Geometria triunghiului

Transcript

1 Geometri triunghiului 1 I Triunghiul ritrr Fie AB A c h m l β γ B D E A 1 Geometri triunghiului Formule de z pentru triunghiuri Notm prin:,, c lungimile lturilor B, A, respectiv AB; α, β, γ mrimile unghiurilor opuse lturilor B, A, respectiv AB; p = + + c ; R rz cercului circumscris; r rz cercului inscris; A ri triunghiului; h, m, l lungimile inltimii, medinei, respectiv isectorei duse din vrful A In ceste nottii: α + β + γ = 180 o ; = + c c cos α sin α = sin β = c sin γ = R (teorem cosinusurilor); (teorem sinusurilor); A = 1 h ; A = 1 c sin α; A = p(p )(p )(p c) (formul lui Heron); r = A p ; R = c 4A ; m = 1 ( + c ) ; c = E (propriette isectorei); BE l = c( + + c)( + c ) c BE E; l = + c II Triunghiul dreptunghic Fie triunghiul dreptunghic AB cu m( ) = 90 o h c α β A c D c B Notm ctetele prin,, ipotenuz prin c, proiectiile ctetelor pe ipotenuz prin c, c Atunci:

2 Geometri triunghiului c = + (teorem lui Pitgor); A = 1 = 1 c h c; r = + c ; R = c ; = c sin α = c cos β = tgα = ctgβ; h c = c c (teorem inltimii); = c c, = c c (teorem ctetei) III Triunghiul echilterl cu ltur A = 3 4 ; r = 3 ; R = 3 IV tev proprietti Triunghiul AB este semene cu triunghiul A 1 B 1 1 (nottie AB A 1 B 1 1 ) dc si numi dc re loc un dintre urmtorele conditii echivlente: 1 o m( A) = m( A 1 ) si m( B) = m( B 1 ) (criteriul 1); o AB : B = A 1 B 1 : B 1 1 si m( B) = m( B 1 ) (criteriul ); 3 o AB : B : A = A 1 B 1 : B 1 1 : 1 A 1 (criteriul 3) Lini mijlocie cre uneste mijlocele dou lturi triunghiului este prlel cu ltur trei si este egl cu jumtte din lungime cestei lturi Bisectorele triunghiului sunt concurente in centrul cercului inscris in triunghi Meditorele lturilor triunghiului (dreptele cre trec prin mijlocele lturilor perpendiculr pe lturi) sunt concurente in centrul cercului circumscris triunghiului Medinele triunghiului sunt concurente intr-un punct, numit centru de greutte l triunghiului, si se imprt in punctul de concurent in rportul :1 considernd de l vrf Inltimile triunghiului sunt concurente intr-un punct, numit ortocentrul triunghiului Unele recomndri utile pentru rezilvre prolemelor de geometrie 1 Se citeste cu tentie enuntul prolemei, uneori de dou, trei ori, pentru intelege sensul fiecrei frze si fiecrui cuvnt ce se contine in enunt Astfel putem depist propriettile scunse intr-o frz, su cuvnt le oiectelor geometrice din prolem De exemplu, fie prolem: Un punct de pe ipotenuz unui triunghi dreptunghic este egl deprtt de ctete si imprte ipotenuz in segmente de lungimi 30 cm si 40 cm S se fle ctetele triunghiului Frz punctul este egl deprtt de ctete contine informti c punctul prtine isectorei unghiului drept Prin urmre, l rezolvre prolemei putem plic propriette isectorei unghiului triunghiului Se desenez cu curtete figur din enunt, stfel inct e s corespund dtelor prolemei Unele dte le prolemei se notez pe desen 3 O mre importnt o re determinre mrimii cre se i c necunoscut cu jutorul crei se pot deduce lte mrimi cerute 4 Dup efecture unei opertii (logice su de clcul) se fce imedit verificre

3 Geometri triunghiului 3 5 Dup rezolvre prolemei se fce discuti prolemei, dic se studiz dc prolem re intotdeun solutie; dc re, tunci este e unic s 6 Orice proleme rezolvt se include in gjul de cunostinte necesre pentru rezolvre ltor proleme mi dificile Din cest gj fc prte in mod necesr teoreme si formule elementre 7 Pentru pute rezolv proleme de geometrie treuie s rezolvm ct mi multe proleme de geometrie Proleme rezolvte 1 Ipotenuz unui triunghi dreptunghic este egl cu 50 m, ir inltime reltiv l ipotenuz se rport l proiecti celei mi mri ctete pe ipotenuz c 7:4 S se fle ctetele triunghiului A 7x D 4x B Fie AB din conditiile prolemei dreptunghic in si D proiecti lui pe AD onform enuntului prolemei putem pune D = 7x, DB = 4x Atunci AD = 50 4x onform teoremei inltimii D = AD DB Deci, 49x = 4x(50 4x) Rezolvm ecuti si otinem x = 48 5 Din triunghiul dreptunghic DB gsim B = D + DB = 49x + (4x) = 65x De ici B = 5x = = 48 onform teoremei lui Pitgor, din AB, otinem: A = = 98 = 14 Rspuns: 14 m, 48 m Sum unei ctete si proiectiei sle pe ipotenuz este egl cu 4 cm, ir diferent lor este egl cu 6 cm S se fle lturile triunghiului x B y D A Notm in triunghiul dreptunghic AB ctet B prin x, ir proiecti ei{ pe ipotenuz, x + y = 4, segmentul BD, prin y Atunci conform ipotezei x si y verific sistemul de ecutii x y = 6 Rezolvnd sistemul, otinem x = 15, y = 9

4 Geometri triunghiului 4 onform teoremei ctetei x = y AB De ici AB = x y = 15 9 = 5 onform teoremei lui Pitgor A = AB B = 5 15 = 0 Rspuns: B = 15 cm, A = 0 cm, AB = 5 cm 3 tetele si ipotenuz unui triunghi dreptunghic u lungimile egle respectiv cu, si c Inltime si medin triunghiului duse din vrful unghiului drept, imprt cest triunghi in trei triunghiuri S se fle riile cestor triunghiuri B D E A Fie AB triunghiul dt, in cre AB = c, A =, B = si fie < Ducem inltime D si medin E Deorece A AB = si medin oricrui triunghi imprte triunghiul in dou triunghiuri de rii egle, rezult c A AE = A BE = 4 um DB AB si coeficientul de semnre este k = c, otinem: In sfrsit, A DB = k A AB = c = 3 c A DE = A BE A DB = 4 3 c = ( ) 4c Rspuns: 4, 3 c, ( ) ( < ) 4c 4 entrul cercului inscris intr-un triunghi dreptunghic este situt l distntele 13 cm si 6 cm de vrfurile unghiurilor scutite S se fle lturile triunghiului F E r r y x O 13 6 r A x D y B

5 Geometri triunghiului 5 Fie O centrul cercului inscris in triunghiul dreptunghic AB, m( ) = 90 o um centrul cercului inscris intr-un triunghi este punctul de intersectie l isectorelor unghiurilor triunghiului, rezult c m( OAB) + m( OBA) = 1 (m( A) + m( B)) = 45o Prin urmre, m( AOB) = 180 o 45 o = 135 o onform teoremei cosinusurilor, din AOB, otinem: AB = AO + BO AO BO cos 135 o AB = ( ) 6 AB = = 13( ) = Deci, AB = c = 13 Fie rz cercului inscris in AB este r, AE = x, BF = y Atunci AD = x, BD = y Avem: r + x = 13 r + x = 13 r + y = 4 6 r (r + x) + (r + y) = 13 + y = 8 13 r(x + y) = x + y = 13 x + y = 13 r 13 = 4 13 r = Prin urmre, x = AO r = 13 4 = 3, y = = 4 5 = 10 In fine, A = r + x = 5, B = r + y = 1, AB = 13 Rspuns: 5 cm, 1 cm, 13 cm 5 Inltime D, dus din vrful unghiului drept triunghiului dreptunghic AB, imprte cest triunghi in dou triunghiuri dreptunghice AD si BD Rzele cercurilor inscrise in ceste cercuri sunt egle cu r 1 si r respectiv S se fle rz r cercului inscris in AB A D B Fie triunghiul AB din enunt cu nottiile trditionle um AD AB si coeficientul de semnre este k 1 = c, rezult r 1 r = c Anlog BD BA, k = r 1 c r = c Ridicm l ptrt ceste eglitti, le dunm memru cu memru, utilizm teorem lui Pitgor si otinem: De ici, r = r 1 + r r 1 r + r r = + c = 1 r 1 + r r = 1 r = r 1 + r 6 S se determine lturile triunghiului isoscel, stiind c rz cercului inscris in el este egl cu 3 cm, ir rz cercului circumscris este egl cu 5 8 cm

