Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Ηλ. Βιομηχανικών Διατάξεων & Συστημάτων Αποφάσεων Πολυκριτηριακά Συστήματα Υποστήριξης Αποφάσεων Ε10 Η μέθοδος augmented ε constraint Χάρης Δούκας, Παναγιώτης Ξυδώνας & Γιάννης Ψαρράς
Περιεχόμενα διάλεξης i. Η μέθοδος ε constraint ii. Η μέθοδος augmented ε constraint iii. Αλγοριθμική περιγραφή της augmented ε constraint iv. Εφαρμογές v. Αλγόριθμοι αλληλεπιδραστικής διύλισης
Η μέθοδος ε constraint Έστω το πρόβλημα πολυκριτήριας βελτιστοποίησης: x x max fi, i 1,2,..., p st.. S 1 Στη μέθοδο ε constraint (ή μέθοδο των περιορισμών) (Haimes et al., 1971) βελτιστοποιείται μια από τις αντικειμενικές συναρτήσεις και οι υπόλοιπες μετατρέπονται σε περιορισμούς του προβλήματος. Έτσι, το πρόβλημα εκφυλίζεται στη μορφή: max f st.. f e, i 2,3,..., p, S 2 1 x i x i x Η βέλτιστη λύση του προβλήματος (2) αποτελεί αποτελεσματική (efficient or Pareto optimal) λύση του αρχικού προβλήματος, αν μόνον αν, όλοι οι περιορισμοί που προκύπτουν από τις υπόλοιπες αντικειμενικές συναρτήσεις είναι δεσμευτικοί (binding constraints), δηλαδή ικανοποιούνται ως ισότητες (Miettinen, 1998; Ehrgott and Wiecek, 2005). Με συστηματική παραμετρική μεταβολή του δεξιού σκέλους των περιορισμών, σαρώνεται το σύνολο των αποτελεσματικών λύσεων.
Η μέθοδος augmented ε constraint Παρά τα πλεονεκτήματα της μεθόδου ε constraint, τρία πολύ κρίσιμα σημεία απαιτούν ιδιαίτερη προσοχή κατά την υλοποίηση αυτής: O υπολογισμός του εύρους των αντικειμενικών συναρτήσεων, πάνω στον χώρο των αποτελεσματικών λύσεων. H εγγύηση περί του ότι οι παραγόμενες λύσεις είναι αποτελεσματικές. O αυξημένος υπολογιστικός φόρτος σε προβλήματα με πολλές (παραπάνω από δυο) αντικειμενικές συναρτήσεις. Τα ζητήματα αυτά έρχεται να αντιμετωπίσει μια βελτιωμένη έκδοση της μεθόδου ε constraint, η μέθοδος augmented ε constraint (AUGMECON). Οι θεμελιώδεις καινοτομίες που συνδυάζονται στη μέθοδο AUGMECON είναι οι εξής: Καινοτομία 1 η : Η χρήση λεξικογραφικής βελτιστοποίησης Καινοτομία 2 η : Η εγγύηση για την παραγωγή μόνο των αποτελεσματικών λύσεων Καινοτομία 3 η : Η αλγοριθμική επιτάχυνση της υπολογιστικής διαδικασίας
Η μέθοδος augmented ε constraint K 1 Λεξικογραφική βελτιστοποίηση Για την εφαρμογή της AUGMECON είναι απαραίτητος ο καθορισμός του εύρους των αντικειμενικών συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται ως περιορισμοί (προκειμένου στη συνέχεια να είναι πιο αποτελεσματική η διακριτοποίηση του εύρος αυτού). Ενώ ο καθορισμός των βέλτιστων τιμών είναι εύκολα εφικτός (χρησιμοποιούνται τα βέλτιστα των επιμέρους βελτιστοποιήσεων), ο καθορισμός των χείριστων τιμών (nadir values), απαιτεί προσοχή. Η συνήθης προσέγγιση για τον καθορισμό του εύρους των αντικειμενικών συναρτήσεων βασίζεται στην αξιοποίηση του μητρώου πληρωμών (payoff matrix), δηλαδή του μητρώου με τα αποτελέσματα των βελτιστοποιήσεων στο σύνολο των αντικειμενικών συναρτήσεων. Σε προβλήματα μεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης), η χείριστη τιμή μιας αντικειμενικής συνάρτησης, προσεγγίζεται ως η ελάχιστη (μέγιστη) τιμή της αντίστοιχης στήλης στο μητρώο πληρωμών.
Η μέθοδος augmented ε constraint K 1 Λεξικογραφική βελτιστοποίηση f 1 f 2 f i f n Λύση max f 1 (x) f 1 * f 12 f 1i f 1n x 11 x 12 x 1l max f 2 (x) f 21 f 2 * f 2i f 2n x 21 x 22 x 2l max f i (x) f i1 f i2 f i * f in x i1 x i2 x il max f n (x) f n1 f n2 f ni f n * x n1 x n2 x nl Σημείωση: Ένας εναλλακτικός τρόπος καθορισμού των χείριστων τιμών των αντικειμενικών συναρτήσεων, είναι να οριστούν τιμές κατώφλια (reservation values), για κάθε αντικειμενική συνάρτηση. Τα κατώφλια αυτά λειτουργούν ως ελάχιστα ή μέγιστα όρια. Τιμές αντικειμενικών συναρτήσεων χειρότερες του ορισθέντος κατωφλίου βρίσκονται εκτός του χώρου εφικτών λύσεων και δεν επιτρέπονται.
Η μέθοδος augmented ε constraint K 1 Λεξικογραφική βελτιστοποίηση Ανεξαρτήτως της προσέγγισης που εφαρμόζεται για τον καθορισμό του εύρους των αντικειμενικών συναρτήσεων, απαιτείται σε κάθε περίπτωση να διασφαλιστεί ότι τα βέλτιστα των επιμέρους βελτιστοποιήσεων, όπως αυτά εμφανίζονται στο μητρώο πληρωμών, συνιστούν αποτελεσματικές λύσεις για το αρχικό πολυκριτήριο πρόβλημα. Στη μέθοδο AUGMECON, η δυσχέρεια αυτή αίρεται, διότι χρησιμοποιείται η τεχνική της λεξικογραφικής βελτιστοποίησης (lexicographic optimization), μέσω της οποίας είναι δυνατόν στο μητρώο πληρωμών, να παραχθούν αποκλειστικά αποτελεσματικές λύσεις (Miettinen, 1998).
Η μέθοδος augmented ε constraint K 1 Λεξικογραφική βελτιστοποίηση Βήμα 1: Αρχικά βελτιστοποιείται η πρώτη αντικειμενική συνάρτηση. Βήμα 2: Αν υπάρχουν εναλλακτικά άριστα (alternative optima), αναζητείται μεταξύ αυτών, αυτό που αριστοποιεί τη δεύτερη αντικειμενική συνάρτηση. Με σταθερή δηλαδή την άριστη τιμή της πρώτης αντικειμενικής συνάρτησης επιδιώκεται η αριστοποίηση της δεύτερης. Σημείωση: Όταν η άριστη λύση z* μιας αντικειμενικής συνάρτησης προκύπτει από διαφορετικές λύσεις x 1*, x 2*,, x k*, τότε λέμε ότι η συγκεκριμένη αντικειμενική συνάρτηση έχει k το πλήθος εναλλακτικές άριστες λύσεις. Βήμα 3: Στη συνέχεια με σταθερές τις τιμές της πρώτης και της δεύτερης αντικειμενικής συνάρτησης επιδιώκεται η βελτιστοποίηση της τρίτης κ.ο.κ. μέχρι την τελευταία αντικειμενική συνάρτηση. Βήμα 4: Το αποτέλεσμα της λεξικογραφικής αριστοποίησης για κάποια αντικειμενική συνάρτηση είναι η λύση εκείνη που αριστοποιεί τη συγκεκριμένη αντικειμενική συνάρτηση και παρουσιάζει τις καλύτερες δυνατές τιμές για τις υπόλοιπες αντικειμενικές συναρτήσεις, με κάποια σειρά προτεραιότητας. Σημείωση: Aν δεν υπάρχουν εναλλακτικά άριστα για μία αντικειμενική συνάρτηση, τότε το αποτέλεσμα της λεξικογραφικής αριστοποίησης ταυτίζεται με αυτό της απλής αριστοποίησης.
