6. METODELE GEOMETRIEI DESCRIPTIVE

Transcript

1 METDELE GEMETRIEI DESCRITIVE METDELE GEMETRIEI DESCRITIVE rin etodele geoetriei descriptive se relieă odificre proiecţiilor eleentelor geoetrice din poiţiile dte în lte poiţii, prticulre fţă de plnele de proiecţie, poiţii în cre dreptele, figurile geoetrice su unghiurile pr în devărtă ărie. Aceste trnsforări pot fi făcute în două oduri : - odificând sisteul de referinţă, dică schiând poiţi plnelor de proiecţie şi lăsând pe loc eleentul geoetric proiectt; - rotind eleentul geoetric şi lăsând neschite plnele de proiecţie. Metodele geoetriei descriptive, de trnsforre proiecţiilor eleentelor geoetrice, studite în continure sunt : - etod schiării plnelor de proiecţie; - etod rotţiei; - etod rterii. 6. Metod schiării plnelor de proiecţie rin etod schiării plnelor de proiecţie se pote schi plnul verticl de proiecţie, plnul oriontl de proiecţie, su lterntiv ele plne de proiecţie (dul schire de pln) stfel încât, eleentul proiectt să ocupe o ltă poiţie fţă de noile plne de proiecţie (în generl, prlel su perpendiculr), în funcţie de cerinţ proleei. 6.. Schire plnului verticl de proiecţie rin schire plnului verticl de proiecţie, proiecţi oriontlă eleentului geoetric răâne neschită, ir proiecţi verticlă se schiă în rport cu noul pln verticl. ) Schire plnului verticl de proiecţie pentru un punct Fie punctul A(, ) în sisteul de referinţă iniţil, fort din cele două plne de proiecţie perpendiculre, oriontl [H] şi verticl [V] (fig.6.). Dcă se consideră un nou pln verticl de proiecţie [V ], perpendiculr pe plnul [H], lini de păânt devine. În noul siste de referinţă proiecţiile punctului A vor fi : pe plnul oriontl, celşi punct,, ir pe plnul verticl [V ], punctul. Se oservă că punctul A re ceeşi cotă în noul siste ( = = ), ir depărtre odifictă ( ), rporttă l plnul verticl [V] de proiecţie [V ]. [V entru relire ] schiării de pln verticl pentru punctul A(, ), în epură (fig.6., ), se trseă nou linie de păânt, se duce lini de ordine din proiecţi oriontlă, perpendiculră pe până în şi se prelungeşte cu o distnţă eglă cu cot punctului, oţinând proiecţi. A = [H] = Fig.6. Repreentre schiării de pln verticl de proiecţie pentru punctul A(, ) : ) în spţiu ; ) în epură

2 76 GEMETRIE DESCRITIVĂ rientre liniei de păânt treuie stfel făcută încât punctul să-şi păstree diedrul în cre fost iniţil. servţie : L schire de pln verticl de proiecţie, proiecţi oriontlă şi cot unui punct răân neschite, ir proiecţi verticlă şi depărtre punctului se odifică. ) Schire plnului verticl de proiecţie pentru o dreptă Fie o dreptă fiind definită de două puncte. A schi plnul verticl de proiecţie pentru cest însenă fce cestă schire pentru două puncte le dreptei. Fiind dt segentul de dreptă AB(, ), schire de pln verticl se fce prin schire de pln verticl pentru punctele A(, ) şi B(, ), fţă de ceeşi linie de păânt, păstrând proiecţiile oriontle, şi şi cotele punctelor, =, = (fig.6.2, ). Segentul de dreptă oţinut în noul siste este A B (, ). d d = d=d = d=f = = d f d d= = = c) Fig.6.2 Schire de pln verticl pentru o dreptă Drept D(d,d ) şi drept D (d,d ) oţinută sunt într-o poiţie orecre, dr de oicei, în prolee, drept orecre este trnsfortă într-o dreptă prticulră, legând poiţi noului pln verticl, convenilă. rin schire plnului verticl de proiecţie o dreptă orecre D(d,d ) se trnsforă într-o frontlă F(f,f ) - luând lini de păânt prlelă cu proiecţi oriontlă dreptei, d (fig.6.2, ) - su într-o dreptă de profil Δ(δ,δ )- luând lini de păânt perpendiculră pe proiecţi oriontlă dreptei, d (fig.6.2, c). c) Schire plnului verticl de proiecţie pentru un pln Se consideră un pln orecre [], dt prin urele sle, şi şi un nou pln verticl de proiecţie [V ]. Cele două plne verticle de proiecţie şi plnul dt se [V ] = i i [V] [] [H] [ ] = i i i i i i = c) Fig.6.3 Repreentre schiării de pln verticl de proiecţie pentru plnul [] : ) în spţiu; ) c) în epură

3 METDELE GEMETRIEI DESCRITIVE 77 intersecteă într-un punct I(i,i ), cărui proiecţie oriontlă i coincide cu intersecţi celor două linii de păânt: i = (fig.6.3, ). entru reli schire de pln verticl pentru plnul [] în epură, se oservă că ur oriontlă plnului răâne neschită, şi l intersecţi ei cu se oţine punctul. entru flre noii urei verticle se ţine se de fptul că punctul I(i,i ) prţine tât urei verticle vechi cât şi celei noi, deci se fce schire de pln verticl pentru punctul I. Nou proiecţie verticlă se oţine ăsurând cot punctului I, pe perpendiculr dusă din proiecţi oriontlă i pe, su rotind proiecţi verticlă i în jurul lui i până se suprpune pe ce perpendiculră, în i. roiecţi verticlă i, respectiv plnul oriontl [H], se pote roti în sensul prevăut în figur 6.3,, oţinându-se epur din figur 6.3, su în sens contrr, c şi în epur din figur 6.3, c. În fiecre c se stileşte sensul corespunător pentru nou ă. unctul şi proiecţi verticlă i deterină ur verticlă plnului [ ], oţinută după schire de pln verticl : = i. Schire de pln verticl pentru un pln orecre [], se plică în generl, tunci când se urăreşte trnsforre lui într-un pln prticulr şi nue într-un pln proiectnt de cpăt [ ](fig.6.4, ) su într-un pln pln prlel cu lini de păânt [ 2 ] (fig.6.4, ). Lini de păânt se trseă perpendiculră pe ur oriontlă plnului, în trnsforre din figur 6.4, su prlelă cu cest, în trnsforre din figur 6.4, şi în continure, se plică etodologi descrisă i sus, pentru schire plnului verticl de proiecţie. rin plnul [ ] stfel trnsfort, se oţine ărie relă unghiului pe cre plnul orecre [] îl fce cu plnul oriontl de proiecţie, unghi identic cu unghiul pln dintre ur şi Schire plnului oriontl de proiecţie rin schire plnului oriontl de proiecţie, proiecţi verticlă eleentelor geoetrice răâne neschită, ir proiecţi oriontlă se odifică în rport cu noul pln oriontl. ) Schire plnului oriontl de proiecţie pentru un punct Se consideră un punct A(, ) şi un nou pln oriontl de proiecţie, [H ], perpendiculr pe plnul verticl de proiecţie [V], cre se enţine (fig.6.5, ). lnele de proiecţie [H ] şi [V] se intersecteă după lini de păânt,. În noul siste de proiecţie = i i i i = 2 Fig.6.4 ln orecre trnsfort în : ) pln de cpăt ; ) pln prlel cu lini de păânt [V] [H] = A [H ] i i 2 = 2 Fig.6.5 Repreentre schiării de pln oriontl de proiecţie pentru punctul A(, ) : ) în spţiu; ) în epură

4 78 GEMETRIE DESCRITIVĂ punctul A re ceeşi proiecţie verticlă, şi o nouă proiecţie oriontlă,. În epură (fig.6.5, ), pentru deterinre proiecţiei oriontle, se ţine se de fptul că punctul re ceeşi depărtre. Astfel, după trsre ei se duce lini de ordine din până l intersecţi cu cest, unde se oţine şi se prelungeşte cu o distnţă eglă cu depărtre punctului, = =. Sensul liniei de păânt se stileşte stfel încât punctul să răână în diedrul în cre fost îninte de schire plnului de proiecţie. servţie : L schire de pln oriontl de proiecţie, proiecţi verticlă şi depărtre unui punct răân neschite şi se odifică proiecţi oriontlă şi cot punctului. ) Schire plnului oriontl de proiecţie pentru o dreptă Schire de pln oriontl de proiecţie pentru o dreptă se fce prin schire plnului oriontl pentru două puncte le dreptei. = g d=g d = Fig.6.6 Schire de pln oriontl pentru o dreptă Fie segentul de dreptă AB(, ). rintr-o schire de pln oriontl cest pote fi dus prlel fţă de noul pln oriontl de proiecţie [H ] (fig.6.6). Nou linie de păânt se v lu stfel încât punctele A(, ) şi B(, ) să iă ceeşi cotă în noul siste de referinţă, dică prlelă cu proiecţi verticlă, cre răâne neschită,. Trsre ei de o prte su de lt proiecţiei, nu odifică reolvre proleei, ci dor sensul ei. Din proiecţiile verticle le punctelor A şi B se duc linii de ordine perpendiculre pe şi pe ceste se ăsoră depărtările punctelor, = şi =, oţinându-se proiecţi oriontlă segentului oriontl A B,. Astfel, pe epur din figur 6.6 se pote găsi devărt ărie segentului AB, AB = şi unghiul pe cre-l fce cu plnul verticl de proiecţie, (AB,[V]) =, cest definind poiţi unei drepte oriontle G(g,g ) (dreptă de nivel). c) Schire plnului oriontl de proiecţie pentru un pln Fie dt prin ure plnul orecre []. Dcă se fce o schire de pln oriontl de proiecţie pentru cest pln el se trnsforă într-un pln [ ], fţă de noul siste de proiecţie, lcătuit din plnul verticl [V] şi noul pln oriontl [H ] (fig 6.7). Ur verticlă noului pln răâne neschită,. entru deterinre urei oriontle se foloseşte punctul de intersecţie celor trei plne, [H], [] şi [H ], deterint l intersecţi celor două linii de păânt, = I(i,i ), punct [V] = = [H ] [ ] i i i [] i [H] i Fig.6.7 Schire de pln verticl de proiecţie pentru plnul orecre [] cre re proiecţi verticlă i pe lini de păânt şi proiecţi oriontlă i pe ur plnului. Se fce schire de pln oriontl pentru punctul I, ăsurând depărtre punctului pe lini de ordine dusă din i, su rotind proiecţi oriontlă i până se suprpune pe lini de ordine, fţă de, în i. Un lt punct l urei oriontle este, unde ur verticlă intersecteă

5 METDELE GEMETRIEI DESCRITIVE 79 lini de păânt. Se unesc cele două puncte şi se oţine ur oriontlă plnului trnsfort, = i. Rotire proiecţiei i se pote fce şi în sens invers celui preentt în epur din figur 6.7,, în cest c odificându-se şi direcţi ei. Dcă nou linie de păânt se i perpendiculră pe ur verticlă plnului orecre [], plnul se trnsforă într-un pln proiectnt verticl [ ] (fig.6.8). Astfel, se pote deterin unghiul diedru dintre plnul [] şi plnul verticl de proiecţie [V], c fiind unghiul pln, dintre ur oriontlă şi nou linie de păânt. = i i i Fig.6.8 ln orecre trnsfort în pln proiectnt verticl 6..3 Dul schire plnelor de proiecţie rin suiectele trtte i sus se oservă că printr-o singură schire de pln de proiecţie, o dreptă orecre pote fi dusă prlelă cu un pln de proiecţie, ir un pln orecre pote fi trnsfort într-un pln proiectnt fţă de unul din plnele de proiecţie. În reolvre proleelor, uneori este necesr c o dreptă orecre să fie trnsfortă într-o dreptă perpendiculră pe unul din plnele de proiecţie su un pln orecre să fie dus în poiţi de pln prlel cu un pln de proiecţie. Aceste odificări, poiţiei dreptelor su plnelor, pot fi făcute prin două schiări succesive le plnelor de proiecţie. ) Trnsforre unei drepte orecre în dreptă perpendiculră pe unul din plnele de proiecţie Aducere unui segent de dreptă, de poiţie orecre, AB(, ) în poiţi, perpendiculră pe unul din plnele de proiecţie, coportă două schiări de pln succesive (fig.6.9). În epur din figur 6.9, s- reolvt trnsforre dreptei D(d,d ), orecre, în drept verticlă Δ(δ,δ ). ri schire de pln de proiecţie se fce stfel încât segentul de dreptă să se trnsfore într-o frontlă F(f,f ), deci plnul verticl de proiecţie [V] se înlocuieşte cu un pln [V ], prlel cu drept D(d,d ). entru schire de pln verticl de proiecţie, se i lini de păânt prlelă cu proiecţi oriontlă dreptei, şi păstrând cotele punctelor A şi B se deterină proiecţiile verticle şi, pe liniile de ordine trste din şi. Frontl F(f,f ) dă ărie relă segentului AB, prin proiecţi verticlă, AB = şi unghiul pe cre-l fce drept D(d,d ) cu plnul oriontl de proiecţie [H], prin ărie unghiului cuprins între proiecţi verticlă şi. entru dou schire de pln, se v lu în locul plnului oriontl de proiecţie [H] un nou pln [H ], perpendiculr pe frontl A B. În epură, schire de pln oriontl de proiecţie se terilieă prin trsre liniei de păânt 2 2, perpendiculră pe proiecţi verticlă frontlei A B, 2 2. roiecţi verticlă răâne neschită, 2 2 (f = δ ), ir pentru deterinre proiecţiei oriontle se duce lini de ordine din 2 şi din 2 şi se ăsoră depărtările punctelor A şi B, cre sunt identice, deci se oţin două puncte suprpuse, 2 2. Depărtările punctelor A şi B se iu din sisteul de proiecţie ([H],[V ]). Drept Δ(δ,δ ), δ 2 2, δ = 2 2, oţinută prin cele două schiări de plne de proiecţie este o verticlă. În od siilr, o dreptă orecre D(d,d ) pote fi trnsfortă într-o dreptă de cpăt Δ(δ,δ ) (fig.6.9, ). rin schire de pln oriontl de proiecţie drept orecre

6 80 GEMETRIE DESCRITIVĂ D(d,d ) se trnsforă în oriontl G(g,g ), ir poi prin schire de pln verticl de proiecţie, oriontl se trnsforă în dreptă de cpăt. = = 2 d d=f = 2 = f= 2 = 2 = d = 2 2 = 2 2 ) Deterinre distnţei de l un punct l o dreptă Fie dtă drept AB(, ) şi un punct eterior ei M(, ) (fig.6.0). entru deterinre distnţei de l punct l dreptă, se duce perpendiculr MN din punct pe dreptă şi se găseşte ărie cestei perpendiculre. Confor teoreei unghiului drept, pentru se pute duce din punctul M perpendiculr pe drept AB, cest treuie să fie prlelă cu unul din plnele de proiecţie, stfel încât în epură, unghiul drept să se proiectee în devărtă ărie pe cel pln. Drept AB se trnsforă într-o frontlă, printr-o schire de pln verticl de proiecţie, luând prlelă cu proiecţi oriontlă şi păstrând cotele punctelor A şi B. oiţi punctului M în noul siste de referinţă ([H],[V ]) v fi M (, ). Din proiecţi verticlă se duce perpendiculr pe proiecţi verticlă frontlei şi se găseşte piciorul perpendiculrei în punctul n. Segentul M N ( n, n ), este perpendiculr dusă din punctul M pe drept A B, cre revenind în sisteul iniţil devine MN(n, n ). n Atât în priul siste de referinţă cât şi în l doile, cestă perpendiculră este o dreptă orecre. entru se deterin ărie relă segentului M N se fce o n=n schire de pln oriontl de proiecţie, = = legând poiţi liniei de păânt 2 2 prlelă = cu proiecţi verticlă n, dică trnsforându-l în oriontl 2 = 2 2 M 2 N 2 ( 2 n 2, 2 n 2 ). Drept A B devine în l MN doile siste de referinţă ([H ],[V ]), verticl = 2 n =n 2 = 2 A 2 B 2 ( 2 2, 2 2 ). Distnţ relă de l punctul 2 = 2 =n 2 2 M l drept AB este dtă de proiecţi oriontlă 2 n 2 segentului M 2 N 2. = 2 d=g g= = 2 = 2 2 = = 2 = Fig.6.9 Trnsforre unei drepte orecre în dreptă perpendiculră pe unul din plnele de proiecţie : ) verticlă ; ) dreptă de cpăt Fig.6.0 Distnţ de l un punct l o dreptă orecre

7 METDELE GEMETRIEI DESCRITIVE 8 c) Trnsforre unui pln orecre în pln prlel cu unul din plnele de proiecţie Trnsforre unui pln orecre în pln prlel cu unul din plnele de proiecţie se pote fce prin două schiări de pln succesive (fig.6.). În epur din figur 6., s- reolvt trnsforre plnului [], orecre, într-un pln de nivel [N]. rintr-o schire de pln verticl de proiecţie, plnul [] se trnsforă în plnul de cpăt [ ], luând lini de păânt perpendiculră pe ur oriontlă. A dou schire este de pln oriontl de proiecţie, considerându-se un nou pln oriontl [H ], prlel cu plnul de cpăt [ ]. În epură, cest se terilieă prin lini de păânt 2 2 prlelă cu ur verticlă plnului de cpăt,, cre devine şi ur plnului de nivel căutt : N. În od siilr, plicând o schire de pln oriontl, prin cre plnul orecre [] se trnsforă în plnul proiectnt verticl [ ] şi poi o schire de pln verticl, se oţine plnul de front [F], cărui ură oriontlă este ceeşi cu ur oriontlă plnului proiectnt verticl : F (fig.6., ). d) Deterinre ăriii rele unei figuri geoetrice Se ştie că o figură geoetrică se proiecteă în devărtă ărie pe unul din plnele de proiecţie tunci când este prlelă cu cest. Dcă se dă plc triunghiulră ABC(c, c ), în poiţie orecre şi se cere deterinre ăriii ei rele, treuie c plnul triunghiului să devină prlel cu un pln de 2 = 2 2 c 2 2 c = 2 c=c c =c 2 ABC = = = i i =N i ABC = 2 = c 2 = 2 2 c =c 2 c=c c 2 2 = 2 i i =F Fig.6. Trnsforre unui pln orecre în pln prlel cu un pln de proiecţie : ) pln de nivel ; ) pln de front = i 2 2 Fig.6.2 Adevărt ărie triunghiului [ABC]

8 82 GEMETRIE DESCRITIVĂ proiecţie. entru cest treuie schite succesiv ele plne de proiecţie, ordine schiărilor fiind indiferentă. În epur din figur 6.2,, supr plăcii triunghiulre ABC se plică o schire de pln verticl de proiecţie, stfel încât să devină pln de cpăt, [A B C ] [V ], ir poi o schire de pln oriontl de proiecţie, devenind pln de nivel, [A 2 B 2 C 2 ] [H ]. entru relire schiării de pln verticl de proiecţie se foloseşte o oriontlă triunghiului ABC, dusă printr-un vârf l triunghiului, A(, ). Lini de păânt se trseă perpendiculră pe proiecţi oriontlă oriontlei,, stfel încât cest se trnsforă într-o dreptă de cpăt. Din proiecţiile oriontle le vârfurilor triunghiului, şi c se duc linii de ordine şi se ăsoră cotele punctelor, oţinând proiecţiile verticle, şi c, colinire, vând în vedere că triunghiul [A B C ] este proiectnt fţă de plnul verticl de proiecţie [V ] (pln de cpăt). L dou schire de pln oriontl de proiecţie, lini de păânt 2 2 se trseă prlelă cu ur verticlă plnului triunghiului [A B C ], 2 2 c (triunghiul este prlel cu plnul [H ]). Din proiecţiile verticle le vârfurilor triunghiului,, şi c se trseă linii de ordine şi se ăsoră depărtările punctelor din l doile siste de referinţă ([H],[V ]), oţinându-se proiecţiile 2, 2 şi c 2, cre unite du devărt ărie triunghiului, 2 2 c 2 ABC. În od siilr, se pote începe cu o schire de pln oriontl de proiecţie, c şi în epur din figur 6.2,, plc triunghiulră ABC devenind pln proiectnt verticl, [A B C ] [H ], ir poi o schire de pln verticl de proiecţie, devenind pln de front, [A 2 B 2 C 2 ] [V ]. Adevărt ărie triunghiului reultă în proiecţi verticlă : 2 2 c 2 ABC Metod se pote plic şi pentru deterinre unghiului rel dintre două drepte orecre, ducând plnul celor două drepte prlel cu unul din plnele de proiecţie, prin două schiări succesive de pln. 6.2 Metod rotţiei rin etod rotţiei, plnele de proiecţie oriontl şi verticl răân neodificte c poiţie în spţiu şi se odifică poiţi eleentelor geoetrice fţă de ceste, prin rotire lor în jurul unei e de rotţie Z, perpendiculră pe unul din plnele de proiecţie. lnele în cre se rotesc punctele sunt perpendiculre pe de rotţie, deci sunt prlele cu plnele de proiecţie. unctul în cre de rotţie înţepă un stfel de pln se nueşte centru de rotţie, se noteă cu şi repreintă centrul rcelor de cerc descrise de puncte în rotţie. R rcelor de cerc este eglă cu distnţ de l puncte l centrul de rotţie, ir când punctele sunt situte pe de rotţie, ele nu se deplseă răânând propriile lor puncte rotite. Sensul în cre se rotesc punctele este indiferent, dr este iportnt c tote punctele unei figuri geoetrice să fie rotite în celşi sens şi cu celşi unghi Rotţi de nivel L rotţi de nivel, de rotţie Z(, ) este perpendiculră pe plnul oriontl de proiecţie [H] (dreptă verticlă), ir plnele în cre se rotesc punctele sunt plne prlele cu plnul [H] (plne de nivel [N]). Arcele de cerc după cre se rotesc punctele se proiecteă în devărtă ărie pe plnul oriontl de proiecţie.

9 METDELE GEMETRIEI DESCRITIVE 83 ) Rotţi de nivel pentru un punct Fie punctul A(, ) cre se roteşte în jurul ei de rotţie Z(, ), în plnul de nivel [N]. În spţiu (fig.6.3, ), punctul A se roteşte cu unghiul, descriind rcul de cerc AA, cu r A = r şi cu centrul în centrul de rotţie. În epură (fig.6.3, ), rotţi punctului se trnspune prin rotire proiecţiei oriontle punctului, proiecţiei oriontle ei de rotţie, cu r, Z [V] descriind rcul. roiecţi verticlă A punctului rotit, se A oţine ridicând din [N] proiecţi oriontlă o = linie de ordine până pe ur verticlă plnului [H] de nivel N, în cre s- produs rotţi. Deci, în tipul rotţiei, proiecţi verticlă se deplseă prlel cu lini de păânt, până în. unctul rotit A (, ) îşi păstreă cot. r r cu unghiul, în jurul servţie : L rotţi de nivel punctele îşi odifică tât proiecţi oriontlă cât şi ce verticlă, dr îşi păstreă cot neschită. ) rotţi de nivel pentru o dreptă L rotţi de nivel unei drepte este suficient să se rotescă două puncte le ei pentru oţine poiţi rotită dreptei. Aici întâlni două curi : de rotţie este su nu concurentă cu drept. ) Rotţi de nivel dreptei neconcurentă cu de rotţie În principiu, dcă se dă drept D(d,d ) şi se cere să se rotescă în jurul ei de rotţie Z(, ) cu unghiul, cest se pote fce prin rotire cu unghiul oricăror două puncte ce prţin dreptei. Totuşi, pentru nu fi necesr să se ăsore cest unghi pentru fiecre punct rotit, se preferă să se lucree cu perpendiculr coună dintre de rotţie şi dreptă. Astfel, în figur 6.4, se duce perpendiculr pe proiecţi oriontlă d dreptei şi se roteşte proiecţi cu unghiul până în, în jurul ei. Tngent dusă în l rcul descris este chir proiecţi oriontlă d dreptei rotite. entru pute construi şi proiecţi verticlă se i roteşte şi punctul până se suprpune pe d, în. Se ridică linii de ordine din proiecţiile oriontle rotite şi şi l intersecţi cu prlelele duse prin şi l d d d d r = Fig.6.3 Repreentre rotţiei de nivel pentru punctul A(, ): ) în spţiu, ) în epură d d f c) f N d d Fig.6.4 Rotţi de nivel dreptei D(d,d ), neconcurentă cu de rotţie Z(, )

