GEOMETRIE PENTRU GIMNAZIU Partea I (cls. a V a, a VI a, a VII a) Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică

Transcript

1 Geometrie pentru pregătirea Evaluării Naționale la Matematică (Cls. a V a, a VI a, a VII a) UNITĂȚI DE MĂSURĂ Lungime rie Volum Capacitate DE REȚINUT! Masă 1hm 1ha 1dam 1ar 1dm 1l 1q 1kg 1t 1kg 1v 1kg Timp - secundă, minut, ora, ziua, saptamana, luna, anul, deceniul, secol (veac), mileniu 1 deceniu 1 ani ; 1 secol 1 ani ; 1 mileniu 1 ani Unghi - gradul, minutul, secunda 1 6',1' 6",1 6" 1

2 UNGHIUL - Tipuri de unghiuri Unghi nul m( OB ). Unghiuri adiacente m( OC) m( OB) + m( BOC) Unghi ascuțit < m( OB) < 9 Unghi drept m( OB ) 9 Unghi obtuz 9 < m( OB) < 18 Unghi alungit m( OB ) 18 Unghiuri complementare m( OB) + m( BOC) 9 Unghiuri suplementare m( OB) + m( BOC) 18 Unghiuri opuse la vârf OC BOD BOC OD Unghiuri în jurul unui punct Suma măsurilor unghiurilor formate în jurul unui punct este de 6

3 TRIUNGHIUL După laturi 1. Clasificare: Triunghi scalen (oarecare) triunghiul cu laturile de lungimi diferite Dupa unghiuri Triunghi isoscel triunghiul care are două laturi congruente [ B] [ C] Triunghi echilateral triunghiul care are toate laturile congruente [ B] [ C] [ BC] Triunghi ascuțitunghic triunghiul care are toate unghiurile ascuțite (<9) Triunghi dreptunghic triunghiul care are un unghi drept (9 ) Proprietati: 1) B C ) [D] bisectoarea unghiului de la varf [D] mediană, înălțimea și mediatoarea bazei Proprietăți: 1) m( ) m( B) m( C) 6 )Bisectoarea oricărui unghi este mediană, înălțime și mediatoare Triunghi obtuzunghic triunghiul care un unghi obtuz (>9 )

4 . Linii importante in triunghi a) Înăltimea segmentul determinat de un vârf al triunghiului și proiecția acestuia pe latura opusă - Intersecția înălțimilor este ortocentrul triunghiului (H) b) Mediana segmentul determinat de un vârf al triunghiului și mijlocul laturii opuse. - Intersecția medianelor este centrul de greutate al triunghiului G D 1 GD D si G D [ D] mediană c) Bisectoarea (unui unghi propriu) semidreapta cu originea în vârful unghiului, situata în interiorul lui, astfel încât cele două unghiuri formate de ea cu laturile unghiului inițial să fie congruente. - intersectia bisectoarelor este centrul cercului înscris în triunghi 4

5 r S p S - aria triunghiului p - semiperimetrul r - raza cercului înscris în triunghi d) Mediatoarea (unui segment) dreapta perpendiculară dusă prin mijlocul segmentului dat - Intersecția mediatoarelor laturilor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului. Criterii de congruență pentru triunghiul oarecare L.U.L, U.L.U, L.L.L., L.U.U.* O OB OC R abc R 4S R raza cercului circumscris triunghiului a, b, c laturile triunghiului S aria triunghiului 4. Cazurile de congruență pentru triunghiurile dreptunghice C.C., C.U., I.U., I.C. 5

6 RII 1. rie triunghiul oarecare. rie triunghiul dreptunghic bh l sin 1 l u oarecare Formula lui Heron p( p a)( p b)( p c), oarecare a+ b+ c unde p h echilateral echilateral h dreptunghic dreptunghic c c c1 c ip 1. rie triunghiul echilateral 4. rie paralelogram l 4 l paralelog ram bh paralelog ram l1 l sin u P ( B + BC) paralelog ram 6

7 5. rie dreptunghi 6. rie patrat dreptunghi P ( L+ l) dreptunghi Ll 1 romb romb l sin P romb 4l d d P d patrat patrat patrat l 4l l 7. rie romb 8. rie trapez bh ( B+ b) h trapez lm h B+ b lm ( linia mijlocie) P B + BC + CD + D trapez 7

8 9. rie patrulater ortodiagonal 1. rie patrulater convex d1 d patrulater ortodiagonal P B + BC + CD + D patrulater ortodiagonal d1 d sinα, ( patrulater convex α mdd 1, ) + patrulater convex BD BDC P B + BC + CD + D patrulater ortodiagonal 11. rie poligon regulat 1. rie disc Pn an poligonregulat o n ln Rsin o n an Rcos ( o m B) n 18( n ) m( BC) n L l disc cerc arc sector π R π R π Rn 18 π 6 Rn 8

9 RELȚII METRICE ÎN TRIUNGHI 1. Teorema lui Thales Reciproca Teoremei lui Thales. Teorema fundamental a asemanarii BC F G FG BC FB GC BC E D DE BC EB DC F G Daca FG BC FB GC E D Daca DE BC EB DC BC FG BC FG BC BC ED BC DE BC.. Triunghiuri asemenea 4. Cazuri de asemanare BC ' B ' C ' 1) U.U. B C BC B C, ) si B ' ' C ' ' BC ' ' B ' ' C ' ' ', B B', C C' ' ) B C BC B ' ' C ' ' BC ' ' 9

10 . 5. Teorema catetei 6. Teorema înălțimii 7. Teorema lui Pitagora Reciproca Teorema lui Pitagora Dacă în BC BC o m( ) 9 D BC BC T. Catetei B C BD BC CD CB T. Inaltimii o m D BD DC ( ) 9 D BC BC avem BC > C > B si m( ) 9 +, ( ) 9 o BC B C BC dreptunghic m 8. Teorema bisectoarei T. Pitagora BC B C o + BC B BD ( D) bi sectoare C DC 1

11 ELEMENTE DE TRIGONOMETRIE cateta opusă sin x ipotenuză cateta alăturată cos x ipotenuză cateta opusă tgx cateta alăturată cateta alăturată ctgx cateta opusă TEOREM UNGHIULUI DE O sinx 1 cosx tgx o 45 o 6 o 1 1 ctgx 1 Într-un triunghi dreptunghic cateta opusă unghiului de este jumatate din ipotenuză TEOREM Mediana in triunghiul dreptunghic Într-un triunghi dreptunghic mediana dusă din vârful unghiului drept este jumatate din ipotenuză TEOREM COSINUSURILOR (se aplica în triunghiul oarecare) cos a b + c bc b a + c ac cos Bˆ c a + b ab cosc TEOREM SINUSURILOR (se aplică în triunghiul oarecare) a b c R sin ˆ sin Bˆ sin Cˆ ˆ ˆ Material realizat de ndrei Octavian Dobre (Profesor de matematică Ploiești) Contact: office@mateinfo.ro ; dobre.andrei@yahoo.com 11