Η άλγεβρα της στροφορμής

Η άλγεβρα της στροφορμής Στην κλασική μηχανική, η τροχιακή στροφορμή L ενός σωματιδίου είναι L r p (1) όπου r το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου και p η ορμή του. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, η (1) γράφεται eˆ eˆ eˆ L p p eˆ p p eˆ p p eˆ p p p L p p eˆ p p eˆ p p eˆ Επομένως, οι τρεις συνιστώσες της στροφορμής, L, L, L, είναι L p p (2) L p p (3) L p p (4) Όπως ξέρουμε, στην κβαντική μηχανική, η θέση και η ορμή είναι τελεστές, επομένως η στροφορμή είναι και αυτή ένας τελεστής. Στις τρεις διαστάσεις, οι μεταθετικές σχέσεις των τελεστών της θέσης και της ορμής είναι οι εξής: ˆ, ˆ j (5) p ˆ, ˆ pj (6) ˆ, ˆ p j j (7) όπου, j 1, 2,3, με το 1 να αναφέρεται στη συντεταγμένη, το 2 στη συντεταγμένη, και το 3 στη συντεταγμένη. Οι μεταθέτες (5) (7) είναι η γενίκευση, στις τρεις διαστάσεις, του μεταθέτη ˆ, pˆ που χρησιμοποιούμε στη μία διάσταση. Στις τρεις διαστάσεις, η θέση και η ορμή είναι διανυσματικοί τελεστές, δηλαδή έχουν τρεις συνιστώσες, ˆ, ˆ, ˆ (ή ˆ 1, ˆ ˆ 2, 3) και pˆ, ˆ, ˆ p p (ή pˆ 1, pˆ ˆ 2, p 3), όπως και ο τελεστής της στροφορμής. Από τις σχέσεις (2) (4), ορίζουμε τις τρεις συνιστώσες του τελεστή της στροφορμής ως Lˆ p ˆˆ p ˆˆ (8) Lˆ p ˆˆ p ˆˆ (9) Lˆ p ˆˆ p ˆˆ (1)

Από την (7) βλέπουμε ότι ˆ, ˆ pj όταν j. Επομένως, p ˆˆ ˆ ˆ p, p ˆˆ ˆ ˆ p, κ.λπ. Έτσι, στις σχέσεις ορισμού (8) (1), η σειρά των συνιστωσών των τελεστών θέσης και ορμής στα επιμέρους γινόμενα δεν παίζει ρόλο. Με άλλα λόγια, θα μπορούσαμε, για παράδειγμα, να ορίσουμε τον L ˆ ως pˆ ˆ ˆˆ p ή ως p ˆˆ ˆ ˆ p, και αντίστοιχα για τους L ˆ και L ˆ. Από τις σχέσεις (8) (1) βλέπουμε επίσης ότι οι τελεστές Lˆ, Lˆ, L ˆ είναι ερμιτιανοί, όπως πρέπει να είναι αφού παριστάνουν παρατηρήσιμα μεγέθη. Πράγματι, είναι p ˆ, ˆ p ˆ, ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ Lˆ p p p p p p p p L και αντίστοιχα για τους L ˆ και L ˆ. Θα δείξουμε τώρα ότι οι τρεις συνιστώσες τις στροφορμής, δηλαδή οι τελεστές Lˆ, Lˆ, L ˆ δεν μετατίθενται μεταξύ τους. Εφόσον δεν μετατίθενται μεταξύ τους, δεν έχουν κοινό σύνολο ιδιοκαταστάσεων, και επομένως δεν μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα. Πράγματι, αν θεωρήσουμε ένα σωμάτιο που βρίσκεται σε μια ιδιοκατάσταση π.χ. του L ˆ, η -συνιστώσα της στροφορμής του σωματιδίου θα είναι καθορισμένη. Όμως, επειδή οι τρεις συνιστώσες της στροφορμής δεν μετατίθενται όπως θα δείξουμε η κατάσταση του σωματιδίου δεν είναι ιδιοκατάσταση ούτε του L ˆ ούτε του L ˆ, επομένως η -συνιστώσα και η -συνιστώσα της στροφορμής του σωματιδίου δεν είναι καθορισμένες. Ας ξεκινήσουμε με τον μεταθέτη L ˆ, L ˆ. L ˆ, ˆ ˆˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ, ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆˆ L p p p p p p p p p p p ˆˆ, ˆˆ ˆˆ, ˆˆ ˆˆ, ˆˆ ˆˆ, ˆˆ p p p p p p p ˆ pˆ, ˆˆ ˆ, ˆˆ ˆ ˆ ˆ, ˆˆ ˆ, ˆˆ ˆ ˆ ˆ, ˆˆ ˆ, ˆˆ ˆ p p p p p p p p p p p ˆ p ˆ, ˆˆ ˆ, ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ p p p p p p p p p ˆ, ˆ pˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ p p p p p p p p p p p ˆˆ pˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ p p p p p p p p p p p ˆ ˆ pˆ pˆ p ˆˆ p ˆˆ L ˆ, Lˆ, Lˆ Lˆ (11) Σημείωση Για να υπολογίσουμε τον μεταθέτη (11), χρησιμοποιήσαμε τις ακόλουθες μεταθετικές ιδιότητες:

) Aˆ, Bˆ Cˆ Aˆ, Bˆ Aˆ, Cˆ ) Aˆ, BC ˆ ˆ Aˆ, Bˆ Cˆ Bˆ Aˆ, Cˆ Ας τις δείξουμε ) A ˆ, Bˆ C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A B C B C A AB AC BA ˆ CA ˆ ˆ AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ AC ˆ ˆ CA ˆ ˆ A ˆ, Bˆ A ˆ, C ˆ Επίσης Bˆ C ˆ, A ˆ A ˆ, Bˆ C ˆ A ˆ, Bˆ A ˆ, C ˆ Bˆ, A ˆ C ˆ, A ˆ Bˆ Cˆ, Aˆ Bˆ, Aˆ Cˆ, Aˆ ) A ˆ, Bˆ C ˆ Bˆ A ˆ, C ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ AB BA C BAC ˆ ˆ CA ˆ ˆ ABC ˆ ˆ ˆ BAC ˆ ˆ ˆ BAC ˆ ˆ ˆ BCA ˆ ˆ ˆ A ˆ BC ˆ ˆ BC ˆ ˆ A ˆ A ˆ, BC ˆ ˆ Επίσης BC ˆ ˆ, Aˆ Aˆ, BC ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ A, Bˆ C Bˆ A, C Aˆ, Bˆ Cˆ Bˆ Aˆ, Cˆ Bˆ, Aˆ Cˆ Bˆ Cˆ, Aˆ BC ˆ ˆ, Aˆ Bˆ, Aˆ Cˆ Bˆ Cˆ, Aˆ Με το ίδιο σκεπτικό υπολογίζουμε τους υπόλοιπους μεταθέτες. Lˆ, ˆ ˆˆ ˆˆ, ˆˆ ˆˆ ˆˆ, ˆˆ ˆˆ ˆˆ, ˆˆ ˆˆ L p p p p p p p p p p p ˆˆ, ˆˆ ˆˆ, ˆˆ ˆˆ, ˆˆ ˆˆ, ˆˆ p p p p p p p Όμως p ˆˆ, p ˆˆ ˆ, p ˆˆ pˆ ˆ p ˆ, p ˆˆ p ˆˆ ˆ ˆ ˆ, pˆ, ˆ pˆ ˆ pˆ, pˆ pˆ, ˆ pˆ p ˆˆ, p ˆˆ ˆ, p ˆˆ pˆ ˆ pˆ, p ˆˆ ˆ ˆ, ˆ pˆ ˆ, pˆ pˆ, ˆ pˆ ˆ pˆ, pˆ p ˆˆ, ˆˆ ˆ, ˆˆ ˆ ˆ ˆ, ˆˆ p p p p p ˆ ˆ, pˆ p ˆˆ, p ˆˆ ˆ, p ˆˆ pˆ ˆ pˆ, p ˆˆ p ˆˆ Επομένως L ˆ, L ˆ p ˆˆ p ˆˆ L ˆ

Lˆ, Lˆ Lˆ Επίσης, είναι (12) Lˆ, ˆ ˆˆ ˆˆ, ˆˆ ˆˆ ˆˆ, ˆˆ ˆˆ ˆˆ, ˆˆ ˆˆ L p p p p p p p p p p p ˆˆ, ˆˆ ˆˆ, ˆˆ ˆˆ, ˆˆ ˆˆ, ˆˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ p p p p p p p p p p p pˆ p ˆˆ L ˆ ˆ Lˆ, Lˆ Lˆ (13) Όλοι οι άλλοι μεταθέτες συνιστωσών της στροφορμής υπολογίζονται από τις σχέσεις (11) (13). Για παράδειγμα, Lˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ L L L L, ενώ ˆ, ˆ L L, κ.λπ. Με τη βοήθεια του συμβόλου του Lev-Cvta μπορούμε να γράψουμε όλους τους μεταθέτες σε έναν ενιαίο τύπο, ως εξής: Lˆ, Lˆ Lˆ j jk k όπου, j, k 1, 2,3, και όπως παραπάνω, το 1 αναφέρεται στη συντεταγμένη, το 2 στη συντεταγμένη, και το 3 στη συντεταγμένη. Προσοχή όμως να μην μπερδέψουμε τον δείκτη με τη φανταστική μονάδα. Υπενθυμίζουμε ότι το σύμβολο του Lev-Cvta ισούται με 1 για κάθε άρτια μετάθεση των δεικτών 1,2,3, με 1 για κάθε περιττή μετάθεση των δεικτών 1,2,3, και με μηδέν αν δύο ή τρεις δείκτες έχουν ίδια τιμή. Έτσι, για παράδειγμα, 123 1, 132 1, 232, κ.λπ. Παρατηρήστε ότι, στη (14), ο τελεστής τελεστής L ˆk είναι ερμιτιανός και η ποσότητα * jk jk jk (14) Lˆ είναι αντιερμιτιανός, αφού ο k jk είναι καθαρά φανταστική, δηλαδή. Αυτό είναι αναμενόμενο, διότι ο μεταθέτης δύο ερμιτιανών τελεστών, όπως είναι οι τελεστές Lˆ, L ˆ, είναι πάντα αντιερμιτιανός. Πράγματι, αν AB ˆ, ˆ ερμιτιανοί τελεστές, τότε Aˆ, Bˆ AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ BA ˆ ˆ AB ˆ ˆ Aˆ, Bˆ j Οι μεταθέτες (14), δηλαδή οι μεταθέτες των συνιστωσών της στροφορμής, είναι η άλγεβρα της στροφορμής. Σημειώνουμε ότι καταλήξαμε στην άλγεβρα της στροφορμής, δηλαδή στις σχέσεις (14), υπολογίζοντας τους μεταθέτες των συνιστωσών της στροφορμής στον αφηρημένο χώρο των καταστάσεων της στροφορμής, χωρίς να χρειαστεί να «καταφύγουμε» στην αναπαράσταση θέσης. Στη βιβλιογραφία, οι μεταθέτες (14) υπολογίζονται στην αναπαράσταση θέσης, όπου ˆ μιας «δοκιμαστικής κυματοσυνάρτησης» και ˆp, με τη βοήθεια. Όπως ξέρουμε, ο μεταθέτης δύο τυχαίων κβαντομηχανικών τελεστών δεν εξαρτάται από την αναπαράσταση,

επομένως μπορούμε να τον υπολογίσουμε σε όποια αναπαράσταση μάς βολεύει. Ο υπολογισμός της άλγεβρας της στροφορμής στην αναπαράσταση θέσης είναι, ενδεχομένως, πιο γρήγορος και, ίσως, ευκολότερος, από τον υπολογισμό στον αφηρημένο χώρο των καταστάσεων στροφορμής. Παρ όλα αυτά, προτιμήσαμε τον αφηρημένο χώρο των καταστάσεων της στροφορμής γιατί εκεί φαίνεται καλύτερα η γενικότητα η καθολικότητα θα λέγαμε των αποτελεσμάτων μας. Χρησιμοποιώντας την άλγεβρα της στροφορμής, μπορούμε να δείξουμε ότι οι συνιστώσες της στροφορμής μετατίθενται με το τετράγωνο της στροφορμής, δηλαδή L, Lˆ (15) όπου 1, 2,3, και Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ (16) 2 2 2 2 Πράγματι, είναι ˆ ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ 2,,,,, ˆ L L L L L L L L L L L L Lˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ L L L L L L L L L L L Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ Lˆ L, Lˆ Με τον ίδιο τρόπο, δείχνουμε ότι L, Lˆ και L, Lˆ Από την άλγεβρα της στροφορμής (14), βλέπουμε ότι ο μεταθέτης δύο οποιωνδήποτε διαφορετικών συνιστωσών της στροφορμής είναι μη μηδενικός. Αυτό σημαίνει ότι δύο οποιεσδήποτε, αλλά διαφορετικές, συνιστώσες της στροφορμής δεν έχουν κοινές ιδιοκαταστάσεις, και επομένως δεν μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα. Αντίθετα, από τις σχέσεις (15) βλέπουμε ότι το τετράγωνο της στροφορμής μετατίθεται με όλες τις συνιστώσες της. Έτσι, το τετράγωνο της στροφορμής έχει κοινές ιδιοκαταστάσεις με μια τυχαία συνιστώσα της στροφορμής, και επομένως μπορεί να μετρηθεί ταυτόχρονα με αυτήν. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα εύρεσης των ιδιοτιμών και των ιδιοκαταστάσεων της στροφορμής για το τετράγωνό της και μία, αυθαίρετα επιλεγμένη, συνιστώσα της. Για να είμαστε σύμφωνη με τη βιβλιογραφία, αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας (οι τρεις συνιστώσες είναι ισοδύναμες), επιλέγουμε τη συνιστώσα L ˆ. Σπύρος Κωνσταντογιάννης Φυσικός, M.Sc. skonstan@hotmal.com