ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr, GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr, ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" Φεβρουαρίου 014 Θέματα μικρών τάξεων Πρόβλημα 1 Θεωρούμε τρίγωνο ABC και έστω Μ το μέσο της πλευράς BC. Εξωτερικά του τριγώνου θεωρούμε παραλληλόγραμμο BCDE, τέτοιο ώστε: BE AM και AM BE = Να αποδειχθεί ότι η ευθεία EM περνάει από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος AD. Πρόβλημα Έστω p πρώτος και m θετικός ακέραιος. Να προσδιορίσετε όλα τα ζευγάρια ( p, m ) που ικανοποιούν την εξίσωση ( ) ( 1) 3 p p+ m + p= m+. Πρόβλημα 3 Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα: 3 z y 3 x z 3 y x x =, y =, z =. y z z x x y Πρόβλημα 4. Βάφουμε τους αριθμούς 1,, 3,...,0 με δύο χρώματα άσπρο και μαύρο έτσι, ώστε να χρησιμοποιούνται και τα δύο χρώματα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει ο χρωματισμός ώστε το γινόμενο των άσπρων αριθμών και το γινόμενο των μαύρων αριθμών να έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη ίσο με 1; Διάρκεια διαγωνισμού: 3 ώρες και 30 λεπτά Κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με 5 μονάδες Καλή επιτυχία!
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr, GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr, ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" Φεβρουαρίου 014 Ενδεικτικές λύσεις θεμάτων μικρών τάξεων Πρόβλημα 1 Θεωρούμε τρίγωνο ABC και έστω Μ το μέσο της πλευράς BC. Εξωτερικά του AM τριγώνου θεωρούμε παραλληλόγραμμο BCDE, τέτοιο ώστε: BE AM και BE = Να αποδειχθεί ότι η ευθεία EM περνάει από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος AD. Προεκτείνουμε την AM μέχρι να τμήσει την ED στο σημείο N. Τότε το τετράπλευρο BMNE είναι παραλληλόγραμμο, οπότε EN = BM = MC = ND. Άρα το N είναι το AM μέσον του ED. Επιπλέον παρατηρούμε ότι = και το M είναι πάνω στη διάμεσο MN του τριγώνου EAD, οπότε το M είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου AED. Επομένως η ευθεία EM είναι η ευθεία της διαμέσου του τριγώνου AED που άγεται από την κορυφή E, οπότε θα τέμνει την πλευρά AD στο μέσο της. A Κ L B Μ C E N D Σχήμα 1 1
Πρόβλημα Έστω p πρώτος και m θετικός ακέραιος. Να προσδιορίσετε όλα τα ζευγάρια ( p, m ) που ικανοποιούν την εξίσωση Η δεδομένη εξίσωση γράφεται ( ) ( 1) 3 p p+ m + p= m+. ( 1) ( 1) 3 p p+ m+ = m+, (1) από την οποία προκύπτει ότι ο πρώτος αριθμός p είναι διαιρέτης του ( m + 1) 3. Επομένως, αφού p πρώτος, έπεται ότι p ( m+ 1), οπότε θα υπάρχει θετικός ακέραιος k τέτοιος ώστε m+ 1 = kp. Τότε, από την εξίσωση (1) λαμβάνουμε: Άρα είναι p, 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) = m= και ( pm, ) = (,1). p p + kp = kp k + 1= k p k k + 1 k k + 1 k = 1. Πρόβλημα 3 Να λύσετε στους πραγματικούς αριθμούς το σύστημα: 3 z y 3 x z 3 y x x =, y =, z =. y z z x x y Για xyz,,, που ικανοποιούν την συνθήκη xyz 0, το σύστημα γράφεται: 3 xyz= z y (1) 3 yzx= x z () 3 zxy= y x (3) Με πρόσθεση κατά μέλη των τριών εξισώσεων λαμβάνουμε: xyz x + y + z = x + y + z x + y + z xyz+ 1 = 0. ( ) ( ) ( )( ) Επειδή είναι xyz 0 έχουμε προκύπτει ότι : x + y + z > 0, οπότε από την τελευταία εξίσωση xyz = 1 (4) Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (4) στο σύστημα των εξισώσεων (1), () και (3) έχουμε: x = z + y (5) y = x + z (6) z = y + x (7) Από τις (5) και (6) λαμβάνουμε y = z, ενώ από τις (6) και (7) λαμβάνουμε x = z, οπότε: x = y = z x= y =± z ή x= y =± z. (8) Τελικά, από τις εξισώσεις (8) και (4) έχουμε τις λύσεις: xyz,, = 1, 1, 1, xyz,, = 1,1, 1, xyz,, = 1, 1,1, xyz,, = 1,1,1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Πρόβλημα 4. Βάφουμε τους αριθμούς 1,, 3,...,0 με δύο χρώματα άσπρο και μαύρο έτσι, ώστε να χρησιμοποιούνται και τα δύο χρώματα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει ο χρωματισμός ώστε το γινόμενο των άσπρων αριθμών και το γινόμενο των μαύρων αριθμών να έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη ίσο με 1; Το 1 μπορεί να βαφεί με τρόπους (ή άσπρο ή μαύρο). Το μπορεί να βαφεί με τρόπους (ή άσπρο ή μαύρο). Τώρα όλοι οι άρτιοι πρέπει να πάρουν το χρώμα του, οπότε οι αριθμοί,4,6,8,10,1,14,16,18,0 παίρνουν το χρώμα του. Επίσης όλοι οι αριθμοί που έχουν κοινό διαιρέτη με αυτούς παίρνουν το χρώμα του, δηλαδή οι αριθμοί 3,5,7,9,15 παίρνουν το χρώμα του. Οι αριθμοί που απέμειναν (που είναι οι πρώτοι μεγαλύτεροι του 10, δηλαδή οι 11,13,17,19) μπορούν να βαφούν με τρόπους (ή άσπρο ή μαύρο). 6 Επομένως, συνολικά ο χρωματισμός μπορεί να γίνει με = = 64 τρόπους. Πρέπει όμως να αφαιρέσουμε και τις δύο περιπτώσεις που τους βάφουμε όλους μαύρους ή όλους άσπρους. Άρα έχουμε συνολικά 6 τρόπους. 3
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 106 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR. 106 79 - Athens - HELLAS Tel. 361653-3617784 - Fax: 364105 e-mail : info@hms.gr Πρόβλημα 1 ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 31 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" Φεβρουαρίου 014 Βρείτε όλα τα πολυώνυμα ( x) ισότητα για κάθε x. Θέματα μεγάλων τάξεων Ρ με πραγματικούς συντελεστές που ικανοποιούν την ( x 6x 8) ( x) ( x x) ( x ) + Ρ = + Ρ, Πρόβλημα Βρείτε τις τιμές του ακέραιου αριθμού n για τις οποίες ο αριθμός ισούται με τον κύβο ρητού αριθμού. 8n 5 Α= n + 5 Πρόβλημα 3 Θεωρούμε μια n n σκακιέρα, όπου άρτιος θετικός ακέραιος, στην οποία τοποθετούνται όλοι οι αριθμοί 1,,3,...n, ένας σε κάθε τετραγωνάκι. Καλούμε S 1 το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται στα άσπρα τετράγωνα και S το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται στα μαύρα τετράγωνα. Να βρεθούν όλοι οι αριθμοί n που είναι τέτοιοι, ώστε να είναι δυνατή μία τοποθέτηση, για την οποία ισχύει: S1 39 S = 64.. Πρόβλημα 4 Δίνεται κύκλος c ( O,R ) (με κέντρο το σημείο O και ακτίνα R ) και δύο σημεία του A, B τέτοια, ώστε R < AB < R. Ο κύκλος c 1 ( A,r ) (με κέντρο το σημείο A και ακτίνα r, 0 < r < R), τέμνει τον κύκλο c ( O,R ), στα σημεία C και D (το σημείο C ανήκει στο μικρό τόξο AB ). Από το σημείο B, θεωρούμε τις εφαπτόμενες BE και BF στον κύκλο c 1 ( A,r ), έτσι ώστε από τα σημεία επαφής E, F, το σημείο E βρίσκεται εκτός του κύκλου c ( O,R ). Οι ευθείες EC και DF τέμνονται στο σημείο M. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο BCFM είναι εγγράψιμο. Διάρκεια εξέτασης 4 ώρες. Κάθε πρόβλημα βαθμολογείται με 5 μονάδες Καλή επιτυχία!
