GEOMETRIE. Teorema (Teorema bisectoarei interioare) Fie triunghiul ABC, (AD bisectoarea interioară a unghiului A şi D (BC), atunci: DB =

Transcript

1 1. Relţii metrie în triunghiul orere 1.1. Teoreme le isetorelor GEOMETRIE Teorem (Teorem isetorei interiore) Fie triunghiul B, (D isetore interioră unghiului şi D (B), tuni: DB B. D Demonstrţie. Duem rin B o rlelă l D re întâlneşte e în M. liăm teorem lui Thles în triunghiul BM şi oţinem: DB M (1) D (D fiind isetore interioră unghiului, vem ă D BD, dr BD BM (lterne interne) şi BM D (oresondente). Dei BM BM. Oţinem stfel ă triunghiul BM este isosel u MB () DB B Din relţiile (1) şi () oţinem ă, şi stfel teorem este D demonstrtă. DB B DB D B B B Din oţinem su, de D D D B unde D, re se mi srie B D (3) M tuni B D BD B D, dei DB () 75

2 Oservţie. Pentru un lus de reizie se ote numi est "rim teoremă isetorei interiore". Teorem (Teorem reiroă teoremei isetorei interiore) DB B Fie triunghiul B, D (B) stfel înât, tuni (D este D isetore interioră unghiului. Demonstrţie. Fem eeşi onstruţie l teorem diretă, diă duem rin B o rlelă l D re întâlneşte e în M. Din ioteză vem ă DB B (1) D Fiindă D MB oţinem DB M () D Din (1) şi () oţinem BM, dei triunghiul MB este isosel u BM BM (3) Din rlelism vem: MB BD (lterne interne) () şi BM D (oresondente) (5) Din relţiile (3), (), (5) oţinem ă BD D, diă (D este isetore interioră unghiului. Teorem (Teorem isetorei exteriore) Fie triunghiul B u B. Dă (E este isetore exterioră EB B unghiului, E B, tuni. E Demonstrţie. Duem rin untul B o rlelă l E re întâlneşte e în N. liăm teorem lui Thles în triunghiul E: EB N (1) E Din rlelism oţinem NB ME (oresondente), BN EB (lterne interne). Din ioteză vem ă ME EB, dei NB BN, diă triunghiul BN este isosel u (B) (N) () EB B Din (1) şi () oţinem: şi teorem este demonstrtă. E 76

3 M N E B EB B Din oţinem (în iotez >B) E EB B EB B E EB B B B B B de unde EB, re se mi srie EB. tuni B E EB B Dei E. Oservţii. 1) ondiţi B din teorem isetorei exteriore este esenţilă deoree dă B tuni isetore exterioră unghiului este rlelă u B, dei nu mi există E. ) Teorem isetorei exteriore fost demonstrtă de Pus. 3) Un lus de reizie ere să numim estă teoremă dret "rim isetorei exteriore". liţie. Dă I este entrul erului însris în B şi {D}I B re lo ID relţi:. I ID BD Demonstrţie. u teorem isetorei în BD oţinem:, dr I B BD, tuni ID I 1, dei ID I. 77

4 I B D Teorem (Teorem reiroă teoremei isetorei exteriore) Fie triunghiul B şi E B\[B] stfel înât EB B, (1) E tuni (E este isetore exterioră unghiului. Demonstrţie. Treuie B, deoree dă B, din (1) r rezult EBE, relţie imosiilă din uz oziţiei lui E e B. Fem eeşi onstruţie l teorem isetorei exteriore, diă duem rin B o rlelă l E re întâlneşte e EB N în N. u teorem lui Thles în triunghiul E oţinem:, ir din E EB B ioteză, dei NB, diă BN este isosel u BN NB. Dr E BN EB şi NB ME, dei EB ME, relţie e sigură ă (E este isetore exterioră unghiului. 1.. Teorem lui Pitgor generliztă Teorem lui Pitgor din triunghiul dretunghi dmite o generlizre entru triunghiul orere. Teorem Într-un triunghi orere ătrtul lungimii unei lturi este egl u sum ătrtelor lungimilor elorllte două lturi din re se sde su se dună dulul rodusului lungimii unei dintre este lturi u lungime roieţiei eleillte e e B B B D (1) B B B D () Demonstrţie. Fie B un triunghi şi D roieţi lui e B. Din triunghiurile BD şi D dretunghie în D oţinem: B D BD, D D 1) Dă m( )<90 tuni treuie să rătăm ă: B B B D (1) 78

5 vem BD B-D. Într-devăr dă m( B)<90 tuni D [B] şi BDB- D. Dă m( B)90 D oinide u B şi vem BD0B-B. Dă m( B)>90, B (D) şi BDD-B B-D. vem dei B D BD D (B D) (D D ) B B D B B D B D B D ) Dă m( )>90 treuie să demonstrăm ă: B B B D În est z vem BDBD şi oţinem: B D BD D (B D) (D D ) B B D B B D Oservţii. 1) Semnul din fţ dulului rodus este influenţt numi de unghiul ous lturii e re o lulăm. ) Enunţul teoremei lui Pitgor generliztă nu revede dret z seil lterntiv m( )90 în re funţioneză teorem lui Pitgor roriu zisă: B B. est z ote fi inlus, relţiile (1) su () onservându-şi vlilitte. 3) Teorem lui Pitgor generliztă ne jută să fem o demonstrţie ridă reiroei teoremei lui Pitgor. ) Teorem lui Pitgor generliztă şi reiro teoremei lui Pitgor ne ermit să reizăm (duă măsur unghiurilor) felul triunghiului: otuzunghi, suţitunghi, dretunghi Teorem lui Stewrt Teorem Fie M un unt e ltur [B] unui triunghi B. re lo relţi: M B B M MB B BM M (1) Demonstrţie. Fie L roieţi untului e B. liăm teorem lui Pitgor generliztă în triunghiurile M şi MB. Oţinem: M M M ML BM 79

6 B M MB BM ML M Dă înmulţim ele două eglităţi, rim u BM, ir dou u M şi le dunăm memru u memru se v redue termenul M BM ML şi oţinem: BM B M M BM M BM M M MB M BM B M M (BM M) M BM MB M BM B B M L M M B M BM(M MB) BM B M M B M BM B M B B M BM B BM M diă oţinem relţi de demonstrt. 1.. Teorem lui Vn uel în triunghiul dretunghi Teorem Dă M este un unt orere e iotenuz [B] unui triunghi dretunghi B, re lo relţi: B M (1*) M B MB M B Demonstrţie. liăm teorem lui Stewrt: M B B M BM B BM M (1) Înmulţim relţi (1) u M şi oţinem: M B M B M BM M B BM M () Înmulţim relţi (1) u MB şi oţinem: M B MB B M MB BM B BM M (3) dunăm memru u memru relţiile () şi (3) şi gruând, oţinem: 80

7 M B (M MB) B M BM B M MB MB M B BM M(M MB) su M B B M BM M MB(B ) B BM M () Dr B B şi tuni () devine M B B M BM M MB B B BM M dei M B B M BM. orolr Pătrtul lungimii isetorei este medie rmoniă între ătrtele lungimilor segmentelor determinte de e e iotenuză. Dă M este isetore tuni MB M M. MB M B MB B MB u teorem isetorei oţinem, de unde su M M B M MB (5) u (5) relţi lui Vn uel (1*) se mi srie B M B M B M (B ) M su B B M B M M B M B M M M MB M M MB MB M dei M. M MB orolr 1... Dă triunghiul B este dretunghi isosel, vem: MB M M Dă B relţi (1*) devine: B (M MB ) M B (B B B ) M MB su M. 81

8 1.5. lulul lungimii isetorelor interiore Teorem Fie B un triunghi şi [D isetore interioră unghiului B, u D (B). tuni D ( ) su ( ) D ( ) (unde ) su l ( ). B BD Demonstrţie. Din teorem isetorei vem ă, re se mi srie D BD BD D B, de unde oţinem:, de unde D D D D. tuni BD B D. Dei BD. Vom srie relţi lui Stewrt entru zul ând M este în D. Oţinem: D B B D BD B BD D Înlouind e B u, B u, u şi D u, ir BD u oţinem: D, de unde D, ( ) re se mi srie: ( ) D ( )( ) ( ) ( ) (m ţinut sem ă şi tuni ). ( ) Dei D, diă relţi de demonstrt. ( ) 1.6. lulul lungimii înălţimilor unui triunghi Teorem Dă B este un triunghi orere vem h ( )( )( ), 8

