής αλυσίδα, γραµµικής πυκνότητας µ και µήκους L, είναι σωριασµένη πάνω σε οριζόντια πλάκα, η οποία φέρει µια οπή. Πλησιάζουµε το ένα άκρο της αλυσίδας στην οπή και φροντίζουµε να περάσει µέσα
Διαβάστε περισσότερατην αρχή Ο του ΟΧY, που είναι ένα αδρανειακό σύστηµα αναφοράς. Εάν
Ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση, όταν οι αποστάσεις των υλικών του σηµείων από ένα ορισµένο επίπεδο αναφοράς (ε, παραµένουν αµετάβλητες µε τον χρόνο. Για την µελέτη της επίπεδης κίνησης στερεού
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 1 K = K = m 2. ! = v 2 + v 1 R + r (3) H (1) λόγω της (3) γράφεται: R - v 2. + v 1. v 2. r > 0 (4) ! v K. + v 1 )R - v 2. = v 2. - v.
Το καρούλι του σχήµατος κυλίεται χωρίς ολίσ θηση πάνω σε οριζόντιο δοκάρι, που ολισθαίνει επί οριζοντίου έδα φους µε ταχύτητα v η οποία έχει την κατεύθυνση του δοκαριού. Η κύλιση του καρουλιού επιτυγχάνεται
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα
Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα Θέµα ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Ένα σηµειακό
Διαβάστε περισσότεραi) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και
Δύο αβαρή και µη εκτατά νήµατα του ίδιου µή κους είναι στερεωµένα στο ίδιο σηµείο Ο, ενώ στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων είναι δεµένα δύο σφαιρίδια, µε µάζες 1 και. Eκτρέ πουµε τα σφαιρίδια από την θέση
Διαβάστε περισσότεραΟ δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για σύστηµα µεταβλητής µάζας
Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για σύστηµα µεταβλητής µάζας Όταν εξετάζουµε ένα υλικό σύστηµα µεταβλητής µάζας, δηλαδή ένα σύστη µα που ανταλλάσσει µάζα µε το περιβάλλον του, τότε πρέπει να είµαστε πολύ
Διαβάστε περισσότερατης µορφής:! F = -mk! r
Ένα µικρό σώµα µάζας m, κινείται επί κυκλικής τροχιάς ακτίνας α µέσα σε δυναµικό πεδίο, ελκόµενο από σταθερό ση µείο Ο που αποτελεί το κέντρο της τροχιάς, µε δύναµη F της µορφής: F -mk όπου το διάνυσµα
Διαβάστε περισσότεραπερί το κέντρο της σφαίρας, ονοµάζεται δε τριβή κυλίσεως. Tο µέτρο της τρι βής κυλίσεως είναι προφανώς ανάλογο του µέτρου της N,!
Θεωρούµε µια βαρειά σφαίρα, η οποία ισορροπεί επί σχετικά µαλακού εδάφους, ώστε να προκαλεί σ αυτό µια µικρή παραµόρφωση. Λόγω της συµµετρίας που παρουσιάζει η παραµόρφωση αυτή, ως προς την κατακόρυφη
Διαβάστε περισσότεραii) Nα υπολογιστεί η κινητική ενέργεια του συστήµατος σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Δίνεται η επιτάχυνση! g της βαρύτητας.
Στην διάταξη του σχήµατος () η ράβδος ΑΒ είναι οµογενής, έχει µήκος L και µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξο να, που διέρχεται από σηµείο Ο ευρισκόµενο σε απόσταση 3L/4 από το άκρο της Α. Η τροχαλία
Διαβάστε περισσότεραi) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο,
Tο σφαιρίδιο του σχήµατος ισορροπεί πάνω στο λείο οριζόντιο δαπεδο, ενώ τα οριζόντια ελατήρια είναι τεντωµένα. H απόσταση των σηµείων στήριξης των δύο ελατηρίων είναι 3α, ενώ τα ελατήρια έχουν το ίδιο
Διαβάστε περισσότερα) ω ω. L λίγο πριν. . Nα βρεθούν:
Δύο σφαιρίδια A, B µάζας m το καθένα συνδέονται µεταξύ τους µε αβαρές και µη εκτατό νήµα µήκους L, ηρεµούν δε πάνω σε οριζόντιο τραπέζι ευρισκόµενα σε απόσταση α
Διαβάστε περισσότερααπό την άρθρωση και της δύναµης επαφής από τον τοίχο που αναλύεται στην στατική τριβη T!
