Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας με το χαρακτηριστικό πολυώνυμο Εφαρμογή: Θεώρημα φασματικής απεικόνισης Εύρεση για τριγωνίσιμο πίνακα Α, αντιστρέψιμου πίνακα P με P P τριγωνικό Θεώρημα των Cayley-Hamilton και εφαρμογές του Συνιστώμενες ασκήσεις: -, -5,,, 4-6, 9, 3 Συμβολισμός: V είναι πεπερασμένης διάστασης -διανυσματικός χώρος, όπου ή Αποδείξτε ότι αν ο έχει τουλάχιστον μια πραγματική ιδιοτιμή, τότε ο είναι τριγωνίσιμος a Έστω Αφού δείξτε ότι ο δεν είναι διαγωνίσιμος, βρείτε έναν 4 αντιστρέψιμο U με U U τριγωνικό 33 b Έστω 5 Αφού δείξτε ότι ο είναι τριγωνίσιμος, βρείτε έναν 5 33 αντιστρέψιμο U με U U τριγωνικό 3 Να βρεθούν οι τιμές του a για τις οποίες ο πίνακας 4 a 3 3 είναι τριγωνίσιμος αλλά όχι διαγωνίσιμος 4 Έστω 33 3 a Βρείτε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και τις διαστάσεις των ιδιόχωρων του b Αληθεύει ότι ο είναι διαγωνίσιμος; c Αληθεύει ότι ο είναι τριγωνίσμος; Αν ναι, να βρεθεί αντιστρέψιμος U τέτοιος ώστε ο U U να είναι τριγωνικός 3 3 3 5 Έστω { v, v, v 3} μια βάση του, a και : η γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε ( v ) v, ( v ) v v v, 3 ( v3) av v3 Δείξτε ότι η είναι τριγωνίσιμη αν και μόνο αν a 6 Δείξτε τα εξής a Υπάρχουν άπειροι το πλήθος πίνακες τέτοιοι ώστε 7 Έστω I 5 6 b Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε, υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] τέτοια ώστε deg ( x) m και ( ) 33 με Δείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο 3 ( x ) x x a ο είναι διαγωνίσιμος, και b και
Ασκήσεις4 47 8 Θεώρημα Φασματικής Απεικόνισης Έστω ( x) [ x] και με ιδιοτιμές,, Δείξτε ότι οι ιδιοτιμές του ( ) είναι οι ( ),, ( ) 9 a Έστω με ιδιοτιμές,, Τότε για κάθε, ισχύει Tr( ) b Έστω ένας τριγωνίσμος πίνακας τέτοιος ώστε Tr( ) Δείξτε ότι c Έστω τέτοιος ώστε Tr Tr( ) Tr( ) Δείξτε ότι αν Tr( ), τότε ο είναι διαγωνίσιμος και αντιστρέψιμος Έστω Δείξτε ότι τα επόμενα είναι ισοδύναμα a Κάθε ιδιοτιμή του στο ισούται με b για κάποιο θετικό ακέραιο c d Tr( ) Tr( ) Tr( ) Έστω, τέτοιοι ώστε Αποδείξτε ότι Έστω αντιστρέψιμος Δείξε ότι αν ( x ) ( x )( x ), i, τότε ( x) ( x)( x) 3 Έστω dimv και : V V μια γραμμική απεικόνιση Δείξτε ότι αν, τότε για κάθε i,, υπάρχει υπόχωρος Wi V με dimw i i και ( W i ) W i Αληθεύει το προηγούμενο συμπέρασμα όταν ; 4 Έστω a Δείξτε ότι αν ο δεν είναι αντιστρέψιμος, τότε υπάρχει ( x) [ x] βαθμού τέτοιο ώστε ( ) b Δείξτε ότι αν ο είναι αντιστρέψιμος, τότε υπάρχει ( x) [ x] βαθμού τέτοιο ώστε 5 Έστω ( ) a Να παρασταθεί ο 3 ως γραμμικός συνδυασμός των I 33,, 3 n n b Αποδείξτε ότι για κάθε θετικό ακέραιο n c Να βρεθεί ένα πολυώνυμο ( x) [ x] βαθμού το πολύ έτσι ώστε 5 4 I3 3 ( ) 6 Έστω τέτοιος ώστε ( x ) ( ) ( x x x ), όπου Δείξτε ότι υπάρχει n θετικός ακέραιος n τέτοιος ώστε ο να είναι τριγωνίσιμος 7 Έστω μη διαγωνίσιμος πίνακας Τότε ο είναι όμοιος με πίνακα της μορφής 8 Έστω, τέτοιοι ώστε Δείξτε ότι ( ) ( ) (det ) I 9 Αν ( a ij ), θέτουμε h( ) aija ji a Δείξτε ότι αν οι, είναι όμοιοι, τότε h( ) h( ) b Έστω Δείξτε ότι i, j h( ), όπου,, είναι οι ιδιοτιμές του
Ασκήσεις4 48 Δείξτε ότι κάθε άνω τριγωνικός πίνακας είναι όμοιος με έναν κάτω τριγωνικό πίνακα Στη συνέχεια δείξτε ότι κάθε πίνακας είναι όμοιος με έναν κάτω τριγωνικό πίνακα Έστω τέτοιος ώστε I Δείξτε ότι Tr Έστω V ένας -διανυσματικός χώρος και, g : V V δυο γραμμικές απεικονίσεις τέτοιες ώστε g g Δείξτε τα εξής a Αν είναι μια ιδιοτιμή της, τότε g( V ( )) V ( ) b Οι, g έχουν κοινό ιδιοδιάνυσμα c Υπάρχει διατεταγμένη βάση του V τέτοια ώστε οι αντίστοιχοι πίνακες των, g είναι άνω τριγωνικοί (Υπόδειξη: Τροποποιήστε κατάλληλα την απόδειξη του Θεωρήματος 33) d Για κάθε ιδιοτιμή της g υπάρχει ιδιοτιμή της και ιδιοτιμή g της g τέτοιες ώστε 3 Έστω, g Θεωρούμε τις γραμμικές απεικονίσεις L :, L ( X ) X R :, R ( X ) X a Δείξτε ότι L R R L b Δείξτε ότι η γραμμική απεικόνιση L έχει τις ίδιες ιδιοτιμές με τον πίνακα και ότι η γραμμική απεικόνιση R έχει τις ίδιες ιδιοτιμές με τον πίνακα c Έστω ότι οι, δεν έχουν κοινή ιδιοτιμή Δείξτε ότι για κάθε C υπάρχει μοναδικός D τέτοιος ώστε D D C 4 Έστω και W ο υπόχωρος του που παράγεται από τα I, I W,,,, και άρα dim,,, Δείξτε ότι για κάθε 5 Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές Δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας 44 a Έστω με ( x ) ( x )( x ) Τότε ο πίνακας n είναι τριγωνίσιμος αν και μόνο αν ο n είναι άρτιος b Για κάθε υπάρχει πολυώνυμο ( x) [ x] θετικού βαθμού τέτοιο ώστε ( ) 6 Έστω με ran Αποδείξτε τις εξής προτάσεις a Tr( ) b Tr( ) c Ο είναι τριγωνίσιμος d Tr( ) ο Α είναι διαγωνίσιμος (βλ άσκηση 333) i i 7 Έστω,, C, D τέτοιοι ώστε C D για κάθε i Αποδείξτε ότι αν οι, είναι αντιστρέψιμοι, τότε C D 8 Έστω και : η γραμμική απεικόνιση που ορίζεται από ( ) Δείξτε ότι αν κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με, τότε κάθε ιδιοτιμή της είναι ίση με 9 Χρησιμοποιώντας τριγωνοποίηση λύστε την άσκηση : Έστω αντιστρέψιμος Δείξτε ότι αν ο είναι όμοιος με τον, τότε το είναι άρτιος,, και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι της μορφής ( x )( x ), j 3 Επαναληπτική άσκηση κατανόησης Εξετάστε ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις αληθεύουν Σε κάθε περίπτωση δώστε μια απόδειξη ή ένα αντιπαράδειγμα a Έστω Α ένας αντιστρέψιμος πίνακας Τότε ο Α είναι τριγωνίσιμος αν και μόνο αν ο είναι τριγωνίσιμος b Αν ο είναι τριγωνίσιμος, τότε ο ( ) είναι τριγωνίσιμος για κάθε ( x) [ x] c Έστω Αν ο είναι τριγωνίσιμος, τότε ο είναι τριγωνίσιμος I
