8. POLIEDRE. 8.1 Reprezentarea poliedrelor POLIEDRE 123

PLIEDRE 123 8. PLIEDRE Un orp ărginit de uprfeţe plne, poligone regulte u neregulte e nueşte poliedru. Două feţe le unui poliedru e intereteă după o dreptă, nuită uhie, ir trei u i ulte feţe e intereteă într-un punt, nuit vârf. Un poliedru pote fi onve u onv, după u răâne în întregie, u nu, de eeşi prte oriărei feţe. În prtiă ele i foloite poliedre unt priele şi piridele. Poliedrele re u feţele poligone regulte, u elşi nuăr de lturi, e nue poliedre regulte. Aete u unghiurile diedre (unghiul fort de două feţe plne) şi poliedre (unghiul fort de feţele re e întâlne într-un vârf) egle între ele. 8.1 Repreentre poliedrelor Repreentre poliedrelor, în epură, e fe prin repreentre puntelor (vârfurilor) şi dreptelor (uhiilor) re le deterină. Atfel, un poliedru e dă, în prolee, prin oordontele vârfurilor le, uhiile reultând egente de drepte onurente. Totlitte dreptelor re liiteă un poliedru, într-un din ele trei proieţii pe plnele de proieţie, foreă un poligon înhi, nuit ontur prent. Dei, în epură, un poliedru re i trei ontururi prente ditinte. Repreentre poliedrelor, în epură, e fe u repetre regulilor de viiilitte tilite l dreptele dijunte, ât şi urătorelor riterii de viiilitte, peifie poliedrelor : - poliedrele e preupun ope, tfel, unele uhii unt viiile, ir ltele inviiile; - onturul prent ete viiil; - o fţă poliedrului ete viiilă ând onţine un punt viiil, dr nu de pe onturul prent; - dintre două feţe, re e intereteă după o uhie onturului prent, un ete viiilă şi elltă inviiilă; - două feţe unt viiile u inviiile, după u uhi de intereţie (re nu prţine onturului prent) ete viiilă u inviiilă; - uhiile e e întâlne într-un vârf din interiorul onturului prent unt viiile u inviiile, după u puntul (vârful) ete viiil u inviiil. 8.1.1 Repreentre poliedrelor regulte Confor teoreelor lui Euler, în pţiu, pot eit ini poliedre regulte : ) Tetredrul ete poliedrul u ptru feţe triunghiuri ehilterle ongruente. Pentru ontruire epurei tetredrului SABC din figur 8.1,, u ABC itută în plnul de nivel [N], tuni ând e unoşte ltur triunghiului, treuie ă e deterine înălţie S, re v fi diferenţ de otă vârfului S fţă de plnul de nivel. În proieţie oriontlă ete ortoentrul, ir înălţie S ete o tetă triunghiului dreptunghi SB. În epură (fig.8.1, ), et triunghi e ontruieşte duând o perpendiulră în pe uhi şi un r de er u entrul în puntul şi de ră. Intereţi lor deterină puntul 1, ir egentul 1 ete hir înălţie ăuttă, 1 = S şi e ontruieşte în proieţie vertilă în ărie relă, fiind în poiţi de dreptă vertilă. ) Cuul (heedrul) ete poliedrul u şe feţe pătrte ongruente. În figur 8.2 ete repreentt uul ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, u fţ ABCD itută în plnul oriontl de

124 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ A S B C N ) ) 1 "=" proieţie. Tote uhiile uului, tfel poiţiont, unt drepte perpendiulre pe unul din plnele de proieţie, ir feţele lui unt itute în plne prlele u plnele de proieţie. ) tedrul ete poliedrul u opt feţe triunghiuri ehilterle ongruente (fig.8.3, ). Digonlele AC, BD şi EF unt egle, ir în poiţi preenttă în epur din figur 8.3,, ete unt perpendiulre pe plnele de proieţie. Pătrtele ABCD, BEDF şi AECF unt plne de ietrie şi e nue pătrte digonle. d) Dodeedrul ete poliedrul u douăpreee feţe pentgone ongruente (fig.8.4, ). Feţele dodeedrului unt prlele două âte două. L repreentre în epură dodeedrului, pentgonul inferior PQSRT şi pentgonul uperior ABCDE -u e e" onidert uprine în plne de nivel prlele şi itute =d d" tfel înât un din lturi, SR, E "=" " repetiv CD, ă fie prlele D u (frontooriontle). f f" A C d e) Ioedrul ete B poliedrul re re douăei F e=f de feţe triunghiuri ehilterle ongruente (fig.8.5, ). Epur ioedrului e ontruieşte pornind de l ) ) proieţi oriontlă, înriind într-un er (de ră r), Fig.8.3 Repreentre otedrului : ) în pţiu; ) în epură uprin într-un pln de nivel, pentgonul ABCDE, u ltur DC prlelă u. Apoi e ontruieşte o piridă vând ă et pentgon, vârful în puntul K şi uhiile egle u lturile pentgonului. " " N" Fig.8.1 Repreentre tetredrului : ) în pţiu ; ) în epură B 1 B A 1 A C 1 C D 1 D 1 = 1 = 1 = 1 = 1 = ) ) 1 =d 1 1 "=d 1 " 1 "= 1 " =d "=d" d 1 =d "=" Fig.8.2 Repreentre uului: ) în pţiu ; ) în epură

PLIEDRE 125 Contruţi e repetă u pentgonul FGHIJ, uprin într-un lt pln de nivel, l o ditnţă eglă u r erului, r. Pe et pentgon e ontruieşte pirid u vârful în puntul L şi uhiile egle u ltur pentgonului (fig.8.5, ). Tote poliedrele regulte pot fi oţinute din u prin eţionări plne le etui. De eene, ele unt inriptiile şi iruriile ferei. A E h i g j f G F B L n o l k M D C J K p r t q H R I g S Q l r N h f T P e n t p q k d i j ) o ) d e E J F D A K L I C G B H e f ) ) k d i g j f l j e d l i k=l g h h Fig.8.4 Repreentre dodeedrului : Fig.8.5 Repreentre ioedrului : ) în pţiu ; ) în epură ) în pţiu ; ) în epură 8.1.2 Repreentre priei. Punt pe uprfţ pritiă Suprfţ pritiă ete genertă de o dreptă oilă G, re e prijină pe un poligon diretor [D] ABC, fiind prlelă în tipul işării u o dreptă dtă (fig.8.6). priă e oţine prin intereţi uprfeţei pritie u două plne, tfel înât fiere pln ă tie tote uhiile, eţiunile repetive purtând nuele de e, inferioră şi uperioră (fig.8.7, ). Bele priei pot ă fie uprine în plne orere (fig.8.7, ) u în plne prlele. Se onideră o priă oliă, ărei e unt în plnul oriontl, inferioră ABC şi într-un pln de nivel [N], uperioră A 1 B 1 C 1 (fig.8.7, ). Pentru ontruire unei tfel de prie, în epură, unt neere oordontele vârfurilor ei inferiore, A, B, C şi le unui vârf l ei uperiore, A 1, pre eeplu. Se treă inferioră (, ) şi uhi ( 1, 1 ), ir poi e du prlele prin vârfurile (, ) şi (, ) l G A B Fig.8.6 Generre uprfeţei pritie C D t t n n i 1 i 1 1 t 1 1 1 t 1 1 1 ) ) t 3 N i=j j =n i 1 e 2 1 4 1 n 1 f 2 e=f Fig.8.7 Repreentre priei ABCA 1 B 1 C 1 în epură 1 3 1 t 1 4 1

