Modular καµπύλες Αριστείδης Κοντογεώργης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Αθηνών. 9 εκεµβρίου 2014, 1/41
Το υπερβολικό επίπεδο H = {z : I(z) > 0} Aut(H) = SL(2, R) Η απεικόνιση µε φ : SL 2 (R)/SO 2 (R) H φ(γso 2 (R)) = γ(i) είναι οµοιοµορφισµός., 2/41
Οµάδες Fuchsian και η δράση τους στο H Ορισµός Μια διακριτή υποοµάδα της SL 2 (R) ονοµάζεται οµάδα Fuchsian. Η (full) modular group ειναι η οµάδα των 2 2 πινάκων µε ακέραια στοιχεία και διακρίνουσα 1, {( ) } a b SL 2 (Z) =, a, b, c, d Z, ad bc = 1. c d Συχνά, ορίζουµε τα παραπάνω µε τον ίδιο τρόπο modulo ±I (γιατί είδαµε ότι αυτό απαιτείται για την δράση στο άνω µιγαδικό επίπεδο). Οι αντίστοιχες οµάδες συµβολίζονται µε PSL 2 (R) και PSL 2 (Z)., 3/41
SL(2, Z) Θεώρηµα Η modular ( group ) παράγεται ( από τα) στοιχεία 1 1 0 1 T = και S =. 0 1 1 0, 4/41
Η οµάδα Γ(N) Ορισµός Για κάθε N N ορίζουµε την οµάδα {( ) } a b Γ(N) = : a d 1modN, b c 0modN. c d Η Γ(N) ονοµάζεται πρωταρχική οµάδα ισοτιµίας ύψους N. Μια υποοµάδα της modular group ονοµάζεται υποοµάδα ισοτιµιάς ύψους N αν περιέχει την Γ(N)., 5/41
Οµάδες ισοτιµίας ύψους N {( ) } a b Γ 0 (N) = : c 0modN c d {( ) } a b Γ 0 (N) = : b 0modN c d {( ) } a b Γ 1 (N) = : a d 1modN, c 0modN c d {( ) } a b Γ 1 (N) = : a d 1modN, b 0modN c d, 6/41
Αριθµητικές οµάδες Fuchs Θα συµβολίζουµε µε H f G όταν η υποοµάδα H της G έχει πεπερασµένο δείκτη στην G. Ορισµός ύο υποοµάδες H 1, H 2 της G λέγονται commensurable αν H 1 H 2 f H 1 και H 1 H 2 f H 2. Ορισµός Μια υποοµάδα της SL 2 (Q) που είναι commensurable µε την SL 2 (Z) καλείται αριθµητική Fuchsian οµάδα., 7/41
Παραδείγµατα Πρόταση Οι πρωταρχικές οµάδες ισοτιµίας είναι αριθµητικές Fuchsian οµάδες. Απόδειξη: Η ϕυσική απεικόνιση επάγει έναν ισοµορφισµό SL 2 (Z) SL 2 (Z/NZ) SL 2 (Z)/Γ(N) SL 2 (Z/NZ). Οπότε υπολογίζουµε τον πεπερασµένο δείκτη [SL 2 (Z) : Γ(N)] = SL 2 (Z/NZ) = N 3 p N (1 1p2 )., 8/41
Πηλίκα του υπερβολικού χώρου Ορισµός Μια ϑεµελιώδης περιοχή για την Γ είναι ένα ανοικτό συννεκτικό χωρίο D του H τέτοιο ώστε να µην υπάρχουν Γ-ισοδύναµα στοιχεία του (δηλαδή στην ίδια τροχιά), και να ισχύει H = γ D όπου η ένωση διατρέχει τα στοιχεία της Γ. Πρόταση Εστω η modular οµάδα SL 2 (Z). Μια ϑεµελιώδης περιοχή της είναι το χωρίο D = {z H : z > 1, R(z) < 1 2 }, 9/41
Πηλίκα του υπερβολικού χώρου Η γνώση µιας ϑεµελιώδης περιοχής για µια διακριτή υποοµάδα της SL 2 (R) µας επιτρέπει να κατασκευάσουµε, µια ϑεµελιώδη περιοχή για µια πεπερασµένου δείκτη υποοµάδα της. Πρόταση Εστω Γ µια διακριτή υποοµάδα της SL 2 (R) µε ϑεµελιώδη περιοχή D, και Γ 1 µια υποοµάδα [G : G 1 ] <. Συµβολίζουµε µε Γ και Γ 1 τις εικόνες τους στην Aut(D). Τότε, αν διαλέξουµε γ i Γ, i = 1, 2, 3,...m, τέτοια ώστε m Γ = Γ 1 γ i i=1 ϕτιάχνουµε µια ϑεµελιώδη περιοχή D 1 της Γ 1 ως εξής D 1 = m γ i D i=1, 10/41
