Έργο Ενέργεια 1/1 Η «φυσική» λύση της εξίσωσης του Νεύτωνα απαιτεί την γνώση της δύναμης σαν συνάρτηση του χρόνου. Τις περισσότερες φορές όμως γνωρίζουμε την δύναμη σαν συνάρτηση της γεωμετρίας (της θέσης των σωμάτων). Στην περίπτωση αυτή πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε την ταχύτητα συναρτήσει της θέσης και μετά να υπολογίσουμε την θέση συναρτήσει του χρόνου (και τελικά και την ταχύτητα και την δύναμη συναρτήσει του χρόνου). Στα πλαίσια της επίλυσης αυτής προκύπτουν χαρακτηριστικά μεγέθη της κίνησης που είναι πολύ σημαντικά όχι μόνον στα πλαίσια της μαθηματικής επίλυσης ή της Μηχανικής. Τα μεγέθη αυτά, Έργο Δύναμης, Κινητική Ενέργεια, Δυναμική Ενέργεια, καθίστανται θεμελιώδεις έννοιες και έχουν εφαρμογή σε όλους τους κλάδους της Επιστήμης. Επηρεάζουν δε, βαθύτατα και την αντίληψή μας για την Φύση και τον κόσμο γύρω μας, σε τέτοιο βαθμό που χρησιμοποιούνται ορθά ή και καταχρηστικά, εσφαλμένα και παραπλανητικά στα πλαίσια της καθημερινής μας ζωής.
Ώθηση Ώθηση ονομάζουμε την μεταβολή της ορμής ενός σώματος (φυσικά μέγεθος διανυσματικό) μέσα σε ένα χρονικό διάστημα εξαιτίας της συνισταμένης των δυνάμεων που δρουν επάνω του. dp d F dp=fd p=p p Fd I() /1 Προσέξτε την διανυσματική φύση της ώθησης που σημαίνει ότι το ολοκλήρωμα αναλύεται σε τρία επιμέρους ολοκληρώματα (π.χ. για τις συνιστώσες της δύναμης κατά x,y,z, όταν χρησιμοποιούμε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων). Το προηγούμενο ολοκλήρωμα μπορεί να λυθεί μόνον εφόσον γνωρίζουμε την εξάρτηση της δύναμης από τον χρόνο. Η έννοια της ώθησης είναι λοιπόν χρήσιμη όταν γνωρίζουμε την F(), όπως π.χ. στην περίπτωση ενός διαστημοπλοίου ή δορυφόρου όπου διορθώνουμε την πορεία του με κατάλληλη λειτουργία του κινητήρα τους για δεδομένο χρονικό διάστημα. d 1 p p I() m m Ι() m m Ι() md m d Ι()d ()= + ( ) Ι() d d m Πολλές φορές όμως (π.χ. βαρύτητα, ηλεκτρισμός κ.τ.λ.), γνωρίζω την δύναμη σαν συνάρτηση της γεωμετρίας του προβλήματος, δηλαδή της θέσης των σωμάτων που αλληλεπιδρούν, γενικά γνωρίζω F=F(). Τότε, αν θέλω να χρησιμοποιήσω την ώθηση πρέπει να λύσω πρώτα την =() και στη συνέχεια να αντικαταστήσω ώστε να έχω την F=F(): Δηλαδή, πρώταναλύσωτοπρόβλημα(γνώση του =()) και μετά να μπορώ να χρησιμοποιήσω την έννοια της ώθησης!! ης Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε με τις έννοιες του Έργου και της Ενέργειας.