6 Geometri triunghiului 6 B A D Fie triunghiul isoscel AB cu AB = A =, B = Fie AD este inltime reltiv ( ) zei Din AD dreptunghic gsim AD = = 4, tunci Din r = A p deducem A AB = 1 B AD = 4 = 3, dic 4 su su Din + ( 4 = 3 + ) ( ) ( + ) ( = 9 + ) ( + ) = ( ) 9 c 4A = R deducem = ( 5 ) ( + ) = 4 ( ) Rezolvm sistemul, formt din ecutiile (*) si (**) Sustituim + din (*) in (**) si otinem ecuti ( omogen = 0 Imprtim ecuti l 0 si otinem ) ecuti = 0 De ici = 5 6, = 5 6, = 5 4, = 5 4

7 Geometri triunghiului 7 ercetm dou czuri: 1) Dc = 5, tunci din ecuti (*) otinem: = 6 si = 5 6 ) Dc = 5 4, tunci din ecuti (*) otinem: = 1 si = Rspuns: exist dou triunghiuri isoscele ce verific conditiile prolemei: 1) 5 cm, 5 cm, 6 cm; ) 5 1 cm, 5 1 cm, 1 cm Intr-un triunghi isoscel unghiul de l z re msur de 7 o, ir isectore cestui unghi este egl cu l S se determine lturile triunghiului l x D l 7 o 36 o A l B Fie AB triunghiul dt, A = B, m( A) = m( B) = 7 o, AD este isectore si AD = l Notm A = x, tunci BD = B D = x l AB BAD De ici, A BA = AB BD = B AD su x = l l x l = x Prin urmre, din l prim proportie, otinem: x(x l) = l x lx l = 0 x = l l 5 x = l + l 5 um ltur triunghiului re lungime pozitiv, rezult A = x = l(1 + 5) < 0, = B, AB = l 8 S se determine lturile unui triunghi cre re un unghi de 60 o, un ltul de 45 o si perimetrul egl cu ( + + 6) cm x 6 x x 3 45 o 60 o B x 3 D x A

8 Geometri triunghiului 8 Fie AB triunghiul dt, vnd m( B) = 45 o, m( A) = 60 o si AB+B+A = Notm prin D proiecti vrfului pe ltur AB si prin x lungime segmentului AD Triunghiul dreptunghic AD re un unghi scutit de 30 o, prin urmre, ipotenuz lui, A, este egl cu dulul ctetei AD: A = x Tot de ici, conform teoremei lui Pitgor, D = 4x x = x 3 Pe de lt prte, triunghiul dreptunghic DB este isoscel, prin urmre, BD = D = x 3, B = x 6 Rezult AB + B + A = (x 3 + x) + x 6 + x = x( ) = x 3( ) Deci, x 3( ) = si vem: x = ( ) = ( ) 3( ) = Otinem c lturile AB sunt: B = cm, A = = cm, AB = 6 3 ( ) cm 9 Lturile unui triunghi u lungimile 13, 14 si 15 cm Inltime si medin duse l ltur mi mre il imprt in trei triunghiuri S se clculeze riile cestor triunghiuri A D E B 15 Fie in triunghiul AB AB = 15 cm, A = 13 cm, B = 14 cm, D inltime, ir E medin duse din vrful lculm ri AB, uriliznd formul lui Heron: A AB = = = = 84 um E este medin, otinem A BE = A AE = A AB = 4 lculm inltime D: A AB = 1 AB D = 84, de ici D = 84 rezult D = 5 Gsim lungime ctetei AD triunghiului dreptunghic AD: ( ) ( 56 AD = 13 = ) ( ) 9 = = 33 5

9 Geometri triunghiului 9 lculm A AD = 1 AD D = = 94 5 In fine, A DE = A AE A AD = Rspuns: 4 cm 94 16, 5 cm, 5 cm = = In triunghiul AB cu AB = c, A = si B = re loc eglitte = ( + c) S se demonstreze c m( A) = m( B) B c A c D Fie AB posed propriette din enunt Eglitte = (+c) pote fi scris su form + c = Pe semidrept A depunem segmentul AD = c stfel inct A este intre si D onsiderm triunghiul isoscel BAD El re ABD ADB um AB este unghi exterior l BAD rezult m( AB) = m( ABD) ( ) B ercetm BA si DB Ele u unghiul comun si D = A B Prin urmre, BA DB (criteriul ) si rezult AB BD ABD De ici si din (*) otinem m( A) = m( AB) c t d 11 Medinele AL si BM le triunghiului AB se intersectez in punctul K Vrful l triunghiului este situt pe cercul ce trece prin punctele K, L, M S se clculeze lungime medinei N, dc AB = M L K A N B

10 Geometri triunghiului 10 Fie triunghiul AB verific conditiile prolemei Deorece M L este linie mijlocie in AB, ML AB si MLA LAB Dr MLA MK fiind unghiuri inscrise in cerc cre se sprigin pe ceesi cord M K AN Prin urmre, AN KAN (criteriul 1) De ici KN = N, cee ce conduce l AN eglitte: ( ) KN N = AN = ( ) Deorece K este punctul de intersectie l medinelor AB vem KN = 1 N Sustituind in (*), 3 otinem: Rspuns: N = N = 4 N = 3 Proleme propuse 1 tetele triunghiului dreptunghic sunt egle cu 6 cm si 8 cm S se fle distnt de l centrul cercului inscris in triunghi pn l centrul cercului circumscris Rspuns: 5 cm Un punct de pe ipotenuz triunghiului dreptunghic este egl deprtt de ctetele triunghiului S se fle ctetele triunghiului Rspuns: 4 cm, 56 cm 3 Distntele de l centrul cercului inscris intr-un triunghi dreptunghic pn l vrfurile unghiurilor scutite sunt egle cu 5 cm si 10 cm S se fle ctetele triunghiului Rspuns: 3 cm, 4 cm 4 S se determine unghiurile scutite le triunghiului dreptunghic dc rportul rzelor cercurilor circumscris si inscris este egl cu Rspuns: 30 o si 60 o 5 Lturile triunghiului sunt egle cu, 3 si 4 cm S se fle rz cercului cre trece prin extremittile lturii mi mre si mijlocul lturii mi mici 6 S se fle distntele de l punctul de intersectie l medinelor triunghiului pn l vrfurile lui, dc lturile triunghiului sunt egle cu 13, 14 si 15 cm 7 In triunghiul AB AB = 7 cm, A = 8 cm si m( A) = 10 o S se determine distnt de l piciorul inltimii duse din vrful B, pn l mijlocul lturii B 8 Lturile triunghiului sunt egle cu 5, 6 si 7 S se fle rportul segmentelor in cre este imprtit isectore unghiului mi mre triunghiului de ctre centrul cercului inscris in triunghi

11 Geometri triunghiului 11 9 S se fle ri triunghiului cu lturile, 7 si 8 10 Ari unui triunghi cu dou lturi de lungimi 3 si 4 este egl cu 5 Bisectore unghiului dintre lturile dte imprte cest triunghi in dou triunghiuri S se fle riile cestor triunghiuri