Ασκήσεις4 49 33 33 d Αν τότε υπάρχει αντιστρέψιμος U με U U = άνω τριγωνικός 33 33 e Αν τότε υπάρχει αντιστρέψιμος U με * * U U * * * * 33 Αν της μορφής * * * 5 * * * 33 τότε υπάρχει αντιστρέψιμος U με 5 * * U U * * * * g 44 h Έστω με ( x ) ( x ) ( x )( x 3) Τότε ο είναι τριγωνίσιμος και όχι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν dim V () 3 3 i Έστω με ιδιοτιμές τις,,3 και ( I3)( 3 I3) Τότε το είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του j Έστω : V V μια τριγωνίσιμη γραμμική απεικόνιση και U V ένας υπόχωρος τέτοιος ώστε ( U ) U Τότε ό περιορισμός της στο U είναι τριγωνίσιμη απεικόνιση
Ασκήσεις4 5 Υποδείξεις/Απαντήσεις Ασκήσεις 4 Λύση: Έστω, οι ιδιοτιμές του όταν αυτός θεωρηθεί ως στοιχείο του και έστω ότι Από την Πρόταση 7 ξέρουμε ότι Tr και άρα Το ζητούμενο έπεται από το Θεώρημα 34 a Υπόδειξη: Με συνήθεις πράξεις βρίσκουμε ότι ο έχει μοναδική ιδιοτιμή και ισχύει dim V () Άρα ο δεν είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα Ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή είναι (πράξεις) το Σύμφωνα με την απόδειξη του a Θεωρήματος 33, ως U μπορούμε να πάρουμε οποιονδήποτε πίνακα της μορφής με b b a, πχ το 3 b Υπόδειξη: Με συνήθεις πράξεις βρίσκουμε ότι ( x ) ( x 4) και επομένως ο Α είναι τριγωνίσιμος Επίσης βρίσκουμε ότι μια βάση του V (4) αποτελεί το 3 Μια βάση του που περιέχει το στοιχείο αυτό είναι η,, (γιατί;) Θέτοντας P, έχουμε ότι ο P είναι αντιστρέψιμος και κάνοντας πράξεις βρίσκουμε 4 * * P P 3 5 3 Τώρα θα φέρουμε το σε τριγωνική μορφή, πράγμα δυνατό καθώς 5 ( x ) ( x 4) Υπολογίζοντας κατά τα γνωστά, βρίσκουμε ότι μια βάση του V (4) αποτελεί το Μια βάση του που περιέχει το στοιχείο αυτό είναι η, (γιατί;) Θέτοντας P, έχουμε ότι ο P είναι αντιστρέψιμος και ξέρουμε από την απόδειξη του Θεωρήματος 33 (χωρίς να υπάρχει ανάγκη 4 * να κάνουμε πράξεις), ότι P P 4 Τώρα θέτοντας
Ασκήσεις4 5 U P P, ο U είναι αντιστρέψιμος (ως γινόμενο αντιστρέψιμων) και ξέρουμε από την απόδειξη του Θεωρήματος 33, ότι 4 * * U U 4 * 4 3 Απάντηση: a (Βλ άσκηση 35) 4 Υπόδειξη: Με συνήθεις πράξεις βρίσκουμε ότι ( x ) ( x ) ( x ), V (), V (), dim V (), dim V () Άρα ο είναι τριγωνίσιμος (βλ Θεώρημα 34) και όχι διαγωνίσιμος (βλ Θεώρημα ) Από την απόδειξη του Θεωρήματος 33 έπεται ότι ως U μπορούμε να θέσουμε οποιονδήποτε αντιστρέψιμο πίνακα της μορφής * 33 * * 5 Υπόδειξη: Υπολογίστε το ( x) και δείξτε ότι είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων στο [ x] αν και μόνο αν a (βλ Θεώρημα 34) 6 Λύση: a Κάθε πίνακας της μορφής a 3, όπου a, έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο το x 5x 6 Από το Θεώρημα των Cayley-Hamilton έπεται ότι κάθε πίνακας I 5 6 Το πλήθος των είναι άπειρο a 3 ικανοποιεί b Έστω ( x) [ x] και ( x) ( x) ( x) Τότε ισχύει ( ) ( ) ( ) από το Θεώρημα των Cayley-Hamilton 7 Υπόδειξη: a Ο είναι διαγωνίσιμος γιατί έχει 3 διακεκριμένες ιδιοτιμές (Πόρισμα 9) b Χρησιμοποιήστε επαγωγή και το Θεώρημα των Cayley-Hamilton 8 Λύση Από το Θεώρημα 33 υπάρχει αντιστρέψιμος U τέτοιος ώστε * U U Άρα
Ασκήσεις4 5 * U U για κάθε θετικό ακέραιο Από τον πολλαπλασιασμό πινάκων έπεται ότι ο πίνακας * είναι άνω τριγωνικός της μορφής * Άρα * U U για κάθε θετικό ακέραιο Από αυτό έπεται ότι ( ) * ( ) U U ( ) για κάθε πολυώνυμο ( x) [ x] (γιατί;) Δηλαδή, ο ( ) είναι όμοιος με άνω τριγωνικό πίνακα της μορφής ( ) * ( ) Από την Πρόταση 8 και την Πρόταση 3 προκύπτει ότι ( ) ( x) ( ) ( x ( ))( x ( )) Άρα οι ιδιοτιμές του ( ) είναι οι ( ),, ( ) 9 Λύση a Στη λύση της προηγούμενης άσκησης είδαμε ότι για κάθε θετικό ακέραιο, ο είναι όμοιος με άνω τριγωνικό πίνακα της μορφής * Επειδή όμοιοι πίνακες έχουν το ίδιο ίχνος, συμπεραίνουμε ότι * Tr( ) Tr b Επειδή ο είναι τριγωνίσμος, ξέρουμε ότι οι ιδιοτιμές του,, στο είναι όλες πραγματικές Από το προηγούμενο ερώτημα έχουμε Tr( ) Άρα ( ) Tr Συνεπώς ( x ) ( ) x Το ζητούμενο έπεται από το Θεώρημα 4
Ασκήσεις4 53 c Θα δείξουμε ότι ο είναι διαγωνίσιμος Από την υπόθεση και το υποερώτημα a έχουμε Θα δείξουμε ότι τα,,, είναι διακεκριμένα οπότε ο θα είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Πόρισμα 9 Έστω, για άτοπο, ότι τα,,, δεν είναι διακεκριμένα Έστω,,, τα διακεκριμένα από τα,,, Τότε Από τη σχέση έπεται ότι i για κάποιο i Για κάθε i,, έστω a i το πλήθος των j από τα,,, που είναι ίσα με το i Τότε έχουμε τις σχέσεις a a a a a a a a a Ισχύει ai i σύμφωνα με τους ορισμούς Συνεπώς ως προς τους αγνώστους a i i, το προηγούμενο ομογενές τετραγωνικό γραμμικό σύστημα έχει μη τετριμμένη λύση Άρα η ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών του συστήματος είναι ίση με μηδέν Αλλά ξέρουμε ότι αυτή (ορίζουσα Vandermonde) ισούται με ( j i ) Άρα i j για κάποια i j, άτοπο από τον ορισμό i j των,,, Θα δείξουμε ότι ο Α είναι ανιστρέψιμος Έστω ότι ( x ) ( ) x a x a x a Από το Θεώρημα Cayley-Hamilton έχουμε ( ) a a ai οπότε λαμβάνοντας ίχνη παίρνουμε ( ) Tr( ) a Tr( ) a Tr( ) a Tr( I) Λόγω της υπόθεσης, η παραπάνω σχέση δίνει a Αυτό σημαίνει ότι το δεν είναι ιδιοτιμή του (Πόρισμα 6) Λύση a b : Από την υπόθεση έπεται ότι ( x ) ( ) x και άρα από το Θεώρημα Cayley- Hamilton
