ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των διανυσμάτων και. Αν 0 ή 0 τότε ορίζουμε 0 Από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου προκύπτει ότι : i. (αντιμεταθετική ιδιότητα) ii. iii. 0 i.. όπου Το εσωτερικό γινόμενο είναι αριθμός και όχι διάνυσμα. Αν ) και ) είναι διανύσματα του επίπεδη τότε : ( i. ( ii. ( ) ( ) ( ) iii. i. ( ) όπου δεν είναι παράλληλα στον Γνωρίζουμε ότι αν α β τότε: Ας δούμε τι γίνεται αν έχουμε δυο διανύσματα = ( ) = ( ) γιατί ( ). Άρα Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν ( ) δηλαδή : ( ) ( ή ) Άρα παράλληλα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ. Σημειώνουμε ότι η παραπάνω ανισότητα είναι γνωστή ως ανισότητα των Cach- Schwarz. Για να υπολογίσω τη γωνία θ που σχηματίζουν τα διανύσματα ) και ( ) παίρνω τον τύπο ( ΘΥΜΗΣΟΥ!!! Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ 0 0 ή 6 ή 60 ή 90 0 ή 0 0 ή 6 ή 0 ή Αν είναι διανύσματα του επιπέδου τότε : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ Αν γνωρίζουμε τα μέτρα δυο διανυσμάτων και τη μεταξύ τους γωνία. Επίσης τότε μπορούμε να υπολογίσουμε : το χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου μπορούμε να υπολογίσουμε αντίστοιχα και άλλα εσωτερικά γινόμενα. Αν μας δίνονται τα διανύσματα με συντεταγμένες ) και ) τότε : ( (. Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύει και. Να υπολογισθούν το εσωτερικό γινόμενο.. Δίνονται τα διανύσματα για τα οποία ισχύει : και. 6 Να βρείτε : i. Το ii. Το iii. Το ( ) i. Το ( ) ( ) 6 i. ό ii. 8 0 iii. ( ) 8 0 i. ( ) ( ) 8 0 8 8 8 0. Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο αν ( ) και ( 6) ( ) ( 6) 6 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. (Άσκηση σελ. 7 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ) Αν ( ) και () τότε i. Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα ( ) ( ) και ( ) ( ) ii. Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους ώστε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων ( ) και να είναι ισο με μηδέν. Ποια η σχέση όλων των διανυσμάτων στην περίπτωση αυτή; i. ( ) ( ) 6 6 78 * ( ) ( ) 0 9 0 6 9 * ( ) 0 9 (Θυμήσου αν ) τότε ) ii. Έχω ό 0 0 Επειδή 0 ( ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΤΡΟΥ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Για να υπολογίσουμε το μέτρο οποιουδήποτε διανύσματος της μορφής : υπολογίζουμε πρώτα το... και μετά το.. Δίνονται τα διανύσματα με και διανύσματος. 6 6 9 6 9. Να βρεθεί το μέτρο του Άρα 9 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 6. Δίνονται τα διανύσματα ) ( και ) (. Να βρεθεί η γωνία θ των και. 0. Άρα δηλ. ή 7. (Άσκηση 7 σελ. 7 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ) Αν και να υπολογίσετε τη γωνία των διανυσμάτων και. Έχω Επίσης : () Πρέπει να υπολογίσω το το και το. ) ( ) ( 6 8 6 6 6 6 ) ( Άρα ) ( Άρα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΓΩΝΙΑΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Για να υπολογίσουμε τη γωνία οποιονδήποτε διανυσμάτων χρησιμοποιούμε τον τύπο : 0. Αν τα διανύσματα μου δίνονται με συντεταγμένες δηλ. ) ( και ) ( τότε :
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ. Άρα η (). Άρα ή 0. δηλ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Για διανύσματα ισχύει ότι αν 0 8. (Άσκηση σελ. 7 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ) Αν (0 ) και ( ) να βρείτε τον ώστε i. Τα διανύσματα και να είναι κάθετα ii. Τα διανύσματα και να είναι κάθετα * i. ( ) ( ) 0 0 0 0 * 0 και 0 ** ii. ( ) ( ) 0 0 0 0 ** 9. (Άσκηση σελ. 7 σχολικό βιβλίο Α ΟΜΑΔΑΣ) Αν και να υπολογίσετε τον ώστε τα διανύσματα και να είναι κάθετα. Έχω 6 0 ( ) ( ) 0 6 0 6 0 8 8 0 9 0 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΧΕΣΗ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ : 0 Αν για τα διανύσματα ισχύει μια σχέση της μορφής 0 με και γνωρίζουμε τα τότε μπορούμε να υπολογίσουμε καθένα από τα εσωτερικά γινόμενα :. Αν π.χ θέλουμε το τότε : 0 μετά υψώνουμε και τα μέλη στο τετράγωνο ( ) ( )... και μετά από πράξεις λύνω ως προς 0. (Άσκηση σελ. 9 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ) Αν και 0 να υπολογίσετε το άθροισμα. Για το έχω : 0 άρα : ( ) ( ) 6 9 8 Για το έχω : 0 άρα : ( ) ( ) 9 6 6 Για το έχω : 0 άρα : ( ) ( ) 6 9 6 Άρα 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 7