126 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ etă uhie, oţinându-e elellte vârfuri le ei uperiore, ( 1, 1 ), repetiv ( 1, 1 ). Pentru pri ă fie oplet repreenttă, e tileşte viiilitte uhiilor. Atfel, în proieţi oriontlă ltur ei uperiore 1 1 şi uhi 1 e intereteă prent. Aii e uprpun proieţiile oriontle e şi f. Găind proieţiile vertile e şi f e onttă ă ete viiil puntul E (re ot i re deât puntul F), dei ipliit în proieţi oriontlă ltur 1 1 ete viiilă, ir uhi 1 ete inviiilă. Confor riteriilor de viiilitte şi feţele 1 1 şi 1 1 unt inviiile. În proieţi vertilă e pune prole viiilităţii nui pentru uhi 1, elellte prţinând onturului prent. Muhi 1 ete inviiilă, fiind operită de fţ 1 1. Aet luru e tudiă oniderând drept tt 1 de pe fţ 1 1, prlelă u uhiile priei şi uprpuă în proieţie vertilă pete uhi 1. Anliând depărtările puntelor I, de pe TT 1 şi J de pe BB 1, e onttă ă puntul I ete viiil în proieţie vertilă ( I > J ), dei fţ 1 1 operă uhi 1. Dă un punt M de pe uprfţ priei ete dt prin proieţi oriontlă, pentru deterinre proieţiei vertile e găe două poiţii, tfel : prin e treă două drepte genertore, prlele u uhiile, (12,1 2 ) pe fţ ABB 1 A 1 şi (34,3 4 ) pe fţ CBB 1 C 1 (re e uprpun prţil, în proieţi oriontlă). Se intereteă ele două drepte u lini de ordine ridită din proieţi oriontlă şi e deterină proieţiile vertile şi n (fig.8.7, ). ervţie : Pentru un punt ă prţină unei prie treuie ă fie itut pe o dreptă e prţine uprfeţei pritie. În figur 8.7, pentru puntul I(i,i ) ă prţină priei, pote ă fie itut pe o dreptă orere MN, M MN u pe o genertore prlelă u uhiile T T 1, M T T 1, ele prţinând feţei ABB 1 A 1. Dă uhiile priei unt 1 1 d 1 1 1 " 1 " d 1 " 1 " perpendiulre pe e, e oţine o priă dreptă (fig.8.8), ir ând et re k=k 1 k 1 " k" ele poligone regulte, pri ete regultă. Având în vedere ă în epură feţele d " "d" " unei prie e uprpun totl u prţil, = 1 în funţie de felul etor, unei proieţii k vertile unui punt, îi pot orepunde 1 =1 două proieţii oriontle şi lterle, diă k ve două punte pe două feţe diferite le = 1 d=d 1 priei, le ăror proieţii vertile e uprpun. Eeplu : în figur 8.8, Fig.8.8 Repreentre unei priei drepte K 1 [ABB 1 A 1 ] şi K [ADD 1 A 1 ]. 8.1.3 Repreentre piridei. Punt pe uprfţ piridlă Suprfţ piridlă ete genertă de o dreptă genertore G, re tree printr-un punt fi S şi e prijină pe un poligon diretor [D] ABC (fig.8.9). Pirid ete un orp liitt de o uprfţă piridlă şi un pln re intereteă tote uhiile piridei. Seţiune plnă reulttă e nueşte ă. Pirid SABCD din figur 8.10 ete definită de ABCD (pln orere) şi vârful S. Pentru repreentre în epură piridei, e repreintă puntele re o define, A, B, C şi S, e une proieţiile oriontle şi vertile u linii ontinue u întrerupte, după u ete unt viiile u inviiile.

PLIEDRE 127 Un punt re prţine uprfeţei piridle SABCD, treuie ă fie itut pe o dreptă genertore piridei. Eeplu : puntul J(j,j ) prţine piridei, deoree ete itut pe genertore SI(i, i ), de pe fţ SAB : j i şi j i. În figur 8.11 ete repreenttă o piridă oliă, vând ABC în plnul oriontl de proieţie. Atfel, et e proieteă pe plnul oriontl în devărtă ărie, ir pe plnul vertil şi lterl, uprpuă pe. Pentru tudiul viiilităţii, în proieţi oriontlă e onideră dreptele dijunte SA şi BC u puntul de onurenţă prentă i j. Ete viiil puntul i, dei uhi, deoree puntul I re ot i re deât A S B C G D Fig.8.9 Generre uprfeţei piridle j d j d i i i =t 1=2 j 2 i=j 1 t e=f f e n =n " " " " Fig.8.10 Repreentre piridei SABCD Fig.8.11 Repreentre unei piride olie SABC u în plnul [H] puntul J de pe ltur ei BC. În proieţi vertilă, uhi ete inviiilă, fiind operită de fţ, re re depărtre i re deât uhi SB. Aet luru e tudiă oniderând drept genertore t de pe fţ, uprpuă în proieţie vertilă pete uhi. Anliând depărtările puntelor E, de pe ST şi F de pe SB, e onttă ă puntul E ete viiil în proieţie vertilă ( E > F ), dei fţ operă uhi. În proieţi lterlă tote uhiile unt viiile. Se nlieă viiilitte nui pentru uhi, re ete viiilă, vând i i re deât fţ. Dă un punt M de pe uprfţ priei ete dt prin proieţi vertilă, pentru deterinre proieţiei oriontle e găe două poiţii, tfel : prin e treă două drepte genertore, re e uprpun : 1 2. Se deterină orepondentele lor în proieţi oriontlă, 1 pe fţ şi 2 pe fţ. Se intereteă ele două drepte u lini de ordine oorâtă din proieţi vertilă şi e deterină proieţiile oriontle şi n (fig.8.11). Reultă ă, deoree proieţiile feţelor piridei pe plnele de proieţie d d e= e f = f Fig.8.12 Piridă dreptă, regultă

128 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ e uprpun, totl u prţil, unei proieţii vertile unui punt e prţine piridei, îi pot orepunde două proieţii oriontle şi lterle. Rţionentul ete nlog şi pentru o proieţie oriontlă unui punt. Dă piridei ete un poligon regult, pirid ete regultă, ir dă înălţie oinide u, pirid ete dreptă (fig.8.12). 8.2 Seţiuni plne în poliedre Poligonul reultt urre eţionării unui poliedru u un pln e nueşte eţiune plnă. În epură, poligonul de eţiune pote fi deterint prin : - vârfurile poligonului deterinte punte de intereţie dintre uhiile poliedrului şi plnul de eţiune; - lturile poligonului deterinte dreptele de intereţie dintre feţele poliedrului şi plnul de eţiune. ) Seţiune plnă într-o priă oliă Fie pri oliă triunghiulră ABCA 1 B 1 C 1 şi plnul orere [P], re o eţioneă (fig.8.13). Pentru deterinre triunghiului de eţiune, e găe puntele în re uhiile priei intereteă plnul [P], foloind plne proietnte due prin uhii. Plnul de păt [Q], trt prin uhi AA 1, intereteă plnul [P] după drept HV(hv,h v ), ir et l rândul ei, intereteă uhi AA 1 în puntul R(r,r ), 1 hv = r. Puntul R e deterină prin proieţi oriontlă. În od iilr, e deterină şi puntele S(, ) şi T(t,t ), unde uhiile BB 1 şi CC 1 intereteă plnul [P]. Reultă tfel, triunghiul RST, eţiune plnă deterintă de plnul orere în pri oliă. L repreentre triunghiului de eţiune - repett viiilitte priei : lturile triunghiului unt viiile u inviiile, după u unt itute pe feţe viiile u inviiile le priei. L eţionre unei prie u un pln proietnt, poligonului de eţiune e oţine diret, fără utili plne uilire, uprpu într-un din proieţii pe ur etui. r Q v 1 1 v1 v2 P 1 Q e f 1 g 1 1 Q t v v 1 v 2 1 P f Q 1 P h Q r h 1 h 2 t 1 1 e g 1 Q 1 Fig.8.13 Seţionre unei prie olie u un pln orere Fig.8.14 Seţionre unei prie olie u un pln de păt

PLIEDRE 129 În figur 8.14 pri oliă ABCA 1 B 1 C 1 - eţiont u plnul de păt [Q]. Triunghiul de eţiune EFG e oţine în priul rând în proieţi vertilă, interetând uhiile priei u ur vertilă Q : 1 Q = e, 1 Q = f, 1 Q = g, ir poi oorând linii de ordine şi în proieţi oriontlă, e 1, f 1, g 1. ) Seţiune plnă într-o priă dreptă 1 1 d 1 1 Se onideră pri dreptă din figur 8.15, r P eţiontă u un pln orere [P]. Poligonul de eţiune RSTU e unoşte în proieţi oriontlă, fiind uprpu pete proieţi oriontlă ei u v priei, rtu d. Pentru deterinre proieţiei d t P vertile poligonului, e ţine e de fptul ă 1 == v fiere punt re îl deterină ete uprin în plnul 1 =t= [P] şi prţine totodtă şi unei uhii priei. Atfel, prin proieţi oriontlă t e treă o 1 =r= d 1 =u=d oriontlă plnului [P], tv P, şi e deterină P ur vertilă v ei. Prin v e due proieţi vertilă oriontlei, prlelă u, ir l Fig.8.15 Seţionre unei prie intereţi u uhi 1 e oţine proieţi drepte u un pln orere vertilă t. Se proedeă în od nlog şi pentru oţinere elorllte proieţii vertile le puntelor e deterină poligonul de eţiune. ) Seţiune plnă într-o piridă oliă Prin eţionre unei piride u un pln, re întâlneşte tote uhiile e oţine un trunhi de piridă. Pentru flre poligonului de eţiune deterint de plnul orere [P] în pirid oliă SABC, e proedeă şi l priă, găind puntele în re uhiile piridei intereteă plnul [P], utiliând plne uilire proietnte de păt (fig.8.16). Q P r r v v 1 t v 2 v u v 1 v 2 t u Q h 1 h 2 Q P P Q r r t t u u Q Q h Fig.8.16 Seţionre unei piride olie u un pln orere Fig.8.17 Seţionre unei piride olie u un pln de păt

130 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ Plnul [Q] du prin uhi SA intereteă plnul [P] după drept HV(hv,h v ), re l rândul ei, intereteă uhi SA în puntul R(r,r ), un vârf l poligonului de eţiune. L fel e proedeă şi u elellte uhii, oţinându-e ueiv vârfurile T(t,t ) şi U(u,u ). Dă plnul de eţiune ete un pln proietnt, ontruţi e iplifiă, deoree Q Q d d t=r p e= p e r t n u=n f = u f Q 8.3 Intereţi unui poliedru u o dreptă proieţi poligonului de eţiune pe plnul de proieţie, fţă de re ete proietnt plnul ent, e uprpune pe ur etui. Pirid oliă SABC, din figur 8.17, - interett u plnul de păt [Q], reultând triunghiul RTU, u proieţi vertilă r t u uprpuă pe ur vertilă Q. d) Seţiune plnă într-o piridă dreptă Fie pirid dreptă SABCDEF şi plnul de păt ent [Q]. Poligonul de eţiune reultă diret în proieţi vertilă, n r p t u, uprpuă pe ur vertilă Q plnului de eţiune. Pentru deterinre proieţiei oriontle etui e du linii de ordine din proieţiile vertile până l intereţi u uhiile piridei în proieţi oriontlă, deterinând puntele, n, r, p, t şi u (fig.8.18). dreptă intereteă un poliedru onve în el ult două punte, itute pe două feţe ditinte le lui. Pentru deterinre lor e due un pln ent prin dreptă, re intereteă poliedrul după o eţiune plnă, ir puntele de intereţie dintre onturul etei eţiuni şi dreptă, unt puntele ăutte. Plnul ent du prin dreptă pote deterin o eţiune trnverlă în poliedru, în re plnul ete proietnt fţă de unul din plnele de proieţie, u o eţiune longitudinlă. 8.3.1 Intereţi unei prie u o dreptă Fig.8.18 Seţionre unei piride drepte u un pln de păt ) Metod eţiunilor trnverle Se onideră pri triunghiulră oliă ABCA 1 B 1 C 1 şi drept D (fig. 8.19, ). Pentru deterinre puntelor de intereţie dintre dreptă şi priă, prin dreptă e due un pln de păt [Q] re deterină eţiune plnă triunghiulră 123, eţiune re ete interettă de drept D în puntele şi, puntele de intereţie u pri, ăutte. În epură (fig. 8.19, ), ur vertilă Q plnului de păt ete uprpuă u proieţi vertilă d dreptei, P d. Triunghiul de eţiune e deterină, pri dtă, în proieţie vertilă, 1 2 3, fiind dt de puntele de intereţie dintre ur Q şi uhiile priei, ir poi duând linii de ordine e găe şi proieţiile oriontle 1, 2 şi 3. Proieţi oriontlă d dreptei intereteă triunghiul de eţiune în puntele şi, d 12 = şi d 23 =. Ridiând linii de ordine din şi, până pe proieţi vertilă d, e deterină puntele şi, proieţiile vertile le puntelor de intereţie u pri.

PLIEDRE 131 Studiind poiţi puntelor de intereţie pe feţele priei, e deterină viiilitte dreptei : în proieţi oriontlă porţiune de l l uhi 1 ete inviiilă, ir în e vertilă, porţiune 1 3 ete inviiilă, fiind operită de fţ 1 1. [V] A [Q] 1 B 2 C B 1 A 1 C 1 ) D 3 [H] ) Metod eţiunilor longitudinle Fie pri triunghiulră oliă ABCA 1 B 1 C 1, u ABC în plnul oriontl de proieţie şi drept D, re o intereteă în două punte (fig. 8.20, ). Pentru flre etor punte e foloeşte un pln uilir ent [P], du prin drept D, re deterină în priă o eţiune longitudinlă [1234], prlelă u uhiile priei. Plnul ent [P] ete deterint de drept dtă şi o dreptă, onurentă u et şi prlelă u uhiile priei. În epură (fig.8.20, ), e treă drept (δ,δ ) prlelă u uhiile priei şi onurentă u drept D(d,d ) în puntul M(, ). Se deterină urele oriontle H(h,h ) şi H 1 (h 1,h 1 ) le elor două drepte şi e une proieţiile oriontle le urelor, oţinându-e ur oriontlă plnului ent, P = h h 1. Prlelogrul de eţiune [1234] re o ltură eglă u egentul 12, după re ur oriontlă P tie inferioră d d=q 1 1 2 3 Fig.8.19 Repreentre intereţiei unei prie u o dreptă etod eţiunilor trnverle : ) în pţiu ; ) în epură 1 ) 2 1 3 1 1 1 1 [V] H 1 B 1 4 3 D C 1 A 1 M [P] B P H 1 2 C A [H] ) P 2 d 1 d h 1 h 1 ) 1 3 1 1 1 h h 1 4 1 Fig.8.20 Repreentre intereţiei unei prie u o dreptă etod eţiunilor longitudinle - ) în pţiu ; ) în epură

132 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ priei, ir lte două, prlelele trte prin 1 şi 2 l uhiile priei. Proieţi oriontlă d dreptei intereteă prlelogrul de eţiune în puntele şi. Pentru deterinre proieţiilor vertile, şi le puntelor de intereţie, e ridiă linii de ordine din şi până pe proieţi vertilă d dreptei, u e deterină proieţi vertilă prlelogrului de eţiune şi e intereteă et u proieţi d. În proieţi oriontlă viiilitte dreptei D e deterină oervând ă puntul de intereţie ete pe o fţă viiilă, ir puntul pe o fţă inviiilă priei, dei proieţi d ete inviiilă din puntul până l uhi 1. În proieţi vertilă, d ete inviiilă de l uhi 1 l uhi 1, fiind operită de fţ 1 1. 8.3.2 Intereţi unei piride u o dreptă ) Metod eţiunilor trnverle În figur 8.21, e dă o piridă oliă SABC şi o dreptă D(d,d ). Pentru deterinre puntelor în re drept intereteă pirid, e utilieă un pln de păt [Q], re e due prin drept D. Aet deterină eţiune plnă triunghiulră 123, re intereteă drept D în puntele şi, puntele de intereţie dintre dreptă şi piridă. În epură (fig.8.21, ), ur vertilă plnului de păt ete uprpuă u proieţi vertilă dreptei de intereţie : Q d. Se găeşte proieţi vertilă poligonului de eţiune, 1 2 3, deterintă de puntele în re ur Q intereteă uhiile piridei. Duând liniile de ordine orepunătore e deterină proieţi oriontlă poligonului de eţiune, 123, re ete interettă de proieţi oriontlă d dreptei în puntele şi. Se ridiă linii de ordine până pe proieţi vertilă d dreptei şi e deterină şi proieţiile vertile şi, le puntelor de intereţie. Drept D ete inviiilă în proieţie oriontlă între şi uhi, ir în proieţi vertilă între şi 3. [V] S Q=d A [Q] B 1 2 D 3 C [H] 1 3 ) d ) 1 2 3 2 Fig.8.21 Repreentre intereţiei unei piride u o dreptă etod eţiunilor trnverle : ) în pţiu ; ) în epură

PLIEDRE 133 ) Metod eţiunilor longitudinle Pentru deterinre puntelor în re drept D(d,d ) intereteă pirid triunghiulră oliă SABC, e foloeşte un pln uilir [P], deterint de drept D şi vârful piridei S (fig 8.22, ). Aet pln deterină în piridă eţiune longitudinlă S12, re ete interettă de drept D în puntele şi. În epură (fig8.22, ), e deterină ur oriontlă P plnului [P], duând prin vârful S(, ) o dreptă (δ,δ ) onurentă u drept D în puntul M(, ) şi deterinând urele oriontle H(h,h ) şi H 1 (h 1,h 1 ) : P = h h 1. Ur oriontlă P intereteă proieţi oriontlă ei piridei după egentul 12, generând în piridă eţiune longitudinlă 12. Intereţi proieţiei oriontle d dreptei u proieţiile eţiunii longitudinle deterină proieţiile şi. Ridiând linii de ordine e oţin şi proieţiile vertile şi pentru puntele de intereţie dintre drept D şi piridă. Dă l trre lturilor eţiunii longitudinle e repetă viiilitte feţelor pe re e găe, e deterină uşor şi viiilitte dreptei de intereţie. Proieţi vertilă d dreptei ete inviiilă între puntul şi uhi, ir proieţi oriontlă d ete inviiilă de l puntul până l uhi. [V] A B D 1 P [P] 2 S M H H 1 C [H] P 1 d ) ) d 2 h 1 h 1 h h Fig.8.22 Repreentre intereţiei unei piride u o dreptă etod eţiunilor longitudinle - ) în pţiu ; ) în epură 8.4 Defăşurre uprfeţelor poliedrle Cunoştere regulilor de ontruţie defăşurtelor unor uprfeţe poliedrle ete neeră în tivitte tehniă, vând în vedere ă unele piee oponente le şinilor şi intlţiilor e oţin prin înfăşurre din tlă. Defăşurre unei uprfeţe poliedrle e fe prin duere feţelor uprfeţei într-un ingur pln. Atfel, l defăşurre unui poliedru e oţine o figură geoetriă plnă, dtă de lăturre ueivă poligonelor feţelor etui. Pentru ontrui grfi defăşurt unui poliedru treuie ă e unoă for şi dieniunile feţelor lterle ât şi ele re o deliiteă.

134 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ 8.4.1 Defăşurre priei Pentru defăşurre uprfeţei lterle unei prie treuie ă e unoă devărt ărie unei eţiuni plne norle ei (perpendiulră pe uhii), tfel înât ă e potă efetu defăşurt în linie dreptă poligonului de eţiune şi ărie relă uhiilor. ) Defăşurre priei drepte Se onideră pri dreptă u ABCD un ptrulter orere (fig.8.23, ). Pentru deterinre defăşurtei priei, e defăşoră onturul unei eţiuni norle, re în et ete hir priei. Atfel, egentul B 0 C 0 D 0 ete egl u perietrul ptrulterului de ă ABCD, B 0 =, B 0 C 0 =, C 0 D 0 = d, D 0 = d (fig.8.23, ). Având în vedere ă direţiile uhiilor unt perpendiulre pe priei, în puntele, B 0, C 0, D 0 e ridiă perpendiulre egle u proieţiile uhiilor din proieţi vertilă, unde ete e proieteă în devărtă ărie. Pentru ontruire ei pe defăşurtă, e îprte ptrulterul ABCD în două triunghiuri, ABC şi ADB, foloind digonl BD şi e ontruie ete triunghiuri lăturte, pornind de l ltur B 0 C 0 eitentă pe defăşurt uprfeţei lterle. Dă pri ete eţiontă u un pln [P] (pln de păt) e oţine trunhiul de priă ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (fig.8.23, ). Defăşurt trunhiului de priă - repreentt uprpu pete defăşurt priei, diă - i repreentt defăşurt eţiunii plne A 1 B 1 C 1 D 1, prin puntele A 10, B 10, C 10, D 10, ăurând uhiile trunhiului de priă din proieţi vertilă: A 10 = 1, B 0 B 10 = 1, C 0 C 10 = 1, D 0 D 10 = d d 1 (fig.8.23, ). Pentru ontruire pe defăşurtă ei uperiore trunhiului de priă, ete neer ă e deterine devărt ărie eţiunii plne A 1 B 1 C 1 D 1. Atfel, - făut rtere plnului ent [P], îpreună u eţiune, pe plnul vertil de proieţie şi - deterint ptrulterul 10 10 10 d 10. Pe defăşurtă et ptrulter - repreentt pleând de l ltur C 10 D 10 şi foloind digonlele 10 10 şi 10 d 10, u jutorul ăror -u deterint puntele A 10 şi B 10. P 1 1 10 = 1 10 d 10 d 1 d 1 P 10 B 10 A 10 A 10 A B 10 P 10 0 D 10 C 10 B 0 C 0 D 0 = 1 =1 D 0 d=d 1 P ) ) Fig.8.23 Defăşurre priei drepte : ) epur priei drepte ; ) defăşurt priei drepte şi trunhiului de priă

PLIEDRE 135 ) Defăşurre priei olie Fie pri triunghiulră oliă ABCDEF, u ABC în plnul oriontl de proieţie (fig.8.24, ). Muhiile priei unt drepte orere, ir pentru defăşur uprfţ pritiă dtă ete neer, în priul rând, ă e unoă devărt ărie uhiilor. Se pote pli un dintre etodele Geoetriei deriptive, e i prtiă în et fiind hire plnului de proieţie. Atfel, e lege un nou pln vertil de proieţie [V 1 ], prlel u uhiile priei (uhiile devin frontle), ee e în epură e terilieă prin trre liniei de păânt 1 1 prlelă u proieţiile oriontle le uhiilor : 1 1 d e f. B inferioră răâne în plnul oriontl de proieţie, dei nou proieţie vertilă ei inferiore, 1 1 1 ete pe 1 1, ir nou ă uperioră răâne în plnul de nivel de otă, proietându-e pe noul pln vertil în d 1 e 1 f 1. În nou proieţie vertilă uhiile priei unt în devărtă ărie : 1 d 1 = AD, 1 e 1 = BE, 1 f 1 = CF. Al doile p în defăşurre priei ete deterinre unei eţiuni norle în priă. Pentru et e due un pln norl pe uhii, [P] : P d, P 1 d 1, e deterină eţiune plnă MNQ(nq, n q ) şi poi prin rtere pe plnul oriontl de proieţie, e deterină devărt ărie etei eţiuni, 0 n 0 q 0. Seţionre priei u plnul [P] e pote fe oriunde pe lungie uhiilor, deoree eţiune norlă re eeşi ărie. Adevărt ărie eţiunii norle ete neeră pentru unoşte lungiile lturilor poligonului re o deterină şi pentru pute repreent poi, trnfort prin defăşurre etei. Pe o linie dreptă e ăoră lungie lturilor triunghiului de eţiune şi e oţin puntele M 0, N 0, Q 0, M 0, M 0 N 0 = 0 n 0, N 0 Q 0 = 0 n 0, Q 0 M 0 = q 0 0. Având în vedere ă uhiile unt norle pe eţiune, vor fi norle şi în defăşurtă pe trnfort prin defăşurre eţiunii. În puntele M 0, N 0, Q 0 şi M 0 e du perpendiulre pe re e ăoră lungiile uhiilor, de o prte şi de lt eţiunii norle: M 0 = 1, D 0 M 0 = d 1, B 0 N 0 = 1 n, E 0 N 0 = e 1 n, C 0 Q 0 = 1 q, F 0 Q 0 = f 1 q. d e f B0 n P e n 0 q q 0 f 1 1 1 1 d 1 q P 0 n P ) d 1 e 1 f 1 ) M 0 D 0 N 0 Q 0 E 0 C 0 F 0 M 0 D 0 Fig. 8.24 Defăşurre priei olie : ) epur priei olie ; ) defăşurt priei olie

136 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ Unind puntele, B 0, C 0, şi D 0, E 0, F 0, D 0 e oţine defăşurt uprfeţei pritie, re e opleteă u ele două e. În figur 8.24, - repreentt nui inferioră B 0 C 0, pornind de l ltur B 0 C 0. ) Defăşurre priei olie u uhiile frontle Pentru trre defăşurtei priei din figur 8.25, e urăreşte etodologi de l puntul ), u oervţi ă uhiile unt în devărtă ărie în proieţi vertilă, fiind drepte frontle. Atfel, e due un pln ent [P] (pln de păt), perpendiulr pe uhii, e deterină eţiune norlă [KLMN], e rte plnul [P], îpreună u eţiune, pe plnul oriontl de proieţie şi e deterină devărt ărie etei eţiuni, [k 0 l 0 0 n 0 ]. Trnfort prin defăşurre etei eţiuni ete egentul K 0 L 0 M 0 N 0 (perietrul eţiunii norle rătute). Prin ete punte e du perpendiulre şi e ăoră pe ele lungiile orepondente uhiilor, în figur 8.25,. Aete e iu din proieţi vertilă : A 10 K 0 = 1 k, K 0 = k, B 10 L 0 = 1 l, L 0 B 0 = l,... Defăşurt uprfeţei lterle priei e opleteă u ele priei, ete ontruindu-e u jutorul digonlelor B 0 D 0 = d şi C 0 = şi lturilor, re e uno din proieţi oriontlă. C 10 d P d k k l n l n P 0 P 1 n 0 l 0 1 k 0 1 d 1 1 1 d 1 1 A 10 K 0 B 10 L 0 B 0 C 0 ) ) M 0 D 10 D 0 N 0 K 0 D 0 A 10 Fig.8.25 Defăşurre priei olie u uhiile frontle : ) epur priei olie frontle ; ) defăşurt priei olie frontle ervţie : Pentru deterinre defăşurtei unei prie e prurg urătorele etpe : 1 - e deterină devărt ărie uhiilor priei (dă ete neer); 2 - e eţioneă pri u un pln norl pe uhii; 3 - e deterină devărt ărie eţiunii norle; 4 - pe o linie dreptă e treă defăşurt eţiunii norle; 5 - e ăoră pe perpendiulre trte prin puntele de pe defăşurt eţiunii norle, lungiile uhiilor; 6 - e une etreităţile uhiilor şi e repreintă ele, lăturt unei feţe de pe defăşurtă.

PLIEDRE 137 8.4.2 Defăşurre piridei Pentru defăşurt lterlă unei piride treuie ă e unoă devărt ărie uhiilor re o deterină, ât şi lturilor ei. ) Defăşurre piridei olie Fie pirid oliă SABC, u ABC în plnul oriontl de proieţie (fig.8.26, ). Lturile ptrulterului de ă unt în devărtă ărie în proieţi oriontlă, ir pentru deterinre devărtei ării uhiilor, e pliă un din etodele Geoetriei deriptive. În et, e i prtiă ete etod rotţiei. Se pliă o rotţie de nivel, tuturor uhiilor piridei, în jurul unei e vertile, Z(, ), re tree prin vârful S(, ) l piridei. Muhiile e trnforă în drepte frontle şi e proieteă în devărtă ărie pe plnul vertil de proieţie, 1 1 = SA, 1 1 = SB şi 1 1 = SC. Pentru reli defăşurt piridei e pote tr, undev în fr epurei, o dreptă pe re ă e ăore un egent egl u un dintre uhii şi ă e înepă u ontruire feţei re onţine e uhie, în figur 8.26,. Aii defăşurt îneput de l fţ SAB. S- trt egentul de dreptă S 0 = 1 1. Pentru deterinre puntului B 0, -u trt două re de er : unul u entrul în S 0, de ră 1 1 = S 0 B 0 şi ltul u entrul în, de ră = B 0. L intereţi lor - deterint vârful B 0 şi tfel, fţ S 0 B 0 defăşurtei piridei. Celellte feţe e ontruie iilr şi lăturte priei feţe. Defăşurt uprfeţei lterle e opleteă prin ontruţi triunghiului de ă, lăturt lturii B 0 C 0. Dă în prtiă e ere lolire pe defăşurtă puntului M(, ), itut pe uhi SA şi puntului K(k,k ), itut pe fţ SAC, e proedeă tfel : - pentru puntul M : e găeşte proieţi 1 pe uhi rotită, prin trnltre proieţiei vertile prlel u, până pe uhi 1 1, e ăoră lungie egentului 1 1 şi e trnpune pe defăşurtă pe uhi S 0, 1 1 = S 0 M 0 ; = 1 1 L 0 r = l l k k == 1 k 1 1 1 l 1 1 1 1 l 1 1 r = 1 l 1 K 0 S 0 M 0 C 0 B 0 r = r = ) ) Fig.8.26 Defăşurre piridei triunghiulre olie : ) epur piridei triunghiulre olie ; ) defăşurt piridei triunghiulre olie

138 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ - pentru puntul K : e deterină drept genertore SL(l, l ) pe re ete itut puntul K, k l, k l, e efetueă rotţi de nivel pentru etă dreptă, e deterină proieţi k 1 pe genertore rotită, e găeşte poiţi genertorei pe defăşurtă, S 0 L 0 şi poi e rheă pe e puntul K 0, luând egentul 1 k 1 = S 0 K 0. ) Defăşurre unei piride drepte şi trunhiului de piridă Se onideră pirid dreptă SABCDEF din figur 8.27, u ABCDEF un poligon u şe lturi, itut în plnul oriontl de proieţie u entrul în. Prin eţionre piridei u un pln [Q] e oţine trunhiul de piridă uprin între ă şi eţiune plnă deterintă de plnul [Q]. Pentru defăşurre trunhiului de piridă ete neer ă e fă, i întâi, defăşurre piridei ărei îi prţine. F 0 E 0 M 0 U 0 T 0 M 0 P 0 D 0 N 0 P 0 =S 0 R 0 Q Q =M 0 u=n t=r p d e= R 0 N 0 u 1 =n 1 t 1 =r 1 f = =A 0 B 0 C 0 0 n 0 r 0 u 0 t 0 p 0 Q d p e r t n u f Fig.8.27 Defăşurre piridei drepte şi trunhiului de piridă Defăşurt piridei e fe pornind de l uhi SA, u oervţi ă et ete în poiţi de frontlă, dei în proieţi vertilă e proieteă în devărtă ărie, = SA şi ă tote elellte uhii u lungie eglă u et. Atfel, unoând lungie uhiei şi luând din proieţi oriontlă lungiile lturilor ei, -u ontruit ele şe triunghiuri lăturte re lătuie defăşurt piridei. Poligonul de eţiune făut de plnul [Q] în piridă, [MNRPTU], ete deterint diret, prin intereţi dintre ur vertilă Q şi uhiile piridei. Defăşurre trunhiului de piridă e oţine prin trre pe defăşurt piridei trnfortei prin defăşurre poligonului de eţiune M 0 N 0 R 0 P 0 T 0 U 0 M 0, re ete o linie frântă.

PLIEDRE 139 Aet e pote fe în două oduri : 1 - prin rotire fieărei uhii, îpreună u puntele eţiunii, în poiţi de frontlă (uprpuă pete uhi SA) şi trnpunere puntelor eţiunii pe uhiile orepunătore de pe defăşurtă ; Eeplu : proieţi t r e trnlteă prlel u până pe proieţi vertilă genertorei frontle, în puntul t 1, de unde e roteşte până pe genertore de pe defăşurtă ărui îi prţine : t 1 pe genertore S 0 E 0, în T 0, repetiv r 1 pe genertore S 0 C 0, în R 0 ; 2 prin deterinre devărtei ării eţiunii (rtere pe plnul oriontl de proieţie, plnului de păt [Q], îpreună u eţiune), [ 0 n 0 r 0 p 0 t 0 u 0 ], ăurre fieărei lturi eţiunii şi trnpunere ei pe defăşurtă, pleând din M 0 u egentul M 0 N 0 = 0 n 0, N 0 R 0 = n 0 r 0,..., U 0 M 0 = u 0 0. Defăşurt trunhiului de piridă e opleteă u uperioră, ărei ărie e unoşte după rtere pe plnul oriontl de proieţie şi dă ete neer şi u inferioră, ărei ărie ete e din proieţi oriontlă. ervţie : Defăşurre unei piride e fe urărind pşii de i jo : 1 e deterină devărt ărie uhiilor piridei; 2 e ontruie, în ordine, triunghiurile re lătuie feţele lterle le piridei; 3 e ontruieşte piridei, lăturt unei din feţe. 8.5 Intereţi uprfeţelor poliedrle Din intereţi două uprfeţe poliedrle reultă, în generl, unul u două poligone. Aete pot fi plne u trâe în pţiu. Poligonele de intereţie e pot deterin printr-un din etodele de i jo : 1 deterinre puntelor poligonului, punte în re uhiile unui poliedru intereteă feţele eluillt poliedru şi reipro; 2 deterinre lturilor poligonului, egente de drepte reultte din intereţi reiproă feţelor elor două poliedre între ele. Se utilieă de oiei pri etodă, reduând prole intereţiei două poliedre l intereţi unei drepte u un poliedru, proleă trttă în upitolul 8.3. Deterinre puntelor liniei de intereţie e fe u jutorul unor plne uilire, onvenil lee şi portă nuele de etod plnelor ente oune. În reolvre intereţiei dintre două poliedre, în epură, e repetă urătorele etpe: 1) deterinre plnelor uilire ente utile; 2) deterinre puntelor de intereţie dintre uhiile unui poliedru şi feţele eluillt; 3) deterinre poligonului de intereţie prin unire într-o nuită ordine puntelor de intereţie flte; 4) deterinre viiilităţii lturilor poligonului de intereţie. Contruţi plnelor uilire ente depinde de ntur uprfeţelor interette. L intereţi poliedrelor e întâlne urătorele uri : ) intereţi două piride plnele uilire ente tre prin vârful piridelor; ) intereţi două prie - plnele uilire ente unt prlele u uhiile prielor; ) intereţi unei piride u o priă - plnele uilire ente tre prin vârful piridei şi unt prlele u uhiile priei. rdine de unire puntelor poligonului de intereţie e fe utiliând etod oilului u etod digrelor defăşurtelor onvenţionle după u e v vede în eeplele urătore.

140 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ Viiilitte lturilor poligonului de intereţie e deterină odtă u unire puntelor de intereţie dintre uhii şi feţe, vând în vedere ă o ltură poligonului ete viiilă dă reultă din intereţi două feţe viiile le poliedrelor, în ontrr ltur ete inviiilă. Dă poligonul de intereţie ete un poligon ontinuu, intereţi e nueşte rupere, ir dă în ur intereţiei reultă două poligone, intereţi ete o pătrundere. Ntur intereţiei dintre două poliedre pote fi tilită înă de l trre plnelor ente oune. Atfel, odtă tilită direţi lor, ând ele elor două poliedre unt în elşi pln (plnul oriontl), e du urele oriontle le plnelor prin vârfurile unei e, ete interetând elltă ă în două punte (fig.8.28). Sunt utile nui ele plne re intereteă ele e, el puţin într-un punt. Priul şi ultiul dintre ete unt nuite plne liită, ir u jutorul lor e tileşte tipul de intereţie dintre poliedre. Dă plnele liită epră porţiuni netrăătute de plnele ente pe ele e le poliedrelor, intereţi ete o rupere, poligonul de intereţie fiind o linie frântă ontinuă, ir dă ete porţiuni unt pe eeşi ă, intereţi ete o pătrundere, poligonul de intereţie depărţindu-e în două, unul l intrre şi ltul l ieşire unui dintre poliedre din elăllt. În figur 8.28,, urele oriontle le plnelor liită unt P q şi P, porţiunile eprte de ete unt ele hşurte - intereţi ete o rupere, ir în figur 8.28,, urele oriontle le plnelor liită unt P şi P, intereţi fiind o pătrundere. P q P n P P 1 2 5 6 ) 7 q 3 4 8 P n P n P P 3 ) P q 1 2 4 5 7 8 6 n P Fig.8.28 Stilire tipului de intereţie dintre poliedre : ) rupere ; ) pătrundere 8.5.1 Intereţi două piride Fie piridele triunghiulre olie, S 1 MNP şi S 2 ABC, u ele în plnul oriontl de proieţie (fig.8.29). Pentru deterinre poligonului de intereţie dintre ele două piride e treă, în priul rând, plnele ente oune. Aete treuie ă onţină vârfurile elor două piride şi ă treă pe rând prin uhiile etor. Având în vedere ă piridele u în plnul oriontl de proieţie, ete ufiientă deterinre urelor oriontle le etor plne, re vor fi dte de ur oriontlă h, dreptei (, ) re uneşte vârfurile piridelor şi de urele uhiilor, re unt înăşi vârfurile triunghiurilor elor. Plnul uilir ent, du prin ur h şi printr-un vârf l ei unei dintre piride, deterină în elltă o eţiune plnă longitudinlă, de foră triunghiulră, re v fi interettă u uhi prin re - du plnul, reultând punte le poligonului de intereţie. Plnele ente utile, în et, unt ele due prin vârfurile,, n şi, ir dintre ete plnele [P ] şi [P ] unt plne liită, ele deterinând porţiuni netrăătute de plnele ente pe ele e (porţiunile hşurte). Reultă ă intereţi ete o rupere.

PLIEDRE 141 Plnul [P ] du prin uhi din intereteă pirid S 2 ABC după triunghiul (1 2 2, 1 2 2 ), ir et l rândul lui ete interett de uhi MS 1 în puntele M 1 ( 1, 1 ) şi M 2 ( 2, 2 ). Aete punte unt puntele în re uhi MS 1 înţepă feţele piridei S 2 ABC. În od nlog, e deterină puntele C 3 ( 3, 3 ), C 4 ( 4, 4 ) şi repetiv B 7 ( 7, 7 ), B 8 ( 8, 8 ), unde uhiile CS 2, repetiv BS 2 înţepă feţele piridei S 1 MNP şi de eene, puntele N 5 (n 5,n 5 ), N 6 (n 6,n 6 ) unde uhi NS 1 înţepă feţele piridei S 2 ABC. Pentru tilire ordinii de unire puntelor de intereţie oţinute i u e pliă un din ele două etode : - etod oilului : e onideră un punt oil re e depleă pe poligonul de intereţie din pţiu, oupând oneutiv poiţiile M 1, C 3, B 7, M 2, N 6, B 8, N 5, C 4 şi M 1 2 1 2 n 6 n 5 7 8 1 4 3 h 1 3 4 P p n n 2 5 1 3 4 - h P P n P 6 2 n n 5 6 7 8 7 p 8 1 2 Fig.8.29 Intereţi două piride olie

142 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ prurgând tfel întreg poligonul. Dă e proieteă, prlel u uhiile piridelor, repetiv u feţele etor, fiere poiţie ouptă de puntul oil în pţiu, pe ele două e, e oţin puntele, 3, 7, 3,, 4, n, 8, n, 4,, pe np, repetiv puntele 1,,, 6, 2, 6,, 5,, 1, pe. Adiă, în tip e puntul oil prurge poligonul de intereţie, proieţiile lui prurg ele două e, de două ori fiere porţiune, fără trăte şi on hşurtă. Între poiţiile puntului oil şi proieţiile le pe e e reeă o legătură iunivoă. Metod oilului utilită pentru unire puntelor de intereţie e eă pe prinipiul inver : pornind de l proieţiile puntului oil din pţiu pe ele două e, proieţii itute pe eeşi ură unui pln uilir ent, e deterină puntele din pţiu. Pentru urărire uşoră regulii oilului e întoeşte telul 8.1, în re e înriu puntele orepunătore în ordine de prurgere pe ele două e, ât şi puntele poligonului de intereţie. Dă e porneşte de l plnul liită [P ], proieţi oilului pe MNP, în plnul oriontl, pleă din puntul (pre tâng u pre drept), ir pe ABC din puntul 1 u 2; - le puntul 1. Aetor două punte le orepund, în pţiu, puntul M 1 ( 1, 1 ). Proieţiile oilului e depleă pe ele două e în enul rătt de ăgeţi, întâlnind în ontinure plnul ent [P ] în puntul, pe, şi în puntul 3, pe np, generând puntul C 3 ( 3, 3 ) în pţiu. Puntul M 1 e uneşte u puntul C 3, forând o ltură poligonului de intereţie. Prurgând în ontinure ele, proieţiile oilului întâlne plnul ent [P n ] în puntul 5, pe şi într-un punt nott u liniuţă (-), pe np, deoree nu genereă punt în pţiu. Plnul liită [P ] ete întâlnit de proieţiile oilului în puntul 7 pe np şi în puntul pe, reultând puntul B 7 ( 7, 7 ), re e uneşte u puntul C 3. Proieţi oilului pe np e întore pre puntul, ir proieţi oilului de pe ontinuă pre puntul 6. rdine de unire puntelor, în ontinure, pote fi urărită în telul 8.1. Tot ii ete tilită şi viiilitte lturilor poligonului de intereţie în ele două proieţii, fiind repreentte u linie ontinuă feţele (repetiv lturile elor) văute şi u linie întreruptă feţele nevăute. Viiilitte lturilor poligonului de intereţie e oţine pe prinipiului ă o ltură viiilă e găeşte pe feţe viiile le elor poliedre, ltfel ete inviiilă. În proieţi oriontlă e oţin viiile egentele : 2 n 6, n 6 8 şi 4 1, ir în proieţi vertilă, egentele : 3 7, 7 2, n 6 8 şi 8 n 5. Telul 8.1 Pirid S 1 MNP 3-7 - 3 4 n 8 n 4 Pirid S 2 ABC 1 5 6-2 - 6 5 1 Poligonul de intereţie (PI) 1 3-7 - - 2 - n 6 8 n 5 4 1 Pir. S 1 MNP Viiilitte în plnul [H] [V] Pir. S 2 ABC PI Pir. S 1 MNP Pir. S 2 ABC PI - etod digrelor defăşurtelor onvenţionle : e onideră o defăşurre proitivă elor două piride, uprpue, duând uhiile prlele şi înepând u uhiile re nu prtiipă l intereţie (dă ete eită) l fiere piridă.

PLIEDRE 143 În figur 8.30, ete repreenttă digr pentru proieţi pe plnul oriontl de proieţie, înepând pentru pirid S 2 ABC u uhi 2, ir pentru pirid S 1 MNP, u uhi 1 p. S- fort tfel o reţe de linii prlele uprpue. Convenţionl uhiile piridelor u fot due prlele, u tote ă ele unt onurente în vârful piridelor. Sheti, uprfţ dintre două linii oneutive le reţelei repreintă o fţă piridei. Se noteă u enul (+) feţele viiile, ir u enul (-) feţele inviiile din proieţi oriontlă piridelor. Se pun pe digră puntele în re uhiile unei piride intereteă feţele eleillte (u eepţi uhiilor 1 p şi 2 ). Eeplu : uhi 1 n intereteă fţ 2 în puntul n 6 şi fţ 2 în puntul n 5. Unire puntelor de intereţie e fe ţinând e ă o ltură poligonului de intereţie reultă intereţi două feţe, ir din punt de vedere l viiilităţii, ă lini re uneşte două punte de intereţie ete viiilă, dă feţele din intereţi ăror - oţinut unt viiile. Digr e repetă, u eeşi trutură şi pentru proieţi piridelor pe plnul vertil de proieţie (fig.8.30, ). Cele două digre unt identie, i puţin în e priveşte viiilitte, l e din figur 8.30, ţinându-e e de viiilitte feţelor piridelor din proieţi vertilă. p n p + + _ + _ + 8 n 5 n 6 4 2 7 3 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ) p n p + _ + + + _ n 6 8 n5 2 7 4 1 3 1 1 1 1 Fig.8.30 Digr defăşurtelor onvenţionle pentru intereţi priă - priă: ) proieţi pe plnul oriontl ; ) proieţi pe plnul vertil 8.5.2 Intereţi unei piride u o priă Fie pirid triunghiulră oliă SABC şi pri triunghiulră oliă MNQM 1 N 1 Q 1, u ele itute în plnul oriontl de proieţie (fig.8.31). Pentru flre poligonului de intereţie dintre ele două orpuri, e deterină plnele ente oune. Aete tre prin vârful piridei şi unt prlele u uhiile priei. Plnele ente unt deterinte de două drepte : drept D(d,d ), re tree prin vârful piridei şi ete prlelă u uhiile priei şi uhiile fieărui poliedru în prte. Deoree poliedrele u ele în plnul oriontl de proieţie, ete ufiientă deterinre urelor oriontle le plnelor uilire, re unt dte de ur oriontlă h dreptei D şi vârfurile triunghiurilor de ă. Aete plne ente deterină în ele două poliedre eţiuni plne longitudinle. Plnele utile unt plnele due prin ur h şi prin vârfurile, şi, dintre re plnele [P ] şi [P ] unt plne liită. Porţiunile netrăătute de plnele ente (porţiunile hşurte) răân pe eeşi ă, nq; reultă ă intereţi elor două orpuri ete o pătrundere şi e oţin două poligone de intereţie. Plnul uilir [P ] intereteă pri după un prlelogr u un din lturi dtă de egentul 12, după re ur oriontlă P intereteă nq. Muhi

144 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ intereteă prlelogrul de eţiune în puntele 1 şi 2, punte le poligonului de intereţie. Plnul uilir [P ] intereteă priei după egentul 34, generând în priă un prlelogr eţiune, e ete interett de uhi în puntele 3 şi 4. Anlog, u jutorul plnului liită [P ] e deterină puntele 5 şi 6, în re uhi intereteă pri. dtă deterinte puntele poligonului de intereţie în proieţie oriontlă, u jutorul liniilor de ordine orepunătore, e găe puntele şi în proieţi vertilă. q 1 n 1 1 d 1 5 3 6 4 2 h h n n 1 P 3 q 4 2 2 P 5 6 q 1 P d 3 4 1 5 6 n 1 q 1 Fig.8.31 Intereţi unei piride olie u o priă oliă Pentru flre ordinii de unire puntelor de intereţie e întoeşte telul 8.2 şi e pliă regul oilului, pleând u proieţiile oilului pe din puntul înpre, ir pe nq din puntul 1 înpre 3. L pri prurgere ei, proieţi oilului de pe nq e işă pe porţiune 1-3-5-3-1, neputând tree de plnul liită [P ], ir l dou prurgere ei, proieţi oilului pe nq e depleă pe treul 2-4-6-4-2. Se identifiă două poligone de intereţie, ( 2 4 6 2 ), de intrre şi ( 1 3 5 1 ), de ieşire piridei din priă. În et tel e tudiă şi viiilitte feţelor poliedrelor în ele două proieţii şi repetiv, viiilitte poligonelor de intereţie. În

PLIEDRE 145 proieţi oriontlă unt viiile egentele 1 3 şi 5 3, ir în proieţi vertilă, egentele 3 5 şi 5 1, de l un poligon şi 4 6, 6 2, de l el de l doile poligon. Telul 8.2 Pirid SABC Pri MNQM 1 N 1 Q 1 1 3 5 1 2 4 6 2 Poligonul de intereţie (PI) 1 3 5 1 2 4 6 2 Pir. SABC Viiilitte în plnul [H] [V] Pri MNQM 1 N 1 Q 1 PI Pir. SABC Pri MNQM 1 N 1 Q 1 PI În figur 8.32, şi - tudit odul de unire l puntelor de intereţie prin etod digrelor defăşurtelor onvenţionle, ât şi viiilitte lturilor poligonului de intereţie în plnul oriontl, repetiv vertil de proieţie. + + _ q n + + 5 6 3 4 1 5 6 _ 2 8.5.3 Intereţi două prie q q n q 1 n 1 1 q 1 q 1 n 1 1 q 1 ) ) Se onideră priele olie u ele ABC şi EFG, itute în plnul oriontl de proieţie (fig.8.33). Pentru ontruire poligonului de intereţie dintre ele două prie e deterină direţi urei oriontle plnelor uilire, re ă fie prlele u uhiile elor două prie. Atfel, printr-un punt orere I(i,i ) din pţiu, e treă două drepte onurente, prlele u uhiile prielor şi e deterină urele lor oriontle, H 1 (h 1, h 1 ) şi H 2 (h 2, h 2 ). Ur oriontlă P plnului uilir v tree prin urele oriontle h 1 şi h 2, le dreptelor, P = h 1 h 2. Duând plne ente oune, prlele u ur oriontlă P, prin uhiile prielor e oervă ă răân porţiuni netrăătute de ete pe ele e, dei intereţi v fi o rupere şi e v oţine un ingur poligon de intereţie. Plnele utile liită unt [P ], du prin vârful l ei nr şi [P ], du prin vârful l ei. Plnele uilire eţioneă longitudinl priele, deterinând eţiuni de for unor prlelogre re u un din lturi egentul de intereţie dintre urele oriontle le plnelor ente şi ele prielor. Aete eţiuni unt interette de uhi prin re - du plnul ent în două punte, punte re prţin poligonului de intereţie dintre ele două prie. 5 3 1 _ + + 6 4 Fig.8.32 Digr defăşurtelor onvenţionle pentru intereţi piridă - priă: ) pentru proieţi pe plnul oriontl ; ) pentru proieţi pe plnul vertil + _ + 5 6 2 q

146 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ Plnul [P ] du prin uhi din deterină o eţiune în pri u u un din lturi, egentul 12, re ete interettă de uhi l în puntele 1 şi 2. Anlog, u jutorul plnului [P ] e deterină puntele 3 şi 4, în re uhi f intereteă pri nr, ir u jutorul plnului [P r ], puntele r 5 şi r 6, în re uhi rt intereteă feţele priei nr. Plnul liită du prin uhi din deterină o eţiune longitudinlă în pri nr, re ete interettă în puntele 7 şi 8 de uhi g. Pentru deterinre puntelor poligonului de intereţie în proieţi vertilă, fie e găe eţiunile plne şi în proieţi vertilă şi e intereteă u proieţiile vertile le uhiilor, fie e treă liniile de ordine orepunătore din proieţi oriontlă până pe uhiile repetive în proieţi vertilă. dtă deterinte ele două proieţii le puntelor poligonului de intereţie, pentru flre ordinii de unire lor, e opleteă telul 8.3 onfor regulii oilului tudită nterior. Proieţiile oilului pe ele două e pleă de l puntele deterinte pe ele două e de plnul liită P. Atfel, pe e pleă din puntul, ir pe t l k f e g 3 4 2 1 r 6 r5 7 8 d 2 i d 1 l r e h 1 n d 1 i d 2 h 2 h 1 P 2 h 2 2 t 1 4 k 3 1 f g r 6 r 5 7 8 P P r 6 5 r 3 7 4 8 n P P Fig.8.33 Intereţi două prie olie

PLIEDRE 147 nr, din puntul 8, urărind ăgeţile rte pe ele două e (telul 8.3). În telul 8.3 - nlit şi viiilitte lturilor poligonului de intereţie, pornind de l viiilitte feţelor prielor, repetiv lturilor elor pe re e depleă proieţiile oilului în ele două plne de proieţie, oriontl şi vertil. În pln oriontl unt viiile egentele 7 r 6, 2 4 şi 4 8, ir în pln vertil, dor egentul 7 r 6. Cu ete oervţii e pot uni puntele de intereţie în ordine tilită în telul 8.3. Telul 8.3 Pri ABCEFG 5 1 5 6 2 Pri MNREKT 8 - r 7 r 3 4 8 Poligonul de intereţie (PI) 8-1 r 5 7 r 6 3 2 4 8 Pri ABCEFG [H] Pri MNREKT PI Pri ABCEFG [V] Pri MNREKT Viiilitte în plnul PI Şi în et e pote deterin ordine de unire l puntelor de intereţie prin etod digrelor defăşurtelor onvenţionle, pentru pri ABCEFG pornind u uhi AE, ir pentru pri MNREKT, u uhi NF, ele neprtiipând l intereţie. În figur 8.34, - repreentt etod digrelor u ordine de unire puntelor şi u tudiul viiilităţii pentru proieţi pe plnul oriontl, ir în figur 8.34,, eeşi digră dr pentru proieţi prielor pe plnul vertil de proieţie. n r n + _ + + + 4 8 2 1 3 r 6 7 _ r 5 t e k t e f g e e f g e ) ) În ul poliedrelor flte în poiţii prtiulre, deterinre poligonului de intereţie e fe după etodele tilite în urile generle, reolvre iplifiându-e dtorită poiţiilor poliedrelor. În figur 8.35 e preintă intereţi dintre o priă dreptă, u ABCDE şi o priă frontlă, u KMN, ele e fiind itute în plnul oriontl de proieţie. Pentru deterinre puntelor poligonului de intereţie e foloe plne uilire de front, re e du prin uhiile unei dintre prie, interetând-o pe elltă. Plnele liită unt ele due prin uhi din n, F n şi din, F. Porţiunile din e netrăătute de plnele ente unt pe eeşi ă (porţiunile hşurte), dei intereţi v fi o pătrundere şi e vor oţine două poligone de intereţie. Plnul liită [F n ] onţine uhi NN 1 şi intereteă elltă priă după o eţiune dreptunghiulră vertilă, u un din lturi egentul 12. Intereţi dintre r n 4 2 8 1 Fig.8.34 Digr defăşurtelor onvenţionle pentru intereţi priă - priă: ) pentru proieţi pe plnul oriontl ; ) pentru proieţi pe plnul vertil n + _ 3 + r 6 7 _ r 5 t e k t

148 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ uhi n n 1 şi dreptunghiul de eţiune e evidenţiă în proieţi vertilă, deterinând puntele de intereţie n 1 şi n 2. De eene, plnul [F ], re onţine uhi AA 1, deterină în elltă priă o eţiune ptrulteră frontlă, u un din uhii egentul 34. Intereţi dintre uhi 1 şi etă eţiune deterină puntele 3 şi 4, în proieţi vertilă. Celellte punte le poligonului de intereţie e deterină în od iilr. 1 1 e 1 1 d 1 k 8 k 1 1 n 1 k 7 9 11 12 n 2 d 5 d 6 F n F F d F k F F k k 5 9 10 10 3 n 1 4 e 3 4 n e n 1 2 3 4 6 7 8 11 12 d d k 1 1 n 1 Fig.8.35 Intereţi unei prie drepte u o priă oliă Unire puntelor de intereţie pentru trre poligonului de intereţie e fe după întoire telului 8.4, foloind etod oilului. Cele două poligone u fot trte în proieţi vertilă, unde fot tudită şi viiilitte lturilor etor, în proieţi oriontlă proieţiile intereţiei uprpunându-e pete priei drepte. Telul 8.4 Pri ABCDE 1 7 11 1 2 d 8 12 d 2 Pri MNK n 3 k 9 10 4 n n 5 k 6 n Poligonul de intereţie (PI) n 1 3 k 7 9 11 10 4 n 1 n 2 d 5 k 8 12 d 6 n 2 Viiilitte Pri ABCDE în plnul [V] Pri MNK PI

PLIEDRE 149 8.6 Prolee reolvte 1. Fie o priă triunghiulră oliă, e re ABC în plnul oriontl de proieţie : A(130,50,0), B(85,25,0), C(120,15,0) şi uhi AA 1 : A 1 (50,80,60). Să e deterine proieţiile puntelor de intereţie dintre drept D(d,d ) : M(110,50,30), N(60,22,10) şi priă şi ă e figuree ete pe defăşurt priei. Reolvre : pentru deterinre puntelor de intereţie dintre dreptă şi priă e treă prin dreptă un pln de păt Q d, re eţioneă pri după triunghiul (123,1 2 3 ). Aet ete interett de drept D în puntele (, ) şi (, ), puntele de intereţie u pri. Pentru defăşurt priei e treă o nouă linie de păânt 1 1, prlelă u proieţiile oriontle le uhiilor, în vedere efetuării unei hiări de pln vertil de proieţie. Se oţin tfel, noile proieţii vertile le uhiilor priei 2 3 = 2 3 = 2 3 în devărtă ărie. Cu jutorul plnului [P] e deterină o eţiune norlă pe uhii RST, ărei devărtă ărie e oţine prin rtere pe plnul oriontl de proieţie în r 0 0 t 0. Se defăşoră în linie dreptă eţiune norlă R 0 S 0 T 0 R 0 şi e treă perpendiulr pe e, uhiile priei : 2 3 = A 10, 2 3 = B 0 B 10, 2 3 = C 0 C 10. Se une etreităţile uhiilor şi e oţine defăşurt lterlă priei. Pentru figur pe defăşurtă puntele de intereţie u drept, în epură -u trt dreptele genertore pe re unt itute ete : puntul pe 4, ir puntul pe 5, tât în proieţie oriontlă ât şi în nou proieţie vertilă. S-u deterint pe defăşurtă puntele 4 0 şi 5 0, de pe ă : C 0 4 0 = 4, C 0 5 0 = 5, şi -u trt, prlel u uhiile egentele : 4 0 0 = 4 1 1 şi 5 0 0 = 5 1 1. 1 1 1 1 3 2 n d=q d 3 n 4 5 t 4 1 P 1 1 2 2 2 5 1 1 r 0 2 P 1 P r t t 0 1 r 0 1 R 0 A 10 C 0 5 0 B 0 S 0 T 0 C10 4 0 R 0 A 10 B 10 3 3 3 Fig.8.36 Reolvre proleei 1