ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2017 2 η Σειρά Ασκήσεων Λύσεις Άσκηση 2.1 [1 μονάδα] Έστω F(x,y) = «Το αυτοκίνητο x έχει μέγιστη ταχύτητα μεγαλύτερη από αυτή του αυτοκινήτου y», με Π.Ο. των x,y το σύνολο των αγωνιστικών αυτοκινήτων. Γράψτε σε Κατηγορηματικό Λογισμό τις παρακάτω προτάσεις. Στη συνέχεια βρείτε την άρνηση της πρότασης σε κατηγορηματικό λογισμό και προσπαθείστε να τις μεταφέρετε σε φυσική γλώσσα. a. Κάθε αυτοκίνητο τρέχει γρηγορότερα από όλα (συμπεριλαμβανομένου του εαυτού του) b. Κάθε αυτοκίνητο είναι γρηγορότερο από κάποιο άλλο c. Υπάρχει ένα αυτοκίνητο που είναι ταχύτερο από όλα τα άλλα d. Κάποιο αυτοκίνητο είναι ταχύτερο από κάποιο άλλο a. x yf(x,y) Άρνηση: x yf(x,y) x y F(x,y) Υπάρχει ένα αγωνιστικό αυτοκίνητο που έχει μικρότερη ή ίδια μέγιστη ταχύτητα από κάποιο άλλο b. x yf(x,y) Άρνηση: x yf(x,y) x y F(x,y) Υπάρχει ένα αυτοκίνητο που είναι πιο αργό από όλα τα άλλα c. x yf(x,y) Άρνηση: x yf(x,y) x y F(x,y) Για κάθε αυτοκίνητο υπάρχει ένα άλλο πιο αργό d. x yf(x,y) Άρνηση: x yf(x,y) x y F(x,y) Κάθε αυτοκίνητο είναι πιο αργό από όλα τα άλλα Άσκηση 2.2 [1 μονάδα] Διατυπώστε τις παρακάτω εκφράσεις ως προτάσεις κατηγορηματικού λογισμού ανεξάρτητα αν είναι αληθείς ή όχι. Σε κάθε περίπτωση, προσδιορίστε τα κατηγορήματα και τα Π.Ο. των μεταβλητών που θα χρησιμοποιήσετε. Δεν θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε συντομογραφίες. a. Ο Μήτσος είναι υπάλληλος b. Όλοι οι υπάλληλοι είναι τμηματάρχες c. Ο Μάρκος είναι τμηματάρχης d. Οι τμηματάρχες είναι υπάλληλοι
e. Όλοι οι υπάλληλοι είτε πιστεύουν ότι ο τμηματάρχης τους θεωρεί φίλους τους είτε ότι δεν τους γνωρίζει καθόλου. f. Όλοι έχουν ένα φίλο g. Οι τμηματάρχες σχολιάζουν μόνο αυτούς που δεν είναι φίλοι τους h. Ο Μήτσος σχολίασε τον Μάρκο i. Είναι ο Μήτσος φίλος του Μάρκου? Έστω C(x) = «Ο x είναι υπάλληλος», D(x) = «O x είναι τμηματάρχης» F(x,y) = «O x είναι φίλος του y», K(x,y) = «O x γνωρίζει τον y», S(x,y) = «O x σχoλιάζει τον y» με x,y στο πεδίο των ανθρώπων a. C(Μήτσος) b. x (C(x) D(x)) c. D(Μάρκος) d. x(d(x) C(x)) e. x( y((c(x) D(y)) (F(y,x) K(y,x)))) f. x( y(f(x,y)) g. x( y(d(x) S(x,y)) F(x,y)) h. S(Μήτσος, Μάρκος) i. Δεν είναι πρόταση Άσκηση 2.3 [1 μονάδα] Έστω P(x,y): το x είναι κομμάτι του y. Μεταφράστε στα ελληνικά τις προτάσεις a. xp(x,x) b. x yp(x,y) c. y xp(x,y) d. x yp(x,y) e. y xp(x,y) f. x y z(p(x,z) P(y,z)) a. Κάθε τι είναι κομμάτι του εαυτού του b. Κάθε τι είναι κομμάτι κάποιου c. Κάθε τι έχει κάτι σαν κομμάτι του d. Κάτι είναι κομμάτι όλων e. Κάτι έχει κομμάτι του τα πάντα f. Για κάθε δύο πράγματα, μπορεί κανείς να βρει ένα πράγμα που να είναι κομμάτι και των δύο. Άσκηση 2.4 [1 μονάδα]
Γράψτε τις παρακάτω προτάσεις ως προτάσεις του κατηγορηματικού λογισμού. Στη συνέχεια διατυπώστε την άρνηση της κάθε πρότασης ως πρόταση του κατηγορηματικού λογισμού και μεταφράστε την ξανά σε φυσική γλώσσα. Μπορείτε να υποθέσετε ότι τα γράμματα I,j,k,l,m,n παριστάνουν φυσικούς αριθμούς και τα x,y,z παριστάνουν πραγματικούς αριθμούς. a. To 12 διαιρείται με το 6 b. Για κάθε ακέραιο m, αν το 12 διαιρείται με το m, το ίδιο συμβαίνει και με το 24 c. Το 15 διαιρείται από κάποιο ακέραιο d. To 17 είναι πρώτος αριθμός e. Δεν υπάρχει ελάχιστος θετικός πραγματικός αριθμός a. n(12 = 6n), n Z b. m ( n(12 = mn) n(24 = mn)), m,n Z c. m( n[15=mn)) m,n(15 = mn), m,n Z d. m,n((m 1) (m 17) (17 = mn)] n,m[(17 = mn) (m=1) (m=17)), m,n Z e. x((x>0) y[(y>0) (y<x)), x,y R Άρνηση και μεταφορά στη φυσική γλώσσα a. n(12 = 6n), n Z n(12 6n) Το 12 δεν είναι πολλαπλάσιο του 6 ή το 12 δεν διαιρείται με το 6 b. ( m( n(12 = mn) n(24 = mn)), m,n Z) ( m( ( n(12 = mn) n(24=mn))) ( m( n(12 mn) n(24=mn))) m n(12=mn) n(24 mn)) Υπάρχει ακέραιος που διαιρεί το 12 αλλά δεν διαιρεί το 24 c. ( m( n[15=mn)) m n(15 mn) To 15 δεν διαιρείται από κανένα ακέραιο d. ( m,n((m 1) (m 17) (17 = mn)]) m,n((m 1) (m 17) (17 = mn)]) «Υπάρχει ακέραιος διάφορος του 17 και της μονάδας που διαιρεί το 17» ή αλλιώς «το 17 δεν είναι πρώτος» e. x((x>0) y[(y>0) (y<x)) x(x 0 y[(y>0) (y<x)) x(x>0 y[(y>0) (y<x)) x(x>0 y[(y 0) (y x)] Υπάρχει ελάχιστος πραγματικός αριθμός Άσκηση 2.5 [1 μονάδα] Έστω η πρόταση «Αν ο ακέραιος n είναι διάφορος του 0 ή του 1 τότε n 2 >n» Διατυπώστε την πρόταση σε κατηγορηματικό λογισμό και βρείτε την αντιθετική (inverse), την αντίστροφη (converse) και την αντιστροφοαντίθετη (contrapositive) πρόταση.
n (n 0 n 1) n 2 >n με Π.Ο. του n το N Inverse: n, (n=0) (n=1) n 2 n Converse: n, n 2 >n (n 0) (n 1) Contrapositive: n, n 2 n ((n=0) (n=1) Άσκηση 2.6 [1 μονάδα] a. Βρείτε την άρνηση των παρακάτω προτάσεων: b. Αν ο δάσκαλος λείπει, κάποιοι μαθητές δεν κάνουν τις ασκήσεις τους c. Όλοι οι μαθητές έκαναν τις ασκήσεις τους και ο δάσκαλος είναι παρών d. Κάποιοι μαθητές δεν έκαναν τις ασκήσεις τους ή ο δάσκαλος έλειπε a. Ο δάσκαλος λείπει και όλοι οι μαθητές έκαναν τις ασκήσεις τους b. Κάποιοι μαθητές δεν έκαναν τις ασκήσεις τους ή ο δάσκαλος λείπει. c. Όλοι οι μαθητές έκαναν τις ασκήσεις τους και ο δάσκαλος είναι παρών Άσκηση 2.7 [2 μονάδες] Γράψτε τις παρακάτω προτάσεις χρησιμοποιώντας ποσοδείκτες και βρείτε τις αρνήσεις τους. a. Για κάθε φυσικό αριθμό υπάρχει ένας μικρότερος φυσικός αριθμός b. Το τετράγωνο κάθε πραγματικού αριθμού είναι μη αρνητικός πραγματικός αριθμός c. Κάποιοι σκύλοι είναι χορτοφάγοι d. Υπάρχει ένας πραγματικός αριθμός που είναι ρητός e. Σε κάθε φοιτητή αρέσει τουλάχιστον ένα θέμα απο τα μαθηματικά a. n N, m N,m<n n(n N m N,m<n) n(n N m(m N m<n)) n(n N m(m N m<n)) Άρνηση: n(n N m(m N m<n)) n(n N m(m N m n)) n N, m N, m n b. x R, x 2 0 Άρνηση: x(x R x 2 <0) x R, x 2 <0 c. Έστω V(x): Ο x είναι χορτοφάγος, στο Π.Ο. των σκύλων. Η πρόταση γράφεται xv(x) Άρνηση: x V(x) d. x R, x Q x(x R x Q)
Άρνηση: x(x R x Q) e. Έστω S(x): Ο x είναι φοιτητής, στο Π.Ο., των ανθρώπων, L(x,s): Στον x, αρέσει το s όπου x ανήκει στο σύνολο των ανθρώπων και το s στα μαθηματικά θέματα x(s(x) sl(x,s)) Άρνηση: x(s(x) s L(x,s)) Άσκηση 2.8 [2 μονάδες] Γράψτε τις αρνήσεις των παρακάτω προτάσεων. Σε κάθε μία από τις περιπτώσεις προσδιορίστε αν η αρχική πρόταση είναι αληθής με μια μικρή εξήγηση ή αντιπαράδειγμα. a. x R, x 0 b. z Z, ((o z είναι άρτιος) (o z είναι περιττός)) c. n N, ((o n είναι άρτιος) (ο 2 είναι πρώτος)) d. y R, (y 0 345 3 < 1) e. x R, y R, xy=1 f. n N, m N, n=2m Σημείωση: Θυμηθείτε πώς ερμηνεύονται οι συντομεύσεις αυτής της μορφής: x R, x 0 x(x R x 0) και z Z, z<0 z (z Z z<0 ) a. Άρνηση: x R, x 0 x(x R x 0) x(x R x 0) x(x R x<0) Η αρχική πρόταση δεν ισχύει (π.χ. x=-4) H άρνησή της είναι αληθής b. Άρνηση: z Z, ((o z είναι άρτιος) (o z είναι περιττός)) z(z Z ((o z είναι άρτιος) (o z είναι περιττός)) z (z Z ((ο z δεν είναι άρτιος) (ο z δεν είναι περιττός)) z (z Z (( ο z είναι περιττός) (ο z είναι άρτιος)) z Z, (( ο z είναι περιττός) (ο z είναι άρτιος)) Η αρχική πρόταση είναι αληθής ( Η πρόταση γράφεται: z (z Z ((o z είναι άρτιος) (o z είναι περιττός)) ) Η άρνησή της δεν είναι (ένας αριθμός δεν μπορεί να είναι άρτιος και περιττός συγχρόνως) c. Άρνηση: ( n N, ((o n είναι άρτιος) (ο 2 είναι πρώτος))) n(n N ((o n είναι περιττός) (ο 2 δεν είναι πρώτος))
Η αρχική πρόταση είναι αληθής H άρνησή της δεν είναι (n=81) d. Άρνηση: y R, (y 0 345 345 < 1) y (y R) (y 0 < 1) 3 3 y(( (y R) (y 0 345 < 1)) 3 y((y R) ((y=0) 345 3 < 1)) y((y R) (y 0) 345 345 1)) y R, (y 0) 1)) 3 3 Η αρχική πρόταση είναι ψευδής (π.χ. y=3) Η άρνησή της είναι αληθής e. Άρνηση: ( x R, y R, xy=1) ( x(x R y(y R xy=1)) x(x R y(y R xy 1)) x R, y R, xy 1) Η αρχική πρόταση είναι ψευδής (δεν υπάρχει τέτοιος πραγματικός αριθμός) Η άρνησή της είναι αληθής f. Άρνηση: n N, m N, n=2m n(n N m(m N n=2m) n(n N m(m N n 2m)) n(n N m(m N n 2m)) n N, m N, n 2m Η αρχική πρόταση είναι ψευδής (δεν ισχύει για n περιττό ακέραιο) Η άρνησή της είναι αληθής