Έργο Δύναμης και Ισχύς Ορίζουμε ως στοιχειώδες έργο dw μίας δύναμης F πουδρασεένασώμαπουμετατοπίζεταικατά d, το εσωτερικό γινόμενο της δύναμης με την στοιχειώδη μετατόπιση του σώματος, δηλαδή: ds F N () F FT d (+d) dw Fd dw Fxdx Fydy Fdz z 3/1 Εναλλακτικά, είναι το γινόμενο της επιτρόχιας συνιστώσας F T της δύναμης F επί την στοιχειώδη μετατόπιση επάνω στην τροχιά,ds. (Υπενθύμιση:d=ds u T ). dw F d ( F F ) d ( F uˆ F uˆ ) ( ds uˆ ) F ds T N T T N N T T Παρατήρηση: Η κεντρομόλος συνιστώσα ΔΕΝ παράγει έργο (κάθετη στη μετατόπιση). Για μία μακροσκοπική μετατόπιση, η τροχιά αναλύεται σε στοιχειώδεις μετατοπίσεις, οπότε το έργο W της δύναμης θα δίδεται από το ολοκλήρωμα: ή x y z s B B B B B W F d W F ( x, y, z ) dx F ( x, y, z ) dy F ( x, y, zdz ) F( sds ) x A A y A A z A A T x y z s A A A A A dw Ισχύς (στιγμιαία): P= Ρυθμός μεταβολής ( παραγωγή ή κατανάλωση) του έργου d Ισχύς για σώμα που κινείται με υ και ασκείται επάνω του δύναμη F dw Fd P= F d d Μονάδες: Έργο: Newon mee= Joule, Ισχύς: Joule/second. Επίσης: Ηλεκτρονιοβόλτ (EleconVol, ev): 1.6 1 19 Joule Κιλοβατώρα: Έργο και όχι ισχύς:1kwγια μία ώρα =1kWh
Κινητική Ενέργεια και το Θεώρημα Μεταβολής της 4/1 μόνον αν m=σταθερή dp d(mυ) dυ dυ ds dυ F m m m υ F d d d ds d ds dυ d(υ ˆ u u ) ˆ ˆ T m υu υ ˆ T F ut m ut FT m υdυ= FT ds ds ds υ B s B 1 1 m υd υ F T ds m υ B m υ A W ΗσυνάρτησηΕ k είναι η Κινητική Ενέργεια του σώματος. υ A s A 1 υ p Ek m mm E E W Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας kb, ka, Όταν ένα σώμα κινείται κάτω από την δράση μίας δύναμης F τότε το έργο της δύναμης ισούται με την μεταβολήτης κινητικής του ενέργειας. Το Θεώρημα προκύπτει από τον νόμο του Νεύτωνα! Προσοχή: Το θεώρημα δεν ισχύει για συστήματα μεταβλητής μάζας (θεωρήσαμε ότι m=σταθ.)!
Δυναμική Ενέργεια Ένα πεδίο δυνάμεων είναι συντηρητικό (ή διατηρητικό) όταν το έργο που παράγεται από το πεδίο δυνάμεων κατά τη μετατόπιση ενός σώματος από μία θέση σε μία άλλη είναι συνάρτηση μόνον της αρχικής και της τελικής θέσης του σώματος. Υπάρχει, δηλαδή, μία αριθμητική συνάρτηση της θέσης και μόνο του σώματος, η Δυναμική Ενέργεια E p (), τέτοια ώστε: B W Fd [ E ( ) E ( )] Παρατήρηση: Κάθε σταθερή δύναμη είναι και διατηρητική: A p B p A W = F B F A. Δηλαδή ησυνάρτηση δυναμικής ενέργειας είναι Ε p ()= F. F π.χ. για το βάρος Β= mg u z, Ε p ()= mgz Φυσικό νόημα ΔΕΝ έχει η τιμή της δυναμικής ενέργειας αλλά η διαφορά της από ένα σημείο σε άλλο (που είναι εν δυνάμει έργο). Συνεπώς, μπορώ να προσδιορίζω αυθαίρετα την μηδενική στάθμη δυναμικής ενέργειας, δηλαδή μπορώ να προσθέτω μία σταθερά C στην συνάρτηση και να χρησιμοποιώ την νέα συνάρτηση Ep( ) Ep( ) C Το έργο συντηρητικής δύναμης είναι συνάρτηση μόνον της αρχικής καιτηςτελικής θέσης του σώματος και όχι της διαδρομής που ακολούθησε το σώμα άρα το έργο για δεδομένη μετατόπισηαπόσημείοασε σημείο Β είναι πάντα το ίδιο όπως και αν πραγματοποιηθεί η μετατόπιση, ήισοδύναμα, κατά μήκος κλειστής διαδρομής το έργο συντηρητικής δύναμης είναι μηδέν. Οι θεμελιώδεις δυνάμεις είναι συντηρητικές αλλά κάποιες παράγωγες όπως η τριβή ΔΕΝ είναι άρα ΔΕΝ μπορεί να οριστεί η αντίστοιχη δυναμική ενέργεια (μη συντηρητικές δυνάμεις /πεδία δυνάμεων)) 5/1
