. ίνονται τα διανύσµατα: x=(a+µ,), y=(0,b), a,b>0. Για ποιες τιµές του µ τα διανύσµατα είναι: (α) γραµµικά εξαρτηµένα, (β) γραµµικά ανεξάρτητα.. ίνονται τα διανύσµατα (x,0), (0,y), (z,0). Είναι γραµµικά εξηρτηµένα ή ανεξάρτητα; Τι διάσταση έχει ο χώρος στον οποίο ανήκουν;. ίνονται τα διανύσµατα x=(a,,), y=(,b,), z=(,,c). Να εξεταστεί αν είναι γραµµικά εξαρτηµένα ή ανεξάρτητα και να υπολογιστούν τα εσωτερικά γινόµενα xy, xz, yz. 4. ίνονται τα διανύσµατα (x,0,0), (0,y,0), (0,0,z). Είναι γραµµικά εξηρτηµένα ή ανεξάρτητα; Τι διάσταση έχει ο χώρος στον οποίο ανήκουν; 5. Να υπολογιστούν οι πρώτες παράγωγοι των ακολούθων συναρτήσεων: y = + x x x y = x y = ax ax + + +, y = x ax ax 4, y = ln, y = a ( x + 4) ( x ), y = ( x ) ( x + ), y = ln( x + ) x, y = x ln x [ ], y = ln[ ( x + )( x + ) ], y = x, y = x x x x + 6. Να υπολογιστεί ο ρυθµός µεταβολής του κατά κεφαλή εισοδήµατος Y (t)/p(t) στις ακόλουθες περιπτώσεις: (i) Y(t) = Y 0 at P(t) = P 0 bt (ii) Y(t) = Y 0 a t P(t) = P 0 a lnt (iii) Y(t) = Y 0 a t / P(t) = P 0 a t 7. (α) Να υπολογιστούν τα διαφορικά dy των συναρτήσεων: y = (α - x) n, y = x, y = (ηµx )/x τις: (β) Να υπολογιστούν οι παράγωγοι dy/dx µε την µέθοδο του διαφορικού για xy +x y =, xy-ηµ(x-y), x lny 4y lnx = 8. (α) Να προσδιοριστούν τα τοπικά ακρότατα και τα σηµεία καµπής της συναρτήσεως: y = /x + /x - 6x + 8 (β) Να εξεταστεί η κυρτότητα και να προσδιοριστούν τα σηµεία καµπής της συνάρτησης: y = x 4-0x - x + x - 7
9. Να υπολογιστούν οι ελαστικότητες των συναρτήσεων: y = a( b x) n ax, y = b a,b,n σταθερές 0. ίνεται η συνάρτηση ζήτησης P = 8-0.50Q και η συνάρτηση συνολικού κόστους TC = 8+0.0Q+0.50Q. Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις εσόδου και οριακού εσόδου. Να προσδιοριστούν τα επίπεδα προϊόντος στα οποία µεγιστοποιούνται τα συνολικά έσοδα και το κέρδος.. Η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι: ΤC = + 4Q - 5.5Q + /Q Nα προσδιοριστούν οι συναρτήσεις οριακού και µέσου κόστους. Να προσδιοριστεί το επίπεδο προϊόντος στο οποίο ελαχιστοποιείται το οριακό κόστος. ίνονται οι συναρτήσεις ζήτησης Q = 6 -P και συνολικού κόστους ΤC = 8 + 0.Q + 0.5Q. Nα προσδιοριστούν οι συναρτήσεις: εσόδου, οριακού εσόδου, κέρδους και οριακού κέρδους. Να προσδιοριστούν τα επίπεδα προϊόντος στο οποίο µεγιστοποιούνται τα συνολικά έσοδα και το κέρδος.. ίνεται η συνάρτηση µέσου κόστους ΑC = 60/Q + 5 - Q + Q. Nα προσδιοριστούν οι συναρτήσεις οριακού και συνολικού κόστους 4. Η συνάρτηση ζήτησης για το προϊόν µίας επιχείρησης είναι: Q= 90 - p ενώ η συνάρτηση µέσου κόστους είναι: AC = Q - 8Q + 57 +/Q. Να προσδιοριστεί το επίπεδο προϊόντος για το οποίο. (i) µεγιστοποιούνται τα συνολικά έσοδα, (ii) µεγιστοποιείται το κέρδος, (iii) ελαχιστοποιείται το οριακό κόστος. 