Tο ένα άκρο A οµογενούς ράβδου AB αρθρώνεται σε οριζόντιο επίπεδο, ενώ το άλλο της άκρο Β εφάπτεται κατακόρυ φου τοίχου, µε τον οποίο η ράβδος παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής µ. H άρθρωση της ράβδου
Διαβάστε περισσότεραΟµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου.
Οµογενής ράβδος µάζας m και µήκους L, κρατεί ται οριζόντια ακουµπώντας σε σταθερή ακίδα που απέχει απόσταση x από το κέντρο µάζας C της ράβδου. i) Να βρεθεί η απόσταση x, ώστε την στιγµή που η ράβδος αφήνεται
Διαβάστε περισσότεραi) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και
Δύο αβαρή και µη εκτατά νήµατα του ίδιου µή κους είναι στερεωµένα στο ίδιο σηµείο Ο, ενώ στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων είναι δεµένα δύο σφαιρίδια, µε µάζες 1 και. Eκτρέ πουµε τα σφαιρίδια από την θέση
Διαβάστε περισσότερα(ΘΕΜΑ 17ο)
Εισαγωγικά: Με το πρόβληµα της αλληλεπίδρασης δύο µαζών, µέσω αβαρούς και µη εκτατού νήµατος παρουσία οµογενούς βαρυτικού πεδίου, είχα ασχοληθεί και στο παρελθόν παρουσιάζοντάς το στην ιστοσελίδα µου µε
Διαβάστε περισσότεραii) ii) Nα καθορίσετε το είδος της ισορροπίας της ράβδου.
Oµογενής ράβδος Γ, βάρους w και µήκους L, είναι αρθρωµένη στο ένα άκρο της όπως φαίνεται στο σχήµα (), ενώ το άλλο άκρο της είναι δεµένο σε νήµα που διέρχεται από µικρή ακίνητη τροχαλία O, η οποία βρίσκεται
Διαβάστε περισσότεραΑ. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής
Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό
Διαβάστε περισσότερα! =A'B=C!! C! = R" (1)
Οµογενής κύβος ακµής α ισορροπεί επί ακλό νητης σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας R, µε το κέντρο µάζας του ακριβώς πάνω από την κορυφή Α της επιφάνειας. Εάν µεταξύ του κύβου και της σφαιρικής επιφάνειας υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό
ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ B B1. Σωστή απάντηση είναι η
Διαβάστε περισσότεραη αντίστοιχη ταχύτητα του οχήµατος, θα ισχύει η σχέση:! 0 = m! v + M! V! md! v /dt = -Md!
Tο νήµα µαθηµατικού εκκρεµούς µήκους L, είναι στερεωµένο στην οροφή µικρού οχήµατος µάζας M, το οποίο µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή πάνω σε οριζόντιο επίπεδο (σχήµα 1). i) Eάν το σφαιρίδιο του εκκρεµούς
Διαβάστε περισσότεραµε φορά προς το κυρτό µέρος του σύρµατος (σχήµα α) η οποία µαζί µε την ακτινική συνιστώσα w!
Το κυκλικό σύρµα του σχήµατος έχει µάζα m/ και είναι κρεµασµένο από κατακόρυφο σπάγκο αµελητέας µάζας αλλά επαρκούς αντοχής. Δύο όµοιες σηµειακές χάντρες, καθε µιά µε µάζα m, αφήνονται ταυτόχρονα από την
Διαβάστε περισσότεραi) Να δείξετε ότι αν για µια τιµή της γωνίας θ η ράβδος ισορροπεί, η ισορροπία αυτή είναι αδιάφορη.
Η ράβδος του σχήµατος έχει µήκος L, βάρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α επί λείου τοίχου, ενώ το άλλο άκρο της Β ακουµπά ει σε λεία κοίλη επιφάνεια. Η τοµή της επιφάνειας µε κατακόρυφο επίπεδο που
Διαβάστε περισσότεραΣχήµα 20. οι οριζόντιες συνιστώσες των ταχυτήτων v! προσπτώσεως και ανακλάσεως αντιστοίχως του σφαιριδίου, T!
Ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση και δύο σηµεία αυτού βρίσκονται κάποια στιγµή t στις θέσεις Α(,) και Β(,α) του επιπέδου κίνησής του (x,y) Εάν οι ταχύτητες των σηµείων αυτών έχουν το ίδιο µέτρο v
Διαβάστε περισσότεραΘεωρούµε δύο υλικά σηµεία µε µάζες m 1, m 2 τα οποία αλληλοεπιδ ρούν µε βαρυτική δύναµη, που ακολουθεί τον νόµο της παγκόσµιας έλξεως του Νεύτωνα.
Θεωρούµε δύο υλικά σηµεία µε µάζες m, m τα οποία αλληλοεπιδ ρούν µε βαρυτική δύναµη, που ακολουθεί τον νόµο της παγκόσµιας έλξεως του Νεύτωνα. i) Εάν είναι το διάνυσµα θέσεως του ενός υλικού σηµείου σε
Διαβάστε περισσότερα(σχ. 1). Εφαρ µόζοντας για την µεταφορική συνιστώσα της κύλισης του δίσκου τον
Oµογενής λεπτός δίσκος ακτίνας R και µάζας m, ακινητεί επί οριζόντιου εδάφους µε το οποίο παρουσιάζει συντελεστή οριακής τριβής µ το δε επιπεδό του είναι κατακόρυφο,. Κάποια στιγµή εφαρµόζεται στο κέντρο
Διαβάστε περισσότεραi) Να γράψετε τη διαφορική εξίσωση κίνησης του σώµατος και να δείξετε ότι δέχεται λύση της µορφής:
Μικρό σώµα µάζας m στερεώνεται στο ένα άκρο οριζόντιου ιδα νικού ελατηρίου σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο προσδένε ται σε κατακόρυφο τοίχωµα όπως φαίνεται στο σχήµα. Το σώµα µπορεί να ολισθαίνει πάνω
Διαβάστε περισσότεραΟµογενής σφαίρα µάζας m και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση!!
Οµογενής σφαίρα µάζας και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση βραχείας διάρκειας, της οποίας ο φορέας βρίσκε ται άνωθεν του κέντρου της
Διαβάστε περισσότερατων Α και Β αντιστοίχως είναι παράλληλες (σχ. 12) που σηµαί Σχήµα 11 Σχήµα 12
Δύο ακριβώς όµοιες λεπτές ράβδοι OA και AB µήκους L και µάζας m, αρθρώνονται στο σηµείο Α το δε άκρο Ο της ΟΑ αρθρώνεται σε σταθερό υποστήριγµα, ενώ το άκρο Β της ΑΒ µπο ρεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο
Διαβάστε περισσότερα. Εάν η σφαίρα κυλίεται πάνω στο δοκάρι να βρείτε: i) την επιτάχυνση του δοκαριού και του κέντρου της σφαίρας, στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου και
Οµογενής σφαίρα µάζας m και ακτίνας R είναι ακίνητη πάνω σε οριζόντιο δοκάρι µάζας Μ και µήκους L, που µπορεί να ολισθαίνει χωρίς τριβή επί οριζοντίου δαπέδου. Η σφαίρα εφάπτεται στο δεξιό άκρο Β του δοκαριού
Διαβάστε περισσότεραΤροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v!
Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος οριζόντιου αυλακιού, το δε κέντρο µάζας του C έχει σταθερή ταχύτητα v C. Σε σηµείο της περιφέρειας του τροχου έχει αρθρωθεί το ένα άκρο Β µιας λεπτής
Διαβάστε περισσότεραΜηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη
Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής
Διαβάστε περισσότερα# $ + L " = ml " ml! = ML " $ + ml " $ L " = ML/2(M + m) # $ (1) Eξάλλου, εάν L' α, L' σ είναι οι τελικές αποστάσεις του κέντρου µάζας C του
Mία σανίδα, µήκους L καί µάζας M, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο ένα άκρο της σανίδας πατάει άνθ ρωπος µάζας m και αρχίζει να κινείται προς το άλλο άκρο της. Kατά πόσο θα µετατοπιστεί η
Διαβάστε περισσότερα1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα).
Θέμα ο. ια το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και M= M = M, υπολογίστε την επιτάχυνση της µάζας. ίνεται το g. (0) Λύση.
Διαβάστε περισσότεραδιέρχεται από το σηµείο τοµής Ο των φορέων του βάρους w! της ράβδου και της οριζόντιας αντίδρασης A!