Συσχετισμός Δύναμης Δυναμικής Ενέργειας Ας θεωρήσουμε ότι έχουμε ένα συντηρητικό πεδίο δυνάμεων με συνάρτηση δυναμικής ενέργειας Ε p =Ε Ε p (xyz) (x,y,z). Εάν υποχρεώσουμε ένα σώμα να μετακινηθεί σε ευθεία γραμμή από το σημείο (x,y,z ) στο (x +Δx, y,z )(διεύθυνση x) τότε το έργο που θα παραχθεί από το πεδίο: x Δx W B F d F x dx E p x x y z E p x y z A x [ ( Δ,, ) (,, )] E ( x Δ x, y, z ) E ( x, y, z ) E p p p Fx lim [ ] Δx Δx x Η παράγωγος αυτή ΔΕΝ είναι η συνήθης καθώς θεωρούμε σταθερά τα y, z και μόνη μεταβλητή την x. Ονομάζεται «μερική παράγωγος» της συνάρτησης ως προς x. Γενικότερα λοιπόν, γιαναβρούμετην συνιστώσα της δύναμης εξαιτίας του πεδίου σε συγκεκριμένη διεύθυνση παίρνουμε την μερική παράγωγο της συνάρτησης δυναμικού ως προς μεταβολές στη διεύθυνση αυτή. π.χ. η επιτρόχιος συνιστώσα της δύναμης θα είναι η ( ) μερική παράγωγος της Ε p ως προς την s ενώ η δύναμη του πεδίου θα δίδεται ως διανυσματικό άθροισμα των παραγώγων ως προς x,y και z. F T E ss p Ep Ep Ep F uˆ uˆy uˆ x y z x y z Δηλαδή, αντί να περιγράφουμε το πεδίο με τρεις συνιστώσες δύναμης σε κάθε σημείο του χώρου, το περιγράφουμε με μία αριθμητική τιμή για κάθε σημείο του χώρου (δυναμική ενέργεια) και οι διαφορές της δυναμικής ενέργειας από ένα σημείο σε άλλο του χώρου διαιρεμένες με την μετατόπιση μας δίνουν τη δύναμη στην κατεύθυνση αυτή (με ένα μπροστά). 6/1
Ανάδελτα Εάν ορίσουμε το ανάδελτα όπως παρακάτω τότε η δύναμη εξαιτίας του πεδίου γράφεται: uˆx uˆy uˆz F E x y z p 7/1 Το ανάδελτα έχει χαρακτηριστικά συνάρτησης και διανύσματος (αλλά δεν είναι) και χαρακτηρίζεται ως «τελεστής» που «δρα» επάνω στην συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας. Γενικότερα όταν δρα σε αριθμητική συνάρτηση f χαρακτηρίζεται ως βαθμίδα (gadien), είναι διάνυσμα και αποτελεί την γενίκευση της παραγώγου για περισσότερες της μίας μεταβλητές. f ˆ f gad f f ux uˆ f y uˆz x y z Απόκλιση (divegence, div) (δράση σε διάνυσμα, A A x y Az σαν εσωτερικό γινόμενο) και είναι αριθμός. div A A x y z Στροφή (Roaion. o ή cul)(δράση σε διάνυσμα, σαν εξωτερικό γινόμενο) και είναι διάνυσμα uˆx uˆy uˆz A A A A A A z y x ˆ z y x o A cul A A ( ) u ( ) u ˆ ( ) u ˆ x y z y z z x x y A x Ay A z x y z
Τελικά λοιπόν Σε πολικό σύστημα συντεταγμένων Έργο Ενέργεια Συσχετισμός Δύναμης Δυναμικής Ενέργειας F E p E E E Fx, Fy, Fz x y z και σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων: p p p Σε πολικό σύστημα συντεταγμένων ((,θ), επίπεδη κίνηση) η στοιχειώδης μετατόπιση στην διεύθυνση του u είναι d ενώ στην διεύθυνση u θ είναι dθ οπότε: Ep 1 Ep F gade (, θ) E (, θ) uˆ uˆ θ p p θ Τότε, για την περίπτωση κεντρικών δυνάμεων, F=F() u, θα έχουμε: E p Fθ Ep Ep( ) θθ Παραδείγματα: Ε p ανεξάρτητη της θ Κυκλική συμμετρία της Ε p Ep dep 1 F k k de p kd E p k C d k Ep dep k k k F de p d E p C d 8/1 Αρμονικός ταλαντωτής Βαρύτητα (k<) και Ηλεκτρικές δυνάμεις (k>, k<)
Διατήρηση Ενέργειας 9/1 Δ E W Δ E E E ( E E ) E E E E k AB p kb, ka, p, B p, A k, B p, B k, A p, B Ορίζουμε την ολική μηχανική ενέργεια: E E E =σταθερή ή ΔE Για συντηρητικά πεδία η ολική μηχανική ενέργεια παραμένει σταθερή. k Και εάν έχουμε και μη συντηρητικές δυνάμεις; Η ολική μηχανική ενέργεια δεν διατηρείται Οι συντηρητικές δυνάμεις μπορούν να περιγραφούν από την δυναμική ενέργεια αλλά για τις μη συντηρητικές πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το έργο. Οπότε: ΔE W W ΔE W Δ( ( E E ) W k AB, συντ. AB, μη συντ. p AB, μη συντ. k p AB, μη συντ. Η μεταβολή της ολικής μηχανικής ενέργειας ισούται με το έργο των μη συντηρητικών δυνάμεων. ΔE E W p AB, μησυντ.