10 84 GEMETRIE DESCRITIVĂ, se oţin proiecţiile verticle şi cre definesc proiecţi verticlă d dreptei rotite D. Dcă tngent l rcul după cre se roteşte punctul se duce stfel încât să fie prlelă cu, drept rotită v fi o frontlă F(f,f ), c în epur din figur 6.4,, ir dcă tngent este perpendiculră pe, drept rotită v fi o dreptă de profil Δ(δ,δ ) (fig.6.4, c). 2) Rotţi de nivel dreptei concurente cu de rotţie Când de rotţie Z(, ) este concurentă cu drept dtă D(d,d ) în punctul I(i,i ), este suficient să se rotescă un singur punct l dreptei, l doile punct pentru definire dreptei rotite fiind chir punctul de concurenţă, cre răâne propriul lui rotit. În figur 6.5, pentru deterinre poiţiei rotite cu unghiul dreptei D(d,d ) se roteşte punctul în, în jurul ei şi se găseşte proiecţi verticlă. Drept rotită D (d,d ) este deterintă de cele două puncte : punctul de concurenţă I(i,i) şi punctul rotit A (, ) : d = i şi d = i. d i d i= d d d d i i= f f d i i= c) Fig.6.5 Rotţi de nivel dreptei D(d,d ), concurentă cu de rotţie Z(, ) d Urând ceeşi etodologie, în epur din figur 6.5, drept orecre D(d,d ) s- trnsfort în drept frontlă F(f,f ), rotind proiecţi oriontlă până segentul i devenit prlel cu. De seene drept orecre D(d,d ) se pote roti până în poiţi de dreptă de profil Δ(δ,δ ), c în epur din figur 6.5, c. c) Rotţi de nivel pentru un pln L rotţi de nivel unui pln orecre [] cu un unghi se întâlnesc două curi : ) Rotţi de nivel plnului când de rotţie este o verticlă orecre Fiind dt plnul orecre [] şi de rotţie Z(, ) se propune rotire plnului în jurul cestei cu unghiul (fig.6.6, ). Se utilieă o oriontlă G(g,g ) plnului, dusă prin punctul de intersecţie I(i,i ) dintre pln şi de rotţie, punct cre nu-şi schiă v v g=g v g i i v v v g g g i= i= ) ) Fig.6.6 Rotţi de nivel plnului când de rotţie este o verticlă orecre poiţi în tipul rotţiei. Din se duce perpendiculr, pe ur oriontlă plnului, şi se roteşte punctul cu unghiul cerut până în punctul, în jurul ei. Ducând tngent în l rcul de cerc descris de punctul se oţine ur oriontlă plnului rotit [ ], ir l intersecţi cu

11 METDELE GEMETRIEI DESCRITIVE 85 punctul. După rotire oriontl G v ve o nouă poiţie G (g,g ). roiecţi oriontlă g trece prin punctul i şi este prlelă cu ur, ir proiecţi verticlă răâne neschită, g g. Se deterină ur verticlă oriontlei G, V (v,v ), ir ur verticlă plnului rotit v trece prin şi prin v, = v. Dcă tngent în l rcul de cerc descris de proiecţi este perpendiculră pe,, plnul [ ] oţinut este un pln de cpăt (fig.6.6, ). În cest c oriontl G(g,g ) s- trnsfort într-o dreptă de cpăt, cu proiecţi verticlă în i, g i. 2) Rotţi de nivel plnului când de rotţie este o verticlă cuprinsă în plnul verticl de proiecţie Dcă de rotţie Z(, ) este o verticlă din plnul [V] punctul de intersecţie dintre cest şi plnul orecre [], I(i,i ) se găseşte l intersecţi urei verticle cu proiecţi verticlă ei de rotţie. Deorece, un pln orecre se roteşte în generl cu scopul de se trnsfor într-un pln cu o poiţie prticulră fţă de plnele de proiecţie, în figur 6.7 s- trnsfort plnul orecre [] într-un pln de cpăt [ ]. entru cest s- trst perpendiculr pe ur oriontlă plnului şi s- rotit punctul până se suprpune pe în. Ur oriontlă plnului rotit [ ] este perpendiculră pe în punctul,, ir ur verticlă se oţine unind punctul cu proiecţi verticlă i, = i. lnul oţinut deterină unghiul diedru dintre plnul [] şi plnul oriontl de proiecţie [H], c fiind unghiul pln dintre ur verticlă şi Rotţi de front Rotţi de front unui eleent geoetric se fce în jurul unei e de rotţie Z(, ) cre este perpendiculră pe plnul verticl de proiecţie [V] (dreptă de cpăt), punctele rotindu-se în plne prlele cu plnul [V] (plne de front). Arcele de cerc descrise de puncte sunt proiectte pe plnul verticl de proiecţie în devărtă ărie. ) Rotţi de front pentru un punct Se consideră punctul A(, ) cre se roteşte cu unghiul în jurul ei de rotţie Z(, ) descriind un rc de cerc AA cu centrul în punctul şi de ră A = r (fig.6.8). În epură, unghiul după cre s- rotit punctul, se proiecteă pe plnul verticl de proiecţie, deci proiecţi verticlă punctului se roteşte în jurul proiecţiei verticle ei de rotţie, [V] i =i = Fig.6.7 Rotţi de nivel plnului când de rotţie este o verticlă din [V] = = r A [F] Z F [H] A r r Fig.6.8 Repreentre rotţiei de front pentru punctul A(, ): ) în spţiu ; ) în epură

12 86 GEMETRIE DESCRITIVĂ după rcul de cerc de ră şi de unghi până junge în, proiecţi verticlă punctului A rotit. entru deterinre proiecţiei oriontle punctului rotit se duce linie de ordine din până pe ur oriontlă plnului de front F, în cre se petrece rotţi. Deci, proiecţi oriontlă punctului rotit se deplseă prlel cu, dică re ceeşi depărtre. servţie : L rotţi de front punctele îşi odifică tât proiecţi oriontlă, cât şi ce verticlă, dr îşi păstreă depărtările neschite. ) Rotţi de front pentru o dreptă L rotţi de front dreptei, rţionentul este siilr cu cel de l rotţi de nivel. Întâlni şi ici cele două curi, când de rotţie este su nu concurentă cu drept. În figur 6.9, se preintă rotţi dreptei D(d,d ) în jurul ei de rotţie Z(, ), neconcurente cu drept, folosind perpendiculr coună între de rotţie şi dreptă,. roiecţi se roteşte cu unghiul dt şi odtă cu e şi proiecţi verticlă dreptei d, cre junge în poiţi d, tngentă l rcul în. roiecţi oriontlă punctului M, se oţine prin trnsltre proiecţiei oriontle, prlel cu, până întâlneşte lini de ordine coorâtă din. entru definire proiecţiei oriontle d dreptei rotite se i roteşte punctul N(n,n ) l dreptei până în N (n,n ) : i întâi se deterină proiecţi verticlă n pe proiecţi d şi poi proiecţi oriontlă n. roiecţiile oriontle şi n deterină proiecţi oriontlă dreptei rotite D (d,d ), d = n. n n n n d d n g d d = n = n = d d d n g n n n n c) În epur din figur 6.9, drept orecre D(d,d ) s- trnsfort în drept oriontlă G(g,g ), prin rotire proiecţiei, respectiv proiecţiei d, în jurul ei, până devine prlelă cu. De seene, printr-o rotţie de front, o dreptă orecre Fig.6.9 Rotţi de front dreptei D(d,d ), neconcurentă cu de rotţie g d g d = Fig.6.20 Rotţi de front dreptei D(d,d ), concurentă cu de rotţie D(d,d ) se pote trnsfor într-o dreptă de profil Δ(δ,δ ), c în epur din figur 6.9, c. Rotţi dreptei D(d,d ) în jurul unei e de rotţie Z(, ), concurente cu drept, este preenttă în figur 6.20, unde printr-o rotţie de front drept dtă D(d,d ) este trnsfortă într-o oriontlă G(g,g ). Drept rotită G este deterintă de punctul de intersecţie cu de rotţie I(i,i ) şi de punctul M (, ), rotit convenil, stfel încât proiecţi verticlă g să fie prlelă cu. roiecţi oriontlă s- deterint coorând din o linie de ordine până l intersecţi cu prlel l, trstă prin proiecţi oriontlă.

