Axiomele geometriei în plan şi în spańiu

Transcript

1 xiomele geometriei în pln şi în spńiu 1 xiomele geometriei în pln şi în spńiu unoştinńele de geometrie cumulte în clsele gimnzile pot fi încdrte într-un sistem logic de propozińii mtemtice: xiome, definińii, teoreme, consecinńe, leme, etc mintim că nońiunile geometrice ce nu se definesc se numesc nońiuni geometrice primre De regulă, ceste sînt: punct, dreptă, pln Puncetele, dreptele şi plnele se noteză respectiv cu literele,,, ;, b, c, ;, β, γ, eventul cu indici NoŃiunile ce se definesc cu jutorul nońiunilor primre se numesc nońiuni derivte Segment, semidreptă, unghi, triunghi, ş sînt nońiuni derivte Punctele, dreptele şi plnele se flă în nişte relńii numite relńii primre ceste se numesc incidenńă (prtenenńă), între, congruenńă Ntur obiectelor primre (punct, dreptă, pln) şi relńiilor primre pote fi rbitrră cu condińi că ele sînt legte printr-un sistem de xiome xiomele sînt propozińii cu crcter de ipoteză (cre nu se demonstreză) cre descriu legătur dintre nońiunile primre şi relńiile primre Ele reprezintă proprietăńile de bză le obiectelor de bză şi se consideră devărte xiomele sunt c nişte reguli de conduită, c nişte reguli le unui joc, ş Sistemul de xiome (reguli) les trebuie să verifice următorele condińii: xiomele trebuie să nu se contrzică; xiomele să fie suficient de numerose, stfel încât pornind de l ele să se potă studi, explic tote situńiile posibile În geometri elementră se iu c xiome proprietăńi le punctelor şi dreptelor dej fmilirizte şi mplu utilizte în gimnziu L ele se mi dugă şi lte cîtev proprietăńi importnte sugerte de observńii şi experimentări MenŃionăm că un şi ceeşi propriette pote fi considertă într-un sistem de proprietăńi drept xiomă, ir în lt sistem de xiome drept o consecinńă din xiomele cceptte, dică drept teoremă xiomele sînt propozińii cu crcter de ipoteză (cre nu se demonstreză) cre descriu legătur dintre nońiunile primre şi relńiile primre Teorem este o propozińie devărul cărei se demonstreză Teoremele sunt propozińii cre descriu proprietăńile nońiunilor primre şi derivte şi se demonstreză cu jutorul xiomelor, definińiilor, lemelor su teoremelor dej demonstrte Lem este o propozińie devărul cărei se demonstreză şi se plică l demonstrre unei teoreme DefiniŃi este o propozińie su un grup de propozińii prin cre se explică o nońiune nouă stfel, propozińi Dcă două puncte şi le dreptei prńin plnului, tunci drept prńine plnului este o xiomă (după cum vom vede), ir firmńi Sum măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180 este o teoremă cestă teoremă se demonstreză cu jutorul următorelor propozińii mtemtice: P 1 xiom prlelelor lui Euclid (oricre r fi o dreptă şi un punct exterior cestei drepte, în plnul determint de punct şi dreptă, există cel mult o prlelă l drept dtă, cre să conńină punctul dt); P 2 teorem de existenńă prlelei (printr-un punct exterior unei drepte există cel puńin o prlelă l drept dtă);

2 xiomele geometriei în pln şi în spńiu 2 P 3 teorem despre eglitte unghiurilor lterne interne, formte l intersecńi două drepte prlele cu o secntă; P 4 definińi sumei unghiurilor; P 5 definińi unghiului lungit; P 6 teorem despre măsur unghiului lungit onvenim c tunci când ne referim l mi multe obiecte (puncte, drepte, plne, ş) şi le notăm cu simboluri diferite, să le considerăm distincte Ită câtev exemple de definińii cre vor fi folosite în continure: Trei puncte,, se numesc colinire dcă există o dreptă ce le conńine În cz contrr, punctele se numesc necolinire Se spune că drept intersecteză (este incidentă cu) plnul dcă există un punct, stfel încât şi Se spune că drept prńine (su este conńinută de plnul ) plnului dcă orice punct l dreptei prńine şi plnului Ptru puncte,,, D se numesc coplnre dcă există un pln ce le conńine În cz contrr, punctele se necoplnre legere nońiunilor primre, relńiilor primre şi sistemului de xiome respectiv, stfel încât totă geometri elementră să fie dedusă bzându-ne dor pe ele şi pe legile logicii se numeşte construcńie xiomtică geometriei elementre Se cunosc mi multe sisteme de xiome le geometriei elementre În litertur ştiinńifică este cel mi des utilizt sistemul de xiome l lui D Hilbert Geometri orgniztă conform cestui sistem de xiome corespunde cu geometri spńiului din jurul nostru, observtă cu ochiul liber onform cestei geometrii, omenii ctiveză în diversele lor meserii, de exemplu, în rhitectură, construcńi de poduri, construcńi de cse, de mşini, ş În fră de cestă geometrie mtemtică u mi fost definite şi lte geometrii, bzte pe lte xiome, unele din ele contrzic xiomele geometriei elementre ceste geometrii sînt utile în explicre şi prezicere fenomenelor ce se petrec în Univers: teori reltivităńii, evoluńi stelelor, propgre luminii, ş În continure vom exmin schem rgumentării geometriei elementre conform xiomticii lui Dvid Hilbert cest sistem de xiome constă din 20 de xiome împărńite în 5 grupe Prin cestă clsificre xiomelor se reuşeşte ce mi simplă şi lconică formulre xiomelor şi în plus, se pote constt cât de consistentă (bogtă) pote fi geometri bztă dor pe un su câtev grupe de xiome xiomele de incidenńă (Grup I) xiomele cestei grupe definesc proprietăńile de mplsre le punctelor, dreptelor şi plnelor Se dmit următorele xiome de incidenńă: I 1 Oricre r fi două puncte distincte, le spńiului, există o dreptă cre trece prin ceste puncte I 2 Oricre r fi două puncte distincte, există cel mult o dreptă cre trece prin ceste puncte

3 xiomele geometriei în pln şi în spńiu 3 Figur 1 Deci, două puncte distincte, le spńiului determină o dreptă şi numi un singură NotŃie: = (fig 1) I 3 Pe oricre dreptă sînt situte cel puńin două puncte Există cel puńin trei puncte necolinire I 4 Oricr r fi trei puncte necolinire,,, există plnul ce trece prin ceste puncte Pe fiecre pln este situt cel puńin un punct I 5 Oricre r fi trei puncte necolinire,,, există cel mult un pln cre trece prin ceste puncte stfel, trei puncte necolinire,,, determină un pln şi numi unul singur NotŃie: = () (fig 2) Figur 2 I 6 Dcă două puncte distincte, le dreptei sînt situte pe plnul, tunci fiecre punct l dreptei este situt pe plnul ltfel spus, dcă o dreptă re două puncte comune cu un pln, tunci drept este conńinută în întregime în cest pln Figur 3 I 7 Dcă două plne şi β u un punct comun, tunci ele mi u cel puńin încă un punct comun Plnele se reprezintă pe foie de ciet prin prlelogrme β Figur 4 I 8 Exist cel putin ptru puncte necolinire

4 xiomele geometriei în pln şi în spńiu 4 D Figur 5 Utiliznd ceste xiome pot fi demonstrte urmtorele teoreme: T 1 Două drepte distincte u cel mult un punct comun b E Figur 6 T 2 Dcă două plne u un punct comun, tunci ele u o dreptă comună pe cre sînt situte tote punctele comune cestor plne Figur 7 T 3 Printr-o dreptă şi un punct ce nu-i prńine trece un pln şi numi unul singur β Figur 8 T 4 Prin două drepte concurente trece un pln şi numi unul singur b Figur 9 T 5 Orice pln conńine trei puncte necolinire

5 xiomele geometriei în pln şi în spńiu 5 pln şdr, un pln pote fi determint: Figur 10 ) de trei puncte necolinire, b) de o dreptă şi un punct ce nu-i prńine, c) de două drepte secnte (cre se intersecteză) Să demonstrăm de exemplu teoremele 3 şi 4 Teorem 3 Printr-o dreptă şi un punct ce nu prńine cestei drepte trece un unic d Figur 11 DemonstrŃie Fie drept d dtă şi punctul d onform xiomei I 3 pe drept d există două puncte distincte şi (fig 11) Punctele,, sînt necolinire, deci, conform xiomelor I 4 -I 5, prin ceste puncte trece un pln şi numi unul singur Drept d prńine plnului, deorece două puncte distincte le ei, şi, prńin plnului (xiom I 6 ) Deci, plnul este singurul pln ce conńine punctul şi drept d cest pln se noteză (, d) su ( d, ) Plnul ce trece prin punctele necolinire,, se noteză () Teorem 4 Există un unic pln ce trece prin două drepte concurente b Figur 12 DemonstrŃie Fie şi b două drepte concurente în Pe drept, în fră de punctul mi există cel puńin un punct, (fig 12) onform teoremei 3, prin punctul şi drept b trece un pln şi numi unul singur Unicitte plnului rezultă din xiom I 6, deorece orice punct l dreptei prńine plnului ExerciŃiu DemonstrŃi teoremele T 1, T 2, T 5

6 xiomele geometriei în pln şi în spńiu 6 xiomele de ordine (grup II) xiomele de ordine evidenńiză relńi dintre punctele situte pe o dreptă; cestă relńie se exprimă prin cuvintele fi între şi ltele echivlente cu ceste Dcă punctul este situt (se flă) între punctele şi notăm Se dmit următorele xiome de ordine: II 1 Dcă vem, tunci,, sînt puncte distincte colinire şi vem Figur 13 II 2 (xiom punctului exterior) Oricre r fi două puncte distincte, există cel puńin un punct stfel încât Figur 14 II 3 Oricre r fi trei puncte distincte colinire,,, unul şi numi unul este situt între celellte două Figur 15 Îninte de formul xiom II 4 definim nońiunile de segment şi triunghi Figur ce constă din două puncte distincte, şi mulńime tuturor punctelor dreptei situte între şi se numeşte segment închis determint de punctele, şi se noteză [] : [ ] = {, } { M M } Punctele şi se numesc cpetele (extremităńile) segmentului Uneori se spune că segmentl uneşte punctele şi Pentru comoditte se exmineză şi segmentele nule [ ], [ ] Punctele segmentului, diferite de cpetele lui, se numesc puncte interiore le cestui segment MulŃime tuturor punctelor interiore le segmentului se numeşte segment deschis şi se noteză () tât segmentul nenul închis, cât şi segmentul deschis determină o dreptă, cre se numeşte drept suport segmentului respectiv Dcă o dreptă trece printr-un singur punct l unui segment, tunci se spune că drept intersecteză segmentul su că segmentul intersecteză drept Reuniune trei puncte necolinire şi segmentelor ce unesc ceste puncte se numeşte triunghi Fie,, trei puncte necolinire Triunghiul determint de ceste puncte se noteză = [ ] [ ] [ ]

7 xiomele geometriei în pln şi în spńiu 7 Figur 16 Punctele,, se numesc vârfurile triunghiului, segmentele [ ], [ ], [ ] lturile triunghiului, ir plnul () plnul triunghiului II 4 (xiom lui Psch) Dcă drept este sitută în plnul () l şi nu trece prin nici unul din vârfurile,, le, dr intersecteză o ltură (în interior), tunci drept intersecteză încă un şi numi un din lturile (în interior) D Figur 17 u jutorul xiomelor de incidenńă şi de ordin se demonstreză mi multe rezultte de geometrie şi se definesc o serie de figuri geomtrice importnte În primul rnd se deduce că orice segment nenul re cel puńin un punct interior, ir de ici rezultă că orice dreptă re o infinitte de puncte xiomele de incidenńă permit să definim semidrept, semiplnul şi semispńiul după cum urmeză Mi întîi se formuleză şi se demonstreză teoremele de seprre dreptei, plnului şi spńiului, de către un punct, o drept, un pln respectiv Teorem S1 Orice punct O l unei drepte d împrte drept d în două submulńimi nevide disjuncte de puncte, stfel încât orice două puncte, din submulńimi diferite sînt seprte de punctul O, ir orice două puncte, D din ceeşi submulńime nu sînt seprte de punctul O D O Figur 18 Teorem S2 Orice dreptă d inclusă într-un pln împrte plnul în două submulńimi nevide disjuncte de puncte, stfel încât pentru orice două puncte, din submulńimi diferite, segmentul [] intersecteză drept d, ir pentru orice două puncte, D din ceeşi submulńime segmentul nu intersecteză drept d d

8 xiomele geometriei în pln şi în spńiu 8 E D Figur 19 Teorem S3 Orice pln împrte mulńime punctelor spńiului în două submulńimi nevide disjuncte de puncte stfel încât pentru orice două puncte, din submulńimi diferite segmentul intersecteză plnul, ir pentru orice două puncte, D din ceeşi submulńime segmentul D nu intersecteză plnul D Figur 20 Fiecre din submulńimile din teorem S1 se numesc semidrepte deschise cu origine în O le dreptei d (su cu suportul d ) Reuniune semidreptei deschise cu origine ei se numeşte semidreptă închisă NotŃie: (O, [ O respectiv sînt semidrepte deschisă, închisă cu origine în O cre conńin punctul O O Figur 21 Semidreptele diferite cu celşi support d şi ceeşi origine O se numesc semidrepte opuse şi se mi noteză prin: (Od', (Od'' d '' O d d ' Figur 22 Fiecre din submulńimile din teorem S3 se numesc semispńii deschise determinte de plnul (cu frontier ) Reuniune semispńiului deschis cu frontier s se numeşte semispńiu închis NotŃie: (, ([ este semispńiul deschis (închis) cu frontier, cre conńine punctul SemispŃiile diferite cu ceeşi frontieră se numesc semispńii opuse

9 xiomele geometriei în pln şi în spńiu 9 Reuniune două semidrepte închise cu origine comună se numeşte unghi Fie [ O şi [ O două semidrepte xiomele de congruenńă (grup III) xiomele cestei grupe definesc proprietăńile relńiilor de congruenńă dintre segmente (unghiuri) Se folosesc notńiile: [ ] [ D], O ' O' ', cre se exprimă prin: segmentul (respectiv unghiul O ) este congruent cu segmentul D (respectiv cu unghiul ' O' ' ) ceste xiome sînt: III 1 Fiind dte segmentul şi semidrept cu origine în situt pe cestă semidreptă stfel încât [ ] [ ' ' ] III 2 Dcă [ ] [ ' ' ] şi [ ] [ " " ], tunci [ ' '] [ " " ] ', există un punct III 3 Dcă, ', [ ] [ ' ' ] şi [ ] [ ' ], tunci [ ] [ ' ] ' Figur 23 III 4 Fie O, drept şi ( O ' X ' o semidrept dreptei cu origine în punctul O ' tunci, în semiplnul există o unică semidreptă O 'Y' stfel încât O X ' O' Y' X ' O Figur 24 III 5 Dcă pentru triunghiurile şi ' ' u loc relńiile [ ] [ ' ' ], [ ] [ ' ], ' ' tunci re loc relńi ' ', su, schimbând notńiile, ' ' O ' X ' ' ' ' Figur 25 ducem c exemplu câtev teoreme ce rezultă din xiomele de congruenńă şi cre le vom utilize în continure 1) RelŃi de congruenńă segementelor este o relńie de echivlenńă pe mulńime segmentelor 2) Unghiurile de l bz triunghiului isoscel sînt congruente

10 xiomele geometriei în pln şi în spńiu 10 Triunghiurile şi ' ' se numesc congruente dcă există o corespondenńă f între vîrfuri, de exemplu f ( ) = ', f ( ) = ', f ( ) =, stfel încât ', ',,[ ] [ ' ' ],[ ] [ ' ],[ ] [ ' ] 3) riteriile de congruenńă le triunghiurilor: 3) (riteriul LUL) Dcă triunghiurile şi ' ' sînt stfel încât ( ) = ( ' '),( ) = ( ' ), ', tunci ' ' 3b) (riteriul ULU) Dcă triunghiurile şi ' ' sînt stfel încât ',( ) ( ' ),, tunci ' ' 3c) (riteriul LLL) Dcă triunghiurile şi ' ' sînt stfel încât ( ) ( ' '),( ) ( ' ),( ) = ( ' ), tunci ' ' 4) ongruenń triunghiurilor este o relńie de echivlenńă pe mulńime triunghiurilor 5) ongruenń unghiurilor este o relńie de echivlenńă pe mulńime unghiurilor În continure putem formul definińiile cunoscute le nońiunilor mi mre şi mi mic pentru segmente şi unghiuri şi putem deduce proprietăńile comprńiei segmentelor şi unghiurilor De exemplu, spunem că segmentul () este mi mic decât segmentul (D) şi scriem ( ) < ( D) dcă există un punct E pe semidrept (D, stfel încât E D şi ( ) ( E) E D Figur 26 În cest cz se mi spune că (D) este mi mre decât () şi se scrie ( D ) > ( ) Se numesc unghiuri dicente două unghiuri proprii cre u celşi vârf, o ltură comună şi interiorele disjuncte ( O şi O ) O Figur 27 Două unghiuri dicente cre u lturile necomune opuse se numesc unghiuri suplementre Un unghi se numeşte drept dcă el este congruent cu suplementrul său

11 xiomele geometriei în pln şi în spńiu 11 O O 6) Există un unghi drept Figur 28 7) Tote unghiurile drepte sînt congruente între ele 8) Un unghi exterior l unui triunghi este mi mre decât fiecre dintre unghiurile triunghiului, nedicent cu cel unghi 9) În orice triunghi lturii mi mri i se opune un unghi mi mre şi vicevers: unghiului mi mic i se opune ltur mi mică xiomele grupelor I-IV permit să dăm definińi mijlocului unui segment şi bisectorei unghiului Se demonstreză că: 10) Orice segment re un singur mijloc 11) Orice unghi re o singură bisectore xiomele de continuitte (grup IV) IV 1 (xiom lui rhimede) Fie segmentele şi D stfel încât ( ) > ( D) tunci pe drept există un număr finit de puncte 1, 2,, n, stfel încât u loc relńiile: ),, ;, n 2 n 1 n b) 1 ) ( 1 2 ) ( n n ) ( D); ( 1 c) n 1 2 n-2 n-1 n D Figur 29 IV 2 Fie pe o dreptă orecre un şir infinit de segmente ), ( ),, ( n ), cu proprietăńile: ( n ) ( i i ) ( i i+ ), i N b) nu există nici un segment inclus în tote segmentele şirului considert tunci pe drept există un singur punct M cre prńine fiecărui segment din cest şir Principlele consecinńe obńinute cu jutorul grupelor I-IV sînt teori măsurării segmentelor şi unghiurilor

12 xiomele geometriei în pln şi în spńiu 12 Geometri construită în bz xiomelor grupelor I-IV se numeşte geometrie bsolută xiom prlelelor (V) V (xiom prlelelor lui Euclid) Fie o dreptă orecre şi un punct exterior dreptei tunci în plnul determint de punctul şi drept, există cel mult o dreptă cre trece prin punctul şi nu intersecteză drept Figur 30 Două drepte distincte se numesc prlele dcă ele sînt situte într-un pln şi nu se intersecteză Este justă următore teoremă Teorem Printr-un punct exterior unei drepte, în plnul determint de punct şi dreptă, există o prlelă unică l drept dtă xiom V este echivlentă cu fiecre din următorele enunńuri: 1) Orice secntă s formeză cu dreptele prlele, b unghiuri lterne interne congruente S Figur 31 2) Pentru orice triunghi sum unghiurilor este eglă cu 180 3) Există un ptrulter în cre sum unghiurilor este eglă cu 360 4) Există un dreptunghi În bz xiomelor enunńte pote fi rgumenttă totă geometri elementră studită în clsele gimnzile Se spune că geometri elementră studită în clsele nteriore este o interpretre modelului xiomtic l lui Hilbert de construire geometriei b