Ασκήσεις4 54 b c : πό έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του στο είναι ίση με Άρα ( x ) ( ) x και όπως πριν c d : πό έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του στο είναι ίση με To ζητούμενο έπεται από την άσκηση 9a d a : ος τρόπος Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε ένα επιχείρημα με γραμμικά συστήματα και την ορίζουσα Vandermonde για να δείξετε ότι κάθε ιδιοτιμή του στο ισούται με (βλ λύση της άσκησης 9c) ος τρόπος (Για ποικιλία ας δούμε αναλυτικά μια άλλη λύση) Με επαγωγή στο θα δείξουμε ότι κάθε ιδιοτιμή του στο ισούται με Η περίπτωση είναι άμεση Έστω ότι ( x ) ( ) x a x a x a Από το Θεώρημα Cayley-Hamilton έχουμε ( ) a a ai οπότε λαμβάνοντας ίχνη παίρνουμε ( ) Tr( ) a Tr( ) a Tr( ) a Tr( I) Λόγω της υπόθεσης, η παραπάνω σχέση δίνει a Αυτό σημαίνει ότι το είναι ιδιοτιμή του (Πόρισμα 6) Τότε, από το Θεώρημα 33 συμπεραίνουμε ότι ο είναι όμοιος με άνω τριγωνικό πίνακα της μορφής * Άρα για κάθε θετικό ακέραιο, ο είναι όμοιος με πίνακα της μορφής * Συνεπώς Tr( ) Tr( C ), ( ) ( ) όπου C είναι ο πίνακας που προκύπτει από το κατόπιν διαγραφής της πρώτης γραμμής και πρώτης στήλης Τώρα η υπόθεση Tr( ) Tr( ) Tr( ) δίνει Tr( C) Tr( C ) Tr( C ) Από την επαγωγική υπόθεση παίρνουμε ότι κάθε ιδιοτιμή του C στο ισούται με Άρα κάθε ιδιοτιμή του στο ισούται με, δηλαδή κάθε ιδιοτιμή του στο ισούται με 3 ος τρόπος (έχει κοινά σημεία με τον προηγούμενο τρόπο) Από την άσκηση 9a αρκεί να δείξουμε ότι αν,, ικανοποιούν για κάθε,, () τότε Χρησιμοποιούμε επαγωγή Η περίπτωση είναι σαφής Έστω Από την () έπεται ότι για κάθε ( x) [ x] με () και deg ( x) έχουμε ( ) ( ) Έστω ( x) ( x )( x )( x ) ( )
Ασκήσεις4 55 Από ( ) ( ) παίρνουμε ( ) και άρα κάποιο i Έστω Τότε από τη () έχουμε για κάθε,, Από την επαγωγική υπόθεση παίρνουμε m m m m Υπόδειξη: Δείξτε ότι ( ) ( ) για κάθε θετικό ακέραιο m Άρα Tr( ) και το ζητούμενο έπεται από την προηγούμενη άσκηση Υπόδειξη: Αν ο * είναι άνω τριγωνικός αντιστρέψιμος πίνακας, τότε ο αντίστροφός του είναι άνω τριγωνικός πίνακας της μορφής # 3 Υπόδειξη: Υπάρχει διατεταγμένη βάση ( u,, u ) του V τέτοια ώστε ο αντίστοιχος πίνακας της είναι άνω τριγωνικός (Ορισμός 3 και Θεώρημα 33) Θέστε Wi u,, ui, i,, Απάντηση στο ερώτημα: Γενικά δεν αληθεύει το συμπέρασμα όταν Ένα παράδειγμα είναι η γραμμική απεικόνιση : που στρέφει το επίπεδο κατά γωνία 9 ο Είναι σαφές ότι δεν υπάρχει ευθεία U του που διέρχεται από το (,) τέτοια ώστε ( U ) U 4 Υπόδειξη: Θεώρημα των Cayley-Hamilton 3 5 Υπόδειξη: a Έχουμε ( x ) ( x )( x ) x x x και άρα από το Θεώρημα των 3 Cayley-Hamilton