9 83 unde h este înălţime oresunzătore lturii, ir. Demonstrţie. În triunghiul B, duem înălţime ' (h ). Dintre ele două unghiuri B şi el uţin unul este suţit. Să resuunem ă est este B. u teorem lui Pitgor generliztă oţinem: ' B B B, de unde oţinem: B B B ' B B ' B, re se mi srie '. Din triunghiul dretunghi ' (m( ')90 ) u teorem lui Pitgor oţinem: ' ' ) ( )] ( [ ) )( ( ) ( ) )( )( )( ( ) )( )( ( ) )( )( ( ),, ( Dei ) )( )( ( ', de unde ) )( )( ( ', diă tomi relţi de demonstrt.

10 1.7. Teorem medinei Teorem Într-un triunghi B vem relţi: ( ) m, (1) unde B,, B, m ', ' este mijloul lui [B]. Demonstrţie. Sriem relţi lui Stewrt în zul ând M este mijloul ' l segmentului [B]. Oţinem: ' B B ' 'B B ' m ( ) m, diă relţi de demonstrt. B ' L Fig. 1. Proleme rezolvte R În orie triunghi sum ătrtelor lungimilor medinelor este trei ătrimi din sum ătrtelor lungimilor lturilor, diă: 3 m m m ( ) () Demonstrţie. Din relţi (1) şi nlogele oţinem: ( ) ( ) ( ) m, m, m. tuni ( ) ( ) ( ) m m m 3( ). 8

11 R1.7.. Dă G este untul de onurenţă medinelor ', B, ' l triunghiului B, să se demonstreze relţi: (G G') ' (GB G) B (G G') ' Soluţie. Ţinem sem ă entrul de greutte l unui triunghi se găseşte l de vârf şi l de ză, diă G m, G ' m, GB m, GB ' m, G m, G ' m, relţi de demonstrt devine: m m m m m m ( ). 3 3 m ţinut sem ă m m m ( ). ' G B ' Fig.. R Într-un triunghi dretunghi u lungimile tetelor şi şi lungime iotenuzei vem relţi 5 m m () Demonstrţie. Într-un triunghi dretunghi medin m oresunzătore iotenuzei re lungime. tuni folosind relţi şi ţinând sem ă 3 m m m ( ) (teorem lui Pitgor), oţinem: 85

12 de unde m 86 3 ( m 5 ), m m, (5) 5 ir dă triunghiul este dretunghi isosel relţi () devine m, de unde 5 m. 8 R1.7.. Triunghiul u două medine ongruente este isosel. Soluţie. Din m m m m su ( ) ( ), re se mi srie, de unde 3 3, dei. R Diferenţ ătrtelor lungimilor două lturi le unui triunghi este eglă u dulul rodus dintre lungime lturii trei şi lungime roieţiei medinei oresunzătore e e ltură. liăm teorem lui Pitgor generliztă în triunghiurile şi ' oţinem (Fig. 1): B ' 'B 'B 'L şi ' ' ' 'L, de unde rin sădere memru u memru oţinem: B B 'L (m ţinut sem ă ') relţie re se mi srie (fără restrânge generlitte onsiderăm B>) 'L (6) diă: R Se onsideră triunghiul B u medin D şi înălţime E. Să se demonstreze relţi: B B D B DE Soluţie. În triunghiul BD u m( DB)<90, liăm teorem lui Pitgor generliztă: B BD D BD DE (*) liăm eeşi teoremă în triunghiul D u m( D)>90 şi oţinem: D D D DE (**) dunăm memru u memru relţiile (*) şi (**) şi oţinem:

13 BD D (***) B B E D Fig. 3. Din relţi (6) vem: B B ED dunând memru u memru ultimele două relţii oţinem: B BD D B ED su B BD D B ED, re se mi srie: B B D B ED, relţie re treui demonstrtă Teorem lui Leiniz Teorem Dă M este un unt ritrr în lnul triunghiului B, ir G este entrul de greutte l triunghiului, re lo relţi: M MB M 3MG G GB G (1*) Demonstrţie. Fie ' mijloul lui [B]. Sriem relţi lui Stewrt entru triunghiul M' şi untul G (') şi oţinem: MG ' M 'G M' G ' G G' tuni oţinem: 1 MG M M' ' (1) Fiindă M' este medină în triunghiul MB, vem ( MB M ) B M' () u (), relţi (1) devine: 1 (MB M ) B MG M ', re se mi srie (rin înmulţire u 3) 87

14 B 3MG M MB M ' (3) 3 Fiindă G' este medină în triunghiul GB oţinem: (GB G ) B G', de unde B (GB G ) G' () G M B ' Fig.. u (), relţi (3) devine: 3MG M MB M GB G G' ' (5) Folosind eglităţile G' G şi ' G, relţi (5) devine: G 9 3MG M MB M GB G G, 3 re se mi srie M MB M 3MG G GB G, relţie e treui demonstrtă. onseinţ Sum ătrtelor distnţelor de l M l vârfurile triunghiului este minimă ând M oinide u G. Fiindă 3 m m m ( ) şi G m, GB m, 3 3 G m tuni (1*) devine: 3 1 M MB M 3MG ( ) (6) 3 88

15 ir ând MG0 oţinem M MB M. 3 onseinţ Dă M oinide u entrul erului irumsris O, tuni 1 OG [9R ( )] (7) 9 ând M oinide u O vem OOBOR, ir (6) devine: 1 O OB O 3OG ( ), 3 1 diă 3R 3OG ( ), de unde oţinem: 3 9R ( ) OG, diă relţi (7). 9 Din OG 0 rezultă 9R ( ) 0, de unde R. 9 onseinţ OH 9R ( ) GH [9R ( )] 9 OH Se foloses relţiile OH3 OG şi GH OG. Pentru OG, relţi (7) 3 devine OH 1 [9R ( )], 9 9 de unde OH 9R ( ) (8) GH u GH OG, diă OG, relţi (7) devine GH 1 [9R ( )], 9 de unde GH [9R ( 9 )] 89

16 onseinţ Dă O 9 este entrul erului lui Euler vem 1 O9G [9R ( )] 36 OH vem relţi GO 9, de unde OH 36 GO9 ir din (8) oţinem: 6 36GO9 9R ( ), de unde 9R ( ) GO liţii Fie, B,, D vârfurile unui ătrt şi M, N, P, Q mijloele lturilor lui. Să se demonstreze ă, dă O este un unt orere din lnul ătrtului, tuni exresi: O OB O OD (OM ON OP OQ ) re vlore ri ătrtului. M B O Q N D P Demonstrţie. liăm teorem medinei în triunghiurile: OB, BO, OD, DO şi oţinem: (O OB ) B (OB O ) B OM, ON (O OD ) D (OD O ) D OP, OQ dunând memru u memru ele tru relţii de mi sus oţinem: (OM ON OP OQ ) (O OB O OD ) B (m ţinut sem ă BBDD), de unde oţinem O OB O OD OM ON OP OQ B, diă relţi erută. Teorem (Teorem lui Euler entru trulter) 90

17 În orie trulter BD sum ătrtelor lungimilor lturilor este eglă u sum ătrtelor lungimilor digonlelor lus de tru ori ătrtul segmentului re uneşte mijloele digonlelor, diă B B D D B EF (1*) unde [] şi [BD] sunt digonlele trulterului BD, ir E este mijloul lui [], F este mijloul lui [BD]. D F E B Demonstrţie. u teorem medinei în triunghiul B oţinem: (B ) BE Din triunghiul D u eeşi teoremă oţinem: (D D ) DE Din triunghiurile BD şi BD, entru medinele [F] şi [F] vem relţiile: (D B ) BD (D B ) DB F, F dunând memru u memru ele tru relţii de mi sus oţinem: BD BE DE F F B B D D (1) liăm teorem medinei în triunghiurile BED şi F şi oţinem (BE DE ) BD (F F ) EF, EF de unde BD BE DE EF () şi F F EF (3) Folosind relţiile () şi (3), relţi (1) devine: 91

