ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3)

Transcript

1 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο,, 3) ΘΕΜΑ Α. (i) Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης», σελίδα 9 (ii) Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης», σελίδα 34. Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης», σελίδα. 3. α) ΛΑΘΟΣ β) ΛΑΘΟΣ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑ Β. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης αποτελείται από το τμήμα της γραφικής παράστασης της ln με και το συμμετρικό ως προς τον άξονα τμήμα της γραφικής παράστασης της ln, 0 που βρίσκεται κάτω από αυτόν. (Βλέπε σχολικό βιβλίο σελ.36). Η C f φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Σελίδα από 8

2 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ln, Η συνάρτηση γράφεται f= -ln, 0<< και έχει παράγωγο f ()=, > -, 0<< Για έχουμε: 0 f -f ln-0 0 lim = lim = lim = DLH + 0 f -f 0 - -ln-0 lim = lim = lim = DLH Άρα η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο.. Λύνουμε τα συστήματα: y ln, y y ln και, 0 y Σελίδα από 8

3 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ y ln ln y Άρα A(, ) y= - ln y=ln - y= y= ln - Άρα Β, =,. Επομένως = = 3. Η εξίσωση εφαπτομένης της C f στο Α είναι: : y-f( )=f ( )(- ) y- = - ( - ) y= -+ Η εξίσωση εφαπτομένης της C f στο Β είναι: : y-f - =f (επειδή ) - - y- = - - y= - ++ είναι. Και επειδή 4. Βρίσκουμε τα σημεία τομής της με τους άξονες. Έχουμε για =0, y=+ και για y 0,. Άρα η τέμνει τον άξονα στο σημείο M,0 και τον άξονα yy στο N(0, ), 0. Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΜΝ είναι: ( ) E (OM)(ON) ( ), α 0. Σελίδα 3 από 8

4 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θεωρούμε τη συνάρτηση: + g =, >0. Είναι g= g= = - 4. Επομένως το εμβαδόν του τριγώνου ΟΜΝ μεγιστοποιείται για. Για η γίνεται: - y=, άρα διέρχεται από την αρχή των αξόνων. ΘΕΜΑ Γ. α) Η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη στο, με f () f (), επομένως είναι γνησίως αύξουσα στο,. Επειδή η συνάρτηση f είναι και συνεχής στο κλειστό διάστημα,, συμπεραίνουμε ότι το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [f, f,]. β) Ισχύει: z i z z (0 i) z (0 0i). Επομένως οι εικόνες του μιγαδικού z + i,, ανήκουν στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα Α(0,) και Ο(0,0), δηλαδή στην ευθεία y, που σημαίνει ότι Im(z). γ) Επειδή Im(z), έχουμε z i, άρα z 0, οπότε ορίζεται ο w για κάθε. Επομένως i w z ( i) ( i) z i ( i)( i) Σελίδα 4 από 8

5 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ i = i i = w () Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση () έχει μια ακριβώς ρίζα ως προς στο, αφού κ= R(z) Θεωρούμε τη συνάρτηση 3 g( ),. Στο διάστημα,0 για τη g ισχύουν: Eίναι συνεχής στο,0 ως πολυωνυμική και g(0) g( ) 0 Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση τουλάχιστον λύση στο,0. Επειδή g 0 θα έχει μία g( ) 6 0για κάθε, η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο αφού είναι συνεχής και g ( )>0 για κάθε. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση g 0 έχει μοναδική λύση στο. Άρα υπάρχει ακριβώς μια τιμή του R(z) τέτοια, ώστε ο αριθμός πραγματικός. w z z να είναι. α) Είναι z. Θεωρούμε τη συνάρτηση πολυωνυμική. h(), η οποία είναι συνεχής στο ως Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f o h είναι: A : h() [,] = : h() = : = : 0 : 0 :, = = = =. β) Η συνάρτησης f o h Έστω, 0, είναι συνεχής στο διάστημα, με, τότε έχουμε: ως σύνθεση συνεχών. < +< + f.. h( ) h( ) Σελίδα 5 από 8

6 Άρα η συνάρτηση Επομένως ισχύει: ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ f h( ) f h( ) f h ( ) f h ( ) f h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 0, 0 (f oh)(0) (f oh)() (f oh)() f h(0) f h() f h() f () f h() f () (), για κάθε 0, Άρα ( ), για κάθε [0,]. ΘΕΜΑ Δ. α) Για κάθε 0,+ έχουμε f =+f ff f f ln ln c f ln c Είναι f, οπότε f lncc. Άρα f ln, 0 β) Επειδή η f είναι συνεχής στο 0 έχουμε ln f 0 lim f lim ln lim Όμως lim ln 0 0 lim, επομένως εφαρμόζουμε κανόνα D L Ηopital και έχουμε: ln f 0 lim f lim ln lim lim Άρα f0 0. lim lim ( ) ln και Σελίδα 6 από 8

7 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ γ) Είναι f()-f(0) ln+ (ln+) lim lim lim lim (ln ) Άρα η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο 0.. Για κάθε 0, είναι f ln. Είναι f 0 ln 0 ln f 0 ln 0 ln Ο πίνακας μεταβολών της f είναι Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0,, αφού είναι συνεχής σε αυτό και f ()<0 για κάθε 0, και γνησίως αύξουσα στο,, αφού είναι συνεχής σε αυτό και f ()>0 για κάθε,,παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 0 0 (άκρο διαστήματος) το f0 0 και ολικό ελάχιστο στο το f. είναι f () 0 και επειδή η f είναι συνεχής στο 0 συμπεραίνουμε ότι η f είναι κυρτή στο 0,. 3. Για κάθε 0, Σελίδα 7 από 8

8 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Έστω ότι υπάρχουν τρία σημεία συνευθειακά τα A,f, 3 3,f της C f. Τότε B,f, f f f f 3 3 ( Ι ) Η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. σε καθένα από τα διαστήματα, και, 3, οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο, ώστε ff f και ένα τουλάχιστον,3 τέτοιο, ώστε f3f f. 3 Η ( Ι ) ισοδύναμα γράφεται f f που είναι άτοπο, γιατί η f () 0, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα, οπότε είναι και " ". 4. f()+ + f() (ΙΙ). Θεωρούμε τη συνάρτηση h()=f()--+, [0,+ ), οπότε η (ΙΙ) γράφεται h() h(). Δηλαδή η h παρουσιάζει ακρότατο στο που είναι εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη σε αυτό. Άρα σύμφωνα με το θεώρημα του Frmat θα ισχύει h ()=0. Είναι για κάθε (0,+ ) h () f () ln. h () 0 0. Σελίδα 8 από 8