Cusps ιαισθητικά µιλώντας, τα cusps είναι τα σηµεία που οι ϑεµελιώδεις περιοχές ακουµπάνε στο τοπολογικό σύνορο του H. Αρα, το P 1 (Q) αποτελεί το σύνολο που οι ϑεµελι χδεις περιοχές της ακουµπούν στο R. Ενα cusp τώρα για την Γ είναι µια τροχιά της στο P 1 (Q)., 11/41
Ταξινόµιση πινάκων Κάθε 2 2 πίνακας που δεν είναι ϐαθµωτός έχει κανονική µορφή Jordan µια εκ των εξής δύο: ( a 1 0 a ) ( a 0, a C, 0 b ), a b, a, b C Στην πρώτη περίπτωση ο πίνακας είναι συζυγής µε µια απεικόνιση µεταφοράς κατά a 1, και ο πίνακας ονοµάζεται παραβολικός. Στην δεύτερη περίπτωση, ο πίνακας αντιστοιχεί σε πολλαπλασιασµό µε έναν έναν αριθµό c 1. Αν έχουµε ότι c = 1, ο πίνακας ονοµάζεται ελλειπτικός, αν είναι ϑετικός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται υπερβολικός, ενώ αλλιώς ονοµάζεται λοξοδροµικός., 12/41
Ταξινόµιση πινάκων Πρόταση Εστω ένας πίνακας ( a b γ = c d ) SL 2 (C). Τότε, ο γ είναι: 1. παραβολικός Tr(γ) = ±2 2. ελλειπτικός Tr(γ) R και Tr(γ) < 2 3. υπερβολικός Tr(γ) R και Tr(γ) > 2 4. λοξοδροµικός Tr(γ) C - R., 13/41
Σταθερά σηµεία Πρόταση Αν γ SL 2 (R) και δεν είναι λοξοδροµικός, τότε µπορούµε να κάνουµε την εξής διάκριση για τα σταθερά του σηµεία: 1. Αν ο γ είναι παραβολικός και δεν είναι ένας εκ των ±I, τότε έχει ακριβώς ένα σταθερό σηµείο, το οποίο ανήκει στο R { }. 2. Αν ο γ είναι ελλειπτικός, τότε έχει ένα σταθερό σηµείο στο H και ένα συµµετρικό του στο κάτω µιγαδικό ηµιεπίπεδο. 3. Αν ο γ είναι υπερβολικός, τότε έχει ακριβώς δύο σταθερά σηµεία στο R { }., 14/41
Σταθερά σηµεία εφινιτιον Εστω Γ µια οµάδα Fuchsian. Τότε, ένα z H λέγεται ελλειπτικό αν µένει σταθερό από κάποιο ελλειπτικό σηµείο της Γ, και ένα σηµείο z R { } λέγεται cusp αν µένει σταθερό από κάποιο παραβολικό στοιχείο της Γ. Πρόταση Αν το z είναι ελλειπτικό σηµείο µιας Γ τότε η υποοµάδα της Γ z = {γ Γ : γ(z) = z} είναι πεπερασµένη κυκλική. Απόδειξη: Εστω ένα α SL 2 (R) τέτοιο ώστε α(i) = z. Τότε η συζυγία επάγει ισοµορφισµό γ α 1 γα Γ z = (γ Γ : γ(z) = z) SO 2 (R) (α 1 Γα)., 15/41
Σταθερά σηµεία Η οµάδα SO 2 (R) (α 1 Γα) είναι διακριτή και συµπαγής, άρα πεπερασµένη. Εχουµε τους ισοµορφισµούς άρα R/Z = S 1 = SO2 (R) Q/Z = SO 2 (R) tors Αρα η Γ z είναι ισόµορφη µε κάποια πεπερασµένη υποοµάδα της Q/Z και άρα κυκλική., 16/41