5. ίνεται η συνάρτηση ζήτησης p=f(q), f <0, f >0, και η συνάρτηση κόστους c=g(q), g >0, g >0. Ικανοποιούνται οι συνθήκες δεύτερης τάξης στο πρόβληµα της µεγιστοποίησης του κέρδους max q π=qf(q)-g(q); 6. Η συνάρτηση ζήτησης για το προϊόν µιας επιχείρησης είναι, p=aq -b, ενώ η συνάρτηση κόστους είναι,c= vq a, µε v>0, 0<b<. Να προσδιοριστεί η ποσότητα προϊόντος στην οποία µεγιστοποιούνται τα κέρδη της επιχείρησης. Πώς θα µεταβληθεί η ποσότητα αυτή όταν µεταβληθεί το a το b ή το v ; 7. Η συνάρτηση ζήτησης (αντίστροφη) για το προϊόν µίας επιχείρησης είναι: p = α - βq (α,β > 0). Η συνάρτηση συνολικού κόστους είναι ΤC = δq + εq (δ,ε >0, δ<α). Κατά την παραγωγή προϊόντος εκπέµπονται ρύποι σύµφωνα µε την συνάρτηση Ε = γq (γ>0). Η επιχείρηση πληρώνει φόρο, τ, ανά µονάδα εκπεµπόµενων ρύπων.
Να προσδιοριστεί το επίπεδο προϊόντος στο οποίο µεγιστοποιούνται τα κέρδη της επιχείρησης καθώς και η τιµή πώλησης. Να συγκριθεί η λύση µε την περίπτωση όπου τ=0. 8. Να προσδιοριστούν και να χαρακτηριστούν τα ακρότατα σηµεία των ακόλουθων συναρτήσεων. Να υπολογιστεί επίσης η τιµή της συνάρτησης στα σηµεία αυτά. (α) y = 60x + 4x + 4x x - 6x - x + 5 (β) y = 5x + 0x - 4x x - x - 7x (γ) y = x + x - x x - 4x - 7x + 9. Να προσδιοριστούν τα σηµεία στα οποία µεγιστοποιούνται ή ελαχιστοποιούνται οι ακόλουθες συναρτήσεις. (α) y = x + x - 9x x (β) y = 4x + 6x x - x + x + 0. α) Να προσδιοριστούν οι µερικές παράγωγοι πρώτης τάξης και η Hssian µήτρα της συνάρτησης: y = x + ln( xx) β) Να εξεταστεί ως προς την κυρτότητα / κοιλότητα η συνάρτηση y = ax + bx + cx, a, b, c 0. >. ίνεται το σύστηµα: f y, y, x, x = x + x y y (,,, ) f y y x x = x x + y y Να υπολογιστούν τα y / x, y / x. y = f z, z = z + z, z = x x, z = x x Να υπολογιστούν µε τον γενικευµένο αλυσωτό κανόνα τα y/ x, y/ x.. ίνονται οι συναρτήσεις:. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση y = x + x 4x +., έχει ελάχιστο στο σηµείο (0,). 4. Η συνάρτηση κέρδους µιας επιχείρησης που παράγει δύο προϊόντα είναι π ( q, q) = ( a a) q + ( a a) q bq bq Να προσδιοριστούν οι ποσότητες q, q οι οποίες µεγιστοποιούν το κέρδος της επιχείρησης. 5. Να προσδιοριστούν οι µερικές παράγωγοι πρώτης τάξης και η Hssian µήτρα a b της συνάρτησης: y = Ax x, Α,a,b σταθερές. Να εξεταστούν συνθήκες κάτω από τις οποίες η παραπάνω συνάρτηση είναι αυστηρά κοίλη.
