Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius, Lietuva Vilnius universitetas, 216

AS, 216 9 6 Vertinimas Kontrolinis 1 (spalis-lapkritis) 1 Kontrolinis 2 (gruodis) 1 Koliokviumas (žiemos sesija, įskaitos metu) 3 Kontrolinis 3 (pavasario sem.) 1 Laboratoriniai (pavasario sem.) 1 Egzaminas (birželis) 3

TURINYS Lentelių sąrašas Iliustracijų sąrašas Pagrindiniai žymenys Pratarmė iv v ix ix 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos 1 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai................ 1 1.1. Diferencialinė lygtis ir jos apibrėžimo sritis........ 1 1.2. Diferencialinės lygties sprendiniai.............. 5 1.3. Kreivių šeimos diferencialinė lygtis............. 12 2. Koši uždavinys............................ 15 2.1. Koši uždavinys........................ 15 2.2. Sprendinio egzistavimas ir vienatis............. 16 2.3. Ypatingieji sprendiniai.................... 17 2.4. Sprendinio tęsinys...................... 18 3. Diferencialinių lygčiu sistemos.................... 19 3.1. n-osios eilės DL suvedimas į n-osios eilės normaliąją DLS 21 3.2. n-osios eilės normaliosios DLS suvedimas į n-osios eilės DL 21 3.3. Autonominės ir neautonominės DL............. 23 2 SKYRIUS. Klasikinės pirmosios eilės diferencialinės lygtys ir jų integravimas 25 1. DL y = f(x)............................. 25 1.1. Sprendinio tęsinys ir elgsena intervalo galuose....... 26 2. DL y = g(y)............................. 3 2.1. Sprendinio egzistavimo ir vienaties teorema vienmatei autonominei lygčiai....................... 33 3. Kintamųjų atskyrimo metodas................... 37 3.1. Lygtys pertvarkomos į lygtis su atsiskiriančiais kintamaisiais 39 4. Pirmosios eilės tiesinės diferencialinės lygtys............ 42 4.1. Homogeninė tiesinė diferencialinė lygtis.......... 43 4.2. Nehomogeninė tiesinė diferencialinė lygtis......... 47 5. Bernulio ir Rikačio lygtys...................... 51 5.1. Bernulio lygtis........................ 52

Dalykinė rodyklė 55 Vardų rodyklė 57 Literatūra 58

Lentelių sąrašas

Paprastosios Diferencialinės Lygtys vi

Iliustracijų sąrašas 1.1 DL y = x(x 2 1) apibrėžimo sritys................ 3 1.2 DL y = 1 x 2 y 2 apibrėžimo sritis............... 3 1.3 DL apibrėžimo sritis ir DL sprendinio grafikas........... 3 1.4 Integralinė kreivė ir jos projekcijos: sprendinio grafikas y = sin x; sprendinio išvestinės grafikas y = cos x; fazinė trajektorija y 2 + (y ) 2 = 1................................ 5 1.5 Kreivę apibrėžiančios funkcijos.................... 7 1.6 DL y = y 2 integralinės kreivės................... 8 1.7 DL y = x y integralinės kreivės, kai y >............. 8 1.8 DL xdx + ydy = integralinės kreivės................ 8 1.9 1.17 pvz. DL sprendiniai: (a) išreikštinių sprendinių grafikai; (b) neišreikštiniai sprendiniai....................... 11 1.1 DL y = cos x integralinės kreivės................... 11 1.11 Parabolių ir elipsių šeimos...................... 14 1.12 Koši uždavinys pirmos eilės lygčiai.................. 14 1.13 Koši uždavinys antros eilės lygčiai.................. 14 1.14 DL y = 3y 2/3 integralinės kreivės. DL ypatingasis taškas ir ypatingasis sprendinys......................... 17 1.15 Integralinės kreivės tęsinys iki kompakto krašto........... 17 1.16 Nepratęsiamas į dešinę sprendinys.................. 17 2.1 Lygties y = f(x) sprendinio y = ϕ(x) elgsena intervale (a; b], b < + : (a) lim x b f(x) ; (b)lim x b f(x) = +, b x f(ξ) dξ < + ; (c) lim x b f(x) = +, b x f(ξ) dξ = +............. 27 2.2 Lygties y = f(x) sprendiniai..................... 3 2.3 Lygties y = f(x), f > sprendinių elgsena, kai x +..... 3 2.4 Lygties y = g(y) sprendiniai..................... 31 2.5 Lygties y = g(y) stacionarieji sprendiniai.............. 31 2.6 Lygties y = g(y) sprendinio y = ϕ(x) elgsena, kai y +.... 32 2.7 Lygties y = y 2 sprendiniai.................. 32 2.8 Lygties y = 3(y 1) 2/3 sprendiniai................. 35 2.9..................................... 35

2.1 Neišreikštinės (y ) 2 = y + 4ay 2 DL sprendiniai........... 36 2.11 Homogeninės TDL integralinės kreivės................ 44 2.12 Monodromijos operatorius...................... 44 2.13 Nulinio sprendinio stabilumas.................... 44 2.14 Stabilus periodinis sprendinys.................... 51 2.15 Bernulio lygties integralinės kreivės................. 51

Pagrindiniai žymenys įrodymo pabaiga apibrėžimo, pastabos, išvados pabaiga := priskirimo, apibrėžimo žymuo tapatumo žymuo, išdavos sekimo žymuo ( išplaukia ), implikacija ekvivalentiškumo žymuo ( būtina ir pakankama arba tada ir tik tada ) bendrumo kvantorius ( kiekvienas ) egzistavimo kvantorius ( egzistuoja )! egzistavimo ir vienaties kvantorius ( egzistuoja vienintelis ) N {,1,2, } natūraliųjų skaičių aibė Z {,-2,-1,,1,2, } sveikųjų skaičių aibė R realiųjų skaičių aibė R t, R x, R y realiųjų skaičių t-ašis, x-ašis, y-ašis C kompleksinių skaičių aibė x X x yra aibės X elementas, x priklauso aibei X X Y aibių sankirta X Y aibių sąjunga X Y aibių Dekarto sąjunga didėjimo žymuo mažėjimo žymuo iškilumas aukštyn iškilumas žemyn x R n erdvės R n elementas v vektorius x, A vektorius-stulpelis, matrica C tolydžiųjų funkcijų klasė C k tolydžiai k-kartų diferencijuojamųjų funkcijų klasė C glodžiųjų funkcijų klasė D( ) (atvaizdžio, lygties) apibrėžimo sritis R( ) (atvaizdžio) reikšmių sritis

1 skyrius Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos Šiame skyriuje susipažinsime su paprastosiomis diferencialinėmis lygtimis ir jų sprendiniais. Suformuluosime pradinį uždavinį. Nagrinėsime diferencialinių lygčių sistemas ir jų ryšį su aukštesniosios eilės diferencialine lygtimi. 1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai? Matematikoje funkcija f vadinamas atvaizdis f : R n R, o f(x 1,..., x n) žymima funkcijos reikšmė taške (x 1,..., x n) R n, tačiau dažnai patogu taip žymėti ir pačią funkciją, kai reikia nurodyti jos argumentus. Laikysime, kad visos nagrinėjamos funkcijos yra tolydžios savo argumentų atžvilgiu, t.y. f C(D), čia D yra sritis. Sritimi vadinama atviroji ir jungioji aibė. Jeigu D yra atviroji aibė, tuomet kiekvienas tos aibės taškas yra vidinis. Realiųjų skaičių tiesėje R jungiosios aibės yra intervalai (a; b), [a; b), (a; b], [a; b], a, b R. Sritys yra tik atvirieji intervalai I = (a; b), ( ; b), (a; + ) ir pati tiesė R = ( ; + ). Žymėsime R = [ ; + ], R + = (; + ), R = ( ; ). Sąvoka glodžioji funkcija nėra vienareikšmiškai apibrėžta matematinėje literatūroje. Smooth function (angl.), glatte funktion (vok.) atitinka klasę C, гладкая функция arba непрерывно дифференцируемая функция (rus.) atitinka klasę C 1. Šiame konspekte glodžąja funkcija vadinsime C klasės funkciją, o tolydžiai diferencijuojamas funkcijas atitinka C 1 klasė.? Funkcijos y = f(x) išvestinės gali būti žymimos: y, y, y, y (n), f (x), f (x), f (n) dy (x), dx, d n y, ẏ, ÿ. dxn Tašku virš kintamojo dažniausiai žymėsime funkcijos x = x(t) išvestines pagal kintamąjį t, kurio prasmė dažnai yra laikas, žymėsime ẋ := dx dt, ẍ := d2 x dt 2, x(n) := dn x dt n. 1.1. Diferencialinė lygtis ir jos apibrėžimo sritis Tarkime, kad funkcija F (x, y, p 1,..., p n ) yra tolyžiai diferencijuojama ir būtinai priklauso nuo argumento p n. 1.1 apibrėžimas [Paprastoji diferencialinė lygtis]. Paprastąja diferencialine lygtimi (PDL) vadinama lygybė F (x, y, y,..., y (n) ) =, (1.1) kurioje x yra nepriklausomas kintamasis, y(x) ieškoma (nežinoma) funkcija.

1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai 2 1.1 pavyzdys [Paprastosios diferencialinės lygtys]. PDL pavyzdžiai: y = sin x, y + y xe x 1 =, e y + y x =. 1.2 pavyzdys [Diferencialinės dalinių išvestinių lygtys]. Lygtys y u x x u y =, v t = 2 v x + 2 v 2 y 2 nėra PDL, nes į jas įeina ieškomų funkcijų u(x, y) ir v(t, x, y) dalinės išvestinės. PDL uždaviniuose ieškoma nežinoma vieno kintamojo funkcija, tuo tarpu diferencialinėse dalinių išvestinių lygtyse ieškoma kelių kintamųjų funkcija. Kadangi šiame kurse nagrinėsime tik PDL, todėl trumpai jas vadinsime diferencialinėmis lygtimis (DL). 1.2 apibrėžimas [DL eilė]. Diferencialinės lygties eile vadinama aukščiausios išvestinės eilė diferencialinėje lygtyje. 1.3 pavyzdys [DL eilė]. DL F (x, y, y,..., y (n) ) = yra n-osios eilės, o DL F (x, y, y ) = yra pirmosios eilės. 1.1 pavyzdyje pateiktos pirmosios, trečiosios ir antrosios eilės DL. DL, užrašyta (1.1) pavidalu, vadinama neišreikštine diferencialine lygtimi. Neišreikštinės (1.1) DL apibrėžimo sritis yra sritis D F R n+2, kurioje funkcija F (x, y, p 1,..., p n ) yra tolydi kintamųjų (x, y, p 1,..., p n ) atžvilgiu. Jeigu D F nėra jungioji aibė, tuomet nagrinėsime DL kiekvienoje jungumo aibėje atskirai, t.y. laikysime, kad ta pati lygybė apibrėžia keletą DL. 1.4 pavyzdys [DL apibrėžimo sritis]. DL (y ) 2 + x + y 2 1 = apibrėžimo sritis yra D F = R + R R. 1.5 pavyzdys [Kelios DL]. Lygtis y + xy = apibrėžia dvi DL, kurių apibrėžimo sritys yra D 1 F = R + R + R ir D 2 F = R R R. 1.6 pavyzdys. DL y = x(x 2 1) (1.2) dešinioji pusė turi prasmę ir yra tolydi, kai x [ 1; ] ir x [1; + ] (žiūrėk 1.1 pav.). Vadinasi, turime dvi DL, užrašytas ta pačia formule (1.2), su D F = D 1 = ( 1; ) R R ir D F = D 2 = (1; + ) R R, atitinkamai.? Jeigu lygtis (nebūtinai DL) F (x, y, p 1,..., p n) = (1.3) aprašoma tolydžiai diferencijuojama funkcija F ir taške (x, y, p 1,..., p n ) išpildyta sąlyga F (x p, y, p n 1,..., p n ), (1.4) tuomet (remdamiesi neišreikštinės funkcijos teorema) (1.3) lygtį galima išspręsti p n atžvilgiu taško (x, y, p 1,..., p n) aplinkoje: p n = f(x, y, p 1,..., p n 1 ), (1.5) čia f yra tolydžiai diferencijuojama kintamųjų (x, y, p 1,..., p n 1 ) funkcija.

3 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [216 9 6 (:19)] 1-1 1 1 1.1 pav. DL y = x(x 2 1) apibrėžimo sritys. 1.2 pav. DL y = 1 x 2 y 2 apibrėžimo sritis. 1.3 pav. DL apibrėžimo sritis ir DL sprendinio grafikas. 1.3 apibrėžimas [DL kanoninis pavidalas]. DL yra užrašyta kanoniniu pavidalu, jei lygtis išspręsta aukščiausiosios eilės išvestinės atžvilgiu: y (n) = f(x, y, y,..., y (n 1) ). (1.6) 1.7 pavyzdys [DL kanoninis pavidalas]. DL y + y xe x 1 = kanoninis pavidalas yra y = y + xe x + 1. Akivaizdu, kad (1.6) DL, užrašytos kanoniniu pavidalu, apibrėžimo sritis yra D F = D f R, čia D f yra sritis, kurioje yra apibrėžta ir tolydi funkcija f(x, y, y,..., y (n 1) ). Sritis D f vadinama išreikštinės DL apibrėžimo sritimi. Kintamųjų (y, y,..., y (n 1) ) erdvė vadinama fazine erdve, o kintamųjų (x, y, y,..., y (n 1) ) erdvė išplėstine fazine erdve. Vadinasi, D f yra sritis išplėstinėje fazinėje erdvėje. 1.1 pavyzdyje pirmoji lygtis yra išreikštinė DL. Pastebėsime, kad trečioji lygtis yra iš esmės neišreikštinė, nes y negalima išreikšti jokia elementariąja funkcija. Pirmoji lygtis yra pavyzdys lygties, kurioje išvestinė yra išreikšta kaip kintamųjų x ir y funkcija (nors dešinioji lygties pusė tiesiogiai nuo y nepriklauso). 1.1 uždavinys. Nustatykite 1.6 pavyzdyje apibrėžtų išreikštinių DL apibrėžimo sritis D f. 1.8 pavyzdys [DL apibrėžimo sritis]. DL y = 1 x 2 y 2 dešinioji pusė apibrėžta uždarame skritulyje {(x, y): x 2 + y 2 1}, o DL apibrėžimo sritis D f yra vienetinis atvirasis skritulys B 2 1(, ) := {(x, y): x 2 + y 2 < 1} su centru koordinačių pradžioje (žiūrėk 1.2 pav.). DL (y ) 2 +y 2 +x 2 1 = (neišreikštinis pavidalas) apibrėžimo sritis D F = R 3. Išreiškiant išvestinę, gaunama išreikštinė DL, užrašyta kanoniniu pavidalu, kurios apibrėžimo sritis D F = D f R = B1 2 (, ) R. Pirmosios eilės DL kanoninis pavidalas dar vadinamas normaliuoju. y = f(x, y) (1.7)

1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai 4 1.4 apibrėžimas [pirmosios eilės DL simetrinis pavidalas]. Jeigu v, w C(D), sritis D R 2 ir v(x, y) + w(x, y), tuomet lygtis v(x, y) dx + w(x, y) dy = (1.8) vadinama tiesine homogenine pirmosios eilės diferencialų lygtimi. Jeigu w(x, y ), tuomet (1.8) DL yra ekvivalenti (1.7) lygčiai dy v(x, y) = = f(x, y) (1.9) dx w(x, y) taško (x, y ) aplinkoje D f. Jeigu v(x, y ), tuomet (1.8) DL yra ekvivalenti lygčiai x := dx dy = w(x, y) v(x, y) = g(y, x) (1.1) taško (x, y ) aplinkoje D g. Pastaroji DL lygtis dar vadinama apverstąja lygtimi lygčiai (1.9). Lygybė (1.8) vadinama DL simetriniu pavidalu. 1.2 uždavinys. Užrašykite DL y = x/y simetrinį pavidalą ir apverstąją DL.? Jeigu pirmosios eilės DL lygtis užrašyta neišreikštiniu pavidalu, tai DL ir ją atitinkanti apverstoji DL užrašomos F (x, y, y ) = ir F (x, y, 1 x ) =, atitinkamai. Kiekvieną antrosios eilės DL galima užrašyti pavidalu F (x, y, y, y (1+(y ) 2 ) 3/2 ) =. (1.11) Paskutinio argumento išraiška (1.11) lygties kairėje pusėje atitinka kreivės (x, y(x)) kreivį. Šią DL atitinka apverstoji DL F (x, y, 1 x, x (1+(x ) 2 ) 3/2 ) =. (1.12) Jeigu duota kreivės parametrizacija (x(t), y(t)), tuomet jos kreivio formulė yra Aukštesnės eilės DL apverstosios DL pavidalas yra dar sudėtingesnis. ẋÿ ẍẏ (ẋ 2 +ẏ 2 ) 3/2. 1.3 uždavinys. Užrašykite DL (y ) 2/3 1 (y ) 2 = apverstąją DL. Kokia lygties prasmė? 1.9 pavyzdys. DL e y + y x = (žiūrėk 1.1 pavyzdys, trečioji lygtis) ir jos negalima užrašyti kanoniniu pavidalu su elementariąja funkcija f, tačiau ši DL parametrizuojama x = ϕ(t) := e t + t, y = ψ(t) := t, t.y. pastarosios funkcijos ϕ ir ψ paverčia lygtį e y + y x = tapatybe e ψ(t) + ψ(t) ϕ(t) ir rank (ϕ (t), ψ (t)) = rank (e t + 1, 1) = 1, t R.

5 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [216 9 6 (:19)] 1.4 pav. Integralinė kreivė ir jos projekcijos: sprendinio grafikas y = sin x; sprendinio išvestinės grafikas y = cos x; fazinė trajektorija y 2 + (y ) 2 = 1.? Bendruoju atveju n-osios eilės DL parametrizuotasis pavidalas yra: x = ϕ(t, t 1,..., t n), y = ϕ (t, t 1,..., t n), y = ϕ 1 (t, t 1,..., t n),... y (n) = ϕ n(t, t 1,..., t n). Laikysime, kad šios parametrizacijos Jakobio 1 matricos rank J = n + 1 ir ϕ, ϕ,..., ϕ n C 1 (D ϕ), D ϕ R n+1 t sritis, t = (t, t 1,..., t n). Sritį D ϕ vadinsime n-osios eilės DL, užrašytos parametrizuotuoju pavidalu, apibrėžimo sritimi. Jeigu parametrizuotojo pavidalo funkcijos ϕ, ϕ,...,ϕ n paverčia (1.1) DL tapatybe F ( ϕ(t), ϕ (t),..., ϕ ) n(t), t = (t, t 1,..., t n), tuomet turėsime (1.1) DL parametrizaciją. Nagrinėtame 1.9 pavyzdyje x = e t + t, y = s, y = u, y = t, D ϕ = R 3 = R t R s R u, tačiau kintamieji s, u lygties e y + y x = parametrizacijoje nenaudojami. 1.1 pavyzdys [DL parametrizuotasis pavidalas]. DL e y +y + y y + x 2 = parametrizuojama x = s, y = e t+u + t + s 2, y = u, y = t, D ϕ = R 3 = R t R s R u. 1.2. Diferencialinės lygties sprendiniai Nagrinėkime n-osios eilės DL užrašytą neišreikštiniu pavidalu (1.1). 1.5 apibrėžimas [DL sprendinys]. Tolydžiai diferencijuojama funkcija ϕ C n (I) vadinama DL sprendiniu, jeigu ją įstatę į DL gauname tapatybę. 1 Carl Gustav Jacob Jacobi (184 1851) vokiečiu matematikas.

1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai 6 Kol kas, apibrėždami sprendinį, laikysime, kad intervalas I yra atvirasis, t.y. I = (a; b). 1.11 pavyzdys. DL (y ) 2 = 1 neturi sprendinių, o (y ) 2 + y 2 = turi vienintelį sprendinį y. 1.12 pavyzdys. DL y = 1 visi sprendiniai užrašomi funkcijų šeima priklausančia nuo vieno parametro C: ϕ(x) = x + C, C R. 1.6 apibrėžimas [DL integralinė kreivė]. Diferencialinės lygties integraline kreive vadinsime vektorinės funkcijos (y(x), y (x),..., y (n 1) (x)), atitinkančios sprendinį y(x), x I, grafiką. 1.7 apibrėžimas [fazinė trajektorija]. Integralinės kreivės projekciją (vaizdą) į kintamųjų (y, y,..., y (n 1) ) fazinę erdvę vadinsime fazine trajektorija. Integralinė kreivė yra C 1 klasės (vektorinė) funkcija. Fazinei trajektorijai, kuri yra kreivė, galima pridėti rodyklę, rodančią kaip juda projekcijos taškas didėjant x. 1.13 pavyzdys. Funkcija y = sin x yra DL y = y sprendinys. Integralinė kreivė (y, y ) = (sin x, cos x), x R, grafikas braižomas trimatėje erdvėje R x R y R y (žiūrėk 1.4 pav.), ir priklauso lygties apibrėžimo sričiai D f. Integralinės kreivės projekcijos: sprendinio grafikas y = sin x; sprendinio išvestinės grafikas y = cos x; fazinė trajektorija y 2 + (y ) 2 = 1. Funkcija y = e x yra DL y = y sprendinys. Integralinė kreivė y = e x, x R, yra šios funkcijos grafikas. Daugumoje vadovėlių integraline kreive vadinamas aukštesnių eilių diferencialinių lygčių sprendinio grafikas. Mes apibrėžėme tokioms lygtims integralinę kreivę kitaip. Pagal apibrėžimą integralinė kreivė priklauso lygties apibrėžimo sričiai D f išplėstinėje fazinėje erdvėje. Sprendinio grafikas gaunamas kaip integralinės kreivės projekcija į dvimatę plokštumą (x, y). Diferencialinė lygtis bus išspręsta, jei rasime visus jos sprendinius. DL sprendinių radimą vadinsime DL integravimu. Kiekviena n-osios eilės DL nusako bendrą geometrinę sprendinius apibrėžiančių integralinių kreivių sąvybę. Pirmosios eilės DL F (x, y, y ) = apibrėžia koordinačių x, y ir sprendinio grafiko liestinės polinkio sąryšį. Pirmosios eilės DL sprendinio grafikas yra integralinė kreivė. Pavyzdžiui, išreikštinės DL integralinės kreivės liestinės kampo su x ašimi tangentas kiekviename taške lygus DL dešiniosios pusės reikšmei tame taške (žiūrėk 1.3 pav.). Antrosios eilės DL apibrėžia koordinačių, sprendinio grafiko liestinės polinkio ir kreivio sąryšį (žiūrėk(1.11)).? Vienetinis apskritimas plokštumoje R 2 xy su centru koordinačių pradžioje aprašomas (globaliai) neišreikštine glodžiąja funkcija Ψ(x, y) := x 2 + y 2 1 =. Pusplokštumėje y > šio apskritimo dalį galime aprašyti glodžiąja funkcija y = 1 x 2, x ( 1; 1), o pusplokštumėje y < funkcija y = 1 x 2, x ( 1; 1). Tačiau jokia išreikštine funkcija y = ψ(x) negalime aprašyti šio apskritimo taškų ( 1; ) ir (1; ) aplinkoje. Tiesa, šių taškų aplinkoje apskritimas aprašomas funkcijomis x = 1 y 2, y ( 1; 1) ir x = 1 y 2, y ( 1; 1), atitinkamai. Mes pasirinkome

7 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [216 9 6 (:19)] 2 1.5 pav. Kreivę apibrėžiančios funkcijos. atviruosius intervalus, kad nekiltų klausimų dėl funkcijų tolydumo ir diferencijamumo apibrėžimų. Beje, funkcija y = 1 x 2, pvz. taške x = 1, yra tik tolydi iš kairės ir šiame taške neegzistuoja net vienpusė išvestinė. Vienetinį apskritimą galima aprašyti parametrizuotuoju pavidalu (x, y) = (cos t, sin t), t (; 2π) arba t ( π; π). Pastebėsime, kad šio vienetinio apskritimo atveju, galima globalioji parametrizacija t [; 2π], nes abi funkcijos x = cos t ir x = sin t yra apibrėžtos t R ir yra periodinės su periodu 2π. Bendruoju atveju globaliosios parametrizacijos gali ir nebūti. Jeigu funkcija Ψ C 1 (G), čia sritis G R 2 xy, (x, y ) G, ir Ψ(x, y ) (, ) (čia gradientas Ψ = ( Ψ x, Ψ y )), tuomet egzistuoja taško (x, y ) aplinka, kurioje funkcija Ψ apibrėžia kreivę, ir ją galima aprašyti trimis būdais (žiūrėk 1.5 pav.): 1) neišreikštine tolydžiai diferencijuojama funkcija Ψ : R 2 R, tiksliau lygybe Ψ(x, y) = Ψ(x, y ) = C; 2) išreikštine tolydžiai diferencijuojama funkcija ψ : I R (arba funkcija y = ϕ x(x), ϕ x C 1 (I x), arba funkcija x = ϕ y(y), ϕ y C 1 (I y)); 3) tolydžiai diferencijuojama vektorine funkcija (ψ, ϕ): I t R 2, t.y. parametrizuotuoju pavidalu (x, y) = (ψ(t), ϕ(t)), ψ, ϕ C 1 (I t), ψ (t ) + ϕ (t ) =, (x, y ) = (ψ(t ), ϕ(t )). Įrodymas remiasi neišreikštinės funkcijos teorema. Kita vertus, kreivę, aprašytą funkcija y = ψ x(x), galima užrašyti neišreištiniu pavidalu Ψ(x, y) := y ψ x(x) =, ir Ψ y = 1. Parametrizuotąją kreivę taško (x, y ) aplinkoje galima užrašyti išreištiniu pavidalu (jei ψ (t ), tai y = ϕ(ψ 1 (x)), čia ψ 1 žymime atvirkštinę funkciją, o įrodymas vėl remiasi neišreikštinės funkcijos teorema). Vadinasi, kreivę (lokaliai) irgi galime užrašyti tiek neišreikštiniu, tiek išreikštiniu, tiek parametrizuotuoju pavidalu. Todėl žemiau pateikti sprendinių apibrėžimai tėra to pačio sprendinio skirtingi užrašymo būdai. 1.8 apibrėžimas [Išreikštinis DL sprendinys]. Funkciją y = ϕ(x), x I R x, vadinsime (1.1) DL išreikštiniu sprendiniu, jei 1) ϕ C n (I); 2) ( x, ϕ(x), ϕ (x),..., ϕ (n) (x) ) D F, x I;

1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai 8-1 1-1 1 1.6 pav. DL y = y 2 integralinės kreivės. 1.7 pav. DL y = x y integralinės kreivės, kai y >. 1.8 pav. DL xdx + ydy = integralinės kreivės. 3) F ( x, ϕ(x), ϕ (x),..., ϕ (n) (x) ). 1.14 pavyzdys [Pirmosios eilės DL sprendinys]. DL y = y 2 apibrėžta visoje plokštumoje, t.y. D f = R 2 xy. Funkcija y = 1 yra šios DL sprendinys intervaluose ( ; ) ir (; + ), nes kai x, tai funkcija y = 1 x C1 ir x ( 1 x ) = 1 ( 1 x 2 x )2. Taške x = sprendinys neapibrėžtas, nes jame funkcijos y = 1 reikšmė neapibrėžta (žiūrėk 1.6 pav.). Todėl funkcija x y = 1 apibrėžia du sprendinius: vieną intervale R, kitą R+. Šių x sprendinių integralinės kreivės yra hiperbolės šakos. 1.4 uždavinys. Koks DL y = y 2 sprendinys apibrėžtas visoje R? 1.9 apibrėžimas [Parametrizuotasis DL sprendinys]. Dvi funkcijas x = ψ(t), y = ϕ(t), t I R t (1.13) vadinsime (1.1) DL parametrizuotuoju sprendiniu, jei 1) ψ, ϕ C n (I), ψ ; 2) (ψ(t), ϕ(t), dϕ(t) dψ(t),..., 3) F (ψ(t), ϕ(t), dϕ(t) dψ(t),..., d dϕ(t) dψ(t) (... ( dψ(t) ))) D F, t I; d dψ(t) dϕ(t) (... ( dψ(t) ))). 1.15 pavyzdys [DL parametrizuotieji sprendiniai]. Srityje y > DL y = x y parametrizuotieji sprendiniai yra (žiūrėk 1.7 pav.) x = C cos t, y = C sin t, t (; π), C >, nes ψ(t; C) = C cos t C 1 (; π), ψ = C cos t = C sin t, ϕ(t; C) = C sin t C 1 (; π), ir d(c sin t) d(c cos t) = C cos t C sin t C cos t C sin t.

9 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [216 9 6 (:19)]? Jeigu x = x(t), y = y(t), ir ẋ = dx dt y = dy dx = ẏ ẋ, 1.5 uždavinys. Raskite y išraišką., tuomet y = d2 y dx 2 = d dx ( ẏ ẋ ) = 1 ẋ d dt ( ẏ ) ÿẋ ẏẍ = ẋ ẋ 3. (1.14) Jei sprendinys užrašytas neišreiktiniu pavidalu Ψ(x, y) =, tai ne visada galima iš šio sąryšio išreikšti y (ir net x) elementariosiomis funkcijomis. Pavyzdžiui, e y + y x =. 1.6 uždavinys. Ar galima sprendinį, užrašytą formule e x+y + y + x =, išreikšti elementariąją funkcija. 1.1 apibrėžimas [Neišreikštinis DL sprendinys]. Sąryšis Φ(x, y) =, vadinamas DL neišreikštiniu sprendiniu, jeigu jis apibrėžia DL sprendinį y = ϕ(x) arba apverstosios DL sprendinį x = ψ(y). Nagrinėdami DL, visada ieškosime net tik sprendinių y = ϕ(x), bet ir apverstosios DL sprendinių x = ψ(y). Pirmosios eilės DL, užrašytai simetriniu pavidalu (1.8), funkcija Φ(x, y) apibrėžia neišreikštinį sprendinį Φ(x, y) =, jei teisinga tapatybė Φ(x, y) w(x, y) x Φ(x, y) v(x, y). y Kanoninio pavidalo (1.9) atveju neišreikštinį sprendinį apibrėžia tapatybė dφ Φ(x,y) := + Φ(x,y) f(x, y), dx x y o kanoninio pavidalo (1.1) atveju neišreikštinį sprendinį apibrėžia tapatybė dφ dy Φ(x,y) := g(y, x) + Φ(x,y). x y 1.7 uždavinys. Parodykite, kad lygybė e x+y + y + x = apibrėžia DL y = 1 neišreikštinį sprendinį. 1.8 uždavinys. Užrašykite DL, kurios neišreikštinis sprendinys yra e y + y x =. 1.16 pavyzdys [DL neišreikštinis sprendinys]. Funkcija Φ(x, y) = x 2 + y 2 C 2, C > apibrėžia DL dy = x neišreikštinius sprendinius dx y x2 + y 2 C 2 = srityje R 2 xy {(; )}, nes dφ = 2x + 2y( x dφ ), kai y, ir = dx y dy 2x( y ) + 2y, kai x (šiuo atveju sprendžiame apverstąją DL x dx = y ). Integralinės kreivės (apskritimai) pavaizduotos 1.8 pav. dy x Taške (; ) DL neapibrėžta. 1.17 pavyzdys [Antrosios eilės DL sprendiniai]. Nagrinėkime antrosios eilės DL (y ) 2/3 1 (y ) 2 =, kurios apibrėžimo sritis yra D F = R 4. Funkcija ϕ(x; C 1, C 2) = C 2 + 1 (x C 1) 2 yra šios DL sprendinys intervale I = (C 1 1; C 1 + 1): ϕ(x; C 1, C 2) C 2 (I), ϕ x C 1 (x; C 1, C 2) = (1 (x C 1) 2 ), 1/2 ϕ 1 (x; C 1, C 2) = (1 (x C 1) 2 ), 3/2

1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai 1 ir teisinga tapatybė ( 1 ) 2/3 ( 1 (1 (x C 1) 2 ) 3/2 x C 1 (1 (x C 1) 2 ) 1/2 ) 2. Kadangi ϕ(x; C 1, C 2) = C 2 + 1 (x C 1) 2 yra DL sprendinys su bet kokiomis C 1 ir C 2 reikšmėmis, todėl gauname sprendinių šeimą (aibę) priklausančią nuo dviejų parametrų. Pastebėsime, kad funkcija ϕ(x; C 1, C 2) = C 2 1 (x C 1) 2 taip pat yra sprendinys su bet kokiomis C 1 ir C 2 reikšmėmis. Tai dar viena sprendinių šeima. DL sprendinių grafikai pavaizduoti 1.9(a) pav. Parametrizuotieji sprendiniai yra (x, y) = (C 1 + cos t, C 2 + sin t), t I = (; π) arba t I = ( π; ) nes ψ = C 1 + cos t, ϕ = C 2 + sin t C 1 (I), ψ = sin t, kai t π,, π. Pasinaudodami (1.14) formulėmis, randame y = cos t sin t, y = 1 sin 3 t. Istatę šias išraiškas į DL, gauname tapatybę ( 1 ) 2/3 ( cos t ) 2. 1 + sin 3 t sin t Nagrinėjami parametrizuotieji sprendiniai atitinka išreikštinius sprendinius y = C 2 + 1 (x C 1) 2 ir y = C 2 1 (x C 1) 2. Lygybė Φ(x, y; C 1, C 2) (x C 1) 2 + (y C 2) 2 1 = apibrėžia DL (y ) 2/3 1 (y ) 2 = neišreikštinius sprendinius. Jei y C 2, tuomet = 2(y C2), ir galime užrašyti sprendinių išreikštinius pavidalus Φ y y = C 2 ± 1 (x C 1) 2, x (C 1 1; C 1 + 1). Perrašykime DL pavidalu (1.11) ( y ) 2/3 = 1. (1 + (y ) 2 ) 3/2 Tada neišreikštinis apverstosios DL (žiūrėk (1.12)) pavidalas yra ( ) x 2/3 = 1. (1 + (x ) 2 ) 3/2 Ši DL sutampa su duotąja DL. Vadinasi, neišreikštiniai DL sprendiniai yra visi plokštumos vienetiniai apskritimai (žiūrėk 1.9(b) pav.). Dažniausiai DL lygtis turi begalo daug sprendinių, ir jie sudaro sprendinių šeimas, priklausančias nuo keleto konstantų. 1.18 pavyzdys [DL sprendiniai]. Lygties y = y sprendiniai yra y = C 1ch x + C 2sh x su C 1, C 2 R. Šie sprendiniai sudaro kreivių šeimą, priklausančią nuo dviejų konstantų C 1, C 2.

11 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [216 9 6 (:19)] y ( C 1, C 2 ) 1 1-1 1-1 1 x -1-1 (a) (b) 1.9 pav. 1.17 pvz. DL sprendiniai: (a) išreikštiniu sprendiniu grafikai; (b) neišreikštiniai sprendiniai. 1.1 pav. DL y = cos x integralinės kreivės. Konstantos C 1,..., C n, įeinančios į DL sprendinio išraišką, vadinamos laisvosiomis. Šios konstantos gali įgyti bet kokias reikšmes, o kartais ir begalinę reikšmę, t.y.. Laisvųjų konstantų skaičius gali būti įvairus ( n), bet dažniausiai lygus n. 1.9 uždavinys. Pateikite pavyzdį antros eilės DL, kurios visų spendinių šeima priklauso tik nuo vienos laisvosios konstantos. 1.11 apibrėžimas [Bendrasis DL sprendinys]. Bendruoju n-osios eilės DL sprendiniu vadinsime DL sprendinių šeimą y = ϕ(x; C 1,..., C n ), priklausančią nuo n laisvųjų konstantų C 1,..., C n, ir pasižyminčia savybe, kad sistema y = ϕ(x; C 1,..., C n ), y = ϕ (x; C 1,..., C n ), (1.15)... y (n 1) = ϕ (n 1) (x; C 1,..., C n ) yra vienareikšmiškai išspendžiama laisvųjų konstantų atžvilgiu: C 1 = ψ 1 (x, y,..., y (n 1) ),... (1.16) C n = ψ n (x, y,..., y (n 1) ). Bendrasis sprendinys gali būti užrašytas parametrizuotu pavidalu arba neišreikštiniu pavidalu x = ϕ(t; C 1,..., C n ), y = ψ(t; C 1,..., C n ), (1.17) Ψ(x, y; C 1,..., C n ) =. (1.18) Pastaruoju atveju, sprendinių šeima dar vadinama bendruoju integralu. Iš bendrojo sprendinio (bendrojo integralo), imdami konkrečias C 1,..., C n reikšmes, gauname atskirąjį sprendinį (atskirąjį integralą).

1. Diferencialinė lygtis ir jos sprendiniai 12 1.19 pavyzdys. Funkcija y = sin x + C yra DL y = cos x bendrasis sprendinys, o y = sin x, y = sin x 2, y = sin x + 1 atskirieji sprendiniai (žiūrėk 1.1 pav.). 1.2 pavyzdys. DL (y ) 2/3 1 (y ) 2 = sprendiniais yra dvi bendrųjų (išreikštinių) sprendinių šeimos: y = C 2+ 1 (x C 1) 2 ir y = C 2 1 (x C 1) 2. Pavyzdžiui, pirmosios šeimos atveju, sistema y = C 2 + 1 (x C 1) 2, y x C 1 = 1 (x C1) 2 yra vienareikšmiškai išspendžiama laisvųjų konstantų atžvilgiu: C 1 = x + y 1 + (y ) 2, C2 = y 1 1 + (y ) 2. Abi šias sprendinių šeimas galima apibrėžti vienu bendruoju integralu (x C 1) 2 + (y C 2) 2 = 1, C 1, C 2 R, kuris taip pat aprašo ir bendruosius sprendinius x = C 1+ 1 (y C 2) 2 ir x = C 1 1 (y C 2) 2 apverstajai DL. 1.1 uždavinys. Nustatykite DL eilę ir patikrinkite, ar duotoji funkcija (funkcijos) apibrėžia sprendinį: a) y + 9y =, y = C 1 cos(3x) + C 2 sin(3x); b) y, 5y =, y = Ce x/2 2; c) y = 2xy, ye x2 = C; d) y = x, y = Cch t, x = Csh t; y e) y = x + sin x, y = x3 sin x + C; 6 f) y = e x2, y = x e ξ2 dξ + C. 1.11 uždavinys. Patikrinkite, ar 1.1 uždavinio sprendiniai apibrėžia bendruosius sprendinius arba integralus. 1.3. Kreivių šeimos diferencialinė lygtis Jeigu spręsdami n-eilės DL radome jos bendrąjį sprendinį (integralą), tuomet turime kreivių šeimą, priklausančią nuo n laisvųjų konstantų. Pabandykime spręsti atvirkštinį uždavinį. Sakykime, duota kreivių šeima, apibrėžta lygtimi Ψ(x, y; C 1,..., C n ) =. Sudarome sistemą Ψ (x, y; C 1,..., C n ) Ψ(x, y; C 1,..., C n ) =, Ψ 1 (x, y, y ; C 1,..., C n ) Ψ x... + Ψ y y =, Ψ n (x, y, y,..., y (n) ; C 1,..., C n ) Ψn 1 x + Ψn 1 y y + + Ψn 1 y (n) =. y (n 1)

13 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [216 9 6 (:19)] Eliminuodami konstantas C 1,..., C n, gautume šios kreivių šeimos n-osios eilės DL. 1.21 pavyzdys [vienetinių apskritimų šeima plokštumoje]. Visų vienetinių apskritimų šeimos plokštumoje lygtis yra (x C 1) 2 + (y C 2) 2 = 1. Diferencijuodami šią lygtį pagal kintamąjį x du kartus, gauname Randame 2(x C 1) + 2(y C 2)y =, 2 + 2(y ) 2 + 2(y C 2)y =. x C 1 = 1 + (y ) 2 y, y C y 2 = 1 + (y ) 2. y Įstatome šias išraiškas į apskritimų lygtį, gauname vienetinių apskritimų plokštumoje DL (1 + (y ) 2 ) 3 = (y ) 2. Kreivių šeima priklausanti tik nuo vieno parametro vadinama vienaparametrine kreivių šeima. 1.22 pavyzdys [Vienaparametrinių kreivių šeimos]. Žemiau pateikta keletas vienaparametrinių kreivių šeimų: Sistema 1. Φ(x, y, C) := x + y + C = apibrėžia lygiagrečių (tiesei y = x) tiesių šeimą; 2. Φ(x, y, C) := y Cx 2 = parabolių šeimą (žiūrėk 1.11 pav.); 3. Φ(x, y, C) := x 2 /2 + y 2 C 2 = koncentrinių elipsių su centru koordinačių pradžioje ir ašimis C 2 ir C šeimą (C > ) (žiūrėk 1.11 pav.). Φ(x, y, C) =, Φ x Φ dy (x, y, C) + y (x, y, C) dx =. ir yra vienaparametrinių kreivių šeimos DL, tiesa, užrašyta parametriniu pavidalu (parametras C). Vienaparametrinės kreivių šeimos DL sudaroma eliminuojant parametrą C. 1.23 pavyzdys [Kreivių šeimos DL]. Surasime 1.22 pavyzdžio kreivių šeimų DL: { x + y + C =, y = 1; 1 + 1 y = { { y Cx 2 =, C = y/x 2, y = 2y 2xC + 1 y = y x = 2xC ; { x 2 /2 + y 2 C 2 =, y = x x + 2y y 2y =.

2. Koši uždavinys 14 1 1.11 pav. Paraboliu ir elipsiu šeimos. 1.12 pav. Koši uždavinys pirmos eilės lygčiai. 1.13 pav. Koši uždavinys antros eilės lygčiai. Jeigu iš lygties Φ(x, y, C) = pavyksta išreikšti parametrą C = Ψ(x, y), tuomet šiai vienaparametrinei šeimai DL yra Ψ Ψ dy (x, y) + (x, y) x y dx =. 1.12 uždavinys. Suraskite vienaparametrinių kreivių šeimų DL: a) xy = C; b) e 3x y = C; c) y = e Cx2 ; d) y = Cxe x. Taikymuose dažnai reikia surasti kreivių šeimą, kertančią duotąją kreivių šeimą tam tikru kampu θ (pvz., stačiu). Tokios kreivių šeimos vadinamos izogonaliosiomis (ortogonaliosiomis, kai θ = π/2) trajektorijomis. Sakykime, duotosios kreivių šeimos ir jai izogonaliosios kreivių šeimos DL yra y = f(x, y), y = g(x, y), atitinkamai, o θ 2 ir θ 1 yra kampai, atitinkantys kryptis, kurias apibrėžia DL dešiniosios pusės. Tada funkcijos f ir g susijusios lygybe g f 1 + gf = tg θ 2 tg θ 1 = tg (θ 2 θ 1 ) = tg θ, 1 + tg θ 2 tg θ 1 jei θ π/2, (1.19) 1 + gf =, jei θ = π/2. (1.2) 1.24 pavyzdys [Ortogonaliosios trajektorijos]. Surasime ortogonaliąsias trajektorijas parabolių šeimai y = Cx 2, kurios DL y = 2y/x jau radome (žiūrėk 1.22 1.23 pavyzdžius). Tada ortogonaliosios šeimos DL yra y = x/(2y). Kaip matėme, šios DL sprendiniais yra elipsių x 2 /2 + y 2 = C 2 šeima (žiūrėk 1.22 1.23 pavyzdžius). Šios ortogonaliosios trajektorijos pavaizduotos 1.11 pav.. 1.13 uždavinys [Ortogonaliosios trajektorijos]. Raskite ortogonalių trajektorijų DL šioms vienaparametrinėms kreivių šeimoms (pabandykite išspręsti gautas DL ir surasti šias trajektorijas): a) x 2 y 2 = C 2 ; b) x 2 + y 2 = C 2 ; c) y = Cx 3 ; d) x 2 + (y C) 2 = C 2. 1.14 uždavinys [Izogonaliosios trajektorijos]. Raskite izogonaliųjų su θ = π/4 trajektorijų DL apskritimų šeimai x 2 + y 2 = C 2. Pabandykite išspręsti gautą DL ir surasti trajektorijų šeimą.

15 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [216 9 6 (:19)] 2. Koši uždavinys Kaip matėme, DL dažniausiai turi be galo daug sprendinių. Norint išskirti kurį nors vieną sprendinį, reikia pareikalauti, kad sprendinys tenkintų papildomas sąlygas. 2.1. Koši uždavinys Jeigu sprendžiama n-osios eilės DL F (x, y, y,..., y (n) ) =, (2.1) tuomet tokiomis sąlygomis laikomos išreikštinio sprendinio ir jo išvestinių iki (n 1)-os eilės reikšmės, kai x = x : y(x ) = y, y (x ) = y,..., y (n 1) (x ) = y (n 1). (2.2) DL su tokiomis sąlygomis vadinama Koši 2 (pradiniu) uždaviniu, o pačios sąlygos pradinėmis. Pradinę sąlygą apibrėžia taškas (x, y, y,..., y (n 1) ), kuris priklauso D f, jei DL užrašyta kanoniniu pavidalu. 1.15 uždavinys. Patikrinkite, kad y = Ce x2 yra DL y = 2xy sprendinys. Raskite integralinę kreivę, einančią per tašką (1, 4). 1.25 pavyzdys. Koši uždavinys y = y/x, y() = 2 neturi išreikštinio sprendinio, nes taške x = DL neapibrėžta. Koši uždavinys apverstajai DL x = x/y, x(2) = turi sprendinį x. Ypač lengva spręsti Koši uždavinį, jeigu žinomas DL bendrasis sprendinys ir nėra kitų sprendinių. Šiuo atveju, bendrojo sprendinio sąvoka garantuoja, kad Koši uždavinys turi vienintelį sprendinį, nes iš (1.15) sistemos galime vienareikšmiškai rasti laisvąsias konstantas. Bendrasis sprendinys y = ϕ(x; x, y, y,..., y (n 1) ) (2.3) yra vadinamas bendrojo sprendinio Koši pavidalu. 1.26 pavyzdys. DL y = 2xy bendrojo sprendinio Koši pavidalas yra y = y e x2 x 2, o DL y + y = šis pavidalas yra y = y cos(x x ) + y sin(x x ). 2 Augustin Louis Cauchy (1789 1857) prancūzu matematikas.

2. Koši uždavinys 16 2.2. Sprendinio egzistavimas ir vienatis Kanoninei n-os eilės DL y (n) = f(x, y, y,..., y (n 1) ) (2.4) Koši uždavinio sprendinio egzistavimui pakanka, kad f C(G) srityje G D f R n+1 [18]. 1.1 teorema [Peano 3 ]. Tarkime, funkcija f yra tolydi srityje G. Tada egzistuoja (2.4) lygties sprendinys y = ϕ(x), x I, tenkinantis (2.2) pradines sąlygas. Tačiau šios teoremos salygų neužtenka Koši uždavinio sprendinio vienačiai [8, 17, 18]. 1.2 teorema [Pikaro 4 ]. Tarkime, funkcija f ir jos dalinės išvestinės f y,..., f tolydžios srityje G. Tada egzistuoja vienintelis (2.4) lygties sprendinys y (n 1) y = ϕ(x), x I, tenkinantis pradines (2.2) sąlygas. 1.27 pavyzdys. Funkcijos y = sin x ir y = cos x yra DL y +y = sprendiniai. Šių dviejų sprendinių grafikai kertasi, tačiau šie sprendiniai nesutampa jokiame intervale (žiūrėk 1.13 pav.). 1.16 uždavinys. Ar kertasi šio pavyzdžio integralinės kreivės? Panaši teorema teisinga ir (2.1) lygčiai srityje G D F [8]. Jos įrodymas išplaukia neišreikštinės funkcijos sąvybių (žiūrėk (1.3) (1.5) ) ir 1.2 teoremos. 1.3 teorema. Tarkime, funkcija F C 1 (G) ir taške (x, y, y,..., y(n) ) G išpildytos sąlygos F (x, y, y,..., F y(n) ) =, y (n) (x, y, y,..., y(n) ). Tada egzistuoja (2.1) lygties vienintelis sprendinys y = ϕ(x), x I, tenkinantis (2.2) pradines sąlygas. 1.4 teorema [tolydi priklausomybė nuo pradinės sąlygos]. Jeigu f C 1 (G), tuomet Koši uždavinio (2.4), (2.2) sprendinys ϕ(x; x, y, y,..., y (n 1) ) apibrėžtas, tolydus ir ϕ C 1 kiekvieno taško (x ; x, y, y,..., y (n 1) ) aplinkoje. Pikaro teoremą ir tolydžią priklausomybę nuo pradinės sąlygos įrodysime vėliau, bet jau dabar jomis naudosimės. Šios trys teoremos sprendinio sąvybes formuluoja lokaliai. Sritis G D f, kurios visuose taškuose Koši uždavinio sprendinys yra vienintelis, vadinsime DL sprendinio vienaties sritimi. DL dvi integralinės kreivės, sutampančios viename DL sprendinio vienaties srities G taške, sutampa visoje šioje srityje. Antros eilės DL tokiems sprendiniams integralinės kreivės sutaps, jeigu bendrame taške abu sprendiniai turės tą pačią liestinę. 3 Giuseppe Peano (1858 1932) italu matematikas. 4 Émile Picard (1856 1941) prancūzu matematikas.

17 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [216 9 6 (:19)] G 1 1 1 K K 1 1.14 pav. DL y = 3y 2/3 integralinės kreivės. DL ypatingasis taškas ir ypatingasis sprendinys. 1.15 pav. Integralinės kreivės tęsinys iki kompakto krašto. 1.16 pav. Nepratęsiamas į dešinę sprendinys. 1.28 pavyzdys. Rasime DL y = 3y 2/3 integralinę kreivę, einančią per tašką (1, 1). Atitinkamas Koši (pradinis) uždavinys yra y = 3y 2/3, y(1) = 1. Patikriname, kad funkcija y = (x C) 3 yra DL sprendiniai. Įstatome pradines sąlygas: 1 = y(1) = (1 C) 3 C = (kitos šaknys yra kompleksinės). Vadinasi, šis Koši uždavinys turi sprendinį y = x 3 (žiūrėk 1.14 pav.). Rasime integralinę kreivę, einančią per tašką (, ). Per šį tašką eina jau rasta integralinė kreivė y = x 3, ir dar viena papildoma integralinė kreivė y. Vadinasi, šiuo atveju, Koši uždavinio sprendinys nėra vienintelis, ir šis taškas nepriklauso DL sprendinio vienaties sričiai. 1.17 uždavinys. Raskite 1.28 pavyzdžio DL sprendinio vienaties sritį (sritis). 1.12 apibrėžimas. DL sprendinys, per kurio kiekvieną tašką eina tik vienas tos DL sprendinys, vadinamas atskiruoju sprendiniu. 1.18 uždavinys. Raskite Koši uždavinio sprendinius, jei žinomas bendrasis sprendinys arba bendrasis integralas: a) y = y, y(1) = 1; yx = C; x b) y = 1 x, y(1) = ; xey = C; c) y = 1, y() = 1, y () = 3 2 ; y = x2 2 d) y = x + sin x, y() = 1, y () = 1; y = x3 3 e) y = x y, y(3) = 4; y2 + x 2 = C. + C1x + C2; sin x + C1x + C2; 2.3. Ypatingieji sprendiniai

2. Koši uždavinys 18 DL gali turėti sprendinių, kurių taškuose neišpildyta vienaties sąlyga. Nagrinėtame 1.28 pavyzdyje sprendinio y negausime iš bendrojo sprendinio (kubinių parabolių šeimos) y = (x C) 3 su jokia konstanta C R (žiūrėk 1.14 pav.). 1.19 uždavinys. Raskite 1.28 pavyzdžio DL visus sprendinius, kuriems neišpildyta vienaties sąlyga. 1.13 apibrėžimas [Ypatingasis taškas]. Ypatingaisiais taškais vadinsime tuos integralinės kreivės taškus, kuriose neišpildyta sprendinio vienaties sąlyga. 1.14 apibrėžimas [Ypatingasis sprendinys]. Ypatinguoju sprendiniu vadinsime sprendinį, kurio kiekvienas taškas yra ypatingasis taškas. Kai kanoninės (2.4) DL dešiniosios pusės funkcija yra tolydi ir turi dalines išvestines pagal kintamuosius y, y,..., y (n 1), jos ypatingieji sprendiniai gali būti tik tie, kuriuose tenkinama bent viena sąlyga: f y =,..., f =. y (n 1) Neišreikštinės (2.1) DL atveju, kai F C 1 (G), ypatingais gali būti sprendiniai F apibrėžti ir lygybėmis F =, =. y (n) 1.2 uždavinys. Patikrinkite, kad DL turi duotuosius sprendinius ir suraskite ypatinguosius sprendinius: 2.4. Sprendinio tęsinys a) y = 2 y, y = x C (x C); b) (y ) 2 + y 2 = 1, y = sin(x C). Jeigu sprendinys yra apibrėžtas intervale I, tai jis bus sprendinys ir intervale J I. 1.15 apibrėžimas [integralinės kreivės tęsinys]. Integralinę kreivę intervale I vadinsime integralinės kreivės intervale J I tęsiniu, o integralinę kreivę intervale J integralinės kreivės intervale I siauriniu. Koši uždavinio su pradinėmis sąlygomis (2.2) integralinė kreivė pratęsiama pirmyn (atgal) iki aibės Γ G D f, jeigu egzistuoja sprendinys su tomis pačiomis pradinėmis sąlygomis, kurio integralinė kreivė kertasi su Γ taške x x (x x ). Integralinė kreivė pratęsiama pirmyn (atgal) neaprėžtai, jeigu visiems x x (x x ) egzistuoja sprendinys su tomis pačiomis pradinėmis sąlygomis. Laikysime, kad sprendinys turi tęsinį, jeigu jo integralinė kreivė turi tęsinį. Vietoje pirmyn (atgal) taip pat naudosime terminus į dešinę (į kairę). Jeigu sprendinys pratęsiamas iš atvirojo intervalo (a; b) į intervalą (a; b] ([a; b)), tuomet tokį tęsinį vadinsime dešiniuoju (kairiuoju) plėtiniu. Sprendinys, kurio negalima pratęsti nei į kairę, nei į dešinę, vadinamas pilnuoju sprendiniu, o intervalas J vadinamas sprendinio egzistavimo maksimaliuoju intervalu. Toliau pagal nutylėjimą sprendinį suprasime kaip pilnąjį.

19 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [216 9 6 (:19)]? Aibė K R n vadinama kompaktu, jeigu ji yra uždara ir aprėžta. Jeigu kompaktą padengsime atvirųjų aibių denginiu, tuomet galima išrinkti baigtinį podenginį. Ši kompakto savybė Hausdorfo 5 topologinėse erdvėse naudojama kaip kompakto apibrėžimas. Didžiausia atviroji aibė, priklausanti aibei A vadinama aibės A vidumi, o mažiausia uždaroji aibė, dengianti aibę A vadinama aibės A uždariniu. Aibės A uždarinio taškai, kurie nepriklauso aibės A vidui, sudaro aibės A kraštą A. 1.5 teorema [apie sprendinio tęsinį]. Tarkime, K G D f yra kompaktas ir pradinė sąlyga (x, y, y,..., y (n 1) ) K ir f C 1 (G). Tada integralinė kreivė pratęsiama iki kompakto krašto ir toks pratęsimas yra vienintelis. Teorema teigia, kad per kiekvieną vidinį kompakto tašką eina vienintelė integralinė kreivė, kuri pratęsiama iki kompakto krašto (žiūrėk 1.15 pav.). Tęsinio vienatis suprantama ta prasme, kad dvi integralinės kreivės su tą pačia pradine sąlyga sutampa visur kur jos apibrėžtos. 1.29 pavyzdys. Koši uždavinio y = y 2, y() = 1, sprendinys užrašomas išreikštine funkcija y = 1/(1 x). Šį sprendinį galima pratęsti atgal (į kairę) neaprėžtai, tačiau negalima pratęsti pirmyn (į dešinę) iki tiesės x = 1, t.y. maksimalusis intervalas yra ( ; 1). Teorema apie tęsinį lieka teisinga. Jeigu kompaktas yra uždarasis stačiakampis [a; 1] [; b], tai sprendinys pratęsiamas į kairę iki stačiakampio kraštinės x = a su bet kokiu a <, t.y. visiems x, ir sprendinys pratęstas pirmyn (į dešinę) pasieks tik viršutinę stačiakampio kraštinę kokį b > 1 bepaimtume (žiūrėk 1.16) ir niekada nepasieks dešiniosios kraštinės. 1.3 pavyzdys. Koši uždavinio y = y, y() = 1, sprendinys užrašomas išreikštine funkcija y = e x. Šį sprendinį galima pratęsti atgal ir pirmyn neaprėžtai, nes su bet kokiu a > sprendinys kirs kairiąją ir dešiniąją uždarojo stačiakampio [ a; a] [; e a + 1] kraštines. 3. Diferencialinių lygčių sistemos Apibendrinsime DL lygties savoką DL sistemoms, t.y. nagrinėsime vektorinę DL F (x, y, y,..., y (m) ) =, (3.1) čia y = (y 1,..., y n ), F = (F 1,..., F n ) C 1 (D F ), D F R n(m+1)+1 yra funkcijos F (kartu ir vektorinės DL apibrėžimo sritis). Tokia vektorinė m-tosios eilės DL dar vadinama m-osios eilės diferencialinių lygčių sistema (DLS). Paprasčiausios yra pirmosios eilės DLS: F 1 (x, y 1,..., y n, y 1,..., y n ) =, F n (x, y 1,..., y n, y 1,..., y n ) =. 5 Felix Hausdorff (1868 1942) vokiečiu matematikas.... (3.2)

3. Diferencialinių lygčių sistemos 2 Kai jakobianas D(F 1,...,F n ) D(y 1,...,y n ), pirmąsias išvestines galima išreikšti per likusius kintamuosius: y 1 = f 1 (x, y 1,..., y n ),... (3.3) y n = f n (x, y 1,..., y n ). Tokią DLS vadiname n-osios eilės normaliąja DLS. Jos vektorinis pavidalas yra y = f(x, y), f C(D f ), D f R n+1. Šiai DLS (vektorinei DL) apibendrinamos visos sąvokos, kurias apibrėžėme skaliarinei DL y = f(x, y). Pavyzdžiui, Koši uždavinys užrašomas kaip y = f(x, y), y(x ) = y. (3.4) 1.16 apibrėžimas [integralinė kreivė]. Normaliosios DLS (arba vektorinės DL) (3.3) integraline kreive vadinsime vektorinės funkcijos y(x), x I, grafiką. 1.17 apibrėžimas [fazinė erdvė]. Kintamųjų (y 1, y 2,..., y n ) erdvė vadinama fazine erdve. 1.18 apibrėžimas [fazinė trajektorija]. Integralinės kreivės projekciją į fazinę erdvę (y 1, y 2,..., y n ) vadinsime fazine trajektorija. Bendrasis sprendinys ir bendrasis integralas apibrėžiami kaip y = ϕ(x, C), Ψ(x, y, C) = arba Φ(x, y) = C, čia C = (C 1,..., C n ), o visos funkcijos yra tolydžiai diferencijuojamos. Suformuluosime Pikaro, tolydžios priklausomybės nuo pradinės sąlygos ir sprendinio tęsinio teoremų analogus. 1.6 teorema. Tarkime, funkcija f C 1 (G), G R n+1. Tada egzistuoja vienintelis (3.4) Koši uždavinio sprendinys y = ϕ(x), x I, tenkinantis pradinę sąlygą. 1.7 teorema [tolydi priklausomybė nuo pradinės sąlygos]. Jeigu f C 1 (G), tuomet funkcija ϕ(x; x, y ) apibrėžta, tolydi ir ϕ C 1 kiekvieno taško (x ; x, y ) aplinkoje. 1.8 teorema [apie sprendinio tęsinį]. Tarkime, K G D f yra kompaktas ir pradinė sąlyga (x, y ) K ir f C 1 (G). Tada integralinė kreivė pratęsiama iki kompakto krašto ir toks pratęsimas yra vienintelis.

21 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [216 9 6 (:19)] 3.1. n-osios eilės DL suvedimas į n-osios eilės normaliąją DLS Kiekvieną n-osios eilės kanoninę DL galima suvesti į normaliąją DLS. Parodysime tai Koši uždaviniui y (n) = f(x, y, y,..., y (n 1) ), y(x ) = y,..., y (n 1) (x ) = y (n 1). (3.5) Apibrėžkime vektorinę funkciją z = (z 1, z 2,..., z n ) := (y, y,..., y (n 1) ). Tada (3.5) Koši uždavinys ekvivalentus nomaliajai DLS z 1 = z 2, z 2 = z 3, z n 1 = z n,... (3.6) z n = f(x, z 1,..., z n ) su pradine (vektorine) sąlyga z(x ) = z := (y, y,..., y (n 1) ). Šis suvedimas rodo, kad 1.2 teorema (kai f C 1 (G)) išplaukia iš 1.6 teoremos, 1.4 teorema iš 1.7 teoremos, 1.4 teorema iš 1.8 teoremos. 1.31 pavyzdys. Koši uždavinys y + y =, y() = y, y () = y suvedamas į antrosios eilės DLS y = z, z = y su pradinėmis sąlygomis y() = y, z() = y. 1.21 uždavinys. Ar toks suvedimas vienintelis? Atsakymas: ne, nes galima suvesti ir y = z, z = y, su pradinėmis sąlygomis y() = y, z() = y. 1.22 uždavinys. Suvesti DL į DLS: a) y = sin y; b) y + 5xy + (y ) 2 sin x + y = ; c) y = sin ( 1 + (y ) 2 ). 3.2. n-osios eilės normaliosios DLS suvedimas į n-osios eilės DL Kiekvieną n-osios eilės normaliąją (3.3) DLS galima suvesti į vieną n-osios eilės kanoninę DL. Diferencijuojame vieną DLS lygtį (pvz., pirmąją) n 1 kartą pagal x, ir keičiame pirmosios eilės išvestines normaliosios sistemos lygčių dešiniosiomis pusėmis. Įvedame naują funkciją z(x) := y 1 (x). Taip gaunama n

3. Diferencialinių lygčių sistemos 22 lygčių sistema: z = f 1 (x, z, y 2,..., y n ) := f 1 (x, y 1, y 2,..., y n ), f 1 i=1 z = f 2 (x, z, y 2,..., y n ) := f 1 x + n y f i, i... (3.7) z (n 1) = f n 1 (x, z, y 2,..., y n ) := z (n) = f n (x, z, y 2,..., y n ) := f n 2 x f n 1 x + n n 2 f i=1 y f i, i + n n 1 f i=1 y f i. i Iš (3.7) sistemos pirmųjų n 1 lygčių išreiškiame y 2,..., y n (kada tai galima padaryti?): y 2 = g 2 (x, z, z,..., z (n 1) ),... y n = g n (x, z, z,..., z (n 1) ), ir įstatome jas į (3.7) sistemos paskutinę lygtį z (n) = f n ( x, z, g2 (x, z, z,..., z (n 1) ),..., g n (x, z, z,..., z (n 1) ) ). Gaunama viena n-osios eilės DL Pradinės sąlygos šiai lygčiai yra z (n) = g(x, z, z,..., z (n 1) ). (3.8) z(x ) = y 1 (x ), z (i) (x ) = f i (x, y 1 (x ),..., y n (x )), i = 1,..., n 1. Išsprendę (3.8) lygtį, randame ir y 1 (x) = z(x). Analogiškai galima parašyti ir n-osios eilės lygtis kitoms funkcijoms y 2,..., y n. Jeigu suradome funkciją y 1, tuomet galima pašalinti iš sistemos pirmąją lygtį, įstatyti y 1 į likusias sistemos lygtis, t.y. nagrinėti normaliąją sistemą, sudarytą iš n 1-os lygties. 1.32 pavyzdys. Duota DLS dv = w, dw = v. dx x dx Apibrėžiame naują funkciją y = v, diferencijuojame pirmąją lygtį pagal x, ir gauname y = w, x y = dw 1 w = y w = y x, w y = y y x dx x x 2 x x 2 x DLS suvesta į antros eilės DL y = y+y x arba xy + y + y =. 1.23 uždavinys. Suveskite DLS į vieną DL: x 2. a) u = v, v = u; b) u = v, v = u; c) u = u v, v = u + v.

23 1 SKYRIUS. Paprastosios diferencialinės lygtys ir jų sistemos [216 9 6 (:19)] 3.3. Autonominės ir neautonominės DL Jeigu funkcija f DL tiesiogiai nepriklauso nuo kintamojo x, tai DL (arba DLS) dy 1 y dx = f 1 (y 1,..., y n ), = f(y)... dy n dx = f n (y 1,..., y n ). vadinama autonomine. Priešingu atveju, vadinsime neautonomine. Kiekvieną neautominę DLS visada galima suvesti į autonominę dy 1 dx = f 1 (x, y 1,..., y n ),... dy n dx = f m (x, y 1,..., y n ) dx dt = f (x, y 1,..., y n ) 1, dy 1 dt = f 1 (x, y 1,..., y n ),... dy n dt = f n (x, y 1,..., y n ), čia y R n. Ir atvirkščiai, kiekvieną autonominę DLS srityje, kurioje f + f 1 + + f n >, galima suvesti į neautonominę DLS. Pavyzdžiui, jeigu f, tai čia x := y. dy dt = f (y, y 1,..., y n ), dy 1 dt = f 1 (y, y 1,..., y n ),... dy n dt = f n (y, y 1,..., y n ) 1.33 pavyzdys. Neautonominė DL suvedama į autonominę DLS dx dt = y, dy dx = x y dy 1 dx = f 1 (x,y 1,...,y n ) f (x,y 1,...,y n ),... dy n dx = f n (x,y 1,...,y n ) f (x,y 1,...,y n ), dy dt = x. 1.24 uždavinys. Suveskite neautonomines DL (DLS) į autonomines DL (DLS): a) dy dx = y x ; dy b) dx = z + x, dz dx = y + x. 1.19 apibrėžimas [fazinė kreivė]. Autonominės sistemos trajektoriją vadinsime fazine kreive.

3. Diferencialinių lygčių sistemos 24

2 skyrius Klasikinės pirmosios eilės diferencialinės lygtys ir jų integravimas Šiame skyriuje nagrinėsime pirmosios eilės diferencialines lygtis, kurias galima išspręsti integruojant. Įrodysime sprendinio egzistavimo ir vienaties teoremą vienmačiu atveju autonominei lygčiai. Daugelio tokių lygčių sprendiniai randami kintamųjų atskyrimo metodu. 1. DL y = f(x) Nagrinėkime DL dy dx = f(x), f C(I), I = (a; b). (1.1) 2.1 lema. Tarkime, f aprėžta intervale I. Tada DL (1.1) sprendinys randamas integruojant: y = f(x) dx + C. (1.2) Įrodymas. DL lygties (1.1) prasmė yra, kad ieškoma funkcija y yra funkcijos f pirmykštė funkcija. Iš matematinės analizės (Rymano 1 integralo teorija) žinome, kad funkcijos f pirmykščių funkcijų šeima yra (1.2). 2.1 pavyzdys. DL y = cos x visi sprendiniai yra y = sin x + C, t.y. visi jie aprašomi bendruoju sprendiniu. 2.2 pavyzdys. Intervale (; 1) sprendinys yra funkcija ϕ(x) = x, intervale ( 1; ) funkcija ϕ(x) = x, o taške x = sprendinio reikšmė turėtų būti nulinė (tolydumas). Tačiau funkcija ϕ(x) = x nėra diferencijuojama funkcija. Vadinasi, DL y = sign x, ( 1; 1) sprendinių neturi. Nagrinėkime Koši uždavinį (1.1) lygčiai su pradine sąlyga y(x ) = y. Tuomet pirmykščių funkcijų šeimą galima išreikšti apibrėžtiniu integralu y(x) = x 1 Bernhard Riemann (1826 1866) vokiečiu matematikas. x f(ξ) dξ + C. (1.3)

1. DL y = f(x) 26 Kai x = x, iš pradinės sąlygos randame C = y. Vadinasi, integralinė kreivė einanti per tašką (x, y ) apibrėžia vienintelį sprendinį (Barou 2 formulė) y(x) = y + x x f(ξ) dξ. (1.4) 2.3 pavyzdys. Koši uždavinio y = cos x, y() = 1 sprendinys (žiūrėk 1.1 pav.) y(x) = 1 + x cos ξ dξ = 1 + sin ξ x = 1 + sin x. 2.1 uždavinys. Raskite DL arba Koši uždavinio sprendinius: a) y = x(1 x), x ( 1; 1), y() = 1; b) y = 1 1+x 2. 1.1. Sprendinio tęsinys ir elgsena intervalo galuose Jeigu dešinysis intervalo (a; b) galas yra baigtinis, t.y. b < +, tuomet sprendinio pratęsimas į šį tašką priklauso nuo ribos f := lim x b f(x) egzistavimo. Bendruoju atveju ji gali neegzistuoti. Kairiajame intervalo gale situacija analogiška. Nagrinėkime DL dy = f(x), f C(a; b), b < +. (1.5) dx Koši uždavinio su pradine sąlyga y(x ) = y, x (a; b) sprendinys x ϕ(x) := y + f(ξ) dξ, (1.6) x ϕ C 1 (a; b) ir ϕ (x) f(x), x (a; b). Jeigu f B(a; b), tai f(x) M ir x2 ϕ(x 2 ) ϕ(x 1 ) = f(ξ) dξ M x 2 x 1, x 1, x 2 (a; b). x 1 Remiantis funkcijos ribos Koši kriterijumi, egzistuoja sprendinio riba B := ϕ(b ) = b lim + x b f(ξ) dξ. x (1.7) 2.2 lema. Tarkime, f C(a; b) B(a; b), < a < b < +. Tada integralinė kreivė tolydžiai pratęsiama į intervalą [a; b]. Toliau nagrinėsime tik atvejus, kai egzistuoja baigtinė arba begalinė riba f = f(b ) = lim x b f(x). 2 Isaac Barrow (163 1677) anglu matematikas, filologas ir teologas.