ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΤ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Σ.Σ. Σμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Τπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΣΕ Ειςαγωγι ςτθν Τεχνολογία Αυτοματιςμοφ Ενότθτα # 7: Συςτιματα Ελζγχου Μόνιμο ςφάλμα Ευςτάκεια Δ. Δθμογιαννόπουλοσ, dimogi@teipir.gr Επ. Κακθγθτισ Τμιματοσ Μθχανικϊν Αυτοματιςμοφ Τ.Ε. Σ. Βαςιλειάδου, svsil@teipir.gr Κακθγιτρια Εφαρμογϊν Τμιματοσ Μθχανικϊν Αυτοματιςμοφ Τ.Ε.
Περιεχόμενα ενότθτασ Οριςμόσ του ςυςτιματοσ ελζγχου και του ελεγκτι, προδιαγραφζσ ελζγχου Μζγεκοσ ςφάλματοσ μόνιμθσ απόκριςθσ Ευςτάκεια ςυςτιματοσ 2
Ανάλυςθ ςυςτθμάτων Σφςτθμα είςοδοσ G(s) U(s) ερζκιςμα μετάβαςθ ερώτθςθ ζξοδοσ Y(s) αντίδραςθ απάντθςθ θ θ ; γνωςτό γνωςτό ηθτοφμενο
Ανάλυςθ ςυςτθμάτων Σφςτθμα είςοδοσ G(s) U(s) ερζκιςμα μετάβαςθ ερώτθςθ ζξοδοσ Y(s) αντίδραςθ απάντθςθ θ θ ; γνωςτό γνωςτό ηθτοφμενο Επικυμία: θ επιρροι, θ αλλαγι τθσ εξόδου 4
Σφνκεςθ ςυςτθμάτων ελζγχου. Ζλεγχοσ μζςω επιρροισ επί του ςυςτιματοσ Σφςτθμα είςοδοσ U(s) g(t), G(s) ζξοδοσ Y(s) ερζκιςμα μετάβαςθ αντίδραςθ ερώτθςθ απάντθςθ θ ; θ γνωςτό ηθτοφμενο το ςφςτθμα γνωςτι θ επικυμθτι ζξοδοσ 5
Σφνκεςθ ςυςτθμάτων ελζγχου. Ζλεγχοσ μζςω επιρροισ επί του ςυςτιματοσ νζο ςφςτθμα είςοδοσ R(s) Ελεγκτισ C(s) U(s) Σφςτθμα G(s) ζξοδοσ Y(s) θ ; θ θ γνωςτό ηθτοφμενο ο ελεγκτισ γνωςτό γνωςτι θ επικυμθτι ζξοδοσ 6
Σφνκεςθ ςυςτθμάτων ελζγχου. Ζλεγχοσ μζςω επιρροισ επί του ςυςτιματοσ Ανοιχτό ςφςτθμα ελζγχου με προςκικθ ενόσ ελεγκτι ςτθν είςοδο 7
Σφνκεςθ ςυςτθμάτων ελζγχου. Ζλεγχοσ μζςω επιρροισ επί του ςυςτιματοσ Παράδειγμα ανοιχτοφ ςυςτιματοσ ελζγχου Έλεγχοσ τθσ πορείασ ενόσ ςκάφουσ με ελεγκτι το πθδάλιο 8
Σφνκεςθ ςυςτθμάτων ελζγχου 2. Ζλεγχοσ μζςω επιρροισ επί τθσ ειςόδου Σφςτθμα είςοδοσ G(s) ζξοδοσ Y(s) μετάβαςθ αντίδραςθ απάντθςθ ; θ θ ηθτοφμενθ θ είςοδοσ γνωςτό το ςφςτθμα γνωςτι θ επικυμθτι ζξοδοσ 9
Σφνκεςθ ςυςτθμάτων ελζγχου 2. Ζλεγχοσ μζςω επιρροισ επί τθσ ειςόδου E(s) Σφςτθμα G(s) ζξοδοσ Y(s) ; ηθτοφμενθ θ είςοδοσ E(s) του ςυςτιματοσ θ γνωςτό το ςφςτθμα θ γνωςτι θ επικυμθτι ζξοδοσ 0
Σφνκεςθ ςυςτθμάτων ελζγχου 2. Ζλεγχοσ μζςω επιρροισ επί τθσ ειςόδου είςοδοσ R(s) + _ E(s) Σφςτθμα G(s) ζξοδοσ Y(s) H(s) ; ηθτοφμενθ θ είςοδοσ E(s) του ςυςτιματοσ θ γνωςτό το ςφςτθμα θ γνωςτι θ επικυμθτι ζξοδοσ
Σφνκεςθ ςυςτθμάτων ελζγχου. Ζλεγχοσ μζςω επιρροισ επί ςυςτιματοσ & ειςόδου είςοδοσ R(s) + _ E(s) Ελεγκτισ C(s) U(s) Σφςτθμα G(s) ζξοδοσ Y(s) H(s) 2
Σφνκεςθ ςυςτθμάτων ελζγχου. Ζλεγχοσ μζςω επιρροισ επί ςυςτιματοσ & ειςόδου Κλειςτό ςφςτθμα ελζγχου
Σφνκεςθ ςυςτθμάτων ελζγχου Παράδειγμα κλειςτοφ ςυςτιματοσ ελζγχου Έλεγχοσ των ςτροφών ατμοςτρόβιλου μζςω ταχφμετρου του Wtt & ρυκμιςτικισ βάνασ 4
Ποιοτικζσ προδιαγραφζσ Οι γενικζσ ποιοτικζσ απαιτιςεισ για ζνα κλειςτό ςφςτθμα ελζγχου είναι: Μικρι επίδραςθ εςωτερικϊν και εξωτερικϊν διαταραχϊν Γριγοροσ, καλόσ και ακριβισ ζλεγχοσ Ευςτάκεια 5
Χρονικζσ ποςοτικζσ προδιαγραφζσ Οι χρονικζσ ποςοτικζσ προδιαγραφζσ κακορίηονται από τισ χαρακτθριςτικζσ παραμζτρουσ: υπερφψωςθ υ χρόνοσ αποκατάςταςθσ T s μόνιμο ςφάλμα e τθσ εξόδου y(t) του κλειςτοφ ςυςτιματοσ ελζγχου
Μόνιμο ςφάλμα Μόνιμο ςφάλμα ονομάηουμε τθ ςτακερι απόκλιςθ τθσ εξόδου από τθν είςοδο αναφοράσ ενόσ ςυςτιματοσ ςτθ μόνιμι του κατάςταςθ Στιγμιαίο ςφάλμα: e t = r t y(t) Μόνιμο ςφάλμα: e = lim t e(t) = lim s 0 se(s) = lim s 0 sr(s) +G(s)
Μόνιμο ςφάλμα Το μόνιμο ςφάλμα κλειςτοφ ςυςτιματοσ ελζγχου εξαρτάται από: τθν είςοδο αναφοράσ r(t) τθ ςυνάρτθςθ μεταφοράσ G(s) του ςυςτιματοσ Χαρακτθριςτικζσ είςοδοι αναφοράσ ςτακερι: r t = ζλεγχοσ κζςθσ ανοδικι: r t = t ζλεγχοσ ταχφτθτασ παραβολικι: r t = 2 t2 ζλεγχοσ επιτάχυνςθσ 8
Μόνιμο ςφάλμα Χαρακτθριςτικοί τφποι ςυςτθμάτων Ζνα ανοιχτό ςφςτθμα, που διακζτει α ολοκλθρωτζσ, ονομάηεται τφπου α και ζχει ςυνάρτθςθ μεταφοράσ: G s = A s P(s) Q(s) με P(0) Q(0) = Σφςτθμα τφπου α = 0: G s = G 0 s Σφςτθμα τφπου α = : G s = s G s Σφςτθμα τφπου α = 2: G s = s 2 G 2 s 9
Περίπτωςθ. Έλεγχοσ κζςθσ Μόνιμο ςφάλμα Είςοδοσ: r t =, R s = s Μόνιμο ςφάλμα: e = lim s 0 sr(s) +G(s) = lim s 0 = +G(s) +G(0) Σφςτθμα τφπου α = 0: G s = G 0 s, e = Σφςτθμα τφπου α = : G s = G s s, e = 0 Σφςτθμα τφπου α = 2: G s = G s 2 2 s, e = 0 +A 20
Μόνιμο ςφάλμα Περίπτωςθ 2. Έλεγχοσ ταχφτθτασ Είςοδοσ: r t = t, R s = s 2 sr(s) Μόνιμο ςφάλμα: e = lim = lim = lim s 0 +G(s) s 0 s+sg(s) s 0 sg(s) Σφςτθμα τφπου α = 0: G s = G 0 s, e = Σφςτθμα τφπου α = : G s = s G s, e = A Σφςτθμα τφπου α = 2: G s = s 2 G 2 s, e = 0 2
Μόνιμο ςφάλμα Περίπτωςθ. Έλεγχοσ επιτάχυνςθσ Είςοδοσ: r t = 2 t2, R s = s sr(s) Μόνιμο ςφάλμα: e = lim = lim = lim s 0 +G(s) s 0 s 2 +s 2 G(s) s 0 s 2 G(s) Σφςτθμα τφπου α = 0: G s = G 0 s, e = Σφςτθμα τφπου α = : G s = s G s, e = Σφςτθμα τφπου α = 2: G s = s 2 G 2 s, e = A 22
e 0 2 r( t) r( t) t r( t) t 2 2 Μόνιμο ςφάλμα κλειςτοφ ςυςτιματοσ για τρεισ τφπουσ α και τρεισ ειςόδουσ αναφοράσ r(t) 2
Παράδειγμα Έλεγχοσ κζςθσ ςε ςφςτθμα τφπου 0
Παράδειγμα Έλεγχοσ κζςθσ ςε ςφςτθμα τφπου
Παράδειγμα Έλεγχοσ ταχφτθτασ ςε ςφςτθμα τφπου
Χαρακτηριστικά κλειστών συστημάτων ελέγχου Ευςτάκεια Ευςτάκεια φραγμζνθσ ειςόδου-φραγμζνθσ εξόδου Ζνα ςφςτθμα ονομάηεται ευςτακζσ (stble), όταν για φραγμζνθ είςοδο u(t) < N ζχει μια φραγμζνθ ζξοδο y(t) < M. Ευςτακζσ ι ορκότερα αςυμπτωτικά ευςτακζσ λζγεται ζνα ςφςτθμα, όταν για μθδενικι είςοδο u t = 0 και αρχικι ςυνκικθ y 0 θ ελεφκερθ χρονικι απόκριςθ y(t) τείνει αςυμπτωτικά ςτο μθδζν: lim t y(t) = 0 27
Συνκικθ ευςτάκειασ Ζςτω ςφςτθμα: G s = P(s) Q(s) = P(s) (s p )(s p 2 ) (s p ) Ικανι και αναγκαία ςυνκικθ για να είναι το ςφςτθμα ευςτακζσ είναι να ζχει πόλουσ με αρνθτικό πραγματικό μζροσ Re p < 0 Πόλοι με μθδενικό πραγματικό μζροσ Re p = 0 λζγονται ουδζτεροι, ενϊ πόλοι με κετικό πραγματικό μζροσ Re p > 0 λζγονται αςτακείσ. 28
Η ευςτάκεια ενόσ ςυςτιματοσ κακορίηεται από το χαρακτθριςτικό του πολυώνυμο: με Πίνακασ Routh 0... ) ( s s s s Q 0 2 b 5 4 b b b b c : 0 : : : : :......... 2...... 5 4 2 c b b b c Για να είναι το πολυϊνυμο ευςτακζσ πρζπει να είναι κετικά όλα τα ςτοιχεία τθσ πρϊτθσ ςτιλθσ του πίνακα Routh. Κάκε αλλαγι προςιμου ςυνεπάγεται αςτακι πόλο του ςυςτιματοσ. Κριτιριο ευςτάκειασ Routh
Κριτιριο ευςτάκειασ Routh Παράδειγμα Αςτακζσ ςφςτθμα Ζςτω χαρακτθριςτικό πολυϊνυμο: Q( s) s 2s 2 5s 6 Πίνακασ Routh. 2 2 5 6 5 b 2 2 2 6 0 2. 0 b c 2 6 2 6 c 6 2 2 0 0 Δφο αλλαγζσ προςιμου ςτουσ ςυντελεςτζσ Routh ςυνεπάγονται δφο αςτακείσ πόλουσ του ςυςτιματοσ. 0
Για να είναι ευςτακζσ το πολυϊνυμο πρζπει να ιςχφουν οι ανιςότθτεσ: Άρα το ςφςτθμα είναι ευςτακζσ για Παράδειγμα 2 Παραμετρικι ευςτάκεια Ζςτω χαρακτθριςτικό πολυϊνυμο: Πίνακασ Routh 0 2 ) ( 2 0 K s s s s Q K c K b K 0 0 6 0 2 0 2 K b K b c 0 6 2 K K b 0, 6 K b 0 K c 0 6 K Κριτιριο ευςτάκειασ Routh
Τζλοσ Ενότθτασ