ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Γ' ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ «Ευκλείδης» Ημερομηνία: 29/04/2017 Ώρα εξέτασης: 10:00-14:30 ΟΔΗΓΙΕΣ: 1. Να λύσετε όλα τα θέματα αιτιολογώντας πλήρως τις απαντήσεις σας. 2. Να γράφετε με μπλε ή μαύρο μελάνι. (Τα σχήματα επιτρέπεται με μολύβι) 3. Δεν επιτρέπεται η χρήση διορθωτικού υγρού (Tipp-ex). 4. Δεν επιτρέπεται η χρήση υπολογιστικής μηχανής. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ Πρόβλημα 1: Να βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις ( ) της εξίσωσης Ισχύει η ταυτότητα Για να ισχύει η εξίσωση θα πρέπει Ξέρουμε όμως ότι ισχύει η πρόταση «Αν και τότε» Πράγματι από το θεώρημα του Fermat θα έχουμε Προσθέτοντας παίρνουμε Από την ταυτότητα του Euler, αν θα έχουμε και επομένως Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω Τότε η γίνεται Επομένως οι λύσεις είναι: { }
Πρόβλημα 2: Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο με και να είναι τα ίχνη των καθέτων από τα σημεία στις απέναντι πλευρές του αντίστοιχα. Έστω τα συμμετρικά του σημείου ως προς τις πλευρές αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου έχει κέντρο το και τέμνει την ευθεία στο σημείο και έστω το περίκεντρο του τριγώνου. Να αποδείξετε ότι οι ευθείες και είναι παράλληλες. Φέρουμε την εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου στο σημείο και έστω το ένα σημείο τομής της με τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου. Τότε θα έχουμε και αφού το τετράπλευρο εγράψιμμο, παίρνουμε Επομένως, άρα, και αφού, θα έχουμε Έστω το σημείο τομής της με την και το σημείο τομής της με την Τότε θα έχουμε: Επίσης, Δηλαδή, τα σημεία Έχουμε, και συνευθειακά. Από τα προηγούμενα παίρνουμε ότι τα σημεία Παίρνουμε, συνευθειακά. τα σημεία ομοκυκλικά. Το περίκεντρο του τριγώνου είναι το, και επομένως Επομένως, έχουμε Από έχουμε
Πρόβλημα 3: Υποθέτουμε ότι μαθητές συναντώνται σε ένα καφέ. Θεωρούμε ότι ο γνωρίζει μαθητές, ο γνωρίζει μαθητές και ούτω κάθε εξής, ο γνωρίζει μαθητές. Επιπλέον θεωρούμε ότι κάθε ένας από τους γνωρίζει μαθητές, και κάθε ένας από τους γνωρίζει μαθητές. Να βρείτε όλους τους ακέραιους για τους οποίους αυτό είναι δυνατόν. Παρατηρήσεις: α) Με την λέξη «γνωρίζει» εννοούμε μια συμμετρική μη αυτοπαθή σχέση, δηλαδή: αν ο γνωρίζει τον τότε ο γνωρίζει τον. β) η φράση «ο γνωρίζει μαθητές σημαίνει : γνωρίζει μαθητές άλλους εκτός από τον εαυτό του. Υποθέτουμε Ο έχει γνωριμίες, ο έχει γνωριμίες και οι γνωρίζουν τον καθένα από τους μαθητές. Επομένως ο γνωρίζει ακριβώς ένα μαθητή και ο γνωρίζει ακριβώς μαθητές άλλους από τους Θεωρούμε την τριάδα. Κάθε ένας από αυτούς δεν γνωρίζει ακριβώς έναν από τους άλλους μαθητές αφού από την υπόθεσή μας αυτοί γνωρίζουν μαθητές. Αυτό αποδεικνύει ότι ακριβώς ένας μαθητής μεταξύ των γνωρίζει τον αλλά όχι τον, ενώ οι άλλοι δύο γνωρίζουν τον, αλλά όχι τον. Επομένως οι δεν έχουν γνωριμίες με τους Από την υπόθεση, ο γνωρίζει κάθε ένα μαθητή εκτός από δύο μαθητές, που οι δύο αυτοί είναι απαραίτητα οι Ιδιαίτερα, ο γνωρίζει τον (εδώ χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι ). Άρα ο γνωρίζει όλους τους (και υπάρχουν από αυτούς). Αυτό είναι άτοπο από την υπόθεση ότι ο γνωρίζει ακριβώς άτομα στο καφέ. Επομένως Και για τις δύο αυτές τιμές οι συνθήκες του προβλήματος μπορούν να πραγματοποιηθούν ως εξής: Για Οι γνωρίζουν τον καθένα. Οι γνωρίζουν τον καθένα εκτός τον. Ο γνωρίζει τον καθένα εκτός τον. Άρα ο γνωρίζει μαθητές, ο γνωρίζει μαθητές, ο γνωρίζει μαθητές, όπως απαιτείται. Για Οι γνωρίζουν τον καθένα. Οι γνωρίζουν τον καθένα εκτός τον. Ο γνωρίζει τον καθένα εκτός τον. Ο γνωρίζει τον καθένα εκτός του και Αυτό είναι το οποίο θέλουμε.
Πρόβλημα 4: Έστω το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών. Δίνεται η συνάρτηση τέτοια ώστε ( ) α) Να αποδείξετε ότι αν, τότε β) Να κατασκευάσετε μια τέτοια συνάρτηση (που να μην ικανοποιεί την συνθήκη του (α)) τέτοια ώστε α) Υποθέτουμε ότι υπάρχει για το οποίο δεν ισχύει το ζητούμενο, δηλαδή Ορίζουμε την ακολουθία και Η δεδομένη ανισότητα γράφεται: ( ) Επομένως θα έχουμε Όμως από τον ορισμό της ( ) θα πάρουμε ( ) ( ) Επομένως, επαγωγικά αποδεικνύουμε ότι: Πράγματι, για,ισχύει. Υποθέτουμε ότι ισχύει για, δηλαδή,. Τότε έχουμε Αυτό αποδεικνύει ότι κάθε θετικός επίσης. είναι θετικός αριθμός και έτσι και κάθε είναι
Η δεδομένη ανισότητα γράφεται και θέτοντας, έχουμε Επειδή όμως Παίρνουμε Μπορούμε όμως να υποθέσουμε ότι Οπότε θα έχουμε και αφού θετικός αριθμός Επομένως έχουμε Αλλά τη ίδια στιγμή Αυτό αντιβαίνει στην υπόθεση ότι. Άρα β) Για κάθε πραγματικό αριθμό υπάρχει μοναδική τιμή ( τέτοια ώστε Έστω, και θέτουμε Από την κατασκευή, έχουμε ( ) Δηλαδή, ισχύει η ανισότητα Επίσης έχουμε ότι ( ). Επομένως