0. t 6. ίνονται: Y KL K L, K. t + 5, L = 5, K, L> 0. Να υπολογιστεί µε τον γενικευµένο αλυσωτό κανόνα η παράγωγος dy/dt και να υπολογιστεί η τιµή της για t. F y, x = x + x y y 0y. Να υπολογιστεί η παράγωγος dy/dx και η τιµή της παραγώγου στο σηµείο (y,x) = (,). 7. ίνεται η σχέση 8. Να προσδιοριστεί το µέγιστο ή ελάχιστο της συνάρτησης f x, y = x xy y + 6x+ 4y 58. =. Οι συναρτήσεις F και f είναι συνεχώς παραγωγίσιµες και F >0. Να δειχτεί ότι αν το σηµείο (x o,y o ) είναι σηµείο στασιµότητας (µέγιστο ή ελάχιστο) για την g τότε είναι και σηµείο στασιµότητας για την f. 9. Εστω gxy (, ) F f ( xy, ) 0. (α) Να προσδιοριστεί ο βαθµός οµογένειας της συνάρτησης: β β β y= γ [ δx + ( δ ) x ] (β) ίνεται η συνάρτηση y=αx, Α>0, x R. Να εξεταστεί αν είναι κυρτή ή κοίλη. Να εξεταστεί αν το σύνολο X={x:y b}, b >0, είναι κυρτό ή µη κυρτό.. Μία επιχείρηση παράγει δύο προϊόντα µε συναρτήσεις ζήτησης Q = 4-0.5 P Q = 4-0.5 P Η συνάρτηση κόστους της επιχείρησης είναι TG = Q + 5Q Q +Q Να γραφεί η συνάρτηση κέρδους της επιχείρησης και να υπολογιστούν τα επίπεδα παραγωγής Q, Q στα οποία µεγιστοποιείται το κέρδος της επιχείρησης καθώς και οι τιµές στις οποίες θα πωλούνται τα δύο προϊόντα. Να εξεταστεί αν ικανοποιούνται οι συνθήκες δεύτερης τάξης.. Να προσδιοριστούν οι µερικές ελαστικότητες ζήτησης (ως προς την τιµή, σταυροειδής και εισοδηµατικές) για τις συναρτήσεις (α) Q 0 - P + 0.75P - 0.5P + 0.0075Υ όταν P, P, P = 40 Y 000, Q = 40 (β) Q = 50-4P - P + P + 0.00Y όταν P = 5, P = 7, P = Y 00, Q = 6 4
Πως χαρακτηρίζονται τα δύο αυτά προϊόντα µε βάση τις παραπάνω ελαστικότητες ζήτησης;. Οι συναρτήσεις ζήτησης, προσφοράς και η συνθήκη ισορροπίας για ένα προϊόν είναι Q D = D(P, Y 0, P 0, P 0 ), D/ p<0, D/ Υ 0 >0, D/ p 0 >0, D/ p 0 <0 Q S = S(P, W 0, T 0 ), S/ P>0, S/ W 0 <0, S/ T 0 >0 Q D = Qs = Q όπου P: τιµή προϊόντος, Υ 0 εισόδηµα, P 0, τιµή αγαθού, P 0 τιµή αγαθού, W 0 κόστος εισροής; ο δείκτης κλιµατολογικών συνθηκών. Να προσδιοριστεί η επίπτωση στην τιµή και ποσότητα ισορροπίας P, Q, από µεταβολή κάθε µίας από τις εξωγενείς µεταβλητές Υ 0, P 0, P 0, W 0, T 0. Nα προσδιοριστούν οι ίδιες επιπτώσεις όταν οι συναρτήσεις εξειδικεύονται ως: Q D = α - βp + γυ 0 + δp 0 - εp 0 α, β, γ, δ, ε > 0 Q S = - α + β p + JW 0 + η Τ 0 α, β, J, η > 0 β) Η συνάρτηση µέσου κόστους για το προϊόν, q, µιας επιχείρησης είναι: f AC( q) = + g+ hq, f, g, h> 0, ενώ η συνάρτηση ζήτησης είναι: p= a bq, a, b> 0. q Να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις οριακού και συνολικού κόστους, καθώς και το επίπεδο προϊόντος στο οποίο µεγιστοποιούνται τα κέρδη της επιχείρησης. 4. (α) ίνεται το σύστηµα: F( y, y, x, x) = yy + xx F( y, y, x, x) = y + y xx Να υπολογιστούν οι παράγωγοι: y / x y / x y / x y / x. (β) ίνονται οι συναρτήσεις: y= z z + x z = x z = x a γ, δ Να υπολογιστεί η παράγωγος: dy/dx µε την µέθοδο του ολικού διαφορικού. 5. Να προσδιοριστούν οι µερικές παράγωγοι πρώτης τάξης και η Hssian µήτρα y = ln a x + a x + a x, a x + a x + a x > της συνάρτησης: 0. 6. Να εξεταστεί αν η συνάρτηση y ( x a b ln x ), ( x, x, a, b) κυρτή ή αυστηρά κοίλη. 7. ίνεται η σχέση = > 0, είναι αυστηρά F y, x x y = x 4y. Να υπολογιστεί η παράγωγος dy/dx και η τιµή της παραγώγου στο σηµείο (y,x) = (,0). 5