Παράδειγµα Μας ενδιαφέρει να κατατάσσουµε τα cusps και τα ελλειπτικά σηµεία της Γ µέχρις Γ-ισοδυναµίας. Τα cusps της modular οµάδας είναι το P 1 (Q) = Q { }, και όλα αυτά τα σηµεία είναι SL 2 (Z)-ισοδύναµα, άρα η SL 2 (Z) έχει ένα cusp. Τα ελλειπτικά σηµεία της SL 2 (Z) είναι (µέχρις SL 2 (Z)- ισοδυναµίας) τα i και ρ = (1 + 3i)/2. Τα cusps της τυχαίας Γ υποοµάδας της πεπερασµένου δείκτη είναι τα ίδια, όπου τώρα οι κλάσεις της Γ-ισοδυναµίας είναι περισσότερες., 17/41
Modular καµπύλες H το επεκτεταµένο µιγαδικό επίπεδο H P 1 (Q) ή το H {i } (δηλαδή το επ άπειρον σηµείο στην κατέυθυνση του κάθετου άξονα). Για την modular group οι δύο συµβολισµοί αυτοί δεν έχουν ουσιαστικά διαφορά. SL 2 (Z) = Γ(1)., 18/41
Μιγαδική δοµή Θεωρούµε την προβολή P : H Γ(1)\H, Q p(q) = P Αν το Q δεν είναι ελλειπτικό σηµείο, διαλέχουµε περιοχή U του Q τέτοια ώστε ο p να είναι οµοιοµορφισµός U p(u). Τότε το (p(u), p 1 ) είναι τοπικός χάρτης για το P. Αν ϐρούµε έναν χάρτη για το ελλειπτικό i, τότε µε Γ(1)-µεταφορές ϐρίσκουµε χάρτες και για κάθε άλλο ελειπτικό σηµείο. Η απεικόνιση z z i z + i ορίζει ισοµορφισµό ανάµεσα σε κάποια S-σταθερή ανοιχτή περιοχή U του i και έναν ανοικτό δίσκο D του 0, και η δράση του S στην U µεταφέρεται στον D-αυτοµορφισµό σ : z z., 19/41
Μιγαδική δοµή Οι S \U και σ \D είναι οµοιοµορφικοί και τροφοδοτούµε τον S \U µε την µιγαδική δοµή ώστε η παραπάνω απεικόνιση να είναι αµφιολόµορφος ισοµορφισµός. Αρα η απεικόνιση ( z i z z + i είναι ολόµορφη ορισµένη σε µια περιοχή του i που είναι S-αναλλοίωτη, κι άρα ορίζει ολόµορφη συνάρτηση σε µια περιοχή του p(i). Μπορούµε να πάρουµε αυτήν σαν τοπικό χάρτη στο p(i). Τα άλλα ελλειπτικά σηµεία αντιµετωπίζονται οµοίως. ) 2, 20/41
Συµπαγοποίηση, Γ(1)\H 1ος τρόπος Προσθέτουµε το επ άπειρον σηµείο στο H παίρνοντας έτσι το επεκτεταµένο άνω µιγαδικό ηµιεπίπεδο H και ϑεωρούµε τον χώρο των τροχιών Γ(1)\H. 2ος τρόπος Για τον χώρο πηλίκο Γ(1)\H ϑεωρούµε το ϑεµελιώδες χωρίο του D και του επισυνάπτουµε το επ άπειρον σηµείο που αντιστοιχεί στον κάθετο άξονα. Σε κάθε µία από τις παραπάνω περιπτώσεις λαµβάνουµε την ίδια συµπαγή επιφάνεια Riemann, µε περιοχές του επ άπειρον σηµείου να είναι οι U α, = {z H : R(z) > α} Την µη συµπαγή επιφάνεια Riemann Γ(1)\H που ορίσαµε την συµβολίζουµε µε Y(1) Y(Γ(1)). Την συµπαγοποίηση Γ(1)\H της Y(1) που ορίσαµε την συµβολίζουµε µε X(1) X(Γ(1))., 21/41
