1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων α, και συµολίζουµε µε α τον πραγµατικό αριθµό : α = ( α συν α ) αν α και α = αν α = ή =. Ιδιότητες α = α Αν α τότε Αν α (οµόρροπα), τότε Αν α (αντίρροπα), τότε α = α α = α α = και αντιστρόφως α = α και αντιστρόφως α = α και αντιστρόφως i = j = και i j = j i = Αν α= ( x, y ) και = (x, y ) τότε α = x x + y y ( λα) = λ( α ) = α( λ) (ο πραγµατικός αριθµός λ περπατάει) α ( +γ ) =α +α γ α λ λ = (εφόσον α, y y ) α συν(α ɵ )= α α Αν α= ( x, y ) και = (x, y ), τότε συν(α ɵ xx + yy ) = x + y x + y

ΣΧΟΛΙΑ - ΜΕΘΟ ΟΙ. Επισήµανση Τονίζουµε ότι το εσωτερικό γινόµενο είναι αριθµός και όχι διάνυσµα.. Επισήµανση εν έχει νόηµα η γραφή α γ. Μπορούµε έαια να γράφουµε (α )γ, αφού πρόκειται για γινόµενο του αριθµού (α ) επί το διάνυσµα γ, δηλαδή πρόκειται για διάνυσµα συγγραµµικό του γ.. Επισήµανση ε µπορούµε να γράφουµε α, Μπορούµε έαια να γράφουµε 4 α κ.λ.π α, 4 α κ.λ.π, αφού πρόκειται για αριθµούς. 4. Ισχύουν οι ταυτότητες α) ( α+ ) ) ( α ) γ) α = = α + (α ) + α (α ) + = (α )(α + ) 5. Προσοχή στο λάθος : Αν α =, τότε α = ή = Το σωστό είναι : Αν α =, τότε α = ή = ή α 6. Προσοχή Είναι προφανές ότι, αν = γ τότε α = α γ όχι όµως αντίστροφα. Στο αντίστροφο µπορούµε να έχουµε: i) α = α γ α συν( α, ) = α γ συν( α, γ ) ii) α = α γ α α γ = α ( γ ) = α = ή γ = ή α γ

7. Προσοχή στα λάθη α. = α Τα σωστά είναι α. και, ( α ) = α (α = α = α συν α, ) = α συν α, ( ( )) ( συν α, ) 8. Προσοχή στο λάθος α ( γ ) = (α )γ 9. Μέθοδος Αν θέλω να αποδείξω ότι δύο διανύσµατα είναι κάθετα, αποδεικνύω ότι το εσωτερικό τους γινόµενο είναι. Μέθοδος Αν έχω γραµµικό συνδυασµό διανυσµάτων, επιχειρώ ύψωση στο τετράγωνο.. Εσ. γινόµενο µε προολή α v = µε το ένα επί την προολή του άλλου στο πρώτο α v = α. προ = v. προ α v α v ΑΣΚΗΣΕΙΣ. π Αν α =, = και (α, ) = π α = α συν( α, ) = συν = ( α) = ( α ) = = ( α ) α = α = α = =, να ρείτε τα α, (α), ( α ) α =

4. π Αν α =, =, (α, ) = και κ= α+, v=α i) Να ρείτε τα κ και ν ii) Να ρείτε το κ ν iii) Να ρείτε το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων κ και ν i) κ = α+ = (α+ ) = 4α + α + 9 π = 4α + α συν + 9 = 4+ + 9 4= 5 Οπότε : κ = 5 = Οµοίως ρίσκουµε ν = ii) κ ν= (α+ )( α ) = α α 6 = πράξεις = iii) κ ν συν( κ, ν ) = = = κ ν 6 Σχόλια, 4

5. ίνονται τα διανύσµατα α= (, ), = (, ) Να υπολογίσετε τα i) ( α ) γ, ( γ) α, ( γ)α ii) α γ, ( α γ), γ ( α ), α γ και γ = (, ). i) α = (, ) (, ) = + ( ) = Οπότε ( α ) γ = (, ) = ( 4, ) γ = (, ) (, ) = ( ) + ( ) = Οπότε ( γ) α = (, ) = (, ) = ( γ)α = [ α ( γ )] = 6 = Ο αριθµός περπατάει ii) α = + = 5 Άρα α γ = 5 = και γ= α γ = (,) (,) = ( ) + = ( α γ) = = (, ) = (, ) Άρα ( α γ) = + = γ = ( ) + = γ ( α ) = ( ) = 4 γ = και αφού α =, θα έχουµε α γ = (, ) = (, ) = ( 4, )

6 4. Αν α =, = και (α, ) = 6, να ρείτε το x R στις παρακάτω περιπτώσεις i) (α+ ) ( α x ) = ii) (α+ ) ( α x ) i) (α+ ) ( α x ) = α + ( x)( α ) x = α + ( x) α συν( α, ) x = + ( x) συν6 x = 8 + ( x) 7x= ii) (α+ ) ( α x ) 8 + 9 6x 7x = x = 9 x = 9 (α+ ) ( α x ) = α x( α ) + ( α ) x = x( α ) + ( α ) x = 8 x + x 9= x = 7 x = 7 5. Αν α =, = γ = και α + + 4γ =, να ρείτε τα α i) α + + 4γ = α + = 4γ (α + ) = ( 4γ ) α + α + = 6 γ 9 + α + =6 α = α + + 4γ = α+ 4 γ = ( 4 ) α+ γ = Σχόλιο Οµοίως ρίσκουµε α γ = και γ =, α γ, γ

7 6. Αν ισχύουν = α, α+ = α α+ = α α+ = α α + ( α ) + =α ( α ) + = οπότε και, δείξτε ότι α α συν α =, αλλά (, ) συν ( α, ) = συν( α, ) = ( α, ) = 8 = α α Σχόλιο α = 7. π Αν α =, =, γ = και (α, ) = (, γ ) = µε α, γ µη 4 συγγραµµικά, να ρείτε το µέτρο του διανύσµατος v = α +γ v = α +γ = (α +γ) Αλλά () = 4α + 9 +γ ( α ) + 4( α γ) 6( γ) α = = α γ = συν9ο = γ γ = v = = 4 + 9 + + 4 6 = 6 + 8 + 4 4 = 9 4 v = 9 Σχόλιο 8 () α

8 8. Αν α = = γ = και α++γ=, να ρείτε τα α, α γ, γ α++γ= α= γ α = +γ + ( γ) α = + γ + ( γ) 4 = 4 + 4 + ( γ ) γ= Οµοίως α γ = α = 9. Αν τα διανύσµατα α, έχουν µέτρο ίσο µε και τα διανύσµατα κ=α+, ν= 5α 4 είναι κάθετα, να ρείτε την γωνία των διανυσµάτων α, κ ν κ ν= Σχόλιο 5 ( α+ )(5α 4 ) = 5α + 6( α ) 8 = 5α + 6 α συν( α, ) 8 = 5 + 6 συν( α, ) 8 = 6 συν( α, ) = συν( α, ) = (α, ) = 6 ο

9. Αν τα διανύσµατα α και είναι κάθετα και έχουν ίσα µέτρα, δείξτε ότι το ίδιο συµαίνει και για τα διανύσµατα κ=λα+µ, ν =µα λ, λ,µ R κ ν= ( λα+µ )( µα λ) = λµα λ α +µ α λµ Όµως α α = () κ ν = λµα λµ = λµα λµα = κ ν. κ = λα+µ = ( λα+µ) = = λ α + λµ ( α ) +µ = = λ α +µ = = λ α +µ α () Οµοίως ρίσκουµε ότι ν =λ α +µ α () Από τις (), () κ = ν () Σχόλιο 8. Έστω τα διανύσµατα α,, γ για τα οποία ισχύουν α+ =γ. είξτε ότι α ( α+ 4 ). Αρκεί να αποδείξουµε ότι α( α+ 4 ) = α + 4α = () α+ =γ ( α+ ) =γ α + 4( α ) + 4 =γ 4( α ) =γ α 4 4( α ) = 4α α 4α 4( α ) = α 4( α ) + α = αποδείχθηκε η () γ α = = Σχόλιο 9 και Σχόλιο

. Αν για τα µοναδιαία διανύσµατα α, και γ ισχύει α + γ=, δείξτε ότι τα διανύσµατα είναι ίσα α + γ = α συν( α, ) + γ συν(, γ ) = συν( α, ) + συν(, γ) = συν( α, ) + συν(, γ) = συν( α, ) = και συν(, γ ) = ( α, ) = και (, γ ) = α και γ και επειδή τα µέτρα τους είναι ίσα µε (µε ), θα είναι α= και =γ. ίνονται τα κάθετα και µη µηδενικά διανύσµατα α και, έτσι ώστε α = Να ρείτε, ως συνάρτηση των α,, τα διανύσµατα x και y έτσι, ώστε να είναι x ( α ) και y ( α ) και x y=α x ( α ) x =λ( α ), όπου λ R Θυµήσου τη συνθήκη παραλληλίας x=λα λ () x y=α λα λ y=α. () y=λα λ α+ () y ( α ) ( λα λ α+ )( α ) = λα λ( α ) λ( α ) + λ α + α + ( α ) = Από υπόθεση έχουµε α = και α = Εποµένως η () 4λ + λ 4 = 7λ 6 = α = 4. (7λ 6) = και αφού, θα είναι 7λ 6 = λ = 6 7 6 Οπότε η υπόθεση x =λ( α ) x = ( α ) 7 6 8 4 και η () y = α α+ = α 7 7 7 7 ()

4. Αν είναι α = =, (α, ) = 6 ο, ν = και (ν, α ) = 6 να αναλύσετε το ν σε δύο συνιστώσες παράλληλες προς τα α και Έστω ν=λα+µ () αν. Σχόλιο 6 = α( λα+µ) α ν = λα +µ ( α ) α ν συν( α, ν ) =λ α +µα συν( α, ) ν=λα+µ συν 6 =λ +µ συν 6 = λ + µ = λ + µ () ν = ( λα+µ) ν = λ( α ) + µ ν συν(, ν ) = λ α συν( α, ) +µ συν(, ν ) = λ συν 6 +µ συν(, ν ) =λ +µ Όταν η γωνία των ν, είναι α () 6 ν λ λ Η () γίνεται συν = +µ = +µ (4). Λύνοντας το σύστηµα των (), (4) ρίσκουµε λ = και µ =. () ν= α+ Όταν η γωνία των ν, είναι ν α 6 6 λ Η () γίνεται συν = +µ λ ( ) = +µ (5) Λύνοντας το σύστηµα των (), (5) ρίσκουµε µ= και λ = () ν= α

5. Έστω α,, x µη µηδενικά διανύσµατα έτσι ώστε να ισχύουν x, α =, α x+ =, α =, x = i) Να εξετάσετε αν τα α και είναι συγγραµµικά ii) Να ρείτε το x συναρτήσει των α και i) Αν τα α, ήταν συγγραµµικά, επειδή x θα ήταν και α x, οπότε α x=, άρα η υπόθεση α x+ = θα έδινε =, που είναι άτοπο. Εποµένως τα α, δεν είναι συγγραµµικά ii) Έστω x=λα+µ α x =α ( λα+µ) α x =λα +µ ( α ) = λ + µ () x=λα+µ x x= x ( λα+µ) x =λ( α x) +µ ( x) 4 = λ( ) + µ λ = 4 () Η () = 4 + µ µ= Άρα x = 4 α + Σχόλιο 6 Σχόλιο 6

6. Έστω δύο µη συγγραµµικά διανύσµατα α και και λ πραγµατικός αριθµός έτσι ώστε να ισχύει α+λ=γ και γ =. είξτε ότι α ηµ ( α, ). α+λ=γ ( α+λ ) =γ α +λ + λ( α ) =γ λ + ( α ). λ+ α γ = λ + ( α ) λ+ α = Η () είναι εξίσωση δευτέρου αθµού ως προς λ, η οποία γνωρίζουµε από την υπόθεση πως έχει λύση, άρα 4( α ) 4 α Σχόλιο 7 Είναι, αφού µη συγγραµµικό α () ( ) 4 α συν ( α, ) 4α + 4 α συν ( α, ) α + α ηµ ( α, ) α συν ( α, ) α ηµ ( α, ) Σχόλιο Σχόλιο 4 α ηµ ( α, )

4 7. Αν α = και = α, δείξτε ότι α=. = α =α = α συν( α ) συν( α ) + = () Η εξίσωση () είναι δευτέρου αθµού ως προς, η οποία έχει λύση αφού R, άρα 4 συν ( α ) 4 συν ( α ) ηµ ( α ) ηµ ( α ) = ηµ ( α ) = συν( α ) =± Για συν( α ) =, δηλαδή ( α ) = ο εποµένως α η () γίνεται + = ( ) = = = Αφού α, θα υπάρχει λ > ώστε α=λ α =λ = λ. λ= οπότε α= Για συν( α ) =, δηλαδή ( α ) = 8 ο εποµένως α, Οµοίως συµπεραίνουµε α=

5 8. i) είξτε ότι α α και εξετάστε πότε ισχύει η ισότητα. ii) Έστω α= (x, y), = (, 4), x + y = 49 και Α = x + 4y Να ρείτε την µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της παράστασης Α, καθώς επίσης και τις τιµές των x και y για τις οποίες προκύπτουν η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή. i) α = α συν ( α, ) = α συν ( α, ) α = α Όταν α= ή =, είναι προφανές ότι α = α Όταν α και, για να είναι α = α α συν ( α, ) = α α συν ( α, ) = α συν ( α, ) = συν ( α, ) = ή συν ( α, ) = ( α, ) = ή ( α, ) = 8 ο α, οµόρροπα ή αντίρροπα ii) Παρατηρούµε ότι α = x+ 4y Αλλά α = x + y 9+ 6 Η () Α 5 5 Α 5, άρα Α = α Α = α Α α = 49 5 = 7 5 = 5 ηλαδή η µέγιστη τιµή της Α είναι 5 και η ελάχιστη 5 () Το ίσον όπως είδαµε ισχύει όταν τα διανύσµατα είναι συγγραµµικά, δηλαδή όταν ( x, y) = λ(,4) (x,y) = ( λ,4λ) x =λ και y = 4λ () και επειδή x + y = 49 9λ + 6λ = 49 5λ = 49

6 λ = 49 λ = ± 7 5 5 Οι () γίνονται x =( ± 7 ) = ± και ψ = 4( ± 7 ) = 5 5 5 ± 8 5 9. Αν x + (x α) =γ και α γ α i) να δείξτε ότι α x = +α ii) να ρείτε το x συναρτήσει των α,, γ i) x + (x α) =γ [ x + (x α) ] α =γ α Σχόλιο 6 x α+ (x α) ( α ) =γ α (x α )[ + ( α )] =γ α και αφού α γ α x α= +α ii) Η υπόθεση x + (x α) =γ γ α µε άση το (i) γίνεται x+ =γ +α γ α x=γ +α. Έστω α και α= v+ u. Αν v και u, δείξτε ότι v= Πρέπει να υπολοv v=λ όπου λ R () γίσουµε τον λ Η υπόθεση α= v+ u γίνεται α=λ+ u α = ( λ+ u) Σχόλιο 6 α =λ + u α =λ, αφού u δηλαδή u = α λ = αφού α Η () γίνεται v=λ =

7. ίνονται τα διανύσµατα α= (, ), = (, 4). Να ρείτε τα διανύσµατα x και y, ώστε να ισχύουν α= x y και x y και y y Πρέπει να υπολο- υπάρχει λ R ώστε y=λ () γίσουµε τον λ α= x y α+ y= x x=α+ λ x y y x = λ ( α+ λ) = λ( α ) + λ =, () αλλά α = + ( 4) = 8 = 6 και = = λ( 6) + λ (4 +6) = 6λ 6λ= 6λ(λ ) = λ = ή λ= Για λ =, οι (), () δίνουν y= και x=α = (, ) Για λ=, οι (), () δίνουν y = = (, 4) και x = α+ + ( 4) = 4 + 6 = ( ) =, = (, ) + (, 4) = (, ) + (, 6 5 5) = (, 6 8 4 5 5), 5 5 + = ( ) 5 5

8. Αν α= (4, ) και = (, ), να ρεθεί η προ α Έστω x = προ α x, α συγγραµµικά x=λα () όπου λ R Αλλά α =α προ Οπότε, η (). α α =α x α =α( λα) 4( ) +. = λα 4+ 6=λ α = 5λ λ = 5 x = (4, ) 5 = 8 (, 6 ) 5 5 Αν προα= και προ= α 4 α να ρείτε την γωνία των α και α α προ α α α συν( α ) = = = α α α α α = = = α () α α α προα Οµοίως συν( α ) = = = 4 α α α = = = () 4α 4α 4α Από (), () () () α = 8 α = = α () 4α α π συν( α ) = = =, άρα ( α ) = 4α 4α 4 Πρέπει να υπολογίσουµε τον λ

9 4. Έστω τα διανύσµατα α = (, ) και = (, 4). Να ρείτε τα διανύσµατα i) προ ( α ) ii) προ (α+ ) α i) Έστω x= προ ( α ) α α, x συγγραµµικά x = λα, όπου λ R () α( α ) =α προ ( α ) α α = α x α α α = α λα α α =λα Η () x = ii) Έστω y = α = 5 προ (α+ ) 5 + [( ) + 4] = λ( + ) 5 7 = 5λ λ = 5, 4 5 5 (, ) = ( ), y συγγραµµικά y = µ, όπου µ R () (α+ ) = προ (α+ ) (α + ) = y Η () y = 65 7 ( ) (, 4) = α + = (µ ) α + = µ Πρέπει να υπολογίσουµε τον λ Σχόλιο Πρέπει να υπολογίσουµε τον µ Σχόλιο [( ) + 4] + ( + 4 ) = µ( + 4 ) 65 4 + 5 = 7µ µ= 7 65, 6 7 7

5. π Έστω α =, = και (α, ) = Να ρεθούν i) η προολή του διανύσµατος γ= α+ στο α συναρτήσει του α ii) η προολή του ν=α στο συναρτήσει του iii) η προολή του α στο γ συναρτήσει των α κα ι i) Έστω x=προ γ α, τότε x=λα όπου λ R () α γ = α προ αγ α γ = α x α γ = α (λα ) α γ =λα α (α + ) = λα α + α = λα Η () x = 5α ii) Έστω y = v = + συν π = λ + 6 = λ λ = 5 προ v τότε y = µ όπου µ R () v = y προ v (α ) = (µ ) α = µ συν π = µ Σχόλιο Σχόλιο Η () y = 4 4 = 4µ = 4µ µ = 4 iii) Έστω ω = προγ α τότε ω = κγ όπου κ R () α γ = γ προγ α α γ = γ ω α γ = γ (κγ ) α γ = κ γ α (α + ) = κ(α + ) α + α = κ(4α + α + 9 ) + συν π = κ(4 + συν π + 9 4)

+ = κ(4 + + 6) 5 = 5κ κ = 5 5 Η () ω = 5 5 γ = 5 5 (α + ) 6. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Α ύψος του. είξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α αν και µόνο αν ισχύει Α = Β Γ Α Α= 9 ΑΓ ΑΒ ΑΓ ΑΒ= Β Γ (Α + Γ ) (Α + Β ) = Α Α + Α Β + Γ Α + Γ Β = Α Α + + + Γ Β = Α = Γ Β 7. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και Α ύψος του. είξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο Α αν και µόνο αν ισχύει ΑΓ =ΓΒ Γ Α Α= 9 ΑΓ ΑΒ ΑΓ ΑΒ= Β Γ ΑΓ( ΑΓ+ΓΒ ) = ΑΓ +ΓΒ ΑΓ= Αλλά Η () () ΓΒ ΑΓ = ΓΒ προ ΑΓ = ΓΒ Γ ΓΒ ΑΓ +ΓΒ Γ= ΑΓ ΓΒ Γ = ΑΓ =ΓΒ Γ Σχόλιο

8. Έστω παραλληλόγραµµο ΑΒΓ και Ε, Ζ οι προολές του Γ στις ευθείες ΑΒ και Β. είξτε ότι Β ΒΖ ΒΑ ΒΕ=Α Β ΒΖ ΒΑ ΒΕ = Β προ ΒΓ ΒΑ προ ΒΓ Β ΒΑ Σχόλιο Α Ε = Β ΒΓ ΒΑ ΒΓ Ζ αντίστροφα = (Β ΒΑ )ΒΓ = Α ΒΓ Γ = Α Α = Α Β

9. ο Σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ =, ΑΓ = 6, ΒΑΓ= 6 και ΑΜ διάµεσός του. Να ρείτε i) το ΑΜ ii) το ΑΒ ΑΜ iii) την προ ΑΜ συναρτήσει του ΑΒ ΑΒ Έστω ΑΕ = προ ΑΜ ΑΒ Α i) ΑΜ = ( ΑΒ+ΑΓ ) ΑΜ = ΑΒ+ΑΓ Ε ΑΜ = ΑΒ+ΑΓ = Β Μ Γ 4 = ( ) 4 ΑΒ+ΑΓ = = ( ΑΒ +ΑΓ + ΑΒ ΑΓ ) = 4 = ΑΒ + ΑΓ + ΑΒ ΑΓσυν( ΑΒ ΑΓ = 4 = (4 6 6 + + ) = ΑΜ = 4 ii) ΑΒ ΑΜ=ΑΒ ( ΑΒ+ΑΓ ) = ( ΑΒ +ΑΒ ΑΓ ) = ΑΒ + ΑΒ ΑΓσυν( ΑΒ ΑΓ = (4 + 6 ) = 5 iii (ii) ΑΒ ΑΜ = ΑΒ προαμ ΑΒ Αλλά ΑE συγγραµµικό του ΑΒ () 5 = ΑΒ (λαβ ) 5 = λ ΑΒ 5 () ΑE = 4 ΑΒ 5 = ΑΒ ΑE ΑE = λαβ 5 = λ. 5 λ= 4 () () Σχόλιο

4. Έστω τα διανύσµατα ΟΑ=α, ΟΒ=, ΟΓ= γ µε α = = γ =ρ και α++γ=. είξτε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο. Εργαζόµαστε µε σηµείο αναφοράς το Ο. Θα εκφράσουµε κάθε πλευρά σα συνάρτηση του ρ. Α Είναι ΑΒ=ΟΒ ΟΑ= α ΑΒ = α ΑΒ = α = ( α) = α +α = Β Ο α γ Γ α + α = = = ρ α +ρ = ρ α () α++γ= Οπότε η () γίνεται α+= γ ( α+ ) =γ α + α + =γ ρ + α +ρ =ρ α = ρ ΑΒ = ρ ΑΒ =ρ Με τον ίδιο τρόπο ρίσκουµε ότι ΑΓ = ΒΓ =ρ Άρα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο