ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΠΕΛΕΥΘΕΡΩΣΗΣ ΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΡΟΠΗΣ. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΕΠΙΚΙΝΔΥΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΝ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΚΟΛΠΟ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΖΕΥΓΜΕΝΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΠΕΛΕΥΘΕΡΩΣΗΣ ΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΡΟΠΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΤΗΣ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΕΠΙΚΙΝΔΥΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΝ ΚΟΡΙΝΘΙΑΚΟ ΚΟΛΠΟ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ουρανία Μαγγίρα Επιβλέπων: Γεώργιος Τσακλίδης Καθηγητής ΑΠΘ Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 2015

Ουρανία Μαγγίρα Πτυχιούχος Μαθηματικός ΑΠΘ Copyright Ουρανία Μαγγίρα, 2015 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος All rights reserved Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς το συγγραφέα Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σ αυτό το έγγραφο εκφράζουν το συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του ΑΠΘ

Στην οικογένεια μου, για τη μεγάλη της στήριξη

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στόχος της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η ανάπτυξη μοντέλων που χρησιμοποιούνται στην εκτίμηση της σεισμικής επικινδυνότητας, η εφαρμογή τους στον Κορινθιακό Κόλπο και η μελέτη των πιθανών αλληλεπιδράσεων μεταξύ των υποπεριοχών του δυτικού και του ανατολικού Κορινθιακού Κόλπου Στο 1 ο κεφάλαιο εισάγουμε το θεωρητικό πλαίσιο στο οποίο στηρίζονται τα μοντέλα μας με τη μελέτη των σημειακών διαδικασιών Αρχικά περιγράφουμε αναλυτικά τις πιο απλές σημειακές διαδικασίες, δηλαδή τις διαδικασίες Poisso, και στη συνέχεια τις διαδικασίες ανανέωσης, μία γενίκευση της απαριθμητής διαδικασίας για την οποία οι ενδιάμεσοι χρόνοι άφιξης είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν μία τυχαία κατανομή Επίσης αναλύουμε τη θεωρία των σημειακών διαδικασιών, εισάγοντας βασικές έννοιες όπως είναι η υπό συνθήκη συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων Στο 2 ο κεφάλαιο εστιάζουμε στην περιοχή του Κορινθιακού Κόλπου και πιο συγκεκριμένα στα σεισμοτεκτονικά της χαρακτηριστικά καθώς και στο σύνολο δεδομένων που θα χρησιμοποιήσουμε Στο 3 ο κεφάλαιο περιγράφουμε και εφαρμόζουμε στοχαστικά μοντέλα στην περιοχή του Κορινθιακού Κόλπου Αφού περιγράψουμε το Απλό Μοντέλο Απελευθέρωσης Τάσης, θεμελιώνουμε το Συζευγμένο Μοντέλο Απελευθέρωσης Τάσης προκειμένου να εκτιμήσουμε τη σεισμική επικινδυνότητα της περιοχής και να μελετήσουμε τις πιθανές αλληλεπιδράσεις μεταξύ των υποπεριοχών του δυτικού και του ανατολικού τμήματος του Κόλπου Στη συνέχεια αναπτύσσεται το Συζευγμένο Μοντέλο Απελευθέρωσης Ροπής, σαν ένα μέτρο σύγκρισης Ως επέκταση αυτών των μοντέλων, όπου η υπό συνθήκη συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων ακολουθεί την εκθετική κατανομή, προτείνουμε την εφαρμογή του αντίστοιχου μοντέλου όπου η συνάρτηση κινδύνου είναι αυτή της κατανομής Weibull Στο 4 ο κεφάλαιο αναπτύσσεται η μεθοδολογία που ακολουθείται κατά την εφαρμογή των στοχαστικών μοντέλων που στηρίζονται στις σημειακές διαδικασίες και συζητούνται θέματα για περαιτέρω έρευνα Τέλος ακολουθεί το παράρτημα με τον κώδικα που εφαρμόσαμε στη μελέτη μας ΛΕΞΕΙΣ-ΚΛΕΙΔΙΑ Σημειακές Διαδικασίες, Συζευγμένο Μοντέλο Απελευθέρωσης Τάσης, Συζευγμένο Μοντέλο Απελευθέρωσης Ροπής, αλληλεπιδράσεις, Κορινθιακός Κόλπος, συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων, πιθανοφάνεια i

ABSTRACT The aim of the preseted dissertatio is the developmet of models which are used to earthquakes forecastig, their applicatio to the Corith Gulf ad the study of the possible iteractios betwee the subregios of the wester ad easter part of the Gulf I the 1 st chapter we itroduce the theoretical frame o which our models are based via the theory of poit processes At first, we describe aalytically the most simple poit processes, ie, the Poisso processes The, we describe the reewal processes, which costitute a geeralizatio of a coutig process, for which the iterarrival times are idepedet ad idetically distributed with a arbitrary distributio Moreover, we aalyze the theory of poit processes, by itroducig fudametal cocepts, such as the coditioal itesity fuctio I the 2 d chapter we cocetrate o the regio of the Corith Gulf ad especially, o the seismotectoic features ad the dataset we use I the 3 rd chapter we describe ad apply stochastic models i the regio of the Corith Gulf After describig the Simple Stress Release Model, we establish the Liked Stress Release Model i order to assess the seismic hazard of the regio ad cosider stress trasfer ad possible iteractios betwee the subregios of the wester ad easter part of the Corith Gulf The the Liked Momet Release Model is developed, as a measure of compariso A geeralizatio of these models, where the coditioal itesity fuctio follows the expoetial distributio, could be the applicatio of the equivalet model, where the hazard fuctio is that of the Weibull distributio The 4 th chapter icludes the methodology followed whe stochastic models, which are based o poit process theory, are applied ad issues that arise for further research Fially i the appedix the code used for the eeds of the above study is preseted KEY WORDS Poit Processes, Liked Stress Release Model, Liked Momet Release Model, iteractios, Corith Gulf, coditioal itesity fuctio, likelihood ii

Περιεχόμενα 1 Σημειακές Διαδικασίες 1 11 Εισαγωγή στις Στοχαστικές Διαδικασίες 1 12 Η διαδικασία Poisso 2 121 Ορισμός της διαδικασίας Poisso 2 122 Οι κατανομές των ενδιάμεσων χρόνων άφιξης και των χρόνων αναμονής 7 123 Δεσμευμένη κατανομή των χρόνων άφιξης 10 124 Μη ομογενής διαδικασία Poisso 15 13 Η διαδικασία ανανέωσης 17 231 Εισαγωγή στη διαδικασία ανανέωσης 17 232 Η κατανομή του N(t) 19 233 Οριακά Θεωρήματα 21 14 Σημειακή διαδικασία 26 141 Εισαγωγή στις Σημειακές Διαδικασίες 26 142 Συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων και Πιθανοφάνεια 28 143 Επαυξημένες Σημειακές Διαδικασίες 38 2 Περιοχή μελέτης και δεδομένα παρατήρησης 41 21 Εισαγωγή 41 22 Η περιοχή του Κορινθιακού Κόλπου 42 221 Σεισμοτεκτονικές ιδιότητες 42 222 Ενεργός παραμόρφωση 43 23 Δεδομένα παρατήρησης 44 iii

3 Περιγραφή και Εφαρμογή των μοντέλων 47 31 Απλό Μοντέλο Απελευθέρωσης Τάσης 47 32 Συζευγμένο Μοντέλο Απελευθέρωσης Τάσης 50 321 Εφαρμογή του ΣΜΑΤ 53 322 Εφαρμογή του Απλού Μοντέλου Απελευθέρωσης Τάσης (ΑΜΑΤ) στις δυο υποπεριοχές 58 33 Συζευγμένο Μοντέλο Απελευθέρωσης Ροπής 60 331 Εφαρμογή του ΣΜΑΡ 62 34 Συζευγμένο Μοντέλο Weibull 64 4 Μεθοδολογία στην εφαρμογή των μοντέλων 65 41 Προσομοίωση 65 42 Προσαρμογή και Αξιολόγηση των μοντέλων 66 43 Συμπεράσματα και θέματα περαιτέρω έρευνας 68 5 Παράρτημα 51 Κώδικας 69 52 Δεδομένα 80 Βιβλιογραφία 83 iv

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ολοκληρώνοντας αυτή τη διατριβή ειδίκευσης νιώθω την ανάγκη να ευχαριστήσω βαθιά τον επιβλέποντα καθηγητή μου, κ Τσακλίδη Γεώργιο, καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών του ΑΠΘ, όχι μόνο για τις γνώσεις που μου προσέφερε, αλλά και για τη στάση του καθ όλη τη διάρκεια της συνεργασίας μας Σε κάθε βήμα ήταν πλάι μου, υποστηρικτικός, με πολλές καινούριες ιδέες Θα ήθελα να ευχαριστήσω επίσης μέσα από την καρδιά μου την κ Παπαδημητρίου Ελευθερία, καθηγήτρια Σεισμολογίας του ΑΠΘ, για τους νέους ορίζοντες που μου άνοιξε και για τη συνεχή της κινητοποίηση Ένα μεγάλο ευχαριστώ οφείλω όμως και στην Ειρήνη Βότση, που αφιέρωσε πολλές φορές χρόνο και κόπο, για να με βοηθήσει σε στιγμές που το είχα απόλυτη ανάγκη v

vi

Κεφάλαιο 1 Σημειακές Διαδικασίες 11 Εισαγωγή στις Στοχαστικές Διαδικασίες Η Στατιστική Σεισμολογία ασχολείται με την εφαρμογή των ιδεών της στοχαστικής μοντελοποίησης στη Σεισμολογία Τα διάφορα μοντέλα που έχουν θεμελιωθεί προκειμένου να περιγράψουν φυσικά φαινόμενα χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες: τα αιτιοκρατικά (determiistic) μοντέλα, στα οποία οι γνωστές μεταβλητές (πχ αρχικές συνθήκες), αρκούν για την ακριβή πρόβλεψη των αποτελεσμάτων τους (βέβαια αποτελέσματα), και τα στοχαστικά (stochastic) μοντέλα στα οποία, στα οποία οι γνωστές μεταβλητές δεν είναι αρκετές για την ακριβή πρόβλεψη των αποτελεσμάτων τους Η θεμελιώδης διαφορά ανάμεσα σε ένα αιτιοκρατικό και σε ένα στοχαστικό μοντέλο έγκειται στο γεγονός ότι, ενώ ένα αιτιοκρατικό μοντέλο δείχνει να κατανοεί και να μπορεί να προβλέψει τη διαδικασία πλήρως, ένα στοχαστικό μοντέλο αποδέχεται ότι κάποιες πλευρές της φυσικής διαδικασίας πρέπει να αντικατασταθούν από κάποιες άγνωστες παραμέτρους Με τον τρόπο αυτό εισάγεται ο παράγοντας «τύχη» στη διαδικασία Ωστόσο αυτό δε σημαίνει ότι, επειδή ένα στοχαστικό μοντέλο θεωρεί κάποιες διαστάσεις της διαδικασίας ως τυχαίες, στερείται του φυσικού του περιεχομένου O Sir Harold Jeffreys (1938), ο οποίος ήταν πρωτοπόρος στη στατιστική συμπερασματολογία καθώς επίσης και στη γεωφυσική, επεσήμανε ότι, για να αξίζει το όνομα της, κάθε φυσική θεωρία θα πρέπει να περιέχει όχι μόνο τον τρόπο για να προβλεφθούν οι απαιτούμενες ποσότητες, αλλά και την πρόβλεψη των αβεβαιοτήτων τους Ουσιαστικά δηλαδή, θεωρούσε πως κάθε φυσική θεωρία θα πρέπει να βασίζεται σε ένα στοχαστικό μοντέλο Όπως προαναφέρθηκε, μία στοχαστική διαδικασία αποτελεί ουσιαστικά ένα πείραμα τύχης Έστω ο δειγματικός χώρος του πειράματος τύχης, F μία σ-άλγεβρα και P ένα μέτρο πιθανότητας (probability measure) στο δειγματικό χώρο Μια πραγματική συνάρτηση X που ορίζεται στο δειγματικό χώρο καλείται τυχαία μεταβλητή (τµ) (radom variable) Η συνάρτηση αυτή αντιστοιχεί σε κάθε δειγματικό σημείο ω Ω έναν πραγματικό αριθμό x X( ) 1

Τότε, μία στοχαστική διαδικασία ορίζεται ως μία οικογένεια τυχαίων μεταβλητών ορισμένων στο χώρο πιθανοτήτων (, F, P ) Οι ρίζες της θεωρίας σημειακών διαδικασιών χάνονται στο βάθος του χρόνου, αφού ο άνθρωπος από πολύ παλιά ακόμα, μετρούσε τα αστέρια στον ουρανό και κατέγραφε φυσικά φαινόμενα όπως είναι οι πλημμύρες, οι σεισμοί και η εμφάνιση κομητών Πιο πρόσφατα, οι σημειακές διαδικασίες έχουν χρησιμοποιηθεί σε πίνακες επιβίωσης, προβλήματα απαρίθμησης, μοριακή φυσική, μηχανική της πληροφορίας και σε πολλούς άλλους κλάδους Τα τελευταία χρόνια η θεωρία σημειακών διαδικασιών έχει χρησιμοποιηθεί ευρέως στην πρόγνωση των σεισμών Κι αυτό γιατί οι στοχαστικές σημειακές διαδικασίες θεωρούνται τα καταλληλότερα μοντέλα για την περιγραφή φυσικών φαινομένων που εκδηλώνονται σε άτακτα και ακανόνιστα χρονικά σημεία (τυχαία ή ημιπεριοδικά), όπως είναι οι σεισμοί Μία σημειακή διαδικασία (poit process) είναι ένα μαθηματικό μοντέλο το οποίο αποτελείται από μία συλλογή σημείων τα οποία κατανέμονται τυχαία στο χώρο Στις περισσότερες εφαρμογές, κάθε σημείο αντιπροσωπεύει το χρόνο και/ή τη θέση ενός γεγονότος, όπως για παράδειγμα ένας σεισμός 12 H Διαδικασία Poisso 121 Ορισμός της Διαδικασίας Poisso Οι αρχέτυπες σημειακές διαδικασίες είναι οι διαδικασίες Poisso Η σημασία τους είναι τόσο μεγάλη, όχι μόνο ιστορικά, αλλά και επειδή βοηθούν στο να κατανοήσουμε πιο γενικές και σύνθετες διαδικασίες Ένας τρόπος θεώρησης των σημειακών διαδικασιών και ανάλυσης επαναλαμβανόμενων γεγονότων, όπως είναι οι σεισμοί, είναι μέσω απαριθμητών διαδικασιών Μία στοχαστική διαδικασία { N( t), t 0} ονομάζεται απαριθμητή διαδικασία (coutig process) αν Nt () αντιπροσωπεύει το συνολικό αριθμό των γεγονότων έως τη χρονική στιγμή t Η απαριθμητή διαδικασία Nt () πρέπει να ικανοποιεί τις εξής συνθήκες: i Nt ( ) 0 ii Η Nt () πρέπει να παίρνει ακέραιες τιμές iii Αν s<t, τότε N( s) N( t) 2

iv Για s< t, N( t) N( s) ισοδυναμεί με τον αριθμό των γεγονότων που συνέβησαν στο διάστημα (, ] st Μία απαριθμητή διαδικασία λέγεται ότι έχει ανεξάρτητες προσαυξήσεις (idepedet icremets) αν το πλήθος των γεγονότων που συμβαίνουν σε ξένα μεταξύ τους χρονικά διαστήματα είναι ανεξάρτητα Για παράδειγμα, αυτό σημαίνει ότι το πλήθος των γεγονότων που συνέβησαν έως το χρόνο t (δηλαδή η τιμή ) πρέπει να είναι ανεξάρτητο από το πλήθος των γεγονότων που συνέβησαν μεταξύ των χρόνων t και t+s (δηλαδή N( t s) N( t) ) Nt () Μία απαριθμητή διαδικασία λέγεται ότι έχει στατικές προσαυξήσεις (statioary icremets) αν η κατανομή του πλήθους των γεγονότων που συμβαίνουν σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα εξαρτάται μόνο από το μήκος του χρονικού διαστήματος Με άλλα λόγια, η διαδικασία έχεις στατικές προσαυξήσεις αν το πλήθος των γεγονότων στο χρονικό διάστημα ( t1s, t2 s] (δηλαδή, N(t2+s)- N(t1+s)) έχει την ίδια κατανομή με το πλήθος των γεγονότων στο διάστημα για όλα τα t 1 t 2, και για s 0 ( t1, t2] (δηλαδή, N( t2) N( t1) ) Τώρα, μπορούμε να ορίσουμε τη διαδικασία Poisso, που αποτελεί μία από τις σημαντικότερες απαριθμητές διαδικασίες Ορισμός 121 Μία απαριθμητή διαδικασία { N( t), t 0} λέγεται Poisso διαδικασία με ρυθμό, 0 αν: i N(0) 0 ii Η διαδικασία έχει ανεξάρτητες προσαυξήσεις iii Το πλήθος των γεγονότων σε οποιοδήποτε χρονικό διάστημα μήκους t ακολουθεί την κατανομή Poisso με μέση τιμή Αυτό σημαίνει ότι, για όλα τα st, 0 t ( t) P{ N( t s) N( s) } e, 0,1,! t Από τη συνθήκη (iii) προκύπτει ότι η διαδικασία Poisso έχει στατικές προσαυξήσεις και ότι για τη μέση τιμή της διαδικασίας Nt (), ισχύει E( N( t)) t, το οποίο εξηγεί γιατί η παράμετρος ονομάζεται ρυθμός (rate) της διαδικασίας 3

Προκειμένου να διαπιστώσουμε αν μία τυχαία απαριθμητή διαδικασία αποτελεί μία διαδικασία Poisso, πρέπει να εξετάσουμε αν ικανοποιούνται οι συνθήκες (i), (ii) και (iii) Η συνθήκη (i), η οποία απλώς δηλώνει ότι η απαρίθμηση των γεγονότων ξεκινάει στο χρόνο άμεσα από τη γνώση μας σχετικά με τη διαδικασία Ωστόσο, δεν είναι καθόλου σαφές αν η συνθήκη (iii) ικανοποιείται, και για το λόγο αυτό θα ήταν χρήσιμος ένας ισοδύναμος ορισμός της διαδικασίας Poisso t 0, και η συνθήκη (ii), συνήθως μπορούν να επαληθευτούν Προτού δώσουμε τον δεύτερο ορισμό της διαδικασίας Poisso, θα πρέπει να δώσουμε την έννοια της συνάρτησης oh ( ) Ορισμός 122 Μία συνάρτηση f λέγεται oh ( ) αν f( h) lim 0 h0 h Δοθέντος του ορισμού της συνάρτησης εναλλακτικό ορισμό για τη διαδικασία Poisso oh ( ), μπορούμε να δώσουμε έναν Ορισμός 123 Μία απαριθμητή διαδικασία { N( t), t 0} λέγεται Poisso διαδικασία με ρυθμό, 0, αν: i N(0) 0 ii Η διαδικασία έχει στατικές και ανεξάρτητες προσαυξήσεις iii P{ N( h) 1} h o( h) iv P{ N( h) 2} o( h) Θεώρημα 121 Οι ορισμοί 121 και 123 είναι ισοδύναμοι Απόδειξη Θα δείξουμε πρώτα ότι ο ορισμός 123 συνεπάγεται τον ορισμό 121 Αρχικά θεωρούμε ότι P ( t) P{ N( t) } Θα εξάγουμε τώρα μία διαφορική εξίσωση για την P () 0 t ως εξής: P ( t h) 0 P{ N( t h) 0} P{ N( t) 0, N( t h) N( t) 0} P{ N( t) 0} P{ N( t h) N( t) 0} P ( t )[1 h o ( h )], 0 4

όπου οι δύο τελευταίες εξισώσεις προκύπτουν από την υπόθεση (ii) και το γεγονός ότι η (iii) και η (iv) συνεπάγονται ότι P{ N( h) 0} 1 h o( h) Έτσι, Για ή h 0, προκύπτει P 0( t h ) P 0( t ) ( ) P0 () t oh h h P ( t) P ( t) ' 0 0 ' P0 () t P() t 0 Ολοκληρώνοντας, προκύπτει log P0 ( t) t c ή P t Ke () t 0 Εφόσον P 0 (0) P { N (0) 0} 1, προκύπτει ότι P t () t 0 e Παρόμοια, για 1, P ( ) { ( ) } t h P N t h P{ N( t), N( t h) N( t) 0} P{ N( t) 1, N( t h) N( t) 1} P{ N( t h), N( t h) N( t) 2} Ωστόσο, από την υπόθεση (iv) προκύπτει ότι ο τελευταίος όρος παραπάνω είναι oh ( ) Έτσι, χρησιμοποιώντας τη (ii) λαμβάνουμε P ( t h) P ( t) P ( h) P ( t) P( h) o( h) 0 1 1 Οπότε, (1 h) P( t) hp ( t) o( h) 1 P( t h) P( t) P( t) P 1( t) o( h) h Για h 0, προκύπτει ' P ( t) P ( t) P 1( t), 5

Ή, ισοδύναμα, e P t P t e P t t ' t [ ( ) ( )] 1( ) οπότε, d ( e t P t ( t )) e P 1( t ) dt Για 1, d ( e t P 1( t )) dt ή ( ) ( ) t P1 t t c e Όμως επειδή P1(0)=0, είναι P t te () t 1 t Με επαγωγή, θα δείξουμε ότι P ( t) e ( t)! Οπότε, για 1 ισχύει d t ( t) ( e P ( t) dt ( 1)! 1 και επομένως, Όμως, t ( t) e P () t c! P (0) P{ N(0) } 0 Τελικά, t P ( t) e ( t)! Επομένως, ο ορισμός 123 συνεπάγεται τον ορισμό 121 προκύπτει και το αντίστροφο Με όμοιο τρόπο Αν θεωρήσουμε μία στατική διαδικασία Poisso, όπου το πλήθος των γεγονότων συμβαίνουν στο ημι-ανοιχτό διάστημα ( ab, ], τότε η μέση τιμή M ( a, b ] και η διασπορά V ( a, b ] δίνονται από τις σχέσεις M ( a, b] ( b a) V ( a, b] 6

Η ιδιότητα αυτή, το γεγονός δηλαδή ότι η μέση τιμή και η διασπορά είναι ίσες και ανάλογες του διαστήματος, αποτελεί έναν χρήσιμο διαγνωστικό έλεγχο για τη στατική διαδικασία Poisso Αρχικά εκτιμούμε τη μέση τιμή και τη διασπορά για τα ημι-ανοιχτά διαστήματα για ένα μεγάλο εύρος V ( a, b] ( ab, ] M ( a, b] διαφορετικών μηκών και σχεδιάζουμε τους λόγους V( a, b] ( b a) Οι εκτιμήσεις θα πρέπει να είναι προσεγγιστικά σταθερές για μία στατική διαδικασία Poisso και ίσες με το μέσο ρυθμό Οποιαδήποτε συστηματική παρέκκλιση από αυτή τη σταθερή τιμή υποδεικνύει κάποια παρέκκλιση είτε από την υπόθεση της διαδικασίας Poisso είτε από τη στατικότητα 122 Οι κατανομές των ενδιάμεσων χρόνων άφιξης (iterarrival times) και των χρόνων αναμονής (waitig times) Θεωρούμε μία διαδικασία Poisso και έστω ότι με συνέβη το πρώτο γεγονός Επιπλέον, για 1, συμβολίζουμε με του ( 1)-οστού και του ακολουθία των ενδιάμεσων χρόνων άφιξης X 1 - οστού γεγονότος Η ακολουθία X συμβολίζουμε το χρόνο που X το χρόνο μεταξύ { X, 1} ονομάζεται Για να ορίσουμε την κατανομή της, χρειαζόμαστε καταρχάς το γεγονός { X1 t} Θεωρούμε ότι το γεγονός { X1 t} συμβαίνει, αν και μόνο αν, κανένα γεγονός της διαδικασίας Poisso δε συμβαίνει στο διάστημα [0, ] Επομένως P{ X t} P{ N( t) 0} e t 1 Πρόκειται δηλαδή για την πιθανότητα να μην έχουμε καθόλου σημεία σε ένα διάστημα μήκους t Μπορεί επίσης να ερμηνευθεί και ως η πιθανότητα το τυχαίο διάστημα, από την αρχή μέχρι το σημείο που εμφανίζεται το πρώτο γεγονός, να έχει μήκος που ξεπερνάει το t Πρόκειται δηλαδή για τη συνάρτηση επιβίωσης για το μήκος αυτού του διαστήματος Επομένως, η X 1 ακολουθεί εκθετική κατανομή με 0 μέση τιμή 1 Στη συνέχεια, όσον αφορά την κατανομή της X 2 δεδομένης της X 1, παίρνουμε P{ X t / X s} P{0 γεγονότα στο ( s, s t]/ X s} 2 1 1 P{0 γεγονότα στο ( s, s t]} (λόγω των ανεξάρτητων προσαυξήσεων) e t (λόγω της στατικότητας) Επομένως, από τα παραπάνω συνεπάγεται ότι η X 2 είναι μία τυχαία μεταβλητή που 1 ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή, και επιπλέον, ότι η X 2 είναι ανεξάρτητη της X 1 Με το ίδιο σκεπτικό, προκύπτει η ακόλουθη πρόταση t 7

Πρόταση 121 Οι τυχαίες μεταβλητές X, 1, 2, είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την εκθετική κατανομή με μέση τιμή 1 Η πρόταση αυτή δε θα πρέπει να εκπλήσσει Ουσιαστικά σημαίνει ότι η διαδικασία σε ένα οποιοδήποτε σημείο είναι ανεξάρτητη των όσων έχουν προηγηθεί και ακολουθεί την ίδια κατανομή με την αρχική διαδικασία Με άλλα λόγια, η διαδικασία δεν έχει μνήμη και επομένως αναμένουμε ενδιάμεσους χρόνους άφιξης που ακολουθούν εκθετική κατανομή Μία άλλη ενδιαφέρουσα ποσότητα που αφορά τη διαδικασία Poisso είναι ο χρόνος S άφιξης μέχρι το -οστό γεγονός, που ονομάζεται χρόνος εμφάνισης του - οστού γεγονότος, ή, εάν δεν δημιουργείται σύγχηση, χρόνος αναμονής (waitig time) έως το -οστό γεγονός Εφόσον S X, 1 i1 Είναι εύκολο να δείξουμε, χρησιμοποιώντας ροπογεννήτριες, ότι η πρόταση 121 συνεπάγεται ότι η Πρόταση 122 S i ακολουθεί την κατανομή Γάμμα με παραμέτρους και Αν οι τυχαίες μεταβλητές X, 1, 2, είναι ανεξάρτητες και ισόνομες που ακολουθούν την εκθετική κατανομή με παράμετρο λ τότε η τμ ακολουθεί Γάμμα κατανομή με παραμέτρους Απόδειξη και i1 S X, 1, (Α τρόπος) Το -οστό γεγονός συμβαίνει πριν ή στο χρόνο t, αν και μόνο αν, το πλήθος των γεγονότων που συμβαίνουν έως το χρόνο t είναι τουλάχιστον Δηλαδή, Επομένως, N() t S t i P{ S t} P{ N( t) } j t ( t) e j! j 8

Με διαφόριση, προκύπτει ότι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της S είναι η j j 1 t ( t) t ( t) f () t e e j! ( j1)! j e t 1 ( t) ( 1)! j που είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Γάμμα κατανομής με παραμέτρους και (Β τρόπος) Ένας άλλος τρόπος με τον οποίο παίρνουμε την πυκνότητα της μέσω ανεξάρτητων προσαυξήσεων, ως εξής Είναι P{ t S t dt} P{ N( t) 1, 1 γεγονός στο ( t, t dt)}+ o( dt) P{ N( t) 1} P{ 1 γεγονός i ( t, t dt)}+ o( dt) t e ( t) ( 1)! 1 dt o( dt), όπου διαιρώντας με dt και αφήνοντάς το να προσεγγίσει το 0, προκύπτει S είναι f S t e ( t) () t ( 1)! 1 Η πρόταση 121 μας δίνει έναν άλλο τρόπο ορισμού της διαδικασίας Poisso Θεωρούμε αρχικά την ακολουθία { X, 1} των ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν εκθετική κατανομή, η καθεμία με μέση τιμή Τώρα μπορούμε να ορίσουμε μία απαριθμητή διαδικασία λέγοντας ότι το - 1/ οστό γεγονός αυτής της διαδικασίας συμβαίνει στο χρόνο S X1 X 2 X S, όπου Η προκύπτουσα απαριθμητή διαδικασία { N( t), t 0} θα είναι διαδικασία Poisso με ρυθμό Στο ίδιο πνεύμα, μπορούμε να λάβουμε την πιθανοφάνεια της πραγματοποίησης μίας διαδικασίας Poisso Μπορεί να οριστεί ως η πιθανότητα να λάβουμε έναν δοσμένο αριθμό παρατηρήσεων στην περίοδο των παρατηρήσεων, επί την κοινή υπό συνθήκη πυκνότητα για τις θέσεις αυτών των παρατηρήσεων, δεδομένου του αριθμού τους Υποθέτουμε ότι υπάρχουν N παρατηρήσεις στο διάστημα (0, T ] στα χρονικά σημεία t,, 1 t N Τότε, η πιθανότητα να υπάρχουν γεγονότα στο (ti-δ, ti) και καθόλου γεγονότα στο υπόλοιπο κομμάτι του (0, T ] είναι 9

T e N j1 Διαιρώντας με και αφήνοντας το 0, για να πάρουμε την πυκνότητα, υπολογίζουμε τη ζητούμενη συνάρτηση πιθανοφάνειας N N T L ( N; t,, t ) e (0, T] 1 N 123 Δεσμευμένη κατανομή των χρόνων άφιξης Έστω ότι γνωρίζουμε ότι ακριβώς ένα γεγονός της διαδικασίας Poisso έχει λάβει χώρα έως το χρόνο και μας ζητείται η κατανομή του χρόνου στον οποίο συνέβη το γεγονός Εφόσον μία διαδικασία Poisso έχει στατικές και ανεξάρτητες προσαυξήσεις κάθε διάστημα ίσου μήκους μέσα στο [0, ] θα πρέπει να έχει την ίδια πιθανότητα να περιλαμβάνει το γεγονός αυτό Με άλλα λόγια, ο χρόνος του γεγονότος θα πρέπει να κατανέμεται ομοιόμορφα στο [0, ] Αυτό ελέγχεται εύκολα αφού, για s t, t t t P{ X s / N( t) 1} 1 P{ X1 s, N( t) 1} P{ N( t) 1} P{1 γεγονός στο [0, s), 0 γεγονότα στο [ s, t)} P{ N( t) 1} P{1 γεγονός στο [0, s) P{ 0 γεγονότα στο [ s, t)} P{ N( t) 1} se e te s t s ( ts) t Το αποτέλεσμα μπορεί να γενικευτεί, αλλά πρώτα θα πρέπει να εισάγουμε την έννοια των διατεταγμένων μεταβλητών (order statistics) Έστω Y1, Y2, Y, τυχαίες μεταβλητές Λέμε ότι Y(1), Y(2), Y( ) είναι οι διατεταγμένες μεταβλητές που αντιστοιχούν στις Y1, Y2, Y εάν ( k) Y είναι η k -στη μικρότερη τιμή ανάμεσα στις Y1, Y2, Y, k 1,2,, Αν οι είναι ανεξάρτητες, ισόνομες, συνεχείς τυχαίες μεταβλητές με κοινή πυκνότητα πιθανότητας, τότε η από κοινού πυκνότητα πιθανότητας των διατεταγμένων μεταβλητών Y(1), Y(2), Y ( ) δίνεται από τη σχέση Y i f 10

Το παραπάνω προκύπτει καθώς (i) (1) (2) ( ) f ( y1, y2, y)! f ( yi), y1 y2 y i1 ( Y, Y,, Y ) ισούται με ( y1, y2,, y ) αν ( Y1, Y2,, Y ) ισούται με καθεμία από τις! μεταθέσεις των 1 2 ( y, y,, y ), και (ii) η πυκνότητα πιθανότητας ότι ( Y1, Y2,, Y ) ισούται με y, y,, y είναι 1 2 i1 i2 i i i1 i i i f ( y ) f ( y ) f ( y ) f ( y ), όταν ( yi, y,, ) 1 i y 2 i είναι μετάθεση των ( y1, y2,, y ) Αν οι Y, i 1,2,,, κατανέμονται ομοιόμορφα στο διάστημα i (0, t), τότε προκύπτει ότι η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας των διατεταγμένων μεταβλητών Y, Y, Y είναι (1) (2) ( )! f ( y1, y2,, y) t Τώρα μπορεί να διατυπωθεί το παρακάτω χρήσιμο θεώρημα: Θεώρημα 122 Δεδομένου ότι N () t, οι χρόνοι άφιξης S1, S2,, S έχουν την ίδια κατανομή όπως οι διατεταγμένες μεταβλητές που αντιστοιχούν σε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ομοιόμορφα κατανεμημένες στο διάστημα (0, t ) Απόδειξη Θα υπολογίσουμε πρώτα τη δεσμευμένη συνάρτηση πυκνότητας των S1, S2,, S, δεδομένου ότι N () t Έστω 0 t1 t2 t 1 t και έστω ότι t, 1,2,, i h ti 1 i Ισχύει ότι h i είναι αρκετά μικρό έτσι ώστε P{ t S t h, i 1,2,, / N( t) } i i i i P{ακριβώς ένα γεγονός στο [ ti, ti + hi ], i 1, 2,,, να μη συμβεί κανένα γεγονός πουθενά στο [0, t]} P{ N( t) } h1 e h e e e e ( t) /!! 1 2 h h h t h1 h h ( th1 h2 h ) t 11

Οπότε, P{ ti Si ti hi, i 1,2,, / N( t) }!, h h h t Και θέτοντας δεδομένου ότι 1 2 h 0 i N () t, καταλήγουμε ότι η δεσμευμένη πυκνότητα των 1 2 είναι το οποίο ολοκληρώνει την απόδειξη! f ( t1, t2, t), 0 t 1 t2 t, t S, S,, S Διαισθητικά, συνήθως λέμε ότι κάτω από την συνθήκη ότι έχουν συμβεί γεγονότα στο διάστημα (0, t), οι χρόνοι S,, 1 S στους οποίους συμβαίνουν τα γεγονότα, θεωρούμενοι τυχαίες μεταβλητές, κατανέμονται ανεξάρτητα και ισόνομα στο διάστημα (0, ) t Για παράδειγμα, υποθέτουμε ότι σε μία περιοχή συμβαίνουν σεισμοί σύμφωνα με τη διαδικασία Poisso με ρυθμό Αν ένας σεισμός συμβεί στο χρόνο t, θα υπολογίσουμε τους αναμενόμενους χρόνους αναμονής των σεισμών στο διάστημα (0, t) Δηλαδή, αναζητούμε τη μέση τιμή άφιξης για τον i -οστό σεισμό Δεδομένου του N() t i i1 i1 N() t E[ ( t S )], όπου i1 Nt () i προκύπτει E[ ( t S ) / N( t) ] E[ ( t S ) / N( t) ] i1 i t E[ Si / N( t) ] S i είναι ο χρόνος Αν με U, 1, U συμβολίσουμε ένα σύνολο ανεξάρτητων ομοιόμορφων τυχαίων μεταβλητών στο (0, t ), τότε i () i (από το θεώρημα 222) i1 i1 E[ ( t S ) / N( t) ] E[ U ] E[ U ] (αφού U() i t 2 i1 i Ui ) i1 i1 12

Έτσι N() t t t E[ ( t Si ) / N( t) ] t 2 2 i1 και N() t 2 t t E[ ( t Si)] E[ N( t)] 2 2 i1 Σαν μία σημαντική εφαρμογή του θεωρήματος 122 υποθέτουμε ότι κάθε γεγονός μίας διαδικασίας Poisso με ρυθμό ταξινομείται είτε ως γεγονός τύπου-i είτε ως γεγονός τύπου-ii Υποθέτουμε ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος που χαρακτηρίζεται τύπου-i εξαρτάται από το χρόνο στον οποίο συμβαίνει Συγκεκριμένα, υποθέτουμε ότι αν ένα γεγονός συμβαίνει στο χρόνο s, τότε ανεξάρτητα όλων των άλλων, χαρακτηρίζεται ως τύπου-i γεγονός με πιθανότητα Ps () και τύπου-ii γεγονός με πιθανότητα 1 ( ) Χρησιμοποιώντας το θεώρημα 122 μπορούμε να αποδείξουμε την ακόλουθη πρόταση Ps Πρόταση 123 Αν Ni () t αντιπροσωπεύει το πλήθος των γεγονότων τύπου- i που συμβαίνουν ως το χρόνο t, i 1, 2, τότε οι N () t και N () 1 2 t είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Poisso που έχουν αντίστοιχα μέσες τιμές και t(1 p), όπου t 0 tp 1 p P() s ds t Απόδειξη Υπολογίζουμε την από κοινού κατανομή των N () t και 1 N () 2 t δεδομένου του Nt () : P{ N ( t), N ( t) m} P{ N1( t), N2( t) m / N( t) k} 1 2 1 2 k 0 P{ N ( t), N ( t) m / N( t) m} Θεωρούμε τώρα ένα τυχαίο γεγονός που συνέβη στο διάστημα [0, t ) Αν είχε συμβεί στο χρόνο s, τότε η πιθανότητα να είναι γεγονός τύπου-i θα ήταν Ps () Επομένως, από το θεώρημα 222 συνεπάγεται ότι αυτό το γεγονός θα είχε συμβεί σε κάποιο χρόνο ομοιόμορφα κατανεμημένο στο διάστημα (0, t ) Άρα, η πιθανότητα να είναι γεγονός τύπου-i είναι 13

t 1 p P() s ds t ανεξάρτητα από τα άλλα γεγονότα Έτσι, η πιθανότητα 1 2 0 P{ N ( t), N ( t) m / N( t) m} θα ισούται με την πιθανότητα επιτυχιών και m αποτυχιών σε +m ανεξάρτητες δοκιμές, όπου p η πιθανότητα επιτυχίας σε κάθε δοκιμή Δηλαδή, m m P{ N1( t), N2( t) m / N( t) m} p (1 p) Συνεπώς, m ( m)! m t ( t) P{ N1( t), N2( t) m} p (1 p) e! m! ( m)! m tp ( tp) t(1 p) ( t(1 p)) e e,! m! που ολοκληρώνει την απόδειξη 14

124 Μη ομογενής διαδικασία Poisso Μπορούμε να γενικεύσουμε τη διαδικασία Poisso αφήνοντας το ρυθμό άφιξης στο χρόνο t να είναι συνάρτηση του t Ορισμός 124 Η απαριθμητή διαδικασία { N( t), t 0} λέγεται μη στατική ή μη ομογενής διαδικασία Poisso με ρυθμό ( t), t 0 αν: i ii Η διαδικασία έχει ανεξάρτητες προσαυξήσεις iii P{ N( t h) N( t) 2} o( h) N(0) 0 iv P{ N( t h) N( t) 1} ( t) h o( h) Αν θεωρήσουμε ότι τότε ισχύει η εξής πρόταση: t m( t) ( s) ds, 0 Πρόταση 124 Η τμ N( t s) N( t) ακολουθεί κατανομή Poisso με μέση τιμή m( t s) m( t) Απόδειξη Είναι P{ N( t s) N( t) } exp{ ( m( t s) m( t))}[ m( t s) m( t)] /!, 0 Η απόδειξη της τελευταίας σχέσης ακολουθεί τις γραμμές του θεωρήματος 121 με μία μικρή τροποποίηση Σταθεροποιούμε το t και ορίζουμε Τότε, P ( s h) P{ N( t s h) N( t) 0} 0 P ( ) { ( ) ( ) } s P N t s N t P{0 γεγονότα στο ( t, t s), 0 γεγονότα στο ( t s, t s h)} P ( s )[1 ( t s ) h o ( h )], 0 όπου η προτελευταία ισότητα προκύπτει από το αξίωμα (ii) και η τελευταία ισότητα από τα αξιώματα (iii) και (iv) 15

Έτσι, P 0( s h ) P 0( s ) ( ) ( t s) P0 ( s) oh h h Για h 0 προκύπτει ή 0 P ( s) ( t s) P ( s) ' 0 0 log P ( s) ( t u) du s 0 ή P s e () [ m( t s) m( t )] 0 Η σημασία της μη ομογενούς διαδικασίας Poisso έγκειται στο γεγονός ότι δεν απαιτούμε πλέον στατικές προσαυξήσεις και έτσι επιτρέπουμε στα γεγονότα να (είναι πιο πιθανό να) συμβαίνουν σε κάποιους χρόνους παρά σε άλλους Όταν η συνάρτηση έντασης (ή αλλιώς συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων) είναι φραγμένη, μπορούμε να σκεφτούμε τη μη ομογενή διαδικασία ως ένα () t τυχαίο δείγμα της ομογενούς διαδικασίας Poisso Ειδικότερα, έστω ότι το είναι τέτοιο ώστε ( t), για όλα τα t 0 Θεωρούμε μία διαδικασία Poisso με ρυθμό Αν υποθέσουμε ότι ένα γεγονός της διαδικασίας Poisso συμβαίνει στο χρόνο t με πιθανότητα ( t) /, τότε η διαδικασία των μετρούμενων γεγονότων είναι μια μη ομογενής Poisso διαδικασία με συνάρτηση έντασης Αυτό προκύπτει εύκολα από τον ορισμό 124 Για () t παράδειγμα, τα αξιώματα (i), (ii) και (iii) ισχύουν αφού ούτως ή άλλως είναι αληθή για την ομογενή διαδικασία Poisso Το αξίωμα (iv) ισχύει καθώς η πιθανότητα () t P{ένα γεγονός καταγράφεται στο ( t, t h)} P{ένα γεγονός στο ( t, t h)} o( h) () t h ( t) h o( h) Η ερμηνεία μιας μη ομογενούς διαδικασίας Poisso σαν δείγμα μιας ομογενούς μας δίνει έναν άλλο τρόπο κατανόησης της πρότασης 123 (ή, ισοδύναμα, δίνει έναν άλλο τρόπο για να αποδείξουμε ότι η Nt () της πρότασης 123 ακολουθεί κατανομή Poisso) 16

Στην περίπτωση της μη ομογενούς διαδικασίας Poisso παίρνει την πιο γενική μορφή N (0, T ] (0, T ]( ; 1,, N ) ( i ) i1 L N t t e t T exp( ( t) dt log ( t) N( dt)) T 0 0 Από αυτή την έκφραση, μπορούμε να δούμε ότι τα αποτελέσματα για μια μη στατική διαδικασία Poisso μπορούν να εξαχθούν από αυτά που αφορούν τη στατική περίπτωση από μία ντετερμινιστική αλλαγή του χρόνου t u( t) (0, t] Με άλλα λόγια, αν γράψουμε N( t) N(0, t] (για όλα τα διαδικασία N t N u t, 1 ( ) ( ( )) t 0) και ορίσουμε μία νέα σημειακή 1 τότε η Nt () έχει ρυθμό (0, t) u( u ( t)) t και είναι επομένως μία στατική Poisso διαδικασία 13 Η διαδικασία ανανέωσης 131 Εισαγωγή στη διαδικασία ανανέωσης Η διαδικασία ανανέωσης και οι διάφορες παραλλαγές της έχουν υπάρξει αντικείμενο εκτεταμένης έρευνας τόσο στο πεδίο των εφαρμογών (για παράδειγμα Cox,1962; Cox & Lewis,1966; Cox & Isham,1980) όσο και ως πηγή σημαντικών θεωρητικών προβλημάτων Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε πως οι ενδιάμεσοι χρόνοι άφιξης για την Poisso διαδικασία είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν εκθετική κατανομή Μία φυσική γενίκευση είναι να θεωρήσουμε μία απαριθμητή διαδικασία για την οποία οι ενδιάμεσοι χρόνοι άφιξης είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν μία τυχαία κατανομή Μία τέτοια απαριθμητή διαδικασία ονομάζεται διαδικασία ανανέωσης Τυπικά, έστω { X, 1,2,} μία ακολουθία μη αρνητικών ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών και υποθέτουμε ότι F(0) P{ X 0} 1 Η μεταβλητή X ερμηνεύεται ως ο χρόνος μεταξύ του ( 1) -οστού και του -οστού γεγονότος Έστω ότι συμβολίζουμε με [ X ] xdf( x) 0 17

τη μέση τιμή μεταξύ διαδοχικών γεγονότων Παρατηρούμε ότι από τις υποθέσεις ότι X 0 και F(0) 1, συνεπάγεται ότι 0 Ορίζοντας S0 0, S X, 1, i1 i Προκύπτει ότι S είναι ο χρόνος εμφάνισης του -οστού γεγονότος Καθώς το πλήθος των γεγονότων έως το χρόνο t ισούται με τη μεγαλύτερη τιμή του για την οποία συμβαίνει το -οστό γεγονός πριν ή στο χρόνο t, τότε η πλήθος των γεγονότων έως το χρόνο t, δίνεται από τη σχέση N( t) sup{ : S t} Nt (), δηλαδή το Ορισμός 131 Η απαριθμητή διαδικασία { N( t), t 0} ονομάζεται διαδικασία ανανέωσης (reewal process) Στο εξής θα χρησιμοποιούμε τους όρους γεγονότα και ανανεώσεις εναλλάξ, κι έτσι θα λέμε ότι η -οστή ανανέωση συμβαίνει στο χρόνο S Εφόσον οι ενδιάμεσοι χρόνοι άφιξης κατανέμονται ανεξάρτητα και ισόνομα, αυτό συνεπάγεται ότι σε κάθε ανανέωση η διαδικασία ξεκινάει από την αρχή Το πρώτο ερώτημα που τίθεται είναι εάν είναι δυνατό να συμβεί ένας άπειρος αριθμός αφίξεων σε πεπερασμένο χρόνο Για να δείξουμε ότι αυτό δεν είναι δυνατόν να συμβεί, σημειώνουμε ότι, σύμφωνα με τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών, με πιθανότητα 1, S καθώς Εφόσον όμως 0, αυτό σημαίνει ότι S θα πηγαίνει στο άπειρο, καθώς το θα πηγαίνει στο άπειρο Επομένως το S θα πρέπει να είναι μικρότερο ή ίσο του t για το πολύ έναν πεπερασμένο αριθμό τιμών του Επομένως το Nt () θα πρέπει να είναι πεπερασμένο, κι έτσι μπορούμε να γράψουμε N( t) max{ : S t} 18

132 Η κατανομή του N(t) Μπορούμε να αποκτήσουμε την κατανομή του, τουλάχιστον στη θεωρία, σημειώνοντας καταρχάς τη σημαντική σχέση ότι ο αριθμός των ανανεώσεων ως το χρόνο t είναι μεγαλύτερος ή ίσος του, αν και μόνο αν, η -οστή ανανέωση συμαβαίνει πριν ή μετά το χρόνο t Δηλαδή, Από την παραπάνω σχέση παίρνουμε P{ N( t) } P{ N( t) } P{ N( t) 1} P{ S t} P{ S t} 1 Εφόσον οι τυχαίες μεταβλητές N() t S t X i, i 1 i1 Nt (), είναι ανεξάρτητες και έχουν κοινή κατανομή F, συνεπάγεται ότι το S Xi ακολουθεί την κατανομή την -οστή συνέλιξη της F με τον εαυτό της Οπότε προκύπτει Έστω Η mt () P{ N( t) } F ( t) F ( t) m( t) E[ N( t)] 1 F, δηλαδή ονομάζεται συνάρτηση ανανέωσης, και το μεγαλύτερο μέρος της θεωρίας ανανέωσης αφορά τον καθορισμό των ιδιοτήτων της Η σχέση ανάμεσα στην την F δίνεται από την ακόλουθη πρόταση mt () και Πρόταση 231 Ισχύει mt () F () t 1 Απόδειξη Ισχύει N () t I, 1 όπου I 1 αν η -οστή ανανέωση συνέβη στο [0, t] 0 αλλιώς Έτσι, 19

E[ N( t)] E[ I] 1 1 1 1 1 EI [ ] PI { 1} P{ S t} F ( t), όπου η εναλλαγή μεταξύ της μέσης τιμής και του αθροίσματος δικαιολογείται από το γεγονός ότι οι I είναι μη αρνητικές Η επόμενη πρόταση δείχνει ότι η μέση τιμή του Nt () είναι πεπερασμένη Πρόταση 232 mt () για όλα τα 0 t Απόδειξη Εφόσον PX { 0} 1, συνεπάγεται από την ιδιότητα της συνέχειας για τις πιθανότητες ότι υπάρχει ένα 0 τέτοιο ώστε PX { } 0 Ορίζουμε στη συνέχεια τη θεωρία ανανέωσης { X, 1} με τη σχέση X 0 αν X αν X, και έστω N( t) sup{ : X1 X t} Είναι εύκολο να δούμε ότι για αυτή τη διαδικασία, οι ανανεώσεις γίνονται μόνο στους χρόνους t, 0,1,2,, και ότι ο αριθμός των ανανεώσεων σε καθέναν από αυτούς τους χρόνους είναι ανεξάρτητες, γεωμετρικές τυχαίες κατανομές με μέση τιμή Επομένως, 1 P{ X } t / 1 E[ N( t)] PX { } 20

και το αποτέλεσμα προκύπτει αφού X X συνεπάγεται ότι N( t) N( t) 133 Οριακά Θεωρήματα Έστω ότι με N( ) lim N( t) συμβολίζουμε το συνολικό αριθμό των ανανεώσεων t Τότε είναι εύκολο να δούμε ότι N( ) με πιθανότητα 1 Αυτό προκύπτει καθώς ο μόνος τρόπος για να είναι το N( ) πεπερασμένο είναι ένας από τους ενδιάμεσους χρόνους άφιξης να είναι άπειρος Επομένως, P{ N( ) } P{ X για κάποιο } 1 P{ { X }} 0 1 PX { } Άρα το πηγαίνει στο άπειρο, καθώς το t πηγαίνει στο άπειρο Ενδιαφέρον παρουσιάζει και ο ρυθμός με τον οποίο το πηγαίνει στο άπειρο Θεωρούμε την Nt () τυχαία μεταβλητή S N () t Nt () η οποία αντιπροσωπεύει το χρόνο της τελευταίας ανανέωσης πριν από ή στο χρόνο t Επομένως SN( t) 1 αντιπροσωπεύει το χρόνο της πρώτης ανανέωσης μετά το χρόνο t Πρόταση 133 Με πιθανότητα 1, Απόδειξη S t S, προκύπτει ότι Καθώς N ( t) N ( t) 1 Nt ( ) 1 καθώς t t SN ( t) t SN ( t) 1 N( t) N( t) N( t) 21

Ωστόσο, καθώς S () N() t είναι ο μέσος όρος των πρώτων N() t () N t Nt () Nt () Nt () ενδιάμεσων χρόνων άφιξης, προκύπτει από τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών ότι S N t καθώς Αλλά επειδή καθώς t, παίρνουμε ότι Επιπλέον, γράφοντας S N () t έχουμε με την ίδια συλλογιστική, Nt () καθώς t SN ( t) 1 SN ( t) 1 Nt ( ) 1 N( t) N( t) 1 N( t), S N ( t ) 1 καθώς t Nt () Το ζητούμενο αποτέλεσμα προκύπτει επομένως καθώς t N() t δύο αριθμούς, ο καθένας από τους οποίους συγκλίνει στο μ καθώς t βρίσκεται ανάμεσα σε Ουσιαστικά η παραπάνω πρόταση δείχνει ότι με πιθανότητα 1, ασυμπτωτικά ο ρυθμός με τον οποίο γίνονται οι ανανεώσεις είναι 1 Για το λόγο αυτό το 1 καλείται ρυθμός της διαδικασίας ανανέωσης Προτού προχωρήσουμε στο βασικό θεώρημα της θεωρίας ανανέωσης, θα χρειαστούμε μερικές έννοιες Έστω X1, X 2, μία ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών Ορισμός 132 N Μία τυχαία μεταβλητή που παίρνει ακέραιες τιμές ονομάζεται χρόνος στάσης (stoppig time) για την ακολουθία X1, X 2, αν το γεγονός { N } είναι ανεξάρτητο των X 1, X 2, για όλα τα 1,2, Θεώρημα 131 (Εξίσωση του Wald) Έστω X1, X 2, είναι ανεξάρτητες και ισόνομα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές με πεπερασμένες μέσες τιμές Αν N είναι ένας χρόνος στάσης για τις X1, X 2, τέτοιος ώστε EN [ ], τότε 22

N E[ X ] E[ N] E[ X ] 1 Απόδειξη Θέτοντας I 1 αν N 0 αν N, έχουμε ότι N X X I 1 1 Επομένως, N E X E X I E[ X I] 1 1 1 Η εναλλαγή της μέσης τιμής και του αθροίσματος δικαιολογείται αν αντικαταστήσουμε τη X i με την απόλυτη της τιμή Σε αυτή την περίπτωση, η εναλλαγή είναι εφικτή καθώς όλοι οι όροι είναι μη αρνητικοί Ωστόσο, αυτό συνεπάγεται ότι η αρχική εναλλαγή επιτρέπεται από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue Ωστόσο, I 1, αν και μόνο αν, δε σταματήσαμε αφού παρατηρήσαμε διαδοχικά τα X1, X 2,, X 1 Επομένως η I καθορίζεται από τις X1, X 2,, X 1 και είναι ανεξάρτητη από τη X Οπότε, από την παραπάνω σχέση, έχουμε ότι N E X E[ X ] E[ I] 1 1 E[ X ] E[ I ] 1 E[ X ] P{ N } 1 E[ X ] E[ N] X, X, συμβολίζουμε τους ενδιάμεσους χρόνους άφιξης μίας Έστω ότι με 1 2 διαδικασίας ανανέωσης και έστω ότι σταματάμε στην πρώτη ανανέωση μετά το 23

χρόνο t - δηλαδή στην ανανέωση Nt ( ) 1 Nt ( ) 1 είναι πράγματι χρόνος στάσης για την ακολουθία N( t) 1 N( t) 1 Για να επαληθεύσουμε ότι πράγματι η X i 1 2 1 1 2, επισημαίνουμε ότι X X X t, X + X ++ X > t Επομένως το γεγονός { N( t) 1 } εξαρτάται μόνο από τα X1, X 2,, X και είναι ανεξάρτητο από τα X 1, Αυτό σημαίνει ότι Από την εξίσωση του Wald παίρνουμε ότι, όταν 1 Nt ( ) 1 Nt ( ) 1 EX [ ] E[ X X ] E[ X] E[ N( t) 1], ή, ισοδύναμα, έχουμε το ακόλουθο πόρισμα είναι ένας χρόνος στάσης, Πόρισμα 131 Αν, τότε E[ S ] [ m( t) 1] Nt ( ) 1 Θεώρημα 132 (Το στοιχειώδες θεώρημα ανανέωσης-the Elemetary Reewal Theorem) Απόδειξη Υποθέτουμε πρώτα ότι Ισχύει mt ( ) 1 καθώς t t S N( t) 1 t Παίρνοντας μέσες τιμές και χρησιμοποιώντας το πόρισμα 131 προκύπτει που συνεπάγεται ότι ( m( t) 1) t, mt ( ) 1 limif t t Από την αντίθετη κατεύθυνση, σταθεροποιούμε μία σταθερά M, και ορίζουμε μία καινούρια διαδικασία ανανέωσης { X, 1, 2,} ως εξής 24

X X αν X M M αν X < M 1,2, Έστω S X και N ( t) sup{ : S t} Εφόσον οι ενδιάμεσοι χρόνοι άφιξης για i1 i αυτή την αποκομμένη θεωρία ανανέωσης φράσσονται από τη σταθερά M, παίρνουμε S N( t) 1 t M Οπότε, από το Πόρισμα 131 όπου EX [ ] Επομένως, M ( m( t) 1) t M, M mt ( ) 1 lim sup t t Αφήνοντας M, προκύπτει mt ( ) 1 lim sup t t M Οπότε, τελικά mt ( ) 1 t Αντίστοιχα, όταν, θεωρούμε και πάλι την αποκομμένη θεωρία ανανέωσης Και πάλι το αποτέλεσμα προκύπτει εφόσον M καθώς M 25

14 Σημειακές Διαδικασίες 141 Εισαγωγή στις Σημειακές Διαδικασίες Όπως αναφέρθηκε στις προηγούμενες ενότητες, οι διαδικασίες Poisso και οι διαδικασίες ανανέωσης είναι κάποιες βασικές ειδικές μορφές των σημειακών διαδικασιών Για τη θεώρηση τους, χρησιμοποιήθηκε η έννοια της απαριθμητής διαδικασίας Μία σημειακή διαδικασία στον άξονα των πραγματικών αριθμών μπορεί επίσης να περιγραφεί ως μία ακολουθία μη αρνητικών τυχαίων μεταβλητών, ή ως ένα τυχαίο μέτρο Μία από τις βασικές έννοιες που αφορούν τη μελέτη μιας σημειακής διαδικασίες είναι αυτή της στατικότητας (statioarity) Η ιδιότητα αυτή σημαίνει ουσιαστικά πως η κατανομή των σημείων σε ένα διάστημα εξαρτάται από το μήκος του και όχι από τη θέση του, δηλαδή η πιθανότητα p ( x) Pr{ N( t, t x] k} ( x 0, k 0,1,) k εξαρτάται από το μήκος x και όχι από τη θέση t Ορισμός 141 Μία σημειακή διαδικασία είναι στατική όταν για κάθε r 1, 2, και για όλα τα φραγμένα σύνολα Borel του άξονα των πραγματικών αριθμών, η κοινή κατανομή δεν εξαρτάται από το χρόνο t N( A t,, N( A t) ( t ) 1 r Ένας φυσικός τρόπος να μετρήσουμε τη μέση πυκνότητα των σημείων μίας σημειακής διαδικασίας είναι μέσω της μέσης τιμής της, ή στην περίπτωση μίας στατικής σημειακής διαδικασίας, μέσω της μέσης πυκνότητας της (mea desity), την οποία ορίζουμε ως Ορίζοντας τη συνάρτηση έχουμε για xy, 0, m E( N(0,1]) M ( x) E( N(0, x]), M ( x y) E( N(0, x y]) E( N(0, x]) N( x, x y]) E( N(0, x]) E( N( x, x y]) E( N(0, x]) E( N(0, y]) M ( x) M ( y) Με άλλα λόγια, η () M είναι μία μη αρνητική συνάρτηση που ικανοποιεί τη συναρτησιακή εξίσωση του Cauchy 26

M ( x y) M ( x) M ( y) (0 x, y ) Από την ιδιότητα της γραμμικότητας των φραγμένων σε πεπερασμένα διαστήματα προσθετικών συναρτήσεων (additive fuctios) όμως ισχύει ανεξάρτητα από το αν η M ( x) M (1) x mx (0 x ), M( x) είναι πεπερασμένη ή άπειρη για πεπερασμένο x 0 Υπάρχει κι άλλος ένας φυσικός τρόπος να μετρήσουμε το ρυθμό πραγματοποίησης των σημείων μιας στατικής σημειακής διαδικασίας, που οφείλεται στον Khichi (1995) Πρόταση 141 (Θεώρημα ύπαρξης του Khichi) Για μία στατική σημειακή διαδικασία, το όριο Pr{ N(0, h] 0} λ= lim h0 h υπάρχει πάντα με την ευρεία έννοια, δηλαδή μπορεί να είναι άπειρο Απόδειξη Θεωρούμε τη συνάρτηση ( x) Pr{ N(0, x] 0} Καθώς το x 0, ( x) 0 και η γιατί για xy, 0, ισχύει ( )είναι υποπροσθετική (subadditive) στο [0, ) ( x y) Pr{ N(0, x y] 0} Pr{ N(0, x] 0} Pr{ N(0, x] 0, N( x, x y] 0} Pr{ N(0, x] 0} Pr{ N( x, x y] 0} ( x) ( y) Η απόδειξη της πρότασης ολοκληρώνεται με τη βοήθεια του παρακάτω λήμματος Λήμμα 141 Για μία υποπροσθετική συνάρτηση g () η οποία είναι φραγμένη σε πεπερασμένα διαστήματα, το gx ( ) if είναι πεπερασμένο ή, και x0 x gx ( ) ( x ) x 27

Η παράμετρος ονομάζεται θετικός ρυθμός των αφίξεων (itesity) της σημειακής διαδικασίας 142 Συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων και Πιθανοφάνεια Μέχρι τα τέλη του 1960 οι συναρτήσεις πιθανοφάνειας για τις περισσότερες σημειακές διαδικασίες ήταν ένα πρόβλημα δισεπίλυτο Με τις καινοτόμες όμως δημοσιεύσεις πάνω στη θεωρία φιλτραρίσματος (filterig theory) των ηλεκτρολόγων μηχανολόγων εισήχθη μία διαφορετική προσέγγιση Αυτή η προσέγγιση οδήγησε στην έννοια της υπο συνθήκη συνάρτησης του θετικού ρυθμού των αφίξεων (coditioal itesity fuctio) Μόλις αναγνωρίστηκε, σύντομα αξιοποιήθηκε ο ρόλος της στην αποσαφήνιση της δομής των πιθανοφανειών των σημειακών διαδικασιών Για παράδειγμα, γενικοί ορισμοί της υπό συνθήκης συνάρτησης του θετικού ρυθμού των αφίξεων δόθηκαν από τον Rubi (1972) και τον Bremaud (1972) στην εργασία του οποίου οι ορισμοί της υπό συνθήκης συνάρτησης του θετικού ρυθμού των αφίξεων δόθηκαν αυστηρά και εφαρμόστηκαν στην πιθανοφάνεια και σε άλλα προβλήματα Ακόμα νωρίτερα, ο Gaver (1962) εισήγαγε την ίδια ιδέα μέσω της συνάρτησης κινδύνου (hazard fuctio) Τις τελευταίες δύο δεκαετίες οι ιδέες αυτές αναπτύχθηκαν συστηματικά και εφαρμόστηκαν σε προβλήματα σε διάφορα πεδία, ιδιαίτερα σε συνδυασμό με την προσομοίωση και την πρόγνωση σημειακών διαδικασιών Το σημείο κλειδί στη μελέτη των σημειακών διαδικασιών είναι να θεωρήσουμε πως η σημειακή διαδικασία έχει εξελικτικό (evolutioary) χαρακτήρα, δηλαδή σε κάθε χρονική στιγμή, ο τρέχων κίνδυνος (curret risk), που είναι η άτυπη ορολογία για την υπό συνθήκη συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων, θα πρέπει να εκφράζεται αναλυτικά με βάση την ιστορία της διαδικασίας Πολλές απλές σημειακές διαδικασίες στο χρόνο, συμπεριλαμβανομένων στατικών και μη στατικών σημειακών διαδικασιών, διαδικασιών ανανέωσης, διαδικασιών Wald και Hawkes, ανήκουν σε αυτή την κατηγορία Το ίδιο συμβαίνει και με επαυξημένες σημειακές διαδικασίες (marked poit processes) στο χρόνο, όπως επίσης και στο χώρο-χρόνο, με την προϋπόθεση ότι οι κατανομές των ενδείξεων (marks), των θέσεων, όπως επίσης και του τρέχοντος κινδύνου εκφράζονται αναλυτικά με βάση το παρελθόν Στην ενότητα αυτή θα μελετήσουμε την πιθανοφάνεια σημειακών διαδικασιών με βάση τις πυκνότητες Jaossy (Jaossy desities) Προτού συμβεί αυτό όμως θα δώσουμε τους ορισμούς της έννοιας της υπό συνθήκης συνάρτησης του θετικού ρυθμού των αφίξεων και της ταυτόσημης έννοιας από την ανάλυση επιβίωσης, δηλαδή της συνάρτησης κινδύνου 28

Ορισμός 142 Η συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων (itesity fuctio) για μία σημειακή διαδικασία ορίζεται από τη σχέση Nt () () t lim ( t) 0 P{ N( t ( t)) N( t) 1} () t Η ιστορία ή φιλτράρισμα (history ή filtratio) H t μίας απαριθμητής διαδικασίας περιλαμβάνει όλα όσα γνωρίζουμε έως το χρόνο t Συγκεκριμένα η ιστορία περιλαμβάνει τις τιμές των τυχαίων μεταβλητών που είναι γνωστές ως τη χρονική στιγμή t αλλά χωρίς αυτή Ορισμός 143 Η υπό συνθήκη συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων (coditioal itesity fuctio) δίνεται από τη σχέση όπου * ( t) ( t / H ) t lim ( t) 0 H t η ιστορία της διαδικασίας ως το χρόνο t P{ N ( t ( t)) N ( t) 1/ H t}, () t Από το Θεώρημα Ύπαρξης του Khichi το όριο αυτό υπάρχει Άρα για ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα η ποσότητα * ( t) ( t) παριστάνει την πιθανότητα μίας ή περισσότερων αφίξεων στο διάστημα ( t, t ( t)) () t Υποθέτοντας όμως ότι σε ένα χρονικό διάστημα μήκους δεν μπορούμε να έχουμε ταυτόχρονες αφίξεις, η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός στο διάστημα ( t, t ( t)) δεδομένης της ιστορίας της διαδικασίας, μπορεί να γραφεί ως εξής () t P N t t N t H t t * { ( ( )) ( ) 1/ t} ( ) ( ) Προτού προχωρήσουμε στην έννοια της συνάρτησης κινδύνου, θα κάνουμε μία εισαγωγή στην Ανάλυση Επιβίωσης (Survival Aalysis) Έστω μία μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή X που αντιπροσωπεύει το χρόνο αναμονής (waitig time) έως την πραγματοποίηση του επόμενου γεγονότος Θεωρούμε ότι η X είναι συνεχής τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probability desity fuctio) f ( t ) Η τυχαία μεταβλητή ορίζεται μοναδικά από τη σππ 29