13 METDELE GEMETRIEI DESCRITIVE 87 c) Rotţi de front pentru un pln Rotţi de front unui pln orecre pore fi făcută în jurul unei e de rotţie Z(, ) cre să fie perpendiculră pe plnul verticl de proiecţie într-un punct orecre din spţiu su să fie cuprinsă în plnul oriontl de proiecţie. ) Rotţi de front plnului când de rotţie este o dreptă de cpăt orecre În figur 6.2, pentru rotire plnului [] cu unghiul în jurul ei de rotţie Z(, ), se utilieă o frontlă F(f,f ) plnului, cre nu-şi schiă depărtre. Frontl se trseă prin punctul de intersecţie I(i,i ) dintre de rotţie şi pln. În tipul rotţiei punctul I răâne propriul lui rotit. Din proiecţi verticlă se duce perpendiculr pe ur plnului şi se roteşte cu unghiul până în punctul. Tngent dusă în l rcul de cerc descris este chir ur verticlă plnului [ ] rotit şi întâlneşte în punctul. oiţi rotită frontlei F (f,f ) se oţine trsând proiecţi verticlă f prin i, prlelă cu ur verticlă. Ur oriontlă H (h,h ) frontlei rotite F v fi l doile punct cre deterină ur oriontlă plnului [ ], = h. Dcă perpendiculr se roteşte în jurul ei până devine prlelă cu, ur verticlă devine perpendiculră pe şi ur oriontlă este dtă de punctul şi punctul de intersecţie i : = i (fig.6.2, ). lnul stfel oţinut este un pln proiectnt verticl. i= f h f h h i h f=f ) 2) Rotţi de front plnului când de rotţie este o dreptă de cpăt cuprinsă în plnul oriontl de proiecţie rin rotţi de front un pln orecre [] pote fi trnsfort în pln proiectnt verticl, stfel încât să se deterine unghiul diedru pe cre plnul îl fce cu plnul verticl de proiecţie. În figur 6.22 este reolvtă cestă proleă. A de rotţie Z(, ) se lege o dreptă de cpăt cuprinsă în plnul [H]. Astfel, punctul de intersecţie I(i,i ), dintre plnul [] şi de rotţie este situt în plnul oriontl, pe ur oriontlă şi răâne propriul său rotit. Din se trseă perpendiculr pe ur oriontlă în şi se roteşte perpendiculr până se suprpune peste,, respectiv ur verticlă rotită devine perpendiculră pe şi. Ur oriontlă plnului rotit se oţine unind cu proiecţi oriontlă i, = i. Unghiul căutt este unghiul pln cuprins între ur şi. h h ) f i= Fig.6.2 Rotţi de front plnului când de rotţie este o dreptă de cpăt orecre =i i i = Fig.6.22 Rotţi de front plnului când de rotţie este o dreptă de cpăt din [H] f

14 88 GEMETRIE DESCRITIVĂ Dul rotţie dreptelor şi plnelor rintr-o singură rotţie, de nivel su de front, o dreptă pote fi trnsfortă dintr-o poiţie orecre într-o poiţie prlelă cu unul din plnele de proiecţie, ir poiţi orecre unui pln pote fi odifictă într-o poiţie prticulră, perpendiculră fţă de un pln de proiecţie. entru trnsfor o dreptă orecre într-o dreptă perpendiculră pe unul din plnele de proiecţie, su un pln orecre într-un pln prlel cu un pln de proiecţie, se plică două rotţii succesive supr celui eleent. ) Trnsforre unei drepte orecre într-o dreptă de cpăt entru trnsfor drept D(d,d ) într-o dreptă de cpăt, supr ei se plică două rotţii succesive: o rotţie de front, prin cre drept D(d,d ) orecre se trnsforă în drept G(g,g) oriontlă şi o rotţie de nivel, prin cre oriontl G se trnsforă în drept Δ(δ,δ ), dreptă de cpăt (fig.6.23, ). L pri rotţie de rotţie Z(, ) este o dreptă de cpăt, concurentă cu drept dtă în punctul I(i,i ). Este suficient să se rotescă punctul M(, ), stfel încât proiecţi verticlă i g să fie prlelă cu. roiecţi oriontlă dreptei G trece prin punctele i şi, g = i. A dou rotţie se relieă în jurul ei Z (, ), cre este o dreptă verticlă, concurentă cu drept G în punctul M. Se roteşte punctul i de pe proiecţi oriontlă g până în i, stfel încât proiecţi oriontlă δ = i să fie perpendiculră pe. roiecţi verticlă i se trnslteă prlel cu până se suprpune cu, oţinând proiecţi verticlă dreptei Δ, un punct, δ i. d d g i =i g =i = i = entru trnsfor o dreptă orecre D(d,d ) într-o verticlă Δ(δ,δ ), se procedeă siilr (fig.6.23, ). ri rotţie este de nivel şi se oţine o dreptă de front F(f,f ), ir poi dou rotţie este de front, trnsforând frontl F(f,f ), oţinută nterior, în verticl Δ(δ,δ ). ) Trnsforre unui pln orecre în pln prlel cu unul din plnele de proiecţie Trnsforre unui pln orecre în pln prlel cu unul din plnele de proiecţie se pote fce prin două rotţii succesive (fig.6.24). În epur din figur 6.24,, s- trtt trnsforre plnului [], orecre, într-un pln de nivel [N]. rintr-o rotţie de nivel în jurul unei e Z(, ), dreptă verticlă i i= Fig.6.23 Trnsforre unei drepte orecre D(d,d ) într-o : ) dreptă de cpăt ; ) dreptă verticlă d d f f i = =i =

15 METDELE GEMETRIEI DESCRITIVE 89 cuprinsă în plnul verticl, plnul [] se trnsforă în plnul de cpăt [ ]. A dou rotţie cre se efectueă este de front, considerându-se o nouă ă de rotţie Z (, ), dreptă de cpăt, conţinută în plnul oriontl. Se oţine ur verticlă N plnului de nivel [N]. În od siilr, plicând o rotţie de front, cu o ă de rotţie Z(, ), dreptă de cpăt, conţinută în plnul oriontl, plnul orecre [] se trnsforă în plnul proiectnt verticl [ ], c poi printr-o rotţie de nivel în jurul unei e Z (, ), dreptă verticlă cuprinsă în plnul verticl de proiecţie, să se oţină plnul de front [F], cu ur oriontlă F (fig.6.24, ). i n N n =i = = F =i n n i Fig.6.24 Trnsforre unui pln orecre în pln prlel cu un pln de proiecţie : ) pln de nivel ; ) pln de front c) Deterinre ăriii rele unei figuri geoetrice entru deterin devărt ărie plăcii triunghiulre [ABC], fltă într-o poiţie orecre în spţiu, plnul triunghiului treuie să se ducă în poiţie prlelă cu unul din plnele de proiecţie, prin două rotţii succesive. Astfel, în epur din figur 6.25,, s- făcut i întâi o rotţie de nivel, plnul triunghiului devenind pln proiectnt de cpăt, ir poi printr-o rotţie de front, plnul de cpăt s- trnsfort în pln de nivel. Se enţioneă că rotţiile triunghiului s-u făcut prin rotţiile punctelor cre îl deterină. Astfel, se re în vedere că l o rotţie triunghiului, unghiurile cu cre se rotesc punctele A, B şi C u ceeşi vlore, plc triunghiulră fiind rigidă. Rotţi de nivel s- făcut în jurul ei de rotţie verticle Z(, ), cre trece prin vârful A l triunghiului, deci punctul A este propriul lui rotit, A(, ) A (, ). entru deterinre poiţiei rotite triunghiului, s- utilit o oriontlă, trstă prin vârful C, G(g,g ) C(c,c ). entru c triunghiul să devină pln de cpăt, oriontl G s- rotit cu jutorul perpendiculrei coune i până devenit dreptă de cpăt, G C I. roiecţi oriontlă c punctului C cre fost pe oriontlă s- rotit până s- suprpus pe proiecţi oriontlă g, ir proiecţi verticlă c s- trnsltt prlel cu până s- suprpus pe lini de ordine trstă din c, oţinându-se proiecţi c. entru că nu se ştie până unde să se rotescă proiecţi oriontlă punctului B (fără se ăsur unghiul cu cre s- rotit oriontl G), s- plect invers, de l proiecţi verticlă, cre treuie să fie coliniră cu proiecţiile verticle c şi, pentru c plnul rotit să fie pln de cpăt. dtă deterintă proiecţi verticlă, l intersecţi liniei c cu prlel prin l, s- coorât linie de ordine şi s- rotit proiecţi oriontlă până s- suprpus pe cest în. roiecţi oriontlă triunghiului rotit este c. A dou rotţie, rotţi de front s- făcut în jurul ei de rotţie Z (, ), dreptă de cpăt trstă prin tot prin vârful A l triunghiului, cre şi de cestă dtă răâne propriul lui rotit A(, ) A (, ) A 2 ( 2, 2 ). roiecţi verticlă triunghiului din poiţi de cpăt s- rotit cu un unghi cre reultă din construcţie, până devenit prlelă cu, dică s- suprpus peste ur plnului de nivel ce cuprinde triunghiul [A 2 B 2 C 2 ]. Din proiecţiile verticle 2 şi c 2 s-u trst linii de ordine cre l intersecţi cu prlelele l