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. (Άσκηση σελ. 8 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ) Να αποδείξετε ότι : i. ii. i. Θα ξεκινήσω από το ο μέλος και θα προσπαθήσω να φτάσω στο ο : ( ) ( ) ii. Θα ξεκινήσω από το ο μέλος και θα προσπαθήσω να φτάσω στο ο : ( ) ( ) ( ) ( ). ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 7 : ΣΧΕΣΕΙΣ ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ Προσδιορισμός διανυσμάτων καθετότητες και συνθήκες παραλληλίας. ή. ή μέσα από σχέσεις με μέτρα. Έστω () και διάνυσμα για το οποίο ισχύει 0 και //. Να βρείτε το. Έστω ( ). 0 0 0 () // det( ) 0 0 0 () Η () λόγο της () γίνεται 0 ( ) 0 0 και () : 8. Άρα ( 8). ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 8
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 8 : ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ Επειδή η προβολή ενός διανύσματος σε ένα διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα συγγραμμικό με το έχουμε : (). Οπότε για να βρούμε την προβολή του πάνω στο αρκεί να βρούμε το λ που προσδιορίζεται από την ισότητα : () ( ).. (Εφαρμογή σελ. 6 σχολικού βιβλίου) Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος πάνω στο αν γωνία των διανυσμάτων και είναι ιση με. 6 και η ον Έστω ον // ον 6 Άρα. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. Να βρείτε την προβολή του διανύσματος ( ) πάνω στο ( ). ον Έστω ον // ον ( ) ( ) ( ) 0 Άρα ( ) ( 6) 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 9 : ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ Αν θέλουμε να αναλύσουμε ένα διάνυσμα σε δυο συνιστώσες τότε γράφουμε p q και προσδιορίζουμε από τα δεδομένα τα p q. Ειδικότερα αν θέλουμε να αναλύσουμε το σε δυο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μια να έχει την διεύθυνση ενός διανύσματος τότε γράφουμε : και είναι.. (Εφαρμογή σελ. 6 σχολικού βιβλίου) Δίνονται τα διανύσματα ( ) και ( ). Να αναλυθεί το σε δυο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η μια να είναι παράλληλη στο. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 0
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ. ον Έστω ον Έστω ον // ον 0 0 Άρα () και 0 () ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 0 : ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ Έστω Α Β σταθερά σημεία. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα όποια ισχύει : o o ή 0 είναι κύκλος με διάμετρο ΑΒ. 90 είναι επίσης κύκλος διαμέτρου ΑΒ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: o 0 είναι ευθεία ε κάθετη στην ευθεία ΑΒ. 6. Δίνονται τα σταθερά σημεία Α και Β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα όποια ισχύει :. 7. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να προσδιορίσετε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει. 8. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ διάμεσος του. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα όποια ισχύει :. 9. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ του επίπεδου ενός τριγώνου ΑΒΓ για τα όποια ισχύει :. 0. Έστω Α και Β δυο σταθερά σημεία. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Πολλές προτάσεις της Ευκλείδειας Γεωμετρίας μπορούν να αποδειχτούν με τη βοήθεια των διανυσμάτων. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ:. Να αποδειχτεί ότι κάθε εγγεγραμμένη γωνία ενός κύκλου η όποια βαίνει σε διάμετρο είναι ορθή.. Έστω ΑΔ το ύψος τριγώνου ΑΒΓ. Αν να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο.. Έστω ΑΔ το ύψος ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ. Να αποδειχθεί ότι.. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ. Στις πλευρές ΑΒ και ΒΓ θεωρούμε τα σημεία Ζ και Ε αντίστοιχα έτσι ώστε ΒΖ=ΓΕ. Να αποδείξετε ότι. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα