CONCURSUL NAŢIONAL DE MATEMATICĂ APLICATĂ "ADOLF HAIMOVICI" ETAPA FINALĂ - 22 mai 2010

Transcript

1 ETAPA FINALĂ - mi 00 BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A. Pe o dreptă se consideră 00 puncte, cre formeză 009 segmente, fiecre de cm. Pe primul segment, desupr dreptei, construim un pătrt, pe l doile segment, dedesubtul dreptei, construim un triunghi echilterl, poi trsăm segmentul de lungime cm. Pe l ptrule segment construim un triunghi echilterl, desupr dreptei, pe următorul segment, construim un pătrt, dedesubtul dreptei şi din nou trsăm următorul segment de lungime cm (c în desenul de mi jos). Repetăm procedeul până jungem l ultimul punct. Clculţi lungime liniei frânte obţinute de l primul până l ultimul punct. Soluţie. Form liniei frânte se repetă l fiecre 6 segmente... Fiecre stfel de secvenţă re lungime de ( )cm = cm... În totl vem 009 segmente, 009= Avem 334 secvenţe de câte cm şi o secvenţă de lungime cm... Lungime liniei frânte este de 409 cm... n n n, n = 3şi = + + n+, n.. Considerăm şirul ( ) ) Arătţi că şirul ( ) n n b) Arătţi că n b, definit prin b n = n 3 n, este o progresie geometrică. n n = +, n n( n+ ) Sn 3 < 3, n. c) Notăm Sn = n, demonstrţi că n 3 n n 3 n bn ) Scrie bn+ = n+ 3 n = + + n = =, n Deci ( bn ) este progresie geometrică cu b n = şi q =... 3 n n b) bn = bq =,n... 3 n n+ bn n Deorece n = rezultă n = +, n p p p

2 ETAPA FINALĂ - mi 00 c) 3 S = 3 ( ) = b + b b n = ( ) n n n+ 3 n n n n( n+ ) Rezultă Sn 3 < + 3, n, poi concluzi În triunghiul ABC cu BC = şi înălţime AD = h, D [ BC] se înscrie dreptunghiul MNPQ, M [ AB ], N [ AC ], P, Q [ BC]. Notăm MN = şi NP = y. ) Demonstrţi că re loc eglitte: h + y = h.. b) Arătţi că ri dreptunghiului MNPQ este cel mult jumătte din ri triunghiului ABC. c) Considerăm o buctă de crton în formă de triunghi cu lturile egle cu 30 cm, 40 cm şi 50 cm. Determinţi dimensiunile dreptunghiurilor de rie mimă cre pot fi decupte din cest crton. h y ) Din ΔAMN ΔABC = h + y = h... h h ( ) h b) SMNPQ = y =, ir SABC =... S MNPQ SABC 4( ) ( ) 0. h Eglitte se obţine pentru = şi y =... c) Triunghiul cu lturile 30, 40, 50 este dreptunghic. Conform punctului b) vem posibilităţile: p. MN MN linie mijlocie în ΔABC MN = 5cm şi NP=cm p. MN = 0cm şi NP=5cm... OBS. În mbele czuri SMNPQ 4. Fie funcţi f: \, f( ) = 300cm (dică mimă) 3 + = 3 funcţiei f cre u ordont un număr întreg.. Determinţi punctele situte pe grficul

3 ETAPA FINALĂ - mi 00 3 A 0,k G f, 0 \, k k + + 3k = 0..., rezultă că Δ este pătrt perfect... Fie ( ) ( ) Deorece 0 ( ) 4k 4k 4 k 5 p, p Obţinem ( k p)( k + p) = 5, de unde: Δ= = =... k p = k p = 5 k p = k p = 5,, şi de unde k + p = 5 k + p = k + p= 5 k + p= rezultă k = su k =... k = = 0 =±, ir k = 6 + 8= 0 = su = În concluzie punctele căutte sunt:(, ); (, ); (, ); ( 4, )... p NOTĂ:Orice ltă rezolvre corectă v fi puncttă corespunzător.

4 ETAPA FINALĂ - mi 00 BAREM DE CORECTARE CLASA A X A. Rezolvţi în mulţime ecuţiile: ) log4( + ) log = ; b) + =. 3 + ) Condiţii de eistenţă: ( 0, )\{ }... log ( + ) Scrie log4 ( + ) = şi log =... log Ecuţi devine log( + ) = log = 0 = 3, = 4... Alegem = 4... b) Condiţii de eistenţă: (,3)... + Se rezolvă ecuţi cu substituţi y= y = şi y = Se deduce {, }. ) Arătţi că funcţi f:, f( ) = + este strict monotonă. b b) Fie, b stfel încât = b. Arătţi că = b. sin cos c) Rezolvţi ecuţi = cos,. Soluţie. ) Funcţiile f, ( ) f ( ) :, f =, f = sunt strict crescătore, rezultă că f + f este strict crescătore... b = b f = f b, f este strict monotonă, rezultă = b... b) ( ) ( ) sin cos c) Scrie ecuţi = cos sin... Conform lui b) cos = sin... π kπ Soluţi +, k 4... p p O cpră este legtă cu un lnţ vând lungime de 6m, lnţ cre este fit cu unul dintre cpete în punctul A. AG este un grd cu lungime de 4m pe cre cpr nu pote să-l sră. Pătrtul ABCD este un ţrc cu ltur de m în cre cpr nu pote intr (vezi figur). Clculţi ri suprfţei mime de irbă pe cre cpr pote pşte (grdul şi lturile ţrcului u lăţimi neglijbile, ir ri unui cerc este π r, unde r este rz cercului).

5 ETAPA FINALĂ - mi 00 Soluţie. Cpr pote să pscă regiunile hşurte, dică: O jumătte de cerc de rză m cu ri 4 π... Un sfert de cerc de rză 6 m cu ri 36 4 π... Un sfert de cerc de rză 4 m cu ri 6 4 π... Un sfert de cerc de rză m cu ri 4 4 π... S= 4π+ 36π+ 6π+ 4π= 6 π m Un număr nturl se numeşte bun dcă el pote fi scris tât c sum două numere nturle consecutive, cât şi c sum trei numere nturle consecutive. Demonstrţi că: ) 00 nu este bun, dr 03 este bun. b) Produsul două numere bune este bun. c) Dcă produsul două numere este bun tunci cel puţin unul dintre ele este bun. Soluţie. ) Numărul 00 nu este bun deorece este pr... Numărul 03este bun 03= ; 03= Din enunţ se deduce că un număr nturl este bun dcă şi numi dcă este impr şi multiplu de k, k b= 3 m+, m două numere bune... b) Fie = ( + ), ( ) b = 9 ( 4km + k + m + ), impr şi divizibil cu 3 b- număr bun... c) Fie b= 3 ( n+ ), n... Rezultă că mbele numere sunt impre şi cel puţin unul este divizibil cu 3... p p NOTĂ:Orice ltă rezolvre corectă v fi puncttă corespunzător.

6 ETAPA FINALĂ - mi 00 BAREM DE CORECTARE CLASA A XI A y z = y z. ) Fie, y, z. Arătţi că: z y ( y z)( y z y yz z) b) Fie mtrice A M 3 ( ) vând tote elementele pozitive cu propriette că elementele de pe digonl principlă sunt egle între ele, ir produsul elementelor de pe fiecre linie şi de pe fiecre colonă este egl cu. Arătţi că det A 0. Soluţie. ) Verifică eglitte b c b) Se deduce că A = c b,,b,c ( 0, ), c=... b b c Artă că + b + c b c bc 0 deta 0... su det A = + b + c 3bc det A b + c 3 b c p 3p p p. Spunem că o mtrice re propriette (p) dcă tote elementele sle sunt egle cu - su, ir produsul elementelor de pe fiecre linie şi de pe fiecre colonă este egl cu -. ) Dţi un eemplu de mtrice A M 3 ( ) cu propriette (p). b) Demonstrţi că nu eistă nici o mtrice ( ) B M 3 cu propriette (p). Soluţie ) Eemplu A =... b c b) Fie B = cu propriette (p)... y z Atunci bc =, yz =, =, by =, cz =... Din bc = şi yz = bcyz =... Din =, by =, cz = bcyz =... 3p 3. ) Determinţi intervlele de monotonie le funcţiei:

7 ETAPA FINALĂ - mi 00 ( ) ( ) 6 f: 0,, f = +. b) Se construieşte un rezervor din sticlă în formă de prlelipiped dreptunghic cu bz pătrt şi fără cpc, vând volumul egl cu 4m 3. Determinţi dimensiunile prlelipipedului stfel încât suprfţ de sticlă utiliztă să fie minimă. Soluţie 6 ) f ( ) =... Tbelul de vriţie l funcţiei f ( ) f ( ) Rezultă: ( 0,) f, ( ), f... b) V= h... A = + 4h... 6 A = +... min A = pentru = şi h = Determinţi,b,c stfel încât funcţi:, < f:, f( ) = să fie continuă pe mulţime., = b+ cln( ), > Soluţie \... f continuă pe { } f continuă în lim f ( ) lim f ( ) f ( ) ( ) = =... lim f = =... ( ) lim f =± dcă c 0 c= 0... ( ) c= 0 limf = b b=... p p NOTĂ:Orice ltă rezolvre corectă v fi puncttă corespunzător.

8 ETAPA FINALĂ - mi 00 BAREM DE CORECTARE CLASA A XII A. ) Pe mulţime definim lege de compoziţie : prin y= y y+. Arătţi că lege * este comuttivă şi socitivă. b) Pe tblă sunt scrise numerele -00, -009,..., 0,,..., 00.. Se şterg două numere şi b şi, în locul lor, se scrie numărul b - - b +. Se continuă cest procedeu până când pe tblă rămâne un singur număr. Cre este cest număr? ) Comuttivitte... Asocitivitte... =... +, b) Se demonstreză că ultimul număr este ( )( )( ) ( ) 3 40 unde, i i=,40sunt numerele de pe tblă... Eistă i cu i =... Deci =... p p. Clculţi: d I= lim 0. ( + )( + ) A B + C = ( )( ) A + B = 0 A( + ) + ( B + C)( + ) B + C = 0 A =, B =, C = A + C = d ln ln rctg = ( + )( + ) ( + ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 0 = ln + rctg ( ) ( ) π I = ln + = π ln p { } 3. Considerăm mulţime [ ] [ ] ( ) ( ) F= f : 0, 0,, f continuă, f 0 = 0 şi f =.

9 ETAPA FINALĂ - mi 00 ) Fie,b [ 0, ], < b şi funcţi f: [ 0,] [ 0,], ( ) Arătţi că f Fşi clculţi f ( ) d. b) Găsiţi două funcţii f, f F, f f c) Găsiţi o funcţie f F 0 [ ] 0, 0, f =, (,b). b, [ b,] f d f d. stfel încât ( ) = ( ) stfel încât ( ) f d = ) f este continuă pe [0, ], f(0) = 0 şi f F b b ( ) + b f ( ) d = 0d + d + d = + = b b... b 0 0 b b) Conform ) se leg,b [ 0, ], b c,d 0,,c < d stfel încât + b = c + d... 3 De eemplu =, b =, c =, d = b 009 = + b= De eemplu b=, = < şi [ ] c) Conform ) se leg,b [ 0, ], < b, stfel încât p 4. L un turneu de şh u prticipt 0 de elevi. Fiecre juct câte o prtidă cu fiecre. După terminre turneului s- consttt că ect un elev s- clst pe locul l 9-le obţinând 9,5 puncte. ) Câte prtide s-u juct l cel turneu în totl? b) Arătţi că ultimul elev re cel mult 0,5 puncte. c) Pote elevul clst pe primul loc să-l depăşescă cu un punct pe l doile clst? (Se cordă pentru victorie, 0,5p pentru meci egl şi 0p pentru înfrângere) Soluţie ) S-u juct C0 = 90 prtide... b) Numărul punctelor puse în joc este Fie numărul punctelor ultimului clst. Fiecre elev de pe locurile,, 3,..., 8 re cel puţin 0 puncte... Sum tuturor punctelor este ,5 +...

10 ETAPA FINALĂ - mi 00 Deci 90 89,5 + 0,5... c) Folosind b) vem posibilităţile: = 0 şi clsmentul 0,5; 0; 0;...; 0; 9,5; 0... = 0,5 şi clsmentul 0; 0; 0;...; 0; 9,5; 0,5...