CAPITOLUL 7 CONICE SI CUADRICE

Transcript

1 Conie şi udrie CAPITOLUL 7 CONICE SI CUADRICE Definiţie Mulţime H {(,,, n ) R n n n j i, ij, b i, R, ij ji, n n j i ij ij n i b i i } se numeşte ij hiperudriă (su hipersuprfţă) în R n. În zul n hiperudri se mi numeşte oniă ir în zul n 3 se numeşte udriă. Condiţi n n j i ij ne sigură ă euţi e defineşte hiperudri este de grdul l doile. Dă n n j i ij, euţi în disuţie este de grdul întâi şi defineşte fie o vriette liniră (mi preis un hiperpln) dă, fie un subspţiu vetoril l lui R n, dă. CONICE 7.. Reduere l form noniă Având în vedere noţiune de hiperudriă introdusă mi sus putem d următore definiţie oniei. Fie E spţiul puntul eulidin bidimensionl (diă dim R V, unde V { V 3, eistă A,B E.î. AB }. În est spţiu onsiderăm un reper rtezin ortonormt O definit de puntul O E şi o bză noniă { r i, r j } lui V.

2 Algebră liniră, geometrie nlitiă şi diferenţilă Definiţi 7... Submulţime (C) spţiul eulidin E, formtă din tote puntele M(,,z) E le ăror oordonte stisf euţi (7..) , unde ij R, i,j {,, 3},, se numeşte oniă. Euţi (7..) este numită euţi generlă oniei. Mtrie simetriă A ( ) ij i, j, 3 v numi mtrie oniei (C). Introduem notţiile se (***) det(a), δ, I şi A ( ) ij i, j,. În ele e urmeză vom folosi metod vlorilor proprii pentru r r determin un reper ortonormt rtezin {O`, i ', j ' } fţă de re euţi oniei să ibă form noniă (su form redusă)( se vede şi Ane I). Metod vlorilor proprii Considerăm form pătrtiă q(, ), re pre în euţi generlă oniei. Se ştie ( vezi Teorem 5..) ă eistă o bză ortonormtă în R (formtă din vetori proprii i mtriei A ) în re form pătrtiă q(, ) re form noniă q(, ) λ ` λ `, unde λ i, i, sunt vlorile proprii (egle su nu) le mtriei A. Se ştie ă euţi rteristiă mtriei A este det(a -λi), su (7..) λ - Iλ δ Deoree A este o mtrie simetriă, vlorile ei proprii sunt rele şi, în onseinţă, euţi de grdul doi de mi sus re rădăinile λ, λ rele.

3 Conie şi udrie În ontinure vom răt um se redue l form noniă oni (C) în funţie de ntur rădăinilor euţiei (7..). Czul I. Dă λ λ, tuni disriminntul l euţiei rteristie este în mod neesr nul, diă I - 4δ. Deduem ă ( ) 4( ) şi. În est z vem (ltfel nu este îndeplinită ondiţi ) şi euţi oniei devine ( 3 / ) ( 3 / ) 33 - ( 3 / ) -( 3 / ). Efetuând trnslţi ` 3 /, ` 3 /, obţinem euţi redusă oniei: ` ` `33, unde `33 not 33 - ( 3 ) / -( 3 ) /. Dei, fţă de noul reper rtezin definit de puntul O`(- 3 /, - 3 / ) şi eeşi bză noniă {i, j } lui V, oni este în formă redusă. Czul l II-le. Dă euţi (7..) re două rădăini distinte λ λ, tuni fie v, respetiv v, vetorii proprii orespunzători elor două rădăini. Versorii proprii e v v α i β j şi e v v α i β j formeză o bză ortonormtă în V. Presupunem ă eşti u fost stfel leşi înât mtrie R α α β, de treere de l bz B {i, j } l β bz B` {e, e }, să definesă o rotţie (vezi Definiţi 6..). Se unoşte fptul ă R este o mtrie ortogonlă (vezi Propoziţi 4.4. pt. 6). Dei r fi sufiient versorii e, e să fie leşi stfel înât det(r). Dă estă ondiţie nu este îndeplinită, tuni înmulţim unul din versori u - su îi renumerotăm (pe ei şi impliit vlorile proprii

4 Algebră liniră, geometrie nlitiă şi diferenţilă orespunzătore) şi ondiţi v fi îndeplinită. Shimbre de oordonte orespunzătore estei rotţii de entru O este ` ` R su, ehivlent, R T `, unde noul reper rtezin este {O, e, e }. ` În urm estei shimbări de oordonte, euţi (7..) devine (7..3) λ ` λ ` `3 ` `3 ` 33, unde `3 3 α 3 β, `3 3 α 3 β. (i) Dă λ şi λ, proedăm în zul I. Astfel, efetuând trnslţi `` ` `3 /λ, `` ` `3 /λ obţinem form redusă (7..4) λ `` λ `` ``33, unde ``33 not 33 - (`3 ) /λ -( `3 ) /λ. (ii) Dă un din soluţiile λ su λ este zero, tuni form redusă se obţine tot în urm unei trnslţii. Presupunem ă λ, λ. ii ). Dă `3, efetuăm trnslţi `` ` `3 /λ, `` ` A``33 / (`3 ), A``33 not 33 - (`3 ) /λ şi obţinem form redusă (7..5) λ `` `3 ``. ii b ) În zul în re `3, efetuăm trnslţi `` ` `3 /λ, `` ` şi form redusă este λ `` A``33. Czul λ se trteză nlog. Observţi 7.. ) În zul I, mtrie soită formei reduse oniei (C) este D. Notăm u `, δ`, I` numerele definite de ` 33 (***) pentru mtrie D. Ţinând ont de relţiile între rădăinile şi oefiienţii euţiei de grdul l doile (7..), obţinem δ` ( ) δ şi I` I. Pe de ltă prte, ` ( ) `33 ( ) [ 33 - ( 3 ) / -( 3 ) / 3

5 Conie şi udrie ]. Dei, în urm trnslţiei, vlorile `, δ`, I` rămân egle u ele iniţile, δ, I. b) În zul l II-le vem subzurile i) Dă λ λ, tuni oni (C), în form redusă, re mtrie λ λ `` 33 (vezi relţi (7..4)). Rţionând mi sus vem δ` λ λ δ, I` λ λ I. Mi deprte, obserăm ă mtrie de rotţie R α α β β pote fi srisă oφ sinφ sinφ osφ, φ [,π). Într-devăr, dă e osφi sin φ j şi e osθi sinθ j, φ, θ [, π] din ondiţi det(r) rezultă uşor ă θ - φ π/. De ii rezultă onluzi. Cum e este vetor propriu orespunzător vlorii proprii λ, deduem ă λ osφ λ sinφ şi λ tgφ tgφ dă osφ, sinφ. Anlog, λ - tgφ dă sinφ. De ii rezultă şi formulele (7..6) tg(φ). (7..6`) tg φ λ λ tgφ În onluzie, ` λ λ ``33 λ λ [ 33 - (`3 ) /λ -( `3 ) /λ ], dă osφ, sinφ. Ţinând ont de relţiile (7..6), (7..6`) şi de fptul ă `3 3 osφ 3 sinφ, `3-3 sinφ 3 osφ şi λ λ δ, obţinem 4

6 Algebră liniră, geometrie nlitiă şi diferenţilă ` δ 33 - ( - tgφ)( 3 osφ 3 sinφ) ( tgφ)( - 3 sinφ 3 osφ) δ 33 - ( 3 ) ( 3 ) gtφ - ( 3 ) 3 3 ( 3 ) ( 3 ) gtφ - ( 3 ). Dei ` ( )( 3 ) ( 3 ) gtφ. Apliând din nou formul (7..6), rezultă ă sum ultimilor doi termeni din membrul drept l formulei de mi sus este zero şi `. Dă osφ su sinφ, demonstrţi este imedită fiind lăstă eeriţiu pentru ititori. Aum vom disut zul ii). ii. Dă λ, λ şi `3, tuni mtrie soită formei reduse λ oniei (C) este ` 3 `3 (vezi relţi (7..5)). În mod evident δ` δ, I` λ I. Observăm ă ` - λ (`3 ). Observăm ă e i - j este un vetor propriu orespunzător vlorii proprii λ. Atuni `3 3 /I. Aum este lr ă ` - λ (`3 ) (-I)(- /I). ii b. Dă λ, λ şi `3, tuni, pentru elşi versor les mi sus, vem 3 3 şi rezultă. Dei `. ) Dă form pătrtiă q(, ) este în formă noniă, diă, nu este nevoie de rotţie, form redusă se obţinându-se în urm unei trnslţii. Eeriţiu: Arătţi ă şi în est z vlorile, δ, I rămân neshimbte în urm trnslţiei şi (`3 ) [ şi, um ( ), vem ( 3) ( 3) ( ) 3 3 ] -