18 BD BD EF EF B B D D, relţie ehivlentă u EF BD B B D D, diă tomi relţi de demonstrt. zuri rtiulre 1) BD rlelogrm (mijloele digonlelor oinid). Dei EF0. tuni (1*) devine B B D D BD, relţie re se mi srie (B B ) BD dei: În orie rlelogrm sum ătrtelor lungimilor lturilor este eglă u sum ătrtelor lungimilor digonlelor. B D ) BD trez u zele B şi D (B>D). tuni EF şi (1*) devine B B B D D BD BD B D B D, D dei Într-un trez sum ătrtelor lungimilor digonlelor este eglă u sum ătrtelor lungimilor lturilor nerlele lus de două ori rodusul lungimilor zelor. 3) BD este dretunghi. tuni relţi (1*) devine (B diă oţinem teorem lui Pitgor Teorem lui Menelus B ) su B B Teorem Fie B un triunghi ',, ' trei unte stfel înât ' B,, ' B. Dă untele ',, ' sunt olinire, tuni re lo relţi: 'B ' 1 ' 'B Demonstrţie. 1) Trnsversl '' interseteză două lturi şi relungire eleillte lturi triunghiului. B 1 ' 1 1 B ' 9

19 Proietăm vârfurile triunghiului B e dret '', şi oţinem untele 1, B 1, 1. Fiindă 1 BB 1 rezultă ă 'BB 1 ~ ' 1. tuni oţinem: 'B BB1 (1) ' 1 Triunghiurile 1 şi 1 sunt semene ( 1 1 ) şi tuni 1 () 1 Şi triunghiurile ' 1 şi B'B 1 sunt semene ( 1 BB 1 ) şi vem: ' 1 (3) ' B BB1 Înmulţind relţiile (1), () şi (3) memru u memru şi simlifiând, oţinem: 'B ' 1. ' ' B ) Trnsversl '' interseteză relungirile lturilor triunghiului B. B ' ' B Proietăm vârfurile triunghiului B e dret '' şi oţinem resetiv untele 1, B 1, 1. Fiindă 1 BB 1, triunghiurile 'BB 1 şi ' 1 sunt semene. tuni re lo relţi: 'B BB1 (1) ' 1 Din semănre triunghiurilor 1 şi 1 ( 1 1 ) oţinem: 1 () 1 um din semănre triunghiurilor ' 1 şi 'BB 1 ( 1 BB 1 ) rezultă ă: ' 1 (3) 'B BB1 Prin înmulţire relţiilor (1), () şi (3) memru u memru şi duă simlifiări, 'B ' oţinem: 1, diă relţi e treui demonstrtă. ' 'B Teorem (Reiro teoremei lui Menelus) 93

20 onsiderăm un triunghi B şi untele ' B,, ' B. Dă două dintre untele ',, ' sunt situte e două lturi le triunghiului, ir l treile unt este situt e relungire elei de- trei lturi su ă tote untele ',, ' sunt e relungirile lturilor triunghiului şi re lo relţi: 'B ' 1 (1) ' 'B tuni untele ',, ' sunt olinire. Demonstrţie. onsiderăm zul ând două unte sunt e lturi şi elăllt e relungire elei de- trei lturi. Presuunem ă dret ' interseteză ltur [B] în untul '' '. liăm teorem lui Menelus entru untele ',, ''. Oţinem: 'B '' 1 () ' ''B Din relţiile (1) şi () oţinem: ' 'B '' ''B ','' B ' Fiindă există un singur unt interior unui segment re îmrte segmentul într-un rort dt, rezultă ă untul '' oinide u ', diă untele ',, ' sunt olinire Teorem lui Vn uel Teorem Fie B un triunghi şi untele ' (B),, ' B. Dă dretele ', B, ' sunt onurente într-un unt M tuni re lo relţi: ' M ' B M' 9