Η μέθοδος augmented ε constraint K 2 Εγγύηση παραγωγής μόνον των αποτελεσματικών λύσεων x x max fi, i 1,2,..., p st.. S 1 max f st.. f e, i 2,3,..., p, S 2 1 x i x i x Η βέλτιστη λύση του προβλήματος (2) αποτελεί αποτελεσματική λύση του αρχικού προβλήματος, αν μόνον αν, όλοι οι περιορισμοί που προκύπτουν από τις υπόλοιπες αντικειμενικές συναρτήσεις είναι δεσμευτικοί. Εάν δεν συμβαίνει αυτό και υπάρχουν εναλλακτικά άριστα, τότε η βέλτιστη λύση που θα βρεθεί μπορεί να μην αποτελεί αποτελεσματική λύση του αρχικού προβλήματος. Προκειμένου να ανασχεθεί η δυσχέρεια αυτή, στη μέθοδο AUGMECON οι περιορισμοί ανισοτήτων μετασχηματίζονται σε περιορισμούς ισοτήτων, μέσω της ενσωμάτωσης κατάλληλων μεταβλητών απόκλισης (slack or surplus variables). Την ίδια στιγμή, οι μεταβλητές αυτές χρησιμοποιούνται στην αντικειμενική συνάρτηση ως επιπλέον όροι χαμηλής προτεραιότητας.
Η μέθοδος augmented ε constraint K 2 Εγγύηση παραγωγής μόνον των αποτελεσματικών λύσεων p max f1 si st.. fi si ei, i 2,3,..., p,, si 3 i2 x x xr R Μέσω του φορμαλισμού (3), όλες οι λύσεις που παράγονται για το αρχικό πρόβλημα είναι αποτελεσματικές και αποφεύγεται η παραγωγή ασθενώς αποτελεσματικών λύσεων (weakly Pareto optimal solutions). Εξάλλου, προκειμένου να αποφευχθούν προβλήματα σε επίπεδο προσαρμογής κλίμακας, προτείνεται περαιτέρω η αντικατάσταση των όρων s i στις αντικειμενικές συναρτήσεις από τους όρους s i rg i, όπου rg i είναι το εύρος της i αντικειμενικής συνάρτησης (όπως αυτό υπολογίζεται από το μητρώο πληρωμών). Τότε, η αντικειμενική συνάρτηση λαμβάνει τη μορφή: p max f1 x si / rg i2 i
Η μέθοδος augmented ε constraint K 2 Εγγύηση παραγωγής μόνον των αποτελεσματικών λύσεων max f st.. f e, i 2,3,..., p, S 2 1 x i x i x p max f1 si st.. fi si ei, i 2,3,..., p,, si 3 i2 x x xr R Πρόταση Ο φορμαλισμός (3) παράγει μόνον αποτελεσματικές λύσεις (και αποφεύγεται η παραγωγή ασθενώς αποτελεσματικών λύσεων). Απόδειξη Έστω ότι το πρόβλημα (2) έχει εναλλακτικά άριστα και ότι ένα από αυτά, το x, κυριαρχεί της βέλτιστης λύσης x που παράγεται από το πρόβλημα (3). Αυτό σημαίνει ότι το διάνυσμα (z 1, e 2 + s 2,, e p + s p ) κυριαρχεί του διανύσματος (z 1, e 2 + s 2,, e p + s p ) ή ισοδύναμα ότι: e s e s' 2 2 2 2 e s e s' 3 3 3 3... e s e s' p p p p p p s s' contr. i i2 i2 i
Η μέθοδος augmented ε constraint K 3 Αλγοριθμική επιτάχυνση Στην περίπτωση της AUGMECON, οι περιπτώσεις μη εφικτότητας (infeasibilities) αντιμετωπίζονται μέσω της έγκαιρης εξόδου από τους βρόχους (early exit from the loops) των σχετικών επαναλήψεων. Κάθε φορά που, κατά τη διάρκεια της επίλυσης του προβλήματος (3), για κάποιους συνδυασμούς των e i, δεν προκύπτουν λύσεις, ενεργοποιείται αλγοριθμικά η έγκαιρη έξοδος από τους βρόχους, καθώς δεν υπάρχει υφίσταται λόγος να ολοκληρωθούν οι εναπομείναντες επαναλήψεις. Σε προβλήματα με πολλές αντικειμενικές συναρτήσεις, όπως το πρόβλημα της πολυκριτήριας βελτιστοποίησης χαρτοφυλακίων (multiobjective portfolio optimization), η έγκαιρη έξοδος από τους βρόχους βελτιώνει καθοριστικά τους χρόνους επίλυσης.