Σημαντική είναι επίσης και η έννοια της αθροιστικής συνάρτησης κατανομής της (cumulative desity fuctio) X t F( t) P{ X t} f ( u) du, που αντιπροσωπεύει την πιθανότητα ένα γεγονός να έχει συμβεί ως το χρόνο t Στην ανάλυση επιβίωσης μας ενδιαφέρει συνήθως η «ουρά» της κατανομής, δηλαδή η πιθανότητα να μην έχει συμβεί ένα γεγονός ως τη χρονική στιγμή Η πιθανότητα αυτή δίνεται από τη συνάρτηση επιβίωσης (survival fuctio), που είναι ουσιαστικά το συμπλήρωμα της ασκ S( t) 1 F( t) P{ X t} f ( u) du Είναι προφανές ότι η συνάρτηση επιβίωσης είναι φθίνουσα συνάρτηση του χρόνου Ισχύει 0 t t S(0) 1 και lim St ( ) 0 t Τώρα είμαστε σε θέση να δώσουμε τον ορισμό της βασικής έννοιας που μας απασχολεί, της συνάρτησης κινδύνου (hazard fuctio ή hazard rate) Υπολογίζεται από τη σχέση P( t X t t / X t) ht ( ) lim t t Ο αριθμητής εκφράζει τη δεσμευμένη πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός στο χρονικό διάστημα [ t, t t), δεδομένου ότι δεν έχει συμβεί νωρίτερα, ενώ ο παρονομαστής αποτελεί το πλάτος του διαστήματος Διαιρώντας αυτές τις δύο ποσότητες παίρνουμε το ρυθμό πραγματοποίησης ενός γεγονότος στη μονάδα του χρόνου, ενώ παίρνοντας το όριο αυτού του πηλίκου καθώς το πλάτος t 0, προκύπτει ο στιγμιαίος ρυθμός πραγματοποίησης του γεγονότος Η δεσμευμένη πιθανότητα στη συνάρτηση κινδύνου μπορεί να γραφεί P( t X t t) F( t t) F( t) P( t X t t / X t) P( X t) S( t) Επομένως, σύμφωνα με τα παραπάνω, η συνάρτηση κινδύνου θα ισούται με F( t t) F( t) 1 ht ( ) lim t t S() t Όμως από τον ορισμό της παραγώγου η ποσότητα F( t t) F( t) lim t t 30

αποτελεί την παράγωγο της Ft () ως προς το χρόνο, δηλαδή τη σππ f () t Τελικά, f() t ht (), St () που αποτελεί έναν εναλλακτικό ορισμό της συνάρτησης κινδύνου Από τον ορισμό της συνάρτησης επιβίωσης προκύπτει ότι η f() t είναι η παράγωγος της St () Άρα από τον προηγούμενη σχέση t d h( t) log S( t) dt Ολοκληρώνοντας από 0 έως για να πάρουμε έναν τύπο για την πιθανότητα επιβίωσης ως το χρόνο t σαν συνάρτηση του κινδύνου έχουμε S( t) exp{ h( u) du} t Το ολοκλήρωμα μέσα στο άγκιστρο ονομάζεται αθροιστικός κίνδυνος (cumulative hazard ή cumulative risk) και συμβολίζεται t H( t) h( u) du 0 Μπορεί να ερμηνευθεί ως το άθροισμα των κινδύνων για το χρονικό διάστημα 0 έως t Τα αποτελέσματα αυτά δείχνουν πως η συνάρτηση επιβίωσης και η συνάρτηση κινδύνου αποτελούν εναλλακτικούς αλλά ισοδύναμους χαρακτηρισμούς της κατανομής της Δεδομένης της συνάρτησης επιβίωσης μπορούμε να παραγωγίσουμε για να πάρουμε την πυκνότητα και να υπολογίσουμε στη συνέχεια τη συνάρτηση κινδύνου Δεδομένης της συνάρτησης κινδύνου μπορούμε να ολοκληρώσουμε για να πάρουμε τον αθροιστικό κίνδυνο και μέσω αυτού της συνάρτησης επιβίωσης X Για παράδειγμα, έστω η πιο απλή περίπτωση όπου ο κίνδυνος είναι σταθερός, δηλαδή ht () για όλα τα t Η αντίστοιχη συνάρτηση επιβίωσης είναι S( t) exp{ t} Η κατανομή αυτή ονομάζεται εκθετική με παράμετρο Μπορούμε να βρούμε την πυκνότητα πολλαπλασιάζοντας τη συνάρτηση κινδύνου με τη συνάρτηση επιβίωσης, δηλαδή Η μέση τιμή επομένως είναι 1 f ( t) exp{ t} 0 31

Επιστρέφοντας στην έννοια της πιθανοφάνειας μίας σημειακής διαδικασίας, πρέπει να επισημάνουμε ότι στην αρχή τουλάχιστον, δεν αντιμετωπίζουμε ιδιαίτερες δυσκολίες ως προς τη διαχείριση της Δεδομένης μίας πραγματοποίησης (,, ) x1 x κάποιο υποσύνολο A του χώρου των καταστάσεων Χ, απαιτούμε την κοινή πυκνότητα πιθανότητας (joit probability desity) των xi, σε σχέση με κάποιο βολικό μέτρο αναφοράς Στην περίπτωση που, το μέτρο αυτό είναι το -οστό γινόμενο των μέτρων Lebesgue στον Ως συνήθως, η πιθανοφάνεια θα πρέπει να θεωρείται σαν μία συνάρτηση των παραμέτρων που ορίζουν την κοινή πυκνότητα και όχι σαν μία συνάρτηση των xi και του, τα οποία θεωρούνται δεδομένα Η πυκνότητα αντιπροσωπεύει την πιθανότητα να βρούμε σημεία σε καθεμία από τις θέσεις xi, και πουθενά αλλού μέσα στο Επομένως δεν είναι παρά η τοπική πυκνότητα Jaossy (local Jaossy desity) j( x1,, x A ) για μία σημειακή διαδικασία περιορισμένη στο A d = A d σε Ορισμός 144 Δεδομένου ενός φραγμένου συνόλου Borel, μία σημειακή διαδικασία στον ονομάζεται κανονική στο, αν για όλους τους ακεραίους τοπικά μέτρα Jaossy Jk( dx1 dx A) είναι απόλυτα συνεχή σε σχέση με το μέτρο Lebesgue m στο A Η σημειακή διαδικασία ονομάζεται κανονική (regular) αν είναι κανονική στο A για όλα τα φραγμένα σύνολα Borel = d Για τα τοπικά μέτρα Jaossy ισχύει A A dx dx A) P{ακριβώς σημεία στο A στις θέσεις dx, dx } 1 1 N d N k 1 τα Ορισμός 145 Η πιθανοφάνεια μιας πραγματοποίησης διαδικασίας σε ένα φραγμένο σύνολο Borel πυκνότητα Jaossy x,, 1 x μίας κανονικής σημειακής d A, όπου N( A), είναι η τοπική L ( x,, x ) j ( x,, x / A) A 1 1 Χάριν ευκολίας, συχνά συμβολίζουμε L αντί L A d Έστω για παράδειγμα η πεπερασμένη μη ομογενής διαδικασία Poisso στο A Υποθέτουμε ότι η διαδικασία έχει μέτρο έντασης (itesity measure) () με πυκνότητα ( x) αναφορικά με το μέτρο Lebesgue στον 32 d Ο συνολικός αριθμός των σημείων στο A ακολουθεί κατανομή Poisso με μέση τιμή ( ) A και ότι με δεδομένο τον συνολικό αριθμό N αυτών των σημείων, τα σημεία είναι ανεξάρτητα

και ισόνομα κατανεμημένα (iid) στο Υποθέτουμε ότι παρατηρούμε τα σημεία 33 A {,, } x1 x με κοινή πυκνότητα ( x) ( A) μέσα στο A, με N( A) αυτή την περίπτωση, μπορούμε να υποθέσουμε ότι χωρίς περιορισμό της γενικότητας, καθώς υποθέτουμε ότι η ιδιότητα της πλήρους ανεξαρτησίας (complete idepedece property) διασφαλίζει ότι η συμπεριφορά μέσα στο A δεν επηρεάζεται από τη συμπεριφορά της διαδικασίας εκτός του Στη συνέχεια, παίρνοντας λογαρίθμους της πυκνότητας Jaossy, προκύπτει για τη λογαριθμική πιθανοφάνεια 1 = A, log L( x,, x ) log ( x ) ( x) dx A i i1 A Η παραπάνω εξίσωση είναι βασική στη θεωρία πιθανοφάνειας μίας εξελικτικής διαδικασίας Πολλές φορές σε γενικούς χώρους δεν υπάρχουν εύκολοι τρόποι εκτίμησης των πιθανοφανειών των σημειακών διαδικασιών Ευτυχές και αξιοσημείωτο επομένως είναι το γεγονός πως στην ειδική και σημαντική περίπτωση όπου είναι διαθέσιμη μία εναλλακτική προσέγγιση για την περιγραφή της διαδικασίας μέσω διαδοχικών υπό συνθήκη σχέσεων (coditioigs) = Υποθέτουμε ότι η παρατήρηση της διαδικασίας λαμβάνει χώρα στο διάστημα A [0, T] έτσι ώστε τα αποτελέσματα να περιγράφονται σε όρους σημειακής διαδικασίας στον Σε Συμβολίζουμε με { t1,, t N( T) } το διατεταγμένο σύνολο σημείων που συναντώνται στο σταθερό διάστημα (0, T ) Τα ti, καθώς και τα διαστήματα i ti ti 1, i 1, t0 0, επιλέγονται έτσι ώστε να είναι καλώς ορισμένες τυχαίες μεταβλητές Υποθέτουμε ότι η σημειακή διαδικασία είναι κανονική στο (0, T ), έτσι ώστε να υπάρχουν όλες οι πυκνότητες Jaossy jk () Υποθέτουμε επίσης t 0, αυτή ότι αν υπάρχει κάποια εξάρτηση των γεγονότων πριν τη χρονική στιγμή λαμβάνεται υπόψη στις πυκνότητες Jaossy Χάριν απλότητας, χρησιμοποιούμε το συμβολισμό j( t1, t u ) για την τοπική πυκνότητα Jaossy στο διάστημα (0, u ) και J ( u ) 0 αντί J 0 ((0, u )) Εισάγουμε τώρα τις υπό συνθήκη συναρτήσεις επιβίωσης S ( u t,, t ) Pr{ u t,, t } και παρατηρούμε ότι αυτές μπορούν να k 1 k1 k 1 k 1 αντιπροσωπευθούν αναδρομικά με βάση τις (τοπικές) συναρτήσεις Jaossy μέσω των εξισώσεων S ( u) J ( u) (0 u T), 1 0 S2( u t1) p1 ( t1) j1 ( t1 t1 u) (0 t1 t1 u T ), S3( u t1, t2) p2( t2 t1) j2( t1, t2 t2 u) (0 t1 t2 t2 u T), και ούτω καθεξής, όπου p1 ( t), p2( t t 1), είναι οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας που αντιστοιχούν στις συναρτήσεις επιβίωσης S1( u), S2( u, t 1), Το

γεγονός ότι οι πυκνότητες αυτές υπάρχουν προκύπτει από την υπόθεση της κανονικότητας της σημειακής διαδικασίας Αυτό φαίνεται πιο ξεκάθαρα και από την επόμενη πρόταση Πρόταση 142 Για μία κανονική σημειακή διαδικασία στον =, υπάρχει μία μοναδικά ορισμένη οικογένεια υπό συνθήκη συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας p( t t1,, t 1) και των αντίστοιχων συναρτήσεων επιβίωσης t S ( t t,, t ) 1 p ( u t,, t ) du ( t t ) 1 1 1 1 1 t1 ορισμένες στο 0 t1 t 1 t, έτσι ώστε κάθε πιθανότητα p( t1,, t 1) να έχει στήριγμα (support) στο, και για όλα τα διαστήματα [0, ] με T (, ) t 1 T 0 να ισχύει J ( T) S ( T), 0 1 j ( t,, t T) j ( t,, t (0, T)) 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 και για όλα τα πεπερασμένα p ( t ) p ( t t ) p ( t t,, t ) S ( T t,, t ), όπου 0 t1 t T μπορεί να θεωρηθεί ως το στατιστικό διάταξης των σημείων μιας πραγματοποίησης μιας σημειακής διαδικασίας στο [0, T ] Αντίστροφα, δεδομένης μίας οποιασδήποτε οικογένειας υπό συνθήκη συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας για όλα τα μίας κανονικής σημειακής διαδικασίας στον t 0 οι παραπάνω εξισώσεις ορίζουν μοναδικά την κατανομή Μπορούμε να κάνουμε μία αλλαγή στη θεώρησή μας χωρίς βλάβη της γενικότηατας Αντί να καθορίζουμε απευθείας τις υπό συνθήκη συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας p(, ) τις εκφράζουμε μέσω των αντίστοιχων συναρτήσεων κινδύνου h ( t t,, t ) 1 1 p( t t1,, t 1) S ( t t,, t ) 1 1 έτσι ώστε p ( t t,, t ) h ( t t,, t )exp( h ( u t,, t ) du) 1 1 1 1 1 1 t1 Δεδομένης μίας ακολουθίας {} t i με 0 t1 t, ορίζουμε ένα σύνολο συναρτήσεων κινδύνου ως εξής t 34

* h1( t) (0 t t1), ( t) h ( t t1,, t 1) ( t 1 t t, 2) Ορισμός 146 Η υπό συνθήκη συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων για μία κανονική σημειακή διαδικασία στον στην παραπάνω σχέση είναι η συνάρτηση * () t που ορίστηκε τμηματικά Πρέπει να δοθεί προσοχή στον γενικό ορισμό των συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας προκειμένου να καθοριστεί η πληροφορία στην οποία βασίζεται η δέσμευση Αυτή συμβατικά συνοψίζεται από μία σ-άλγεβρα γεγονότων Στην υπό συνθήκη συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων που ορίστηκε παραπάνω, η συνθήκη ορίζεται με βάση την ελάχιστη σ-άλγεβρα που είναι συνεπής με τις παρατηρήσεις της διαδικασίας, δηλαδή τη σ-άλγεβρα που παράγεται από το παρατηρούμενο παρελθόν της διαδικασίας Η υπό συνθήκη συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων έτσι όπως ορίζεται εδώ ακολουθεί την ορολογία του Bremaud (1981) Μπορούμε να κατανοήσουμε διαισθητικά την έννοια της υπό συνθήκη συνάρτησης του θετικού ρυθμού των αφίξεων ως εξής όπου H t * ( t) dt E[ N( dt) H t ], είναι η σ-άλγεβρα των γεγονότων που συνέβησαν ως τη χρονική στιγμή t, χωρίς αυτή να συμπεριλαμβάνεται Επομένως η υπό συνθήκη συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων μπορεί να ερμηνευθεί ως ο υπό συνθήκη κίνδυνος (coditioal risk) πραγματοποίησης ενός γεγονότος στο χρόνο t, δεδομένης της πραγματοποίησης της διαδικασίας στο διάστημα [0, t ) Αυστηρά, ο συμβολισμός θα έπρεπε να αντικατοπτρίζει το γεγονός ότι η * () είναι μία συνάρτηση * ( t,, t N t της ) ιστορίας της σημειακής 1 ( ) διαδικασίας, ή ακόμα πιο γενικά ότι είναι η ίδια μία στοχαστική διαδικασία * ( t, ) που εξαρτάται από το ω μέσω της πραγματοποίησης { t1( ),, t N ( )} της ιστορίας έως το χρόνο t Ο όρος υπό συνθήκη κίνδυνος (coditioal risk ή rate fuctio ή hazard fuctio), ακόμη κι αν παραλείπεται η λέξη υπό συνθήκη, χρησιμοποιείται για την περιγραφή της * () όπως ορίστηκε προηγουμένως Είναι το κλειδί τόσο για την ανάλυση της πιθανοφάνειας όσο και για την επίλυση προβλημάτων πρόγνωσης, φιλτραρίσματος και προσομοίωσης σημειακών διαδικασιών στη θετική ημιευθεία Όπως ακριβώς οι συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας στη θεωρία μπορούν να προσδιοριστούν μόνο μέχρι τις τιμές του σε ένα σύνολο μέτρου Lebesgue μηδέν, έτσι τίθεται θέμα μοναδικότητας κατά τον ορισμό της * () Σε όλα τα πρακτικά ζητήματα οι πυκνότητες p( ) θα είναι τουλάχιστον τμηματικά συνεχείς, και η μοναδικότητας 35

τους μπορεί να διασφαλιστεί στη συνέχεια παίρνοντας για παράδειγμα το αριστερό όριο * ( t) αντί για τη * () t Ο λόγος για τον οποίο χρησιμοποιούμε την αριστερή συνέχεια συνδέεται με την προβλεψιμότητα (predictability): αν η υπό συνθήκη συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων έχει μία ασυνέχεια σε ένα σημείο της διαδικασίας, τότε η τιμή της σε αυτό το σημείο καθορίζεται από την ιστορία πριν από αυτό το σημείο και όχι από το τι συμβαίνει στο ίδιο το σημείο Αυτό συνεπάγεται από τον τρόπο με τον οποίο ορίζονται οι συναρτήσεις κινδύνου και είναι κρίσιμο για το σωστό ορισμό της πιθανοφάνειας, καθώς είναι η πυκνότητα για το διάστημα που προηγείται ενός σημείου που εμφανίζεται στην πιθανοφάνεια, και όχι η καινούρια πυκνότητα, η οποία λαμβάνεται υπόψη αφότου έχει συμβεί ένα γεγονός Πρόταση 143 Έστω N μία κανονική σημειακή διαδικασία στο θετικό T, και έστω ότι με [0, T ] t,, t NT 1 ( ) [0, T ] για κάποιο πεπερασμένο συμβολίζουμε μία πραγματοποίηση της N Τότε η πιθανοφάνεια L της σημειακής διαδικασίας εκφράζεται στη μορφή N( T) T * * L ( ti ) exp ( u) du i1 0 στο Απόδειξη Αρχικά εκφράζουμε τις πυκνότητες Jaossy με βάση τις υπό συνθήκη πυκνότητες p ( t t,, t ) Έχουμε 1 1 J ( u) S ( u) Pr{ u} 0 1 1 j ( t t u) S ( u t ) p ( t ) Pr{ u t } p ( t ) 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 j ( t, t t u) S ( u t, t ) p ( t t ) Pr{ u t, t } p ( t t ) 2 1 2 2 3 1 2 2 2 1 3 1 2 2 2 1 κοκ Όμως όπως έχουμε αναφέρει προηγουμένως οι υπό συνθήκη συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας p( t t1,, t 1) σε συνδυασμό και με τις αντίστοιχες συναρτήσεις επιβίωσης S( t t1,, t 1) μας δίνουν τις υπό συνθήκη συναρτήσεις κινδύνου h ( t t,, t ) από τη σχέση 1 1 Έτσι, προκύπτει h ( t t,, t ) 1 1 p ( t t,, t ) S ( t t,, t ) 1 1 1 1 36

p ( t t,, t ) h ( t t,, t ) S ( t t,, t ) 1 1 1 1 1 1 p ( t t,, t ) h ( t t,, t )exp( h ( u t,, t ) du) 1 1 1 1 1 1 t1 t Όμως * h1( t) (0 t t1), ( t) h ( t t1,, t 1) ( t 1 t t, 2) Άρα t * * p( t t1,, t 1) ( t)exp ( u) du t1 Η συνάρτηση πιθανοφάνειας ορίζεται ως το γινόμενο των υπό συνθήκη συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας, δηλαδή N( T) L pi( t t1, ti 1) i1 N( T) ti * * ( ti ) exp ( u) du i1 ti1 N ( T ) N ( T ) t i * * ( ti ) exp ( u) du i1 i1 ti1 N( T) ( ) t N T i * * ( ti ) exp ( u) du i1 i1 ti1 N( T) T * * ( ti ) exp ( u) du i1 0 Όσο για τη λογαριθμική πιθανοφάνεια, παίρνει τη μορφή L t u du N( T) T * * log log ( i) exp ( ) i1 0 N( T) T * * log ( ti ) ( ) i1 0 N( T) T * * log ( ti ) ( ) i1 0 u du u du 37

Μία σημαντική συνέπεια στην κατασκευή που χρησιμοποιήθηκε στην παραπάνω απόδειξη είναι το γεγονός ότι η υπό συνθήκη συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων καθορίζει την οικογένεια των υπό συνθήκη συναρτήσεων κινδύνου και αυτές με τη σειρά τους καθορίζουν τις πυκνότητες Jaossy Πρόταση 144 Έστω N μία κανονική σημειακή διαδικασία στον Τότε η υπό συνθήκη συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων καθορίζει μοναδικά τη δομή πιθανότητας της σημειακής διαδικασίας 143 Επαυξημένες Σημειακές Διαδικασίες (Marked Poit Processes) Σε πολλά μοντέλα στοχαστικών διαδικασιών, μία σημειακή διαδικασία ενδέχεται να μην είναι το κυρίαρχο αντικείμενο της μελέτης αλλά να αποτελεί κομμάτι ενός πιο πολύπλοκου μοντέλου Αν και παραδοσιακά τα σημεία μιας σημειακής διαδικασίας θεωρούνται αδιαχώριστα από χρόνους ή τις θέσεις τους, συχνά υπάρχει επιπλέον πληροφορία που πρέπει να αποθηκευτεί μαζί με το κάθε σημείο Για παράδειγμα, ενδέχεται κάποιος να θέλει να αναλύσει μία λίστα σημείων στο χρόνο και στο χώρο όπου ένα μέλος από ένα συγκεκριμένο είδος παρατηρήθηκε σε συνδυασμό με την ηλικία ή το μέγεθος του οργανισμού, ή εναλλακτικά έναν κατάλογο χρόνων άφιξης και θέσεων από τυφώνες σε συνδυασμό με την ποσότητα των καταστροφών που έχουν προκαλέσει Στην περίπτωση των σεισμών, ενδέχεται να θέλουμε να αναλύσουμε ένα σύνολο χρόνων στους οποίους συνέβησαν σεισμοί σε συνδυασμό με τις αντίστοιχες πτώσεις τάσης Τέτοιες διαδικασίες ονομάζονται επαυξημένες σημειακές διαδικασίες (marked poit processes) Είναι δηλαδή μια τυχαία συλλογή σημείων όπου κάθε σημείο συνδέεται με μια επιπλέον τυχαία μεταβλητή που ονομάζεται ένδειξη (mark) Επομένως για κάθε επαυξημένη σημειακή διαδικασία, οι θέσεις { x i } όπου συμβαίνουν τα γεγονότα αποτελούν μία σημειακή διαδικασία Τα x i ενδέχεται να συμβολίζουν χρόνους, αλλά μπορούν επίσης να είναι δισδιάστατες ή τρισδιάστατες Στο εξής η διαδικασία αυτή θα συμβολίζεται N Ακολουθεί ο αυστηρός ορισμός της επαυξημένης σημειακής διαδικασίας g Ορισμός 147 (a) Μία επαυξημένη σημειακή διαδικασία με θέσεις στον πλήρη αδιαχώριστο μετρικό χώρο και ενδείξεις στον K είναι μία σημειακή διαδικασία {( x, k )} στον K με την επιπλέον ιδιότητα ότι η διαδικασία N () είναι i i 38 g

και αυτή σημειακή διαδικασία, δηλαδή για ένα φραγμένο N ( A) N( A K ) g AB X (b) Μία πολυμεταβλητή (ή πολλαπλού τύπου) σημειακή διαδικασία είναι μία επαυξημένη σημειακή διαδικασία με χώρο ενδείξεων (mark space) το πεπερασμένο σύνολο {1,, } για κάποιο πεπερασμένο ακέραιο m m, Ορισμός 148 Έστω N μία κανονική επαυξημένη σημειακή διαδικασία στον K Η υπό συνθήκη συνάρτηση του θετικού ρυθμού των αφίξεων για την N, σε σχέση με την ιστορία της διαδικασίας παρακάτω σχέση H είναι η συνάρτηση * ( t, ) που ορίζεται από την h ( t) f ( t) (0< t t ) 1 1 1 (, ) ( (, ),,(, )), f( ( t1, 1),,( t 1, 1), t) ( t 1 t t, 2) * t h t t1 1 t 1 1 όπου h() t 1 είναι η συνάρτηση κινδύνου για τη θέση του αρχικού σημείου, h2 ( t ( t1, 1) η συνάρτηση κινδύνου για τη θέση του δεύτερου σημείου δεδομένης της θέσης του πρώτου σημείου και της τιμής της πρώτης ένδειξης κοκ, ενώ f ( t) 1 είναι η πυκνότητα της πρώτης ένδειξης δεδομένης της θέσης της κοκ Συχνά γράφουμε όπου ( t, ) ( t) f ( t), * * * g * () t είναι η διαδικασία των ενδείξεων και f * ( t) είναι η υπό συνθήκη g πυκνότητα μιας ένδειξης στο χρόνο Οι παραπάνω σχέσεις συνοψίζονται στη μορφή t δεδομένης της ιστορίας * * * t g Ht ( t, ) dtd E[ N( dt d) H ] ( t) f ( t) dtd Πρόταση 145 Έστω N μία κανονική επαυξημένη σημειακή διαδικασία στον [0, T ] K για κάποιο πεπερασμένο θετικό T και ας είναι ( t1, 1 ),,( t N ( T ), ) μία 39 g Ng ( T )

πραγματοποίηση της N στο διάστημα [0, ] Τότε η πιθανοφάνεια μίας τέτοιας διαδικασίας εκφράζεται με τη μορφή Ng ( T) T * * L ( ti, i) exp ( u, ) dul K ( d) i1 0 K T g( ) g( ) N T N T T * * * g ( ti ) f ( i ti) exp g ( u) du i1 i1 0 όπου l K είναι το μέτρο αναφοράς στον K, 40