21 B ' M Demonstrţie. liăm teorem lui Menelus entru triunghiul ' şi trnsversl B. Oţinem: M 1 (1) B M' Din relţi (1) oţinem: M () B M' liăm um teorem lui Menelus entru triunghiul 'B şi trnsversl '. Oţinem: B M' ' 1, ' M 'B de unde rezultă ă ' ' M (3) 'B B M' dunând relţiile () şi (3) memru u memru oţinem: ' M ', 'B M' B de unde ' M. 'B M' 1.1. Teorem lui ev ' Teorem (Teorem lui ev) Se onsideră triunghiul B şi untele ' B,, ' B. Dă dretele ', B, ' sunt onurente, tuni 'B ' 1 ' 'B Demonstrţie. 1) onsiderăm untul O de interseţie l dretelor ', B, ' fiind situt în interiorul triunghiului. onsiderăm triunghiul B' şi trnsversl '. u teorem lui Menelus oţinem: 95

22 'B O ' 1 (1) ' O' B ' O B ' liăm um teorem lui Menelus entru triunghiul ' şi trnsversl B. Oţinem: O' B 1 () O B' Înmulţind memru u memru relţiile (1) şi () şi simlifiând oţinem: 'B ' 1, diă relţi e treui demonstrtă. ' 'B ) onsiderăm untul de interseţie l dretelor ', B, ' fiind O şi re este situt în exteriorul triunghiului B. liăm teorem lui Menelus entru triunghiul 'B şi trnsversl O'. Oţinem: B O' ' 1 (1) ' O 'B liăm um teorem lui Menelus entru triunghiul ' şi trnsversl BO. Oţinem: O 1 () B O' B ' O ' Înmulţim memru u memru relţiile (1) şi () şi oţinem duă simlifiări 'B ' 1 ' ' B 96

23 Teorem (Reiro teoremei lui ev) Dă e lturile unui triunghi B onsiderăm untele ',, ' (' B,, ' B) tote e lturi su unul e lturi şi elellte două e relungiri, stfel înât să vem relţi: 'B ' ' 1 ' B tuni dretele ', B, ' sunt onurente. Demonstrţie. Presuunem ă dretele ', B, ' nu sunt onurente. Fie ' B{O} şi O B{''}, ' ''. Din teorem lui ev oţinem 'B ' ' 1 (1) ' ' ' B Din ioteză vem 'B ' 1 () ' 'B Din relţiile (1) şi () rezultă ' este identi u '' onurenţ liniilor imortnte în triunghi Medinele unui triunghi sunt onurente în untul G (entrul de greutte l triunghiului). Demonstrţie. Fie ', B, ' medinele triunghiului B. tuni ',, ' sunt mijloele lturilor [B], [] şi resetiv [B]. ' G B ' liăm reiro teoremei lui ev şi oţinem: 'B ' 1, ' ' B diă medinele sunt onurente Bisetorele interiore le unghiurilor unui triunghi sunt onurente în I (entrul erului însris). Demonstrţie. u teorem isetorei interiore oţinem: 'B B B ', şi. ' B 'B B 97

24 ' J B ' Prin înmulţire relţiilor de mi sus memru u memru oţinem: 'B ' B B 1, ' 'B B B de unde onform reiroei teoremei lui ev oţinem ă isetorele interiore le unghiurilor unui triunghi sunt onurente Bisetorele exteriore două unghiuri unui triunghi sunt onurente u isetore interioră elui de-l treile unghi într-un unt I (entrul erului exînsris). Demonstrţie. u teorem isetorei interiore entru ' oţinem: 'B B ' B ' Im J ' u teorem isetorei exteriore entru B şi ' oţinem: B ' şi B ' B B Înmulţind memru u memru ele trei relţii de mi sus oţinem: 98

25 'B ' B B 1 ' ' B B B de unde onform reiroei teoremei lui ev rezultă ă ele două isetore exteriore şi isetore interioră sunt onurente în I Înălţimile unui triunghi sunt onurente în untul H (ortoentrul triunghiului). Demonstrţie. Fie ', B, ' înălţimile triunghiului B. Din semănre triunghiurilor 'B şi 'B oţinem: 'B B (1) 'B B ' H B ' Din semănre triunghiurilor dretunghie B şi ' oţinem: B () ' Din semănre triunghiurilor dretunghie ' şi B oţinem: ' (3) B Din relţiile (1), () şi (3) rin înmulţire memru u memru oţinem: 'B ' B B 1, ' B ' B B re se mi srie: 'B ' 1 ' ' B şi onform reiroei teoremei lui ev, înălţimile ', B, ' sunt onurente Lem lui rnot şi liţii Teorem (Lem lui rnot). Fie triunghiul B şi untele ' B,, ' B. Perendiulrele în ',, ' e B,, resetiv B sunt onurente dă şi numi dă 'B ' ' ' B 0 (*) 99

26 ' M B ' Demonstrţie. Presuunem ă ele trei erendiulre sunt onurente într-un unt M. liăm teorem lui Pitgor în triunghiul dretunghie M, M', M, M, M', BM' şi oţinem relţiile: ' B BM M', ' M M' M M, M M ' M M', ' B BM M' Săzând dou relţie din rim oţinem: ' B ' BM M (1) Săzând tr relţie din trei oţinem M M () Săzând şse relţie din ine oţinem ' ' B M BM (3) dunând memru u memru relţiile (1), (), (3) oţinem relţi (*). Reiro, resuunem ă re lo relţi din enunţ şi rin reduere l surd resuunem ă ele trei erendiulre nu sunt onurente. Fie M untul de interseţie l erendiulrelor din şi ' e lturile oresunzătore şi '' iiorul erendiulrei din M e B. ' M B ' '' Din ioteză vem: 'B ' ' ' B 0 u teorem diretă vem ''B '' ' 'B 0 Săzând relţiile de mi sus oţinem: ' B ''B ' '' 0 'B ' ''B '' 100

27 (' B ')('B ') (''B '')(''B '' ) (' B ') B (''B '') B ' B ''B ' '' ''' '' ' ' '' 0 ' ''. Oservţie. Relţi (*) ote fi utiliztă în rezolvre unor roleme re er demonstrre onurenţei unor drete. orolr Pentru zul ând M', M, M' sunt meditorele lturilor onurenţ este evidentă şi re lo relţi (*) Teorem triunghiurilor ortologie Teorem Fie B şi '' două triunghiuri situte în elşi ln. Să se demonstreze ă dă erendiulrele din, B, e lturile ['], [''], ['] sunt onurente tuni şi erendiulrele din ',, ' e lturile [B], [], [B] sunt onurente. (ele două triunghiuri se numes ortologie.) Demonstrţie. Fie 1, B 1, 1 iiorele erendiulrelor oorâte din, B, ' ' ' e lturile ['], [''], ['] şi 1, B 1, 1 iiorele erendiulrelor oorâte din ',, ' e [B], [], [B]. ' 1 1 ' 1 B 1 O O' 1 B 1 u lem lui rnot vem: 1 1' B1' B1' 1' 1 0 (1*) u teorem lui Pitgor în triunghiurile dretunghie 1 şi ' 1 oţinem 1 1 şi 1' ' 1 de unde rin sădere memru u memru devine 1 1' ' (1) În triunghiurile dretunghie BB 1 ' şi BB 1 ', u teorem lui Pitgor oţinem: B1' B' BB1 şi B1' BB1 de unde rin sădere oţinem: ' 101

28 B1' Din triunghiurile ' 1 şi 1 oţinem: 1' ' 1 şi 1 1 de unde rin sădere rezultă ă 1' 1 ' (3) Din relţiile (1*), (1), (), (3) oţinem rin dunre ' B' ' 0 () Însă ' ' B 'B ' (5) B1' B' () 1 1 ' ' 1 1B ' ' B ' ' B1 B1, Din relţiile () şi (5) rezultă ă ' ' ' ' ' 1 B 1 B1 B1 1 1B 0 dei erendiulrele din ',, ' e [B], [], [B] sunt onurente. liţie. Fie B un triunghi u ortoentrul H şi untele ',, ' situte resetiv e dretele H, BH, H. Să se rte ă erendiulrele din, B, e ', ' resetiv ' sunt onurente. (Vsile Po, 1998, Olimid jud. luj) Demonstrţie. Fiindă erendiulrele din ',, ' e B,, B sunt onurente în H, u teorem triunghiurilor ortologie oţinem ă şi erendiulrele din, B, e ', '', ' sunt onurente. ' ' B Teorem ortoolului Teorem Fie B un triunghi şi d o dretă orere. Proietăm vârfurile, B, e d în untele ',, '. Perendiulrele oorâte din ',, ' e lturile [B], [], [B] sunt onurente, ir untul lor de interseţie ω ortă numele de ortoolul dretei d fţă de triunghiul B. Demonstrţie. Fie 1, B 1, 1 iiorele erendiulrelor oorâte din ',, ' e lturile triunghiului. 10