Αλγοριθμική περιγραφή της augmented ε constraint Βήμα 1: Από το μητρώο πληρωμών υπολογίζεται το εύρος κάθε μιας από τις p 1 αντικειμενικές συναρτήσεις, οι οποίες πρόκειται να χρησιμοποιηθούν ως περιορισμοί. Βήμα 2: Στη συνέχεια το εύρος της i αντικειμενικής συνάρτησης κατατέμνεται σε q i ενδιάμεσα ισομήκη διαστήματα, χρησιμοποιώντας q I 1 σημεία πλέγματος. Βήμα 3: Προκύπτει ο αριθμός των q i +1 σημείων πλέγματος που χρησιμοποιούνται συνολικά για την παραμετρική μεταβολή του δεξιού σκέλους (e i ) των περιορισμών της i αντικειμενικής συνάρτησης. Βήμα 4: Ο συνολικός αριθμός των επαναλήψεων (runs) ανέρχεται τελικώς σε: (q 2 +1) x (q 3 +1) x x (q p +1) ή (q+1) p 1 = g p 1 όταν ο αριθμός των σημείων πλέγματος είναι ο ίδιος για κάθε αντικειμενική συνάρτηση.
Αλγοριθμική περιγραφή της augmented ε constraint Σημειώσεις Το πλέον χαρακτηριστικό ίδιον της AUGMECON είναι η δυνατότητα να ελεγχθεί πλήρως η πυκνότητα αναπαράστασης του χώρου των αποτελεσματικών λύσεων, μέσω κατάλληλου καθορισμού των παραμέτρων. Μεγάλος αριθμός σημείων πλέγματος οδηγεί σε πυκνές αναπαραστάσεις, αλλά συγχρόνως προκαλεί επιπλέον υπολογιστικό φόρτο. Στη βάση αυτή, ως καίριας σημασίας κρίνεται η επιλογή μιας ισορροπημένης αντιστάθμισης (trade off) μεταξύ πυκνότητας αναπαράστασης εφικτού χώρου και υπολογιστικού κόστους. Σε ένα πραγματικό πρόβλημα με p = 6 αντικειμενικές συναρτήσεις και g = 5 σημεία πλέγματος, η έγκαιρη έξοδος από τους βρόχους είχε ως συνέπεια την επίλυση μόνον 1705 προβλημάτων βελτιστοποίησης, έναντι του πλήθους των 3125 = (4 + 1) 6 1 = 5 6 1 προβλημάτων τα οποία συμβατικά θα επιλύοντο. Αυτό είχε σαν αποτέλεσμα την επίσπευση του χρόνου επίλυσης κατά 45% (από 21 min σε 11 min 30 sec, χρησιμοποιώντας έναν επεξεργαστή Pentium M 1.7 GHz.
Αλγοριθμική περιγραφή της augmented ε constraint Κατασκευή μητρώου πληρωμών [lexmax f k (x) για k = 1, 2,, p] Καθορισμός κάτω ορίων [lb k για k = 2,, p] Υπολογισμός διαστημάτων [r 2, r 3, r p ] Καθορισμός σημείων πλέγματος [g k με (k = 2,, p) για τις p 1 αντικειμενικές συναρτήσεις] Πρόβλημα P max f 1 (x) + eps (s 2 r 2 + s 3 r 3 + + s p 1 r p 1 + s p r p ) s.t. f k (x) s k = e k, k = 2, 3,, p, x S όπου e k = lb k + (i k r k ) g k lb k : κάτω όριο αντικειμενικής συνάρτησης k r k : διάστημα (εύρος λύσεων) αντικειμενικής συνάρτησης k S: χώρος εφικτών λύσεων αρχικού προβλήματος eps: ένας πολύ μικρός αριθμός (10 5 έως 10 3 ) s k : μη αρνητικές πλεονάζουσες μεταβλητές (k = 2, 3,, p) neff: πλήθος παραχθέντων ικανών λύσεων Σημείωση: Χωρίς βλάβη της γενικότητας εισάγεται η υπόθεση ότι όλες οι αντικειμενικές συναρτήσεις είναι προς μεγιστοποίηση Αρχικοποίηση μετρητών [i 2, i 3, i p 1, i p neff = 0] Ναί i 2 < g 2 Όχι Έξοδος i 2 = i 2 + 1 i p 1 = 0 i p 1 = i p 1 + 1 Ναί i p 1 < g p 1 Όχι i p = i p + 1 Επίλυση προβλήματος P Ναί i p = 0 Εφικτή λύση Όχι i p = g p i p < g p Όχι Ναί neff = neff + 1 Καταγραφή λύσης neff
Εφαρμογή 1 η max 1 1 max f 3x 4x 2 1 2 st.. x 20, x 40, 5x 4x 200 1 2 1 2 f x
Εφαρμογή 1 η Μητρώο πληρωμών με συμβατική βελτιστοποίηση f 1 f 2 max f 1 20 60 max f 2 8 184 Μητρώο πληρωμών με λεξικογραφική βελτιστοποίηση f 1 f 2 max f 1 20 160 max f 2 8 184
Εφαρμογή 1 η Αποτελέσματα συμβατικής ε constraint
Εφαρμογή 1 η Αποτελέσματα ε constraint με λεξικογραφική βελτιστοποίηση
Εφαρμογή 2 η Αλγοριθμική επιτάχυνση max z max z max z x 1 1 x 2 2 x 3 3 st.. x x x 1 1 2 3
Αλγόριθμοι αλληλεπιδραστικής διύλισης Κρίσιμο ρόλο σε ένα πρόβλημα πολυκριτήριας βελτιστοποίησης διαδραματίζει η υλοποίηση της αλληλεπιδραστικής διαδικασίας διύλισης (interactive filtering) του συνόλου των κατά Pareto άριστων λύσεων, οι οποίες παρήχθησαν κατά τη φάση της αριστοποίησης. Ο πλέον δημοφιλής αλγόριθμος αλληλεπιδραστικής διύλισης λύσεων φέρει την ονομασία first point outside the neighborhoods (Steuer, 1989), ανήκει στην κατηγορία των μεθόδων συρρικνούμενου χώρου συντελεστών στάθμισης και συνιστά μια επαναληπτική διαδικασία, μέσω της οποίας η επιφάνεια των αποτελεσματικών λύσεων συρρικνώνεται προοδευτικά.
Αλγόριθμοι αλληλεπιδραστικής διύλισης Pareto βέλτιστες λύσεις Καθορισμός πλήθους επαναλήψεων Καθορισμός πλήθους αντιπροσωπευτικών λύσεων Επιλογή λύσης από τον αποφασίζοντα Ο αποφασίζων είναι ικανοποιημένος Όχι Ναί Έξοδος
7 1 4 3 11 6 12 9 10 13 5 2 8 14 15 16 17 18 19 20 9 7 1 4 3 11 6 12 9 10 13 5 2 8 14 15 16 17 18 19 20 17 7 1 4 3 11 6 12 9 10 13 5 2 8 14 15 16 17 18 19 20 Αλγόριθμοι αλληλεπιδραστικής διύλισης
Αλγόριθμοι αλληλεπιδραστικής διύλισης Παραγωγή Pareto άριστων λύσεων Διύλιση και επιλογή Συρρίκνωση χώρου εφικτών λύσεων 3 η Επανάληψη 2 η Επανάληψη 1 η Επανάληψη
Αλγόριθμοι αλληλεπιδραστικής διύλισης Εάν: v the number of criterion vectors T the number of iterations P the sample size r the r reduction factor τότε θα ισχύει: t1 t1 r x v Pr P v Με v = 28, P = 5 και t = 4, προκύπτει r = 0.563, δηλαδή σε κάθε επανάληψη ο χώρος των εφικτών λύσεων συρρικνώνεται κατά 56.3%.
Τέλος ενότητας