Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x Ρ Ρ είναι βαθμού 3 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του ( x) i το βαθμό του πηλίκου της διαίρεσης του πολυωνύμου ( x) ii το πολυώνυμο Ρ ( x) x Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ ( x ) και 3 Q x = x 4x Αν η πολυωνυμική συνάρτηση ( x) περιττή, και το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( x) με το x είναι 3 α Να δείξετε ότι Ρ ( 0) = 0 β Να βρείτε το Ρ( ) 3 γ Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( x) με το x 4x 3 Αν για το πολυώνυμο Ρ ( x ) ισχύει: x x x να βρείτε: α τα 0 και Ρ Ρ () β το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( x) με το πολυώνυμο Ρ Ρ = 4 () x x x Ρ είναι 4 Έστω τα πολυώνυμα Ρ ( x ) και Q ( x ) = Ρ ( x ) 4Ρ ( x ) + x + α Αν το άθροισμα των συντελεστών του Ρ ( x) είναι 3 να βρείτε το άθροισμα των συντελεστών β Να δείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του Q( x ) με το x είναι θετικός αριθμός του Q x 45

5 Έστω το πολυώνυμο Ρ ( x ) το οποίο αν διαιρεθεί με το διαιρεθεί με το x, δίνει υπόλοιπο Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του ( x) x 3x+ 6 Έστω το πολυώνυμο Ρ ( x ) με ( 0) ( ) Ρ =Ρ = α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του ( x ) β) Να αποδείξετε ότι ( x) Ρ + με το x Ρ = x( x ) Q( x) +, όπου Q x πολυώνυμο x, δίνει υπόλοιπο, ενώ αν 7 Μια πολυωνυμική συνάρτηση Ρ ( x ), 4ου βαθμού, είναι άρτια και το άθροισμα των συντελεστών του Ρ ( x) είναι μηδέν Να αποδείξετε ότι το Ρ ( x) έχει παράγοντα το x 8 Αν τα πολυώνυμα 3 Ρ x = x + α x + βx+ γ και R( x) ( x ρ ) 3 των συντελεστών του Ρ ( x) είναι, να βρείτε τους α, β, γ, ρ 9 Έστω το πολυώνυμο: 4 3 α β Ρ x = x + x + x x+, α, β = είναι ίσα και το άθροισμα το οποίο αν διαιρεθεί με το x δίνει υπόλοιπο ενώ αν διαιρεθεί με το x +, δίνει υπόλοιπο 9 α) Να βρείτε τους α, β Ρ x είναι τέλειο τετράγωνο ενός άλλου πολυωνύμου β) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Q( x ), δηλαδή ( x) Ρ = Q x 0 Έστω το πολυώνυμο Ρ ( x) με το ( x )( x ) Αν το πολυώνυμο ( x ) ( x 3) Ρ + έχει παράγοντα το x + Έστω το πολυώνυμο ( x ) 004 Ρ x = x + x+ Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ έχει παράγοντα το x, να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ 4 3 = x x + x + α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( x) με το x β)να αποδείξετε ότι το Ρ ( x) δεν έχει πραγματικές ρίζες 46

3 Αν το πολυώνυμο 3 3 i Να βρείτε το α Ρ x = α x + 5α x 0αx 8 έχει παράγοντα το x ii Για την μεγαλύτερη τιμή του α να λύσετε την ανίσωση ( x) 0 Ρ > 4 Αν το πολυώνυμο διαιρεί το πολυώνυμο Ρ x = x x α x+ β : 3 x α Να βρείτε τα α και β β Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ x δεν βρίσκεται πάνω από τον άξονα x' x 5 Έστω το πολυώνυμο 5 Ρ x = x + 3x + α x+ β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του ( x) το x είναι το υ ( x) = 5x + 8: β Να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του ( x) Ρ με α Να βρείτε τα α και β x γ Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ x βρίσκεται πάνω από την ευθεία y = 5x+ 8 6 Έστω το πολυώνυμο: 3 Ρ x = x α x, α Αν το ( x) ακέραιο, τότε: α να βρείτε το α, Ρ έχει ρίζα άρτιο θετικό β για α = 3, να βρείτε τις τιμές του λ ώστε για το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του ( x) x + λ να ισχύει: υ > 4 4 3 Αν το Ρ ( x) έχει ρίζες δύο περιττούς ακέραιους 7 Έστω το πολυώνυμο Ρ x = x αx + βx, α, β α να βρείτε τα α και β, β να λύσετε την ανίσωση Ρ x 0 x 8 Έστω η συνάρτηση 3 + 3x 6 f x = 3 x + 3x 3x α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f β Να απλοποιήσετε τον τύπο της f γ Να βρείτε τα διαστήματα του x που η γραφική παράσταση της f βρίσκεται κάτω από τη γραφική παράσταση της g x = x 47

3 9 Να λύσετε στο την εξίσωση: 4( ) 7( ) x x+ x x = 0 0 Έστω το πολυώνυμο ( x ) α) Να βρείτε το κ β) Να λύσετε την εξίσωση ( x) Έστω το πολυώνυμο ( x ) Ρ 6 4 = x 4x + 49x + κ, κ, το οποίο έχει ρίζα το Ρ = 0 Ρ 4 3 = 6x + 8x + 4x + x+ α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( x) με το x β) Να εξετάσετε αν το πολυώνυμο Ρ ( x) έχει πραγματικές ρίζες 4 Έστω το πολυώνυμο = 64 x 0 x + α) Να λύσετε την εξίσωση Ρ ( x) = 0 β) Αν ο κ είναι ακέραιος να αποδείξετε ότι η εξίσωση Ρ ( x) = κ δεν έχει λύση στο σύνολο των ακεραίων 0 0 ( x )( x ) x( x )( x ) 3 Έστω το πολυώνυμο Ρ x = x + x α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του ( x) β) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του ( x) 4 α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνά από τα σημεία Α(, 7) και Β(0, 0) β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η ευθεία ΑΒ του ερωτήματος (α) τέμνει την καμπύλη 3 y = x 8x 5 Έστω το πολυώνυμο: 4 3 α α) Να αποδείξετε ότι, αν το ( x) x ρ β) Αν το Ρ ( x) έχει παράγοντα το x ρ λύσετε την εξίσωση Ρ ( x) = 0 Ρ x = x 4x + x 4x+, α Ρ έχει παράγοντα το x ρ, τότε το ( x) Ρ έχει παράγοντα και το, να αποδείξετε ότι α 6 Στη συνέχεια με α = 6, να 6 Έστω η εξίσωση: + x + x = συν 0ο ο ο Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει λύσεις τις x = ημ0 και x = ημ0 48

7 Δίνεται ότι το πολυώνυμο 4 Ρ x = x + α x+ β,, α) Να αποδείξετε ότι α + β + = 0 β) Να βρείτε του α, β Ρ x για κάθε x γ) Να αποδείξετε ότι 0 α β, έχει παράγοντα το x 8 Έστω το πολυώνυμο Ρ ( x 6 5 4 3 ) = x + x + x + x + x + x+ α) Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( x) με το x 4v 7v β) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο f ( x) = x + x, v, έχει παράγοντα το ( x) γ) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ ( x) δεν έχει πραγματικές ρίζες 3 9 Έστω το πολυώνυμο: Ρ Ρ x = x + συν ω x + α ημ ω x αημ ω όπου ω, α α) Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο Ρ ( x) έχει παράγοντα το x ημ ω β) Να βρείτε τις τιμές του α, ώστε η εξίσωση Ρ ( x) = 0 να έχει τρεις ρίζες πραγματικές γ) Με τις προϋποθέσεις του ερωτήματος (β), να βρείτε κάθε ω, ώστε το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης Ρ ( x) = 0 να είναι ίσο με 30 Έστω το πολυώνυμο 3 Q( x) = x 4 ( x) 5x, δίνει υπόλοιπο υ = + 0 α) Να βρείτε τους α, β Ρ x = 0 β) Να λύσετε την εξίσωση γ) Έστω η αριθμητική πρόοδος ( ν ) Ρ x = x x + α x+ β, α, β, το οποίο αν διαιρεθεί με το α, με πρώτο όρο τη μικρότερη ρίζα της εξίσωσης ( x) και λόγο τη μεγαλύτερη ρίζα της i) Να αποδείξετε ότι αν αμ = α ν + μ ii) Να αποδείξετε ότι Sv = S v( α ν ), όπου Sv = α+ α + + αν και Sv = α+ α + + αν + α ν + + +α ν 3 Έστω το πολυώνυμο 3 Ρ x = x συν θ x συνθ α Να δείξετε ότι το Ρ ( x) διαιρείται με το x συνθ β Να βρείτε το πηλίκο π ( x) της διαίρεσης του Ρ ( x) με το x συνθ γ Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του π ( x) με το x + είναι συν θ, να βρείτε το θ Ρ = 0 49

3 3 Αν το πολυώνυμο Ρ x = 3α x + x ημπ +, θ 0, έχει θετικούς ακέραιους συντελεστές και αρνητική ακέραια ρίζα α να βρείτε τα θ και α β για α = και θ = να βρείτε το λ ώστε το Ρ ( x) να έχει παράγοντα το x + λ θ π 33 α Να δείξετε ότι: συνα + ημα = συν α 4 Ρ x = x + xημθ ημ θ με το β Να δείξετε ότι το υπόλοιπο υ της διαίρεσης του πολυωνύμου 4 4 π x συνθ είναι: υ = συν θ 4 γ Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του υπόλοιπου υ του β ερωτήματος και την τιμή του θ που την παρουσιάζει, για 0 θ π 34 Έστω ότι το πολυώνυμο ( x ) x ημ θ Ρ έχει παράγοντα το x + συν θ και το Q x διαιρείτε από το α Να δείξετε ότι το πολυώνυμο g( x) = 4x + 4συν θ x ημ θ διαιρεί το ( x) ( x) Q( x) β Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του g( x ) με το x είναι 8 να βρείτε το θ γ Να δείξετε ότι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης g( x ) είναι ανεξάρτητη του θ Η =Ρ 35 Δίνεται το πολυώνυμο 3 Ρ x = 4x 4x π Η διαίρεση του Ρ ( x) με το x ημθ, θ 0, αφήνει υπόλοιπο υ = συν θ α Να βρείτε τις τιμές του θ π β Για θ = να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης γ Να βρείτε τα διαστήματα του x, στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής Ρ x βρίσκεται κάτω από την ευθεία ε : y = συνάρτησης 36 Έστω το πολυώνυμο: ( ημθ ) 3 3 π Ρ x = x + x συν θ +, 0, το οποίο αν διαιρεθεί με το x συνθ, δίνει υπόλοιπο α) Να βρείτε τις δυνατές τιμές του θ Ρ x = 0 β) Να λύσετε την εξίσωση θ 50