9. ίνεται η συνάρτηση δ a b c u= U, U= Ax + Ax + Ax, Aj, abc,,, δ, x j > 0, j=,, Να υπολογιστούν οι µερικές παράγωγοι u/ x j, j =,,. 40. ίνεται η συνάρτηση y=ax a x b, A,a,b,x,x >0. Να υπολογιστεί ο βαθµός οµογένειας της συνάρτησης. Για µια ισοϋψή καµπύλη (καµπύλη ίσου προϊόντος) Ax a x b =yo να προσδιοριστεί ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης dx /dx και να δειχθεί ότι εξαρτάται από τον λόγο x /x και όχι από τα απόλυτα µεγέθη των x /x. 4. Να προσδιοριστούν τα σηµεία στασιµότητας (µεγίστου, ελαχίστου ή σαγµατικού σηµείου) της συνάρτησης f x, y = x + xy+ y + x 4. Η συνάρτηση κέρδους µιας επιχείρησης ορίζεται ως π ( xy, ) = pf ( xy, ) wx ry, όπου f(x,y) είναι µια συνάρτηση παραγωγής, (x,y) είναι εισροές, w,r είναι οι τιµές των εισροών και p είναι η τιµή του προϊόντος. Να γραφούν και ερµηνευθούν οι συνθήκες πρώτης τάξης για µεγιστοποίηση του κέρδους. Να δειχτεί ότι οι συνθήκες δεύτερης τάξης ικανοποιούνται όταν η συνάρτηση παραγωγής είναι αυστηρά κοίλη. 4. Το παρακάτω σύστηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων προκύπτει κατά την λύση του προβλήµατος µεγιστοποίησης κέρδους της επιχείρησης pf( x, x) - w =0 pf( x, x) - w =0 όπου p,w,w >0 είναι οι τιµές προϊόντος και συντελεστών παραγωγής, f(x,x ) είναι µια αυστηρά κοίλη συνάρτηση παραγωγής µε f = f/ x, f = f/ x, f,f <0, f >0. Θεωρώντας τις x,x ως ενδογενείς µεταβλητές και τις p,w,w ως εξωγενείς να προσδιοριστούν τα πρόσηµα των παραγώγων x / w, x / w. f ( x, y) 44. ίνονται οι συναρτήσεις y = f ( x, y), z =. Αν ( x y) ( x y) σηµεία µεγίστου για την f και g αντίστοιχα. Να δειχτεί ότι ( x, y ) = ( x, y ). 45. Η συνάρτηση κέρδους µίας επιχείρησης είναι π = pal α Κ β - wl - rk,,, είναι τα όπου Q = AL α Κ β είναι η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης. Οι τιµές του προϊόντος p και των εκροών w και r είναι δεδοµένες παράµετροι. (α) Να γραφούν οι συνθήκες πρώτης τάξης για την επιλογή των L* και Κ* που µεγιστοποιούν το κέρδος της επιχείρησης (β) Κάτω από ποιες προϋποθέσεις σχετικά µε τις τιµές που µπορούν να πάρουν τα α, β, ικανοποιούνται οι συνθήκες δεύτερης τάξης; 6
(γ) Τι διασφαλίζει την ύπαρξη λύσης στο σύστηµα των εξισώσεων που προσδιορίζονται από τις συνθήκες πρώτης τάξης για τα L, K; (δ) Πως θα µπορούσατε να εξετάσετε τις επιπτώσεις στις άριστες ποσότητες Q* = A(L*) α (Κ*) β, L* και Κ* από µεταβολές των παραµέτρων p, w, r. 46. Μια επιχείρηση παράγει προϊόντα µε συναρτήσεις ζήτησης p= a- bq - dq p= a - bq - dq και συνάρτηση κόστους c=vq q, (a,a,b,b,d,v)>0. Να προσδιοριστούν οι ποσότητες στις οποίες µεγιστοποιείται το κέρδος της επιχείρησης. Να τεθούν συνθήκες στις τιµές των παραµέτρων ώστε: (ι) να ικανοποιούνται οι συνθήκες δεύτερης τάξης και (ιι) να παράγονται στο µέγιστο θετικές ποσότητες και από τα δύο προϊόντα. 7