Συµπαγοποίηση, Γ(1)\H Πρόταση Η συµπαγής επιφάνεια Riemann X(1) έχει γένος 0, άρα είναι ισόµορφη µε την σφαίρα του Riemann. Θεωρούµε τώρα µια οποιαδήποτε υποοµάδα Γ της Γ(1) πεπερασµένου δείκτη σε αυτήν. Με παρόµοιο τρόπο ορίζεται µιγαδική δοµή και στις επιφάνειες Γ\H και Γ\H. Το συµπλήρωµα της Γ\H στην Γ\H είναι το σύνολο των ξένων κλάσεων ισοδυναµίας των cusps της Γ, και συµβολίζονται µε Y(Γ) και X(Γ) αντίστοιχα. Υιοθετούµε τον συµβολισµό X(N) για την X(Γ(N)), X 0 (N) για την X(Γ 0 (N)) κ.ο.κ. Ορισµός Κάθε συµπαγής επιφάνεια Riemann της µορφής X(Γ) ονοµάζεται Modular Καµπύλη., 22/41
Γένος της modular καµπύλης Θεώρηµα Εστω Γ µια υποοµάδα της modular οµάδας Γ(1) δείκτη µ, ν 2 το πλήθος των µη Γ-ισοδύναµων ελλειπτικών σηµείων της τάξης 2, ν 3 το πλήθος των µη Γ-ισοδύναµων ελλειπτικών σηµείων της τάξης 3 και ν το πλήθος των µη Γ-ισοδύναµων cusps της Γ. Τότε το γένος της X(Γ) είναι ίσο µε g(x(γ)) = g = 1 + µ 12 ν 2 4 ν 3 3 ν 2, 23/41
Γένος της X(N) Για N 3 το γένος της X(N) δίνεται από τον τύπο ( ) N 6 g(x(n)) = g(n) = 1 + ) N (1 2 1p2 24 p N, 24/41
Modular forms Εστω Γ µια υποοµάδα της SL 2 (Z), η οποία είναι πεπερασµένου δείκτη στην SL 2 (Z). Μια συνάρτηση f : H C που ικανοποιεί τις ιδιότητεσ: 1. f(γ(z)) = f(z) για κάθε γ Γ 2. η f είναι µερόµορφη στο H 3. η f είναι µερόµορφη στα cusps της Γ λέγεται modular function (modular συνάρτηση) για την οµάδα Γ. ηλαδή, µια modular συνάρτηση για την Γ είναι µια µερόµορφη συνάρτηση στην modular καµπύλη Γ\H X(Γ)., 25/41
Αναπτυγµατα Fourier Η modular οµάδα παράγεται από τα στοιχεία ( ) ( 1 1 0 1 T =, S = 0 1 1 0 ). Αρα, για την πρώτη συνθήκη αρκεί f(z + 1) = f(z) f( 1/z) = f(z), 26/41
Συνθήκες στα cusps Οσον αφορά το cusp στο η τελευταία συνθήκη µπορεί να ερµηνευθεί ως εξήσ: µέσα στην SL 2 (Z), το σταθεροποιείται από την οµάδα T. Εστω ( ) 1 h γ = Γ 0 1 µε h > 0 το ελάχιστο δυνατό. Το h λέγεται πλάτος του cusp. Αφού γ Γ έπεται ότι f(z + h) = f(γ(z)) = f(z), δηλαδή η f είναι h-περιοδική. Επεται ότι η f µπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της f (q), όπου q = e 2πiz/h σε κάποιον ανοιχτό δίσκο D(0, ε) µε την f µερόµορφη στο 0. Αρα, η f έχει στον D(0, ε) ανάπτυγµα f (q) = n=n 0 a n q n µε n 0 Z. Αν τώρα z 0 είναι ένα άλλο cusp της Γ, η µεροµορφία στο z 0 σηµαίνει το εξήσ: έστω σ Γ µε σ( ) = z 0, τότε η f σ είναι σγσ 1 -αναλλοίωτη και η f σ είναι µερόµορφη στο., 27/41
Modular forms Εστω Γ µια υποοµάδα της SL 2 (Z), πεπερασµένου δείκτη στην SL 2 (Z), και ένας k Z. Μια συνάρτηση f : H C που ικανοποιεί τις ιδιότητες: ( ) a b 1. f(γ(z)) = (cz + d) k f(z) για κάθε γ = Γ c d 2. η f είναι ολόµορφη στο H 3. η f είναι ολόµορφη στα cusps της Γ λέγεται modular form ( modular µορφή) ϐάρους k για την οµάδα Γ., 28/41