Η οµογενής ράβδος ΑΒ του σχήµατος έχει βά ρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α σε τραχύ κεκλιµένο επί πεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, ενώ το άλλο της άκρο Β ακουµπάει σε λείο κατακόρυφο
Διαβάστε περισσότεραόπου x η συντεταγµένη του σωµατιδίου, θεωρούµενη µε αρχή ένα στα θερό σηµείο Ο του άξονα και α, U 0 σταθερές και θετικές ποσότητες.
Υλικό σωµατίδιο µάζας m κινείται πάνω σε σταθε ρό άξονα x x υπό την επίδραση δύναµης, της οποίας ο φορέας συµπί πτει µε τον άξονα. Η δύναµη απορρέει από συνάρτηση δυναµικής ενέργειας της µορφής: Ux) =
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΗ: Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt (Δt 0) που ενεργεί επί του σφαιριδίου Γ η ώθηση Ω. =mv. το σφαιρίδιο Β δέχεται τις κρουστικές δυνάµεις F
Τρία µικρά σφαιρίδια της ίδιας µάζας είναι αρθρωµένα στις άκρες δύο συνεχόµεων ράβδων ΑΒ και ΒΓ αµελητέας µάζας, όπως φαίνεται στο σχήµα (1), το δε σύστηµα ισορροπεί εκτός πεδίου βαρύτητας. Στο σφαιρίδιο
Διαβάστε περισσότερατα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Οx, Oy, Oz αντιστοί χως. Η αντίστοιχη στροφορµή L!
Στο ένα άκρο ράβδου µήκους L και αµελητέας µά ζας, έχει στερεωθεί σφαιρίδιο µάζας m. Η ράβδος είναι ακίνητη πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο Οxy, µε το σφαιρίδιο στο σηµείο, και το άλλο της άκρο στο σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΈνα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V!
Ένα διαστηµόπλοιο µάζας M, κινείται στο διά στηµα µε σταθερή ταχύτητα V 0. O πιλότος του θέλει ν αλλάξει τη διεύθυνση κίνησης του διαστηµόπλοιου, ώστε η νέα διεύθυνση να γίνει κάθετη προς την αρχική. Για
Διαβάστε περισσότεραόπου y το µήκος του σχοινιού στο κατακόρυφο σκέλος του σωλήνα, v το κοινό µέτρο των ταχυτήτων v!
Ένας σωλήνας µεγάλου µήκους έχει καµφθεί σε ορθή γωνία και είναι στερεωµένος, ώστε το ένα σκέλος του να είναι οριζόντιο και το άλλό κατακόρυφο, όπως φαίνεται στο σχήµα 1). Ένα σχοινί µήκους L, του οποίου
Διαβάστε περισσότεραΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 2017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
5 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 017: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ 5 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. γ. Α. δ. Α3. γ. Α4. γ. Α5. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό
Διαβάστε περισσότεραA e (t σε sec). Το πλάτος των ταλαντώσεων
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Επιλέξτε την σωστή απάντηση. 1. Σηµειακό αντικείµενο εκτελεί φθίνουσες ταλαντώσεις µε πλάτος που µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο σύµφωνα µε την 0,01t σχέση
Διαβάστε περισσότερα. Εάν η κρούση της ράβ δου µε το οριζόντιο έδαφος είναι τελείως ελαστική, να βρείτε:
Μια λεπτή λαστιχένια ράβδος ΑΒ µήκους L και µάζας m, εκτελεί ελεύθερη πτώση χώρίς να περιστρέφεται και κάποια στιγµή το άκρο της Α συναντά λείο οριζόντιο έδαφος. Την στιγµή αυτή η ράβδος έχει κλίση φ ως
Διαβάστε περισσότεραi) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου του δακτυλιδιού. Σχήµα 1 Σχήµα 2 L C
Ένα στερεό σώµα αποτελείται από λεπτό δακτυ λίδι µάζας m και ακτίνας R και από δύο όµοιες λεπτές ράβδους µαζάς m η κάθε µια, των οποίων τα κέντρα έχουν ηλεκτροκολυθεί µε το δακτυλίδι, σε αντιδιαµετρικά
Διαβάστε περισσότεραπου δέχονται οι τροχοί αυτοί αποτελούν κινητήριες δυνάµεις για το αυτοκί νητο, δηλαδή είναι δυνάµεις οµόρροπες προς την κίνησή του, ένω οι τριβές T!
