94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό ) είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής παραγώγου Αυτές ονομάζονται μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης της Ο συμβολισμός που χρησιμοποιούμε είναι ο ακόλουθος:,, l l l Φυσικά με ανάλογο τρόπο ( χρησιμοποιώντας επαγωγή) μπορούμε να ορίσουμε παραγώγους κάθε τάξης 3 Έτσι για παράδειγμα, εδώ πρόκειται βέβαια για μερικές 5 5 παραγώγους τρίτης τάξης Έστω για απλότητα ότι, δηλαδή έχουμε μια πραγματική συνάρτηση δύο z, Οι μερικές παράγωγοι της εξελίσσονται σύμφωνα με το μεταβλητών, ακόλουθο σχήμα, που παραπέμπει στο δυαδικό δέντρο Σημειώνουμε ότι,, κτλ Υπενθυμίζουμε ότι μια συνάρτηση : U R R λέγεται ότι είναι της κλάσης C, αν όλες οι μερικές παράγωγοί της υπάρχουν είναι συνεχείς συναρτήσεις Αν αυτές με την σειρά τους είναι επίσης C συναρτήσεις, τότε λέμε ότι η είναι της κλάσης C Δηλαδή η είναι της κλάσης δεύτερης τάξης l C ακριβώς τότε αν όλες οι μερικές παράγωγοι,, l υπάρχουν είναι συνεχείς συναρτήσεις στο U Με επαγωγή μπορούμε να ορίσουμε τις συναρτήσεις της κλάσης C όπου N Η λέγεται της κλάσης C αν έχει συνεχείς μερικές παραγώγους κάθε τάξης για κάθε μεταβλητή Για παράδειγμα αν η είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών η είναι της κλάσης C, αν οι είναι της κλάσης C, δηλαδή αν οι υπάρχουν επί πλέον είναι συνεχείς συναρτήσεις,,,
95 Ρ,, είναι της Ρ κλάσης C Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι οι,,,, είναι αυτές πολυώνυμα, επομένως συνεχείς συναρτήσεις Επαγωγικά έχουμε ότι οι μερικές παράγωγοι κάθε τάξης του Ρ είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις άρα συνεχείς συναρτήσεις Έπεται προφανώς ότι το Ρ είναι συνάρτηση της κλάσης C Παραδείγματα ) Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση ( ) ) Κάθε ρητή συνάρτηση Ρ, ( όπου Ρ Q πολυώνυμα μεταβλητών με Q Q 0 ) είναι της κλάσης C στο πεδίο ορισμού της Αυτό αποδεικνύεται όπως για τα πολυώνυμα, αφού οι,,,, για την ρητή είναι πάλι ρητές συναρτήσεις άρα συνεχείς 3)Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης των συναρτήσεων:, λ 3 όπου, λ N (β) (,, z) + s z (α) λ λ λ Για το (α) παρατηρούμε ότι:, λ, 0 αν, λ λ ( λ ) Παρατηρούμε ότι, αν λ 0 αν λ ( αντίστοιχα 0 ) 3 (β) 3,, cos z z λ, λ λ λ Επίσης αν ( αντίστοιχα 6, 3, 0 ( οι μερικές παράγωγοι της z 3, 0, 0 ( οι μερικές παράγωγοι της z λ ) τότε 3 3 ) 0, 0, s z ( οι μερικές παράγωγοι της cos z ) z z z z ) 0 Παρατηρούμε ότι: 3, 0 0 z z z Σε όλα τα παραπάνω παραδείγματα παρατηρούμε ότι τα ζεύγη των μεικτών μερικών παραγώγων, όπως ή είναι ίσα Το επόμενο z z αποτέλεσμα μας λέει πότε ισχύει αυτό γενικότερα Για απλότητα διατυπώνουμε το αποτέλεσμα για συναρτήσεις δύο μεταβλητών (Το ανάλογο αποτέλεσμα ισχύει με την ίδια ουσιαστικά απόδειξη για συναρτήσεις αν