Κεφάλαιο 2 Περιοχή μελέτης και δεδομένα παρατήρησης 21 Εισαγωγή Σκοπός της παρούσας διατριβής ειδίκευσης είναι η εκτίμηση της σεισμικής επικινδυνότητας με την εφαρμογή στοχαστικών διαδικασιών Οι κύριες επιστημονικές προσπάθειες βασίζονται κυρίως στη θεωρία Ελαστικής Ανάπαλσης (Elastic Reboud theory) του Reid (1910), όσο και σε άλλες σχετικές θεωρίες και έννοιες (σεισμικός κύκλος, χαρακτηριστικός σεισμός) Σύμφωνα με τη θεωρία του Reid, σε κάθε μεγάλο ενεργό σεισμό γίνονται κατ επανάληψη ισχυροί (κύριοι) σεισμοί Οι παρατηρήσεις του Reid μετά τον ισχυρό σεισμό του Σαν Φρανσίσκο το 1906 κατά μήκος του ρήγματος του Αγίου Ανδρέα τον οδήγησαν στο συμπέρασμα ότι οι σεισμοί είναι αποτέλεσμα ελαστικής ανάπαλσης, λόγω συσσωρευμένων ελαστικών τάσεων στα πετρώματα εκατέρωθεν της ρηξιγενούς επιφάνειας Όταν οι συσσωρευμένες αυτές τάσεις ξεπεράσουν ένα ορισμένο επίπεδο, όταν δηλαδή υπερβούν την αντοχή των πετρωμάτων, τότε παρατηρείται ολίσθηση, απελευθερώνεται η συσσωρευμένη ενέργεια, δηλαδή γίνεται σεισμός Παρόλο που το μοντέλο αυτό και τα άμεσα παραγόμενα από αυτό (time predictable model και slip predictable model) έχουν χρησιμοποιηθεί ευρέως για μακροπρόθεσμη πρόγνωση οι ακολουθίες των μεγάλων σεισμών είναι πιο πολύπλοκες Κι αυτό γιατί η θεωρία Ελαστικής Ανάπαλσης υποστηρίζει ότι μετά από ένα μεγάλο σεισμό θα έπρεπε να ακολουθεί μία περίοδος αδράνειας-ηρεμίας, ενώ στην πραγματικότητα ένας μεγάλος σεισμός ενδέχεται να ακολουθείται από έντονη μετασεισμική δραστηριότητα, με αυξημένη πιθανότητα να ακολουθήσει σεισμός συγκρίσιμος σε μέγεθος Σύμφωνα με τους Kaga & Jackso (1991) μακροπρόθεσμη ασθενής συσταδοποίηση (clusterig) χαρακτηρίζει τις κύριες ακολουθίες σεισμών Μετά από έναν ισχυρό σεισμό αυτή η συσταδοποίηση οδηγεί σε μία αύξηση του ρυθμού των μεγάλων σεισμών για αρκετές δεκαετίες Δημιουργήθηκε επομένως η ανάγκη να εισαχθεί η τυχαιότητα στην πρόβλεψη έτσι ώστε να μπορέσουν να συμπεριληφθούν και άλλα χαρακτηριστικά των σεισμών Η τυχαιότητα επιτυγχάνεται με τη χρήση στοχαστικών μοντέλων Η περιοχή που επιλέχθηκε να εφαρμόσουμε τα στοχαστικά μοντέλα μας είναι ο Κορινθιακός Κόλπος, μία περιοχή που χαρακτηρίζεται από έντονη σεισμικότητα καθώς δίνει πολλούς και συχνούς σεισμούς 41

22 Η περιοχή του Κορινθιακού Κόλπου Ο Κορινθιακός Κόλπος έχει αναγνωριστεί ως μία από τις πιο διακεκριμένες ενεργές δομές στην περιοχή του Αιγαίου, η οποία χωρίζει την ηπειρωτική Ελλάδα από την Πελοπόννησο (McKezie et al, 1978), παρουσιάζοντας μάλιστα μεγάλους ρυθμούς εφελκυσμού M 60 Αρκετοί ισχυροί ( ) σεισμοί έχουν επανειλημμένα συμβεί στην περιοχή, προκαλώντας σοβαρές ζημιές στις πόλεις, όπως είναι γνωστό από ιστορικές πληροφορίες πριν από 25 αιώνες, λίγοι από αυτούς ωστόσο έχουν δώσει αξιόπιστες πληροφορίες για τα ρήγματα που τους προκάλεσαν Πιθανώς, ο πιο γνωστός από τους σεισμούς της αρχαιότητας είναι αυτός του 373 πχ, μετά από τον οποίο τα ερείπια της αρχαίας πόλης της Ελίκης καλύφθηκαν από θάλασσα Υπάρχουν επίσης μαρτυρίες για καταστροφικούς σεισμούς στο μαντείο των Δελφών το 348 πχ και το 279 πχ και στην αρχαία Κόρινθο το 77, 543, 580, αλλά είναι δύσκολο να συνδυαστούν με διάρρηξη σε κάποιο συγκεκριμένο ρήγμα Τα διαστήματα πραγματοποίησης ποικίλουν ανάμεσα σε έναν και τρεις αιώνες (Cosole et al, 2013) Το μέγιστο γνωστό μέγεθος σεισμού στην περιοχή είναι σχεδόν, το οποίο πιθανώς αντικατοπτρίζει την έλλειψη συνέχειας των ρηγμάτων Η ενόργανη σεισμικότητα (Ambraseys & Jackso, 1997; Papazachos & Papazachou, 2003) είναι εξίσου έντονη Υπάρχουν αρκετοί καταγεγραμμένοι σεισμοί με μεγέθη 60 M 67, οι οποίοι έχουν καταστρέψει σημαντικές πόλεις της περιοχής (για παράδειγμα, την πόλη του Αιγίου, που επλήγη από τον κύριο σεισμό μεγέθους M 64 το 1995) Έναυσμα εκτεταμένης τεκτονικής και σεισμολογικής έρευνας αποτέλεσε η ακολουθία 3 σεισμών (με μεγέθη 67, 64 και 63) κατά τη διάρκεια του Φεβρουαρίου και Μαρτίου 1981 στον ανατολικό Κορινθιακό Κόλπο καθώς και οι μετασεισμοί τους Οι δύο πρώτοι από αυτούς τους σεισμούς έγιναν με διαφορά 6 ωρών και τρίτος μετά από 7 ημέρες Εκτός από αυτή την περίπτωση, υπάρχουν μαρτυρίες πως και σε αρκετές άλλες ακολουθίες, οι σεισμοί έγιναν πολύ κοντά χρονικά, γεγονός που αποτελεί ένα αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό που μπορεί να περιληφθεί σε έρευνες σεισμικής επικινδυνότητας 70 221 Σεισμοτεκτονικές ιδιότητες Ο Κορινθιακός Κόλπος εκτείνεται από το στενό του Ρίου-Αντιρρίου στα δυτικά έως τον Κόλπο των Αλκυονίδων στα ανατολικά Το μήκος του εκτιμάται στα 115χμ ενώ το πλάτος του κυμαίνεται μεταξύ 10 και 30χμ Πρόκειται για μία ασύμμετρη ενεργή τεκτονική τάφρο με διεύθυνση σχεδόν Ανατολή- Δύση, το νότιο τέμαχος της οποίας είναι υπερυψωμένο ενώ το βόρειο τέμαχος χαρακτηρίζεται από μικρά αντιθετικά ρήγματα Η βόρεια ακτογραμμή είναι πιο ελικοειδής από τη νότια και με πολλές χερσονήσους, υπονοώντας καθίζηση (Stefatos et al,2002), ενώ η νότια είναι πιο 42

γραμμική Η ασυμμετρία είναι προφανής και από τα σεισμικά προφίλ (Brooks & Feretios, 1984; Higgs, 1988) Ένα άλλο χαρακτηριστικό της μορφολογίας του Κορινθιακού Κόλπου είναι το αυξανόμενο πλάτος του από τα δυτικά προς τα ανατολικά, με ελάχιστο περίπου 5 χμ και μέγιστο περίπου 30 χμ Η βυθομετρία επισημαίνει αυτή την προοδευτική αύξηση προς τα ανατολικά του πλάτους και του βάθους, κάτι που συμβαδίζει επίσης με την αύξηση στην ιζηματοαπόθεση (Heeze et al, 1966; Brooks & Feretios 1984) Τα ρήγματα που φαίνεται πως είναι σεισμικά ενεργά είναι κυρίως τα ρήγματα με βόρεια κλίση που οριοθετούν τον Κόλπο στο νότο Πρόκειται για οκτώ τμήματα ρηγμάτων (fault segmets) τα οποία αποτελούν μία ζώνη διάρρηξης (fault zoe) Οι Jackso & McKezie (1988) υποστηρίζουν πως πρόκειται για μία μοναδική ζώνη διάρρηξης, την οποία περιγράφουν ως συνεχές Συνήθως οι διαστάσεις των ρηγμάτων δεν ξεπερνούν τα 20-25 χμ (Jackso & White, 1989), το οποίο συνεπάγεται ένα άνω όριο για το μέγεθος των σεισμών που μπορούν να συμβούν σε ένα μοναδικό τμήμα ρήγματος Ωστόσο δεν είναι σαφές αν οι ασυνέχειες που χωρίζουν τα τμήματα είναι σταθερές και δε θα σπάσουν ποτέ, ή, αν περιστασιακά, η διάρρηξη μπορεί να συμβεί σε περισσότερα του ενός τμήματα με αποτέλεσμα σεισμό μεγαλύτερου μεγέθους (Jackso & White, 1989; Hatzfeld et al, 2000) Οι περισσότεροι από τους μηχανισμούς γένεσης υποδεικνύουν πως τα ρήγματα στο δυτικό τμήμα έχουν μία μέση διεύθυνση (strike) B 90-105 o A με εφελκυσμό στη διεύθυνση Β-Ν, με το επίπεδο των ρηγμάτων να κλίνει βόρεια 50 ο περίπου κοντά στην επιφάνεια και 10-25 o στο βάθος του σεισμογόνου στρώματος (Jackso, 1987; Taymaz et al, 1991; Hatzfeld et al, 1996; Berard et al, 1997; Baker et al, 1997 ) Τα ίδια αποτελέσματα υποδεικνύουν και οι μικροσεισμικοί μηχανισμοί (Hatzfeld et al, 1996, 2000; Rigo et al, 1996) Στο ανατολικό άκρο του Κόλπου τα κύρια ρήγματα κλίνουν πιο βορειοανατολικά (Β 70-90 ο Α) Η κατανομή του βάθους των σεισμών δείχνει ότι το μέγιστο της δραστηριότητας εντοπίζεται σε βάθη 6-10 χμ Επιπλέον, το 98% των σεισμών έχουν εστιακά βάθη μικρότερα από 13-14 χμ Μία άλλη πλευρά της κατανομής βάθους των σεισμών είναι η απουσία σεισμών σε βάθη μικρότερα από 4 χμ (Rigo et al, 1996) 222 Ενεργός Παραμόρφωση Η μοντελοποίηση γεωλογικών και μορφολογικών παρατηρήσεων έδωσε ρυθμό ολίσθησης 11 3 mm/yr, ο οποίος είναι από τους υψηλότερους διεθνώς (Armijo et al, 1996) Γεωδαιτικές πληροφορίες, και συγκεκριμένα σύγκριση γεωδαιτικών μετρήσεων με παλιές γεωδαιτικές μετρήσεις, δίνουν εφελκυσμό σε διεύθυνση Β-Ν περίπου 15 mm/yr στο δυτικό τμήμα του Κόλπου και 10 mm/yr περίπου στο ανατολικό τμήμα (Billiris et al, 1991; Clarke et al, 1997; Davies et al, 1997; Briole et al, 2000) Μία σύγκριση μεταξύ διαφόρων γεωδαιτικών ερευνών που αφορούν μικρότερη διάρκεια δίνει ελαφρώς υψηλότερες τιμές, αλλά με την ίδια διαφορά ανάμεσα στο δυτικό και ανατολικό άκρο του Κόλπου (Hatzfeld et al, 2000) 43

23 Δεδομένα Παρατήρησης Ο κατάλογος των σεισμών που χρησιμοποιήσαμε προέρχεται από την τράπεζα δεδομένων του Τομέα Γεωφυσικής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης (http://geophysicsgeoauthgr/ss/) Η περιοχή οριοθετείται από τα γεωγραφικά μήκη 212 ο Α και 232 ο Α, και τα γεωγραφικά πλάτη 3785 ο Β και 3865 ο Β Με σκοπό να χρησιμοποιήσουμε ένα πλήρες δείγμα δεδομένων, λήφθηκαν υπόψη οι σεισμοί με M 50, οι οποίοι έγιναν στην περιοχή από το 1911 έως σήμερα Το σχήμα 21 δείχνει την κατανομή των σεισμών στην υπό μελέτη περιοχή, όπου με κόκκινους αστερίσκους παριστάνονται οι σεισμοί που έγιναν στο δυτικό τμήμα του Κορινθιακού Κόλπου και με κίτρινα εξάγωνα οι σεισμοί που έγιναν στο ανατολικό τμήμα του Κόλπου Στο σχήμα 22 παρουσιάζεται η χρονική ακολουθία μεγεθών για το ίδιο σύνολο δεδομένων, με την ίδια χρωματική διάκριση ανάλογα με το τμήμα του Κορινθιακού Κόλπου στο οποίο έγινε ο σεισμός Το σύνολο δεδομένων περιλαμβάνει 100 σεισμούς, εκ των οποίων οι 53 έγιναν στο δυτικό και οι 47 στον ανατολικό Κορινθιακό Κόλπο Ο ισχυρότερος σεισμός είχε μέγεθος και έγινε στην περιοχή των Αλκυονίδων Νήσων το 1981 Η κατά μέγεθος κατανομή φαίνεται στο σχήμα 23 Η καλή προσαρμογή της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων στα δεδομένα επιβεβαιώνει την πληρότητα των δεδομένων για αυτό το χρονικό διάστημα M 67 Σχήμα 21 Χάρτης σεισμικότητας του Κορινθιακού Κόλπου Περιλαμβάνονται σεισμοί με M 50, οι οποίοι έγιναν από το 1911 έως σήμερα 44