7 Conie şi udrie Rezulttele de mi sus sunt rezumte în teorem următore. Teorem 7... ) Pentru orie oniă (C), eistă un reper rtezin ortonormt ``O`` fţă de re oni re form redusă λ `` λ `` ``33 b) Numerele, δ, I definite de relţi (***) sunt invrinte l trnslţii şi rotţii, diă, δ δ, I I, unde `, δ`, I` sunt ntităţile definite de (***) pentru mtrie soită oniei în reperul ``O``. Demonstrţie. Puntul ) fost demonstrt mi sus. Veridiitte firmţiilor de l puntul b) fost dovedită în zul prtiulr l rotţiilor şi trnslţiilor folosite în demonstrţi puntului ) (vezi Observţi 7... b)). Czul unei rotţii, respetiv trnslţii, orere pote fi trtt semănător. Pentru o demonstrţie ompletă ititorul pote onsult [6]. Numerele, δ, I se numes invrinţii oniei: este numit invrintul ubi, δ - invrintul pătrti şi I - invrintul linir. Definiţi 7... Se numeşte entru l oniei (C) un entru de simetrie l mulţimii puntelor de pe oni (C). Mulţime puntelor din pln de pe oni (C) pote ve su nu un entru de simetrie. Dă oni (C) r fi rteriztă nliti de o euţie de form k, tuni origine reperului r fi entru de simetrie l oniei. Geometri, origine reperului este entru de simetrie dă şi numi dă simetriul unui punt orere M(, ) de pe oniă, fţă de origine, este tot pe oniă. Anliti est luru se redue l ondiţi f(, ) f(-, -), unde f(, ) k. 6

8 Algebră liniră, geometrie nlitiă şi diferenţilă În ele e urmeză ne propunem să determinăm ondiţiile în re oni (generlă) (C) dmite entru de simetrie şi,în z firmtiv, să găsim est entru. Convenim să notăm u f(, ) funţi definită de membrul stâng l euţiei (7..) Presupunem ă (C) re entrul de simetrie C ( o, o ) E. Efetuând r r r r trnslţi reperului {O, i, j } în puntul C, obţinem reperul {C, i, j } fţă de re un punt orere M(, ) E v ve oordontele (`, `), dte de relţiile: o ' (7..7) o ' În noul reper, euţi (7..) se srie (7..8) ` `` ` ( o o 3 )` ( o o 3 )` f( o, o ) Notând u g(, ) funţi din membrul stâng euţiei (7..8) şi impunând ondiţi de simetrie, g(`,`) g(-`,-`) obţinem: (7..9) Euţiile (7..9) o o o o 3 3 su f '( f '(, )., ) reprezintă euţiile entrului C l unei onie (bineînţeles, dă est eistă). Avem zurile: ) δ. Atuni sistemul (7..9) re soluţie uniă şi puntul C ( o, o ) este entrul oniei (C); b) δ. Sistemul (7..9) nu re soluţie su dmite o infinitte de soluţii şi oni (C) nu re entru uni l distnţă finită. 7

9 Conie şi udrie 7.. Reduere l formă noniă onielor u entru, δ În seţiune preedentă m văzut ă orie oniă pote fi dusă l form noniă prin rotţii şi/su trnslţii. În zul onielor u entru în puntul C (, ), se efetueză trnslţi reperului {O, r i, r j } în puntul C ( o, o ) (dtă de euţiile (7..7)) şi euţi oniei devine ` `` ` k, k f( o, o ). Propoziţi 7... Constnt k din euţi de mi sus se pote lul fără unoşte oordontele entrului C ( o, o ) l oniei. Vlore ei este /δ. Demonstrţie. Avem k f( o, o ) ( 3 ) ( 3 ) Având în vedere (7..9), deduem ă f( o, o ) Tot din (7..9) rezultă ă 3 3 /δ şi /δ şi înlouind în formul lui f( o, o ) rezultă f( o, o ) /δ. Dei k /δ şi, în mod lr, flre lui k nu este ondiţiontă de rezolvre sistemului (7..9). După e s- efetut trnslţi desrisă prin euţiile (7..7) se proedeză ş um m rătt în seţiune 7.. Conret, se prurg pşii următori: Psul I. Se luleză invrinţii oniei şi se srie euţi λ I λ δ, numită euţie seulră; 8