I Πολλαπλασιάζοντας με παίρνουμε I3 και επομένως I3 b Επαγωγή στο n c Διαιρώντας το πολυώνυμο 3 5 4 ( x) x x x 3 με το ( x ), βρίσκουμε (μετά από λίγες πράξεις) a( x) ( x ) ( x) 3x Άρα a( ) ( ) ( ) 3 I3 3 I3 γιατί ( ) από το Θεώρημα των Cayley-Hamilton Άρα ως ( x) μπορούμε να θέσουμε το ( x) 3x 6 Υπόδειξη: Επειδή ( x ) ( ) ( x )( x ), κάθε ιδιοτιμή του στο ικανοποιεί ή ( ) Άρα Θεωρείστε n ( ) και εφαρμόστε το Θεώρημα 34 7 Υπόδειξη: Από το Πόρισμα 9 έπεται ότι οι δύο ιδιοτιμές του είναι ίσες Από το Θεώρημα 33 z z έπεται ότι ο είναι όμοιος με πίνακα της μορφής Ισχύει z Δείξτε ότι οι και z είναι όμοιοι υπολογίζοντας έναν αντιστρέψιμο P τέτοιον ώστε P P
Ασκήσεις4 56 8 Υπόδειξη: Εφαρμόστε την άσκηση 6 από τις Ασκήσεις για ( x) ( x) () 9 Υπόδειξη: Παρατηρήστε με πράξεις πινάκων ότι h ( ) Tr( ) Υπόδειξη: Αν είναι άνω τριγωνικός, τότε ο είναι κάτω τριγωνικός Ισοδύναμα, αν : V V είναι μια γραμμική απεικόνιση με άνω τριγωνικό πίνακα ως προς τη διατεταγμένη βάση ( u, u, u ), τότε ο πίνακας της ως προς τη διατεταγμένη βάση ( u,, u, u) είναι κάτω τριγωνικός Υπόδειξη: Θεωρείστε τριγωνική ανισότητα Λύση a Αν v V ( ), τότε ( v) v g( ( v)) g( v) g( v) ( g( v)) g( v) g( v) V ( ) Οι ιδιοτιμές του είναι στές ρίζες της μονάδας Εφαρμόστε την b Έστω μια ιδιοτιμή της (υπάρχει ιδιοτιμή αφού εδώ ) Η απεικόνιση της υπόδειξης είναι γραμμική, ο χώρος V ( ) είναι μη τετριμμένος και πεπερασμένης διάστασης και Άρα η απεικόνιση της υπόδειξης έχει ένα ιδιοδιάνυσμα u V ( ) Είναι σαφές ότι το u είναι ένα ιδιοδιάνυσμα και της g και της c Θα αποδείξουμε την εξής ισοδύναμη πρόταση Έστω, τέτοιοι ώστε Τότε υπάρχει αντιστρέψιμος U τέτοιος ώστε οι U U και U U είναι άνω τριγωνικοί (Σημείωση: H μετάβαση αυτή στους πίνακες θα μπορούσε να αποφευχθεί αν είχαμε στη διάθεσή μας την έννοια του χώρου πηλίκου, που δεν είναι στην διδακτέα ύλη) Χρησιμοποιούμε επαγωγή στο Η περίπτωση είναι άμεση Έστω ότι Από το προηγούμενο ερώτημα υπάρχει X που είναι ιδιοδιάνυσμα και του και του Αφού X υπάρχει διατεταγμένη βάση του της μορφής { X, X,, X } όπου X X Επειδή το X είναι ιδιοδιάνυσμα του και του οι πίνακες U U, U U είναι της μορφής * * * * U U C και U U C, όπου είναι μια ιδιοτιμή του, είναι μια ιδιοτιμή του και C, C προκύπτει ότι ( U U )( U U ) ( U U )( U U ), δηλαδή * * * * * * * *, C C C C οπότε με πολλαπλασιασμό πινάκων έχουμε ( ) ( ) Από