16 90 GEMETRIE DESCRITIVĂ duse prin proiecţiile oriontle şi c du proiecţiile oriontle 2 şi c 2. roiecţi triunghiului [A 2 B 2 C 2 ] pe plnul oriontl de proiecţie repreintă devărt ărie triunghiului dt, [ABC] = 2 2 c 2. c c g c 2 c =g = = = 2 i g i == = 2 2 c c f f c c 2 = 2 i f i == = = 2 c 2 ABC 2 2 g 2 ABC = c =f c c 2 Adevărt ărie plăcii triunghiulre [ABC] se pote deterin şi începând cu rotţi de front, cre în epur din figur 6.25, s- făcut în jurul ei de rotţie Z(, ), dreptă de cpăt trstă prin vârful A l triunghiului. unctul A este propriul lui rotit, A(, ) A (, ). entru deterinre poiţiei rotite triunghiului s- utilit o frontlă, trstă prin vârful C, F(f,f ) C(c,c ). În nou poiţie triunghiul [A B C ] este proiectnt fţă de plnul verticl, deci proiecţiile oriontle,, c sunt colinire. A dou rotţie, rotţi de nivel s- făcut în jurul ei de rotţie Z (, ), trstă prin vârful B l triunghiului, cre răâne propriul lui rotit B (, ) B 2 ( 2, 2 ). lnul triunghiului [A 2 B 2 C 2 ] este în poiţi de pln de front, deci devărt ărie triunghiului dt este proiecţi triunghiului [A 2 B 2 C 2 ] pe plnul verticl de proiecţie : [ABC] = 2 2 c 2. Se precieă că indiferent de succesiune rotţiilor, pentru deterin devărt ărie unei figuri plne, reulttul oţinut este celşi. 6.3 Metod rterii Fig.6.25 Adevărt ărie triunghiului [ABC] Rtere este un c prticulr l rotţiei şi repreintă suprpunere două plne, unul peste celăllt, prin rotire unui în jurul dreptei de intersecţie dintre ele ( de rtere). Distinge două curi: - rtere pe plnele de proiecţie de rtere este ur plnului; - rtere pe plne prlele cu plnele de proiecţie de rtere este o oriontlă su o frontlă plnului. unctele flte în plne cre se rt, se rotesc în plne perpendiculre pe de rtere. Deci, proiecţiile punctelor pe plnele pe cre se fce rtere (proiecţiile oriontle su verticle) şi proiecţiile rătute sunt pe ceeşi perpendiculră l de rtere. Dcă punctele sunt situte chir pe de rtere, răân neschite, fiind propriile lor rătute.

17 METDELE GEMETRIEI DESCRITIVE Rtere unui pln orecre pe plnul oriontl de proiecţie Rtere unui pln orecre pe plnul oriontl de proiecţie se fce prin rotire plnului în jurul urei oriontle ( de rtere), cre răâne fiă, deci cest este o dreptă plnului rătut. entru c plnul rătut să fie deterint, este nevoie de încă un punct orecre din pln, pentru cre să se cunoscă proiecţi rătută. Astfel, se deoseesc două curi pentru deterinre plnului rătut : ) Rtere unui pln orecre pe plnul oriontl de proiecţie, cu jutorul unui punct de pe ur verticlă Fie plnul orecre [] şi un punct M(, ), prţinând urei verticle plnului (fig.6.26, ). În tipul rterii plnului [] pe plnul oriontl de proiecţie, punctul M descrie, în spţiu, un rc de cerc cuprins în plnul [R], perpendiculr pe de rtere, de ră M (r de rtere) şi cu centrul în punctul - centrul de rtere, până în punctul 0, cuprins în plnul oriontl. Unind punctul, cre fiind pe de rtere răs propriul lui rătut, cu punctul 0, se oţine proiecţi rătută urei verticle, 0. În epură, proiecţi rătută punctului M, 0, se pote deterin în două oduri (fig.6.26, ) : se oservă că rcul 0 descris de punctul M în spţiu se proiecteă pe plnul oriontl pe ur oriontlă R plnului [R], prin segentul 0. Astfel, în epură, din proiecţi oriontlă, punctului M, se duce perpendiculr pe de rtere şi se intersecteă cu rcul de cerc cu centrul în, de ră, reultând proiecţi 0. Ur rătută 0 trece prin şi 0. 2 r M cu cre se roteşte punctul M în tipul rterii este ipotenu triunghiului dreptunghic, cre în epură pote fi construit cunoscând cot punctului. Astfel, din proiecţi oriontlă se trseă perpendiculr pe de rtere şi se deterină centrul de rtere. rin se duce o prlelă l de rtere, pe cre se ăsoră cot punctului M, reultând punctul. Se uneşte cu şi se deterină r de rtere, cât şi triunghiul de rtere (triunghiul de poiţie). Se trseă rcul de cerc cu centrul în şi de ră până l intersecţi cu perpendiculr, unde se deterină 0 proiecţi rătută punctului M. [V] R M= [] [R] 0 R 0 = [H] R Rtere unei figuri plne cuprinsă într-un pln orecre, pe plnul oriontl de proiecţie, se oţine prin rtere punctelor cre definesc ce figură. Fie triunghiul [ABC] cuprins în plnul orecre [] (fig.6.27). entru deterinre proiecţiei rătute triunghiului pe plnul oriontl de proiecţie, se flă în priul rând ur rătută plnului, 0, oţinută cu jutorul punctului V(v,v ), de pe ur verticlă plnului. 0 R 0 r de rtere = de rtere triunghiul de poitie poiţie Fig.6.26 Repreentre rterii unui pln orecre [] pe plnul oriontl [H]: ) în spţiu ; ) în epură