10 Algebră liniră, geometrie nlitiă şi diferenţilă Psul l-ii-le. ) Dă euţi seulră re rădăini egle, tuni, ş um m văzut în seţiune 7., nu mi este neesră rotţi pentru due oni l form noniă. Coni este dej în formă redusă. b) Dă euţi seulră re rădăinile diferite λ, λ, tuni se luleză versorii proprii e, e orespunzători vlorilor proprii λ şi λ stfel înât mtrie R de treere de l bz {i, j } l bz {e, e }, să definesă o rotţie. Se efetueză rotţi şi se obţine form noniă (7..) λ `` λ `` /δ oniei (C). Fem observţi ă mtrie de rotţie R α α β β pote fi srisă oφ sinφ sinφ osφ, unde unghiul φ este dt de relţi (7..6). În est z nu mi este neesră determinre versorilor proprii. Observţi 7... ) In zul onielor u entru, form noniă (7..) se pote srie unosând numi invrinţii estei:, δ şi I. b) În reduere l formă noniă euţiei unei onie u entru, nu onteză ordine efetuării izometriilor (respetiv trnslţi în entrul oniei şi rotţi). ) Aele de oordonte C`` şi C`` sunt e de simetrie pentru oni (C), diă reperul {C, e r,e r } este reperul în re oni este rteriztă printr-o euţie redusă (euţie în re oni pote fi reunosută.) Dă φ este unghiul u re este rotit în sens trigonometri reperul {C, i, j }, pentru obţine reperul {C, e r,e r }, şi φ, π/, 3π/, tuni pntele estor e de simetrie sunt m tgφ şi respetiv m -tgφ. Ştim dej ă 9

11 Conie şi udrie m m tgφ ( - )/ şi, evident, m m -. De ii rezultă ă m, m sunt rădăinile euţiei de grdul l doile (7..) m ( ) m, numită euţi pntelor elor de simetrie le unei onie nedegenerte u entru l distnţă finită. Aum, euţiile elor oniei pot fi srise uşor, deoree este sunt drepte re tre prin entrul C( o, o ) şi u pntele m şi m, soluţii le euţiei (7..). d) Anlizând form noniă (7..), distingem următorele situţii: Czul o ) δ > λ λ δ > şi euţi (7..) pote fi pusă sub un din `` `` `` `` formele : su,,b >. Coni este fie o b b elipsă rele, fie mulţime vidă. b) δ < λ λ δ < şi euţi (7..) pote fi pusă sub un din `` `` `` `` formele : su,,b >. În est z oni b b (C) reprezintă o hiperbolă. Dă I λ -λ, diă b, hiperbol este ehilteră. Czul o ) δ > λ λ δ > şi euţi se srie sub form α `` β ``. Coni se redue l un punt, entrul C ( o, o ). b) δ < λ λ δ <, euţi (7..) pote fi pusă sub form α `` - β `` (α `` - β``) (α`` β``). Coni reprezintă două drepte onurente. Dei, invrintul ubi ne oferă informţii despre ntur oniei, ir invrintul pătrti δ ne dă informţii despre genul oniei (C). Astfel, vom spune:

12 Algebră liniră, geometrie nlitiă şi diferenţilă dă, tuni oni este nedegenertă, ir dă, oni este degenertă. Dă δ > - oni (C) este de gen elipsă, ir dă δ < - oni (C) este de gen hiperbolă. Eemplul 7... Să se duă l form noniă oni (C): Mtrie oniei este A ir invrinţii ei sunt -8, δ 9, I. Deoree δ 9, oni re entru C( o, o ), oordontele entrului fiind soluţiile sistemul o 8 8 o o o 8. 8 Deduem ă o o. Efetuăm trnslţi definită de euţiile (7..7) şi pliând Propoziţi 7.. rezultă ă euţi oniei în reperul rtezin {C, i, j } (`C`) este 5` 8`` 5` 8/9. Euţi seulră este λ λ 9 şi re rădăinile λ, λ 9. Versorii proprii orespunzători lui λ şi λ, leşi stfel înât să definesă o rotţie, sunt e ` / i - / j şi e / i / j. Efetuăm rotţi ` / / `` şi deduem ă, în reperul {C, e, e }(``C``), / / ``

13 Conie şi udrie oni re form noniă `` 9`` 9. Reprezentre grfiă oniei este relizt în Fig. 3. Coni este o elipsă (vezi Ane I pentru definiţi şi proprietăţile elipsei). Observăm ă m fi putut lul diret unghiul de rotţie folosind relţi (7..6). S-r fi obţinut tgφ. Dă legem φ 7π/4, din relţi (7..6`), rezultă ă sign(λ -λ ) - sign ( ), dei λ -λ <, diă numerotre vlorilor proprii orespunde rotţiei de unghi φ 7π/4 şi obţinem eeşi formă noniă mi sus. Remintim ă form noniă pote fi diferită dă legem o ltă bză şi impliit un lt unghi de rotţie. De eemplu dă legem φ π/4 tuni relţi (7..6`) ondue l ineglitte λ -λ >, ee e însemnă ă vlorile proprii trebuie renumerotte. Dei rotind reperul {C, i, j } în sens trigonometri u unghiul φ π/4 m fi obţinut reperul XCY în re oni r fi vut form redusă 9X Y 9. Evident reprezentre grfiă oniei rămâne e din Fig Reduere l form noniă onielor fără entru (uni), δ Remintim ă în zul δ sistemul (7..9) este inomptibil su dmite o infinitte de soluţii, diă oni (7..) nu dmite un uni entru de simetrie su oni dmite o infinitte de entre de simetrie. În est z, nu eistă o trnslţie re să ne onduă l o euţie de grdul l doile fără termeni de grdul întâi. Aş um m rătt în seţiune 7., întâi se efetueză o rotţie, u origine O punt fi, după re efetuăm o trnslţie şi obţinem form noniă (vezi euţi (7..5) eemplu).

14 Algebră liniră, geometrie nlitiă şi diferenţilă În zul δ, euţi seulră λ - Iλ re rădăinile λ I şi λ. În urm rotţiei indite în seţiune 7. se obţine euţi (7..3). Sriind euţi (7..3) pentru vlorile λ şi λ indite mi sus, vem (*) I` `3 ` `3 ` 33. Observăm ă - I(`3 ), onform Teoremei 7... Distingem zurile: Czul o `3. Efetuăm trnslţi `` ` `3 /λ, `` ` A``33 / `3, A``33 not 33 - (`3 ) /λ şi puntul O este trnsltt în puntul V de oordonte `V -`3 /λ, `V - A``33 / `3. ( Coordontele puntului V, în reperul O, sunt dte de euţi V V R T `3 / λ.) A``33 / `3 Euţi oniei pătă form noniă (7..5) su, ehivlent, (``) p ``, unde p - `3 /I. Ţinând ont de fptul ă - I(`3 ), deduem ă p ± 3 I. Am obţinut form redusă (7.3.) (``) p ``, p ±. 3 I Coni (7.3.), rporttă l reperul {V, e r,e r } este o prbolă u vârful în puntul V. Drept V `` este de simetrie prbolei, ir drept V `` este tngent în V l est. Czul o 3. Euţi (*) se srie (7.3.) I 3 ` 33. Aest este o euţie de grdul l doile în u rădăinile k şi k, rele su omplee şi disriminntul e ( 3 ) - 4I 33. Form ' 3 e noniă euţiei (7.3.) este ' I 4I 3

15 Conie şi udrie ) dă euţi (7.3.) re rădăini rele (diă e ), tuni ' 3 efetuăm trnslţi ' `` şi notând e /(4I ) - k, obţinem I următore form noniă oniei. (7.3.3) (``) - k. Dă k, oni se redue l două drepte strit prlele: `` k, `` - k. Dă k, euţi (7.3.3) defineşte două drepte prlele onfundte. b) dă euţi (7.3.) re rădăini omplee ( e < ), tuni oni (C) este reprezenttă în pln de ătre mulţime vidă. Vom spune ă ele onie pentru re δ sunt de gen prbolă. r Observţi Dă ( α, β ) e este vetorul propriu orespunzător α β vlorii proprii λ, tuni. Fie θ este unghiul dintre α β e r şi j. Pnt m ei prbolei este dtă de formul (7.3.4) m tg θ. Eemplul 7.3. Să se duă l form noniă oni Mtrie soită oniei este A şi invrinţii sunt -, δ, I 6. Euţi seulră, λ - 6λ, re rădăinile λ 6, λ. Vetorii proprii orespunzători sunt e / i - / j şi e / i / j. 4

16 Algebră liniră, geometrie nlitiă şi diferenţilă Efetuăm rotţi / / ` / / ` şi deduem ă, în reperul {O, e, e }, oni re form noniă 6` ` -. Efetuăm şi trnslţi `` `, `` `- / şi obţinem form noniă `` -( /3) ``. Coni este o prbolă u vârful în V(/, /) (oordontele lui V sunt dte fţă de reperul O). Pnt ei prbolei este m -(vezi relţi (7.3.4)). Se observă ă form noniă (redusă) oniei se pute 3 obţine diret folosind euţi (7.3.). Într-devăr, p± ( ) / 6 p ± /6 şi form noniă oniei este `` -( /3) `` dă legem p /6. Înheiem estă primă prte pitolului 7 u următore lsifire onielor, lsifire în re rolul prinipl îl joă invrinţii, I şi δ: (ntur) δ (genul) Disuţie onie nedegenerte onie degenerte δ > elipsă relă, pentru I < mulţime vidă, pentru I > δ prbolă δ < hiperbolă δ> punt dublu δ perehe de drepte (prlele su onfundte) su mulţime vidă δ< perehe de drepte onurente 5

17 Conie şi udrie CUADRICE 7.4. Cudrie dte prin euţii reduse În spţiul puntul eulidin E 3 onsiderăm reperul ortonormt {O;i, j, k }. Remintim ă distnţ dintre două punte din spţiu, M(,,z ) şi respetiv N(,,z ), este δ(m,n) MN ( ) ( ) ( z z ) Sfer Fie C (, b, ) E 3 un punt fit. Definiţi Se numeşte sferă de entru C şi rză r R, mulţime puntelor M E 3 u propriette δ( M,C ) R. Mulţime puntelor M(,, z) E 3, re prţin sferei (S) de entru C(,b,) şi rză R, stisf relţi : (7.4.) ( ) ( b) (z ) R numită euţi rtezină impliită sferei. Folosind oordontele sferie le puntului M (S) fţă de reperul rtezin {C; i, j, k } şi definiţi sferei, obţinem euţiile R sin ϕosθ (7.4.) b R sin ϕsin θ, z R osϕ unde θ [,π), ϕ [, π) şi R este rz sferei. Aeste euţii se numes euţiile prmetrie le sferei (S). 6

18 Algebră liniră, geometrie nlitiă şi diferenţilă Fie r, respetiv r, vetorul de poziţie l puntului M de pe sferă, respetiv l entrului sferei. Atuni euţi vetorilă sferei este: r r rsinϕ os θ i rsinϕ sin θ j rosϕ k în V 3. Pe de ltă prte, euţi (7.4.) este ehivlentă u euţi z b z b r. Aest ne sugereză studiul euţiei generle (7.4.3) z A B Cz D, numită euţi rtezină generlă sferei sub formă normlă. Dă notăm m A/, n B/, p C/, l D - m n p, euţi (7.4.3) pote fi srisă sub form m m n n z pz p l. Restrângând pătrtele, obţinem ( m) (z n) (p) l. Distingem următorele zuri ) dă l <, tuni eistă R > stfel înât l -R, z în re m obţinut euţi rtezină unei sfere u entrul C(-m,-n,-p) şi rză R. b) dă l >, tuni, în mod evident, nu eistă nii un triplet (,, z) R 3 re să verifie euţi în disuţie. Dei euţi reprezintă mulţime vidă. ) dă l tuni euţi generlă sferei rterizeză un singur punt C(-m,-n,-p). Plnul tngent într-un punt l o sferă. Plnul re un singur punt omun u sfer este numit plnul tngent l sferă în est punt. Fie M o un punt pe sfer de entru C(,b,) şi rză R, dtă de euţi (7.4.). Puntul M(,,z) este situt în plnul tngent l sferă în puntul M (,,z ) (S) dă şi numi dă Mo M este ortogonl vetorului CM o ( o -, o -b,z o -), diă (- o )( o -) (- o )( o -b)(z-z o )(z o -). 7

19 Conie şi udrie Euţi de mi sus se numeşte euţi plnului tngent l sferă în puntul M o şi se srie sub form: (7.4.4) o o zz o - ( o ) - b( o ) - (z z o ) b R (-) ( -) (-b) ( -b) (z-) (z -) R. Se observă ă euţi (7.4.4) se obţine prin dedublre euţiei (7.4.). Proedând semănător, obţinem euţi plnului tngent în puntul M l sfer (S) definită de euţi (7.4.3). Avem z z (A/)( ) (B/)( ) (C/)(z z ) D. Observţi Dă (S) este sfer de entru C şi rză R şi d este distnţ de l entrului sferei l plnul (P), tuni vem următorele zuri : d < r - plnul (P) este sent sferei (S) d r - plnul (P) este tngent sferei (S) d > r - plnul (P) este eterior sferei (S) Elipsoidul Definiţi Se numeşte elipsoid, o suprfţă (udriă) (E) pentru re eistă un reper rtezin Oz fţă de re euţi suprfeţei este z (7.4.5), unde,b, >. b Euţi (7.4.5) se mi numeşte şi euţi noniă (redusă) udriei de tip elipsoid. Euţiile prmetrie le elipsoidului sunt z sinϕ osθ bsinϕ sinθ, unde θ [,π), ϕ [, π). osϕ Pentru reprezent grfi elipsoidului, vom studi interseţiile estui u plne de oordonte O, Oz şi Oz. Interseţi elipsoidului 8

20 Algebră liniră, geometrie nlitiă şi diferenţilă u plnul O este elips b z z b z de semie, b. Asemănător, se rtă ă interseţiile u plnele Oz şi Oz sunt elipsele z şi respetiv b z (vezi Fig.34). Plnele de oordonte (plne priniple) sunt plne de simetrie le elipsoidului, ele de oordonte sunt e de simetrie, ir segmentele de pe ele de oordonte de lungime egle u, b şi respetiv sunt numite semie. Interseţiile elip-soidului u ele de simetrie vor fi numite vârfuri. Dă două semie sunt egle, vom obţine un elipsoid de rotţie, ir pentru b se obţine sfer. Origine reperului rtezin este entru de simetrie pentru mulţime puntelor elipsoidului şi se numeşte entrul elipsoidului Hiperboloizii Definiţi Se numeşte hiperboloid u o pânză, suprfţ (udri) (H ) pentru re eistă un reper rtezin Oz fţă de re euţi estei este z (7.4.6), unde, b, >. b Euţiile prmetrie le hiperboloidului u o pânză definit de euţi (7.4.6) sunt următorele: 9

21 Conie şi udrie shu z v b hu v hu sin os, u R, v [,π). Interseţiile hiperboloidului (H ) u plnele π α O, π β Oz şi π γ Oz, rterizte de euţiile z α, β şi respetiv γ, sunt urbele dte de euţiile: α α z b (elipse), β β b z şi respetiv γ γ z b, (hiperbole). Se observă ă euţi elipselor determinte de interseţi hiperboloidului u plnele π α O se mi srie sub form: b α α. De ii se dedue ă semiele elipselor res tuni ând distnţ dintre plnul π α şi plnul O reşte (vezi Fig. 35). Hiperboloidul u o pânză re eleşi simetrii şi elipsoidul. A netrnsverslă hiperboloidului (7.4.6) este Oz. Elips obţinută prin interseţi hiperboloidului u plnul O (e: z ) este numită olierul hiperboloidului u o pânză. Suprfeţele H`: z b şi H`` : z b sunt de semene hiperboloizi u o pânză şi e netrnsversle O şi respetiv O.

22 Algebră liniră, geometrie nlitiă şi diferenţilă z Definiţi Suprfţ C : se numeşte onul b simptoti l hiperboloidului u o pânză H. Definiţi Se numeşte hiperboloid u două pânze, o suprfţă (udriă) (H ) pentru re eistă un reper rtezin Oz fţă de re est re euţi z (7.4.7), unde, b, >. b Hiperboloidul u două pânze (H ) este rterizt prmetri de euţiile : bsh u sin v u R, v [,π). sh u os v z ± h u În ele e urmeză, vom determin interseţiile hiperboloidului u două pânze u plnele π α O, π β Oz şi π γ Oz (plne rterizte de euţiile z α, β şi respetiv γ). Interseţi hiperboloidului (H ) u plnul π α este urb de euţie: b z α α. Se observă ă dă α <, tuni interseţi plnului u hiperboloidul este mulţime vidă. Dă α, interseţi este formtă din puntele A(,,,), B(,,-,), ir dă α >, tuni urbele de interseţie sunt elipse le ăror semie res tuni ând distnţ dintre plnele π α şi O reşte (vezi Fig. 36). Interseţiile u plnele π β şi π γ sunt hiperbolele