Modular forms 1. Αν η f ικανοποιεί µόνο την πρώτη συνθήκη, τότε λέγεται weakly modular form. Αν αντί για ολόµορφη η f είναι µερόµορφη, τότε λέγεται µερόµορφη ή αυτόµορφη (automorphic ) µορφή. 2. Μια modular form ϐάρους 0 είναι σταθερή. 3. Αν η f είναι modular µορφή περιττού ϐάρους για την Γ και I Γ, τότε είναι αναγκαστικά η µηδενική. Πράγµατι, για γ = I, παρατηρούµε ότι f = ( 1) k f f 0 4. Σε αντιστοιχία µε τις modular functions, η συναρτησιακή σχέση αρκεί πάντα να επαληθεύται για τους πεπερασµένους γεννήτορες της Γ και η ολοµορφία για τους πεπερασµένους αντιπρόσωπους των cusps. 5. Αν η f είναι modular form για την Γ(N), τότε λέµε ότι είναι form ύψους N., 29/41
Χώροι Modular Forms Ο χώρος των modular forms ϐάρους k της Γ είναι C-διανυσµατικός χώρος και συµβολίζεται µε M k (Γ). Το γινόµενο µιας modular form ϐάρους n και µιας modular form ϐάρους m δίνει µια modular form ϐάρους n + m. Επεται ότι ο χώρος M(Γ) = M k (Γ), k=0 είναι ένας graded ring (ϐαθµωτός δακτύλιος)., 30/41
Χώροι από cusp forms Μια modular form που έχει ϱίζα σε κάθε cusp της Γ ονοµάζεται cusp form. Ο χώρος των cusp forms της Γ ϐάρους k συµβολίζεται µε S k (Γ). Προφανώς, ο S k (Γ) είναι υπόχωρος του M k (Γ). Οµοίως µε πριν ορίζεται ο S(Γ) = S k (Γ), ο οποίος είναι ιδεώδες του M(Γ). k=0, 31/41
Αναπτύγµατα Fourier Εστω f µια modular µορφή για την Γ. Με την αλλαγή µεταβλητής q=e 2πiz, η f παίρνει την µορφή f (q) = a n q n, n=0 όπου τώρα η f είναι ορισµένη: D C. Για µια cusp form, η ιδιότητα του µηδενισµού στα cusps επιβάλλει επιπλέον συνθήκες για τους συντελεστές της a n. Για την SL 2 (Z), µια f ειναι cusp form αν και µόνο αν a 0 =0. Συχνα ϑα γράφουµε f(q) αντί για f (q)., 32/41
ιαφορικές Μορφές Θεωρούµε µια διαφορική µορφή ω = f(z)dz στο H, όπου η f είναι µερόµορφη στο H, και Γ µια υποοµάδα πεπερασµένου δείκτη της Γ(1). Κάτω από ποιές συνθήκές είναι το ω να είναι Γ-αναλλοίωτο; Εστω ένα γ Γ, µε γ (ω) = ω. Αν ( ) a b γ = c d τότε ( ) γ az + b (ω) = ω = f(γz)d = f(z)dz cz + d a(cz + d) c(az + b) = f(γz) (cz + d) 2 dz = f(z)dz 1 = f(γz) (cz + d) = f(z), 2 δηλαδή το ω είναι Γ-αναλλοίωτο (ορίζεται δηλαδή πάνω στην Γ\H ) αν και µόνο αν η f(z) είναι weakly modular form ϐάρους 2., 33/41
ιαφορικές Μορφές Οµοίως, µια k-fold διαφορική µορφή σε µια επιφάνεια Riemann είναι µια διαφορική µορφή η οποία τοπικά µπορεί να δοθεί ως µια έκφραση ω = f(z)(dz) k. Τότε, η ω είναι Γ-αναλλοίωτη αν και µόνο αν η f(z) είναι µερόµορφη modular µορφή ϐάρους 2k., 34/41