18 92 GEMETRIE DESCRITIVĂ Vârfurile triunghiului se rt pe plnul oriontl de proiecţie cu jutorul oriontlelor plnului G, G şi G 2 pe cre se găsesc. v 0 0 v 0 v 20 0 roiecţi rătută g 0 oriontlei G(g,g ) se oţine ducând o prlelă prin ur rătută oriontlei, v 0, l ur oriontlă plnului. roiecţi v 0 s- deterint l intersecţi perpendiculrei, dusă din proiecţi oriontlă v pe de rtere, cu ur rătută plnului 0. unctul A(, ) situt pe oriontl G, după rtere se găseşte pe oriontl rătută g 0, în 0, l intersecţi cu perpendiculr dusă din proiecţi oriontlă pe de rtere. Siilr se oţin şi proiecţiile rătute 0, pentru punctul B(, ) şi c 0, pentru punctul C(c,c ). Triunghiul [ 0 0 c 0 ] din plnul oriontl repreintă devărt ărie triunghiului [ABC] din plnul []. ) Rtere unui pln orecre pe plnul oriontl de proiecţie, cu jutorul unui punct orecre din cel pln În figur 6.28 este preenttă rtere plnului orecre [] pe plnul oriontl de proiecţie cu jutorul punctului M(, ) de pe ur verticlă, c studit nterior. Aceeşi reolvre se oţine cu jutorul rterii unui punct orecre N(n,n ) din plnul []. Astfel, pentru rtere punctului N se deterină triunghiul de poiţie nn, folosind cot punctului, se trseă rcul de cerc cu c 0 v v 2 v v v v 2 0 g 20 v 0 g 0 0 v v R n n n g R n 0 R = Fig.6.28 Rtere plnului [] pe plnul [H] c ABC 0 c g 0 g g 2 g g Fig.6.27 Rtere ABC pe plnul [H] g 2 g 0 g g centrul în centrul de rtere şi de ră n până l intersecţi cu perpendiculr n, unde se oţine proiecţi rătută n 0. unctul N(n,n ) fiind pe oriontl G(g,g ) plnului [], după rtere se găseşte tot pe ce oriontlă, rătută. rin proiecţi rătută n 0 se duce proiecţi rătută oriontlei g 0, prlelă cu ur oriontlă plnului. Ur verticlă rătută oriontlei v 0 se flă pe ceeşi perpendiculră l de rtere cu proiecţi oriontlă v. Unind v 0 cu oţine proiecţi rătută plnului, Rtere unui pln orecre pe plnul verticl de proiecţie Rtere unui pln orecre pe plnul verticl de proiecţie se fce în jurul unei e de rtere, cre este ur verticlă plnului. entru deterinre urei oriontle rătute pe plnul verticl se pote folosi un punct de pe ur oriontlă plnului su un punct orecre l plnului. În figur 6.29 sunt preentte cele două curi. Fie punctul M(, ) situt pe ur oriontlă plnului [], orecre. În tipul rterii plnului [] pe plnul verticl de proiecţie, în jurul urei verticle, punctul M

19 METDELE GEMETRIEI DESCRITIVE 93 descrie un rc de cerc cuprins într-un pln [R] (pln de cpăt) perpendiculr pe de rtere, cre se proiecteă pe ur verticlă R, după segentul 0. În epură, proiecţi rătută 0 punctului M, se oţine : - ducând un rc de cerc de ră, cu centrul în punctul, cre intersecteă perpendiculr dusă din proiecţi verticlă pe de rtere, în 0 ; 2 construind triunghiul de poiţie, folosind depărtre punctului M, = şi ducând un rc de cerc de ră, cu centrul în, până l intersecţi cu perpendiculr în 0. Ur rătută trece prin punctul şi prin proiecţi rătută 0. Rtere plnului [] pe plnul verticl de proiecţie pote 0 fi oţinută şi cu jutorul unui punct orecre N(n,n ) din cest pln. Astfel, se deterină poiţi rătută pe plnul verticl n 0 punctului N, cu jutorul triunghiului de poiţie n n, construit folosind depărtre punctului. Frontl F(f,f ) plnului [] trece prin punctul N, ir după rtere, frontl rătută f 0 trece prin n 0 şi este prlelă cu ur plnului. Ur oriontlă frontlei, rătută, h 0, se găseşte pe perpendiculr dusă din proiecţi verticlă h pe de rtere şi pe frontl rătută f 0. Unind proiecţi h 0 cu punctul se deterină ur rătută plnului, 0. Rtere unei figuri plne cuprinsă într-un pln orecre, pe plnul verticl de proiecţie, se oţine prin rtere punctelor cre definesc ce figură. Triunghiul [ABC] cuprins în plnul orecre [] (fig.6.30) se rte pe plnul verticl de proiecţie cu jutorul frontlelor plnului F, F şi F 2 pe cre se găsesc vârfurile triunghiului. În priul rând se deterină ur rătută plnului, 0, oţinută cu jutorul punctului H(h,h ), de pe ur oriontlă plnului, poi proiecţiile rătute le frontlelor, f 0, f 0, f 20 şi pe ceste vârfurile rătute le triunghiului 0, 0, c 0, cre repreintă devărt ărie triunghiului [ABC] din plnul [] Rtere pe plne prlele cu unul din plnele de proiecţie Rtere pe plne prlele cu unul din plnele de proiecţie se referă, în generl, l rtere pe plne de nivel su de front. Acestă rtere se utilieă când prin rtere pe plnele de proiecţie construcţiile grfice r scote figur rătută din cdrul epurei, su când plnul cre treuie rătut este dt prin eleentele geoetrice cre îl deterină, ir flre urelor plnului r fi o uncă în plus. 0 h 20 h 0 h 0 0 c 0 h f 0 f 20 h h n 0 R h h f 0 h n n h h 2 f 0 0 ABC h 2 c c f f f 2 f f f 2 Fig.6.30 Rtere ABC pe plnul [V] R n f f Fig.6.29 Rtere plnului [] pe plnul [V]

20 94 GEMETRIE DESCRITIVĂ Rtere pe plne de nivel su de front se fce cu jutorul triunghiului de poiţie, cu oservţi că, în construire cestui ctet prlelă cu de rtere re lungie eglă cu distnţ de l punct l plnul pe cre se fce rtere. ) Rtere pe un pln de nivel Fie punctul M(, ) cuprins în plnul [] şi plnul de nivel [N] (fig.6.3, ). entru rtere plnului [] pe plnul de nivel [N] de rtere este oriontl G(g,g ), drept de intersecţie dintre cele două plne. Rtere punctului M pe plnul de nivel se fce prin rotire punctului într-un pln perpendiculr pe de rtere G. Arcul de cerc descris de punctul M re centrul în (centru de rtere) şi r de rtere M. După rtere, punctul M junge în M 0 pe plnul de nivel şi se proiecteă în 0 pe plnul oriontl. [V] M N=g v N=g v v 2 * v M G 0 [N] 2 2 g [H] 0 g 0 Fig.6.3 Repreentre rterii punctului M(, ) pe plnul de nivel [N], M []: ) în spţiu ; ) în epură În epură (fig.6.3, ), rtere punctului M(, ) se fce considerând c ă de rtere, proiecţi oriontlă g oriontlei G, cu jutorul triunghiului de poiţie 2, construit folosind diferenţ de cotă = 2, de l punctul M l plnul de nivel. Triunghiul de poiţie 2 este identic cu triunghiul M din spţiu, fiind proiecţi triunghiului 2 * din plnul de nivel, pe plnul oriontl de proiecţie. Cu centrul în c 0 c N=g c = 0 de rtere ABC 0 g = 0 Fig.6.32 Rtere ABC pe plnul de nivel [N] şi de ră 2 se descrie un rc de cerc până l intersecţi cu perpendiculr dusă din proiecţi oriontlă pe de rtere g, unde se oţine punctul 0, proiecţi rătută pe plnul de nivel punctului M din plnul []. După cu se oservă în figur 6.3,, rtere pe un pln de nivel se reolvă pe proiecţi oriontlă epurei. entru deterinre devărtei ării unei figuri plne, dtă prin coordontele vârfurilor, este ult i uşor să se rtă cest pe un pln de nivel cre o intersecteă, decât să se deterine urele plnului cre o cuprinde şi poi să se fcă rtere pe plnul oriontl su verticl. Fiind dt triunghiul [ABC] se deterină proiecţi lui rătută pe un pln de nivel [N] dus prin vârful A l triunghiului (fig.6.32). Drept de intersecţie dintre plnul triunghiului şi plnul de nivel este oriontl G(g,g ), deterintă de punctul