Ενδεικτικές λύσεις θεμάτων μεγάλων τάξεων Πρόβλημα 1 Βρείτε όλα τα πολυώνυμα ισότητα για κάθε x. x με πραγματικούς συντελεστές που ικανοποιούν την x 6x 8 x x x x, Η δεδομένη ισότητα γράφεται στη μορφή x x4 x x x x, για κάθε x, (1) οπότε, για x 0, και 4προκύπτουν οι ισότητες: x 0 0. Επομένως το πολυώνυμο έχει παράγοντες τους x, x και x, οπότε έχουμε: x x x x Q x, () Qx όπου το είναι πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές. Λόγω της () η σχέση (1) γίνεται: x x4 xxqx xxxxx4qx, (3) για κάθε x. Ισοδύναμα, έχουμε x x x x4 x Q x xq x 0, για κάθε x. (4) Από τη σχέση (4), επειδή το πολυώνυμο x x x x 4 δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο, προκύπτει η ισότητα: x Q x xq x 0, για κάθε x. (5) Από την τελευταία σχέση για 0 όπου γίνεται: x λαμβάνουμε ότι Q 0 0, οπότε Qx xrx, Rx πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές. Λόγω της (5) η σχέση (4) xxr x x x R x 0 xxrxrx 0, από την οποία, αφού xx0 x, προκύπτει ότι: RxR x, για κάθε x. Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι R x R x k k Rx παράδειγμα ισχύει cr 0 Rk, k. Άρα είναι R x c,,, για κάθε x, οπότε το πολυώνυμο παίρνει την ίδια τιμή για άπειρες τιμές του x, για οπότε για κάθε x, x x x x Q x x x x xr x cx x 4.
Πρόβλημα Βρείτε τις τιμές του ακέραιου αριθμού ισούται με τον κύβο ρητού αριθμού. n για τις οποίες ο αριθμός 8n 5 n 5 (1 ος τρόπος) Έστω pq,, q0, με pq, 1 και τέτοιοι ώστε 8n 5 p. (1) n 5 q Τότε θα είναι και p, q 1, ενώ από τη σχέση (1) λαμβάνουμε: q 8n5 p n 5, () από την οποία έπεται ότι p 8n5 και q n5 υπάρχει k έτσι ώστε: 3 8n5kp 3 και n5 kq. ( 3 Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι 8n 5 kp, k, τότε από τη σχέση () λαμβάνουμε τις σχέσεις (3). Από τις σχέσεις (3) προκύπτει ότι: 8 n5 8n5 k 8q p Επομένως οι αριθμοί Παρατηρούμε όμως ότι k q p q qp p 4 65. k,qp και 4q qp p 4 3 q pq p q p 3 3) είναι διαιρέτες του 65. q 1 mod3 και επιπλέον ισχύει 4q pq p 3q pq 3, οπότε, αφού ο αριθμός 4q pq p είναι διαιρέτης του 65 η μοναδική δυνατή τιμή του είναι 4q pq p 133q pq 13, οπότε έχουμε τις περιπτώσεις: 4q qp p 13, k 1, q p 5. Τότε έχουμε: p q 5 και 4q q q5 q5 13 p q5, q 5q0 pq5, q p1, q. Τότε και για τις δύο περιπτώσεις έχουμε 3 p 1, οπότε θα είναι: 8 n 5 1 88 n 5 n5n 3. q 8 n 5 8 ος τρόπος Όπως στον πρώτο τρόπο φθάνουμε στη σχέση () και τη λύνουμε ως προς n, οπότε λαμβάνουμε: 55 q p n. (4) 8q p 3 Έστω d 5 q p,8q p. Τότε d 5q p 8q p 13 q και αφού pq, 1 έπεται ότι d 13. Επομένως 8q p d q p q p q pq p 5 8 513 4 65.