ιαστάσεις των χώρων M 2k (Γ) Θεώρηµα Αν Γ είναι µια πεπερασµένου δείκτη υποοµάδα της Γ(1), η διάσταση του M 2k (Γ) ισούται µε dimm 2k (Γ) = { 1, k = 0 (2k 1)(g 1) + 2ν k + [ ( )] P 2k 1 1 e P, k 1 όπου g είναι το γένος της X(Γ), ν το πλήθος των µη ισοδύναµων cusps για την Γ, το άθροισµα είναι πάνω από ένα σύνολων αντιπροσώπων των ελλειπτικών σηµείων P της Γ, e P είναι η τάξη του σταθεροποιητή του P στην εικόνα της Γ στην Γ(1)/ ± I, και µε [x] συµβολίζεται το ακέραιο µέρο του x., 35/41
ιακλάδωση Εστω g : D D, µε g(z) = z n. Αν το Q 0, τότε η g είναι τοπικός ισοµορφισµός και δεν έχουµε πρόβληµα. Εστω ότι Q = g(q) = 0, f µια άλλη συνάρτηση απ τον δίσκο στον εαυτό του µε ϱίζα στο 0, και έστω f = f g. Αν η f έχει ϱίζα τάξης m, τότε η f έχει τάξη ϱίζας mn. Αρα ord Q (f ) = nord g(q) (f) Αν τώρα ω = f(z)(dz) k για κάποια µερόµορφη f και ω = g (ω), παίρνουµε ω = f(z n )(dz n ) k = f(z n )(nz n 1 dz) k = n k f(z n )z k(n 1) (dz) k οπότε ord Q (ω ) = n ord g(q) (ω) + k(n 1), 36/41
ιακλάδωση Εστω f µια modular form ϐάρους 2k για την Γ και ω η αντίστοιχη k-fold διαφορική µορφή της στην X(Γ). Εστω ότι το σηµείο Q H απεικονίζεται µέσω της προβολής p στο P Γ\H. Τότε: 1. Αν το Q είναι ελλειπτικό µε πολλαπλότητα n, ισχύει: 2. Αν το Q είναι cusp, τότε: ord Q (f) = nord P (ω) + k(n 1) ord Q (f) = ord P (ω) + k 3. Αν το Q δεν είναι ελλειπτικό ή cusp, τότε: ord Q (f) = ord P (ω), 37/41
ιαστάσεις χώρων Εστω f M 2k (Γ) και ω το αντίστοιχο της ολόµορφο διαφορικό στην X(Γ). Η ολοµορφία της f µας δίνει nord P (ω) + k(n 1) = ord Q (f) 0 στις εικόνες των ελλειπτικών σηµείων, στις εικόνες των cusps, και στις εικόνες των άλλων σηµείων. ord P (ω) + k = ord Q (f) 0 nord P (ω) + k(n 1) = ord Q (f) 0, 38/41
ιαστάσεις χώρων Αν σταθεροποιήσουµε ένα άλλο διαφορικό ω 0 και γράψουµε ω = hω 0, τότε παίρνουµε ( ) ord P (h) + ord P (ω 0 ) + k 1 1 n 0 στις εικόνες των ελλειπτικών σηµείων, ord P (h) + ord P (ω 0 ) + k 0 στις εικόνες των cusps, και ord P (h) + ord P (ω 0 ) 0 στις εικόνες των άλλων σηµείων. Προσθέτουµε και ϑέτουµε D = div(ω 0 ) + kp i + [ )] k (1 1ei P i, cusps el.pnts έχουµε div(h) + D 0., 39/41
ιαστάσεις χώρων Από το πορίσµατα του Riemann-Roch (για επιφάνειες Riemann τώρα), ξέρουµε ότι ο ϐαθµός του divisor µιας 1-fold διαφορικής µορφής ισούται µε 2g 2, άρα ο ϐαθµός µια k-fold διαφορικής µορφής ισούται k(2g 2). Απ αυτά συµπεραίνουµε πως ο ϐαθµός του D είναι ίσος µε deg D = k(2g 2) + ν k + [ )] k (1 1ep, P όπου το άθροισµα είναι πάνω από τα ελλειπτικά P. Τα h ϐρίσκονται εξ ορισµού σε 1-1 αντιστοιχία µε τις modular µορφές ύψους 2k. Το Riemann-Roch µας λέει, επειδή deg D > 2g 2, ότι ο χώρος των h έχει διάσταση ίση µε [ )] (1 1eP deg D g + 1 = (2k 1)(g 1) + 2ν k + P 2k, 40/41
Η περίπτωση Γ(1) για κάθε k 1. [ ] [ ] k 2k dim M 2k (SL 2 (Z)) = 1 k + + 2 3, 41/41