21 METDELE GEMETRIEI DESCRITIVE 95 A(, ) şi punctul M(, ), unde ltur BC triunghiului intersecteă plnul [N]. rin rtere, triunghiul se roteşte în jurul oriontlei G până se suprpune peste plnul de nivel [N] şi stfel se proiecteă pe plnul oriontl în devărtă ărie. În epură (fig.6.32), pentru rtere triunghiului pe plnul de nivel, de rtere este proiecţi oriontlă g oriontlei G, g =. unctul A este propriul lui rătut, 0, deci se i rt punctele B şi C. entru rtere punctului B(, ) se construieşte triunghiul de poiţie, fţă de de rtere g, folosind diferenţ de cotă punctului B fţă de plnul de nivel, şi se deterină proiecţi rătută 0. roiecţi rătută c 0 punctului C se deterină cu jutorul triunghiului de poiţie su c şi în figur 6.32, folosind propriette de coliniritte proiecţiilor oriontle le punctelor B, M şi C îninte de rtere şi după rtere. Astfel, se uneşte 0 cu 0 şi se prelungeşte până l intersecţi cu perpendiculr dusă din proiecţi oriontlă c pe de rtere, în c 0. Triunghiul [ 0 0 c 0 ] repreintă proiecţi rătută triunghiului [ABC] pe plnul de nivel, deci devărt ărie cestei figuri. ) Rtere pe un pln de front L reolvre rterii pe un pln de front, construcţiile necesre se relieă pe proiecţi verticlă epurei, unde eleentele din plnul de front se proiecteă în ărie relă. În figur 6.33 punctul A(, ) se rte pe plnul de front [F]. A de rtere este frontl F(f,f ) de intersecţie dintre plnul de front pe cre se fce rtere şi plnul [] cre se rte. Modul de lucru este siilr rterii pe plnul verticl, dr reultă o construcţie icşortă, vând în vedere că pentru deterinre triunghiului de rtere (triunghiul de poiţie) se utilieă diferenţ de depărtre de l punct l plnul de front. oiţi rătută 0 se oţine stfel : se trseă perpendiculr prin pe de rtere f şi se deterină centrul de rtere ; se ăsoră pe o prlelă l de rtere, trstă prin, diferenţ de depărtre 2 = ; se deterină triunghiul de poiţie 2 şi cu centrul în şi de ră 2 se trseă un rc de cerc până l intersecţi cu perpendiculr, unde se găseşte 0. În epur din figur 6.34 s- deterint devărt ărie plăcii triunghiulre [ABC], prin rtere pe plnul de front [F], dus prin vârful A l triunghiului. A de rtere este frontl F = AM. Vârfurile triunghiului rătut se deterină cu jutorul triunghiului de poiţie, pentru 0 şi utiliând coliniritte punctelor C, M, B, pentru c Rtere plnelor proiectnte Rtere unui pln proiectnt se fce prin rotire plnului în jurul ei de rtere, cre este ur oriontlă, în cul suprpunerii peste plnul oriontl de proiecţie, su F=f h h 0 f d Fig.6.33 Rtere punctului A(, ) pe plnul de front [F], A [] de ABC rtere c = 0 f c 0 c F=f 0 2 d = 0 Fig.6.34 Rtere ABC pe plnul de front [F]

22 96 GEMETRIE DESCRITIVĂ ur verticlă, în cul suprpunerii peste plnul verticl de proiecţie. Rotire plnelor proiectnte într-un sens su într-ltul nu influenţeă rtere. Deorece, plnele proiectnte u urele perpendiculre între ele, rtere punctelor flte în ceste plne se fce ult i uşor, urele plnelor răânând perpendiculre şi după rtere pe unul din plnele de proiecţie. [V] ) Rtere unui pln proiectnt verticl pe plnul oriontl de proiecţie Q 0 Q [Q] Q [H] 0 M Q Q 0 Q Q 0 Fie plnul proiectnt verticl [Q] şi punctul M(, ) cre prţine cestui pln (fig.6.35, ). entru rtere plnului [Q] pe plnul oriontl de proiecţie cest se roteşte în jurul urei oriontle Q ( de rtere) până se suprpune peste plnul [H], ur verticlă Q, devenind Q 0. În tipul rterii, punctul M se roteşte într-un pln perpendiculr pe ur oriontlă Q, descriind un rc de cerc cu centrul în proiecţi şi de ră eglă cu cot punctului, M = = 0. Astfel, în epură (fig.6.35, ) din proiecţi oriontlă se duce o perpendiculră pe ur Q şi se ăsoră cot, oţinând proiecţi rătută 0. Adevărt ărie unei figuri geoetrice ABC, cuprinsă într-un pln proiectnt verticl [Q], se oţine prin rtere pe plnul oriontl, stfel (fig.6.35, ) : pe perpendiculre, duse prin proiecţiile oriontle le vârfurilor, pe ur Q ( de rtere), se ăsoră cot cestor reultând proiecţiile rătute 0, 0, c 0 ; 0 0 c 0 = ABC. ) Rtere unui pln proiectnt verticl pe plnul verticl de proiecţie Fig.6.35 Repreentre rterii plnului proiectnt verticl [Q] pe plnul [H], M(, ) [Q] : ) în spţiu ; ) în epură Q 0 Q Q ABC 0 0 c c Q c 0 Fig.6.36 Rtere ABC pe plnul [H], ABC [Q] [V] Q Q 0 Q ABC 0 [Q] 0 M Q 0 Q Q c c 0 0 Q Q 0 Q 0 Q Q Q [H] c c) Fig.6.37 Rtere plnului proiectnt verticl [Q] pe plnul verticl [V], M [Q], ABC [Q] Q

23 METDELE GEMETRIEI DESCRITIVE 97 În figur 6.37,, se preintă rtere plnului proiectnt verticl [Q] pe plnul verticl de proiecţie [V], repreentre în spţiu. A de rtere este ur verticlă Q, ir ur oriontlă Q se roteşte până se suprpune peste. unctul M(, ) se roteşte într-un pln perpendiculr pe de rtere Q (pln de nivel), până pe plnul verticl în 0. rctic, punctul M efectueă o rotţie de nivel în jurul ei Q, rcul de cerc descris de cest proiectându-se pe plnul oriontl în ărie relă. În epură (fig.6.37, ), proiecţi oriontlă se roteşte în jurul punctului Q până se suprpune pe, în, de unde se ridică o perpendiculră eglă cu cot punctului, până în 0, poiţi rătută punctului M pe plnul verticl de proiecţie (punctul îşi păstreă cot neschită). Adevărt ărie unei figuri geoetrice ABC, cuprinsă într-un pln proiectnt verticl [Q], (fig.6.37, c) se oţine prin rtere pe plnul verticl vârfurilor cre o definesc, în jurul ei de rtere Q, 0 0 c 0 = ABC. Sensul de rotţie proiecţiilor oriontle le punctelor este indiferent, oţinându-se ceeşi ărie pentru proiecţi rătută 0 0 c 0 triunghiului, dr o poiţie diferită pe plnul verticl, sietrică fţă de ur verticlă Q. c) Rtere unui pln de cpăt pe plnul verticl de proiecţie L rtere plnului de cpăt [Q] pe plnul verticl de proiecţie, de rtere este ur verticlă Q, plnul rotindu-se îpreună cu punctele cuprinse în el, până l suprpunere pe plnul verticl. Astfel, ur oriontlă Q se trnsforă în Q 0, perpendiculră pe ur verticlă Q (fig.6.38, ). unctul M se roteşte într-un pln perpendiculr pe de rtere, descriind un rc de cerc cu centrul în proiecţi verticlă, de pe ur verticlă Q şi de ră eglă cu depărtre punctului. În epură (fig.6.38, ), pentru deterinre proiecţiei rătute 0 pe plnul verticl, unui punct M, din proiecţi verticlă se ăsoră pe o perpendiculră l de rtere, depărtre punctului. Aplicând celşi rţionent, în epur din figur 6.38, c, s- oţinut devărt ărie triunghiului [ABC], cuprins în plnul de cpăt [Q], prin deterinre proiecţiilor rătute 0, 0 şi c 0, le punctelor A, B şi C. [V] Q 0 Q [H] 0 Q M [Q] Q 0 Q Q Q 0 Q ABC Fig.6.38 Rtere plnului de cpăt [Q] pe plnul [V], M [Q], ABC [Q] Q 0 Q Q 0 0 c) c 0 c Q c d) Rtere unui pln de cpăt pe plnul oriontl de proiecţie (fig.6.39) În cul rterii plnului de cpăt [Q] pe plnul oriontl de proiecţie, de rtere este ur oriontlă Q. lnul se roteşte în jurul urei Q până l suprpunere peste plnul oriontl de proiecţie, respectiv până l suprpunere urei verticle Q peste