29 B 1 1 ω B 1 ' u teorem lui Pitgor în triunghiurile ' 1 B şi ' 1 oţinem: 1B 'B ' 1, 1 ' ' 1 Din este două relţii, rin sădere oţinem: 1B 1 'B ' re se mi srie: 1B 1 ' B '' ' (1) nlog oţinem: B1 B1 ' ' ' ' () 1 1B ' ' B ' ' ' ' B (3) Din (1), () şi (3) rin dunre oţinem: 1 B 1 B1 B1 1 1B 0 erendiulrele în 1, B 1, 1 e [B], [], [B] sunt onurente. ' d Teorem sinusurilor Teorem (Teorem sinusurilor) Într-un triunghi, rortul dintre o ltură şi sinusul unghiului ous este egl u dimetrul erului irumsris triunghiului su R (*) sin sin B sin unde,, sunt lungimile lturilor triunghiului B ir R rz erului irumsris triunghiului. Demonstrţie. i) onsiderăm zul triunghiului suţitunghi. Fie O entrul erului irumsris triunghiului şi ' untul dimetrl ous lui. 103

30 O B ' În triunghiul dretunghi ' (m( ')90 ) vem: sin ', ' R dr ' B (suîntind elşi r). tuni oţinem: sin B, R de unde R. sin B nlog oţinem: R, R. sin sin Dei R. sin sin B sin ii) onsiderăm zul triunghiului otuzunghi. (m( )>90 ). În est z untul O, entrul erului irumsris este situt în exteriorul triunghiului. B O Duem dimetrul B, tuni m( B)90. În triunghiul B vem B sin (1) B R 10

31 Ptrulterul B fiind insritiil rezultă ă m( B) m( B) 180, de unde m( B)180 -m( B). tuni oţinem: sin( B)sin(180 -)sin () Dei u (1) şi () oţinem sin, rezultă ă R. elellte R sin relţii se demonstreză în zul reedent. Rezultă ă şi în est z sunt stisfăute relţiile (*) Teorem osinusului Teorem onsiderăm un triunghi orere B. Vom demonstr mi întâi ă între elementele triunghiului vem relţi: os osb (1) Mi întâi resuunem ă unghiurile B şi sunt suţite şi dei iiorul ' l înălţimii oorâte din este situt între untele B şi. B ' ' B Din triunghiurile dretunghie 'B şi ' oţinem: os B, de unde osb B ' os, de unde 'os. Dr ', dei osbos, diă tomi relţi (1). Dă unghiul B este otuz, iiorul ' l înălţimii din este situt în exteriorul segmentului [B]. Din triunghiurile dretunghie 'B şi ' oţinem: 'B os, B ' de unde 'BBos(180 -B), su 'Bos(180 -B), ir os, de unde 'os. Dr os(180 -B)-osB şi '-'B. tuni ososb, diă relţi (1). nlog se demonstreză ă 105

32 osos () osbos (3) Înmulţind relţi () u şi (3) u, dunând memru u memru oţinem: ( os osb) os () Ţinând sem de (1), relţi () devine: os diă os (5) relţie re ortă numele de teorem osinusului: Pătrtul lungimii unei lturi unui triunghi este egl u sum ătrtelor lungimilor elorllte două lturi minus de două ori rodusul lungimilor lor înmulţit u osinusul unghiului dintre ele. nlog u (5) vem osb (6) os (7) Din (5), (6), (7) oţinem: os, os B, os (8) Relţiile (8) onstituie o modlitte entru determinre nturii unui triunghi (suţitunghi, dretunghi su otuzunghi). 106