23 Conie şi udrie z β β b z γ şi respetiv b. γ Aele şi plnele sistemului de oordonte sunt e, respetiv plne, de simetrie. Puntele A(,,) şi B(,,-) vor fi numite vârfurile hiperboloidului u două pânze. A netrnsverslă hiperboloidului (H ) este Oz. În mod semănător se pot defini hiperboloizii u două pânze H` şi respetiv H`` u ele netrnsversle O şi respetiv O. Avem z z H`: şi H`` :. b b z Conul C : este onul simptoti l hiperboloidului H. b Prboloizii Definiţi Se numeşte prboloid elipti, suprfţ (udri) (P ) pentru re eistă un reper rtezin Oz fţă de re euţi suprfeţei este (7.4.8) z b, unde, b >. Euţiile prmetrie le prboloidului u osv elipti sunt: bu sin v u R, v [,π). z u Interseţi prboloidului elipti (P ) u plnul π α (rterizt de euţi z α) este urb de euţie: α z b α. Se observă ă dă α <, interseţi este mulţime vidă, ir dă α, tuni interseţi este formtă dintr-un singur punt, O(,,). Dă α >, tuni interseţi este o elipsă u semiele ` α, b` b α (vezi Fig.

24 Algebră liniră, geometrie nlitiă şi diferenţilă 37). Interseţiile prboloidului elipti u plnele π β şi π γ sunt prbolele β z b β γ şi respetiv z b. γ Definiţi Se numeşte prboloid hiperboli, suprfţ (udri) (P ) pentru re eistă un reper rtezin Oz fţă de re euţi suprfeţei este (7.4.9) z b, unde, b >. Prboloidul hiperboli (P ) este rterizt de euţiile prmetrie u hv bu shv z u, u,v R. Interseţi prboloidului hiperboli (P ) u plnul π α este urb de euţie: α z b. α Dă α tuni interseţi onstă în două drepte onurente (d : b-, d : b ), ir în zul α este o hiperbolă. Interseţiile prboloidului hiperboli u plnele π β şi respetiv π γ, definite în seţiune 7.4.3, sunt prbolele de euţii β b β z, respetiv γ b γ z. Observăm ă prbolele situte în plnele π β, β R sunt u rmurile în sus, ir ele din plnele π γ, γ R sunt u rmurile în jos, stfel ă estă suprfţă semănă forte bine u o ş (vezi Fig. 38). 3

25 Conie şi udrie Prboloidul hiperboli re eleşi e şi plne de simetrie şi prboloidul elipti Conul, ilindrul, perehi de plne Definiţi Se numeşte on, suprfţ (C) rteriztă de euţi z (7.4.) b u sin v Euţiile prmetrie le onului sunt bu osv, u R, v [,π) z u Interseţi onului u plnul O este puntul O(,,). Interseţiile u plne prlele u plnul O sunt elipse (Fig. 39). Este uşor de văzut ă interseţi onului u plnul Oz (respetiv Oz) este reuniune două z O Fig. 39 drepte onurente, în timp e interseţiile u plne prlele u plnul Oz (respetiv Oz) sunt hiperbole. Definiţi Se numeşte suprfţă ilindriă, suprfţ rteriztă, în spţiul E 3, de o euţie în două nedeterminte (7.4.) F(, ) ( F(, z) su F(, z) ). 4

26 Algebră liniră, geometrie nlitiă şi diferenţilă În prtiulr, dă F(, ), b tuni suprfţ definită de (7.4.) este un ilindru elipti. Pentru b, se obţine euţi ilindrului irulr. În Fig. 4 vem reprezentre grfiă unui ilindru elipti în zul şi b 3. Dă F(, ), tuni (7.4.) b defineşte un ilindrul hiperboli, ir în zul în re F(, ) - p, un ilindrul prboli. Aeste suprfeţe ilindrie u genertorele prlele u Oz. Alte suprfeţe lgebrie de ordinul l doile sunt următorele: b - plne sente - plne prlele (onfundte, pentru ) b - dreptă dublă b z - punt dublu b z - mulţime vidă. 5