Ασκήσεις4 57 * * * * CC CC Άρα C C C C Από την υπόθεση της επαγωγής υπάρχει αντιστρέψιμος και U έχουμε C U είναι άνω τριγωνικοί Θέτοντας U U U U U U U U U ( ) ( ) U τέτοιος ώστε οι U C U, ο U είναι αντιστρέψιμος και * * * * U C U U CU που είναι άνω τριγωνικός Όμοια και ο U U είναι άνω τριγωνικός d Θα δείξουμε την εξής ισοδύναμη πρόταση Έστω, τέτοιοι ώστε Τότε για κάθε ιδιοτιμή του υπάρχει ιδιοτιμή του και ιδιοτιμή του τέτοιες ώστε Χρησιμοποιώντας τον πίνακα U του προηγούμενου ερωτήματος έχουμε U ( ) U U U U U Καθένας από τους U U, U U και U ( ) U είναι άνω τριγωνικός και επομένως οι ιδιοτιμές του (αντίστοιχα του, του ) είναι τα διαγώνια στοιχεία του U U (αντίστοιχα του U U, του U ( ) U ) Άρα κάθε διαγώνιο στοιχείο του U ( ) U είναι της μορφής Συνεπώς κάθε ιδιοτιμή του είναι της μορφής 3 Υπόδειξη: c Εφαρμόστε το τελευταίο ερώτημα της προηγούμενης άσκησης για να δείξτε ότι η γραμμική απεικόνιση L R : είναι ένας ισομορφισμός 4 Λύση: Θα δείξουμε με επαγωγή στο ότι για κάθε, I v,,,, Έστω ότι ( x) ( ) x a x a Έστω Τότε, από το θεώρημα των Cayley- Hamilton, ( ) a a I Άρα Έστω ότι v ( ) ( a a I ) I,,,, v I,,,, για κάποιο b,, bv Έχουμε αφού γιατί ο Τότε b b I για κάποια v ( b b I ) b b b I,,,,, v v I,,,, I,,,, Δείξαμε ότι για κάθε, Συνεπώς έχουμε b b b I,,,,, είναι υπόχωρος του I,,,, v Συνεπώς Άρα I,,,,
Ασκήσεις4 58 W I,,,, Επειδή ισχύει και dimw dim I,,,,,,,, I W, έχουμε την ισότητα W I,,,, γιατί ο χώρος I,,,, παράγεται από στοιχεία Σημείωση Το πρώτο βήμα της απόδειξης θα μπορούσε να γίνει ως εξής Από την Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων υπάρχουν q( x), r( x) [ x] με Από το θεώρημα των Cayley-Hamilton, 5 Λύση a Σωστή Θεωρώντας ότι x q( x) ( x) r( x), deg r( x) Άρα q r r I ( ) ( ) ( ) ( ),,,, 44, οι ιδιοτιμές του είναι οι i, i,,, οπότε οι ιδιοτιμές του είναι οι i n,( i) n,( ) n,( ) n n (βλ Εφαρμογές σελίδα 9 ή την άσκηση 8) Επειδή i,( i) n n για άρτιο n και i,( i) για περιττό n, από το Θεώρημα 34 έπεται ότι η απάντηση είναι οι άρτιοι n b Σωστή To πολυώνυμο ( x) ( x) έχει τις ζητούμενες ιδιότητες από το θεώρημα των Cayley-Hamilton 6 Υπόδειξη a Από την υπόθεση ran έπεται ότι κάθε δύο γραμμές του είναι γραμμικά εξαρτημένες (ως v στοιχεία του ) Άρα υπάρχουν b,, b, c,, c με bc bc bc bc bc bc b c b c b c b b Δηλαδή έχουμε C, όπου, C c c c Παρατηρούμε ότι C ( Tr( )) b και άρα ( C) C Tr( ) C Tr( ) b Από το a παίρνουμε ( Tr( )),, με επαγωγή στο c Από το a έπεται ότι κάθε ιδιοτιμή του στο είναι μία από τις, Tr( ) που είναι πραγματικοί αριθμοί Άρα το ( x ) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων στο [ x ] και ο είναι τριγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα 34 d Αν Tr( ), δείξτε ότι dim V() v και dim V( Tr( )) Άρα ο είναι διαγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα iii) Αντίστροφα, έστω Tr( ) Τότε από το a έχουμε Αν ο ήταν διαγωνίσιμος, από θα είχαμε Αυτό είναι άτοπο αφού ran Σημείωση: Μία άλλη λύση θα μπορούσε να δοθεί ως εξής Το a έπεται από την άσκηση 4a των Ασκήσεων3 Το b έπεται από το Θεώρημα των Cayley-Hamilton και την άσκηση 39 των Ασκήσεων3 7 Υπόδειξη: Για κάθε πολυώνυμο ( x ) με () έχουμε ( ) C ( ) D ( x) ( x) ( x) det( ) 8 Υπόδειξη: Παρατηρούμε ότι ( ) L ( ) R ( ), όπου Θέτουμε n n
Ασκήσεις4 59 L :, L ( ) R :, R( ) και εφαρμόζουμε την Άσκηση d Σημείωση: Μία άλλη λύση μπορεί να δοθεί ως εξής ν κάθε ιδιοτιμή του είναι ίση με, τότε από το Θεώρημα των Cayley-Hamilton Δείξτε με κατάλληλο υπολογισμό ότι 9 3 Απάντηση: a Σ Έχουμε τριγωνίσιμος υπάρχει αντιστρέψιμος U με U U T, όπου T άνω τριγωνικός Αλλά ( U U ) U U, δηλαδή U U T Ξέρουμε ότι ο αντίστροφος ενός αντιστρέψιμου άνω τριγωνικού πίνακα είναι άνω τριγωνικός, δηλαδή ο T είναι άνω τριγωνικός Άρα τριγωνίσιμος Η αντίστροφη συνεπαγωγή είναι παρόμοια b Σ Ξέρουμε ότι αν T είναι άνω τριγωνικός, τότε ο ( T) είναι άνω τριγωνικός για κάθε ( x) [ x] (βλ Παρατήρηση 4 ) Έχουμε τριγωνίσιμος υπάρχει αντιστρέψιμος U με U U T, όπου T άνω τριγωνικός ( U U ) ( T) U ( ) U ( T) που είναι άνω τριγωνικός Άρα ο ( ) είναι τριγωνίσιμος c Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι Έχουμε ( ) x x και άρα ο δεν είναι τριγωνίσιμος από το Θεώρημα 34, αλλά I που είναι τριγωνίσιμος 3 3 d Λ Ένα αντιπαράδειγμα είναι ο Έχουμε ( x ) x ( x ) και άρα ο δεν είναι τριγωνίσιμος σύμφωνα με το Θεώρημα 34 e Σ Το ( x ) είναι περιττού βαθμού και έχει πραγματικούς συντελεστές Από την Πρόταση 38 έχει τουλάχιστον μια πραγματική ρίζα Άρα το είναι ιδιοτιμή του Α Έστω αντίστιχο ιδιοδιάνυσμα Επειδή u, ξέρουμε από τη ΓΑΙ ότι υπάρχει βάση του 3 u ένα 3 της 33 ( i) μορφής { u, u, u 3} Θεωρούμε τον πίνακα U με U u i, i,,3 Επειδή το σύνολο { u, u, u 3} είναι βάση του 3, ξέρουμε από τη ΓΑΙ ότι ο U είναι αντιστρέψιμος Από την απόδειξη του Θεωρήματος 34 ξέρουμε ότι η πρώτη στήλη του U U είναι η Σ Το είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή -5 Ως U μπορούμε να πάρουμε οποιονδήποτε αντιστρέψιμο πίνακα με πρώτη στήλη τη g Σ Από το Θεώρημα 34, ο Α είναι τριγωνίσιμος Έχουμε dim V (), dim V (), dim V (3) (Θεώρημα 3) Από το Θεώρημα iii), ο Α δεν είναι διαγωνίσιμος dim V () dim V () dim V (3) 4 dim V () h Σ Από το Θεώρημα των Cayley-Hamilton, έπεται ότι Άρα κάθε μη μηδενικό στοιχείο του 3 είναι ένα ιδιοδιάνυσμα του
Ασκήσεις4 6 i Σ Έστω g ο περιορισμός της στο U Από την Πρόταση 4 έπεται ότι το πολυώνυμο ( x ) διαιρεί το ( x) (γιατί;) Από το Θεώρημα 34, το ( x) είναι γινόμενο πρωτοβάθμιων g παραγόντων στο [ x] Άρα το ίδιο ισχύει για το ( x ) με το Θεώρημα 34 g, οπότε η g είναι τριγωνίσιμη σύμφωνα