3 Παρατηρούμε ότι και επιπλέον ισχύει 4q pq p 3q pq 3, οπότε, αφού ο αριθμός 4q pq p είναι διαιρέτης του 65 η μοναδική δυνατή τιμή του είναι 4q pq p 3q pq 1 mod3 4q pq p 1q pq 13. Από τη σχέση (5) προκύπτει ότι q, οπότε έχουμε τις περιπτώσεις: Αν q 0 ή q 1, οπότε p q p q (5) 13 ή 10, αδύνατες με pq,. 1, pq, 1, ή pq, 1, ή pq, 3, ή pq, 3,. q p, δεκτές είναι μόνο οι λύσεις pq, 1, ή pq, 1, Αν q, τότε pq από την οποία προκύπτουν οι λύσεις : Επειδή ( ) 65 από τις οποίες προκύπτει ότι n 3., Πρόβλημα 3 Θεωρούμε μια n n σκακιέρα, όπου άρτιος θετικός ακέραιος, στην οποία τοποθετούνται όλοι οι αριθμοί, ένας σε κάθε τετραγωνάκι. Καλούμε το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται στα άσπρα τετράγωνα και S το άθροισμα των αριθμών που βρίσκονται στα μαύρα τετράγωνα. Να βρεθούν όλοι οι αριθμοί n που είναι τέτοιοι, ώστε να είναι δυνατή μία τοποθέτηση, για την οποία ισχύει: S1 39 S 64. 39 Η δεδομένη σχέση είναι ισοδύναμη με την S1 S1 S. Παρατηρούμε ότι : 103 n n 1 S1 S 1n Επειδή ο είναι φυσικός αριθμός, από τις παραπάνω θα έχουμε ότι S 1 n n 1 103. Όμως ο 103 είναι πρώτος της μορφής 4κ+3, οπότε ο 103 δεν διαιρεί τον n 1. Επομένως πρέπει να διαιρεί τον n και αφού είναι πρώτος, πρέπει 103 n. Αφού επιπλέον ο n είναι άρτιος, θα έχουμε ότι είναι πολλαπλάσιο του 06, δηλαδή πρέπει: n06 k, k *. Θα αποδείξουμε τώρα ότι για κάθε πολλαπλάσιο του 06 είναι δυνατή μια τέτοια τοποθέτηση. Η ελάχιστη δυνατή τιμή του είναι: n n 1 n 1 A, ενώ η μέγιστη τιμή είναι: n n 1 1n B. S 1 S 1
4 Εύκολα ελέγχουμε την ανισότητα, 39 A S1 S1S B 103 Τώρα θα πάρουμε το ζητούμενο δείχνοντας ότι το S 1 μπορεί να πάρει κάθε δυνατή τιμή ανάμεσα στα A, B Πράγματι, ο αριθμός A 1 μπορεί να επιτευχθεί επιλέγοντας n n στα άσπρα τετράγωνα τους αριθμούς 1,,..., 1, 1. O αριθμός A μπορεί να n n επιτευχθεί επιλέγοντας στα άσπρα τετράγωνα τους αριθμούς 1,,..., 1,, και ούτω καθεξής. Όταν φτάσουμε στο βήμα όπου χρειάζεται η τοποθέτηση των αριθμών n 1,,..., 1, n, για να πάρουμε τον επόμενο αριθμό ως άθροισμα, θα επιλέξουμε n n στα άσπρα τετράγωνα τους αριθμούς1,,...,,,n, και στον επόμενο τους n n 1,,...,, 1, n, και ούτω καθεξής. Αυξάνοντας λοιπόν με την παραπάνω διαδικασία το άθροισμα κατά 1, ξεκινώντας από το Α, μπορούμε να κατασκευάσουμε όλους τους αριθμούς μέχρι το Β. Πρόβλημα 4 Δίνεται κύκλος c( O,R ) (με κέντρο το σημείο O και ακτίνα R ) και δύο σημεία του A, B τέτοια, ώστε R AB R. Ο κύκλος c1( A,r ) (με κέντρο το σημείο A και ακτίνα r, 0 r R), τέμνει τον κύκλο c( O,R ), στα σημεία C και D (το σημείο C ανήκει στο μικρό τόξο AB ). Από το σημείο B, θεωρούμε τις εφαπτόμενες BE και BF στον κύκλο c 1 ( A,r ), έτσι ώστε από τα σημεία επαφής E, F, το σημείο E βρίσκεται εκτός του κύκλου c( O,R ). Οι ευθείες EC και DF τέμνονται στο σημείο M. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. BCFM (1 ος τρόπος) Το τετράπλευρο AEBF είναι εγγράψιμο (διότι οι BE και BF είναι εφαπτόμενες, o οπότε: AÊB AFˆB 90 ) και έστω c ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Το τμήμα CD είναι η κοινή χορδή των κύκλων c και ( c 1 ). Το τμήμα AB είναι η κοινή χορδή των κύκλων c και ( c ). Το τμήμα EF είναι η κοινή χορδή των κύκλων ( c 1 ) και ( c ). Άρα οι τρεις παραπάνω χορδές θα συντρέχουν στο ριζικό κέντρο, έστω L, των τριών κύκλων. Η AB είναι διχοτόμος της γωνίας EBF ˆ (διότι BE και BF είναι εφαπτόμενες του κύκλου c 1 ( A,r )). Η AB είναι επίσης διχοτόμος της γωνίας C Bˆ D, γιατί οι γωνίες A BˆC και ABD ˆ είναι εγγεγραμμένες στο κύκλο co, R και βαίνουν στα ίσα τόξα AC και AD. Άρα οι γωνίες E Bˆ C και FBD ˆ είναι ίσες.
5 Σχήμα Με τη βοήθεια της ισότητας EBˆ C FBD ˆ, θα αποδείξουμε ότι τα τρίγωνα BCE και BFD είναι όμοια. Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι: BC BF a y xy a, BE BD x a όπου θέσαμε (χάριν συντομίας): BE BF a, BC x και BD y. Από την ομοιότητα των τριγώνων LCB και LAD έχουμε: LC CB LC x (1). LA AD LA r Από την ομοιότητα των τριγώνων LCA και LBD, έχουμε: LB BD LB y (). LC CA LC r έχουμε: Πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις 1 και LB xy (A). LA r Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABE, το τμήμα AL είναι το ύψος προς την υποτείνουσα, άρα: LB EB a (B). LA EA r Από τις σχέσεις A και B έχουμε: xy a. Άρα τα τρίγωνα BCE και BFD είναι όμοια, οπότε θα έχουν τις γωνίες τους ίσες (μία προς μία). Από τις ισότητες των γωνιών των τριγώνων BCE και BFD, προκύπτει η ισότητα: Cˆ Fˆ. Άρα το τετράπλευρο BCFM είναι εγγράψιμο. ος τρόπος. Σημειώνουμε με Q το σημείο τομής των EF, CD Από το θεώρημα Pascal στο εκφυλισμένο εξάγωνο EEDFFC παίρνουμε ότι, αν T είναι το σημείο τομής των
6 ED, CF, τότε τα σημεία T, B, M είναι συνευθειακά. Επιπλέον, στο εγγεγραμμένο ECFD, τα σημεία T, M είναι τα σημεία τομής των απέναντι πλευρών και το Q είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του. Επομένως η ευθεία TM είναι η πολική του Q, οπότε η AQ είναι κάθετη στην πολική (αφού Α κέντρο του κύκλου), οπότε έχουμε ότι ABT ˆ 90. Έτσι, έπεται ότι EF TM αφού AB EF, οπότε έχουμε ότι BMC ˆ MEF ˆ CFˆB, όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από τις γωνίες χορδής και εφαπτομένης. Σχήμα 3 Παρατήρηση Από τις ισότητες των γωνιών των τριγώνων BCE και BFD, προκύπτει επίσης ότι και το τετράπλευρο BEDM είναι εγγράψιμο.