96 μεταβλητών όπου N ) Το βασικό επιχείρημα για την απόδειξη αυτού του αποτελέσματος είναι ένα επιχείρημα μέσης τιμής για συναρτήσεις δύο μεταβλητών 8 Θεώρημα Έστω U R ανοικτό : U R R της κλάσης Τότε οι μεικτές μερικές παράγωγοι της είναι ίσες, δηλαδή Απόδειξη: Έστω a ( 0, 0) U (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) C Θεωρούμε την ακόλουθη παράσταση: S h h + h + h + h + h + όπου τα 0 0 0 0 h 0, h 0 αρκετά μικρά ώστε να έχει νόημα η παράσταση Κρατώντας το h σταθερό, θέτουμε g (, 0 h) (, 0) Έπεται ότι, S( h, h ) g( h ) g( ) 0 0 + +, δηλαδή η S εκφράζεται ως μια διαφορά διαφορών Από το θεώρημα μέσης τιμής του Διαφορικού Λογισμού για την συνάρτηση g, υπάρχει ( h ) μεταξύ των 0 0+ h ώστε, (, ) ' (, ) (, ) (, ) S h h g + h g g h, άρα 0 0 S h h 0+ h 0 h Εφαρμόζοντας άλλη μια φορά το θεώρημα μέσης τιμής, αυτή την φορά στην συνάρτηση, h( (, ) ( η οποία είναι C ) βρίσκουμε ( h ) μεταξύ 0 0 + h ώστε, h( 0 + h) h( 0) h '( h Αντικαθιστώντας στην προηγούμενη σχέση καταλήγουμε στην, S( h, h) (, h h Παρατηρούμε ότι αν (, ) ( 0,0) h h τότε από την τελευταία σχέση την συνέχεια της ( ), l ( h, h ) ( 0,0) (, ) S h h h h () ( ) ( ), h, h, Έπεται, ότι στο (, ) Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία κρατώντας αυτή την φορά το h σταθερό (Αυτή την φορά θέτομε g( ( h, (, + ) 0 0 Έτσι καταλήγουμε στην σχέση ( ), l ( h, h ) ( 0,0) (, ) S h h h h Από τις () () συμπεραίνουμε ότι (, ) (, ) στο U () άρα
97 Σημείωση Το γεγονός ότι η παράσταση (, ) S h h γράφεται ως μια διαφορά διαφορών με δυο τρόπους (οριζόντια κατακόρυφα, ένα σχήμα θα βοηθούσε) είναι αυτό που επιτρέπει να αποδείξουμε την ισότητα των μεικτών παραγώγων,, δεν είναι πάντοτε ίσες Δηλαδή η εναλλαγή του ρόλου των μεταβλητών κατά τον υπολογισμό των μερικών παραγώγων ανώτερης τάξης δεν οδηγεί πάντοτε στην ίδια παράγωγο Οι μεικτές παράγωγοι μιας συνάρτησης ( ) Παράδειγμα Έστω g : R ( g( ) l l g(, 0 0 0 0 (, ) (, ),(, ) l l, g R R φραγμένη συνάρτηση για την οποία τα όρια υπάρχουν αλλά δεν είναι ίσα Θέτομε Παρατηρούμε ότι, αν R ( (, ) ( 0, ) 0, l l g, 0 0 0 0,0 0 ( 0, ( 0,0 ) 0, 0 l l l g, 0 0 0 0 Ιδιαίτερα έχουμε ότι, Έπεται ότι l g(, Αναλόγως, υπολογίζουμε ότι: ( 0, 0) l l g(, 0 0 ( ) Από την υπόθεσή μας συμπεραίνουμε ότι ( 0,0) ( 0,0) ( παράγωγοι δεν είναι ίσες Παρατηρούμε ότι, το όριο l g (,, 0,0 ότι η συνάρτηση (, g(, είναι διαφορίσιμη στο 0,0 0 ) τότε Δηλαδή οι μεικτές δεν υπάρχει 0,0 ( γιατί;) Μια συνάρτηση με τις ιδιότητες της g είναι η ακόλουθη, g(, (, ( 0,0), R κάθε Παρατηρούμε ότι, g( κάθε R με 0 αν + g 0,0 0 Η g είναι προφανώς φραγμένη, αφού g(, για l, για κάθε R με 0 0 Επομένως g( l l, 0 0 g( l, για 0 l l g(, Παρατηρήσεις )Μερικές φορές χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό,, z για τις μερικές παραγώγους:,, z z κτλ
98 Με τον συμβολισμό αυτό έχουμε, ( (παρατηρούμε ότι η διάταξη των αντιστρέφεται ) Με τον ίδιο συμβολισμό η ισότητα των μεικτών παραγώγων, αν υφίσταται, γράφεται : )Έστω : U R R, U ανοικτό στον κάποιο R Αν η είναι της κλάσης Τότε για κάθε επιλογή { } { } j j j συμβόλων { } C για,,,,, ισχύει ότι, όπου, { j,, j } είναι μια οποιαδήποτε μετάθεση των,, Με άλλα λόγια μπορούμε να υπολογίζουμε μερικές παραγώγους της μέχρι τάξης με οποιαδήποτε σειρά αφού καταλήγουμε στο ίδιο αποτέλεσμα Για παράδειγμα, αν κ 3 τότε, 3 3 3 Σημειώνουμε ότι αν η είναι συνάρτηση μεταβλητών τότε τυπικά ορίζονται μερικές παράγωγοι της τάξης ( κάποιες βέβαια από αυτές είναι μεταξύ τους ίσες) Για παράδειγμα αν είναι της κλάσης C υπάρχουν ουσιαστικά πλήθος μερικές παράγωγοι της δεύτερης τάξης, οι εξής: j, < j + το,,, οι 3)Αν, g : U R R ( U ανοικτό στο R ) είναι της κλάσης C λ ( λ 0 ) τότε οι συναρτήσεις + g, λ, όπου λ R, g g αν g ( ) 0 για κάθε U, είναι της κλάσης C λ ( Πράγματι, ( g) ( λ ) + g +, λ g g g+,, έτσι το αποτέλεσμα έπεται από τους παραπάνω τύπους με επαγωγή στο λ ) Μια διανυσματική συνάρτηση : U R R,, λέγεται ότι είναι της κλάσης C λ ( λ 0 ) αν οι συντεταγμένες συναρτήσεις,, της είναι όλες της κλάσης C λ, με ( )
99 Το επόμενο αποτέλεσμα γενικεύει ένα αντίστοιχο αποτέλεσμα για συναρτήσεις μιας μεταβλητής (*) 8 Πρόταση: Έστω U R p : V R R συναρτήσεις της κλάσης C λ ( 0 V R ανοικτά g : U R R λ ) με g( U), V Τότε η h og είναι της κλάσης C λ Απόδειξη: Για λ 0 το αποτέλεσμα αυτό είναι βέβαια γνωστό ( σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση) Έστω λ Υποθέτουμε ότι η είναι πραγματική συνάρτηση δηλαδή p αυτό δεν περιορίζει την γενικότητα αφού μια διανυσματική συνάρτηση είναι της κλάσης C λ οι συνιστώσες συναρτήσεις είναι C λ Αν λ Από τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε ότι αν h og, g (,, ) h U τότε: ( g ),, U Επειδή οι συναρτήσεις og, είναι συνεχείς για κάθε,, για κάθε h,, έπεται ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο U για κάθε,, Έτσι η h είναι C Αν λ Θέτουμε, ϕ,, h ( og) ϕ, Από τον κανόνα αλυσίδας τους κανόνες h παραγώγισης ( δες παρατήρηση ()) συμπεραίνουμε ότι η είναι συνεχής στο U για κάθε,,, έτσι η h είναι της κλάσης C Πρέπει τώρα να είναι σαφές ότι το γενικό αποτέλεσμα έπεται με επαγωγή στο λ Σημείωση Παρατηρούμε ότι η πρόταση 8 όπως η παρατήρηση 3 ισχύουν για συναρτήσεις της κλάσης C κάποιες Εφαρμογές(*) ) Έστω (, e s g( s, ), h( s, ) C κ s, g s,, h s,, s, R συναρτήσεις g, h : R τότε για R Θέτουμε, κ Υπολογίστε την κs, χρησιμοποιώντας τον κανόνα αλυσίδας [ Η κ s θα s υπολογιστεί συναρτήσει των μερικών παραγώγων πρώτης δεύτερης τάξης των g, h ] Λύση (, ) G ( (, ), (, )) s R g s h s R R 44444444444444443 ogκ ( ) κ ( s, ) ( og)( s, ) G( s, ) g s,, h s,, ( s, ) R
00 Από τον κανόνα αλυσίδας για την og παίρνουμε κ g h κs + s s s gs + hs ( s cos ) ( s cos ) e + e g + e h () s Παραγωγίζοντας ως προς την κ s παίρνουμε: κ g g h h + + + 4444443 4444443 ( g ) ( h ) s s s s s s s ( ) g ( g ) ( ) h ( h ) + + + () s s s s Εφαρμόζουμε πάλι τον κανόνα της αλυσίδας στις ( ) ( (( s, ) ( g( s, ), h( s, ) ) ( s, ) ( g( s, ), h( s, ) )), ( g + h Οπότε αντικαθιστώντας στην () η κ s γίνεται: κ s ( g h) gs gs + + + g + h hs + h s οπότε g + h g gs + ( h gs + ghs) + h hs + gs + hs Παρατηρούμε ότι αυτός ο τελευταίος τύπος είναι συμμετρικός ως προς ( s, ), επαληθεύοντας έτσι την ισότητα κs κs ( υπόθεση ότι g, h είναι C, είναι βέβαια C ) Υπολογίζοντας τις, βρίσκουμε κ ( s cos s e + e e s gs g + ( cos cos e + e e s ( h hs + hs g) ( e s ) ( e s + e cos g s + ( e cos h s Όπου βέβαια εννοείται ότι g( s, ) h( s, ) Σημείωση, e s + e cos e s + (, ) s (, ) s + cos (, ) cos, e cos e cos e s e e e e ) Έστω : R R h h + C συνάρτηση Θέτομε ϕ ( a λ, b µ ) s + + για R, όπου a, b, λ, µ R Τότε ϕ ''( 0 ) λ ( a, b) + λµ ( a, b) + µ ( a, b) σ Λύση ( λ, µ ) R a+ b+ R R 444444444444443 ϕ oσ