Tο κέντρο µάζας ενός επιβατηγού αυτοκινήτου απέχει από το οριζόντιο έδαφος απόσταση h. Δίνεται η µάζα Μ του αυτοκινήτου η µάζα m και η ακτίνα R κάθε τροχού, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και οι αποστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α! Κινηµατική άποψη
ΜΕΡΟΣ Α Κινηµατική άποψη Θεωρούµε στερεό σώµα που κινείται στον χώρο, ενώ ένα σηµείο του Ο είναι διαρκώς ακίνητο ως προς το αδρανειακό σύττηµα από το οποίο εξετάζεται. Η θέση του στερεού καθορίζεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραi) Εάν η κρούση είναι µετωπική και πλαστική, να δείξετε ότι η τρο χιά του συσσωµατώµατος που δηµιουργείται είναι ελλειπτική.
Ένας δορυφόρος µάζας m κινείται περί την Γη επί κυκλικής τροχιάς ακτίνας και κάποια στιγµή προσκρούει ακτινικά πάνω σ αυτόν σώµα µάζας m και της ίδιας κινητικής ενέργειας µε τον δορυφόρο. i) Εάν η κρούση
Διαβάστε περισσότεραΒ. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΣΤΕΡΕΟ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1 έως 3 επιλέξτε τη σωστή απάντηση 1. Δυο δακτύλιοι µε διαφορετικές ακτίνες αλλά ίδια µάζα κυλάνε χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο έδαφος µε την
Διαβάστε περισσότεραως προς τον ατµολέβητα. Εάν η µάζα M του ατµού µεταβάλλεται µε τον χρόνο t σύµφωνα µε την σχέση:
Ένας κυλινδρικός ατµολέβητας αµελητέας µάζας χωρίς τον υδρατµό και ακτίνας R, θερµαίνεται και ο παραγόµενος υδρατµός διαφεύγει από δύο αντιδιαµετρικά ακροφύσια της εξωτε ρικής του επιφάνειας, ώστε η ταχύτητα
Διαβάστε περισσότεραΣΕΙΡΑ: 3 Κύματα: αρμονικό έως στάσιμο, Στερεό: κινηματική έως διατήρηση στροφορμής
ΜΑΘΗΜΑ /ΤΑΞΗ: Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥMΟ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 16/03/014 ΣΕΙΡΑ: 3 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: Κύματα: αρμονικό έως στάσιμο, Στερεό: κινηματική έως διατήρηση στροφορμής ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότερα1. Κίνηση Υλικού Σημείου
1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες
Διαβάστε περισσότεραας, την δύναµη επαφής από τον τοίχο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T
Μια ελεύθερη τροχαλία µάζας m ισορροπεί µε το επιπεδό της κατακό ρυφο, εφαπτόµενη µη λείου κατακόρυφου τοίχου, όπως φαίνεται στο σχήµα (1). Από το αυλάκι της τροχαλίας διέρχεται λεπτό σχοινί του οποίου
Διαβάστε περισσότεραi) την µέγιστη ροπή του ζεύγους δυνάµεων που επιτρέπεται να ενερ γήσει επί του κυλίνδρου, ώστε αυτός να ισορροπεί και
Oµογενής κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R εφάπ τεται στα τοιχώµατα ενός αυλακιού, τα οποία είναι επίπεδες σταθερές επιφάνειες που η τοµή τους είναι οριζόντια. Τα τοιχώµατα είναι ισο κεκλιµένα ως προς τον
Διαβάστε περισσότεραΤα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα.
ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΕΡΕΟΎ ΣΏΜΑΤΟΣ Τα σώματα τα έχουμε αντιμετωπίσει μέχρι τώρα σαν υλικά σημεία. Το υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις. Έχει μόνο μάζα. Ένα υλικό σημείο μπορεί να κάνει μόνο μεταφορική
Διαβάστε περισσότεραYλικό σηµείο κινείται στο επίπεδο Οxy διαγράφον τας καµπύλη τροχιά, η οποία περιγράφεται από την σχέση:
Yλικό σηµείο κινείται στο επίπεδο Οxy διαγράφον τας καµπύλη τροχιά, η οποία περιγράφεται από την σχέση: y = Αηµωx όπου Α, ω σταθερές και θετικές ποσότητες. Εάν το υλικό σηµείο κατά τον άξονα x κινείται
Διαβάστε περισσότερα. H µεταβολή της ορµής της µάζας αυτής κατά την οριζόντια διεύθυνση είναι -dm v!
Tο άκρο A της οµογενούς ράβδου AO του σχήµα τος () έχει διαµορφωθεί κατάλληλα, ώστε, όταν σ αυτό προσκρούσει λεπτή οριζόντια φλέβα νερού διατοµής σ, να ανακλάται και να γίνε ται κατακόρυφη χωρίς απώλεια
Διαβάστε περισσότεραΑπολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 29 5 2015
Απολυτήριες εξετάσεις Γ Τάξης Ημερήσιου Γενικού Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 9 5 015 ΘΕΜΑ Α: Α1. α Α. β Α. α Α4. δ Α5. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Σ ΘΕΜΑ Β: B1. Σωστό το iii. Αιτιολόγηση: Οι εξωτερικές δυνάμεις
Διαβάστε περισσότερα6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι. Θέµα Α
6ο ιαγώνισµα - Μηχανική Στερεού Σώµατος Ι Ηµεροµηνία : 10 Μάρτη 2013 ιάρκεια : 3 ώρες Ονοµατεπώνυµο: Βαθµολογία % Θέµα Α Στις ερωτήσεις Α.1 Α.4 επιλέξτε την σωστη απάντηση [4 5 = 20 µονάδες] Α.1. Στερεό
Διαβάστε περισσότεραΘετικό σηµειακό φορτίο q βρισκεται σε απόσταση D από το κέντρο µιας κοίλης µεταλλικής σφαίρας ακτίνας R (R<D), η οποία είναι προσγειωµένη.
Θετικό σηµειακό φορτίο q βρισκεται σε απόσταση D από το κέντρο µιας κοίλης µεταλλικής σφαίρας ακτίνας R (R
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α Α.1. Ενα στερεό σώµα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Εάν διπλασιαστεί η στροφορµή
Διαβάστε περισσότεραi) Να βρεθεί ο χρόνος αιώρησης του διαστηµοπλοίου, µέχρις ότου εξαντληθούν τα καύσιµά του.
Ένα διαστηµόπλοιο αιωρείται στον αέρα σε στα θερό ύψος από την επιφάνεια της Γης, εκτοξεύοντας καυσαέρια µε σταθερή ταχύτητα v. Η αρχική µάζα του διαστηµόπλοιου µαζί µε τα καύσιµά του είναι m, η δε µάζα
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
Θέµα Α ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και, δίπλα, το γράµµα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία
Διαβάστε περισσότεραEάν L 1, L 2 είναι τα αντίστοιχα φυσικά µήκη των ελατηρίων ε 1 και ε 2 τότε για την απόσταση ΑΒ των σηµείων στήριξης των ελατηρίων θα έχουµε:
Tο µικρό σώµα του σχήµατος (1) έχει µάζα m και συγκρατείται στο λείο οριζόντιο έδαφος σε τέτοια θέση, ώστε τα ελατήρια ε 1 και ε να είναι τεντωµένα κατά α απο την φυσική τους κατάσταση. i) Eάν k, k είναι
Διαβάστε περισσότεραΔυναµική της κίνησης συστήµατος δύο σωµατιδίων
Δυναµική της κίνησης συστήµατος δύο σωµατιδίων Θεωρούµε δύο σωµατίδια Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, των οποίων τα διανύσµατα θέσεως ως προς την αρχή Ο ενός αδρανειακού συστή µατος αναφοράς Oxyz
Διαβάστε περισσότεραΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ
7 η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Α ΦΑΣΗ) ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 7 η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 16 Δεκεμβρίου, 01 Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα-1 (15 μονάδες) Μια
Διαβάστε περισσότεραi) Nα δείξετε ότι αν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο η τροχαλία τ 1 δεν µπορεί να κυλίεται, άλλά µόνο να ισσρροπεί ή να ολισθαίνει.
Στην διάταξη του σχήµατος η τροχαλία τ 1 έχει µάζα m 1 και ακτίνα R και στο αυλάκι της έχει περιτυλιχθεί αβαρές νήµα, το οποίο διέρ χεται από τον λαιµό της µικρής τροχαλίας τ στο δε άκρο του έχει δε θεί
Διαβάστε περισσότεραΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση
ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013
ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή
Διαβάστε περισσότερα