Εύρεση παραμέτρων κίνησης από την Ενέργεια (διατηρητικές δυνάμεις) 1 μονοδιάστατη κίνηση mυ Ep ( x) E σταθ. 1 dx dx m Ep( x) E υ ( E Ep( x)) d d m E Ep ( x ) Το σώμα μπορεί να «υπάρξει» και να κινείται μόνον εκεί όπου: (βλέπε παρακάτω «Διαγράμματα Ενέργειας») ) x x dx ( E E p ( x )) m Παράδειγμα: μονοδιάστατη κίνηση υπό σταθερή δύναμη F. x d x x() E p 1/1 de x p F Fdx dep Ep( x) F x dx Θεωρώντας την μηδενική στάθμη στο x=. m 1 d( FxE) m x m 1 F E E F x ( E F x E) x F x EFx F F m m a υ
Εύρεση παραμέτρων κίνησης από την Ενέργεια (διατηρητικές δυνάμεις) Διατηρητικές: Η ολική μηχανική ενέργεια διατηρείται. Κεντρικές Δυνάμεις Κεντρικές δυνάμεις: επιλέγοντας ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων το κέντρο δύναμης, η δυναμική ενέργεια E p θα είναι μόνον συνάρτηση του και η στροφορμή L διατηρείται. Ηκίνησητου σώματος θα είναι επίπεδη, στο επίπεδο που ορίζουν ρζ η δύναμη και η αρχική ταχύτητα. Χρησιμοποιώ λοιπόν πολικό σύστημα συντεταγμένων. 1 E mυ Ep () σταθ. 1 1 d dθ E mυ mυθ Ep () σταθ. υ υ υ υ, υθ θ d L mυ σταθ υ θ d L θ m 1 d 1 L 1 d E m m E (), () p E m Ep eff d m d L Ενεργός Δυναμική Ενέργεια E peff, () E p () m 11/1
Έργο Ενέργεια Εύρεση παραμέτρων κίνησης από την Ενέργεια (διατηρητικές δυνάμεις) Κεντρικές Δυνάμεις Συνεπώς η μορφή, όσον αφορά στο, καθίσταται ίδια με του μονοδιάστατου προβλήματος και συνεπώς η λύση θα είναι της ίδια μορφής με x και Ε p (x)e p,eff (). 1/1 d Το ότι αποσυμπλέξαμε στις εξισώσεις μας το από το θ δεν d () σημαίνει ότι η κίνηση είναι δεν είναι δύο διαστάσεων και (, ( )) E Epeff συνεπώς πρέπει να υπολογίσουμε και το θ. Τώρα γνωρίζουμε το m =() και είχαμε: L mυ σταθ θ d dθ υ, υθ d d dθ dθ L Ld Lmυθ m θθ θ θ d d m () m () () Βέβαια μπορούμε, επίσης, να βρούμε απευθείας και την εξίσωση τροχιάς (=( θ) ήθ=θ()): d d dθ ( E Ep, eff ( )) ( E Ep, eff ( )) d m dθ d m d L L d ( EEpeff, ( )) θθ θ θ ( ) dθ m m m ( E Epeff, ( )) m
Διαγράμματα Ενέργειας Ευθύγραμμη κίνηση Από την μορφή της Δυναμικής Ενέργειας Ε p μπορούμε να βγάλουμε γρήγορα ποιοτικά συμπεράσματα για την κίνηση πριν λύσουμε τις εξισώσεις και πριν να γνωρίζουμε και τις αρχικές συνθήκες(ολική Ενέργεια) Ep ( x ) Η μελέτη της συνάρτησης Ε p μας επιτρέπει την εύρεση των σημείων ισορροπίας καθώς και το είδος ισορροπίας 13/1 de p F dx φορά δύναμης = τιμή κλίσης Ε p (x) d E p dx F x 1 x x 3 x 4 x 5 x de p F x 1,x,x 3,x 4,x 5 σημεία ισορροπίας (αν βάλουμε εκεί σώμα με υ= θα παραμείνει εκεί) dx xx ισορ. τοπικό ελάχιστο η δύναμη τείνει να το επαναφέρει στο σημείο ισορροπίας ευσταθής ισορροπία d E dx p xxισορ. τοπικό μέγιστοη δύναμη τείνει να το απομακρύνει από το σημείο ισορροπίας ασταθής ισορροπία
Ep ( x ) Ε Ε Ε Ε Έργο Ενέργεια Διαγράμματα Ενέργειας Ευθύγραμμη κίνηση Αν γνωρίζουμε την Ολική Ενέργεια τότε γνωρίζουμε και τα επιτρεπτά διαστήματα κίνησης. Γνωρίζουμε επίσης και την κινητική ενέργεια που θα έχει στα διάφορα σημεία (όχι όμως το πρόσημο της ταχύτητας που εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες). E= E k +E p E k E φράγματος Σημεία αναστροφής: η ταχύτητα στιγμιαία μηδενίζεται και την επόμενη χρονική στιγμή θα αλλάξει πρόσημο E p 14/1 Ε: το σώμα είναι εγκλωβισμένο στο κόκκινο διάστημα (κίνηση φραγμένη αριστερά δεξιά) και εκτελεί περιοδική κίνηση. Ε: το σώμα μπορεί να υπάρξει σε ένα από τα δύο διαστήματα εκτελώντας εκεί περιοδική κίνηση. Αν βρίσκεται στο δεξιό, παραμένειεγκλωβισμένοεκείπαρότιηe p είναι μικρότερη στο αριστερό!! Δηλαδή το να έχει ένα σημείο χαμηλότερη δυναμική ενέργεια δεν το κάνει αυτόματα επιτρεπτό σημείο της κίνησης. Μόνονανδώσουμεαρκετήενέργεια(λίγο μεγαλύτερη από E φράγματος ) θα μπορέσει το σώμα να ξεπεράσει το φράγμα δυναμικής ενέργειας και να περάσει και στο αριστερό φρέαρ (πηγάδι) δυναμική ενέργειας. Ε: τοσώμαεκτελείκίνησηφραγμένηαριστεράαλλάαργάηγρήγοραθαβρεθείσεάπειρη απόσταση. Αν η αρχική ταχύτητατουσώματοςήταναρνητικήςφοράςτοσώμαθαπλησιάσειστοαριστερόφράγμαθασταματήσεικαιμετάθα φύγει για το άπειρο. Αν η ταχύτητά του είχε θετική φορά, θα κατευθυνόταν απευθείας προς το άπειρο χωρίς να πλησιάσει το αριστερό φράγμα. x
E, () peff Ε Έργο Ενέργεια Διαγράμματα Ενέργειας Κεντρικές και διατηρητικές δυνάμεις Για κεντρική και διατηρητική δύναμη είδαμε ότι η γενική κίνηση λαμβάνει χώρα στο επίπεδο που ορίζει η αρχική ταχύτητα και το κέντρο της δύναμης (που επιλέγεται ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων). Η εικονιζόμενη μορφή ενεργού δυναμικής ενέργειας μπορεί να περιγράφει π.χ. αλληλεπίδραση δύο ατόμων σε ένα μόριο ή την αλληλεπίδραση ενός σώματος στο βαρυτικό πεδίο της Γης. Για μεγάλες τιμές του τείνει σε σταθερή τιμή που αυθαίρετα θεωρούμε (μπορούσαμε να την θέσουμε και 1), ενώ για μικρές τιμές του τείνει να απειριστεί περνώντας από ένα τοπικό ελάχιστο ενέργειας. 15/1 Ε 1 Ek, mυ Ε L E () E () m peff, p 1 1 E mυ mυθ Ep () σταθ. 3 1 Προσοχή: Η μελέτη του διαγράμματος μοιάζει με την αντίστοιχη της μονοδιάστατης κίνησης (αν L= τότε είναι μονοδιάστατη) αλλά δεν πρέπει να ξεχνάμεότιτασυμπεράσματα ξχ μ μ αφορούν γενικά κίνηση η δύο διαστάσεων. Έτσι: Ε: Το σώμα δεν έχει ακτινική κινητική ενέργεια και πρέπει = =σταθ, δηλαδή εκτελεί κυκλική κίνηση (ΔΕΝ είναι ακίνητο). Ε: Το σώμα εκτελεί μία περιοδική κίνηση μεταξύ των 1 και, όπου η υ μηδενίζεται, όχιόμωςκαιηυ θ. Ε: Το σώμα μπορεί να πλησιάσει σε μία ελάχιστη απόσταση 3 αλλά θα καταλήξει στο άπειρο με μηδενική υ, ήκαι μεγαλύτερη για μεγαλύτερη ολική ενέργεια. Αν ήταν μόριο θα είχε διασπαστεί σε ανεξάρτητα άτομα.
E, () peff Ε Έργο Ενέργεια Διαγράμματα Ενέργειας Κεντρικές και διατηρητικές δυνάμεις Για κεντρική και διατηρητική δύναμη είδαμε ότι η γενική κίνηση λαμβάνει χώρα στο επίπεδο που ορίζει η αρχική ταχύτητα και το κέντρο της δύναμης (που επιλέγεται ως αρχή του συστήματος συντεταγμένων). Η εικονιζόμενη μορφή ενεργού δυναμικής ενέργειας μπορεί να περιγράφει π.χ. αλληλεπίδραση δύο ατόμων σε ένα μόριο ή την αλληλεπίδραση ενός σώματος στο βαρυτικό πεδίο της Γης. Για μεγάλες τιμές του τείνει σε σταθερή τιμή που αυθαίρετα θεωρούμε (μπορούσαμε να την θέσουμε και 1), ενώ για μικρές τιμές του τείνει να απειριστεί περνώντας από ένα τοπικό ελάχιστο ενέργειας. 16/1 Ε 1 Ek, mυ Ε L E () E () m peff, p 1 1 E mυ mυθ Ep () σταθ. 3 1 υ υ υ υ 1 1 3
Εφαρμογή: «η μπάλα κανονιού του Νεύτωνα» (1/4) 17/1 h υ R h Γης Θεωρώ αδρανειακό σύστημα αναφοράς στο κέντρο της Γης. Παραλείπω τις τριβές. Βρίσκομαι σε απόσταση = R Γης +h από το κέντρο της Γης. Εκτοξεύω το σώμα με ταχύτητα υ κάθετα στην ακτίνα, δηλαδή έχω ως αρχική συνθήκη υ = και υ θ =υ. (Φυσικά, στη διάρκεια της κίνησης θα υπάρχει και υ και υ θ ). Η βαρυτική δύναμη είναι F= G m σωμ. M Γης / u (G η σταθερά της παγκόσμιας έλξης) και η βαρυτική δυναμική ενέργεια Ε p()=. Κεντρική δύναμη και σύστημα αναφοράς στο κέντρο δύναμης, συνεπώς διατηρείται η στροφορμή. m MΓης L mυ E G θ m υ, θ m υ L p () 1 d E m Epeff, () d L m MΓης L Epeff, () Ep() G m m Παρατήρηση: κάθε φορά που αλλάζω την ταχύτητα υ, αλλάζω τόσο την συνολική ενέργεια του συστήματος όσο και την στροφορμή ήάρα την Ε p,eff.
E, () peff Έργο Ενέργεια Εφαρμογή: «η μπάλα κανονιού του Νεύτωνα» (/4) Μελέτη της συνάρτησης Ε p (): m M L α. Συμπεριφορά στα όρια: Γης, G, m m M Γης L, G, m Εξαιτίας του 1/ και του 1/ ο δεύτερος όρος υπερισχύει για και ο πρώτος για. 18/1 β. Ακρότατα (αν η κίνηση ήταν μονοδιάστατη προκύπτουν τα σημεία ισορροπίας, εδώ που έχουμε επίπεδη κίνηση τα σημεία όπου υ =). m M Γης L G E peff, () m mmγης L G 3 m m M Γης L L υ G m GM 3 Γης L υ m m GM GM Γης γ. Είδος ακρότατων, τοπικό μέγιστο/ελάχιστο. Epeff, () Δείξτε κάνοντας τις πράξεις ότι για υ οπότε έχουμε τοπικό ελάχιστο δηλαδή ευσταθή κυκλική τροχιά. Γης R Γης R h Γης
E, () peff Έργο Ενέργεια Εφαρμογή: «η μπάλα κανονιού του Νεύτωνα» (3/4) 19/1 Στο παράδειγμά μας η θέση του τοπικού ελαχίστου υ= εξαρτάται από την αρχική ταχύτητα υ θ =υ και αυξάνει με αυξανόμενη υ. Επίσης, η ολική ενέργεια (που διατηρείται) είναι ίση με την αρχική δυναμική ενέργεια συν την αρχική κινητική που δίνουμε στο σώμα (οριζόντιες γραμμές στο διάγραμμα για κάθε υ ). α. Εάν υ = τότε L= και αφήνουμε το σώμα να πέσει με μηδενική ταχύτητα, οπότε θα κινηθεί ευθύγραμμα προς το κέντρο της Γης και θα προσκρούσει σύντομα στο έδαφος. β. Για μεγαλύτερες τιμές του υ (και άρα της L και της Ε) το σώμα τείνει να εκτελέσει (ελλειπτική) τροχιά μεταξύ της και μίας θέσης κοντά στο κέντρο της Γης οπότε και πάλι πέφτει στο έδαφος. γ. Όταν η θέση υ= γίνει ίση με την θέση εκτόξευσης (E=E( )), το σώμα εκτελεί κυκλική τροχιά (δορυφόρος της Γης): υ mm Γης mυ υ Βάρος=Κεντρομόλος G GM GM Γ ης υ Γης δ. Για μεγαλύτερες υ οι τροχιές γίνονται και πάλι ελλειπτικές με πλησιέστερο σημείο προσέγγισης το (πάλι δορυφόρος της Γης). ε. Για τιμή υ τέτοια ώστε Ε= η τροχιά του σώματος δεν είναι πλέον κλειστή (ταχύτητα διαφυγής) και το σώμα θα φτάσει στο άπειρο με μηδενική ταχύτητα (διαγράφοντας παραβολή). GM Γης E ( ) υδιαφ στ. Για υ > υ διαφ οι τροχιές παραμένουν ανοιχτές (υπερβολικές) και υ() RΓης RΓης h
/1 Εφαρμογή: «η μπάλα κανονιού του Νεύτωνα» (4/4) Ερώτηση: Γιατί τα κέντρα εκτόξευσης βρίσκονται, κατά το δυνατόν, πλησιέστερα στον Ισημερινό;
Ενέργεια και μορφή τροχιάς 1/1 Όλες οι δυνατές τροχιές που μπορεί να εκτελέσει ένασώμαστοβαρυτικόπεδίοείναι κωνικές τομές (Έλλειψη (Κύκλος ειδική περίπτωση της Έλλειψης), Παραβολή και Υπερβολή). Οι εξισώσεις μπορούν να προκύψουν είτε ξεκινώντας από το νόμο του Νεύτωνα, είτε από την Ενέργεια όπως είδαμε νωρίτερα στο Κεφάλαιο αυτό. Στα πλαίσια αυτά μπορεί να αποδειχθεί και ότι ηενέργεια Ε μίας ελλειπτικής τροχιάς είναι συνάρτηση μόνον του μεγάλου άξονά της (μήκος α). Συνεπώς όλες οι ελλειπτικές τροχιές με ίδιο μεγάλο άξονα έλλειψης αντιστοιχούν στην ίδια ενέργεια και είναι ενεργειακά ισοδύναμες. Την μορφή τους την καθορίζει η στροφορμή και συνεπώς η φορά της αρχικής ταχύτητας. ας Συγκρίνετε με την ιδέα του κύριου κβαντικού αριθμού (ενέργεια) και του δευτερεύοντος (τροχιακού) στην περίπτωση του ατόμου. m M Γης E G a